aula 1 - Introducao a conducao convecção e radiação

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AULA 1
INTRODUÇÃO
➢ Considerando um gás, no qual não haja movimento global ou macroscópico, que ocupa o espaço entre
duas superfícies a temperaturas diferentes
➢ Associa-se a temperatura em qualquer ponto à energia das moléculas do gás na proximidade deste
ponto
➢ Temperaturas mais altas estão associadas à energias moleculares mais altas, logo, quando as
moléculas vizinhas se chocam, uma transferência de energia pode ocorrer das moléculas mais
energéticas para as menos
➢ Na presença de um gradiente de temperatura há transferência de energia
AULA 1 - INTRODUÇÃO
CONDUÇÃO
➢ Concluindo, a condução pode ser vista como transferência de energia das partículas mais energéticas
para as menos devido às interações entre as partículas
➢ A equação da taxa utilizada para a condução é chamada de Lei de Fourier
➢ Destaca-se que a lei é fenomenológica, ou seja, foi desenvolvida a partir da observação experimental
➢ Para uma parede plana unidimensional, com uma distribuição de temperaturas T(x), sendo T1 > T2, a
equação do fluxo é representada por:
Sendo 𝑞"𝑥 o fluxo de transferência de calor na direção x por unidade de área (W/m²)
E K a condutividade térmica característica do material (W/m.K)
𝑞"𝑥 = −𝐾
𝑑𝑇
𝑑𝑥
AULA 1 - INTRODUÇÃO
CONDUÇÃO
➢ Equação do fluxo que atravessa a parede plana por condução
➢ Imagine que um engenheiro responsável pela operação de um forno
necessite reduzir as perdas térmicas pela parede de um forno por razões
econômicas. Considerando a equação ele tem as opções:
𝑞"𝑥 = −𝐾
𝑑𝑇
𝑑𝑥
⇒ 𝑞"𝑥𝑑𝑥 = −𝐾𝑑𝑇 ⇒ න
0
𝐿
𝑞"𝑥𝑑𝑥 = −න
𝑇1
𝑇2
𝐾 𝑑𝑇 ⇒ 𝑞"𝑥 = −𝐾
∆𝑇
𝐿
𝑇2
𝑇1
𝑞"𝑥
0 𝐿
Objetivo Variável Ação
𝑞"𝑥
K Trocar a parede por outra de menor K
A Reduzir a área superficial do forno
L Aumentar a espessura da parede
ΔT Reduzir a temperatura interna do forno
AULA 1 - INTRODUÇÃO
CONDUÇÃO
➢ Na prática, trocar a parede de um forno em operação ou reduzir a temperatura interna podem ser
ações de difícil implementação
➢ Porém, a adoção de um isolante térmica sobre a parede cumpriria ao mesmo tempo duas ações:
redução da condutividade térmica e aumento da espessura da parede do forno
➢ Essa equação fornece o fluxo térmico (taxa de transferência por unidade de área). A taxa de
transferência, 𝑞𝑥, por condução pode ser dada em W, então, por:
𝑞𝑥 = 𝑞"𝑥𝐴 = −𝐾𝐴
𝑑𝑇
𝑑𝑥
⇒ 𝑞𝑥 = −𝐾𝐴
Δ𝑇
𝐿
AULA 1 - INTRODUÇÃO
CONDUÇÃO
➢ Quando um fluido escoa ao longo de uma superfície, seja o escoamento um regime laminar ou
turbulento, as partículas nas vizinhanças da superfície são desaceleradas em virtude das forças
viscosas. A porção do fluido contida na região de variação substancial de velocidade é chamada de
“camada limite hidrodinâmica”
➢ Para que ocorra a transferência de calor por convecção através do fluido é necessário um gradiente de
temperatura (camada limite térmica) em uma região de baixa velocidade (camada limite
hidrodinâmica)
AULA 1 - INTRODUÇÃO
CONVECÇÃO
➢ O mecanismo de convecção pode ser entendido como a ação combinada de condução de calor na
região de baixa velocidade onde existe um gradiente de temperatura e movimento de mistura na
região de alta velocidade
➢ Portanto:
- Região de baixa velocidade: condução mais importante
- Região de alta velocidade: convecção mais importante
AULA 1 - INTRODUÇÃO
CONVECÇÃO
AULA 1 - INTRODUÇÃO
➢ Independentemente da natureza específica do processo de transferência de calor por convecção, a
equação apropriada é fornecida pela Lei de resfriamento de Newton
- 𝑞𝑥 taxa de transferência de calor (W)
- 𝐴 área da superfície (m²)
- 𝑇𝑆 temperatura na superfície (°C)
- 𝑇∞ temperatura no seio do fluido (°C)
- ℎ coeficiente convectivo do fluido (W/m² °C)
𝑞𝑥 = ℎ𝐴(𝑇𝑆 − 𝑇∞)
𝛿𝑡(𝑥)
𝛿𝑡
𝑇∞ corrente livre𝑢∞, 𝑇∞
𝑥
𝑇𝑆
𝛿(𝑥)
𝛿
𝑢∞ corrente livre
CONVECÇÃO
➢ A emissão da radiação do corpo negro é dada por
- 𝐸𝑁 poder emissivo do corpo negro
- 𝜎 constante de Stefan-Boltzmann (5,67 x 10-8 W/m².K-4)
- 𝑇𝑆 temperatura absoluta da superfície (K)
➢ Corpo negro é o irradiador ideal: É um corpo que emite e absorve, a qualquer temperatura, a máxima
quantidade possível de radiação em qualquer comprimento de onda. Trata-se de um conceito térmico
padrão
𝐸𝑁 = 𝜎𝑇𝑆
4
RADIAÇÃO
AULA 1 - INTRODUÇÃO
➢ O fluxo térmico emitido por uma superfície real é menor do que aquele emitido por um corpo negro a
mesma temperatura e é dado por:
- 𝜀 emissividade: é uma propriedade radiante da superfície variando de 0 a 1. Esta propriedade fornece
uma medida de eficiência que a superfície emite energia em relação ao corpo negro
➢ A absorvidade, 𝛼, é uma propriedade entre 0 e 1 que se for muito menor que 1, indica que a superfície
é opaca e porções da radiação são refletidas.
➢ Se a superfície é semitransparente, porções de irradiação podem ser transferidas
RADIAÇÃO
AULA 1 - INTRODUÇÃO
𝐸 = 𝜀𝜎𝑇𝑆
4
𝐸𝑎𝑏𝑠 = 𝛼𝐸𝑁
➢ O fluxo líquido de transferência de calor por radiação, saindo da superfície, é dada por:
Para o uso desta equação é importante ressaltar que 𝛼𝑆 = 𝜀𝑆 (superfície cinza – característica próxima dos
corpos reais)
RADIAÇÃO
AULA 1 - INTRODUÇÃO
𝑞" = 𝜀𝜎(𝑇𝑆
4 − 𝑇4)
➢ Combinação da condução e convecção
➢ Com frequência, existe a oportunidade de ser aplicada a exigência da
conservação de energia (1ª Lei da termodinâmica) na superfície de um meio
➢ Não há envolvimento de massa ou volume, podendo ser desprezados os termos relativos à geração e
acúmulo
COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR (U)
AULA 1 - INTRODUÇÃO
𝑞 = 𝑈𝐴Δ𝑇
𝑇2
𝑇1
𝑞"𝑥
0 𝐿
𝑇𝐴, ℎ1 𝑇𝐵 , ℎ2
𝑈 =
1
1
ℎ1
+
𝐿
𝐾 +
1
ℎ2
➢ Com frequência, existe a oportunidade de ser aplicada a exigência da
conservação de energia (1ª Lei da termodinâmica) na superfície de um meio
➢ Não há envolvimento de massa ou volume, podendo ser desprezados
os termos relativos à geração e acúmulo
➢ Neste caso, a energia que entra deve ser igual a que sai
➢ A exigência da conservação vale tanto para as condições de regime estacionário e para transiente
COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR (U)
AULA 1 - INTRODUÇÃO
𝑇2
𝑇1
𝑞"𝑐𝑜𝑛𝑑
𝐸𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 = 𝐸𝑠𝑎𝑖
𝑆𝑢𝑝. 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡.
𝑞"𝑐𝑜𝑛𝑣
𝑞"𝑟𝑎𝑑
➢ Com base em uma área unitária, a transferência de calor para a superfície e dada por:
- Condução do meio para a superfície de controle (𝑞"𝑐𝑜𝑛𝑑)
- Convecção da superfície para o fluido (𝑞"𝑐𝑜𝑛𝑣)
- Troca líquida de calor por radiação da superfície para a sua vizinhança (𝑞"𝑟𝑎𝑑)
➢ O balanço de energia assume então a forma:
COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR (U)
AULA 1 - INTRODUÇÃO
𝑞"𝑐𝑜𝑛𝑑 = 𝑞"𝑐𝑜𝑛𝑣 + 𝑞"𝑟𝑎𝑑
➢ Considerando o experimento de condução de calor em regime estacionário
➢ Imaginando, inicialmente, uma condição de proporcionalidade
➢ Para valores idênticos de 𝐴, Δ𝑇, Δ𝑥 a taxa assume valores diferentes para diferentes materiais,
existindo a necessidade de uma constante de proporcionalidade K (condutividade térmica em W/m.K).
➢ Fazendo Δ𝑥 → 0
AULA 1 - CONDUÇÃO
𝐴, 𝑇1 𝑇2
Δ𝑥
𝑞𝑥
𝑞𝑥 ∝ 𝐴
Δ𝑇
Δ𝑥
𝑞𝑥 = −𝐾𝐴
d𝑇
d𝑥
𝐨𝐮 𝑞"𝑥 = −𝐾
d𝑇
d𝑥
➢ A direção da taxa ou fluxo de calor será sempre normal a superfície isotérmica
➢ Partindo do princípio que o fluxo tem direção e sentido, ele é um vetor
➢ A lei de Fourier assume então a forma:
➢ A equação leva em conta que o meio através do qual a condução ocorre é isotrópico, ou seja, o valor
de K é independente de x, y e z.
AULA 1 - CONDUÇÃO
𝑞" = −𝐾∇𝑇 = −𝐾
𝜕𝑇
𝜕𝑥
Ԧ𝑖 +
𝜕𝑇
𝜕𝑦
Ԧ𝑗 +
𝜕𝑇
𝜕𝑧
𝑘
AULA 1 - PROPRIEDADES TÉRMICAS DA MATÉRIA
➢ Para usar a Lei de Fourier K deve ser conhecido
➢ A partir da equação da lei:
➢ Quando K tem valores:
: Material isotrópico
: Material ortotrópico
Os materiais denominados isolantes térmicos possuem baixa condutividade térmica, que podem
ser combinados para obter uma condutividade térmica do sistema ainda menor.
𝐾𝑥 =
−𝑞"𝑥
Τ𝜕𝑇 𝜕𝑥
𝐾𝑥 = 𝐾𝑦 = 𝐾𝑧𝐾𝑥 ≠ 𝐾𝑦 ≠ 𝐾𝑧
AULA 1 - PROPRIEDADES TÉRMICAS DA MATÉRIA
➢ Outras propriedades relevantes na solução de problemas
- de transporte: K, (viscosidade cinemática);
Propriedades
- termodinâmicas: (massa específica), Cp (calor específico)
➢ O produto capacidade calorífica volumétrica, mede a capacidade de um material de um
material de armazenar energia térmica (tabelado);
➢ Nas análises de transferência de calor, a razão entre a condutividade térmica e a capacidade calorífica
volumétrica constitui uma importante propriedade denominada difusividade térmica (m²/s)
Materiais com elevado: respondem rapidamente a mudança térmica. Enquanto que,
reduzido respondem mais lentamente.
𝜈
𝜌
𝜌𝐶𝑝 ൗ
𝐽
𝑚3𝐾
𝛼 =
𝐾
𝜌𝐶𝑝
𝛼
𝛼
AULA 1 - PROPRIEDADES TÉRMICAS DA MATÉRIA
Exemplo: As superfícies internas de um grande edifício são mantidas a 20°C, enquanto a temperatura na
superfície externa é - 20°C. As paredes medem 25 cm de espessura e foram construídas com tijolos de
condutividade térmica 0,6 kcal/h.m.°C.
a) Calcular a perda de calor para cada m² de superfície por hora.
b) Sabendo que a área total do edifício é de 1.000 m² e que o poder calorífico do carvão é de 5.500
kcal/kg, determine a quantidade de carvão necessário em um sistema de aquecimento por 10 horas.
Supor um rendimento de 50 % de aquecimento.
AULA 1 - PROPRIEDADES TÉRMICAS DA MATÉRIA
Exemplo: As superfícies internas de um grande edifício são mantidas a 20°C, enquanto a temperatura na
superfície externa é - 20°C. As paredes medem 25 cm de espessura e foram construídas com tijolos de
condutividade térmica 0,6 kcal/h.m.°C.
a) Calcular a perda de calor para cada m² de superfície por hora.
𝑞" = −𝐾
ΔT
Δ𝑥
AULA 1 - PROPRIEDADES TÉRMICAS DA MATÉRIA
Exemplo: As superfícies internas de um grande edifício são mantidas a 20°C, enquanto a temperatura na
superfície externa é - 20°C. As paredes medem 25 cm de espessura e foram construídas com tijolos de
condutividade térmica 0,6 kcal/h.m.°C.
a) Calcular a perda de calor para cada m² de superfície por hora.
𝑞" = −𝐾
ΔT
Δ𝑥
= −0,6
(−20 − 20)
0,25
= 96 𝑘𝑐𝑎𝑙/𝑚²ℎ
AULA 1 - PROPRIEDADES TÉRMICAS DA MATÉRIA
Exemplo: As superfícies internas de um grande edifício são mantidas a 20°C, enquanto a temperatura na
superfície externa é - 20°C. As paredes medem 25 cm de espessura e foram construídas com tijolos de
condutividade térmica 0,6 kcal/h.m.°C.
b) Sabendo que a área total do edifício é de 1.000 m² e que o poder calorífico do carvão é de 5.500
kcal/kg, determine a quantidade de carvão necessário em um sistema de aquecimento por 10 horas.
Supor um rendimento de 50 % de aquecimento.
1 𝑘𝑔 − 5500 𝑘𝑐𝑎𝑙 (100%)
1 𝑘𝑔 − 2750 𝑘𝑐𝑎𝑙 (50%)
AULA 1 - PROPRIEDADES TÉRMICAS DA MATÉRIA
Exemplo: As superfícies internas de um grande edifício são mantidas a 20°C, enquanto a temperatura na
superfície externa é - 20°C. As paredes medem 25 cm de espessura e foram construídas com tijolos de
condutividade térmica 0,6 kcal/h.m.°C.
b) Sabendo que a área total do edifício é de 1.000 m² e que o poder calorífico do carvão é de 5.500
kcal/kg, determine a quantidade de carvão necessário em um sistema de aquecimento por 10 horas.
Supor um rendimento de 50 % de aquecimento.
1 𝑘𝑔 − 5500 𝑘𝑐𝑎𝑙 (100%)
1 𝑘𝑔 − 2750 𝑘𝑐𝑎𝑙 (50%)
m ∙ 2.750 = 𝐴𝑇 ∙ 𝑞" ∙ 𝑡 = 960.000
AULA 1 - PROPRIEDADES TÉRMICAS DA MATÉRIA
Exemplo: As superfícies internas de um grande edifício são mantidas a 20°C, enquanto a temperatura na
superfície externa é - 20°C. As paredes medem 25 cm de espessura e foram construídas com tijolos de
condutividade térmica 0,6 kcal/h.m.°C.
b) Sabendo que a área total do edifício é de 1.000 m² e que o poder calorífico do carvão é de 5.500
kcal/kg, determine a quantidade de carvão necessário em um sistema de aquecimento por 10 horas.
Supor um rendimento de 50 % de aquecimento.
1 𝑘𝑔 − 5500 𝑘𝑐𝑎𝑙 (100%)
1 𝑘𝑔 − 2750 𝑘𝑐𝑎𝑙 (50%)
m ∙ 2.750 = 𝐴𝑇 ∙ 𝑞" ∙ 𝑡 = 960.000⇒𝑚 = 349,1 𝑘𝑔
AULA 1 – A EQUAÇÃO DA DIFUSÃO DE CALOR
Assumindo um volume de controle diferencial:
𝑞𝑥+∆𝑥 = 𝑞𝑥 +
𝜕𝑞𝑥
𝜕𝑥
𝑑𝑥
𝑞𝑦+∆𝑦 = 𝑞𝑦 +
𝜕𝑞𝑦
𝜕𝑦
𝑑𝑦
𝑞𝑧+∆𝑧 = 𝑞𝑧 +
𝜕𝑞𝑧
𝜕𝑧
𝑑𝑧
𝑞𝑥 𝑞𝑥+∆𝑥
𝑞𝑦
𝑞𝑦+∆𝑦
𝑞𝑧
𝑞𝑧+∆𝑧
ሶ𝐸𝑔
ሶ𝐸𝑎𝑐𝑢𝑛
AULA 1 – A EQUAÇÃO DA DIFUSÃO DE CALOR
No meio pode haver um termo de fonte de energia associada à taxa de geração de energia térmica:
Sendo taxa na qual a energia é gerada por unidade de volume do meio (W/m²)
➢ O termo referente ao acúmulo pode ser escrito como:
ሶ𝐸𝑔 = ሶ𝑞𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
ሶ𝑞
ሶ𝐸𝑎𝑐𝑢𝑚 = 𝜌𝐶𝑝
𝜕𝑇
𝜕𝑡
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
Taxa de variação com o
tempo da energia térmica
do meio por unidade de
volume
AULA 1 – A EQUAÇÃO DA DIFUSÃO DE CALOR
: Manifestação de algum processo de conversão de energia envolvendo de um lado energia térmica e
do outro alguma outra fonte de energia, como a química.
+ : Energia térmica sendo gerada no material devido a alguma outra fonte de energia;
- : Energia sendo consumida
Aplicando a conservação de energia:
Substituindo,
ሶ𝐸𝑔
ሶ𝐸𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 + ሶ𝐸𝑔𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎 − ሶ𝐸𝑠𝑎𝑖 = ሶ𝐸𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎
𝑞𝑥 + 𝑞𝑦 + 𝑞𝑧 + ሶ𝑞𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 − 𝑞𝑥+∆𝑥 − 𝑞𝑦+∆𝑦 − 𝑞𝑧+∆𝑧 = 𝜌𝐶𝑝
𝜕𝑇
𝜕𝑡
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
AULA 1 – A EQUAÇÃO DA DIFUSÃO DE CALOR
: Manifestação de algum processo de conversão de energia envolvendo de um lado energia térmica e
do outro alguma outra fonte de energia, como a química.
+ : Energia térmica sendo gerada no material devido a alguma outra fonte de energia;
- : Energia sendo consumida
Aplicando a conservação de energia:
Substituindo,
ሶ𝐸𝑔
ሶ𝐸𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 + ሶ𝐸𝑔𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎 − ሶ𝐸𝑠𝑎𝑖 = ሶ𝐸𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎
𝑞𝑥 + 𝑞𝑦 + 𝑞𝑧 + ሶ𝑞𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 − 𝑞𝑥+∆𝑥 − 𝑞𝑦+∆𝑦 − 𝑞𝑧+∆𝑧 = 𝜌𝐶𝑝
𝜕𝑇
𝜕𝑡
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
AULA 1 – A EQUAÇÃO DA DIFUSÃO DE CALOR
Pela eq. de Fourier
Substituindo
−
𝜕𝑞𝑥
𝜕𝑥
𝑑𝑥 −
𝜕𝑞𝑦
𝜕𝑦
𝑑𝑦 −
𝜕𝑞𝑧
𝜕𝑧
𝑑𝑧 + ሶ𝑞𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝜌𝐶𝑝
𝜕𝑇
𝜕𝑡
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
𝑞𝑥 = −𝐾𝑑𝑦𝑑𝑧
𝜕𝑇
𝜕𝑥
; 𝑞𝑦 = −𝐾𝑑𝑥𝑑𝑧
𝜕𝑇
𝜕𝑦
; 𝑞𝑧 = −𝐾𝑑𝑥𝑑𝑦
𝜕𝑇
𝜕𝑧
−
𝜕
𝜕𝑥
−𝐾𝑑𝑦𝑑𝑧
𝜕𝑇
𝜕𝑥
𝑑𝑥 −
𝜕
𝜕𝑦
−𝐾𝑑𝑥𝑑𝑧
𝜕𝑇
𝜕𝑦
𝑑𝑦 −
𝜕
𝜕𝑧
−𝐾𝑑𝑥𝑑𝑦
𝜕𝑇
𝜕𝑧
𝑑𝑧 + ሶ𝑞𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝜌𝐶𝑝
𝜕𝑇
𝜕𝑡
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
𝜕
𝜕𝑥
𝐾
𝜕𝑇
𝜕𝑥
+
𝜕
𝜕𝑦
𝐾
𝜕𝑇
𝜕𝑦
+
𝜕
𝜕𝑧
𝐾
𝜕𝑇
𝜕𝑧
+ ሶ𝑞 = 𝜌𝐶𝑝
𝜕𝑇
𝜕𝑡
AULA 1 – A EQUAÇÃO DA DIFUSÃO DE CALOR
Esta é a forma geral em coordenadas cartesianas (Eq. de calor)
Caso a condutividade térmica seja constante:
Sendo,
𝜕
𝜕𝑥
𝐾
𝜕𝑇
𝜕𝑥
+
𝜕
𝜕𝑦
𝐾
𝜕𝑇
𝜕𝑦
+
𝜕
𝜕𝑧
𝐾
𝜕𝑇
𝜕𝑧
+ ሶ𝑞 = 𝜌𝐶𝑝
𝜕𝑇
𝜕𝑡
∇2𝑇 +
ሶ𝑞
𝐾
=
1
𝛼
𝜕𝑇
𝜕𝑡
𝛼 =
𝐾
𝜌𝐶𝑝
AULA 1 – A EQUAÇÃO DA DIFUSÃO DE CALOR
Em regime estacionário:
Se a equação for unidimensional na direção x e não houver geração de energia:
𝜕
𝜕𝑥
𝐾
𝜕𝑇
𝜕𝑥
+
𝜕
𝜕𝑦
𝐾
𝜕𝑇
𝜕𝑦
+
𝜕
𝜕𝑧
𝐾
𝜕𝑇
𝜕𝑧
+ ሶ𝑞 = 𝜌𝐶𝑝
𝜕𝑇
𝜕𝑡
𝜕
𝜕𝑥
𝐾
𝜕𝑇
𝜕𝑥
+
𝜕
𝜕𝑦
𝐾
𝜕𝑇
𝜕𝑦
+
𝜕
𝜕𝑧
𝐾
𝜕𝑇
𝜕𝑧
+ ሶ𝑞 = 0
𝜕
𝜕𝑥
𝐾
𝜕𝑇
𝜕𝑥
= 0
AULA 1 – A EQUAÇÃO DA DIFUSÃO DE CALOR
Eq. de calor em coordenadas cartesianas
Eq. de calor em coordenadas cilíndricas:
Eq. de calor em coordenadas esféricas
𝜕
𝜕𝑥
𝐾
𝜕𝑇
𝜕𝑥
+
𝜕
𝜕𝑦
𝐾
𝜕𝑇
𝜕𝑦
+
𝜕
𝜕𝑧
𝐾
𝜕𝑇
𝜕𝑧
+ ሶ𝑞 = 𝜌𝐶𝑝
𝜕𝑇
𝜕𝑡
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
𝐾𝑟
𝜕𝑇
𝜕𝑟
+
1
𝑟2
𝜕
𝜕𝜙
𝐾
𝜕𝑇
𝜕𝜙
+
𝜕
𝜕𝑧
𝐾
𝜕𝑇
𝜕𝑧
+ ሶ𝑞 = 𝜌𝐶𝑝
𝜕𝑇
𝜕𝑡
1
𝑟2
𝜕
𝜕𝑟
𝐾𝑟2
𝜕𝑇
𝜕𝑟
+
1
𝑟2𝑠𝑒𝑛2𝜃
𝜕
𝜕𝜙
𝐾
𝜕𝑇
𝜕𝜙
+
1
𝑟2𝑠𝑒𝑛2𝜃
𝜕
𝜕𝜃
𝐾𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜕𝑇
𝜕𝜃
+ ሶ𝑞 = 𝜌𝐶𝑝
𝜕𝑇
𝜕𝑡
𝑟
∙𝑐𝑜
𝑠𝜃
𝜙
𝜃
𝑟
𝜃
𝜃
𝜃
𝜃
𝜙
𝜙
𝜙
𝜙𝜃
𝑟
𝜃
𝑟 𝑟
𝜙
𝜙
𝜙
𝜙 𝜙
𝜙
𝑟
𝑟
𝑟