pdfcoffee com_modulo-2-dimensionamento-de-lajes-betaoi-upplusagosto-pluspdf-pdf-free

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE TÉCNICA DE MOÇAMBIQUE 
FACULDADE DE CIÊNCIAS TECNOLOGICAS 
LICENCIATURA EM ENGENHARIA E GESTĀO DA CONSTRUÇĀO 
Av. 25 de Setembro, n.o 2500, Tel./Fax: +258 21402161 Maputo 
 
 
 
Betão I - Módulo II – Dimensionamento de Lajes 
Elaborado por: Arsénio Zandamela 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Maputo, Marco de 2018 
 
 
 
 
...paute pela responsabilidade ambiental imprimindo frente e verso.... 
DISCIPLINA - BETĀO ARMADO I
MÓDULO II 
- DIMENSIONAMENTO DE LAJES - 
 
UNIVERSIDADE TÉCNICA DE MOÇAMBIQUE 
FACULDADE DE CIÊNCIAS TECNOLOGICAS 
LICENCIATURA EM ENGENHARIA E GESTĀO DA CONSTRUÇĀO 
Av. 25 de Setembro, n.o 2500, Tel./Fax: +258 21402161 Maputo 
 
 
 
Betão I - Módulo II – Dimensionamento de Lajes 
Elaborado por: Arsénio Zandamela 
 
2 
 
 
Introdução 
 
A presente Sebenta de apoio às aulas para os estudantes do curso de Engenharia e 
Gestão da Construção da Universidade Técnica de Moçambique (UDM) têm como 
objectivo facilitar e orientar o acompanhamento das aulas e suprir a reduzida a carga 
horária disponivel (1,5 h/semanais). A Sebenta é constituída por apontamentos de 
forma sintéctica que não dispensa a consulta da restante bibliografia proposta. 
 
Esta é a nossa proposta para o estudo desta disciplina. Ao recebê-la, sinta-se como um 
actor que se apropria de um documento para expressar a sua inteligência, reflexão e 
emoção, pois é também o(a) autor(a) no processo da sua formação em Engenharia e 
Gestão da Construção. Deve-se realçar que o essencial do ensino do betão estrutural 
é a transmissão do conhecimento sobre as características do comportamento estrutural 
e fundamentação dos modelos de cálculo, aspectos que se repercutem depois, 
naturalmente, nas prescrições normativas, com algumas variações. 
Referenciar que Moçambique não têm normas actualizadas que vão de encontro com 
a evolução tecnológica dos materiais,portanto, serão referidas na disciplina as normas 
europeias (Eurocódigos 0,1 e 2) sem prejuízo do REBAP – Regulamento de 
Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado) e o RSA- regulamento de Segurança e 
Acções para Estruturas de Edifícios e Pontes. É objectivo geral do presente módulo é 
de atribuir competências ao aluno para proceder o dimensionamento de lajes.São 
igualmente objectivos específicos: 
• Classificar as lajes; 
• Saber que passos dever ser observados para o dimensionamento de uma 
estrutura de betão armado;; 
• Saber dimensionar as lajes armadas numa direcção; 
• Saber dimensionar as lajes armadas em duas direcçoes; 
• Saber dispor as armaduras nas lajes. 
UDM, Janeiro de 2018 
UNIVERSIDADE TÉCNICA DE MOÇAMBIQUE 
FACULDADE DE CIÊNCIAS TECNOLOGICAS 
LICENCIATURA EM ENGENHARIA E GESTĀO DA CONSTRUÇĀO 
Av. 25 de Setembro, n.o 2500, Tel./Fax: +258 21402161 Maputo 
 
 
 
Betão I - Módulo II – Dimensionamento de Lajes 
Elaborado por: Arsénio Zandamela 
 
3 
 
Índice 
1. Lajes - Definição .................................................................................... 6	
  
1.1 Classificação das lajes ...................................................................... 6	
  
1.1.1 Classificação quanto ao tipo de apoio ........................................ 7	
  
1.1.2 Classificação quanto a constituição ........................................... 7	
  
1.1.3 Classificação quanto ao modo de inflexão ................................. 9	
  
1.1.4 Modo de fabrico ......................................................................... 9	
  
1.2 Diagrama lógico para o dimensionamento de estruturas de betão 
armado. ................................................................................................... 9	
  
2. Pré –dimensionamento ......................................................................... 10	
  
2.2.1 Peso Próprio da laje ................................................................. 13	
  
2.2.2 Peso Próprio das paredes ......................................................... 13	
  
3. Verificação de segurança quanto aos estados limites últimos ............. 18	
  
3.1 Verificação do esforço transverso .................................................. 19	
  
3.1.1 Verificação ao Estado Limite Último de Esforço Transverso 21	
  
3.1.2 Verificação ao Estado Limite Último de Esforço Transverso . 22	
  
3.1.3 Deformação .............................................................................. 23	
  
4 Lajes armadas numa direcção ............................................................... 24	
  
4.1 Dimensionamento das lajes armadas em duas direcções .............. 25	
  
4.2 Pré-dimensionamento das lajes armadas numa ou em duas 
direcções ............................................................................................... 25	
  
5 Lajes armadas em cruz .......................................................................... 32	
  
5.1 Método das bandas ......................................................................... 32	
  
5.1 Método de Czerny .......................................................................... 34	
  
5.1.1 Passos para usar a tabela de Czerny ........................................ 35	
  
5.2 Método de Marcus .......................................................................... 35	
  
6. Disposições Construtivas .................................................................... 42	
  
6.1 Disposições das armadura ............................................................. 43	
  
6.2 Armadura de bordo simplesmente apoiado ................................. 44	
  
6.3 Armadura de bordo ..................................................................... 44	
  
6.4 Espaçamento máximo da armadura ........................................... 45	
  
6.5 Quantidade mínima e máximo da armadura ................................. 45	
  
6.6 Posição das armaduras ................................................................... 46	
  
6.7 Prazos para a demoldagem e descimbramento ............................. 47	
  
6.8 Recobrimento mínimo das armaduras .......................................... 49	
  
7. Bibliografia .......................................................................................... 50	
  
ANEXOS ................................................................................................. 53	
  
 
UNIVERSIDADE TÉCNICA DE MOÇAMBIQUE 
FACULDADE DE CIÊNCIAS TECNOLOGICAS 
LICENCIATURA EM ENGENHARIA E GESTĀO DA CONSTRUÇĀO 
Av. 25 de Setembro, n.o 2500, Tel./Fax: +258 21402161 Maputo 
 
 
 
Betão I - Módulo II – Dimensionamento de Lajes 
Elaborado por: Arsénio Zandamela 
 
4 
 
 
 
 
Lista de Figuras 
 
Figura 1- Laje solicitada perpendicularmente ........................................... 6	
  
Figura 2- Lajes vigadas e com capiteis ...................................................... 8	
  
Figura 3- Lajes fungiformes ...................................................................... 8	
  
Figura 4- Ensoleiramento geral .................................................................. 8	
  
Figura 5- Laje nervurada ............................................................................ 8	
  
Figura 6- Laje com vigotas ........................................................................ 8	
  
Figura 7- Laje mistas ................................................................................. 8	
  
Figura 8- Peso próprio da laje .................................................................. 13	
  
-	
   Figura 9- Peso da parede paralela a direcção principal da laje .......... 15	
  
Figura 10- Peso próprio da parede na perpendicular a direcção principal 
da laje ................................................................................................ 16	
  
Figura 11- Compatibilização dos momentos ........................................... 18	
  
Figura 12- Lajes vigadas e com capiteis .................................................. 18	
  
Figura 13- Efeitoarco e consola em lajes .............................................. 20	
  
Figura 14- Laje armada numa direcção ................................................... 24	
  
Figura 15- Transferência de esforços de laje armada numa direcção ...... 25	
  
Figura 16- Transferência de esforços da laje para a viga, pilares e sapatas
 ........................................................................................................... 25	
  
Figure 17- Disposições construtivas da laje ........................................... 42	
  
Figure 18 - Disposições construtivas das armaduras de lajes continuas 43	
  
Figura 19- Fissuração devido ao esforço transverso ................................ 43	
  
Figura 20- Armadura de bordo ................................................................ 44	
  
Figura 21- Esquema da Armadura de bordo ............................................ 44	
  
Figura 22- Espaçadores ............................................................................ 46	
  
Figura 23- Cavaletes ................................................................................ 47	
  
Figure 24 - Disposições construtivas das armaduras de lajes continuas 49	
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE TÉCNICA DE MOÇAMBIQUE 
FACULDADE DE CIÊNCIAS TECNOLOGICAS 
LICENCIATURA EM ENGENHARIA E GESTĀO DA CONSTRUÇĀO 
Av. 25 de Setembro, n.o 2500, Tel./Fax: +258 21402161 Maputo 
 
 
 
Betão I - Módulo II – Dimensionamento de Lajes 
Elaborado por: Arsénio Zandamela 
 
5 
 
Lista de Tabelas 
 
Tabela 1- Diagrama lógico para o dimensionamento de estruturas ......... 10	
  
Tabela 2 – Vão teórico ............................................................................. 11	
  
Tabele 3 - Valores das acções .................................................................. 11	
  
Tabela 4 – Tabela de Sobrecargas ........................................................... 13	
  
Table 5 -Tabela de valores de τ1 .............................................................. 22	
  
Tabela 6- Quadro do coeficiente αda espessura mínima das lajes (artigo 
102o REBAP) .................................................................................... 27	
  
Tabla 7 – Prazos mínimos para a desmoldagem e descimbramento ........ 48	
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE TÉCNICA DE MOÇAMBIQUE 
FACULDADE DE CIÊNCIAS TECNOLOGICAS 
LICENCIATURA EM ENGENHARIA E GESTĀO DA CONSTRUÇĀO 
Av. 25 de Setembro, n.o 2500, Tel./Fax: +258 21402161 Maputo 
 
 
 
Betão I - Módulo II – Dimensionamento de Lajes 
Elaborado por: Arsénio Zandamela 
 
6 
 
1. Lajes - Definição 
As lajes são elementos estruturais que constituem os pisos e coberturas 
dos edifícios e as plataformas de outro tipo de construções cuja função é 
formar superfícies planas horizontais ou inclinadas possibilitando a 
circulação e a colocação de equipamentos. 
As lajes são normalmente solicitadas por cargas perpendiculares ao seu 
plano médio. Tratando-se de elementos em que as dimensões em planta 
são muito superiores à espessura apresentam um comportamento 
bidimensional. 
 
 
Figura 1- Laje solicitada perpendicularmente 
 
1.1 Classificação das lajes 
 
Uma classificação de lajes não é, em si, necessária e, em situações 
concretas, é, por vezes, difícil classificar uma dada solução. No entanto, 
em termos de ensino e de compreensão inicial das características do seu 
comportamento é muito útil. É assim que se apresenta, seguidamente, as 
denominações usuais para as lajes consoante o tipo de apoio, 
constituição, modo de flexão dominante e forma de fabrico. 
 
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II 
 
 70 
2. Introdução ao Dimensionamento de Lajes de Betão Armado 
As lajes são elementos estruturais que constituem os pisos e coberturas dos edifícios e 
as plataformas de outro tipo de construções cuja função é formar superfícies planas 
horizontais ou inclinadas possibilitando a circulação e a colocação de equipamentos. 
As lajes são normalmente solicitadas por cargas perpendiculares ao seu plano médio. 
Tratando-se de elementos em que as dimensões em planta são muito superiores à 
espessura apresentam um comportamento bidimensional. 
 
 
2.1. CLASSIFICAÇÃO DE LAJES 
Uma classificação de lajes não é, em si, necessária e, em situações concretas, é, por 
vezes, difícil classificar uma dada solução. No entanto, em termos de ensino e de 
compreensão inicial das características do seu comportamento é muito útil. É assim que 
se apresenta, seguidamente, as denominações usuais para as lajes consoante o tipo de 
apoio, constituição, modo de flexão dominante e forma de fabrico. 
2.1.1. Tipo de Apoio 
� Lajes vigadas (apoiadas em vigas) 
� Lajes fungiformes (apoiadas directamente em pilares) 
� Lajes em meio elástico (apoiadas numa superfície deformável – 
ensoleiramentos, por exemplo) 
Nas figuras seguintes apresentam-se soluções tipo de lajes vigada e fungiforme (esta 
com capiteis). 
 
UNIVERSIDADE TÉCNICA DE MOÇAMBIQUE 
FACULDADE DE CIÊNCIAS TECNOLOGICAS 
LICENCIATURA EM ENGENHARIA E GESTĀO DA CONSTRUÇĀO 
Av. 25 de Setembro, n.o 2500, Tel./Fax: +258 21402161 Maputo 
 
 
 
Betão I - Módulo II – Dimensionamento de Lajes 
Elaborado por: Arsénio Zandamela 
 
7 
 
1.1.1 Classificação quanto ao tipo de apoio 
 
! Lajes vigadas (apoiadas em vigas); 
! Lajes fungiformes (apoiadas directamente em pilares); e 
! Lajes em meio elástico (apoiadas numa superfície deformável – 
ensoleiramentos, por exemplo). 
Nas figuras seguintes apresentam-se soluções tipo de lajes vigada e 
fungiforme (esta com capiteis). 
 
1.1.2 Classificação quanto a constituição 
 
• Monolíticas (só em betão armado) 
! Maciças (com espessura constante ou de variação contínua) 
! Aligeiradas 
! Nervuradas 
 
• Mistas (constituídas por betão armado, em conjunto com outro 
material) 
 · Vigotas pré-esforçadas 
 · Perfis metálicos 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE TÉCNICA DE MOÇAMBIQUE 
FACULDADE DE CIÊNCIAS TECNOLOGICAS 
LICENCIATURA EM ENGENHARIA E GESTĀO DA CONSTRUÇĀO 
Av. 25 de Setembro, n.o 2500, Tel./Fax: +258 21402161 Maputo 
 
 
 
Betão I - Módulo II – Dimensionamento de Lajes 
Elaborado por: Arsénio Zandamela 
 
8 
 
 
 
Figura 2- Lajes vigadas e com capiteis Figura 3- Lajes fungiformes 
 
 
Figura 4- Ensoleiramento geral Figura 5- Laje nervurada 
 
 
Figura 6- Laje com vigotas Figura 7- Laje mistas 
 
 
 
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II 
 
 71 
Refira-se também que há muitas situações práticas em que as lajes nalgumas zonas se 
apoiam em vigas e, noutras, directamente em pilares. 
 
 
2.1.2. Constituição 
� Monolíticas (só em betão armado) 
x Maciças (com espessura constante ou de variação contínua) 
x Aligeiradas 
x Nervuradas 
� Mistas (constituídas por betão armado, em conjunto com outro material) 
x Vigotas pré-esforçadas 
x Perfis metálicos 
2.1.3. Modo de flexão dominante 
� Lajes “armadas numa direcção” (comportamento predominantemente 
unidireccional) 
� Lajes “armadas em duas direcções” (comportamento bidireccional) 
Saliente-se, como se verá adiante, que as lajes têm sempre armaduras nas duas 
direcções. Esta denominação usual tem a ver, como referido, com a forma principal de 
comportamento. 
2.1.4. Modo de fabrico 
� Betonadas “in situ” 
� Pré-fabricadas 
x Totalmente (exemplo: lajes alveoladas) 
x Parcialmente (exemplo: pré-lajes) 
UNIVERSIDADE TÉCNICA DE MOÇAMBIQUE 
FACULDADE DE CIÊNCIAS TECNOLOGICAS 
LICENCIATURA EM ENGENHARIA E GESTĀO DA CONSTRUÇĀO 
Av. 25 de Setembro, n.o 2500, Tel./Fax: +258 21402161 Maputo 
 
 
 
Betão I - Módulo II – Dimensionamento de Lajes 
Elaborado por: Arsénio Zandamela 
 
9 
 
1.1.3 Classificação quanto ao modo de inflexão 
 
• Lajes “armadas numa direcção” (comportamento 
predominantemente unidireccional); 
 
𝐿𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟
𝐿  𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
  ≥ 2 
Eq. 1 
 
 
 
• Lajes“armadas em duas direcções” (comportamento 
bidireccional). 
 
𝐿𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟
𝐿  𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
< 2 
Eq. 2 
 
Nota: Saliente-se, como se verá adiante, as lajes têm sempre armaduras 
nas duas direcções. Numa laje armada numa direcção teremos 
armadura principal no menor vão, e no maior vão é colocada armadura 
de distribuição (Ad=1/5.As). Nas lajes armadas em duas direcção temos 
armadura principal nas duas direcções. 
 
1.1.4 Modo de fabrico 
 
! Betonadas “in situ” 
! Pré-fabricadas 
 · Totalmente (exemplo: lajes alveoladas) 
 · Parcialmente (exemplo: pré-lajes) 
 
1.2 Diagrama lógico para o dimensionamento de estruturas de betão 
armado. 
 
UNIVERSIDADE TÉCNICA DE MOÇAMBIQUE 
FACULDADE DE CIÊNCIAS TECNOLOGICAS 
LICENCIATURA EM ENGENHARIA E GESTĀO DA CONSTRUÇĀO 
Av. 25 de Setembro, n.o 2500, Tel./Fax: +258 21402161 Maputo 
 
 
 
Betão I - Módulo II – Dimensionamento de Lajes 
Elaborado por: Arsénio Zandamela 
 
10 
 
 
 
Tabela 1- Diagrama lógico para o dimensionamento de estruturas 
Fonte: Butelho et al 
2. Pré –dimensionamento 
 
A espessura das lajes é condicionada por: 
! Resistência – flexão e esforço transverso 
! Características de utilização – Deformabilidade, isolamento 
sonoro, vibrações, protecção contra incêndio, etc. 
A espessura das lajes varia em função do vão. No que se refere a lajes 
maciças, em geral, a sua espessura varia entre 0.12 m e 0.30 m. O valor 
inferior é, em geral desaconselhável, até porque com as exigências 
actuais de recobrimento a sua eficiência à flexão é muito reduzida, como 
UNIVERSIDADE TÉCNICA DE MOÇAMBIQUE 
FACULDADE DE CIÊNCIAS TECNOLOGICAS 
LICENCIATURA EM ENGENHARIA E GESTĀO DA CONSTRUÇĀO 
Av. 25 de Setembro, n.o 2500, Tel./Fax: +258 21402161 Maputo 
 
 
 
Betão I - Módulo II – Dimensionamento de Lajes 
Elaborado por: Arsénio Zandamela 
 
11 
 
se compreende. Por outro lado, para espessuras acima dos 0.30 m, o 
recurso a soluções aligeiradas é quase obrigatório, no sentido de 
aliviar o peso da solução. Excluem-se as zonas de capiteis onde o efeito 
do peso dessas zonas na flexão é reduzido. 
2.1 Vão teórico 
 
! Vão livre (l0): Distância entre as faces dos apoios ou da 
extremidade livre até́ a face do apoio; 
 
! Vão teórico (l): 
Para vigas simplesmente 
apoiadas menor de: 
- vão livre + 1/3 da largura de 
cada apoio na direcção do vão. 
- vão livre + altura da laje 
Para vigas continuas menor de: 
- distancia entre os eixos dos 
apoios 
Para vigas em consolas, mnor 
dos valores: 
- distancia entre os eixos 
dos apoios 
- - vão livre + altura da laje 
Tabela 2 – Vão teórico 
2.1 Acções a considerar 
As acções devem ser classificadas de acordo com a variação no tempo 
em acções permanentes (G), variáveis (Q) ou acidentais (A). 
Tipo de acções Exemplos 
(G) permanentes Peso próprio estrutura, dos equipamentos fixos, 
revestimentos 
(Q) variáveis Sobrecargas dos pavimentos, das vigas e da 
coberturas dos edifícios, a acção do vento e da neve 
(A) acidentais Explosões, os incêndios, acidentes, os choques 
causados pelos veículos 
Tabele 3 - Valores das acções 
No entanto, as acções ou carregamentos a se considerar nas lajes são 
UNIVERSIDADE TÉCNICA DE MOÇAMBIQUE 
FACULDADE DE CIÊNCIAS TECNOLOGICAS 
LICENCIATURA EM ENGENHARIA E GESTĀO DA CONSTRUÇĀO 
Av. 25 de Setembro, n.o 2500, Tel./Fax: +258 21402161 Maputo 
 
 
 
Betão I - Módulo II – Dimensionamento de Lajes 
Elaborado por: Arsénio Zandamela 
 
12 
 
os mais variados, desde pessoas até móveis, equipamentos fixos ou 
móveis, divisórias, paredes, água, solo, etc. As lajes atuam recebendo 
as cargas de utilização e transmitindo-as para os apoios, geralmente vigas 
nas bordas. Nos edifícios as lajes ainda têm a função de atuarem como 
diafragmas rígidos (elemento de rigidez infinita no seu próprio plano), 
distribuindo os esforços horizontais do vento para as estruturas de 
contraventamento (pórticos, paredes, núcleos de rigidez, etc.), 
responsáveis pela estabilidade global dos edifícios. 
Sobrecarga em Coberturas 
Item Designação Valor da 
Sobrecarga 
(kN/m2) 
Observação 
1 Coberturas ordinárias 0.3 
2 Terraços nao acessíveis 1 
3 Terraços acessíveis 2 
Sobrecarga em Pavimentos 
1 Compartimentos destinados a utilização de 
carácter privado 
2 Habitações, quartos de hotel, quartos 
e pequenas enfermarias de hospital 
Em habitações com áreas inferiores a 20m2 1.5 
2 Compartimentos destinados a utilização de 
carácter colectivo (sem concentração 
especial) 
3 Dormitórios, salas de aulas, 
escritórios em geral, salas de 
tratamento em hospitais 
3 Compartimentos destinados a utilização de 
carácter colectivo (com média concentração 
) 
4 Salas de vendas, salas de venda ao 
publico, salas de espetáculos com 
cadeiras fixas, zonas acessíveis ao 
público de edifícios públicos, salas 
de espera, restaurantes, cafés, 
escritórios com equipamento pesado, 
cozinhas de hotéis e restaurantes, 
garagem para automóveis ligeiros 
particulares, etc.) 
4 Compartimentos destinados a utilização de 
carácter colectivo (com elevada 
concentração ) 
5 Igrejas, salões de festas, ginásios, 
salas de espectaculos com cadeiras 
amovíveis, arquivos, oficinas de 
industria ligeira, garagem para 
UNIVERSIDADE TÉCNICA DE MOÇAMBIQUE 
FACULDADE DE CIÊNCIAS TECNOLOGICAS 
LICENCIATURA EM ENGENHARIA E GESTĀO DA CONSTRUÇĀO 
Av. 25 de Setembro, n.o 2500, Tel./Fax: +258 21402161 Maputo 
 
 
 
Betão I - Módulo II – Dimensionamento de Lajes 
Elaborado por: Arsénio Zandamela 
 
13 
 
automóveis ligeiros publicos, etc.) 
5 Compartimentos destinados a utilização de 
carácter colectivo (com muita elevada 
concentração ) 
6 Estádios e recintos desportivos 
analogos 
 
Tabela 4 – Tabela de Sobrecargas 
Fonte: Adaptado do RSA 
 
 
2.2.1 Peso Próprio da laje 
 
O peso próprio da laje é o peso do betão armado que forma a laje 
maciça. Para o peso específico do betão armado (γbetao= 25kN/m3). O 
peso próprio para lajes com espessura constante é uniformemente 
distribuído na área da laje, e para um metro quadrado de laje pode 
ser calculado como: 
G= γbetão x h = 25kN/m3 x h Eq. 3 
 
 
Figura 8- Peso próprio da laje 
 
 
2.2.2 Peso Próprio das paredes 
 
2.2.2.1 Para lajes armadas em duas direcções: 
 
UNESP(Bauru/SP) – Lajes de Concreto 
 
7 
 Para determinação das ações atuantes nas lajes deve-se recorrer às normas NBR 6118, NBR 8681 e NBR 
6120, entre outras pertinentes. As ações peculiares das lajes de cada obra também devem ser cuidadosamente 
avaliadas. Se as normas brasileiras não tratarem de cargas específicas, pode-se recorrer a normas estrangeiras, na 
bibliografia especializada, com os fabricantes de equipamentos mecânicos, de máquinas, etc. 
 Nas construções de edifícios correntes, geralmente as ações principais a serem consideradas são as ações 
permanentes (g) e as ações variáveis (q), chamadas pela norma de carga acidental, termo esse inadequado. 
 As principais ações permanentes diretas que devem ser verificadas e determinadas são as apresentadas a 
seguir. 
 
3.4.1 Peso Próprio 
 
O peso próprio da laje é o peso do concreto armado que forma a laje maciça. Para o peso específico do 
concreto armado (Jconc) a NBR 6118 indica o valor de 25 kN/m3. O peso próprio para lajes com espessura 
constante é uniformemente distribuído na área da laje, e para um metro quadrado de laje (Figura 11) pode ser 
calculado como: 
 
gpp = Jconc . h = 25 . h Eq. 6 
 
com: gpp = peso próprio da laje (kN/m2); 
 h = altura da laje (m). 
1 m
1 m
h
 
Figura 11 – Peso próprio calculado para 1 m2 de laje. 
 
3.4.2 Contrapiso 
 
 A camada de argamassa colocada logo acima do concreto da superfície superior das lajes recebe 
o nome de contrapiso ou argamassa de regularização. A sua função é de nivelar e diminuir a rugosidade 
da laje, preparando-a para receber o revestimento de piso final. 
 A espessura do contrapiso deve ser cuidadosamente avaliada. Recomenda-se adotar espessura não 
inferiora 3 cm. A argamassa do contrapiso tem comumente o traço 1:3 (em volume), sendo considerado o peso 
específico (Jcontr) de 21 kN/m3, conforme a NBR 6120. 
 A ação permanente do contrapiso é função da espessura (e) do contrapiso: 
 
gcontr = Jcontr . e = 21 . e Eq. 7 
 
com: gcontr = carga permanente do contrapiso (kN/m2); 
 e = espessura do contrapiso (m). 
 
3.4.3 Revestimento do Teto 
 
 Na superfície inferior das lajes (teto do pavimento inferior) é padrão executar-se uma camada de 
revestimento de argamassa, sobreposta à camada fina de chapisco. Para essa argamassa, menos rica em cimento, 
pode-se considerar o peso específico (Jrev) de 19 kN/m3, conforme a NBR 6120. 
 De modo geral, este revestimento tem pequena espessura, mas recomenda-se adotar espessura não 
inferior a 1,5 ou 2 cm. Para o revestimento de teto a ação permanente é: 
 
grev. teto = Jrev . e = 19 . e Eq. 8 
 
com: grev. teto = carga permanente do revestimento do teto (kN/m2); 
 e = espessura do revestimento (m). 
UNIVERSIDADE TÉCNICA DE MOÇAMBIQUE 
FACULDADE DE CIÊNCIAS TECNOLOGICAS 
LICENCIATURA EM ENGENHARIA E GESTĀO DA CONSTRUÇĀO 
Av. 25 de Setembro, n.o 2500, Tel./Fax: +258 21402161 Maputo 
 
 
 
Betão I - Módulo II – Dimensionamento de Lajes 
Elaborado por: Arsénio Zandamela 
 
14 
 
Para as lajes armadas em duas direcções considera-se, 
simplificadamente, a carga da parede uniformemente distribuída na 
área da laje, de forma que a carga é o peso total da parede dividido 
pela área da laje, isto é: 
 
𝐺  𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒 =   !  !"#$%$
!  !"#$
=   !  !"#$%$  !  !  !  !  !  !
!  !"#$
 (3) 
 
γparede = peso específico da unidade de alvenaria que compõe a parede 
(kN/m3); 
Gpar = carga uniforme da parede (kN/m2); 
e = espessura total da parede (m); 
h = altura da parede (m); 
ℓ = comprimento da parede sobre a laje (m); 
Alaje =área da laje(m2 )= ℓx .ℓy 
 
Nota: Para blocos cerâmicos furados recomenda o peso específico 
(γalv) de 14,5 kN/m3 e para tijolos maciços cerâmicos 18 kN/m3. 
 
Ao se considerar o peso específico da unidade de alvenaria para toda 
a parede está se cometendo um erro, pois os pesos específicos das 
argamassas de revestimento e de assentamento são diferentes do 
peso específico da unidade de alvenaria. O peso específico das 
paredes correto pode ser calculado considerando-se os pesos 
específicos dos materiais individualmente. 
 
2.2.2.2 Para lajes armadas numa direcção: 
 
Para laje armada em uma direção há dois casos a serem analisados, 
em função da disposição da parede sobre a laje; 
• Para o caso de parede com direção paralela à direção 
principal da laje (direção do menor vão), considera-se 
simplificadamente a carga da parede distribuída 
UNIVERSIDADE TÉCNICA DE MOÇAMBIQUE 
FACULDADE DE CIÊNCIAS TECNOLOGICAS 
LICENCIATURA EM ENGENHARIA E GESTĀO DA CONSTRUÇĀO 
Av. 25 de Setembro, n.o 2500, Tel./Fax: +258 21402161 Maputo 
 
 
 
Betão I - Módulo II – Dimensionamento de Lajes 
Elaborado por: Arsénio Zandamela 
 
15 
 
uniformemente numa área da laje adjacente à parede, com 
largura de 2/3 ℓx, como mostrado na Figura 9 
 
 
- 
- Figura 9- Peso da parede paralela a direcção principal da laje 
A laje fica com duas regiões com carregamentos diferentes. Nas 
regiões I não ocorre a carga da parede, que fica limitada apenas à 
região II. Portanto, dois cálculos de esforços solicitantes necessitam 
serem feitos, para as regiões I e II. A carga uniformemente 
distribuída devida à parede, na faixa 2/3 ℓx é : 
 
𝐺  𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒 =  
3  𝑃  𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒
2      𝐿𝑥  𝐿𝑥 
Eq. 4 
 
 
Gpar = carga uniforme da parede na laje (kN/m2); 
 Ppar = peso da parede (kN); 
ℓx = menor vão da laje (m). 
 
• No caso de parede com direção perpendicular à direção 
UNESP(Bauru/SP) – Lajes de Concreto 
 
9 
com: gpar = carga uniforme da parede (kN/m2); 
 h = altura da parede (m); 
 " = comprimento da parede sobre a laje (m). 
 Alaje = área da laje (m2) = "x . "y 
 
 Para a espessura média dos revestimentos das paredes recomenda-se o valor de 2 cm, nos dois lados da 
parede. 
 
3.4.5.2 Laje Armada em Uma Direção 
 
 Para laje armada em uma direção há dois casos a serem analisados, em função da disposição da 
parede sobre a laje. Para o caso de parede com direção paralela à direção principal da laje (direção do menor 
vão), considera-se simplificadamente a carga da parede distribuída uniformemente numa área da laje adjacente à 
parede, com largura de 2/3 "x, como mostrado na Figura 12. 
"2/3 x
x"
y"
I II I
 
Figura 12 – Parede paralela à direção principal da laje armada em uma direção. 
 
 A laje fica com duas regiões com carregamentos diferentes. Nas regiões I não ocorre a carga da parede, 
que fica limitada apenas à região II. Portanto, dois cálculos de esforços solicitantes necessitam serem feitos, para 
as regiões I e II. 
 A carga uniformemente distribuída devida à parede, na faixa 2/3 "x é: 
 
2
x
par
xx
par
par 2
P3
.
3
2
P
g
"""
 Eq. 12 
 
com: gpar = carga uniforme da parede na laje (kN/m2); 
 Ppar = peso da parede (kN); 
 "x = menor vão da laje (m). 
 
 No caso de parede com direção perpendicular à direção principal, a carga da parede deve ser considerada 
como uma força concentrada na viga que representa a laje, como mostrado na Figura 13. O valor da força 
concentrada P, representativo da carga da parede, é: 
 
 1.h.e.P alvJ 
h.e.P alvJ Eq. 13 
 
com: P = força concentrada representativa da parede (kN); 
 Jalv = peso específico da parede (kN/m3); 
 e = espessura da parede (m); 
 h = altura da parede (m). 
UNIVERSIDADE TÉCNICA DE MOÇAMBIQUE 
FACULDADE DE CIÊNCIAS TECNOLOGICAS 
LICENCIATURA EM ENGENHARIA E GESTĀO DA CONSTRUÇĀO 
Av. 25 de Setembro, n.o 2500, Tel./Fax: +258 21402161 Maputo 
 
 
 
Betão I - Módulo II – Dimensionamento de Lajes 
Elaborado por: Arsénio Zandamela 
 
16 
 
principal, a carga da parede deve ser considerada como 
uma força concentrada na viga que representa a laje, como 
mostrado na Figura 10. O valor da força concentrada P, 
representativo da carga da parede, é: 
 
P=γalv .e.h.1m Eq. 5 
 
com: 
P = força concentrada representativa da parede (kN); 
γalv = peso específico da parede (kN/m3); 
e = espessura da parede (m); 
h = altura da parede (m). 
 
Figura 10- Peso próprio da parede na perpendicular a direcção principal da laje 
 
2.3 Compatibilização de momentos positivos e negativos 
Ao se considerar as lajes de um pavimento isoladas umas das outras, 
os momentos fletores negativos em uma borda comum a duas lajes 
contíguas são geralmente diferentes (ver figura abaixo). 
É possível a compatibilização dos momentos fletores negativos 
UNIVERSIDADE TÉCNICA DE MOÇAMBIQUE 
FACULDADE DE CIÊNCIAS TECNOLOGICAS 
LICENCIATURA EM ENGENHARIA E GESTĀO DA CONSTRUÇĀO 
Av. 25 de Setembro, n.o 2500, Tel./Fax: +258 21402161 Maputo 
 
 
 
Betão I - Módulo II – Dimensionamento de Lajes 
Elaborado por: Arsénio Zandamela 
 
17 
 
quando houver predominância de cargas permanentes, as lajes 
vizinhas podem ser consideradas isoladas, realizando-se a 
compatibilização dos momentos sobre os apoios de forma 
aproximada. No caso de análise plástica, a compatibilização pode ser 
realizada mediante alteração das razões entre momentos de borda e 
vão, em procedimento iteractivo, até a obtenção de valores 
equilibrados nas bordas. Permite-se, simplificadamente, a adoção do 
maior valor de momento negativo em vez de equilibrar os momentos 
de lajes diferentes sobre uma borda comum. 
Há muitos anos está consolidada na prática brasileira um método de 
compatibilização, onde o momento flector negativo (X) de duas lajes 
adjacentes é tomado como: 
 
Eq. 6 
 
Os momentos fletores positivos são corrigidos e aumentados, 
quando for o caso, conforme indicado no esquema mostrado na 
figura abaixo. Se ocorrer diminuição do momento flector (alívio), 
este não é considerado, sendo desprezado. Acrescente-se que a 
compatibilização dos momentospositivos e negativos deve ser feita 
nas duas direções da laje. 
UNESP(Bauru/SP) – Lajes de Concreto 
 
18 
P’x e P’y = coeficientes para cálculo dos momentos fletores negativos atuantes nas bordas perpendiculares 
às direções "x e "y , respectivamente; 
 p = valor da carga uniforme ou triangular atuante na laje (kN/m2); 
 "x = menor vão da laje (m). 
 
3.8.3 Compatibilização dos Momentos Fletores 
 
 Ao se considerar as lajes de um pavimento isoladas umas das outras, os momentos fletores negativos em 
uma borda comum a duas lajes contíguas são geralmente diferentes (ver Figura 24). 
 A NBR 6118 (item 14.7.6.2) permite que seja feita uma compatibilização dos momentos fletores 
negativos: “Quando houver predominância de cargas permanentes, as lajes vizinhas podem ser consideradas 
isoladas, realizando-se a compatibilização dos momentos sobre os apoios de forma aproximada. No caso de 
análise plástica, a compatibilização pode ser realizada mediante alteração das razões entre momentos de 
borda e vão, em procedimento iterativo, até a obtenção de valores equilibrados nas bordas. Permite-se, 
simplificadamente, a adoção do maior valor de momento negativo em vez de equilibrar os momentos de lajes 
diferentes sobre uma borda comum.” 
 Há muitos anos está consolidada na prática brasileira um método de compatibilização, onde o momento 
fletor negativo (X) de duas lajes adjacentes é tomado como: 
 
°̄
°
®
­
�t
2
XX
X8,0
X 21
1
 , com X1 ≥ X2 Eq. 24 
 
 Os momentos fletores positivos são corrigidos e aumentados, quando for o caso, conforme indicado no 
esquema mostrado na Figura 24. Se ocorrer diminuição do momento fletor (alívio), este não é considerado, sendo 
desprezado. Acrescente-se que a compatibilização dos momentos positivos e negativos deve ser feita nas duas 
direções da laje. 
A rigor, as relações apresentadas na Eq. 52, Eq. 53 e Eq. 54 devem ser verificadas, o que configura um 
trabalho laborioso, caso os cálculos sejam efetuados manualmente. Uma opção ao procedimento da 
compatibilização de momentos fletores é adotar para a borda comum a maior armadura negativa, que simplifica 
muito o cálculo e não resulta um procedimento antieconômico. 
M 1 2 MX21X 3XX2
1X
2X
M 1 X2
X3M 2 M 3
XA
BX
M 2M +1
X -1 AX
2 M +
X
2
X -3 B
3
X
2
X +1 2
0,8 X1{t { 0,8 XX2X +
2
3
3
M
M
Momentos fletores não
compatibilizados
Momentos fletores
compatibilizados
3M
t
 
Figura 24 – Compatibilização dos momentos fletores negativos e positivos. 
UNIVERSIDADE TÉCNICA DE MOÇAMBIQUE 
FACULDADE DE CIÊNCIAS TECNOLOGICAS 
LICENCIATURA EM ENGENHARIA E GESTĀO DA CONSTRUÇĀO 
Av. 25 de Setembro, n.o 2500, Tel./Fax: +258 21402161 Maputo 
 
 
 
Betão I - Módulo II – Dimensionamento de Lajes 
Elaborado por: Arsénio Zandamela 
 
18 
 
 
Figura 11- Compatibilização dos momentos 
3. Verificação de segurança quanto aos estados limites últimos 
 
O funcionamento das lajes relativamente à flexão é idêntico ao das vigas. 
A diferença reside no facto das vigas, sendo elementos lineares, 
apresentarem um comportamento unidirecional, enquanto as lajes, 
sendo elementos bidimensionais, apresentam um comportamento 
bidirecional. 
 
Figura 12- Lajes vigadas e com capiteis 
 
UNESP(Bauru/SP) – Lajes de Concreto 
 
18 
P’x e P’y = coeficientes para cálculo dos momentos fletores negativos atuantes nas bordas perpendiculares 
às direções "x e "y , respectivamente; 
 p = valor da carga uniforme ou triangular atuante na laje (kN/m2); 
 "x = menor vão da laje (m). 
 
3.8.3 Compatibilização dos Momentos Fletores 
 
 Ao se considerar as lajes de um pavimento isoladas umas das outras, os momentos fletores negativos em 
uma borda comum a duas lajes contíguas são geralmente diferentes (ver Figura 24). 
 A NBR 6118 (item 14.7.6.2) permite que seja feita uma compatibilização dos momentos fletores 
negativos: “Quando houver predominância de cargas permanentes, as lajes vizinhas podem ser consideradas 
isoladas, realizando-se a compatibilização dos momentos sobre os apoios de forma aproximada. No caso de 
análise plástica, a compatibilização pode ser realizada mediante alteração das razões entre momentos de 
borda e vão, em procedimento iterativo, até a obtenção de valores equilibrados nas bordas. Permite-se, 
simplificadamente, a adoção do maior valor de momento negativo em vez de equilibrar os momentos de lajes 
diferentes sobre uma borda comum.” 
 Há muitos anos está consolidada na prática brasileira um método de compatibilização, onde o momento 
fletor negativo (X) de duas lajes adjacentes é tomado como: 
 
°̄
°
®
­
�t
2
XX
X8,0
X 21
1
 , com X1 ≥ X2 Eq. 24 
 
 Os momentos fletores positivos são corrigidos e aumentados, quando for o caso, conforme indicado no 
esquema mostrado na Figura 24. Se ocorrer diminuição do momento fletor (alívio), este não é considerado, sendo 
desprezado. Acrescente-se que a compatibilização dos momentos positivos e negativos deve ser feita nas duas 
direções da laje. 
A rigor, as relações apresentadas na Eq. 52, Eq. 53 e Eq. 54 devem ser verificadas, o que configura um 
trabalho laborioso, caso os cálculos sejam efetuados manualmente. Uma opção ao procedimento da 
compatibilização de momentos fletores é adotar para a borda comum a maior armadura negativa, que simplifica 
muito o cálculo e não resulta um procedimento antieconômico. 
M 1 2 MX21X 3XX2
1X
2X
M 1 X2
X3M 2 M 3
XA
BX
M 2M +1
X -1 AX
2 M +
X
2
X -3 B
3
X
2
X +1 2
0,8 X1{t { 0,8 XX2X +
2
3
3
M
M
Momentos fletores não
compatibilizados
Momentos fletores
compatibilizados
3M
t
 
Figura 24 – Compatibilização dos momentos fletores negativos e positivos. 
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II 
 
 72 
2.2. PRÉ-DIMENSIONAMENTO 
A espessura das lajes é condicionada por: 
� Resistência – flexão e esforço transverso 
� Características de utilização – Deformabilidade, isolamento sonoro, vibrações, 
protecção contra incêndio, etc. 
A espessura das lajes varia em função do vão. No que se refere a lajes maciças, em 
geral, a sua espessura varia entre 0.12 m e 0.30 m. O valor inferior é, em geral 
desaconselhável, até porque com as exigências actuais de recobrimento a sua eficiência 
à flexão é muito reduzida, como se compreende. Por outro lado, para espessuras acima 
dos 0.30 m, o recurso a soluções aligeiradas é quase obrigatório, no sentido de aliviar o 
peso da solução. Excluem-se as zonas de capiteis onde o efeito do peso dessas zonas 
na flexão é reduzido. 
2.3. VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA 
2.3.1. Estados Limites Últimos 
2.3.1.1. Flexão 
O funcionamento das lajes relativamente à flexão é idêntico ao das vigas. A diferença 
reside no facto das vigas, sendo elementos lineares, apresentarem um comportamento 
unidirecional, enquanto as lajes, sendo elementos bidimensionais, apresentam um 
comportamento bidirecional. 
 
Viga Laje 
 
Numa laje, as armaduras de flexão são calculadas por metro de largura, ou seja, 
considerando uma secção com 1 m de base, e altura igual à da laje. 
UNIVERSIDADE TÉCNICA DE MOÇAMBIQUE 
FACULDADE DE CIÊNCIAS TECNOLOGICAS 
LICENCIATURA EM ENGENHARIA E GESTĀO DA CONSTRUÇĀO 
Av. 25 de Setembro, n.o 2500, Tel./Fax: +258 21402161 Maputo 
 
 
 
Betão I - Módulo II – Dimensionamento de Lajes 
Elaborado por: Arsénio Zandamela 
 
19 
 
Nota: Numa laje, as armaduras de flexão são calculadas por metro de 
largura, ou seja, considerando uma secção com 1 m de base, e altura 
igual à da laje. 
Nas lajes a ordem de grandeza dos momentos é, claramente, inferior ao 
das vigas, pois como se compreende os esforços podem se distribuir por 
larguras maiores. O momento flector reduzido (m) nas secções mais 
esforçadas estará, em geral, contido no intervalo 0.10 < m < 0.20. 
Relativamente ao valor superior não deverá ser ultrapassado, 
excluindo-se, nalgumas situações, a zona de momentos negativos 
sobre os apoiosdirectos em pilares (solução fungiforme). Verifica-se, 
assim, que a ductilidade das lajes é uma característica intrínseca da 
solução o que, como sabemos, representa uma mais valia importante do 
comportamento, com vantagens conhecidas na verificação da segurança à 
rotura. 
 
 " ω 
Eq. 7 
 
Eq. 8 
 
ou 
 Eq. 9 
 
3.1 Verificação do esforço transverso 
 
Salientar que nas lajes, a transmissão de cargas para os apoios faz-se por 
efeito de arco e de consola, conforme ilustrado nas figuras seguintes. 
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II 
 
 86 
3. Acções solicitantes de dimensionamento 
psd2
1.401.40 2.70
psd1
 
psd1 = 1.5 cp + 1.5 sc = 1.5 u ( )5.0 + 1.5 + 3.0 = 14.3 kN/m2 
psd2 = 1.5 cp + 1.5 sc = 1.5 u ( )7.9 + 1.5 + 3.0 = 18.6 kN/m2 
 
4. Determinação dos esforços 
45.1
25.1
45.125.1
(+)
(-)
DEV
[kN/m]
DMF
[kNm/m]
49.1
66.0
49.1
(+)
 
5. Cálculo das armaduras (verificação da segurança ao E.L.U. de flexão) 
x Armadura principal 
Msd = 66.0 kNm/m � P = 
 Msd 
 b� d2� fcd 
 = 66.0 1.0 u 0.172 u 13.3u103 = 0.172 ; Z = 0.195 
As = Z � b� d2� 
 fcd 
 fyd = 0.195 u 1.0 u 0.17 u 
 13.3 
 348 u 10
4 = 12.67 cm2/m 
Adoptam-se I16//0.15 (13.4 cm2/m). 
x Armadura de distribuição 
As,d = 0.20 u As,princ. = 0.20 u 12.67 = 2.53 cm2/m 
Adoptam-se I8//0.20 
x Armadura mínima 
As,min = 0.26 
 fctm 
 fyk bt � d = 0.26 
 2.2 
 400 u 0.17 u 10
4 = 2.43 cm2/m 
x Armadura de bordo simplesmente apoiado 
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II 
 
 86 
3. Acções solicitantes de dimensionamento 
psd2
1.401.40 2.70
psd1
 
psd1 = 1.5 cp + 1.5 sc = 1.5 u ( )5.0 + 1.5 + 3.0 = 14.3 kN/m2 
psd2 = 1.5 cp + 1.5 sc = 1.5 u ( )7.9 + 1.5 + 3.0 = 18.6 kN/m2 
 
4. Determinação dos esforços 
45.1
25.1
45.125.1
(+)
(-)
DEV
[kN/m]
DMF
[kNm/m]
49.1
66.0
49.1
(+)
 
5. Cálculo das armaduras (verificação da segurança ao E.L.U. de flexão) 
x Armadura principal 
Msd = 66.0 kNm/m � P = 
 Msd 
 b� d2� fcd 
 = 66.0 1.0 u 0.172 u 13.3u103 = 0.172 ; Z = 0.195 
As = Z � b� d2� 
 fcd 
 fyd = 0.195 u 1.0 u 0.17 u 
 13.3 
 348 u 10
4 = 12.67 cm2/m 
Adoptam-se I16//0.15 (13.4 cm2/m). 
x Armadura de distribuição 
As,d = 0.20 u As,princ. = 0.20 u 12.67 = 2.53 cm2/m 
Adoptam-se I8//0.20 
x Armadura mínima 
As,min = 0.26 
 fctm 
 fyk bt � d = 0.26 
 2.2 
 400 u 0.17 u 10
4 = 2.43 cm2/m 
x Armadura de bordo simplesmente apoiado 
Laje Disposicao+da+
laje++(Ly/Lx)
Orientacao As+(+cm2/m) As+min.++++(+cm2/m) Armadura+
Mx=q+.(lx2+/mx+)+ 10,1 3,224776501 1,5 Ø+8@15
Xx+(26,17+KN.m)+AdoptaMse+X= 30,59 9,766922095 1,5 Ø+12@10
My+=q+.(lx2+/mY+)+ 4,2 1,340996169 1,5 Ø+8@15
Xx=+(q.+lx2+)/nx++ 17,94 5,727969349 1,5 Ø+12@20
+Mx=q+.(lx2+/mx+)+ 12,45 3,975095785 1,5 Ø+8@12,5
Xx+(35KN.m)+AdoptaMse+X= 30,59 9,766922095 1,5 Ø+12@12,5
My+=q+.(lx2+/mY+)+ 12,45 3,975095785 1,5 Ø+8@15
Xy=+(q.+lx2+)/ny++ 35 11,17496807 1,5 Ø+12@10
Paine+1
Paine+2
laje+armada+
em+cruz1,5
Momentos+máx.
Direccao+X
Direccao+Y
Direccao+X
Direccao+Y
laje+armada+
em+cruz1
UNIVERSIDADE TÉCNICA DE MOÇAMBIQUE 
FACULDADE DE CIÊNCIAS TECNOLOGICAS 
LICENCIATURA EM ENGENHARIA E GESTĀO DA CONSTRUÇĀO 
Av. 25 de Setembro, n.o 2500, Tel./Fax: +258 21402161 Maputo 
 
 
 
Betão I - Módulo II – Dimensionamento de Lajes 
Elaborado por: Arsénio Zandamela 
 
20 
 
 
Figura 13- Efeito arco e consola em lajes 
 
A participação relativa dos dois mecanismos na resistência ao esforço 
transverso depende da esbelteza da laje. Para esbeltezas baixas, ou para 
cargas mais importantes próximas do apoio, o efeito de arco é 
mobilizável, mas para as situações correntes de esbeltezas mais elevadas 
e cargas distribuídas a participação do efeito de arco tende a ser pequena 
 
A avaliação do comportamento das lajes através de ensaios experimentais 
indica que, para atender aos efeitos da alguma sobreposição destes 
mecanismos resistentes, é indicado que se adoptem na pormenorização 
das armaduras estas duas recomendações: 
• Através de uma translação do diagrama de momentos flectores de 
aL = d; · 
 
• “Atirantando o arco”, prolongando até aos apoios, pelo menos, 1⁄2 
da armadura a meio vão. 
 
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II 
 
 73 
Nas lajes a ordem de grandeza dos momentos é, claramente, inferior ao das vigas, pois 
como se compreende os esforços podem se distribuir por larguras maiores. O momento 
flector reduzido (P) nas secções mais esforçadas estará, em geral, contido no intervalo 
0.10 <�P�� 0.20. Nalguns casos poderá ser mesmo inferior a 0.10, sem inconveniente. 
Relativamente ao valor superior não deverá ser ultrapassado, excluindo-se, nalgumas 
situações, a zona de momentos negativos sobre os apoios directos em pilares (solução 
fungiforme). Verifica-se, assim, que a ductilidade das lajes é uma característica intrínseca 
da solução o que, como sabemos, representa uma mais valia importante do 
comportamento, com vantagens conhecidas na verificação da segurança à rotura. 
2.3.1.2. Esforço Transverso 
Em lajes, a transmissão de cargas para os apoios faz-se por efeito de arco e de consola, 
conforme ilustrado nas figuras seguintes. 
 (i) Efeito de arco e consola 
P
R
T
 
Efeito de arco 
 
Efeito de consola 
 
T T+ 'T 
'T 
VD1 
W1 
VD2 
W2 
UNIVERSIDADE TÉCNICA DE MOÇAMBIQUE 
FACULDADE DE CIÊNCIAS TECNOLOGICAS 
LICENCIATURA EM ENGENHARIA E GESTĀO DA CONSTRUÇĀO 
Av. 25 de Setembro, n.o 2500, Tel./Fax: +258 21402161 Maputo 
 
 
 
Betão I - Módulo II – Dimensionamento de Lajes 
Elaborado por: Arsénio Zandamela 
 
21 
 
3.1.1 Verificação ao Estado Limite Último de Esforço Transverso 
 
De acordo com o EC2, para elementos que não necessitam de armadura 
de esforço transverso, adopta-se uma verificação com base numa 
expressão, validada experimentalmente, mas que não é deduzível 
directamente de um mecanismo resistente, como no caso das vigas, tal 
que: 
 
 
Eq. 10 
 
 
 
De acordo com o REBAP; 
Convém chamar a atenção para que, em geral, os elementos de betão 
armado devem dispor de uma armadura mínima de esforço transverso. 
Para o caso de lajes, quer porque este tipo de elementos apresentarem 
grande capacidade de carga de distribuição de esforços quer porque, 
normalmente, as tenções tangenciais neles desenvolvidos são pouco 
elevados. Resulta assim, que só para as lajes, o REPAP permite a não 
existência duma armadura mínima de esforço transverso, sendo então o 
esforço resistente Vcd dado pela expressão: 
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II 
 
 74 
A participação relativa dos dois mecanismos na resistência ao esforço transverso 
depende da esbelteza da laje. Para esbeltezas baixas, ou para cargas mais importantes 
próximas do apoio, o efeito de arco é mobilizável, mas para as situações correntes de 
esbeltezas mais elevadas e cargas distribuídas a participação do efeito de arco tende a 
ser pequena como se compreende pela figura acima indicada. 
A avaliação do comportamento das lajes através de ensaios experimentais indica que, 
para atender aos efeitos da alguma sobreposição destes mecanismos resistentes, é 
indicado que se adoptem na pormenorização das armaduras estas duas recomendações: 
x Através de uma translação do diagrama de momentos flectores de aL = d; 
x “Atirantando o arco”, prolongando até aos apoios, pelo menos, ½ da armadura 
a meio vão. 
Estas indicações são tidas em conta nas disposições de dispensa de armaduras. 
(ii) Verificação ao Estado Limite Último de Esforço Transverso 
De acordo com o EC2, para elementos que não necessitam de armadura de esforço 
transverso, adopta-se uma verificação com base numa expressão, validada 
experimentalmente, mas que não é deduzível directamente de um mecanismo resistente, 
como no caso das vigas, tal que: 
Vsd d VRd,c = [ ]CRd,c� k � ( )100 UL fck 1/3 + k1 Vcp bw � d t ( )0.035 k3/2 fck1/2 + k1 Vcp bw � d 
onde, 
CRd,c = 
 0.18
Jc
 
k = 1 + 200d ≤ 2 , com d em mm 
U1 = 
 AsL 
 bw � d 
 d 0.02 (AsL representa a área de armadura de tracção, prolongando-se 
não menos do que d + lb,d para além da secção considerada) 
k1 = 0.15 
Vcp = 
 Nsd 
 Ac em MPa (Nsd representa o esforço normal devido a cargas aplicadas ou 
ao pré-esforço, e deve ser considerado positivo quando for de compressão) 
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II 
 
 74 
A participação relativa dos dois mecanismos na resistência ao esforço transverso 
depende da esbelteza da laje. Para esbeltezas baixas, ou para cargas mais importantes 
próximas do apoio, o efeito de arco é mobilizável, mas para as situações correntes de 
esbeltezas mais elevadas e cargas distribuídas a participação do efeito de arco tende a 
ser pequena como se compreende pela figura acima indicada. 
A avaliação do comportamento das lajes através de ensaios experimentais indica que, 
para atender aos efeitos da alguma sobreposição destes mecanismos resistentes, é 
indicado que se adoptem na pormenorização das armaduras estas duas recomendações: 
x Através de uma translação do diagrama de momentos flectores de aL = d; 
x “Atirantando o arco”, prolongando até aos apoios, pelo menos, ½ da armadura 
a meio vão. 
Estas indicações são tidas em conta nas disposições de dispensa de armaduras. 
(ii) Verificação ao Estado Limite Último de Esforço Transverso 
De acordo com o EC2, para elementos que não necessitam de armadura de esforço 
transverso, adopta-se uma verificação com base numa expressão, validada 
experimentalmente, mas que não é deduzível directamente de um mecanismo resistente, 
como no caso das vigas, tal que: 
Vsd d VRd,c = [ ]CRd,c � k � ( )100 UL fck 1/3 + k1 Vcp bw � d t ( )0.035 k3/2 fck1/2 + k1 Vcp bw � d 
onde, 
CRd,c = 
 0.18
Jc
 
k = 1 + 200d ≤ 2 , com d em mm 
U1 = 
 AsL 
 bw � d 
 d 0.02 (AsL representa a área de armadura de tracção, prolongando-se 
não menos do que d + lb,d para além da secção considerada) 
k1 = 0.15 
Vcp = 
 Nsd 
 Ac em MPa (Nsd representa o esforço normal devido a cargas aplicadas ou 
ao pré-esforço, e deve ser considerado positivo quando for de compressão) 
UNIVERSIDADE TÉCNICA DE MOÇAMBIQUE 
FACULDADE DE CIÊNCIAS TECNOLOGICAS 
LICENCIATURA EM ENGENHARIA E GESTĀO DA CONSTRUÇĀO 
Av. 25 de Setembro, n.o 2500, Tel./Fax: +258 21402161 Maputo 
 
 
 
Betão I - Módulo II – Dimensionamento de Lajes 
Elaborado por: Arsénio Zandamela 
 
22 
 
Vrd=Vcd= 0,6 (1,6-d) τ1 bw d Eq. 11 
 
Onde: 
Vrd= valor de calculo do esforço trsnsverso 
(1.6-d), nao deve ser inferior que 1 (com d expresso em metros) 
τ1 = tensão ( em Mpa) cujo os valores sao dados na tabela abaixo: 
Classe 
de betão 
B15 B20 B25 B30 B35 B40 B45 B50 B55 
τ1 0,50 0,60 0,65 0,75 0,85 0,90 1,00 1,10 1,15 
Table 5 -Tabela de valores de τ1 
bw – largura de alma do elemento 
d – altura útil. 
 
 
3.1.2 Verificação ao Estado Limite Último de Esforço Transverso 
 
A verificação ao estado limite de fendilhação pode ser efectuada de forma 
directa ou indirecta tal como no caso das vigas. 
A verificação directa consiste no cálculo da abertura característica de 
fendas e comparação com os valores admissíveis. 
Esta matéria foi abordada nos módulos anteriores para o caso das vigas. 
Os procedimentos de cálculo para as lajes são idênticos, sendo, desde já, 
de referir que a fendilhação, por flexão, das lajes é pouco condicionante 
devido à pequena altura da zona traccionada. 
O controlo indirecto da fendilhação, de acordo com o EC2, consiste, 
como discutido no modulo anterior em : 
UNIVERSIDADE TÉCNICA DE MOÇAMBIQUE 
FACULDADE DE CIÊNCIAS TECNOLOGICAS 
LICENCIATURA EM ENGENHARIA E GESTĀO DA CONSTRUÇĀO 
Av. 25 de Setembro, n.o 2500, Tel./Fax: +258 21402161 Maputo 
 
 
 
Betão I - Módulo II – Dimensionamento de Lajes 
Elaborado por: Arsénio Zandamela 
 
23 
 
• Adopção de armadura mínima 
• Imposição de limites ao diâmetro máximo dos varões e/ou 
afastamento máximo dos mesmos (Quadros 1 e 2). 
 
 
 
 
3.1.3 Deformação 
 
A norma ISO 4356 apresenta, de uma forma exaustiva, valores limites 
para diferentes tipos de utilização dos pisos. Para os casos correntes de 
edifícios de escritórios, comerciais ou de habitação, o EC2 seguindo as 
recomendações da norma acima referida, define os seguintes objectivos 
máximos de deformação, em função do vão: 
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II 
 
 75 
2.3.2. Estados Limites de Utilização 
2.3.2.1. Fendilhação 
A verificação ao estado limite de fendilhação pode ser efectuada de forma directa ou 
indirecta tal como no caso das vigas. 
A verificação directa consiste no cálculo da abertura característica de fendas e 
comparação com os valores admissíveis. 
Esta matéria foi abordada na disciplina de Estruturas de Betão I para o caso das vigas. 
Os procedimentos de cálculo para as lajes são idênticos, sendo, desde já, de referir que a 
fendilhação, por flexão, das lajes é pouco condicionante devido à pequena altura da zona 
traccionada. 
O controlo indirecto da fendilhação, de acordo com o EC2, consiste, como discutido na 
disciplina de Estruturas de Betão I, em : 
x Adopção de armadura mínima 
x Imposição de limites ao diâmetro máximo dos varões e/ou afastamento máximo 
dos mesmos (Quadros 7.2 e 7.3). 
 
Quadro 7.2N – Diâmetros máximos dos varões I*s para controlo da fendilhação1 
Tensão no aço2 
[MPa] 
Diâmetros máximos dos varões [mm] 
wk= 0,4 mm wk= 0,3 mm wk= 0,2 mm 
160 40 32 25 
200 32 25 16 
240 20 16 12 
280 16 12 8 
320 12 10 6 
360 10 8 5 
400 8 6 4 
450 6 5 - 
NOTAS: 1. Os valores indicados no quadro baseiam-se nas seguintes hipóteses: 
 c = 25 mm; fct,eff = 2,9 MPa; hcr = 0,5 h; (h-d) = 0,1h; k1 = 0,8; k2 = 0,5; kc = 0,4; k = 1,0; 
 kt = 0,4 
 2. Para as combinações de acções apropriadas 
 
 
 
 
 
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II 
 
 76 
 
Quadro 7.3N – Espaçamento máximo dos varões para controlo da fendilhação1 
Tensão no aço2 
[MPa] 
Espaçamento máximo dos varões [mm] 
wk=0,4 mm wk=0,3 mm wk=0,2 mm 
160 300 300 200 
200 300 250 150 
240 250 200 100 
280 200 150 50 
320 150 100 - 
360 100 50 - 
Para as Notas, ver o Quadro 7.2N. 
 
O diâmetro máximo dos varões deverá ser modificado como se indica a seguir: 
Flexão (com pelo menos parte da secção em compressão): 
� Is �I
s (fct,eff /2,9) 
k h
 ( h - d )
c cr
2
 (7.6N) 
Tracção (tracção simples): 
� Is = I
s (fct,eff/2,9)hcr/(8(h-d)) (7.7N) 
em que: 
Is diâmetro modificado máximo dos varões; 
I
s diâmetro máximo dos varões indicado no Quadro 7.2N; 
h altura total da secção; 
hcr altura da zona traccionada imediatamente antes da fendilhação, considerando os valores 
característicos do pré-esforço e os esforços normais para a combinação quase-permanente de 
acções; 
d altura útil ao centro de gravidade da camada exterior das armaduras; 
Quando toda a secção está sob tracção, h - d é a distância mínima do centro de gravidade das armaduras à 
face do betão (no caso em que a disposição das armaduras não é simétrica, considerar-se as duas faces). 
 
2.3.3. Deformação 
A norma ISO 4356 apresenta, de uma forma exaustiva, valores limites para diferentes 
tipos de utilização dos pisos. Para os casos correntes de edifícios de escritórios, 
comerciais ou de habitação, o EC2 seguindo as recomendações da norma acima 
referida, define os seguintes objectivos máximos de deformação, em função do vão: 
L
250 para a deformação total devida combinação de acções quase-permanentes 
UNIVERSIDADE TÉCNICA DE MOÇAMBIQUE 
FACULDADE DE CIÊNCIAS TECNOLOGICAS 
LICENCIATURA EM ENGENHARIA E GESTĀO DA CONSTRUÇĀO 
Av. 25 de Setembro, n.o 2500, Tel./Fax: +258 21402161 Maputo 
 
 
 
BetãoI - Módulo II – Dimensionamento de Lajes 
Elaborado por: Arsénio Zandamela 
 
24 
 
!
!"#
 para a deformação total devida combinação de acções quase-
permanentes 
!
!""
 para o incremento de deformação após construídas as paredes de 
alvenaria das divisórias. 
 
4 Lajes armadas numa direcção 
 
Considera-se que as lajes são armadas numa direcção (ou funcionam 
predominantemente numa direcção) se: 
! As condições de apoio o exigirem 
! A relação entre vãos respeitar a condição !𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟
!  𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
  ≥ 2 
 
 
 
Figura 14- Laje armada numa direcção 
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II 
 
 81 
 Unidade de medição Custo unitário 
Cofragem m2 15 € /m2 
Armadura kg 0.90 € /kg 
Betão m3 100 € /m3 
 
(i) Critérios de medição: a definir no Caderno de Encargos 
No que se refere à medição das armaduras, é importante estabelecer critérios para os 
seguintes aspectos: 
x Desperdícios (5% a 7% da quantidade total) – em geral não são 
considerados na medição, mas sim no preço unitário; 
x Comprimentos de emenda ou sobreposição; 
x Varões com comprimento superior a 12 m. 
(ii) Taxas de armadura 
As quantidades de armadura em lajes dependem do tipo de apoio, da esbelteza e do 
nível de carga actuante. Em geral, podem tomar-se como referência os seguintes valores 
de taxas de armaduras. 
 Lajes vigadas – 60 a 80 Kg/m3 
 Lajes fungiformes – 80 a 120 Kg/m3 
2.6. LAJES VIGADAS ARMADAS NUMA DIRECÇÃO 
2.6.1. Definição 
Considera-se que as lajes são armadas numa direcção (ou funcionam 
predominantemente numa direcção) se: 
x As condições de apoio o exigirem 
x A relação entre vãos respeitar a condição Lmaior Lmenor t 2 
 
UNIVERSIDADE TÉCNICA DE MOÇAMBIQUE 
FACULDADE DE CIÊNCIAS TECNOLOGICAS 
LICENCIATURA EM ENGENHARIA E GESTĀO DA CONSTRUÇĀO 
Av. 25 de Setembro, n.o 2500, Tel./Fax: +258 21402161 Maputo 
 
 
 
Betão I - Módulo II – Dimensionamento de Lajes 
Elaborado por: Arsénio Zandamela 
 
25 
 
 
4.1 Dimensionamento das lajes armadas em duas direcções 
 
O dimensionamento das lajes armadas numa direcção ‘feita tendo em 
consideração o menor vão. Saliente-se que para o dimensionamento de 
lajes armada numa direcção não são usadas as tabelas de Czerny e nem 
Marcus. No entanto, o dimensionamento é feito segundo a condição 
estática do menor vão. No sentido perpendicular ao menor vão é usada a 
armadura de distribuição segundo o artigo 108o do REBAP. 
 
 
 
 
Figura 15- Transferência de esforços de laje 
armada numa direcção 
Figura 16- Transferência de esforços da laje para a 
viga, pilares e sapatas 
 
 
4.2 Pré-dimensionamento das lajes armadas numa ou em duas 
direcções 
 
Para sobrecargas correntes em edifícios (sc < 5 kN/m2), a 
espessura das lajes armadas numa direcção pode ser determinada a 
partir da seguinte relação: 
 
Eq. 12 
 
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II 
 
 82 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.6.2. Pré-dimensionamento 
Para sobrecargas correntes em edifícios (sc � 5 kN/m2), a espessura das lajes armadas 
numa direcção pode ser determinada a partir da seguinte relação: 
h | L 25 a 30 
Esta expressão tem por base o controlo indirecto da deformação e o nível de esforços na 
laje. 
2.6.3. Pormenorização de armaduras 
2.6.3.1. Disposição de armaduras 
As armaduras principais devem ser colocadas por forma a funcionarem com o maior 
braço, tal como se encontra ilustrado nas figuras seguintes. 
As+ As,dist+
As,distAs- -
 
Determinação da altura útil: d = h - c - Ilong2 | h – (0.025 a 0.03) m 
2.6.3.2. Exemplos da disposição das armaduras principais e de distribuição 
Ver Folhas da Cadeira, Volume I, págs. 17, 18, 19 e 20 
2.6.3.3. Armadura de bordo simplesmente apoiado 
Pelo facto das vigas de bordo impedirem a livre rotação da laje quando esta se deforma, 
surgem tracções na face superior, nas zonas de ligação entre os dois elementos. Em 
x 
y 
lx 
ly lx / ly t 2 
UNIVERSIDADE TÉCNICA DE MOÇAMBIQUE 
FACULDADE DE CIÊNCIAS TECNOLOGICAS 
LICENCIATURA EM ENGENHARIA E GESTĀO DA CONSTRUÇĀO 
Av. 25 de Setembro, n.o 2500, Tel./Fax: +258 21402161 Maputo 
 
 
 
Betão I - Módulo II – Dimensionamento de Lajes 
Elaborado por: Arsénio Zandamela 
 
26 
 
Esta expressão tem por base o controlo indirecto da deformação e o nível 
de esforços na laje. 
Segundo o artigo 102 do REBAP, as espessuras mínimas para as lajes 
podem ser: 
• de 5 cm para lajes não acessíveis, definidos de acordo com o 
RSA. 
• De 7cm, para o caso de lajes submetidas a cargas distribuídas; 
• 10 cm para o caso de lajes submetidas a cargas concentradas 
relativamente importantes; 
• De 12 cm, para caso de lajes submetidas a cargas concentradas 
muito importantes; e 
• De 15 cm, para o caso de lajes apoiadas directamente em 
pilares (fungiformes). 
 
 
A espessura pode ser, igualmente, para além das condicionantes acima, 
satisfazer a seguinte condição: 
 
H ≥ li / (30.η ) Eq. 13 
 
Onde: 
li = α . l ( no caso de lajes armadas em duas direcções o valor de l será o 
menor vão e o valor de α será encontrado no quadro XV- do artigo 
102o ). 
 
 
UNIVERSIDADE TÉCNICA DE MOÇAMBIQUE 
FACULDADE DE CIÊNCIAS TECNOLOGICAS 
LICENCIATURA EM ENGENHARIA E GESTĀO DA CONSTRUÇĀO 
Av. 25 de Setembro, n.o 2500, Tel./Fax: +258 21402161 Maputo 
 
 
 
Betão I - Módulo II – Dimensionamento de Lajes 
Elaborado por: Arsénio Zandamela 
 
27 
 
 
 
 
 
 
Tabela 6- Quadro do coeficiente αda espessura mínima das lajes (artigo 
102o REBAP) 
Fonte: REBAP 
 
 
 
Subsidiarmente, tendo o valor de Msd, a espessura pode ser calculada: 
 
!  !  
𝑀𝑠𝑑
0,15  . 𝑓𝑐𝑑
!
 
Eq. 14 
 
 
 
UNIVERSIDADE TÉCNICA DE MOÇAMBIQUE 
FACULDADE DE CIÊNCIAS TECNOLOGICAS 
LICENCIATURA EM ENGENHARIA E GESTĀO DA CONSTRUÇĀO 
Av. 25 de Setembro, n.o 2500, Tel./Fax: +258 21402161 Maputo 
 
 
 
Betão I - Módulo II – Dimensionamento de Lajes 
Elaborado por: Arsénio Zandamela 
 
28 
 
Exercício de Aplicação 1: 
Verifique a segurança aos estados limite últimos da escada representada 
na figura. 
 
 
 
Dados 
A400NR e C20/25. 
 
Considere as seguintes acções: 
 - peso próprio; 
 - revestimento: 1.50 kN/m2; 
 - sobrecarga de utilização: 3.00 kN/m2; 
 
Pedido 
Desenhe a distribuição de armaduras em corte longitudinal e 
transversal à escala 1:25. 
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II 
 
 84 
EXERCÍCIO L1 
 
Verifique a segurança aos estados limite últimos da escada representada na figura. 
 
1.402.701.40
0.17
0.20
1.53
A'
A
0.30
1.40
0.20
Corte A-A'
 
 
 
Considere as seguintes acções: 
 - peso próprio; 
 - revestimento: 1.50 kN/m2; 
 - sobrecarga de utilização: 3.00 kN/m2; 
 
Adopte para materiais o betão C20/25 e a armadura A400NR. 
 
Desenhe a distribuição de armaduras em corte longitudinal e transversal à escala 1:25 na 
folha anexa. 
UNIVERSIDADE TÉCNICA DE MOÇAMBIQUE 
FACULDADE DE CIÊNCIAS TECNOLOGICAS 
LICENCIATURA EM ENGENHARIA E GESTĀO DA CONSTRUÇĀO 
Av. 25 de Setembro, n.o 2500, Tel./Fax: +258 21402161 Maputo 
 
 
 
Betão I - Módulo II – Dimensionamento de Lajes 
Elaborado por: Arsénio Zandamela 
 
29 
 
 
 
 
 
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II 
 
 85 
Resolução do Exercício L1 
 
� Laje armada numa direcção 
 
1. Modelo de cálculo 
1.40 2.70 1.40
sc
rev
pplaje
pdegraus
pdegraus
sc
rev
1.401.40 2.70
pp
pp /cos T
�
T
 
T = arctg 1.53 2.7 = 29.5q 
2. Cálculo das Acções 
2.1. Cargas permanentes 
x Peso próprio 
ppLaje = Jbetão u h = 25 u 0.20 = 5.0 kN/m2 
pdegraus = Jbetão u 
 hdegrau 
2 = 25 u 
 0.17 
2 = 2.13 kN/m
2 
 
Zona do patim: pp = 5.0 kN/m2 
Zona dos degraus: pp = ppLaje cos T + pdegraus = 
 5.0 
 cos 29.5q + 2.13 = 7.9 kN/m
2 
x Revestimento = 1.5 kN/m2 
2.2. Sobrecarga 
x Sobrecarga deutilização = 3.0 kN/m2 
UNIVERSIDADE TÉCNICA DE MOÇAMBIQUE 
FACULDADE DE CIÊNCIAS TECNOLOGICAS 
LICENCIATURA EM ENGENHARIA E GESTĀO DA CONSTRUÇĀO 
Av. 25 de Setembro, n.o 2500, Tel./Fax: +258 21402161 Maputo 
 
 
 
Betão I - Módulo II – Dimensionamento de Lajes 
Elaborado por: Arsénio Zandamela 
 
30 
 
 
 
 
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II 
 
 86 
3. Acções solicitantes de dimensionamento 
psd2
1.401.40 2.70
psd1
 
psd1 = 1.5 cp + 1.5 sc = 1.5 u ( )5.0 + 1.5 + 3.0 = 14.3 kN/m2 
psd2 = 1.5 cp + 1.5 sc = 1.5 u ( )7.9 + 1.5 + 3.0 = 18.6 kN/m2 
 
4. Determinação dos esforços 
45.1
25.1
45.125.1
(+)
(-)
DEV
[kN/m]
DMF
[kNm/m]
49.1
66.0
49.1
(+)
 
5. Cálculo das armaduras (verificação da segurança ao E.L.U. de flexão) 
x Armadura principal 
Msd = 66.0 kNm/m � P = 
 Msd 
 b� d2� fcd 
 = 66.0 1.0 u 0.172 u 13.3u103 = 0.172 ; Z = 0.195 
As = Z � b� d2� 
 fcd 
 fyd = 0.195 u 1.0 u 0.17 u 
 13.3 
 348 u 10
4 = 12.67 cm2/m 
Adoptam-se I16//0.15 (13.4 cm2/m). 
x Armadura de distribuição 
As,d = 0.20 u As,princ. = 0.20 u 12.67 = 2.53 cm2/m 
Adoptam-se I8//0.20 
x Armadura mínima 
As,min = 0.26 
 fctm 
 fyk bt � d = 0.26 
 2.2 
 400 u 0.17 u 10
4 = 2.43 cm2/m 
x Armadura de bordo simplesmente apoiado 
UNIVERSIDADE TÉCNICA DE MOÇAMBIQUE 
FACULDADE DE CIÊNCIAS TECNOLOGICAS 
LICENCIATURA EM ENGENHARIA E GESTĀO DA CONSTRUÇĀO 
Av. 25 de Setembro, n.o 2500, Tel./Fax: +258 21402161 Maputo 
 
 
 
Betão I - Módulo II – Dimensionamento de Lajes 
Elaborado por: Arsénio Zandamela 
 
31 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II 
 
 87 
As,apoio
–
 = máx { }As,min, 0.25 As,vão+ = 3.17 cm2/m � Adoptam-se I8//0.15 
0.25 u 0.25 As,vão
+
 = 0.25 u 12.67 = 3.17 cm2/m 
6. Verificação da segurança ao E.L.U. de esforço transverso 
Vsd d VRd,c = [ ]CRd,c � k � ( )100 UL fck 1/3 + k1 Vcp bw � d t ( )0.035 k3/2 fck1/2 bw � d 
Como não existe esforço normal de compressão, 
VRd,c = CRd,c k (100 U1 fck)1/3 u bw � d = 
 0.18 
 1.5 u 2.0 u (100u0.008u20)
1/3u1000u170u10-3 = = 
102.8 kN 
K = 1 + 
200
d = 1 + 
200
170 = 2.08 ≥ 2.0 � k = 2.0 
U1 = 
 AsL 
 bw � d 
 = 13.4u10
-4 
 0.17 = 0.008 
VRd,c ≥ 0.035 u k3/2 fck1/2 u bw u d = 0.035 u 2.03/2 u 201/2 u 1000 u 170 u 10-3 = 75.3 kN 
Dado que Vsd,máx = 45 kN/m, está verificada a segurança ao E.L.U. de esforço transverso. 
 
UNIVERSIDADE TÉCNICA DE MOÇAMBIQUE 
FACULDADE DE CIÊNCIAS TECNOLOGICAS 
LICENCIATURA EM ENGENHARIA E GESTĀO DA CONSTRUÇĀO 
Av. 25 de Setembro, n.o 2500, Tel./Fax: +258 21402161 Maputo 
 
 
 
Betão I - Módulo II – Dimensionamento de Lajes 
Elaborado por: Arsénio Zandamela 
 
32 
 
 
5 Lajes armadas em cruz 
 
Nas lajes armadas em duas direções os esforços solicitantes são 
importantes segundo as duas direções principais da laje. A relação 
entre os lados é menor que dois, tal que: 
 
𝐿𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟
𝐿  𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
  ≤ 2 
 
 
 
 
 
 
5.1 Método das bandas 
 
O método das bandas é uma aplicação simples do método estático ao 
dimensionamento de lajes. A sua fundamentação foi apresentada 
atrás mas pode, também, ser explicada da seguinte forma. 
 
 
e uma distribuição de armaduras tal que em nenhum ponto a 
distribuição de esforços equilibrada excede a capacidade resistente 
da laje, m(q) £ mR, onde: 
 m(q) - momento da distribuição equilibrada de esforços devido à 
carga q; 
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II 
 
 96 
com: qRx = (8 / lx2) mRx; qRy = (8 / ly2) mRy 
Recorrendo agora às equações de equilíbrio (V e M) 
vx = 
 w mx(q) 
 w x + 
 w mxy(q) 
 w y ; vy = 
 w my(q) 
 w y + 
 w mxy(q) 
 w y 
obtém-se o esforço transverso 
vx = - 8 mRx x/lx2 ; vy = - 8 mRy x/ly2 
nos apoios tem-se 
x = r lx/2 Æ vap,x = r 4 mRx / lx 
y = r ly/2 Æ vap,y = r 4 mRy / ly 
ou 
vap,x = r qRx lx/2 
vap,y = r qRy ly/2 
Este método pode ser aplicado quer à avaliação da capacidade de carga de lajes 
existentes quer ao dimensionamento das armaduras de lajes novas. No entanto, é 
necessário ter presente que a sua aplicação pressupõe que existe ductilidade suficiente 
das secções e que não ocorrem problemas de deficiente comportamento em serviço 
nomeadamente no que se refere à fendilhação. 
2.7.2. Método das bandas 
O método das bandas é uma aplicação simples do método estático ao dimensionamento 
de lajes. A sua fundamentação foi apresentada atrás mas pode, também, ser explicada 
da seguinte forma. 
Considere-se a equação de equilíbrio das lajes (M e q): 
 w2 mx(q) 
 wx2 + 
 w2 my(q) 
 wy2 + 
 2w2 mxy(q) 
 wx wy = � q 
e uma distribuição de armaduras tal que em nenhum ponto a distribuição de esforços 
equilibrada excede a capacidade resistente da laje, m(q) d mR, 
onde, m(q) - momento da distribuição equilibrada de esforços devido à carga q; 
 mR - momento resistente da laje 
Se não se quiser considerar os momentos torsores para equilibrar a carga actuante q (mxy 
= 0), a equação de equilíbrio toma a forma 
UNESP(Bauru/SP) – Lajes de Concreto 
 
2 
a) Laje armada em uma direção 
 
 As lajes armadas em uma direção tem relação entre o lado maior e o lado menor superior a dois, isto é: 
 
2
x
y ! O
"
"
 Eq. 1 
 
com: "x = vão menor (Figura 1); 
"y = vão maior. 
1 m
"y
x"
 
Figura 1 – Vãos da laje retangular armada em uma direção. 
 
 Os esforços solicitantes de maior magnitude ocorrem segundo a direção do menor vão, chamada direção 
principal. Na outra direção, chamada secundária, os esforços solicitantes são bem menores e, por isso, são 
comumente desprezados nos cálculos. 
 Os esforços solicitantes e as flechas são calculados supondo-se a laje como uma viga com largura de 1 m, 
segundo a direção principal da laje, como se verá adiante. 
 
b) Laje armada em duas direções (ou em cruz) 
 
 Nas lajes armadas em duas direções os esforços solicitantes são importantes segundo as duas direções 
principais da laje. A relação entre os lados é menor que dois, tal que: 
 
2
x
y d O
"
"
 Eq. 2 
 
com: "x = lado menor (Figura 2); 
"y = lado maior. 
y
"x
"
 
Figura 2 – Vãos da laje retangular armada em duas direções. 
 
UNIVERSIDADE TÉCNICA DE MOÇAMBIQUE 
FACULDADE DE CIÊNCIAS TECNOLOGICAS 
LICENCIATURA EM ENGENHARIA E GESTĀO DA CONSTRUÇĀO 
Av. 25 de Setembro, n.o 2500, Tel./Fax: +258 21402161 Maputo 
 
 
 
Betão I - Módulo II – Dimensionamento de Lajes 
Elaborado por: Arsénio Zandamela 
 
33 
 
mR - momento resistente da laje 
Se não se quiser considerar os momentos torsores para equilibrar a 
carga actuante q (mxy = 0), a equação de equilíbrio toma a forma 
 
Pode então admitir-se que a carga é suportada em bandas nas 
direcções x e y, ou seja, 
 
 
 
 
 
 
Indicações qualitativas quanto à escolha dos coeficientes de 
repartição (α) ��� 
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II 
 
 97 
 w2 mx 
 wx2 + 
 w2 my 
 wy2 = �q 
Pode então admitir-se que a carga é suportada em bandas nas direcções x e y, ou seja, 
 
°°
°°
 w2 mx 
 wx2 = � Dq
 w2 my 
 wy2 = � (1 � D) q
 0 d D d 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Momentos flectores de dimensionamento a meio vão: 
mx = Dq lx2/8; my = (1-D��q ly2/8 
Esforço transverso nos apoios: 
vx = Dq lx/2; vy = (1-D��q ly/2 
Efectuando a comparação com o exemplo anteriormente apresentado tem-se a seguinte 
correspondência: 
Dq = qRx; (1-D��q = qRy 
É de notar que, se a distribuição equilibrada de esforços adoptada no dimensionamento 
diferir significativamente dos esforços em serviço (estes próximos de uma distribuição 
elástica), podem acontecer situações deficientes em termos do comportamento em 
serviço, da laje. De qualquer modo, a segurança em relação ao estado limite último está 
assegurada. 
Em geral, um bom comportamento em serviço pode ser garantido através da 
conveniente: 
 x escolha do modelo de cálculo edos caminhos de carga a adoptar por forma a não 
se afastar significativamente do comportamento elástico da laje; 
lx 
ly 
(1- D) q 
D q 
D q 
 
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II 
 
 97 
 w2 mx 
 wx2 + 
 w2 my 
 wy2 = �q 
Pode então admitir-se que a carga é suportada em bandas nas direcções x e y, ou seja, 
 
°°
°°
 w2 mx 
 wx2 = � Dq
 w2 my 
 wy2 = � (1 � D) q
 0 d D d 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Momentos flectores de dimensionamento a meio vão: 
mx = Dq lx2/8; my = (1-D��q ly2/8 
Esforço transverso nos apoios: 
vx = Dq lx/2; vy = (1-D��q ly/2 
Efectuando a comparação com o exemplo anteriormente apresentado tem-se a seguinte 
correspondência: 
Dq = qRx; (1-D��q = qRy 
É de notar que, se a distribuição equilibrada de esforços adoptada no dimensionamento 
diferir significativamente dos esforços em serviço (estes próximos de uma distribuição 
elástica), podem acontecer situações deficientes em termos do comportamento em 
serviço, da laje. De qualquer modo, a segurança em relação ao estado limite último está 
assegurada. 
Em geral, um bom comportamento em serviço pode ser garantido através da 
conveniente: 
 x escolha do modelo de cálculo e dos caminhos de carga a adoptar por forma a não 
se afastar significativamente do comportamento elástico da laje; 
lx 
ly 
(1- D) q 
D q 
D q 
 
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II 
 
 97 
 w2 mx 
 wx2 + 
 w2 my 
 wy2 = �q 
Pode então admitir-se que a carga é suportada em bandas nas direcções x e y, ou seja, 
 
°°
°°
 w2 mx 
 wx2 = � Dq
 w2 my 
 wy2 = � (1 � D) q
 0 d D d 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Momentos flectores de dimensionamento a meio vão: 
mx = Dq lx2/8; my = (1-D��q ly2/8 
Esforço transverso nos apoios: 
vx = Dq lx/2; vy = (1-D��q ly/2 
Efectuando a comparação com o exemplo anteriormente apresentado tem-se a seguinte 
correspondência: 
Dq = qRx; (1-D��q = qRy 
É de notar que, se a distribuição equilibrada de esforços adoptada no dimensionamento 
diferir significativamente dos esforços em serviço (estes próximos de uma distribuição 
elástica), podem acontecer situações deficientes em termos do comportamento em 
serviço, da laje. De qualquer modo, a segurança em relação ao estado limite último está 
assegurada. 
Em geral, um bom comportamento em serviço pode ser garantido através da 
conveniente: 
 x escolha do modelo de cálculo e dos caminhos de carga a adoptar por forma a não 
se afastar significativamente do comportamento elástico da laje; 
lx 
ly 
(1- D) q 
D q 
D q 
 
UNIVERSIDADE TÉCNICA DE MOÇAMBIQUE 
FACULDADE DE CIÊNCIAS TECNOLOGICAS 
LICENCIATURA EM ENGENHARIA E GESTĀO DA CONSTRUÇĀO 
Av. 25 de Setembro, n.o 2500, Tel./Fax: +258 21402161 Maputo 
 
 
 
Betão I - Módulo II – Dimensionamento de Lajes 
Elaborado por: Arsénio Zandamela 
 
34 
 
• Para Lmaior/Lmenor ≥ 2 e visto tratar-se de flexão cilíndrica, a = 
1; 
 
• Para iguais condições de fronteira nas duas direcções, o valor de a 
a considerar para a menor direcção (Lx) deve variar entre 0.5 e 1, 
para relações de vãos entre 1 e 2. Sendo os momentos mx dados 
por k × a × Lx
2. Deve verificar-se que: 
a × Lx
2 > (1 - a) × Ly
2; 
• As direcções com condições de fronteira mais rígidas absorvem 
mais carga Þ a maior. 
 
5.1 Método de Czerny 
 
Podemos considerar cada laje como se fosse formada por um conjunto 
de grelhas de vigas independentes cortando-se perpendicularmente, 
como a seguir se mostra para a laje L1. Desse raciocínio, cada laje é 
substituída por um reticulado de vigas na direcção X e Y. Segundo este 
critério, teríamos a carga actuante em duas cargas qx e qy que se 
distribuiriam na direcção X e Y. 
 
Se assim fizermos, calcular a laje L1, seria, na pratica, calcular as vigas 
na direccao X e na direcção Y com as cargas qx e qy. 
 
Qual é a falha desse raciocínio? É que não estamos a considerar o 
aspecto de continuidade da laje e que toda ela trabalha, resistindo 
muito melhor do que se considerada dividida por grelhas de vigas, 
independentes umas das outras. 
 
O método de czeney nada mais é senão fazer a divisão da laje por uma 
grelha de vigas e aplicar adequadamente os coeficientes que levam 
exactamente esse aspecto da laje, da solidariedade conjunta integral 
total de toda a malha de vigas. 
 
UNIVERSIDADE TÉCNICA DE MOÇAMBIQUE 
FACULDADE DE CIÊNCIAS TECNOLOGICAS 
LICENCIATURA EM ENGENHARIA E GESTĀO DA CONSTRUÇĀO 
Av. 25 de Setembro, n.o 2500, Tel./Fax: +258 21402161 Maputo 
 
 
 
Betão I - Módulo II – Dimensionamento de Lajes 
Elaborado por: Arsénio Zandamela 
 
35 
 
As tabelas de Czerny são uma quantificação do cálculo das lajes maciças 
rectangulares, supondo-as com uma grelhas de viga, mas levando em 
conta o efeito de resistência do facto de a laje ser continua e, portanto, 
mais resistente do que a grelha de vigas independentes imaginado. O 
método de Czerny é aplicado somente para lajes armadas em cruz. 
 
 
5.1.1 Passos para usar a tabela de Czerny 
 
1- Verificar qual dos seis casos nos encontramos; 
 
2- Calculamos a relação ly/lx que será a chave única de entrada, 
resultando a saída de mx, my, v1,v2. v3 e v4; 
 
3- Conhecidos mx, my e Kx, podemos calcular: 
 
Mx=q .(lx2 /mx ) (momento positivo X) 
Xx= (q. lx2 )/nx (momento negativo X) 
My=q .(lx2 /my) (momento positivo Y) 
Xy= (q. lx2 )/ny (momento negativo Y) 
R= v.q.lx , v-coeficientes de calculo de carga nas vigas 
 
4- Calcular as armaduras da laje tendo em consideração as 
disposições constantes no REBAP. 
 
5.2 Método de Marcus 
 
O dimensionamento de lajes armada em cruz, pode, também, ser pelo 
método de Marcus.Por conseguinte, a metodologia é idêntica ao método 
de Czerney, somente mudam os coeficientes das tabelas. A titulo 
ilustrativo vide (Tabela de Czerny - Caso 4 vs caso 4 do anexo). 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE TÉCNICA DE MOÇAMBIQUE 
FACULDADE DE CIÊNCIAS TECNOLOGICAS 
LICENCIATURA EM ENGENHARIA E GESTĀO DA CONSTRUÇĀO 
Av. 25 de Setembro, n.o 2500, Tel./Fax: +258 21402161 Maputo 
 
 
 
Betão I - Módulo II – Dimensionamento de Lajes 
Elaborado por: Arsénio Zandamela 
 
36 
 
 
 
Exercício 2 
O painel de lajes vigadas, representado na figura, apresenta uma 
espessura igual a 0.15 m e encontra-se submetido às seguintes acções: 
 - peso próprio; 
 - revestimento: 1.5 kN/m2; 
 - sobrecarga de utilização: 4.0 kN/m2; 
Dimensione e pormenorize as armaduras das lajes do piso recorrendo ao 
método das bandas e pelo método de czerny. Adopte para materiais betão 
C25/30 e aço A400NR. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II 
 
 115 
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO L3 
 
Alínea a) 
1. Cálculo das acções 
x Peso próprio pp = Jbetão u h = 25 u 0.15 = 3.8 kN/m2 
x Revestimentos rev = 1.5 kN/m2 
x Sobrecarga sc = 4.0 kN/m2 
psd = 1.5 cp + 1.5 sc = 1.5 u ( )3.8 + 1.5 + 4.0 = 13.9 kN/m2 
2. Painéis a calcular 
� Painel 1 
6.00
4.00
 
 Lmaior 
 Lmenor = 
 6 
 4 = 1.5 � 2 
� Laje armada nas duas direcções 
 
� Painel 2 
6.00
6.00
 
 Lmaior 
 Lmenor = 
 6 
 6 = 1.0 � 2 
� Laje armada nas duas direcções 
 
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II 
 
 114 
EXERCÍCIO L3 
 
O painel de lajes vigadas, representado na figura, apresenta uma espessura igual a 
0.15 m e encontra-se submetido às seguintes acções: 
 - peso próprio; 
 - revestimento: 1.5 kN/m2; 
 - sobrecarga de utilização: 4.0 kN/m2; 
 
6.00
6.00
4.00
6.00 
 
Dimensione as armaduras das lajes do piso, adoptando para materiais o betão C25/30 e 
a armadura A400NR, das seguintes formas: 
 
 a) recorrendo a tabelas, para o cálculo dos esforços elásticos. 
 b) pelo método das bandas. 
 c) Pormenorize de acordo com os resultados obtidos na alínea a). 
UNIVERSIDADE TÉCNICA DE MOÇAMBIQUE 
FACULDADE DE CIÊNCIAS TECNOLOGICAS 
LICENCIATURA