Questão resolvida - 5 Questão Resolva as seguintes integrais por substituição - Letras a) e b) - Cálculo II - UFBA

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Resolva as seguintes integrais por substituição:
 
a) x dx∫ 2x+ 1
 
Resolução:
 
Vamos fazer uma substituição para retirar a raiz;
 
u = 2x+ 1 2x+ 1 = u 2x = u - 1 x = x = -2 → 2 → 2 →
u - 1
2
2
→
u
2
2 1
2
Vamos, então, encontrar dx;
 
dx = du dx = udu
2u
2
→
Substituindo na integral, fica;
 
x dx = udu = u - 1 u du = u - u du∫ 2x+ 1 ∫u - 1
2
2
u
2 1
2
∫ 2 2 1
2
∫ 4 2
 
Agora, temos uma função expressão polinomial, cuja integral pode ser encontrada 
facilmente;
 
u - u du = - = - + c
1
2
∫ 4 1
2
u
4 + 1
4+1( ) u
2 + 1
2+1( ) 1
2
u
5
5 u
3
3
Mas: , a solução da integral é;u = 2x+ 1 u =2 → 2x+ 1
 
x dx = - + c = - + c∫ 2x+ 1 1
2 5
2x+ 1
5
3
2x+ 1
3
1
2
2x+ 1
5
( )
1
2
5
2x+ 1
3
( )
1
2
3
 
x dx = - + c∫ 2x+ 1 1
2
2x+ 1
5
( )
5
2 2x+ 1
3
( )
3
2
 
 
 
(Resposta )
 
b) dx∫
+ 1
2
x
4
x
 
Resolução:
 
Vamos fazer, mais uma vez, uma substituição para retirar a raiz;
 
x = u dx = 2udu2 →
Substituindo na integral, fica;
 
dx = 2udu = 2udu = u+ 1 du∫
+ 1
2
x
4
x
∫
+ 1
2
u2
4
u
2
∫ u+ 1
2u
( )4 ∫( )4
 
Agora, é preciso fazer uma nova substituição;
 
t = u+ 1 dt = du→
Com isso, a integral fica;
 
u+ 1 du = t dt∫( )4 ∫ 4
Resolvendo;
 
t dt = + c ∫ 4 t
5
5
Temos que voltar para a variável x, sabemos que: , então;t = u+ 1
 
+ c = + c 
t
5
5
u+ 1
5
( )5
Sabemos que , temos que colocar u em função de x, então, fazemos;x = u2
 
x = u u = x u =2 → 2 → x
 
 
 
 
 
 
Substituindo, a solução da integral fica;
 
dx = + c ∫
+ 1
2
x
4
x
+ 1
5
x
5
 
 
(Resposta )