Aula 1 - Lei de Coulomb

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Lei de Coulomb
2021/2
 Profa. Dra. Priscila Chaves Panta
É uma propriedade 
fundamental das partículas.
Carga elementar: 1,6.10 - 19 C
Carga do elétron: - 1,6.10 - 19C
Carga do próton: + 1,6.10 - 19C
Unidade: C (Coulomb)
O que é Carga Elétrica?
Cargas de 
mesmo sinal 
de repelem e 
cargas de 
sinais opostos 
se atraem. 
 Eletricidade e Magnetismo2
Modelo de Átomo Atual
Os elétrons 
ocupam bandas 
de energia.
É baseado no Princípio da Incerteza de Heisenberg (Física
Quântica) e estabelece que é impossível conhecer simultaneamente a
posição e a energia do elétron (para se estudar uma partícula, é
preciso interagir com ela).
É baseado também na dualidade onda-partícula do elétron
(fóton).
 Eletricidade e Magnetismo3
As propriedades elétricas dos materiais são determinadas
pela estrutura atômica.
Os átomos são formados por três tipos de partículas: os
prótons, que possuem carga elétrica positiva, os elétrons, que
possuem carga elétrica negativa, e os nêutrons, que não possuem
carga elétrica. Os prótons e nêutrons ocupam a região central do
átomo, conhecida como núcleo.
Quando os átomos de um material condutor como o cobre se
unem para formar um sólido, alguns elétrons mais afastados do
núcleo (que estão, portanto, submetidos a uma força de atração
menor) se tornam livres para vagar pelo material, deixando para trás
átomos positivamente carregados (íons positivos). Esses elétrons
móveis recebem o nome de elétrons de condução.
Condutores e Isolantes
 Eletricidade e Magnetismo4
Condutores e Isolantes
• Condutores elétricos - são materiais nos quais as cargas elétricas
se movem com facilidade, como os metais, o corpo humano e a água
de torneira.
Elétrons livres ou de condução = fracamente ligados ao átomo
• Não condutores ou dielétricos - também conhecidos como
isolantes, são materiais nos quais as cargas não se movem (não
possuem elétrons de condução), como a borracha, os plásticos, o
vidro e a água destilada.
• Semicondutores - são materiais que possuem propriedades
elétricas intermediárias entre as dos condutores e as dos não
condutores, como o silício e o germânio.
• Supercondutores - são condutores perfeitos, materiais nos quais
as cargas se movem sem encontrar resistência.
 Eletricidade e Magnetismo5
Condutores e Isolantes
Uma barra de cobre neutra é isolada eletricamente
da Terra ao ser suspensa por um fio de material não condutor.
Uma barra de plástico eletricamente carregada atrai a
extremidade da barra de cobre que estiver mais próxima.
Isso acontece porque os elétrons de condução da
barra de cobre são repelidos para a extremidade mais afastada
da barra pela carga negativa da barra de plástico, deixando a
extremidade mais próxima com uma carga total positiva. Como
está mais próxima, a carga positiva é atraída pela carga
negativa da barra de plástico com mais força que a carga
negativa que se acumulou na outra extremidade é repelida, o
que produz uma rotação da barra de cobre.
Dois pedaços de uma pastilha de gaultéria se
afastando um do outro. Os elétrons que saltam da superfície
negativa do pedaço A para a superfície positiva do pedaço B
colidem com moléculas de nitrogênio (N2) do ar.
 Eletricidade e Magnetismo6
Eletrização de um Corpo
Na época de Benjamin Franklin, a carga elétrica era
considerada um fluido contínuo, uma ideia que foi útil para muitos
propósitos. Hoje, porém, sabemos que mesmo os fluidos “clássicos”,
como a água e o ar, não são contínuos e sim compostos de átomos e
moléculas; a matéria é quantizada. Os experimentos revelam que o
“fluido” elétrico também não é contínuo e sim composto de unidades
elementares de carga. Todas as cargas positivas e negativas que são
da forma
,.enq  ,...3,2,1 n
em que e, a carga elementar, tem o valor aproximado
.10602,1 19Ce 
 Eletricidade e Magnetismo7
• Átomo: 
Se número de prótons = número de elétrons Neutro
Se tem falta ou um excesso de elétrons Tem carga q
, sendo n um número inteiro.
Portanto, um corpo pode ser:
Eletrizado positivamente: falta de elétrons q=+n.e 
Eletrizado negativamente: excesso de elétrons q=–n.e
enq .
Eletrização de um Corpo
 Eletricidade e Magnetismo8
Eletrização de um Corpo
A carga elementar e é uma das constante mais importante da natureza.
Tanto o elétron como o próton possuem uma carga cujo valor absoluto é e
(Tabela). (Os quarks, partículas elementares das quais são feitos os prótons e
nêutrons têm cargas de ±e/3 e ±2e/3, mas existem fortes indícios de que não
podem ser observados isoladamente. Por essa razão e por motivos históricos, a
carga elementar não é tomada como e/3.)
Algumas expressões de uso corrente, como ”a carga contida em uma
esfera”, ”a quantidade de carga que foi transferida” e “a carga que um elétron
possui”, podem dar a impressão de que a carga é uma substância. Na verdade, a
carga não é uma substância e sim uma propriedade das partículas, como a massa.
Tabela
Cargas de Três Partículas
Partícula Símbolo Carga
Elétron e ou e- -e
Próton p +e
Nêutron n 0
Quando uma grandeza física pode
assumir apenas certos valores, dizemos que é
quantizada; a carga elétrica é uma dessas
grandezas. É possível, por exemplo, encontrar
uma partícula sem carga elétrica ou com uma
carga de +10e ou -6e, mas não uma partícula
com uma carga de 3,57e.
 Eletricidade e Magnetismo9
Um saco plástico recebeu 3,4.1015 elétrons extras em um
processo de eletrização por atrito. Qual a natureza e o valor da
quantidade de carga elétrica do saco plástico?
Cq
Cq
q
enq
68,544
10.4468,5
10.602,1.10.4,3
.
4
1915






Exemplo 1:
 Eletricidade e Magnetismo10
Processos de Eletrização 
Eletrização por Atrito
Eletrização por Contato
Eletrização por Indução
 Eletricidade e Magnetismo11
Ocorre através do atrito entre dois
corpos que adquirem a mesma quantidade de
cargas, porém de sinais contrários.
Série 
triboelétrica
Eletrização por Atrito 
 Eletricidade e Magnetismo12
Ocorre ao encostar
dois condutores que adquirem
cargas de mesmo sinal. Se os
condutores tiverem mesma
forma e mesmas dimensões, a
carga final será igual para os
dois e será dada pela média
aritmética das cargas iniciais.
Eletrização por Contato 
 Eletricidade e Magnetismo13
A eletrização de um condutor neutro
pode ocorrer por simples aproximação de um
outro corpo eletrizado, sem que haja o
contato entre eles. No processo da indução
eletrostática, o corpo induzido será eletrizado
sempre com cargas de sinal contrário ao das
cargas do indutor.
Eletrização por Indução 
 Eletricidade e Magnetismo14
Em uma briga entre um coelho e
um gato a pele dos dois animais são
atritadas entre si deixando os dois
animais eletrizados. Podemos concluir
que:
a) o coelho ficará positivo e o gato
negativo;
b) o coelho ficará negativo e o gato
positivo;
c) os dois ficarão positivos;
d) os dois ficarão negativos;
e) o coelho ficará neutro e o gato
positivo.
Exemplo 2:
 Eletricidade e Magnetismo15
Têm-se três esferas metálicas A, B e C, inicialmente
neutras. Atrita-se A com B, mantendo C à distância. Sabe-se
que nesse processo, B ganha elétrons e que logo após, as
esferas são afastadas entre si de uma grande distância. Um
bastão eletrizado positivamente é aproximado de cada esfera,
sem tocá-las. Podemos afirmar que haverá atração
a) apenas entre o bastão e a esfera B.
b) entre o bastão e a esfera B e entre o bastão e a esfera C.
c) apenas entre o bastão e a esfera C.
d) entre o bastão e a esfera A e entre o bastão e a esfera B.
e) entre o bastão e a esfera A e entre o bastão e a esfera C.
Exemplo 3:
 Eletricidade e Magnetismo16
Exemplo 4:
Após o contato, a carga elétrica adquirida pela segunda
esfera é:
a) Q/2
b) Q
c) 2 Q
d) nula
e) 3 Q
Uma esfera metálica, sustentada por uma haste isolante,
encontra-se em equilíbrio eletrostático com uma pequena carga
elétrica Q. Uma segunda esfera idêntica e inicialmente
descarregada aproxima-se dela, até tocá-la, como indica a figura
a seguir.
 Eletricidade e Magnetismo17
Exemplo 5:
A partirdessa configuração, o fio é retirado e, em seguida, a
esfera A é levada para muito longe. Finalmente, as esferas B e C são
afastadas uma da outra. Após esses procedimentos, as cargas das
três esferas satisfazem as relações
a) QA < 0 QB > 0 QC > 0
b) QA < 0 QB = 0 QC = 0
c) QA = 0 QB < 0 QC < 0
d) QA > 0 QB > 0 QC = 0
e) QA > 0 QB < 0 QC > 0
Três esferas metálicas iguais, A, B e C, estão apoiadas em
suportes isolantes, tendo a esfera A carga elétrica negativa. Próximas
a ela, as esferas B e C estão em contato entre si, sendo que C está
ligada à Terra por um fio condutor, como na figura.
 Eletricidade e Magnetismo18
Lei de Coulomb
A força associada à carga elétrica dos objetos é chamada de força
eletrostática. A equação usada para calcular a força entre duas partículas
carregadas é chamada de lei de Coulomb:
onde q1 e q2 são as cargas das partículas, é um vetor unitário na direção da
reta que liga as duas partículas, r é a distância entre as partículas e k é uma
constante. A unidade de carga elétrica do SI é o Coulomb.
A constante k é dada por
onde ε0 é a chamada constante elétrica:
r
r
qqk
F ˆ
..
2
21

229
0
/.1099,8
4
1
CmNk 

2212
0 ./1085,8 mNC

 Eletricidade e Magnetismo19
Expressa matematicamente a intensidade da 
força eletrostática entre duas cargas.
Repulsão
Atração
Lei de Coulomb
As duas partículas carregadas
se repelem se as cargas forem
positivas ou negativas. As 
partículas se atraem se as cargas
tiverem sinais opostos.
* Sempre desenhe
o vetor força com 
a origem em uma
das partículas.
 Eletricidade e Magnetismo20
Corrente elétrica é a taxa de variação com o tempo, dq/dt,
da carga que passa por um ponto ou região do espaço:
Lei de Coulomb
onde i é a corrente elétrica (em ampères) e dq (em coulombs) é a
quantidade de carga que passa por um ponto ou uma região do
espaço no intervalo de tempo dt (em segundos).
Assim,
dt
dq
i  (Corrente elétrica)
)1).(1(1 sAC 
 Eletricidade e Magnetismo21
Lei de Coulomb
Em um sistema de n partículas carregadas, as partículas interagem
independentemente aos pares, e a força que age sobre uma das partículas, a
partícula 1, por exemplo, é dada pela soma vetorial
onde, por exemplo, é a força que age sobre a partícula 1 devido à
presença da partícula 4.
Aos teoremas das cascas, que se revelaram úteis no estudo da
gravitação, correspondem teoremas análogos na eletrostática:
• Uma casca com uma distribuição uniforme de cargas atrai ou repele uma
partícula carregada situada do lado de fora da casca como se toda a carga
estivesse no centro da casca.
• Se uma partícula carregada está situada no interior de uma casca com uma
distribuição uniforme de cargas, a casca não exerce nenhuma força
eletrostática sobre a partícula.
ntol FFFFFFF 11615141312,1 ...


14F

 Eletricidade e Magnetismo22
Lei de Coulomb – Princípio da Superposição
 Eletricidade e Magnetismo23
Representação Polar de um Vetor
 Eletricidade e Magnetismo24
Calcule a intensidade da força eletrostática entre duas cargas
elétricas puntiformes com cargas 20 µC e -30 µC, distantes 20 cm uma
da outra situadas em pontos fixos do eixo x. Determine as características
vetoriais das forças.
 
NF
F
r
qQk
F
135
2,0
10.30.10.20.10.9
.
2
669
2




Exemplo 6:
Assim, as forças de atração FQq e FqQ tem os seguintes módulos e orientações (em relação ao sentido positivo do eixo x).
NFQq 135
0180
Podemos também escrever as forças na forma de notação de vetores unitários como
iNFQq ˆ)135(
(horizontal da direita para a esquerda)NFqQ 135
00 (horizontal da esquerda para a direita)
iNFqQ ˆ)135(
 Eletricidade e Magnetismo25
Calcule a intensidade da força eletrostática entre duas cargas
elétricas puntiformes com cargas 35 µC e 480 nC, distantes 50 cm
uma da outra situadas em pontos fixos do eixo x. Determine as
características vetoriais das forças.
 
NF
F
r
qQk
F
6048,0
5,0
10.480.10.35.10.99,8
.
2
969
2




Exemplo 7:
Assim, as forças de repulsão FQq e FqQ tem os seguintes módulos e orientações (em relação ao sentido positivo do
eixo x).
NFQq 6048,0
0180
Podemos também escrever as forças na forma de notação de vetores unitários como
iNFQq ˆ)6048,0(
(horizontal da direita para a esquerda)
NFqQ 6048,0
00 (horizontal da esquerda para a direita)
iNFqQ ˆ)6048,0(
 Eletricidade e Magnetismo26
Exemplo 8: Força Total por Várias Partículas
A figura mostra duas partículas positivamente carregadas situadas
em pontos fixos do eixo x. As cargas são q1=1,60x10-19 C e q2=3,20x10-19 C e
a distância entre as cargas é R=0,0200 m. Determine o módulo e a orientação
da força eletrostática F12 exercida pela partícula 2 sobre a partícula 1.
Figura (a) Duas partículas de cargas q1
e q2 são mantidas fixas no eixo x. (b)
Diagrama de corpo livre da partícula 1,
mostrando a força eletrostática exercida
pela partícula 2.
 
NF
m
CC
CmNF
r
qq
F
24
12
2
1919
229
12
2
21
0
12
1015,1
0200,0
)10.20,3).(10.60,1(
)/.1099,8(
.
4
1






Assim, a força F12 tem o seguinte módulo e orientação (em relação ao
sentido positivo do eixo x).
NF 2412 1015,1
 0180
Podemos também escrever F12 na notação de vetores unitários como
iNF ˆ)1015,1( 2412

 Eletricidade e Magnetismo27
A figura mostra duas partículas positivamente carregadas situadas
em pontos fixos do eixo x. As cargas são q1=1,60x10-19 C e q2=3,20x10-19 C e
a distância entre as cargas é R=0,0200 m. A partícula 3 no eixo x entre as
partículas 1 e 2 tem uma carga q3=-3,20x10-19 C e está a uma distância 3R/4
da partícula 1. Determine o módulo e a orientação da força eletrostática F1,tot
exercida sobre a partícula 1 pelas partículas 2 e 3.
Figura (c) Inclusão da
partícula 3. (d) Diagrama de
corpo livre da partícula 1.
 
NF
m
CC
CmNF
r
qq
F
24
13
2
1919
229
13
2
31
0
13
1005,2
0200,0.4/3
)10.20,3).(10.60,1(
)/.1099,8(
)4/3(
.
4
1






Podemos também escrever F13 na notação de vetores unitários como
iNF ˆ)1005,2( 2413

Exemplo 9: Força Total por Várias Partículas
 Eletricidade e Magnetismo28
Exemplo 9 (continuação):
A força total F1,tot exercida sobre a partícula 1 é a soma vetorial de F12 e F13. De acordo com da soma vetorial
das forças, podemos escrever a força total F1,tot exercida sobre a partícula 1, em termos dos vetores unitários,
como
iNF
iNiNF
FFF
tot
tot
tot
ˆ)1000,9(
ˆ)1005,2(ˆ)1015,1(
25
,1
2424
,1
1312,1








Assim, a força F1, tot tem o seguinte módulo e orientação (em relação ao sentido positivo do eixo x).
iN ˆ)1000,9( 25 00
 Eletricidade e Magnetismo29
A figura mostra duas partículas positivamente carregadas situadas
em pontos fixos do eixo x. As cargas são q1=1,60x10-19 C e q2=3,20x10-19 C e
a distância entre as cargas é R=0,0200 m. A partícula 4 tem uma carga q4=-
3,20x10-19 C, está a uma distância 3R/4 da partícula 1 e está em uma reta que
faz um ângulo ɵ=600 com o eixo x. Determine a força de atração eletrostática
F1,tot exercida sobre a partículas 1 pelas partículas 2 e 4.
Figura (e) Inclusão da
partícula 4. (f) Diagrama de
corpo livre da partícula 1.
Exemplo 10: Força Total por Várias Partículas
 
NF
m
CC
CmNF
r
qq
F
24
14
2
1919
229
14
2
41
0
14
1005,2
0200,0.4/3
)10.20,3).(10.60,1(
)/.1099,8(
)4/3(
.
4
1






NF
NNF
FFFFF
xtot
xtot
xxxtot
25
,,1
02424
,,1
0
1412,14,12,,1
1025,1
60cos).1005,2()1015,1(
60cos.








 Eletricidade e Magnetismo30
Exemplo 10 (continuação):
Somando as componentes y, temos:
NF
senNF
senFFFF
ytot
ytot
yyytot
24
,,1
024
,,1
0
14,14,12,,1
1078,1
60).1005,2(
60.0








O módulo da força F1,tot é dado por
NFFF ytottot xtot
242
,,1
2
,1 1078,1)()( ,,1

Para determinar a orientação de F1,tot , calculamos
.0,86tan 0,,11
,,1









 
xtot
F
F ytot
Entretando, este resultado não é razoável, já quea orientação de F1,tot deve estar entre as orientações de F1,2
e F14. Para obter o valor correto de ɵ, somamos 1800, o que nos dá
000 0,941800,86 
 Eletricidade e Magnetismo31
Exemplo 11 (Equilíbrio de Duas Forças):
A figura mostra duas partículas fixas: uma partícula de carga
q1=+8q na origem e uma partícula de carga q2=-2q em x=L. Em que ponto
(que não esteja a uma distância infinita das cargas) um próton pode ser
colocado de modo a ficar em equilíbrio (sem estar submetido a nenhuma
força)? O equilíbrio é estável ou instável? (Ou seja, se o próton sofrer um
pequeno deslocamento, as forças o farão voltar à posição de equilíbrio?)
21
0
FF
F


2
0
2
0
2
2
2
0
2
1
1
0
)(
.2
4
1
)(
.8
4
1
)(
.
4
1
)(
.
4
1
Lx
qq
x
qq
x
qq
x
qq
pp
pp





Lx
Lxx
2
)(
1
)(
4
22



 Eletricidade e Magnetismo32
Exemplo 11 (continuação):
O equilíbrio no ponto x = 2L é instável. Quando o próton é
deslocado para a esquerda em relação ao ponto R, F1 e F2 aumentam, mas
F2 aumenta mais (porque q2 está mais próxima que q1), e a força resultante
faz com que o próton continue a se mover para a esquerda até se chocar
com a carga q. Quando o próton é deslocado para a direita em relação ao
ponto R, F1 e F2 diminuem, mas F2 diminui mais, e a força resultante faz
com que o próton continue a se mover indefinidamente para a direita. Se o
equilíbrio fosse estável, o próton voltaria à posição inicial depois de ser
deslocado ligeiramente para a esquerda ou para a direita.
 Eletricidade e Magnetismo33
Exemplo 12:
 Eletricidade e Magnetismo34
Exemplo 13:
 Eletricidade e Magnetismo35