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3.4 - Quarta Análise
Esta análise foi realizada considerando, também, um eixo maciço, com diâmedro de 40 mm um
comprimento de 250 mm, apoioado em dois mancais. Entretanto, foi adicionado duas massas
desbalanceadoras (m1 e m2), no qual, suas características e posição serão abordadas ao longo
do código. Para melhor compreensão o modelo para análise é apresentado na Figura 5 a seguir.
Figura 5. Modelagem do sistema com duas massas de desbalanceamento
Importando as bibliotecas:
Agora, vamos definir as coordenadas generalizadas do sistema. Neste caso, usaremos três
coordenadas generalizadas.
Definindo as algumas variáveis:
from sympy import symbols
import sympy.physics.mechanics as me
q1,q2,q0=me.dynamicsymbols('q1 q2 q0')
q1d,q2d=me.dynamicsymbols('q1 q2',1)
u1,u2=me.dynamicsymbols('u1 u2')
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Listando as coordenadas generalizadas:
Velocidades generalizadas:
Equações diferenciais cinemáticas:
Referenciando os sistemas:
Orientando o A:
Orientando o B:
Definindo os pontos que serão usados no código.
Ponto O:
Cento de massa:
Ponto um:
g,r,omega,L,k,c,M,m1, m2= symbols('g r omega L k c M m1 m2')
q_lista=[q1,q2]
u_lista=[u1,u2]
kde=[q1d-u1,q2d-u2]
N=me.ReferenceFrame('N')
A=me.ReferenceFrame('A')
B=me.ReferenceFrame('B')
A.orient(N,'Axis',[q0,N.y])
A.set_ang_vel(N,omega*N.y)
B.orient(A,'Axis',[q2,A.x])
B.set_ang_vel(A,u2*B.x)
O=me.Point('O')
O.set_vel(N,0)
CM=me.Point('CM')
RCM=q1*N.z
CM.set_pos(O,RCM)
CM.set_vel(N,RCM.dt(N))
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Ponto dois:
Neste caso, foi adicionado um ponto 'P3' e 'P4'. Onde está localizada a massa de
desbalanceamento.
Velocidade no ponto P1:
Velocidade no ponto P2:
Ponto P1 em relação ao ponto fixo O
Ponto P2 em relação ao ponto fixo O
P1=me.Point('P1')
RP1=-L/2*B.y-r*B.z
P1.set_pos(O,RP1+RCM)
P1.set_vel(N,(RP1+RCM).dt(N))
P2=me.Point('P2')
RP2=L/2*B.y-r*B.z
P2.set_pos(O,RP2+RCM)
P2.set_vel(N,(RP2+RCM).dt(N))
P3=me.Point('P3')
RP3=-L/5*B.y+r*B.z
P3.set_pos(O,RP3+RCM)
CM.set_vel(N,(RP3+RCM).dt(N))
P4=me.Point('P3')
RP4=L/3*B.y+r*B.z
P4.set_pos(O,RP4+RCM)
CM.set_vel(N,(RP4+RCM).dt(N))
P1.vel(N)
(− − ωr cos (q2 (t)))b̂x + r u2 (t)b̂y − b̂z + q1 (t)n̂z
Lω sin (q2 (t))
2
L u2 (t)
2
d
dt
P2.vel(N)
( − ωr cos (q2 (t)))b̂x + r u2 (t)b̂y + b̂z + q1 (t)n̂z
Lω sin (q2 (t))
2
L u2 (t)
2
d
dt
P1.pos_from(O).dot(N.z)
− − r cos (q0 (t)) cos (q2 (t)) + q1 (t)
L sin (q2 (t)) cos (q0 (t))
2
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Matris de B de rotação ao referencial N
Matris de A de rotação ao referencial N
Momento de inercia do cilindo:
Definindo o eixo como corpo rígido
A massa desbalanceadora foi considerada como uma partícula. Desta forma, usaremos o
seguinte comando para identificá-la.
Lista do corpos presente no sistema
P2.pos_from(O).dot(N.z)
− r cos (q0 (t)) cos (q2 (t)) + q1 (t)
L sin (q2 (t)) cos (q0 (t))
2
B.dcm(N)
⎡⎢⎣
cos (q0 (t)) 0 − sin (q0 (t))
sin (q0 (t)) sin (q2 (t)) cos (q2 (t)) sin (q2 (t)) cos (q0 (t))
sin (q0 (t)) cos (q2 (t)) − sin (q2 (t)) cos (q0 (t)) cos (q2 (t))
⎤⎥⎦
A.dcm(N)
⎡⎢⎣
cos (q0 (t)) 0 − sin (q0 (t))
0 1 0
sin (q0 (t)) 0 cos (q0 (t))
⎤⎥⎦
Ix = M*(3*r**2+L**2)/12
Iy = M*r**2/12
Iz = Ix
I = me.inertia(B,Ix,Iy,Iz)
I
b̂x ⊗ b̂x + b̂y ⊗ b̂y + b̂z ⊗ b̂z
M (L2 + 3r2)
12
Mr2
12
M (L2 + 3r2)
12
eixo=me.RigidBody('eixo',CM,B,M,(I,CM))
Ppart_d1=me.Particle('Ppart_d',P3,m1)
Ppart_d2=me.Particle('Ppart_d',P4,m2)
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Defindo as forças que estão agindo no corpo
Lista de forças em relação aos seus respectivos pontos
[(CM, - M*g*N.z),
 (P1, - k*(-L*sin(q2(t))*cos(q0(t))/2 - r*cos(q0(t))*cos(q2(t)) + q1(t))*N.z),
 (P2, - k*(L*sin(q2(t))*cos(q0(t))/2 - r*cos(q0(t))*cos(q2(t)) + q1(t))*N.z),
 (P1,
 - c*(-L*u2(t)*cos(q0(t))*cos(q2(t))/2 + r*u2(t)*sin(q2(t))*cos(q0(t)) - (-L*
omega*sin(q2(t))/2 - omega*r*cos(q2(t)))*sin(q0(t)) + Derivative(q1(t), t))*N.
z),
 (P2,
 - c*(L*u2(t)*cos(q0(t))*cos(q2(t))/2 + r*u2(t)*sin(q2(t))*cos(q0(t)) - (L*om
ega*sin(q2(t))/2 - omega*r*cos(q2(t)))*sin(q0(t)) + Derivative(q1(t), t))*N.
z),
 (P3, - g*m1*N.z),
 (P3, - g*m2*N.z)]
Apliando o método de Kane
Obitenção da equanção de movimento
C=[eixo,Ppart_d1,Ppart_d2]
FCM=-M*g*N.z
Fe1= -k*(P1.pos_from(O).dot(N.z))*N.z # Força Elástica no Mancal 1
Fe2= -k*(P2.pos_from(O).dot(N.z))*N.z # Força Elástica no Mancal 2
Fa1= -c*(P1.vel(N).dot(N.z))*N.z #Força de amortecimento no Mancal 1
Fa2= -c*(P2.vel(N).dot(N.z))*N.z #Força de amortecimento no Mancal 2
Fp_desb1=-m1*g*N.z #Força peso da massa 1 de desbalanceamento
Fp_desb2=-m2*g*N.z #Força peso da massa 2 de desbalanceamento
FR=[(CM,FCM),(P1,Fe1),(P2,Fe2),(P1,Fa1),(P2,Fa2),(P3,Fp_desb1),(P4,Fp_desb2)]
FR
KM= me.KanesMethod(N,q_ind=q_lista,u_ind=u_lista,kd_eqs=kde)
(Fr,Frstar)=KM.kanes_equations(C,FR)
Eq_Mov = Fr + Frstar
Eq_Mov
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Definindo o número de pontos do grafico, tempo inicial e final
Definindo as condições para a geração do gráfico, onde:
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
−Mg − M (− − ω ( + ωr cos (q2 (t))) sin (q2 (t))) sin (q2 (t)) cos (q0 (t)
+ M ( − 2ωr u2 (t) sin (q2 (t))) sin (q0 (t)) − c (− +
− c ( + r u2 (t) sin (q2 (t)) cos (q0 (t)) − (
− k (− − r cos (q0 (t)) cos (q2 (t)) + q1 (t))
− m1 ( − ω (− + ωr cos (q2 (t))) sin (q2 (t))) sin (q2 (t)) cos (q0 (t)) −
+ m1 (− − 2ωr u2 (t) sin (q2 (t))) sin (q0 (t)) − m2 (−
− m2 (−ω ( + ωr cos (q2 (t))) cos (q2 (t)) − r u22 (t)) cos (q0 (t)) cos (q2 (t)) +
− (M ( − r sin (q2 (t)) cos (q0 (t))) + m1 (− − r sin
− − +
−
+ −
− + Mgr sin (q2 (t)) cos
+ Mr (− − ω (
− cr (− + r u2 (t) sin (q2 (t)) cos (q0 (t)) − (−
− cr ( + r u2 (t) sin (q2 (t)) cos (q0 (t)) − ( − ωr cos (q2 (t
(q2 (t)) cos (q0 (t)) − kr (− − r cos (q0 (t)) cos (q2 (t)) + q1 (t)) sin (q2 (t)
(q0 (t)) + m1r ( − ω (− + ωr cos (q2 (t))) sin (q2 (t)
− (M ( − r sin (q2 (t)) cos (q0 (t))) + m1 (− − r sin
− (M ( + r2) + + m1 (
L u22 (t)
3
Lω sin (q2 (t))
3
2Lω u2 (t) cos (q2 (t))
3
L u2 (t) cos (q0 (t)) cos (q2 (t))
2
L u2 (t) cos (q0 (t)) cos (q2 (t))
2
L
L sin (q2 (t)) cos (q0 (t))
2
L u22 (t)
5
Lω sin (q2 (t))
5
2Lω u2 (t) cos (q2 (t))
5
L u22
3
Lω sin (q2 (t))
3
L cos (q0 (t)) cos (q2 (t))
3
L cos (q0 (t)) cos (q2 (t))
5
LMg cos (q0 (t)) cos (q2 (t))
3
LM(−ω( +ωr cos (q2 (t))) cos (q2 (t))−r u22 (t))Lω sin (q2 (t))3
3
Lc(− L u2 (t) cos (q0 (
2
Lc( +r u2 (t) sin (q2 (t)) cos (q0 (t))−( −ωr cos (q2 (t))) sin (q0 (tL u2 (t) cos (q0 (t)) cos (q2 (t))2 Lω sin (q2 (t))2
2
Lk(− −r cos (q0 (t)) cos (q2 (t))+q1 (t)) cos (q0 (t)) cos (q2 (t))L sin (q2 (t)) cos (q0 (t))2
2
Lk( −r cos (L sin (q2 (t)) cos (q0 (t))
2
Lm2(−ω( +ωr cos (q2 (t))) cos (q2 (t))−r u22 (t))Lω sin (q2 (t))3
3
L u22 (t)
3
Lω sin (q2 (t))
3
L u2 (t) cos (q0 (t)) cos (q2 (t))
2
Lω
L u2 (t) cos (q0 (t)) cos (q2 (t))
2
Lω sin (q2 (t))
2
L sin (q2 (t)) cos (q0 (t))
2
L u22 (t)
5
Lω sin (q2 (t))
5
L cos (q0 (t)) cos (q2 (t))
3
L cos (q0 (t)) cos (q2 (t))
5
L2
9
M(L2+3r2)
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from numpy import linspace
num=300
t0=0
tf=50
tn=linspace(t0,tf,num)
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M é a massa do eixo;
g é a aceleração da gravidade;
r é o raio do eixo;
k é constante elástica da mola (N/m);
c é o coeficiente de amortecimento;
Omega (ω) é a velocidade angular do eixo;
m1 é massa 1 de desbalanceamento;
m2 é massa 2 de desbalanceamento.
Importando a bibliotéca pydy.system
Atribuindo o sistema
Integrando o sistema
Importando a biblioteca matplotlib para poder fazer o gráfico
Plotandoo gráfico de q1 em relação ao tempo
constantes={M:2.5,g:9.8,L:0.250,r:0.02,k:1000,c:0.05,omega:100, m1:0.25, m2:0.30
import numpy as np
cond_in={q1:0,q2:np.pi/2,u1:0,u2:1}
import pydy.system as dy
sistema= dy.System(KM,constants=constantes, initial_conditions=cond_in, times=
Q=sistema.integrate()
import matplotlib.pyplot as plt
plt.figure(figsize=(10,8))
plt.plot(tn,Q[:,0])
plt.xlabel('t[s]')
plt.ylabel('q1[m]')
plt.grid(True)
plt.title('Variação do Centro de Massa em relação ao tempo')
plt.show()
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Plotando o gráfico de q2 em relação ao tempo
plt.figure(figsize=(10,8))
plt.plot(tn,Q[:,1])
plt.xlabel('t[s]')
plt.ylabel('q2[m]')
plt.grid()
plt.title('Variação do Centro de Massa em relação ao tempo')
plt.show()
quarta analise-Copy1 file:///C:/Users/Vanusa/AppData/Local/Temp/quarta analise-Copy1-1.html
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Plotando o gráfico de u1 em relação ao tempo
plt.figure(figsize=(10,8))
plt.plot(tn,Q[:,2])
plt.xlabel('t[s]')
plt.ylabel('u1[m]')
plt.grid()
plt.title('Variação do Centro de Massa em relação ao tempo')
plt.show()
quarta analise-Copy1 file:///C:/Users/Vanusa/AppData/Local/Temp/quarta analise-Copy1-1.html
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Plotando o gráfico de u2 em relação ao tempo
plt.figure(figsize=(10,8))
plt.plot(tn,Q[:,3])
plt.xlabel('t[s]')
plt.ylabel('u2[m]')
plt.grid()
plt.title('Variação do Centro de Massa em relação ao tempo')
plt.show()
quarta analise-Copy1 file:///C:/Users/Vanusa/AppData/Local/Temp/quarta analise-Copy1-1.html
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