bioestatistica 2

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Responsável pelo Conteúdo: 
Prof Ms Alexandre Silva 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Medidas de Tendência Central 
e de Dispersão 
Vamos abordar um assunto importante no que diz respeito a 
transmissão das informações relativas à amostra ou população 
estudada. A condensação dos dados facilita a compreensão 
das características essenciais de uma amostra ou população, 
em se tratando de dados obtidos desses. Para viabilizar essa 
etapa, usamos as medidas de tendência central e de dispersão. 
Hoje vamos conhecer um pouco mais sobre essas medidas. 
 
Atenção 
Para um bom aproveitamento do curso, leia o material teórico atentamente antes de realizar 
as atividades. É importante também respeitar os prazos estabelecidos no cronograma. 
 
 
 
Fonte: 
http://pro.corbis.com/Enlargement/Enlargeme
nt.aspx?id=42-15490559&caller=search 
 
 
 
Vamos pensar na seguinte situação: Um 
pesquisador investigou 7 alunos universitários para 
saber quantas pessoas fazem uso do computador 
em suas respectivas residências. Vejam os dados 
coletados: 
 
 
 
 
 
Aluno Sônia Marcela Fábio Maria Joana Carlos Paulo 
Quantidade de 
pessoas que usam 
computador em casa 
2 0 1 1 0 0 10 
 
Considerando os dados acima, é correto afirmar que a média de usuários de 
computador nas residências dos alunos entrevistados é de 2 usuários por residência? 
Justifique. 
 
Resposta: 
 
Depende. Se fizéssemos a soma de todos os usuários e dividíssemos pelo numero de alunos 
entrevistados, com certeza encontraríamos que, em média, há 2 usuários de computador em 
cada residência. No entanto, se fizermos uma análise estatística adequada, perceberíamos que 
na casa de Paulo algo de diferente, se comparado às demais casas, acontece: lá há 10 
usuários de computador!! Percebam que é um valor que foge do padrão normal dos demais 
usuários. O correto seria que excluíssemos esse valor, para encontrarmos o “padrão real”, ou 
seja, a caracterização real dos usuários em cada casa. Se fizéssemos essa exclusão, teríamos 
uma média de 0,66 usuários, o que parece mais sensato, uma vez que há mais de uma casa 
onde não há usuários de computador. Em termos estatísticos, poderíamos dizer que, ao incluir 
todos, de Sônia a Paulo, teríamos uma média maior e um desvio padrão alto, e isso não 
caracterizaria adequadamente a amostra. Por outro lado, excluindo o valor extremo 10, 
teríamos a média menor que “2” e um desvio padrão menor, indicando o caráter homogêneo 
e real da amostra. 
Resumindo todo esse raciocínio: não seria correto afirmar que em cada casa há 2 
usuários de computador em média. 
Contextualização 
 
 
 
 
 
1- MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
 
As medidas de tendência central são muito confiáveis quanto mais representativo for o 
conjunto de elementos da amostra ou da população. Se o conjunto de elementos for bem 
selecionado, se guardar características semelhantes da população que foi extraída e se for 
suficientemente grande, melhor os dados refletirão o que poderíamos encontrar na população. 
Pode-se dizer também que essas medidas – de tendência central e de dispersão- são uma 
primeira caracterização dos conjuntos populacionais ou amostrais. 
 
1.1 Média Aritmética 
 
A média aritmética consiste na soma dos valores de um conjunto de dados, divididos 
pelo número de elementos. 
Veja o exemplo abaixo. Considere o seguinte conjunto de dados: 
11 10 10 12 23 24 30 
A média aritmética será = 11+10+10+12+23+24+30 / 7 = 17,14 
 
 
 
 
 
 
 
Material Teórico 
Observação: Frequentemente a média aritmética vem 
acompanhada de outra medida: o desvio padrão. Essa é uma 
medida de dispersão e indica o quanto os valores se “afastam” ou 
se “aproximam da média”. 
Observação 2: A média aritmética é muito influenciada por 
valores extremos, ou seja, valores muito menores ou maiores 
influenciam de forma marcante o valor real da média. 
 
 
 
Fonte: http://pro.corbis.com/Enlargement/Enlargement.aspx?id=42-17346030&cat=20,14,17,15,16,19&caller=search 
 
Dividir a conta em um bar (rachar a conta!) é um bom exemplo prático de média 
aritmética. 
A fórmula para cálculo da média aritmética é: 
 
Onde o X com uma barra significa média aritmética de uma amostra e n o número de 
indivíduos da amostra. 
 
Exercício resolvido: 
Uma nutricionista decidiu investigar a circunferência abdominal de 10 gerentes de uma 
grande empresa multinacional interessados em perder peso por meio de um programa de 
reeducação alimentar. As medidas seguem abaixo: 
Gerentes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Circunferência 88 83 79 76 78 70 80 82 86 105 
 
 
 
 
Devemos primeiro determinar qual o tamanho da amostra (n): 
Como no caso temos 10 gerentes, então dizemos que n = 10. 
Cada gerente representa um valor de x como segue: 
x1 = 88 
x2 = 83 
x3 = 79 
x4 = 76 
x5 = 78 
x6 = 70 
x7 = 80 
x8 = 82 
x9 = 86 
x10 = 105 
Substituindo na fórmula teremos: 
88+83+79+76+78+70+80+82+86+105 = 827 = 82,7 
10 10 
 
Dizemos então que: A média da circunferência abdominal dos 10 gerentes é de 82,7 cm. 
 
 
1.2 Mediana 
 
A mediana é outra medida que indica a caracterização do conjunto de valores. Essa 
indica o valor que divide ao meio o conjunto de valores, isto é, indica o valor que ocupa a 
posição central do conjunto de valores, não sofrendo qualquer interferência dos 
valores extremos. O seu cálculo depende da ordenação dos dados, o que corresponde em 
colocá-los em ordem crescente ou decrescente. 
 
 
 
 
Continuando com exemplo usado no calculo da média: 
11 10 10 12 23 24 30 
A mediana seria assim calculada: 
10 10 11 12 23 24 30 
 
 
Segue um exemplo com n par: 
11 10 10 12 23 24 
10+12= 22 
22 ÷ 2= 11 
Portanto, neste exemplo, 11 é a mediana da distribuição apresentada. 
1.3 Moda 
 
 
Moda é o valor que ocorre com maior frequência. Essa medida, juntamente com a 
média e a mediana, ajudam a compreender o padrão homogêneo dos dados. Quando essas 
três medidas estão próximas, podemos dizer que o conjunto de dados é homogêneo, ou seja, 
não há valores extremos, mas sim uma tendência de que boa parte dos números localizam-se 
próximos a essas três medidas. 
Se um conjunto de dados possui um único valor que se repete com maior frequência, 
diz-se que o conjunto e unimodal; quando dois números aparecem com maior frequência, é 
bimodal; se três ou mais números aparecem com maior frequência, é multimodal. A 
ausência de moda caracteriza-se um conjunto amodal. 
 
 
Essa é a mediana, pois é o valor central de um 
conjunto de dados. Quando o número de 
valores for ímpar (como no caso acima), a 
mediana será sempre o valor do meio. 
Fonte: http://pro.corbis.com/Enlargement/Enlargement.aspx?id=42-21052967&cat=20,14,17,15,16,19 
Como o n é par soma-se os dois valores 
centrais e divide-se por “2”. 
 
 
Veja o exemplo abaixo. Considere o seguinte conjunto de dados: 
0 1 1 2 3 4 4 4 5 
Analisando os dados, observa-se que o número “4” é o número que se repete com 
maior frequência (3 vezes). Dessa forma dizemos que o conjunto é unimodal. 
Vamos analisar outro conjunto de dados: 
0 1 1 1 3 4 4 4 5 
 
Analisando os dados, observa-se que os números “1” e “4” se repetem com maior 
frequência (3 vezes cada um). Dessa forma dizemos que o conjunto é biimodal. 
 
2. MEDIDAS DE DISPERSÃO 
 
Asmedidas de tendência central, vistas anteriormente, ajudam a explicar a tendência 
central dos dados, ou seja, o quanto esse conjunto é homogêneo. Essas medidas precisam 
estar acompanhadas de outras informações que indique a VARIABILIDADE dos dados, isto 
é, o quanto os valores divergem em relação aos valores de caracterizarão geral da população 
ou amostra. 
Considere a situação apresentada no livro Introdução à bioestatística, da autora Sônia 
Vieira (2008): 
“Considerando 2 domicílios, sendo que em um deles moram 7 pessoas, todas 
com 22 anos de idade. A média de idade será de 22 anos. No outro domicilio, 
poderíamos ter a mesma média de idade, no entanto, nesse segundo domicilio, 
moram uma garota de 17 anos, um garoto com 23 anos, duas crianças de 2 e 
3 anos, respectivamente, além de uma mulher de 38 anos, outra criança de 8 
anos e uma senhora de 65 anos. “ 
 
 
Nesse exemplo acima, temos dois conjuntos de valores, cuja 
variabilidade é diferente, embora a média seja a mesma. No primeiro 
conjunto de valores, a variabilidade é bem menor, condição contraria a 
que ocorre no segundo grupo, no qual a variabilidade é maior, pois as 
idades variam do 2 até os 65 anos. 
 
 
2.1 Quartis e Percentis 
Já aprendemos que a mediana é o valor que divide ao meio o conjunto de valores. 
Poderíamos dizer também que a mediana indica que, abaixo daquele valor temos 50% das 
observações, dos valores. Mas, há situações em que podemos dividir o conjunto de 
valores em partes menores. Quartis, Decis e Percentis indicam essa possbilidade. 
Sendo assim, o primeiro quartil indica que 25% dos valores estão abaixo desse valor; o 
segundo quartil indica que 50% da amostra está abaixo desse valor. E assim por diante. Veja 
o modelo abaixo: 
 
 
 
25% 25% 25% 25% 
 
 
 
 
 
 
Já os percentis consideram as posições dividindo o conjunto de valores em 100 partes. 
Da mesma forma que o quartil, o percentil 70, por exemplo, indica que 70% dos valores de 
um conjunto encontram-se abaixo desse valor. 
Observação: Percebam, no modelo esquemático abaixo, que uma posição (ou valor) 
pode ser indicada de mais uma forma. 
 
25% 25% 25% 25% 
 
 
 
 
 
1o 
quartil 
2o 
quartil 
 
3o 
quartil 
50% dos valores 
75% dos valores 
50% 
 
2o. quartil Percentil 50 
 
 
2.2 Amplitude, Mínimo e Máximo 
 
A amplitude explica a variabilidade de valores, e por isso é considerada uma medida 
de dispersão. É definida como a diferença entre o maior e o menor valor de um determinado 
conjunto de valores. 
Menor, também chamado de mínimo, é o menor valor de um determinado conjunto de 
valores. 
Maior, também chamado de máximo, é o maior valor de um determinado conjunto de 
valores. 
 
 
 
 
 
 
 
2.3 Variância e Desvio Padrão 
Essas duas medidas indicam a variabilidade, distância dos valores em torno do valor 
médio encontrado para um determinado conjunto de dados (valores). Se menores- a 
variância e o desvio padrão-, indicam pouca variabilidade dos valores, caracterizando um 
conjunto de valores mais homogêneo, ou seja, a de variabilidade pequena. 
 
 
 
 
Observação: assim como a média, a amplitude é muito influenciada por 
valores extremos, isto é, um valor muito baixo ou muito alto altera facilmente 
essa medida e pode, em determinados casos, não representar a real 
variabilidade do conjunto de valores, pois houve o comprometimento em razão 
desse(s) valor(es) extremo(s). 
Maior - menor 
A M P L I T U D E 
 
 
Considere as informações abaixo: 
 
Percebam que tanto a variância quanto o desvio padrão partem do cálculo da 
distância de um valor em relação à media ( ). Faz-se a somatória dessas 
distâncias e, por “necessidades” matemáticas, eleva-se ao quadrado (para eliminar os valores 
negativos das distâncias), ou extraímos a raiz quadrada (pois queremos eliminar a elevação ao 
quadrado de uma determinada medida. 
 
 
 
 
Exercício Resolvido: 
Vamos considerar o seguinte 
conjunto de notas de um determinado 
aluno: 
5,0 6,0 5,0 9,0 
Calcule a Variância e o Desvio Padrão. 
Variância é representada por s, pela fórmula dada, precisamos subtrair cada valor de x 
da média da amostra, somar todos estes valores, elevar o resultado ao quadrado e depois 
dividir por n-1. 
Vamos fazer passo a passo: 
Abaixo a fórmula do desvio padrão. 
Fonte: Curso de Bioestatística Profa. Dra. Ângela Paes, 2006 
Definiremos como Variância a soma dos quadrados dos 
desvios de cada observação em relação à media, dividida 
por “(n-1)” 
E Desvio Padrão como a raiz quadrada da variância. 
 
 
 
S = 
Vamos calcular em primeiro lugar a média: 
= (5+6+5+9)÷4 
= 25÷4 
= 6,25 
Vamos subtrair cada valor de x da média amostral. 
 
 
 
 
x x 
5 - 6,25 -1,25 
6 - 6,25 -0,25 
5 - 6,25 -1,25 
9 - 6,25 +2,75 
 
Agora, vamos elevar os valores obtidos ao quadrado 
x x 
5 - 6,25 -1,25 1,56 
6 - 6,25 -0,25 0,0625 
5 - 6,25 -1,25 1,5625 
9 - 6,25 +2,75 7,5625 
 
 
 
Notas dos alunos Média calculada X menos a média 
 
 
Precisamos então somar os quadrados obtidos: 
x x 
 
5 - 6,25 -1,25 1,56 
6 - 6,25 -0,25 0,0625 + 
5 - 6,25 -1,25 1,5625 
9 - 6,25 +2,75 7,5625 
 =10,75 
 
A fórmula pede que este valor (10,75), seja dividido por n-1. 
No nosso exemplo n = 4 (quatro notas), então 4-1 = 3 
Então: 
10,75 ÷ 3 = 3,58 
Portanto: 
s (variância) é igual a 3,58. 
O desvio padrão é representado por s2. 
s2 é igual a raiz quadrada de s (variância), então: 
s2 = 
s2 = 
s2 = 1,89 ou seja, o desvio padrão das notas deste aluno é 1,89, sendo que a média 
foi 6,25 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.4 Coeficiente de Variação 
 
Esse medida indica a dispersão dos valores em relação à média. Para se calcular o 
coeficiente de variação, usamos o desvio padrão e a média. 
 
 
Percebam que o CV não possuirá unidade de medida (é adimensional). Dessa forma, 
podemos comparar a dispersão de valores para dados quantitativos que utilizaram medidas 
diferentes, como metros e quilogramas. O uso de coeficientes não é tão frequente quanto o 
uso das outras medidas discutidas nesse capitulo. Os coeficientes são importantes na 
elaboração de indicadores de saúde. 
 
CONCLUSÃO 
 
As medidas de tendência central e de dispersão são úteis na compreensão e 
caracterização dos dados populacionais ou amostrais. A apresentação dessas medidas ajuda a 
entender o caráter homogêneo ou não dos dados, bem como a forma de dispersão dos 
mesmos em relação a um determinado valor médio. 
CV= desvio padrão / média x 100 
 
 
 
 
 
ELA MERCEDES MEDRANO DE TOSCANO (Minas Gerais). Estatística usando Excell: 
Belo Horizonte: 2001. 43 p. Disponível em: 
<www.est.ufmg.br/~mercedes/est%20usando%20excel.pdf>. Acesso em: 07 set. 2009. 
 
 
Material Complementar 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Arango, H.G. Bioestatística- Teórica e Computacional. 2.ed. Rio de Janeiro: Guanabara 
Koogan, 2005. (acompanha CD demonstrativo). 
Vieira, S. Princípios de Estatística. 1.ed. São Paulo: Pioneira Thomsoom Learning, 2003. 
Vieira, S. Introdução à Bioestatística. 4ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2008. 
Triola, M.F. Introdução à Estatística. Rio de Janeiro: LTC, 2005 
 
Referências 
 
 
 
 
 
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Anotações