Resolução Maquinas Eletricas Fitzgerald edição 7 capitulo 3

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Resolução Maquinas Eletricas Fitzgerald edição 7 capítulo 3
3-1
Exercício
Um circuito magnético com um único entreferro está mostrado na Fig.1.27. As 
dimensões do núcleo são:
Área da seção reta Ac = 3,5 cm2 
Comprimento médio do núcleo lc = 25 cm
Comprimento do entreferro g = 2,4 mm 
N = 95 espiras
Suponha que o núcleo tenha permeabilidade infinita (μ → ∞) e despreze os efeitos dos 
campos de fluxo disperso e de espraiamento no entreferro. (a) Calcule a relutância do 
núcleo ℛc e a do entreferro ℛg. Para uma corrente de i = 1,4 A, calcule (b) o fluxo 
total φ, (c) o fluxo concatenado λ da bobina e (d) a indutância L da bobina.
Figura 1.27 Circuito magnético do Problema 1.1.
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 9 keyboard_arrow_down 
(a)
Para solucionarmos os problemas de (a) a (c), vamos retomar alguns parâmetros dados 
pelo exercício e enumerar as equações que serão úteis para cada cálculo.
Assim, em sistemas puramente magnéticos, a força é determinada utilizando a equação 
proveniente da Lei Força de Lorentz:
......(1)
Porém, sabemos que velocidade v corresponde à taxa de variação de deslocamento das 
cargas em função do tempo ao longo do fio de comprimento l. E ainda, a corrente 
elétrica corresponde à taxa de variação das cargas em função do tempo. Como podemos 
ver nas equações em seguida:
......(2)
......(3)
Dessa forma, substituindo as equações (2) e (3) em (1), e simplificando a notação das 
variáveis vetoriais, temos:
Passo 2 de 9 keyboard_arrow_down
No sistema com duas bobinas haverá 4 forças, sendo 2 forças para cada fio referentes a 
correntes para “dentro do papel (d)” e para “fora do papel (f)”.
A união desses dados será a soma dos conjugados resultantes de cada uma das 4 forças:
O conjugado de cada força pode ser calculado multiplicando-se a força pela 
distância R, que corresponde à distância do centro do motor até cada fio:
Passo 3 de 9 keyboard_arrow_down 
Então, vamos retomar que:
m
m 
T
Passo 4 de 9 keyboard_arrow_down
Dessa forma, vamos buscar o conjugado para e A.
Passo 5 de 9 keyboard_arrow_down 
Assim, a solução para a questão é:
Passo 6 de 9 keyboard_arrow_down 
(b)
Dessa forma, podemos buscar o conjugado para e A.
Passo 7 de 9 keyboard_arrow_down 
Assim, a solução para a questão é:
Passo 8 de 9 keyboard_arrow_down
(c)
Podemos também buscar o conjugado para e A.
Passo 9 de 9 keyboard_arrow_down 
Assim, a solução para a questão é:
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3-2
Exercício
As correntes de enrolamento do rotor do Problema 3.1 são controladas em função do 
ângulo α do rotor de modo que
Escreva uma expressão para o conjugado do rotor em função da posição α do rotor. 
Problema 3.1
O rotor da Figura 3.28 é semelhante ao da Figura 3.2 (Exemplo 3.1), execto o fato de 
que tem duas bobinas em vez de uma. O rotor é não magnífico e está colocado em um 
campo magnético uniforme de valor B0. Os lados das bobinas têm raio R e estão 
espaçados uniformemente ao redor da superfície do rotor, A primeira bobina está 
conduzindo uma corrente I1 e a segunda, uma corrente I2.
Supondo que o rotor tenha um comprimento de 0,32 m, R = 0,13 m e B0 = 0,87 T, 
encontre o conjugado no sentido de θ em função da posição a do rotor para (a) I1 = 0 A
e I2 = 5 A, (b) I1 = 5 A e I2 = 0 A e (c) I1 = 8 A e I2 = 8 A.
Figura 3.28 Rotor de duas bobinas.
Figura 3.2 Rotor com bobina de espira única
Exemplo 3.1
Um rotor cilíndrico não magnético (montado em um eixo no seu centro), contendo uma
bobina de espira única, está colocado em um campo magnético uniforme de módulo B0,
como mostrado na Figura 3.2. Os lados da bobina estão a uma distância do eixo igual ao
raio R e o fio conduz uma corrente I
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 3 keyboard_arrow_down
Utilizando a equação abaixo obtida na questão 3.1:
Passo 2 de 3 keyboard_arrow_down
Iremos obter uma nova equação para o conjugado magnético para o caso em que as 
correntes das bobinas possuem valor variável em função do ângulo .
Passo 3 de 3 keyboard_arrow_down
Pelos dados da questão, podemos ver que as correntes possuem os seguintes valores:
A 
A
Agora, vamos substituir as equações das correntes na equação do torque:
Por fim, analisando o resultado, verificamos que o torque deixa de ser função do ângulo 
alfa e assume valor constante durante todo o ciclo do rotor.
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3-3
Exercício
Considere o circuito magnético do Exemplo 1.2. Para as condições de funcionamento 
expressas no exemplo (a) encontre a energia magnética armazenada da Eq. 3.21 e (b) 
Encontre (i) a indutância do enrolamento de N espiras, (ii) o fluxo concatenado do 
enrolamento e (iii) a energia magnética armazenada da Eq. 3.19.
Exemplo 1.2
A estrutura magnética de uma máquina síncrona está mostrada esquematicamente na 
Fig. 1.5. Assumindo que o ferro do rotor e do estator têm permeabilidade infinita (μ →
∞), encontre o fluxo φ do entreferro e a densidade de fluxo Bg. Neste exemplo, I = 10 
A, N = 1000 espiras, g = 1 cm e Ag = 200 cm2.
Solução
Observe que há dois entreferros em série, de comprimento total 2g, e que por simetria a 
densidade de fluxo em cada um é igual. Como assumimos que a permeabilidade do 
ferro é infinita, a sua relutância é desprezível e a Eq. (com g substituído pelo 
comprimento total de entreferro 2g) pode ser usada para encontrar o fluxo
Figura 1.5 Máquina síncrona simples
(1.20)
(3.21)
(3.19)
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 5 keyboard_arrow_down 
(a)
Vamos retomar a equação 3.21, a energia magnética armazenada citada é obtida através 
dela:
......(1)
Já sabemos que a densidade de fluxo B será:
......(2)
Sendo o fluxo obtido com a expressão:
......(3)
Passo 2 de 5 keyboard_arrow_down
Podemos, assim, calcular a energia magnética substituindo as equações (2) e (3) em (1):
Passo 3 de 5 keyboard_arrow_down 
(b)
Na etapa (i), vamos encontrar a indutância de enrolamento de N espiras, a qual é obtida 
pela fórmula:
Passo 4 de 5 keyboard_arrow_down
Etapa (ii): buscamos o fluxo concatenado do enrolamento, o qual pode ser expresso 
como:
Passo 5 de 5 keyboard_arrow_down
Na etapa (iii), por fim, a energia magnética armazenada utilizando a fórmula que 
relaciona energia com o fluxo concatenado e indutância:
thumb_up
3-4
Exercício
Um indutor tem uma indutância que foi obtida experimentalmente como
onde L0 = 70 mH, x0 = 1,20 mm e x é deslocamento de um elemento móvel. A sua 
resistência de enrolamento foi medida e é igual a 135 mΩ.
a. O deslocamento x émantido constante em 1,30 mm e a corrente é incrementada de 0 a 
7,0 A. Encontre a energia magnética armazenada resultante no indutor.
b. Em seguida, a corrente é mantida constante em 7,0 A e o deslocamento é 
incrementado até 2,5 mm. Encontre a respectiva variação de energia magnética 
armazenada.
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 5 keyboard_arrow_down 
719458-3-4P AID: 18547 | 03/10/2016
Passo 2 de 5 keyboard_arrow_down 
(a)
Vamos começar convertendo os dados do problema para o SI:
A energia magnética no indutor pode ser calculada utilizando a fórmula abaixo:
Essa formula é a função da indutância e da corrente que flui pelo indutor. A indutância 
por sua vez é a função do deslocamento x de um elemento móvel:
Passo 3 de 5 keyboard_arrow_down
Para x = 0,0013m, calculamos a energia magnética resultante no indutor:
Joules
Passo 4 de 5 keyboard_arrow_down 
(b)
Considerando o resultado anterior como 
deslocamento com x = 0,0025m.
, calculamos o novo valor do
Passo 5 de 5 keyboard_arrow_down 
Dessa forma, a solução da questão é:
Joules
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3-5
Exercício
O indutor do Problema 3.4 é acionado por uma fonte senoidal de corrente da forma
onde I0 = 7,0 A e ω = 120π (60 Hz). Com o deslocamento mantido fixo em x = x0, 
calcule (a)a energia magnética média (Wemp), em relação ao tempo, armazenada no 
indutor e (b) a potência dissipada média, em relação ao tempo, na resistência de 
enrolamento.
Problema 3.4
Um indutor tem umaindutância que foi obtida experimentalmente como
onde L0 = 70 mH, x0 = 1,20 mm e x é deslocamento de um elemento móvel. A sua 
resistência de enrolamento foi medida e é igual a 135 mΩ.
a.O deslocamento x émantido constante em 1,30 mm e a corrente é incrementada de 0 a 
7,0 A. Encontre a energia magnética armazenada resultante no indutor.
b.Em seguida, a corrente é mantida constante em 7,0 A e o deslocamento é 
incrementado até 2,5 mm. Encontre a respectiva variação de energia magnética 
armazenada.
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 5 keyboard_arrow_down 
(a)
Primeiramente, vamos retomar os dados do problema convertidos para o SI:
rad/s
Podemos calcular a energia magnética utilizando a equação:
Essa equação relaciona a energia magnética armazenada num dispositivo como função
da indutância L e corrente I que flui entre seus terminais. Por sua vez, a indutância é a
função do comprimento do entreferro x, e a corrente é variável com o tempo t.
Passo 2 de 5 keyboard_arrow_down
Como x é mantido constante e a corrente é variável no tempo, podemos calcular a
energia magnética média utilizando o valor RMS da corrente que, sendo senoidal,
possui valor:
Passo 3 de 5 keyboard_arrow_down
Logo, a fórmula abaixo nos dará o resultado final:
Passo 4 de 5 keyboard_arrow_down 
(b)
A potência média dissipada no resistor do problema 3.4 (R = 0,135?) pode ser calculada 
como:
Passo 5 de 5 keyboard_arrow_down 
Assim, a solução final é
W.
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3-6
Exercício
Um amador com uma palheta rotativa está mostrada na Figura 3.29. Você pode assumir 
que a permeabilidade do núcleo e da palheta é infinita (μ → ∞).
Figura 3.29 Atuador com palheta rotativa. (a) Vista lateral. (b) Vista frontal.
O comprimento total do cntrcfcrro é 2g e o formato da palheta é tal que podemos 
assumir que a área efetiva do cntrcfcrro é dada por
(valido apenas no intervalo | θ | ≤ π/6). 
a, Encontre a indutância L(θ).
b. Para g = 0,9 mm, A0 = 5,0 mm2, N = 450 espiras e i = 5 A, use o MATLAB para 
plotar a energia magnética armazenada no atuador em função do ângulo θ para | θ |
≤ π/6.
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 4 keyboard_arrow_down 
(a)
A indutância L em função do ângulo pode ser obtida substituindo a fórmula da área 
do entreferro :
Na expressão da indutância L:
Passo 2 de 4 keyboard_arrow_down 
Assim, temos:
Passo 3 de 4 keyboard_arrow_down 
(b)
Vamos primeiramente retomar alguns dados para a plotagem.
Passo 4 de 4 keyboard_arrow_down
Agora, podemos ver no gráfico a energia magnética armazenada:
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3-7
Exercício
O indutor do Problema 3.6 é conectado a um controlador que mantém constante o fluxo 
concatenado do enrolamento, Observa-se que a corrente de enrolamento é 5 A
quando θ = 0. Usando MATLAB, plote a energia magnética armazenada no atuador em 
função do ângulo | θ | para | θ | ≤ π/6.
Problema 3.6
Um amador com uma palheta rotativa está mostrada na Figura 3.29. Você pode assumir 
que a permeabilidade do núcleo e da palheta é infinita (μ → ∞).
Figura 3.29 Atuador com palheta rotativa. (a) Vista lateral. (b) Vista frontal.
O comprimento total do cntrcfcrro é 2g e o formato da palheta é tal que podemos 
assumir que a área efetiva do cntrcfcrro é dada por
(valido apenas no intervalo | θ | ≤ π/6). 
a, Encontre a indutância L(θ).
b. Para g = 0,9 mm, A0 = 5,0 mm2, N = 450 espiras e i = 5 A, use o MATLAB para 
plotar a energia magnética armazenada no atuador em função do ângulo θ para | θ |
≤ π/6.
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 2 keyboard_arrow_down
Essa questão será toda desenvolvida com o auxílio do software MATLAB. Uma 
possível forma de resolver está descrita abaixo:
Passo 2 de 2 keyboard_arrow_down
O código em MATLAB gera o gráfico da variação da energia magnética em função do 
ângulo theta que varia entre -30 a + 30 graus.
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3-8
Exercício
Um circuito RC está conectado a uma bateria, como mostrado na Figura. 3.30 A chave 
S está inicialmente fechada e é aberta no tempo t = 0.
a. Encontre a tensão vC(t)do capacitor para t ≥ 0.
b.Quais são os valores inicial e final (t = ∞) da energia armazenada no capacitor? 
(Sugestão: .) Qual é a energia armazenada no 
capacitor em função do tempo?
c.Qual é a potência dissipada no resistor em função do tempo? Qual é a energia total 
dissipada no resistor?
Figura 3.30 Circuito RC
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 7 keyboard_arrow_down 
(a)
Um circuito RC resultante da desconexão repentina de uma fonte cc promove a 
liberação da energia anteriormente armazenada no capacitor para o resistor. Como o 
capacitor está inicialmente carregado, a tensão é:
Passo 2 de 7 keyboard_arrow_down
Encontramos na etapa acima uma equação diferencial de primeira ordem. Então, 
podemos fazer a integração em ambos os lados da equação:
Passo 3 de 7 keyboard_arrow_down 
(b)
A energia magnética pode ser calculada utilizando a fórmula abaixo:
Passo 4 de 7 keyboard_arrow_down
Como a capacitância C é constante, a energia magnética é função somente da tensão nos
terminais do capacitor. Assim, utilizando os valores de tensão final e 
inicial , podemos calcular a energia magnética armazenada em cada caso.
Inicial:
Final:
Passo 5 de 7 keyboard_arrow_down 
(c)
A potência dissipada no resistor em função do tempo pode ser obtida utilizando a 
equação:
Passo 6 de 7 keyboard_arrow_down
A potência sofre um decaimento ao longo do tempo devido à presença do fator 
exponencial na expressão da tensão tendendo a zero quando o tempo t tende ao infinito. 
Passo 7 de 7 keyboard_arrow_down
A energia total dissipada no resistor ao longo do tempo é numericamente igual à energia 
armazenada no capacitor no momento de abertura da chave , ou seja, toda
energia armazenada no capacitor será transferida (e perdida) na forma de calor no 
resistor ao longo do tempo após a abertura da chave:
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3-9
Exercício
Um circuito RL está conectado a uma bateria, como mostrado na Figura 3.31. A chave 
S está inicialmente fechada e é aberta no tempo t = 0.
a.Encontre a corrente iL(t) do indutor para t ≥ 0. (Sugestão: Observe que enquanto a 
chave estiver fechada o diodo está inversamente polarizado, podendo ser visto como um 
circuito aberto. Logo após a chave ser aberta, o diodo torna-se diretamente polarizado, 
podendo ser visto como um curto-circuito.)
b.Quais são os valores inicial e final (t = ∞) da energia armazenada no indutor? Qual é 
a energia armazenada no indutor em função do tempo?
c.Qual é a potência dissipada no resistor em função do tempo? Qual é a energia total 
dissipada no resistor?
Figura 3.31 Circuito RL.
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 6 keyboard_arrow_down 
(a)
Para t = 0, a corrente inicial é:
Utilizando a Lei das tensões de Kirchhoff, obtemos uma equação diferencial de 1ª 
ordem:
Passo 2 de 6 keyboard_arrow_down
Integrando em ambos os lados, obtemos a corrente em função do tempo no indutor:
Passo 3 de 6 keyboard_arrow_down 
(b)
Quando a chave é aberta, a energia inicial contida no indutor é obtida com a fórmula:
Passo 4 de 6 keyboard_arrow_down 
Assim,
Passo 5 de 6 keyboard_arrow_down 
(c)
Podemos definir a potência dissipada no resistor por:
Passo 6 de 6 keyboard_arrow_down
A energia total dissipada no indutor é igual à energia armazenada no momento inicial de 
abertura da chave t = 0:
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3-10
Exercício
A constante de tempo L/R do enrolamento de campo de um gerador síncrono de 500 
MVA é 4,8 s. Em condições normais de funcionamento, sabe-se que o enrolamento de 
campo dissipa 1,3 MW. (a) Calcule a energia magnética armazenada nessas condições,
(b) Sc a tensão dos terminais do enrolamento de campo for subitamente reduzida para 
70% do valor da parte (a), calcule a energia magnética armazenada em função do 
tempo.
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 4 keyboard_arrow_down 
(a)
Vamos retomar que:
Assim, podemos calcular a energia magnética armazenada nessas condições com a 
seguinte fórmula:Para isso, vamos multiplicar a equação da energia magnética de maneira conveniente 
por 1 (R/R), de forma que apareça a expressão da potência escrita anteriormente:
Passo 2 de 4 keyboard_arrow_down 
O que resulta em:
Joules
Passo 3 de 4 keyboard_arrow_down 
(b)
A corrente possui uma relação entre tensão e resistência, o que podemos afirmar por:
Podemos também verificar qual o impacto da mudança da redução de tensão na corrente 
do circuito. Sendo i’ a corrente após a redução da tensão, então:
Passo 4 de 4 keyboard_arrow_down
Por fim, podemos refazer os cálculos do item (a), o que nos dá o novo valor da energia 
magnética:
Joules
thumb_up
3-11
Exercício
No seu intervalo normal de funcionamento, a indutância do amador de uma campainha 
elenica é medida como sendo da forma
na faixa de funcionamento 0,5 X0≤ x ≤ 2 X0.
a. Encontre a energia magnética armazenada Wemp(λ, x).
b. Encontre uma expressão para a força do atuador em função de λ e x.
c.Encontre uma expressão para a força em função de x assumindo que a corrente do 
atuador é mantida constante em i = I0. A força atua no sentido de aumentar ou 
diminuir x?
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 6 keyboard_arrow_down 
(a)
Primeiramente, a energia magnética armazenada é função da indutância L(x).
Passo 2 de 6 keyboard_arrow_down 
Ela é fornecida como:
Passo 3 de 6 keyboard_arrow_down 
(b)
Vamos relembrar que a força do atuador pode ser obtida utilizando o resultado anterior 
do item (a).
Passo 4 de 6 keyboard_arrow_down 
Assim:
Passo 5 de 6 keyboard_arrow_down 
(c)
Sendo e , podemos substituir esses dados na expressão da força, 
deixando-a somente em função do deslocamento x:
Passo 6 de 6 keyboard_arrow_down
Como podemos observar, a força é inversamente proporcional ao deslocamento x.
thumb_up
3-12
Exercício
A indutância de um enrolamento de fase de um motor trifásico de poios salientes foi 
medida e é dada por
onde θm é a posição angular do rotor.
a. Quantos poios há no rotor deste motor?
b. Supondo que todas as demais correntes de enrolamento sejam zero e que esta fase
seja excitada por uma corrente constante I0, encontre o conjugado Temp(θ)que atua
sobre o rotor.
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 2 keyboard_arrow_down
(a)
A indutância em questão é função do ângulo de deslocamento mecânico que possui 
relação com os pólos da máquina através da equação:
Sendo o ângulo elétrico do motor, podemos calcular o número de pólos da máquina 
em questão por comparação:
Passo 2 de 2 keyboard_arrow_down 
(b)
Podemos também calcular o conjugado mecânico utilizando a fórmula:
......(1)
Substituindo 
conjugado:
na equação (1), temos a expressão do
thumb_up
3-13
Exercício
Um sistema de campo magnético contém uma única bobina e um rotor tal que a 
indutância da bobina varia com o ângulo do rotor θm segundo
A bobina é alimentada por uma fonte de energia que usa realimentação para manter uma 
corrente constante I0.
a.Encontre uma expressão para o conjugado magnético Tempque atua no rotor em 
função de sua posição θm.
b.Se o rotor for adernado com velocidade angular constante tal que θm = ωmt, encontre 
uma expressão para a potência instantânea p(t) que deve ser fornecida ã bobina pela 
fonte de alimentação.
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 4 keyboard_arrow_down 
(a)
Podemos calcular o conjugado mecânico utilizando a fórmula:
......(1)
Passo 2 de 4 keyboard_arrow_down
Substituindo 
conjugado:
na equação (1), temos seguinte expressão do
Passo 3 de 4 keyboard_arrow_down 
(b)
Fazendo uma substituição de variável 
potência instantânea p(t):
podemos encontrar a expressão para a
Passo 4 de 4 keyboard_arrow_down 
Assim, a potência instantânea é:
thumb_up
3-14
Exercício
Como mostrado na Figura 3.32, um eletroímâ de N espiras deve ser usado para levantar 
uma barra de ferro de massa M. A aspereza da superfície do ferro é tal que quando o 
ferro e o eletroímâ estão em contato, há um entreferro minimo de gmin = 0,31 mm em 
cada perna. A area da scçâo reta do eletroímâ é Ac = 32 cm2 e a rcsistÊncia da bobina 
de 475 espiras é2,3 Ω. Calcule a tensão mínima na bobina que deve ser usada para 
elevar uma barra de 12 kg de massa contra a força de gravidade. Despreze a relutância 
do caminho do fluxo através do ferro.
Figura 3.32 Elevação de uma barra de ferro por um eletroímâ.
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 3 keyboard_arrow_down
A força magnética é calculada usando a fórmula:
......(1)
Sendo a indutância uma função do entreferro g,
......(2)
Substituindo a expressão da indutância (2) em (1), obtemos a força:
Passo 2 de 3 keyboard_arrow_down
Para ocorrer a elevação, a força magnética precisa ser no mínimo igual à força 
correspondente ao peso da barra. Com isso, igualando a força magnética quando o 
entreferro é mínimo ( ):
Passo 3 de 3 keyboard_arrow_down
Agora podemos calcular a tensão mínima através da equação:
thumb_up
3-15
Exercício
Atuadorcs de solenóide, cilíndricos e envoltos em ferro, na forma mostrada na Figura 
3.33, são usados em acionamento de disjuntores, operação de válvulas e outras 
aplicações em que uma força relativamente grande deve ser aplicada a um elemento que 
se desloca por uma distância relativamente pequena. Quando a corrente da bobina é 
zero, o êmbolo cai até um pino limitador de deslocamento de modo que o
entreferro g tenha um valor máximo gmax. Quando a bobina é energizada por uma 
corrente contínua de intensidade suficiente, o êmbolo é erguido até um outro pino 
limitador, ajustado de modo que o entreferro g seja gmin. O émbolo é montado de tal 
modo que pode se mover livremente na direção vertical.
Para os propósitos deste problema, você pode desprezar o espraiamento magnéticos nos 
entreferros e assumir que a queda de FMM no ferro pode ser desconsiderada.
a.Deduza uma expressão para a densidade de fluxo Bg no entreferro variável em função 
do comprimento de entreferro g e da corrente i da bobina.
b.Deduza uma expressão para o fluxo concatenado da bobina λ e da indutância L em 
função do comprimento da corrente g de entreferro e da corrente i da bobina.
c.Deduza uma expressão para a coenergia W′emp no atuador em função do 
comprimento atual g de entreferro e da corrente i da bobina.
d.Deduza uma expressão para a força no êmbolo em função do comprimento g de 
entreferro e da corrente i da bobina. Se i for mantida constante, a força atuará 
aumentando ou diminuindo g?
Figura 3.33 Atuador de êmbolo cilíndrico.
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 10 keyboard_arrow_down 
(a)
Para facilitar a resolução dessa questão podemos fazer um circuito magnético análogo 
ao modelo de circuito elétrico, da seguinte forma:
A relutância total equivalente do circuito será:
Com:
Passo 2 de 10 keyboard_arrow_down 
Dessa forma, temos que:
E mais, a densidade de fluxo é definida como a relação:
Sendo:
Passo 3 de 10 keyboard_arrow_down
Assim, temos os parâmetros para construir a expressão da densidade de fluxo do 
sistema:
Passo 4 de 10 keyboard_arrow_down 
(b)
Para deduzir o cálculo do fluxo concatenado, devemos retomar que . Logo:
Passo 5 de 10 keyboard_arrow_down
Agora, a indutância pode ser calculada da seguinte forma:
Passo 6 de 10 keyboard_arrow_down 
(c)
A co-energia, sendo função da indutância encontrada no item anterior, pode ser obtida 
como:
Passo 7 de 10 keyboard_arrow_down 
Dessa forma, a expressão para ela é:
Passo 8 de 10 keyboard_arrow_down
(d)
A expressão para a força do êmbolo em função do comprimento g de entreferro e da 
corrente i da bobina pode ser obtida através da equação da força :
Passo 9 de 10 keyboard_arrow_down
Substituindo a expressão da indutância na expressão da força acima:
Passo 10 de 10 keyboard_arrow_down 
Dessa forma, obtemos a expressão da força:
thumb_up
3-16
Exercício
Considere o atuador do êmbolo do Problema 3.15 e Figura 3.33 com as seguintes 
características:
a.O entreferro g do atuadoré ajustado para seu valor mínimo gmin e uma fonte de 
corrente é usada para ajustar a corrente da bobina de tal forma que a densidade de fluxo 
no entreferro variável é igual a 0,8 T. Calcule a corrente da bobina I0.
b.Com a corrente da bobina mantida constante em I0, uma força externa é aplicada ao 
êmbolo e ele é puxado à sua posição máxima gmax. Use o MATLAB para plotar a força 
externa fext necessária para mover o êmbolo quando o entreferro varia
de gmin até gmax.
c. Quando o entreferro variável vai de gmin até gmaxna parte (b), calcule
i. a variação de energia magnética armazenada ΔWemp.
ii. A energia total fornecida ao atuador pelo sistema externo Eext e
iii.A energia total Egen! fornecida à fonte de corrente. Sugestão: Use a conservação de 
energia. Como a corrente da bobina é constante, a potencia dissipada na resistência da 
bobina também é constante e não precisa ser considerada neste cálculo.
Problema 3.15
Atuadorcs de solenóide, cilíndricos e envoltos em ferro, na forma mostrada na Figura 
3.33, são usados em acionamento de disjuntores, operação de válvulas e outras 
aplicações em que uma força relativamente grande deve ser aplicada a um elemento que 
se desloca por uma distância relativamente pequena. Quando a corrente da bobina é 
zero, o êmbolo cai até um pino limitador de deslocamento de modo que o
entreferro g tenha um valor máximo gmax. Quando a bobina é energizada por uma 
corrente contínua de
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 7 keyboard_arrow_down 
(a)
Utilizando o MATLAB, escrevemos o código que calcula todos os itens da questão.
Passo 2 de 7 keyboard_arrow_down 
Continuando,
Passo 3 de 7 keyboard_arrow_down
A corrente da bobina foi obtida utilizando a expressão:
O resultado do cálculo fornecido pelo código é:
i = 0,4584 A
Passo 4 de 7 keyboard_arrow_down 
(b)
O Gráfico da Força Externa Magnética em função do comprimento do entreferro é 
gerado pelo programa. O comprimento do entreferro varia entre .
Passo 5 de 7 keyboard_arrow_down 
(c)
(i) A variação da energia magnética é obtida através da fórmula:
O resultado do MATLAB é:
= - 4.7656 Joules
Passo 6 de 7 keyboard_arrow_down 
(ii)
A energia total fornecida é numericamente igual à área contida acima da curva da força
externa e dos eixos mostrados na figura acima. Ou seja, esta energia pode ser obtida
integrando entre os limites :
Joules
Passo 7 de 7 keyboard_arrow_down 
(iii)
Utilizando a conservação de energia e desconsiderando a energia constante consumida 
pela resistência da bobina, temos, por fim, a energia fornecida à fonte:
Joules
thumb_up
3-17
Exercício
A Figura 3.34 mostra uma vista esquemática de um sistema-vibrador cilíndrico 
simétrico que pode ser usado para imprimir oscilações de baixa frequência a um sistema 
sob teste. Há uma bobina de Nespiras com resistência Rc. O êmbolo tem raio R e está 
afastado do núcleo por um pequeno entreferro fixo de comprimento g ≪; R em seus 
lados e por um entreferro de comprimento variável δ embaixo. Pode-se assumir que a 
permeabilidade do núcleo e do êmbolo é infinita.
Figura 3.34 Sistema-vibradorde baixa frequência do Problema 3.17.
O êmbolo é suportado por um conjunto de molas com constante de mola 
combinada K que produz uma força líquida no Êmbolo de
Limitadores mecânicos no êmbolo restringem o valor mínimo de δ a 1 mm. Para os 
propósitos deste problema, você pode desconsiderar os efeitos dos campos de 
espraiamento.
a. Escreva uma expressão para a indutância da bobina em função de δ.
b.Encontre uma expressão para a forca magnética no êmbolo em função da posição do 
êmbolo δ e (i) o fluxo concatenado da bobina λ e (ii) a corrente da bobina i. Em cada 
caso, indique se a força atua no sentido de aumentar ou diminuir δ.
c. Usando MATLAB, plotc a força líquida no embolo no intervalo 1 mm ≤ δ ≤ δ0 para
uma corrente de 150 mA. Encontre a respectiva posição de equilíbrio do êmbolo. 
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 8 keyboard_arrow_down 
(a)
Para solucionar a questão, vamos formular um diagrama do circuito magnético proposto 
no exercício.
E ainda, alguns parâmetros úteis:
Com:
Passo 2 de 8 keyboard_arrow_down
Nessa etapa, podemos obter a expressão da indutância da bobina por:
Passo 3 de 8 keyboard_arrow_down 
(b)
(i) Com a expressão da etapa anterior, podemos encontrar a expressão que fornece a 
relação entre força magnética e deslocamento em função da corrente i e do ângulo :
......(1)
Passo 4 de 8 keyboard_arrow_down
(ii) Porém, sabemos que corrente i e fluxo concatenado possuem a seguinte relação:
Substituindo na expressão acima a expressão da indutância L:
Passo 5 de 8 keyboard_arrow_down
Logo, a corrente em função do fluxo concatenado pode ser escrita da seguinte forma:
......(2)
Substituindo a expressão (2) em (1):
Dessa forma, temos a mesma força magnética, porém agora em função do fluxo 
concatenado :
Passo 6 de 8 keyboard_arrow_down 
(c)
Essa parte será desenvolvida utilizando o MATLAB. O código gera as duas curvas de 
forças e a intersecção entre elas. No caso, existem dois pontos de equilíbrio onde a força 
mecânica líquida iguala-se a força magnética. É interessante notar que as forças 
possuem comportamentos diferentes ao logo da variação do deslocamento . A força
mecânica varia de forma linear com a variação de 
comportamento de decaimento de 2º grau.
. Já a força magnética possui um
Passo 7 de 8 keyboard_arrow_down
A força magnética possui sentido de diminuir o comprimento e unir as partes da 
bobina. Já força mecânica líquida se opõe a esse movimento e gera uma força contrária.
Passo 8 de 8 keyboard_arrow_down
O código no MATLAB gera o gráfico abaixo. Nele estão contidas as duas forças que 
atuam no sistema: a força magnética e a força mecânica. Ambas possuem 
comportamentos diferentes. A força magnética possui uma variação de 2° grau, e a 
mecânica elástica possui uma variação de 1º grau (linear). Essas forças possuem 
sentidos contrários e módulo igual em dois momentos no intervalo de comprimento de 
entreferro estudado, momentos assinalados com pontos vermelhos no gráfico.
Os pontos de equilíbrio encontrados utilizando um código que gera as interseções entre 
curvas são:
c
thumb_up
3-18
Exercício
O indutor da Figura 3.35 é constituído de dois núcleos em forma de C, cada um com 
uma área de seção reta Ac e comprimento médio lc. Há dois entreferros, cada um de 
comprimento g, e duas bobinas conectadas em serie, cada uma de N espiras. Suponba 
que o núcleo tenha permeabilidade infinita e despreze qualquer espraiamento nos 
entreferros.
Figura 3.35 Indutor com núcleos em C.
a. Calcule a indutância.
b.O espaçamento dos entrefetros é mantido constante por meio de espaçadores de 5 
mm. Calcule a densidade de fluxo magnético nos entreferros, a forca em N e a pressão 
cm N/cm2 que atua apertando os espaçadores quando está circulando uma corrente de 
15 A nas bobinas.
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 6 keyboard_arrow_down 
(a)
Vamos retomar primeiramente alguns parâmetros:
m²
m
Passo 2 de 6 keyboard_arrow_down
Assim, a indutância pode ser calculada como:
mH
Passo 3 de 6 keyboard_arrow_down 
b)
Considerando o núcleo com permeabilidade infinita, a densidade de fluxo magnético 
pode ser obtida como:
Passo 4 de 6 keyboard_arrow_down 
O que nos leva a:
T
Passo 5 de 6 keyboard_arrow_down
A força e a pressão podem ser calculadas respectivamente como:
Conduzindo-nos a afirmação N.
Passo 6 de 6 keyboard_arrow_down 
E a pressão:
Ou seja, M N/m².
thumb_up
3-19
Exercício
O indutor da Figura 3.35 é constituído de dois núcleos em forma de C, cada um com 
uma área de seção reta Ac e comprimento médio lc. Há dois entreferros, cada um de 
comprimento g, e duas bobinas conectadas em serie, cada uma de N espiras. Suponba 
que o núcleo tenha permeabilidade infinita e despreze qualquer espraiamento nos 
entreferros.
Figura 3.35 Indutor com núcleosem C.
a. Calcule a indutância.
b.O espaçamento dos entrefetros é mantido constante por meio de espaçadores de 5 
mm. Calcule a densidade de fluxo magnético nos entreferros, a forca em N e a pressão 
cm N/cm2 que atua apertando os espaçadores quando está circulando uma corrente de 
15 A nas bobinas.
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 4 keyboard_arrow_down 
(a)
Essa questão será desenvolvida utilizando o MATLAB. Vamos escrever os dois
vetores B e H, formados pelos valores contidos na tabela do problema, e então plotamos 
o gráfico.
Passo 2 de 4 keyboard_arrow_down 
(b)
Utilizamos a função spline sugerida pela questão. Essa função interpola um conjunto de 
dados menor para gerar uma função com o mesmo comportamento dos dados iniciais, 
porém com um conjunto de dados maior. Dados dois vetores x e y, contendo n valores 
cada, a função spline estima uma curva que melhor representa a função f entre x e y, ou 
seja, uma curva aproximada de y = f(x).
Passo 3 de 4 keyboard_arrow_down
Com esses novos dados de B-H calculamos a corrente i, resultante da variação desses 
valores, e plotamos o gráfico de i x B.
Passo 4 de 4 keyboard_arrow_down 
(c)
e aPara uma corrente constante de 10 A, calculamos a força magnética 
pressão P ocasionada na área A por essa força.
N
N/m²
O código em MATLAB gera 3 gráficos:
thumb_up
3-20
Exercício
Um indutor é constituído de uma bobina de 480 espiras, montada em um núcleo com 
scção rcta de 15 cm2 de área e comprimento de entreferro de 0,14 mm. A bobina está 
conectada dirctamente a uma fonte de tensão de 120 V eficaz e 60 Hz. Despreze a 
rcsistência da bobina e a indutância de dispersão. Supondo que a relutância da bobina 
seja desprezível, calcule a força média, em relação ao tempo, que atua sobre o núcleo 
tendendo a fechar o entreferro. Como essa força iria variar se o comprimento do 
entreferro fosse dobrado?
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 3 keyboard_arrow_down 
Vamos retomar os dados do problema:
m²
m
Hz
Podemos calcular a indutância da seguinte forma:
mH
A força média que atua no núcleo é função da corrente que varia durante um período, ou 
seja, podemos utilizar o valor da corrente eficaz que flui nas bobinas:
Para obter a corrente, sabemos que a tensão nos terminais de um indutor possui a 
seguinte forma:
Como temos a tensão eficaz, podemos calcular a corrente eficaz da seguinte forma:
A
Passo 2 de 3 keyboard_arrow_down 
Agora, vamos calcular a força média:
Então, podemos substituir alguns dados obtidos anteriormente:
O que nos leva a:
MN
Passo 3 de 3 keyboard_arrow_down
A força é inversamente proporcional ao quadrado do comprimento do entreferro. Ou 
seja, quanto maior a distância de afastamento, menor é a força de atração entre as partes. 
Por fim, para o dobro do entreferro utilizado:
thumb_up
3-21
Exercício
A Figura 3.36 mostra de forma genérica o fluxo dispersivo em uma ranhura, produzido 
por uma corrente i em um condutor de scção rctangular que está inserido em uma 
ranhura rctangular no ferro. Suponha que a relutância do ferro seja desprezível e que o 
fluxo dispersivo cruze retilineamente a ranhura na região entre a pane superior do 
condutor e o topo da ranhura.
a.Deduza uma expressão para a densidade de fluxo Bs na região entre a parte superior 
do condutor e o topo da ranhura.
b.Deduza uma expressão para a coenergia armazenada na região da ranhura acima do 
condutor por metro de comprimento de ranhura em função da corrente líquida í e das 
dimensões s e x.
c.Deduza uma expressão para a força fx por metro na direção de x no condutor a partir 
da coenergia da parte (b) usando a Eq 3.40. Observe que, embora haja coenergia 
adicional associada com o fluxo dentro do condutor, essa coenergia permanece 
constante independentemente da posição do condutor dentro da ranhura e, portanto, sua 
derivada em relação a x é zero e não desempenha um papel no cálculo da força. Em que 
sentido a força atua?
d.Quando a corrente no condutor é 900 A, calcule a força por metro em um condutor 
que está inserido em uma ranhura de 5,0 em de largura.
Figura 3.36 Condutor em uma ranhura.
Eq 3.40
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 8 keyboard_arrow_down 
a)
A densidade de fluxo é definida como a relação fluxo sobre área. Assim, podemos 
substituir a fórmula do fluxo na expressão da densidade, como abaixo:
Passo 2 de 8 keyboard_arrow_down
Como não há enrolamento do fio onde flui a corrente i, e o comprimento do entreferro 
é s:
Logo, a expressão para a densidade do fluxo é:
Passo 3 de 8 keyboard_arrow_down 
b)
Não vamos nos esquecer de informar o comprimento do fio l:
Passo 4 de 8 keyboard_arrow_down 
Assim, a expressão é:
Passo 5 de 8 keyboard_arrow_down 
(c)
Já a expressão para a força:
Passo 6 de 8 keyboard_arrow_down
Utilizando a regra da mão direita podemos concluir que a força na ranhura possui 
direção horizontal e sentido para baixo (sentido do condutor).
Passo 7 de 8 keyboard_arrow_down 
(d)
Nesse caso, lembramos que a corrente é de 900A, dado que será inserido na expressão a 
ser elaborada.
Passo 8 de 8 keyboard_arrow_down
Modificando a expressão da força dividindo pelo comprimento do fio l, temos:
thumb_up
3-22
Exercício
Um solenóide comprido e delgado de raio r0 e altura h está mostrado na Figura 3.37. O 
campo magnético dentro de um solenoide como esse está direcionado axialmente e é 
essencialmente uniforme, igual a H = Ni/h. Pode-se mostrar que o campo magnético 
fora do solenóide é desprezível. Calcule a pressão radial, em newtons por metro 
quadrado, que age sobre os lados do solenoide para uma corrente constante i = I0.
Figura 3.37 Bobina solenoide.
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 3 keyboard_arrow_down
Vamos recuperar que:
E que a co-energia pode ser obtida através da fórmula:
Passo 2 de 3 keyboard_arrow_down
Já a força pode ser calculada ao derivar parcialmente a co-energia em função do 
deslocamento x, que, no caso, se trata de raio do solenóide.
Passo 3 de 3 keyboard_arrow_down
A pressão é definida como a relação de força sobre área, então, substituindo a expressão 
da força na equação abaixo:
thumb_up
3-23
Exercício
Um sistema eletromecânico, no qual o armazenamento de energia elétrica dáse nos 
campos elétricos, pode ser analisado por técnicas diretamente análogas às deduzidas 
neste capítulo para os sistemas de campo magnético, Considere um sistema como esse 
em que é possível separar matematicamente o mecanismo de perdas e o de 
armazenamento de energia nos campos elétricos. Então, o sistema poderá ser 
representado como na Figura 3.38. Para um único terminal elétrico, a Eq. 3.8 pode ser 
aplicada, tendo-se
onde υ é a tensão no terminal elétrico e q é a carga líquida associada ao armazenamento 
de energia elétrica. Assim, por analogia com a Eq. 3.15.
a.Deduza uma expressão para a energia elétrica armazenada Wemp(q,x)análoga à da 
energia magnética armazenada da Eq. 3.17.
b.Deduza uma expressão, análoga à Eq. 3.26, para a força de origem elétrica femp. 
Expresse claramente qual variável deve ser mantida constante quando se calcula a 
derivada.
c.Por analogia com a dedução das Eqs. 3.34 a 3.41, deduza uma expressão para a 
coenergia W′emp(υ, x) e a correspondente força de origem elétrica.
Figura 3.38 Sistema de armazenamento de energia elétrica sem perdas.
(3.8)
(3.15)
(3.17)
(3.26)
(3.34)
(3.41)
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 7 keyboard_arrow_down 
(a)
Vamos retomar que:
Passo 2 de 7 keyboard_arrow_down 
Isso nos leva a:
Passo 3 de 7 keyboard_arrow_down
Passo 4 de 7 keyboard_arrow_down 
Por fim, podemos formular a expressão:
Passo 5 de 7 keyboard_arrow_down 
(b)
Vamos também recuperar que:
Assim, a diferencial total de uma função é da seguinte forma:
Logo, por comparação, podemos verificar que:
Passo 6 de 7 keyboard_arrow_down 
(c)
Vamos retomar que:
Passo 7 de 7 keyboard_arrow_down 
Assim, podemosdeduzir a expressão como:
thumb_up
3-24
Exercício
Um capacitor (Figura 3.39) é constituído de duas placas condutoras de área A separadas 
no ar por uma distância x. A tensão nos terminais é υ e a carga nas placas é q. A 
capacitância C, definida como a razão entre a carga e a tensão, é
onde ϵ0 é a constante dielétrica do vácuo (em unidades do SI ϵ0 = 8,85 × 10−12F/m).
a.Usando os resultados do Problema 3.23, deduza expressões para a energia Wemp (q, 
x)e a coenergia W'emp(υ, x).
b.Os terminais do capacitor são conectados a uma fonte de tensão constante V0. 
Deduza uma expressão que forneça a força necessária para manter as placas separadas 
por uma distância constantes = δ.
Problema 3.23
Um sistema eletromecânico, no qual o armazenamento de energia elétrica dáse nos 
campos elétricos, pode ser analisado por técnicas diretamente análogas às deduzidas 
neste capítulo para os sistemas de campo magnético, Considere um sistema como esse 
em que é possível separar matematicamente o mecanismo de perdas e o de 
armazenamento de energia nos campos elétricos. Então, o sistema poderá ser
representado como na Figura. Para um único terminal elétrico, a Eq. 3.8 pode ser 
aplicada, tendo-se
onde υ é a tensão no terminal elétrico e q é a carga líquida associada ao armazenamento 
de energia elétrica. Assim, por analogia com a Eq. 3.15.
a. Deduza uma expressão para a energia elétrica armazenada Wemp(q 
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 3 keyboard_arrow_down 
a)
Primeiramente, devemos retomar alguns dados do Problema 3.23 para deduzir as 
expressões da solução.
Para :
Para :
Passo 2 de 3 keyboard_arrow_down 
(b)
Vamos utilizar a energia magnética armazenada para encontrar a força necessária com a 
tensão v constante.
Passo 3 de 3 keyboard_arrow_down 
Assim, podemos utilizar a fórmula abaixo:
thumb_up
3-25
Exercício
A Figura 3.40 mostra esquematicamente um voltímetro eletrastálico que é um sistema 
capacitivo constituído por um eletrodo fixo e um outro móvel. O eletrodo móvel é 
conectado a ura braço que gira em torno de um eixo de modo
Figura 3.40 Voltímetro eletrostátíco esquemático.
que o cntrcferro entre os eletrodos mantém-sc constante quando o braço gira. A 
capacitãncia deste sistema é dada por
Uma mola de torção está conectada ao braço móvel, produzindo um conjugado
a.Para 0 ≤ θ ≤ α, usando os resultados do Problema 3.23, deduza uma expressão para o 
conjugado eletromagnético Tempem termos da tensão aplicada Vcc.
b.Encontre uma expressão para a posição angular do braço móvel em função da tensão 
aplicada Vcc.
c. Para um sistema com
Plote a posição do braço em graus como uma função da tensão aplicada para 0 ≤ Vcc ≤ 
1800 V.
Problema 3.23
Um sistema eletromecânico, no qual o armazenamento de energia elétrica dáse nos 
campos elétricos, pode ser analisado por técnicas diretamente análogas às deduzidas 
neste capítulo para os sistemas de campo magnético, Considere um sistema como esse 
em que é possível separar matematicamente o mecanismo de perdas e o de 
armazenamento de energia nos campos elétricos. Então, o sistema poderá ser 
representado como na Figura 3.38. Para um único terminal elétrico, a Eq. 3.8 pode ser 
aplicada, tendo-se
onde υ é a tensão no terminal elétrico e &l 
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 7 keyboard_arrow_down 
(a)
A co-energia pode ser obtida utilizando a expressão:
Passo 2 de 7 keyboard_arrow_down
Substituindo a expressão da capacitância em função de :
Passo 3 de 7 keyboard_arrow_down
Passo 4 de 7 keyboard_arrow_down
Dessa forma, podemos obter o conjugado magnético ao realizar a derivada parcial da 
co-energia em função de :
Passo 5 de 7 keyboard_arrow_down 
b)
Vamos igualar os conjugados para encontrar a expressão do deslocamento angular .
Passo 6 de 7 keyboard_arrow_down 
Assim, podemos propor a expressão:
Passo 7 de 7 keyboard_arrow_down 
c)
Primeiramente, a imagem abaixo ilustra como devemos inserir os dados no programa.
Ainda notamos que há algo errado nas unidades, pois os valores dos ângulos ficaram 
muito pequenos.
Assim, obtemos o seguinte gráfico:
thumb_up
3-26
Exercício
O circuito magnético de dois enrolamentos da Figura 3.41 tem um enrolamento em 
um yoke fixo e um segundo enrolamento em um elemento móvel. O elemento móvel é 
obrigado a se movimentar de modo que os comprimentos g dos dois entreferros 
permaneçam iguais.
a.Encontre as indutâncias próprias dos enrolamentos 1 e 2 em termos das dimensões do 
núcleo e do número de espiras.
b. Encontre a indutância mútua entre os dois enrolamentos.
c. Calcule a coenergia W′emp (i1, i2).
d. Encontre uma expressão para a força que atua sobre o elemento móvel, em função 
das correntes dos enrolamentos.
Figura 3.41 Circuito magnético de dois enrolamentos para.
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 10 keyboard_arrow_down 
(a)
Primeiramente, vamos definir o circuito magnético equivalente a figura acima. Como os 
núcleos possuem permeabilidade magnética quase infinita, as relutâncias do entreferro 
serão consideradas.
A partir do circuito acima, podemos definir o fluxo total em função das FMM e das 
relutâncias.
Passo 2 de 10 keyboard_arrow_down
Como os dois entreferros tem mesma dimensão e área, podemos calcular o valor da 
relutância total:
Passo 3 de 10 keyboard_arrow_down
A partir da equação 1.20 do livro, podemos determinar o fluxo total como:
O fluxo concatenado resultante em cada bobina pode ser expresso da seguinte forma:
Passo 4 de 10 keyboard_arrow_down
As equações de fluxo concatenado acima, podem ser escritas como:
sendo que , e são as indutâncias próprias das bobinas 1 e 2, respectivamente, e é a 
indutância mútua entre as bobinas 1 e 2.
Passo 5 de 10 keyboard_arrow_down
Portanto, as indutâncias próprias das bobinas 1 e 2 são respectivamente:
Passo 6 de 10 keyboard_arrow_down 
(b)
Continuando o desenvolvimento do item anterior, a indutância mútua entre as bobinas 1 
e 2 é igual a:
Passo 7 de 10 keyboard_arrow_down 
(c)
Para o cálculo da coenergia, podemos usar a equação 3.76 do livro, no qual a coenergia 
para um sistema magnético linear é definida como:
Passo 8 de 10 keyboard_arrow_down 
Portanto, podemos definir a coenergia como:
Passo 9 de 10 keyboard_arrow_down 
(d)
A expressão para a força que atua sobre o elemento móvel, pode ser descrita como a 
equação 3.77 do livro, como a derivada da coenergia em relação ao entreferro:
Passo 10 de 10 keyboard_arrow_down
Como todos os termos da equação acima, podem ser escritos em função de um valor de 
relutância, a derivada pode ser simplificada como:
thumb_up
3-27
Exercício
Duas bobinas, uma montada em um estator e a outra, em um rotor, tém indutâncias 
próprias e mútuas de
onde θ é o ângulo entre os eixos das bobinas que está limitado ao intervalo 0 ≤ θ ≤ 90°.
Elas estão conectadas em série e conduzem uma corrente
a.Deduza uma expressão para o conjugado instantâneo T no rotor em função da posição 
angular θ.
b.Encontre uma expressão para o conjugado médio Tmédio, em relação ao tempo, em 
função de θ.
c. Calcule o valor numérico de Tmédiopara I = 10 A e θ = 90°.
d.Faça o esboço gráfico das curvas de Tmédio vernus θ para as correntes I = 5, 7,07 e 
10 A.
e. Agora, uma mola helicoidal controladora de posição, tendendo a manter o rotor 
em θ = 90°, é conectada ao rotor. O conjugado da mola é proporcional à deflexão 
angular medida desde θ = 90° e vale −0,1 N · m quando o rotor é girado até θ = O°.
Mostre, nas curvas da parte (d), como você poderia obter a posição angular da 
combinação rotor mais mola para correntes de bobina de I = 5, 7,07 e 10 A. Com base 
nas curvas, estime o ângulo do rotor para cada uma dessas correntes.
f. Escreva um script de MATLAB para plotar a posição angular do rotor em função da 
corrente eficaz para 0 ≤ I ≤ 10 A.
(Observe que esse problema ilustra os princípios do amperímetro CA do tipo 
eletrodinâmico.)
Solução passo-a-passoPasso 1 de 13 keyboard_arrow_down 
(a)
Para definirmos o torque em função da posição angular, vamos primeiro definir a 
coenergia:
Passo 2 de 13 keyboard_arrow_down
Como as bobinas estão ligadas em série, elas conduzem a mesma corrente, definida por:
Passo 3 de 13 keyboard_arrow_down
Podemos então, escrever a equação da coenergia como:
Passo 4 de 13 keyboard_arrow_down
Substituindo o valor da corrente na equação acima, temos:
Passo 5 de 13 keyboard_arrow_down
A partir da coenergia, o torque pode ser definido como:
Passo 6 de 13 keyboard_arrow_down
Como dois termos da equação acima, não são função do ângulo θ, as derivadas parciais 
destes serão zero. Com isso podemos definir o torque a partir da seguinte derivada:
Passo 7 de 13 keyboard_arrow_down 
(b)
O conjugado médio em relação ao tempo pode ser definido a partir do valor médio da 
função que depende do tempo:
O valor médio da função em um período pode ser calculado a partir da seguinte integral:
Portanto, o torque médio em relação ao tempo é igual a:
Passo 8 de 13 keyboard_arrow_down 
(c)
O torque médio para a corrente I=10A e o ângulo θ=90º é igual a:
Passo 9 de 13 keyboard_arrow_down 
(d)
Podemos usar a equação definida no item (b), para a obtenção das curvas de torque 
médio, para diferentes correntes e ângulos
Passo 10 de 13 keyboard_arrow_down 
(e)
O torque da mola helicoidal é proporcional a deflexão angular, portanto, podemos 
desenhar uma equação de 1ºgrau para descrever o seu torque em função do ângulo. A
posição de repouso é com ângulo θ=90º (torque igual a zero) e o torque é igual a -
0,1N.m quando o ângulo θ=0º.
Passo 11 de 13 keyboard_arrow_down
Os pontos em que a curva de torque da mola helicoidal cruza as curvas do torque médio 
da bobina do rotor, são as posições de equilíbrio do rotor, para cada valor de corrente. É 
possível escrever um script no MATLAB para calcular o ângulo no qual as curvas se 
cruzam:
Passo 12 de 13 keyboard_arrow_down
Variando o valor de I podemos calcular os seguintes valores para os ângulos:
Passo 13 de 13 keyboard_arrow_down 
(f)
O script acima pode ser modificado para uma função que calcula os valores do ângulo 
do rotor em função da corrente, e ser usada em um script para calcular os vetores. Com 
isso, pode ser plotado o seguinte gráfico:
thumb_up
3-28
Exercício
Dois enrolamentos, um montado em um cstator e o outro em um rotor têm indutâncias 
próprias e mútuas de
onde θ é oângulo entre os eixos dos enrolamentos. As resistências dos enrolamentos 
podem ser desprezadas. O enrolamento 2 está em curto-circuito e a corrente no 
enrolamento 1, em função do tempo, , sen ωt A. Plote o conjugado 
médio no tempo versus θ para I0 = 10 A para 0 ≤ θ ≤ 180°.
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 5 keyboard_arrow_down
O conjugado pode ser determinado pela equação 3.71 do livro:
Como apenas a indutância mútua é função do ângulo entre os eixos dos enrolamentos, 
as duas primeiras derivadas serão nulas e, portanto, o torque será dado por:
Passo 2 de 5 keyboard_arrow_down
Como o enrolamento 2 está em curto-circuito e a resistência pode ser desprezada, não 
há tensão induzida no enrolamento, e a corrente induzida será contrária a geração de 
fluxo concatenado, portanto:
Substituindo os valores das indutâncias na equação acima, temos:
Passo 3 de 5 keyboard_arrow_down
Podemos agora, substituir os valores das correntes na equação do conjugado:
,
Agora, podemos substituir a equação da corrente 1 na equação acima:
Passo 4 de 5 keyboard_arrow_down
O valor médio da função em um período pode ser calculado a partir da seguinte integral:
E o produto de seno e cosseno pode ser substituído por:
Passo 5 de 5 keyboard_arrow_down
Portanto, o torque médio no tempo pode ser escrito como:
Para uma corrente =10A, e com o ângulo θ variando de 0 a 180°, podemos plotar o 
seguinte gráfico:
thumb_up
3-29
Exercício
Um alto-falante é constituído de um núcleo magnético de permeabilidade infinita e 
siinctria circular, como mostrado nas Figs. 3.42a e b. O comprimento g do entreferro é 
muito menor que o raio r0 do núcleo central. A bobina móvel só pode se movimentar na 
direção x e está conectada ao cone do alto-falante, não mostrado na figura 3.42. Um 
campo magnético radial constante é produzido no entreferro por uma corrente contínua 
na bobina 1, i1 = I1. Um sinal de audiofrequência i2(t) é aplicado então à bobina móvel.
Suponha que a bobina móvel tenba uma espessura desprezível e que seja composta 
de N2 espiras distribuídas uniformemente ao longo de sua altura h. Suponha também 
que o seu deslocamento é tal que ela permanece dentro do entreferro (0 ≤ x ≤ l − h). 
Figura 3.42 Alto-falante.
a.Deduza uma expressão para a força sobro a bobina móvel, usando a Lei da Força de 
Lorentz (Eq. 3.1) em termos do deslocamento x da bobina móvel e da corrente i2.
b. Deduza uma expressão para a indutância própria de cada bobina.
c.Deduza uma expressão para a indutância mútua entre as bobinas. (Sugestão: Suponha 
que uma corrente seja aplicada à bobina móvel. A seguir, calcule o fluxo concatenado 
da bobina 1. Observe que o fluxo concatenado varia com o deslocamento x.)
d.Deduza uma expressão para a coenergia do sistema W'empe a força na bobina móvel 
em função do deslocamento da bobina móvel e da corrente i2.
(3.1)
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 6 keyboard_arrow_down 
(a)
Precisamos determinar a força sobre a bobina através da Força de Lorentz, para isso, 
devemos obter a densidade de fluxo magnético. Como o enrolamento 1 produz esse 
campo e devemos assumir g<<ro, temos:
Passo 2 de 6 keyboard_arrow_down 
(b)
A indutância própria do enrolamento 1 deve ser obtida através da densidade de fluxo 
radial obtida na letra anterior.
Passo 3 de 6 keyboard_arrow_down
O fluxo magnético produzido pelo enrolamento 2 é
Passo 4 de 6 keyboard_arrow_down 
(c)
Pela distribuição do fluxo definido anteriormente, a indutância mutua pode ser obtida da 
seguinte forma,
Passo 5 de 6 keyboard_arrow_down 
(d)
Vamos determinar a força através da coenergia, portanto:
Passo 6 de 6 keyboard_arrow_down
Assim, para termos a força, basta derivarmos a coenergia em relação a x.
thumb_up
3-30
Exercício
Repita o Exemplo 3.8 com o ímã de samário-cobalto substituído por um de neodímio-
ferro-boro.
Exemplo 3.8
O circuito magnético da Figura 3.19 é excitada por um ímã permanente de samário-
cobalto e contém um êmbolo móvel. Também está mostrado o enrolamento fictício 
de Nf espiras, conduzindo uma corrente if, que foi incluído aqui para a análise. As 
dimensões são:
Encontre (a) uma expressão para a coenergia do sistema em função da posição x do 
êmbolo e (b) uma expressão para a força no êmbolo em função de x, Finalmente, (c) 
calcule a força em x = 0 e x = 0,5 cm. Despreze os efeitos dos fluxos de espraiamento 
nesse cálculo.
Solução
a. Como é bem linear na maior parte de seu intervalo útil de operação, a curva de 
magnetização CC do samário-cobalto pode ser representada como uma linha reta dada 
pela Eq. 1.60
Figura 3.19 Circuito magnético do.
onde o índice 'm' é usado aqui para indicar especificamente os campos dentro do ímã de 
samário-cobalto e
Observe, com base na Figura 1.19, que a curva de magnetização CC do samário-cobalto 
não é completamente linear; ela se dobra ligeiramente para baixo nos valores baixos de 
densidade de fluxo. Assim, na curva característica B-H dada acima, a coercivi-dade 
aparente ura pouco maior do que a real do samário-cobalto.
Da Eq. 1.5, podemos escrever
onde o índice 'g' refere-se ao entreferro variável de comprimento 
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 3 keyboard_arrow_down
A solução para essa questão segue a mesma dedução, para o Exemplo 3.8 do livro, com 
a exceção de que o imã permanente é de neodímio-ferro-boro. A partir da figura 1.19, 
do livro, podemos estimar as características elétricas do neodímio-ferro-boro como 
sendo:Passo 2 de 3 keyboard_arrow_down
A força é determinada, no exemplo, como:
Também no exemplo 3.8, temos as informações das dimensões do circuito magnético:
Passo 3 de 3 keyboard_arrow_down
Substituindo todos os valores das dimensões e das características magnéticas do imã, 
podemos calcular a força exercida no êmbolo móvel, em função da posição x:
thumb_up
3-31
Exercício
A estrutura magnética da Figura 3.43 é uma vista esquemática de um sistema projetado 
para sustentar um bloco de material magnético (µ → ∞) de massa M contra a força de 
gravidade. O sistema contém um ímã permanente e um enrolamento. Sob condições 
normais, a força é fornecida apenas pelo ímã permanente, A função do enrolamento é 
contrabalançar o campo produzido pelo ímã de modo que a massa possa ser removida 
do dispositivo. O sistema é projetado de forma que os entreferros nos lados da massa 
permanecem constantes com comprimento g0/2.
Suponha que o ímã permanente possa ser representado poruma característica linear da 
forma
e que o sentido do enrolamento é tal que uma corrente positiva de enrolamento reduz o 
fluxo de entreferro produzido pelo ímã permanente. Despreze os efeitos do 
espraiamento magnético.
a. Suponha que a corrente de enrolamento seja zero.
i. Encontre a força femp(x)que atua sobre a massa devido apenas ao ímã permanente ((0
≤ x ≤ h)).
ii. Encontre a massa máxima Mmax que pode ser sustentada contra a gravidade.
b. Para M = Mmax/2, encontre a corrente mínima Imin necessária para garantir que a 
massa caia do sistema quando a corrente é, aplicada.
Figura 3.43 Sistema de sustentação magnética para.
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 6 keyboard_arrow_down 
(a)
Começaremos definindo as equações que podem ser retiradas do enunciado.
Passo 2 de 6 keyboard_arrow_down 
Temos também as equações constitutivas,
Passo 3 de 6 keyboard_arrow_down
Agora, vamos juntar as equações obtidas para obtermos a densidade de fluxo magnético.
Integrando o fluxo concatenado para as condições iniciais dadas em relação à corrente, 
podemos determinar a coenergia.
Passo 4 de 6 keyboard_arrow_down
Como a força é a derivada da coenergia em relação a x, teremos que:
(i) Para a corrente igual a zero,
Passo 5 de 6 keyboard_arrow_down
(ii) Podemos notar que a força será máxima quando fizermos x =h, assim:
Passo 6 de 6 keyboard_arrow_down 
(b)
Vamos determinar agora a corrente mínima para a situação dada, começaremos 
determinando a força para o M dado.
Substituindo f na equação da força, obteremos a corrente desejada.
thumb_up
3-32
Exercício
O enrolamento 1 no alto-falantc do Problema 3.29 (Figura 3.42) é substituído por um 
ímã permanente, como mostrado na Figura 3.44. O ímã pode ser representado pela 
característica linear Bm = µR(Hm − Hc).
a.Supondo que a corrente da bobina móvel seja zero (i2 = 0), deduza uma expressão 
para a densidade de fluxo magnético no entreferro.
b.Deduza uma expressão para o fluxo concatenado da bobina móvel referente ao ímã 
permanente em função do deslocamento x.
c. Deduza uma expressão para a coenergia W′emp(i2, x), supondo que a corrente da
bobina móvel seja suficientemente pequena, de modo que a componente de W′emp,
devido à indutância própria da bobina móvel, possa ser ignorada.
d. Baseado na expressão da coenergia da parte (c), deduza uma expressão para a força 
na bobina móvel.
Problema 3.29
Um alto-falante é constituído de um núcleo magnético de permeabilidade infinita e 
siinctria circular, como mostrado nas Figs. 3.42a e b. O comprimento g do entreferro é 
muito menor que o raio r0 do núcleo central. A bobina móvel só pode se movimentar na 
direção x e está conectada ao cone do alto-falante, não mostrado na figura. Um campo 
magnético radial constante é produzido no entreferro por uma corrente contínua na 
bobina 1, i1 = I1. Um sinal de audiofrequência i2(t) é aplicado então à bobina móvel.
Suponha que a bobina móvel tenba uma espessura desprezível e que seja composta 
de N2 espiras distribuídas uniformemente ao longo de sua altura h. Suponha também
que o seu deslocamento é tal que ela permanece dentro do entreferro (0 ≤ x &a 
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 9 keyboard_arrow_down 
(a)
Devemos determinar uma relação para a densidade de fluxo magnético no entreferro. 
Do problema 3.29 podemos começar com as relações:
E, foi dado, que,
Passo 2 de 9 keyboard_arrow_down
Juntamos, agora, as equações obtidas podemos determinar o fluxo de densidade 
magnética desejada.
Passo 3 de 9 keyboard_arrow_down 
(b)
Para determinarmos o fluxo concatenado, iremos começar determinando a diferencial 
dele:
Sabemos que:
,
Passo 4 de 9 keyboard_arrow_down
Se integrarmos a diferencial do fluxo concatenado, vamos obter o fluxo requerido:
Passo 5 de 9 keyboard_arrow_down 
(c)
Para obtermos a coenergia, devemos determinar as indutâncias L11 e L12. A 
autoindutância pode ser obtida da letra (a)
Passo 6 de 9 keyboard_arrow_down
Sabemos que a autoindutância pode ser determinada por,
Passo 7 de 9 keyboard_arrow_down
Agora, vamos repetir o processo com os dados da parte (b)
Passo 8 de 9 keyboard_arrow_down
Passo 9 de 9 keyboard_arrow_down 
(d)
A força pode ser calculada derivando a coenergia em relação a x, ou seja,
thumb_up
3-33
Exercício
A Figura 3.45 mostra ura sistema de simetria circular no qual um êmbolo móvel (que 
pode se mover apenas na direção vertical) é sustentado por uma mola de constante de 
elasticidade K. O sistema é excitado por um ímã permanente de samário-cobalto com a 
forma de uma arruela de raio externo R3, raio interno R2 e espessura tm. As dimensões 
do sistema são:
Obscrva-se que a posição de equilíbrio do êmbolo é X0 = 0,5 mm.
a.Encontre a densidade de fluxo magnético Bg, no entreferro constante, e Bx, no 
entreferro variável.
b. Calcule a força magnética na direção x que puxa para baixo o êmbolo.
c. Plote a força magnética sobre o êmbolo no intervalo 0 ≤ x ≤ X0.
d.Encontre o valor mínimo da constante de mola K em N/cm garantindo que o embolo 
retornará a seu ponto de equilíbrio estável se ele for baixado até x = 0 sendo liberado em 
seguida.
Figura 3.45 Sistema com fmã permanente para.
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 7 keyboard_arrow_down 
(a)
Desejamos obter a densidade de fluxo magnético constante e variável. Para isso, 
começaremos com as relações do campo magnético.
Passo 2 de 7 keyboard_arrow_down 
Juntamos, agora, as equações obtidas.
Passo 3 de 7 keyboard_arrow_down 
(b)
Vamos determinar a força magnética que puxa o embolo, para isso começaremos 
calculando o fluxo concatenado e, por conseguinte, a indutância.
Passo 4 de 7 keyboard_arrow_down
Com a indutância, podemos derivá-la em relação a x para obtermos a força de campo 
desejada.
Passo 5 de 7 keyboard_arrow_down 
(c)
Para plotarmos a força em função de x, precisamos da seguinte equação:
Passo 6 de 7 keyboard_arrow_down
Com ela, variaremos o valor de x no intervalo dado para termos a relação desejada 
utilizando algum software.
Passo 7 de 7 keyboard_arrow_down 
(d)
Vamos determinar aqui a constante K para quando x = 0,
thumb_up
3-34
Exercício
O êmbolo de um solenóide é conectado a uma mola. A indutância do solenoide tera a 
forma L = L0(1− x/X0)e sua resistência de enrolamento é Rc. A força na mola é dada 
por fmola = K0(0,5 X0 − x), onde xé o comprimento do entreferro. Inicialmente, o 
êmbolo está em repouso na posição x = 0,5X0, quando uma tensão CC de
magnitude V0é aplicada ao solenoide.
a. Encontre uma expressão, em função do tempo, para a força necessária para manter o 
êmbolo na posição X0/2.
b. Se o êmbolo for liberado e permitido que atinja o equilíbrio, encontre a posição de
equilíbrio x0. Você pode supor que K0seja suficientemente grande para que x0 esteja
dentro do intervalo 0 ≤ x0≤ X0.
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 2 keyboard_arrow_down
(a)
Vamos começar pelo dado de que o êmbolo está em repouso parax=0,5Xo o que fará 
com que a indutância seja L = 0,5Lo.
Passo 2 de 2 keyboard_arrow_down 
(b)
Devemos aqui determinar a posição de equilíbrio xo, vamos obtê-la através da relação 
dada para a força na mola.
thumb_up
3-35
Exercício
Considere o rotor de bobina única do Exemplo 3.1. Suponha que o enrolamento do rotor 
esteja conduzindo uma corrente constante I = S A e que o rotor tenha um momento de 
inércia de J = 0,0175 kg · m2.
a. Encontre a posição de equilíbrio do rotor, É estável?
b. Escreva as equações dinâmicas do movimento do sistema.
c.Encontre a frequência natural em hertz para o movimento incremental do rotor em
torno de sua posição de equilíbrio.
Exemplo 3.1
Um rotor cilíndrico não magnético (montado em um eixo no seu centro), contendo uma
bobina de espira única, está colocado em um campo magnético uniforme de módulo B0,
como mostrado na Figura 3.2. Os lados da bobina estão a uma distância do eixo igual ao
raio R e o fio conduz uma corrente I como indicado. Encontre o conjugado na
direção θ em função da posição do rotor αquando I = 10 A, B0 = 0,02 T e R = 0,05 m.
Suponha que o comprimento do rotor seja l = 0,3 m.
Figura 3.2 Rotor com bobina de espira única
(3.6)
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 6 keyboard_arrow_down 
(a)
Pelo exemplo 3.1 e utilizando a corrente constante dada igual a 8A, podemos determinar 
o torque como:
Passo 2 de 6 keyboard_arrow_down
Teremos o equilíbrio para T=0, portanto o ângulo será de zero graus. Posição essa 
estável.
Passo 3 de 6 keyboard_arrow_down 
(b)
A equação dinâmica do movimento é a derivada segunda da posição em função do 
tempo vezes o momento de inércia, ou seja:
Passo 4 de 6 keyboard_arrow_down
Passo 5 de 6 keyboard_arrow_down 
(c)
Para o movimento incremental consideramos , assim a equação será:
Passo 6 de 6 keyboard_arrow_down 
E a frequência natural será:
thumb_up
3-36
Exercício
Considere um magneto de solenóide similar ao do Exemplo 3.10 (Figura 3.24), execto o 
fato de que o comprimento do êmbolo cilíndrico é reduzido a a + h.O êmbolo é 
inicialmente ajustado na posição x = X0 = a/2 e, então, a bobina é conectada a uma 
fonte de energia que mantém constante o fluxo concatenado, λ = λ0. Calcule a força no
êmbolo em função de x. Você pode supor que o êmbolo está bem dentro do núclco, por 
exemplo, a/4≤ x ≤ 3a/4.
Exemplo 3.10
A Figura 3.24 mostra a seção transversal de um eletrímã com um solenoide cilíndrico 
dentro do qual o êmbolo cilíndrico de massa M move-se verticalmente dentro de guias 
de latão de espessura g e diâmetro médio d. A permeabilidade do latão é a mesma do 
vácuo e vale μ0 = 4π x 10−7 H/m em unidades SI. O êmbolo está sustentado por uma 
mola cuja constante de elasticidade é K. O comprimento dela, quando não esticada, é l0. 
Uma Força mecânica de carga f1 é aplicada ao êmbolo pelo sistema mecânico a ele 
conectado, como mostrado na Figura 3.24. Suponha que a força de atrito seja 
linearmente proporcional à velocidade e que o coeficiente de atrito seja B. A bobina 
tem Nespiras e resistência R. Sua tensão de terminal é v1 e sua corrente é i. Os efeitos 
da dispersão magnética e da relutância do aço são desprezíveis.
Deduza as equações dinâmicas de movimento do sistema eletromecãnico, isto é, as 
equações diferenciais que expressam as variáveis dependentes i e x em termos de vt, ft e 
das const
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 2 keyboard_arrow_down
Como teremos que o embolo se mantém dentro do núcleo, podemos começar 
determinando a indutância:
Passo 2 de 2 keyboard_arrow_down
Assim, encontramos a força derivando a coenergia que depende da indutância:
thumb_up
3-37
Exercício
Considere um magneto de solenóide similar ao do Exemplo 3.10 (Figura 3.24), execto o 
fato de que o comprimento do êmbolo cilíndrico é reduzido a a + h.O êmbolo é 
inicialmente ajustado na posição x = X0 = a/2 e, então, a bobina é conectada a uma 
fonte de energia que mantém constante o fluxo concatenado, λ = λ0. Calcule a força no 
êmbolo em função de x. Você pode supor que o êmbolo está bem dentro do núclco, por 
exemplo, a/4≤ x ≤ 3a/4.
Exemplo 3.10
A Figura 3.24 mostra a seção transversal de um eletrímã com um solenoide cilíndrico 
dentro do qual o êmbolo cilíndrico de massa M move-se verticalmente dentro de guias 
de latão de espessura g e diâmetro médio d. A permeabilidade do latão é a mesma do 
vácuo e vale μ0 = 4π x 10−7 H/m em unidades SI. O êmbolo está sustentado por uma 
mola cuja constante de elasticidade é K. O comprimento dela, quando não esticada, é l0. 
Uma Força mecânica de carga f1 é aplicada ao êmbolo pelo sistema mecânico a ele 
conectado, como mostrado na Figura 3.24. Suponha que a força de atrito seja 
linearmente proporcional à velocidade e que o coeficiente de atrito seja B. A bobina 
tem Nespiras e resistência R. Sua tensão de terminal é v1 e sua corrente é i. Os efeitos 
da dispersão magnética e da relutância do aço são desprezíveis.
Deduza as equações dinâmicas de movimento do sistema eletromecãnico, isto é, as 
equações diferenciais que expressam as variáveis dependentes i e x em termos de vt, ft e 
das const
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 4 keyboard_arrow_down 
(a)
Devemos começar obtendo a corrente para a tensão dada.
Passo 2 de 4 keyboard_arrow_down 
Assim, a força será constante e igual a:
Passo 3 de 4 keyboard_arrow_down 
(b)
Escreveremos agora a equação dinâmica do movimento.
Passo 4 de 4 keyboard_arrow_down 
(c)
Começaremos linearizando a equação dinâmica do movimento e, assim, obteremos a 
frequência requerida.
thumb_up
3-38
Exercício
Considere o sistema-vibrador do Problema 3.17. Assumindo que o êmbolo está 
inicialmente em repouso eom uma corrente de bobina igual a zero, use Simulink para 
obter o movimento do êmbolo δ(t)se uma tensão CC de 0,1 V for repentinamente 
aplicada ã bobina.
Problema 3.17
A Figura 3.34 mostra uma vista esquemática de um sistema-vibrador cilíndrico 
simétrico que pode ser usado para imprimir oscilações de baixa frequência a um sistema 
sob teste. Há uma bobina de Nespiras com resistência Rc. O êmbolo tem raio R e está 
afastado do núcleo por um pequeno entreferro fixo de comprimento g ≪; R em seus 
lados e por um entreferro de comprimento variável δ embaixo. Pode-se assumir que a 
permeabilidade do núcleo e do êmbolo é infinita.
Figura 3.34 Sistema-vibradorde baixa frequência.
O êmbolo é suportado por um conjunto de molas com constante de mola 
combinada K que produz uma força líquida no Êmbolo de
Limitadores mecânicos no êmbolo restringem o valor mínimo de δ a 1 mm. Para os 
propósitos deste problema, você pode desconsiderar os efeitos dos campos de 
espraiamento.
a. Escreva uma expressão para a indutância da bobina em função de δ.
b.Encontre uma expressão para a forca magnética no êmbolo em função da posição do 
êmbolo δ e (i) o fluxo concatenado da bobina λ e (ii) a corrente da bobina i. Em cada 
caso, indique se a força atua no sentido de aumentar ou diminuir δ.
c. Usando MATLAB, plotc a força líquida no embolo no intervalo 1 mm ≤ δ ≤ δ0 para
uma corrente de 150 mA. Encontre a respectiva posição de equilíbrio do êmbolo. 
Solução passo-a-passo
Passo 1 de 2 keyboard_arrow_down
Neste problema consideramos um sistema vibrador, assumindo que o êmbolo está 
inicialmente de repouso com uma corrente de bobina igual a zero.
Passo 2 de 2 keyboard_arrow_down
Devemos simular o movimento do êmbolo se uma tensão CC de 0,1 V for 
repentinamente aplicada na bobina, como demonstrado abaixo:
thumb_up