ep

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é um pulsar, as situações em (i) e (ii) deve ser
satisfeitas simultaneamente.
Para (i), matematicamente, o desalinhamento
desses eixos, significa que o ângulo entre esses dois
vetores deve ser diferente de zero ou de valores
muito próximos à zero, portanto estabeleceu-se
uma condição, tal que,
� se o ângulo entre ~L e ~B é > 3° então a estrela
de nêutrons emite pulsos de radiação.
Equivalentemente, essa condição pode ser ex-
pressa através do produto interno entre dois ve-
tores, assim
~L · ~B = |~L|| ~B|cos(θ1) (2)
onde θ1 é o ângulo entre ~L e ~B, dáı
(θ1) = arccos
~L · ~B
|~L|| ~B|
=
LxBx + LyBy + LzBz
|~L|| ~B|
,
(3)
como os vetores foram normalizados, o produto
|~L|| ~B| = 1.
No entanto, não basta apenas que a estrela de
nêutrons emita pulsos de radiação, mas que essa
radiação possa ser detectada por algum observa-
dor, para isso, então, determinou-se uma segunda
condição,
� se a diferença entre os ângulos de ~L e ~B e
~L e ~R é < 3° então a estrela de nêutrons é
observável como um pulsar.
De forma semelhante para as equações 2 e 3, te-
mos que,
~L · ~R = |~L||~R|cos(θ2) (4)
onde θ2 é o ângulo entre ~L e ~R, segue que
(θ2) = arccos
~L · ~R
|~L||~R|
=
LxRx + LyRy + LzRz
|~L||~R|
,
(5)
também, o produto |~L||~R| = 1. Portanto, se
|θ1 − θ2| < 3° (6)
então a estrela de nêutrons é um pulsar. Assim,
para cada estrela de nêutrons, o programa reali-
zou esse processo, e se ao final das contas a es-
trela atende a essas condições, então é contabili-
zado um pulsar (Nobs). Por fim, o programa im-
prime na tela três valores: o número de estrelas
Figura 2: Esquema experimental. Para que uma
estrela de nêutrons seja considerada um pulsar,
θ1 deve ser maior que 3° e a diferença entre θ1 e
θ2 menor que 3°
.
de nêutrons inicial (Nstars), o número de estrelas
de nêutrons que são pulsares (Nobs) e
Nobs
Nstars
(7)
que é a razão entre esses valores que representa a
quantidade de estrelas de nêutrons que são pul-
sares em relação à um número de estrelas inicial.
3 Resultados e Discussões
O programa foi executado repetidas vezes para
quantidades diferentes de estrelas de nêutrons ini-
ciais (Nstars) e observou-se que a partir de 10 000
estrelas iniciais, a razão mostrada na equação
7 tem flutuações na ordem dos centésimos e
milésimos mas com o valor do décimo estabili-
zado em torno de 0.11. Assim, estima-se que a
cada 100 estrelas de nêutrons, aproximadamente
11 são pulsares. É esperado uma quantidade pe-
quena de pulsares, pois, para ser classificado como
um pulsar, a estrela de nêutrons deve satisfazer
condições espećıficas não apenas quanto ao seu
eixo de rotação e do campo magnético mas, ainda,
estar na direção de um observador.
Além disso, pode-se extrapolar os dados experi-
mentais e conjecturar sobre a quantidade de es-
trelas de nêutrons que existem. Uma vez que a
razão entre a quantidade de pulsares e estrelas
de nêutrons é um valor que, aparentemente, con-
verge para algo em torno de 0.110 762, utilizando
um catálogo de pulsares, como o produzido pela
ATNF (The Australia Telescope National Faci-
lity), que possui 1509 pulsares catalogados (Bib-
code 2005AJ....129.1993M) [2], pode-se determi-
3
Tabela 1: Dados gerados a partir da execução
do programa pulsar.c que mostram uma con-
vergência da quantidade de estrelas observáveis
Nobs a partir de um número inicial de estrelas
Nstars = 10 000.
Nstars Nobs
Nobs
Nstars
10 2 0.200 000
100 11 0.110 000
1000 130 0.130 000
10 000 1162 0.116 200
100 000 11 229 0.112 290
1 000 000 110 690 0.110 690
10 000 000 1 107 616 0.110 762
nar a quantidade de estrelas de neutrons que exis-
tem para essa quantidade de pulsares. Sendo as-
sim,
Nobs
Nstars
= 0.110 762 (8)
fazendo as manipulações algébricas necessárias,
obtemos o número de estrelas de nêutrons que é
dado por:
Nstars =
Nobs
0.110 762
(9)
De forma que, para 1509 pulsares catalogados é
esperado que existam 13 624 estrelas de nêutrons.
4 Conclusão
O programa desenvolvido (pulsar.c) permite sa-
tisfatoriamente estudar as relações entre os ve-
tores do eixo de rotação (~L) e eixo do campo
magnético ( ~B) para uma estrela de nêutrons e
entender qual a relação com a direção (~R) de um
observador para que a estrela de nêutrons seja
classificada como um pulsar, dadas condições es-
pećıficas, é esperado que o número de pulsares
seja um tanto quanto reduzido em relação à quan-
tidade de estrelas de nêutrons iniciais. A respeito
disso, foi encontrado a razão entre o número de
pulsares para uma dada quantidade de estrelas de
nêutrons inicial (Nstars = 10 000 000), sendo essa
razão igual a 0.110 762, assim, pode-se estimar
que a cada 100 estrelas de nêutrons, 11 são pulsa-
res. Além disso, a pesquisa também permite esti-
mar a quantidade de estrelas de nêutrons que exis-
tem, utilizando a razão Nstars/Nobs e um catálogo
de pulsares. Assim, para a quantidade de pulsares
calatogados (1509) pela ATNF (The Australia Te-
lescope Nacional Facility), estima-se que existam
pelo menos 13 624 estrelas de nêutrons.
Referências
[1] J. W. MACIEL. Introdução à Estrutura e
Evolução Estelar, chapter 14: Evolução Este-
lar: Uma visão geral. Editora da Universidade
de São Paulo, 1 edition, 2018.
[2] R. N. Manchester, G. B. Hobbs, A. Teoh, and
M. Hobbs. The Australia Telescope National
Facility Pulsar Catalogue. AJ, 129:1993–2006,
April 2005.
[3] D. A. NETO, E. J HORVATH, et al. Astrono-
mia: Uma Visão Geral do Universo. Editora
da Universidade de São Paulo, 2008.
5 Apêndice
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#include "mt19937 -64.c"
int main (){
unsigned long long seed;
double L[4]; //vetor do eixo de rotaç~ao
double L1; //módulo do vetor de rotaç~ao
double L2; //módulo do vetor de rotaç~ao
double B[4]; //vetor do eixo magnético
double B1;
double B2;
double R[4]; //vetor da direç~ao do observador
double R1;
double R2;
double LR; //produto interno entre L e R
double LB; //produto interno entre L e B
int Nstars; //número de estrelas de nêutrons inicial
int Nobs; //número de pulsares observáveis
int k; //contador relacionado às estrelas em teste
int i ; //contador relacionado as componentes dos vetores
seed =2632763647368; // um número "grande"o suficiente
init_genrand64(seed); // inicializando o gerador de números
//pseudorandomicos
Nstars =100000;
Nobs =0;
for ( k=1 ; k<= Nstars ; k++ ) {
// direç~ao de rotaç~ao (momento angular)
L[1] = genrand64_real3 () ; // número entre [0,1]
L[2] = genrand64_real3 () ;
L[3] = genrand64_real3 () ;
L2 = 0.0;
for (i=1 ; i<=3 ; i++ ) L2 += L[i]*L[i] ;
L1 = sqrt( L2 ) ; //módulo do vetor de rotaç~ao
L[1] /= L1 ; // vetor L normalizado
L[2] /= L1 ;
L[3] /= L1 ;
// direç~ao do eixo magnético
B[1] = genrand64_real3 ();
B[2] = genrand64_real3 ();
B[3] = genrand64_real3 ();
B2=0.0;
for (i=1 ; i<=3 ; i++ ) B2 += B[i]*B[i];
B1 = sqrt(B2); //módulo do vetor do eixo magnético
B[1]/= B1 ; //vetor B normalizado
B[2]/= B1 ;
B[3]/= B1 ;
// direç~ao do observador
R[1] = genrand64_real3 ();
R[2] = genrand64_real3 ();
R[3] = genrand64_real3 ();
R2=0.0;
for (i=1 ; i<=3 ; i++ ) R2 += R[i]*R[i];
R1 = sqrt (R2) ; //módulo do vetor da direç~ao do observador
4
R[1]/= R1; //vetor R normalizado
R[2]/= R1;
R[3]/= R1;
// calculo dos produtos internos importantes
LB=0.0;
LR=0.0;
for (i=1 ; i<=3 ; i++ ) LB += L[i]*B[i] ;
for (i=1 ; i<=3 ; i++ ) LR += B[i]*R[i] ;
//a estrela de neutrons é um pulsar?
if ( acos(LB) > 3*M_PI /180.0 ) {
//observabilidade
if ( fabs(acos(LB) - acos(LR) ) < 3*M_PI /180.0 ) {
Nobs ++;
}
}
}
printf ("%d %d %f\n", Nstars , Nobs , (double)Nobs/Nstars );
//type casting
return 0;
}
5