Questão resolvida - 5 Questão_ Resolva as seguintes integrais por substituição_ Letras c) e d) - Cálculo II - UFBA

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Resolva as seguintes integrais por substituição:
 
c) dx∫ x x + 1x
 
Resolução:
 
Vamos fazer uma substituição para retirar a raiz;
 
x = u dx = 2udu2 →
Substituindo na integral, fica;
 
dx = 2udu = 2 u du = 2 u du∫ x x + 1x ∫ u2 u + 12 u2 ∫ 2 u u+ 12 ∫ u + 13 2
 
Agora, vamos fazer uma nova substituição;
 
t = u + 1 dt = 3u du = u du3 → 2 →
dt
3
2
Substituindo e resolvendo;
 
2 u du = 2 = t dt = = = = ⋅ t = t + c∫ u + 13 2 ∫ t dt
3
2
3
∫
1
2
2
3
t
+ 1
+1
1
2
1
2
2
3
t
1 + 2
2
1+2
2
2
3
t
3
2
3
2
2
3
2
3
3
2
4
9
3
2
Temos que , substituindo;t = u + 13
 
t + c = u + 1 + c
4
9
3
2
4
9
3
3
2
, isolando u fica;x = u2
 
x = u u = x u =2 → 2 → x
 
Assim, o resultado da integração é:
 
 
 
dx = + 1 + c = x + 1 + c∫ x x + 1x 4
9
x
3
3
2 4
9
1
2
3
3
2
 
dx = x + 1 + c = x + 1 + c = xx + 1 + c∫ x x + 1x 4
9
3
2
3
2
4
9
3
1
2
3
2
4
9
2
1
2
3
2
 
dx = x ⋅ x + 1 + c = x ⋅ x + 1 + c∫ x x + 1x 4
9
( )
1
2 2
1
2
3
2
4
9
1
2
2
2
3
2
 
dx = x + 1 + c∫ x x + 1x 4
9
x
3
2
 
d) x dx∫ 3 x + 12
 
Resolução:
 
Vamos fazer uma substituição para possibilitar a integração;
 
u = x + 1 du = 2xdx = xdx2 → →
du
2
Temos também que;
 
u = x + 1 x = u - 12 → 2
 
Reescrevendo a integral e substituindo, fica;
 
x dx = x xdx = u - 1 = u du - du∫ 3 x + 12 ∫ 2 x + 12 ∫( ) udu
2
1
2
∫ u 1
2
∫ u
 
= uu du - u du = u du - + c = u du - + c
1
2
∫
1
2
1
2
∫
1
2
1
2
∫
1+
1
2 1
2
u
+ 1
+1
1
2
1
2
1
2
∫
2 + 1
2
1
2
u
2 + 1
2
2+1
2
 
 
(Resposta )
 
= u du - + c = - u + c = - u + c = u - u + c
1
2
∫
3
2
1
2
u
3
2
3
2
1
2
u
+ 1
+1
3
2
3
2
1
2
2
3
3
2
1
2
u
5
2
5
2
1
3
3
2
1
2
2
5
5
2
1
3
3
2
x dx = u - u + c = u - u + c = u ⋅ u - u ⋅ u + c∫ 3 x + 12 1
5
5
2
1
3
3
2
1
5
5
1
2 1
3
3
1
2 1
5
4
1
2 1
3
2
1
2
 
= u u - u ⋅ u + c = u u - uu + c = u - u + c
1
5
1
2
4
2
1
3
1
2
2
2
1
5
2
1
2
1
3
1
2
1
5
2 u
1
3
u
 
Sabemos que , substituindo, fica;u = x + 12
 
x dx = x + 1 - x + 1 + c∫ 3 x + 12 1
5
2
2
x + 12
1
3
2 x + 12
Simplificando, temos que a solução final da integral é:
 
x dx = x + 1 x + 1 - + c∫ 3 x + 12 2 x + 12 1
5
2
1
3
 
 
(1)
(Resposta )