Lista de Exercícios - Fundamentos e Ângulos

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LISTA DE EXERCÍCIOS – FUNDAMENTOS E ÂNGULOS – PROFESSOR ARUÃ 
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1. (Mackenzie) Na figura abaixo, a e b são retas paralelas. 
 
 
 
A afirmação correta a respeito do número que expressa, em graus, a medida do ângulo é 
a) um número primo maior que 23. 
b) um número ímpar. 
c) um múltiplo de 4. 
d) um divisor de 60. 
e) um múltiplo comum entre 5 e 7. 
 
2. (G1 - cftsc) Na figura abaixo, 𝑂𝑃 é bissetriz do ângulo 𝐴�̂�𝐵. Determine o valor de 𝑥 e 𝑦. 
 
 
a) 𝑥 = 13 e 𝑦 = 49 
b) 𝑥 = 15 e 𝑦 = 35 
c) 𝑥 = 12 e 𝑦 = 48 
d) 𝑥 = 17 e 𝑦 = 42 
e) 𝑥 = 10 e 𝑦 = 50 
 
3. (G1 - ifpe) Eva é aluna do curso de Construção Naval do campus Ipojuca e tem mania de 
construir barquinhos de papel. Durante a aula de desenho técnico, resolveu medir os ângulos 
do último barquinho que fez, representado na imagem a seguir. Sabendo que as retas 
suportes, 𝑟 e 𝑠, são paralelas, qual a medida do ângulo 𝛼 destacado? 
 
 
α
 
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a) 52°. 
b) 60°. 
c) 61°. 
d) 67°. 
e) 59°. 
 
4. (Eear) 
 
 
No quadrilátero 𝐴𝐵𝐶𝐷, o valor de 𝑦 − 𝑥 é igual a 
a) 2𝑥 
b) 2𝑦 
c) 
𝑥
2
 
d) 
𝑦
2
 
 
5. (G1 - utfpr) Calcule o valor de 𝑥, em graus, na figura: 
 
 
a) 16. 
b) 10. 
c) 20. 
d) 58. 
e) 32. 
 
6. (Enem) Um programa de edição de imagens possibilita transformar figuras em outras mais 
complexas. Deseja-se construir uma nova figura a partir da original. A nova figura deve 
apresentar simetria em relação ao ponto O. 
 
 
 
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A imagem que representa a nova figura é: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
7. (Eear) 
 
 
Se 𝐴𝐵𝐶 é um triângulo, o valor de 𝛼 é 
a) 10° 
 
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b) 15° 
c) 20° 
d) 25° 
 
8. (Enem) Uma família fez uma festa de aniversário e enfeitou o local da festa com 
bandeirinhas de papel. Essas bandeirinhas foram feitas da seguinte maneira: inicialmente, 
recortaram as folhas de papel em forma de quadrado, como mostra a Figura 1. Em seguida, 
dobraram as folhas quadradas ao meio sobrepondo os lados 𝐵𝐶 e 𝐴𝐷, de modo que 𝐶 e 𝐷 
coincidam, e o mesmo ocorra com 𝐴 e 𝐵, conforme ilustrado na Figura 2. Marcaram os pontos 
médios 𝑂e 𝑁, dos lados 𝐹𝐺 e 𝐴𝐹, respectivamente, e o ponto 𝑀 do lado 𝐴𝐷, de modo que 𝐴𝑀 
seja igual a um quarto de 𝐴𝐷. A seguir, fizeram cortes sobre as linhas pontilhadas ao longo da 
folha dobrada. 
 
 
 
Após os cortes, a folha e aberta e a bandeirinha esta pronta. 
 
A figura que representa a forma da bandeirinha pronta é 
 
a) 
 
 
b) 
 
 
 
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c) 
 
 
d) 
 
 
e) 
 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
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e) 
 
9. (Enem) Uma família resolveu comprar um imóvel num bairro cujas ruas estão representadas 
na figura. As ruas com nomes de letras são paralelas entre si e perpendiculares às ruas 
identificadas com números. Todos os quarteirões são quadrados, com as mesmas medidas, e 
todas as ruas têm a mesma largura, permitindo caminhar somente nas direções vertical e 
horizontal. Desconsidere a largura das ruas. 
 
 
 
A família pretende que esse imóvel tenha a mesma distância de percurso até o local de 
trabalho da mãe, localizado na rua 6 com a rua E, o consultório do pai, na rua 2 com a rua E, e 
a escola das crianças, na rua 4 com a rua A. 
 
Com base nesses dados, o imóvel que atende as pretensões da família deverá ser localizado 
no encontro das ruas 
a) 3 e C. 
b) 4 e C. 
c) 4 e D. 
d) 4 e E. 
e) 5 e C. 
 
10. (Mackenzie) 
 
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O triângulo 𝑃𝑀𝑁 acima é isósceles de base 𝑀𝑁. Se 𝑝,  𝑚 e 𝑛 são os ângulos internos do 
triângulo, como representados na figura, então podemos afirmar que suas medidas valem, 
respectivamente, 
a) 50°,  65°,  65° 
b) 65°,  65°,  50° 
c) 65°,  50°,  65° 
d) 50°,  50°,  80° 
e) 80°,  80°,  40° 
 
11. (G1 - ifpe) Júlia começou a estudar Geometria na sua escola. Com dúvida em um exercício 
passado pelo professor de matemática, ela pediu ajuda ao seu tio. O enunciado era: “As retas r 
e s são paralelas; as retas u e t, duas transversais. Encontre o valor do ângulo x na figura 
abaixo”. Portanto, o valor de x é: 
 
 
a) 120º 
b) 125º 
c) 130º 
d) 135º 
e) 140º 
 
12. (G1 - utfpr) Um triângulo isósceles tem dois lados congruentes (de medidas iguais) e o 
outro lado é chamado de base. Se em um triângulo isósceles o ângulo externo relativo ao 
vértice oposto da base mede 130°, então os ângulos internos deste triângulo medem: 
a) 10°, 40° e 130°. 
b) 25°, 25° e 130°. 
c) 50°, 60° e 70°. 
d) 60°, 60° e 60°. 
e) 50°, 65° e 65°. 
 
13. (G1 - cftmg) Sejam dois ângulos 𝑥 e 𝑦 tais que (2 𝑥) e (𝑦 + 10°) são ângulos 
 
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complementares e (5 𝑥) e (3 𝑦 − 40°) são suplementares. 
 
O ângulo 𝑥 mede 
a) 5°. 
b) 10°. 
c) 15°. 
d) 20°. 
 
14. (Enem) Rotas aéreas são como pontes que ligam cidades, estados ou países. O mapa a 
seguir mostra os estados brasileiros e a localização de algumas capitais identificadas pelos 
números. Considere que a direção seguida por um avião AI que partiu de Brasília – DF, sem 
escalas, para Belém, no Pará, seja um segmento de reta com extremidades em DF e em 4. 
 
 
 
Suponha que um passageiro de nome Carlos pegou um avião AII, que seguiu a direção que 
forma um ângulo de 135o graus no sentido horário com a rota Brasília – Belém e pousou em 
alguma das capitais brasileiras. Ao desembarcar, Carlos fez uma conexão e embarcou em um 
avião AIII, que seguiu a direção que forma um ângulo reto, no sentido anti-horário, com a 
direção seguida pelo avião AII ao partir de Brasília-DF. Considerando que a direção seguida 
por um avião é sempre dada pela semirreta com origem na cidade de partida e que passa pela 
cidade destino do avião, pela descrição dada, o passageiro Carlos fez uma conexão em 
a) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Curitiba. 
b) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Salvador. 
c) Boa Vista, e em seguida embarcou para Porto Velho. 
d) Goiânia, e em seguida embarcou para o Rio de Janeiro. 
 
 
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e) Goiânia, e em seguida embarcou para Manaus. 
 
15. (G1 - utfpr) A medida de y na figura, em graus, é: 
 
 
a) 42°. 
b) 32°. 
c) 142°. 
d) 148°. 
e) 24°. 
 
16. (G1 - cftmg) Neste triângulo, tem-se 𝐴𝐵𝐴𝑀 𝑀�̂�𝑁 = 70°, 𝐴�̂�𝑁 = 30° e 𝐴�̂�𝑀 = 80°. 
 
 
 
O valor de 𝛼 − 𝜃 é 
a) 50°. 
b) 60°. 
c) 70°. 
d) 80°. 
 
17. (G1 - utfpr) A medida do ângulo 𝑦 na figura é: 
 
 
a) 62° 
b) 72° 
c) 108° 
 
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d) 118° 
e) 154° 
 
18. (Enem PPL) O símbolo internacional de acesso, mostrado na figura, anuncia local 
acessível para o portador de necessidades especiais. Na concepção desse símbolo, foram 
empregados elementos gráficos geométricos elementares. 
 
 
 
Os elementos geométricos que constituem os contornos das partes claras da figura são 
a) retas e círculos. 
b) retas e circunferências. 
c) arcos de circunferênciase retas. 
d) coroas circulares e segmentos de retas. 
e) arcos de circunferências e segmentos de retas. 
 
19. (Ufrgs) Em um triângulo 𝐴𝐵𝐶, 𝐵Â𝐶 é o maior ângulo e 𝐴�̂�𝐵 é o menor ângulo. A medida do 
ângulo 𝐵Â𝐶 é 70° maior que a medida de 𝐴�̂�𝐵. A medida de 𝐵Â𝐶 é o dobro da medida de 𝐴�̂�𝐶. 
 
Portanto, as medidas dos ângulos são 
a) 20°,  70° e 90°. 
b) 20°,  60° e 100°. 
c) 10°,  70° e 100°. 
d) 30°,  50° e 100°. 
e) 30°,  60° e 90°. 
 
20. (Fgv) A figura representa um triângulo 𝐴𝐵𝐶, com 𝐸 e 𝐷 sendo pontos sobre 𝐴𝐶. Sabe-se 
ainda que 𝐴𝐵 = 𝐴𝐷, 𝐶𝐵 = 𝐶𝐸 e que 𝐸�̂�𝐷 mede 39°. 
 
 
 
Nas condições dadas, a medida de 𝐴�̂�𝐶 é 
 
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a) 102° 
b) 108° 
c) 111° 
d) 115° 
e) 117° 
 
21. (G1 - cftpr) Numa gincana, a equipe "Já Ganhou" recebeu o seguinte desafio: 
 
Na cidade de Curitiba, fotografar a construção localizada na rua Marechal Hermes no número 
igual à nove vezes o valor do ângulo  da figura a seguir: 
 
 
 
Se a Equipe resolver corretamente o problema irá fotografar a construção localizada no 
número: 
a) 990. 
b) 261. 
c) 999. 
d) 1026. 
e) 1260. 
 
22. (G1 - ifsul) Duas retas paralelas "𝑟" e "𝑠", cortadas por uma transversal "𝑡", formam ângulos 
colaterais internos, dos quais um excede o outro em 20°. 
 
O ângulo colateral interno agudo mede 
a) 20° 
b) 35° 
c) 55° 
d) 80° 
 
23. (Eear) Os ângulos �̂� e �̂� são congruentes. Sendo �̂� = 2𝑥 + 15° e �̂� = 5𝑥 − 9°. Assinale a 
alternativa que representa, corretamente, o valor de 𝑥. 
a) 2° 
b) 8° 
c) 12° 
d) 24° 
 
24. (Efomm) Num triângulo 𝐴𝐵𝐶, as bissetrizes dos ângulos externos do vértice 𝐵 e 𝐶 formam 
um ângulo de medida 50°. Calcule o ângulo interno do vértice 𝐴. 
a) 110° 
b) 90° 
c) 80° 
 
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d) 50° 
e) 20° 
 
25. (G1 - cftrj) Uma fita de papel retangular é dobrada conforme a figura a seguir. 
 
 
 
O valor do ângulo 𝛼 marcado na figura é 
a) 155° 
b) 150° 
c) 140° 
d) 130° 
 
26. (Uece) No triângulo OYZ, os lados OY e OZ têm medidas iguais. Se W é um ponto do lado 
OZ tal que os segmentos YW, WO e YZ têm a mesma medida, então, a medida do ângulo YÔZ 
é 
a) 46°. 
b) 42°. 
c) 36°. 
d) 30°. 
 
27. (G1 - cftce) O ângulo cujo suplemento excede de 6° o quádruplo do seu complemento, é: 
a) 58° 
b) 60° 
c) 62° 
d) 64° 
e) 68° 
 
28. (G1 - ifal) Um fazendeiro resolveu cercar um terreno de formato retangular, cujas 
dimensões eram 60 metros de largura e 80 metros de comprimento, gastando 𝑅$ 20,00 para 
cada metro linear da cerca. Qual o valor total do gasto para cercar todo o terreno? 
a) 𝑅$ 2.800,00. 
b) 𝑅$ 4.800,00. 
c) 𝑅$ 5.600,00. 
d) 𝑅$ 6.800,00. 
e) 𝑅$ 9.600,00. 
 
29. (Unaerp) As retas r e s são interceptadas pela transversal "t", conforme a figura. O valor de 
x para que r e s seja, paralelas é: 
 
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a) 20° 
b) 26° 
c) 28° 
d) 30° 
e) 35° 
 
30. (Enem PPL) Isometria é uma transformação geométrica que, aplicada a uma figura, 
mantém as distâncias entre pontos. Duas das transformações isométricas são a reflexão e a 
rotação. A reflexão ocorre por meio de uma reta chamada eixo. Esse eixo funciona como um 
espelho, a imagem refletida é o resultado da transformação. A rotação é o “giro” de uma figura 
ao redor de um ponto chamado centro de rotação. A figura sofreu cinco transformações 
isométricas, nessa ordem: 
 
 
 
1ª) Reflexão no eixo 𝑥; 
2ª) Rotação de 90 graus no sentido anti-horário, com centro de rotação no ponto 𝐴; 
3ª) Reflexão no eixo 𝑦; 
4ª) Rotação de 45 graus no sentido horário, com centro de rotação no ponto 𝐴; 
5ª) Reflexão no eixo 𝑥. 
 
Disponível em: www.pucsp.br. Acesso em: 2 ago. 2012. 
 
Qual a posição final da figura? 
a) 
 
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b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
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Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [D] 
 
Os ângulos e são alternos internos. Portanto, 
 
 
 
que é um divisor de 
 
Resposta da questão 2: 
 [E] 
 
𝑦 − 10° = 𝑥 + 30° ⇔ 𝑦 = 𝑥 + 40° (𝑂𝑃 é bissetriz) 
 
2𝑦 + 𝑦 − 10° + 𝑥 + 30° = 180° ⇔ 3𝑦 + 𝑥 = 160° 
Resolvendo o sistema {
𝑦 = 𝑥 + 40°
3𝑦 + 𝑥 = 160°
 temos: 
 
𝑥 = 10° e 𝑦 = 50° 
 
Resposta da questão 3: 
 [E] 
 
 
 
𝑟//𝑠 ⇒ 𝛽 = 61° 
Logo, 
𝛼 + 61° + 60° = 180° ⇒ 𝛼 = 59° 
 
Resposta da questão 4: 
 [C] 
 
Do triângulo 𝐵𝐶𝐷, temos 
 
(60 4 ) (60 3 )α α α − + =  + 2 90α + 
60 3 2 90 30 ,α α α + = +  = 
60.
 
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𝑥 + 70° + 60° = 180° ⇔ 𝑥 = 50°. 
 
Logo, vem 𝐷�̂�𝐴 = 50° − 20° = 30° e, portanto, segue que 
 
2𝑦 = 180° − 30° ⇔ 𝑦 = 75°. 
 
Em consequência, a resposta é 𝑦 − 𝑥 = 75° − 50° = 25° =
𝑥
2
. 
 
Resposta da questão 5: 
 [A] 
 
Os três ângulos juntos formam um ângulo reto, daí: 
𝑥 + 3𝑥 + 10° + 𝑥 = 90° ⇒ 5𝑥 = 80° ⇒ 𝑥 = 16°. 
 
Resposta da questão 6: 
 [E] 
 
Como o simétrico de um ponto 𝑃 do plano, em relação ao ponto 𝑂, é o ponto 𝑃' tal que 𝑃𝑂 =
𝑃'𝑂 e 𝑃' pertence à reta 𝑃𝑂 ⃡ , segue-se que a alternativa correta é a alternativa [E]. 
 
Resposta da questão 7: 
 [B] 
 
Pelo Teorema do Ângulo Externo aplicado no triângulo 𝐴𝐶𝐷, temos 
 
ADE CAD DCA
40 .
= +
= + α
 
 
Logo, aplicando novamente o teorema no triângulo 𝐴𝐷𝐸, vem 
 
𝐴�̂�𝐵 = 𝐴�̂�𝐸 + 𝐷�̂�𝐸 ⇔ 70° = 𝛼 + 40° + 𝛼 
 ⇔ 𝛼 = 15°. 
 
Resposta da questão 8: 
 [E] 
 
Seja 𝐹𝐺 o eixo de simetria da bandeirinha. Logo, a bandeirinha pronta está representada na 
figura da alternativa [E]. 
 
Resposta da questão 9: 
 [C] 
 
Por simetria, o imóvel deverá estar sobre a mediatriz do segmento de reta que une o local de 
trabalho da mãe e o consultório do pai. Tal mediatriz corresponde à rua 4. Ademais, por 
inspeção, concluímos que a rua horizontal que cumpre a condição é a 𝐷. 
 
Resposta da questão 10: 
 [A] 
 
 
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𝑛 = 180° − 115° ⇒ 𝑛 = 65° 
𝑃𝑀 = 𝑃𝑁 ⇒ 𝑚 = 65° 
 
Logo, 
𝑝 = 180° − 2 ⋅ 65° = 50° 
 
Resposta da questão 11: 
 [E] 
 
Traça-se u // r // s 
 
y = 20° (correspondentes) 
 
x = 120° + y (alternos internos) 
 
x = 120° + 20° 
 
x = 140° 
 
 
 
Resposta da questão 12: 
 [E] 
 
 
 
Na figura y = 180° – 130° = 50° 
 
130 = 2x ⇒x = 65° 
 
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Portanto os ângulos internos do triângulo medem 50°, 65° e 65°. 
 
Resposta da questão 13: 
 [D] 
 
De acordo com as informações do problema, podemos escrever que: 
{
2𝑥 + 𝑦 + 10° = 90°
5𝑥 + 3𝑦 − 40° = 180°
⇒ {
2𝑥 + 𝑦 = 80°
5𝑥 + 3𝑦 = 220°
⇒ {
−6𝑥 − 3𝑦 = −240°
5𝑥 + 3𝑦 = 220°
 
 
Somando as equações, obtemos: 
𝑥 = 20°. 
 
Resposta da questão 14: 
 [B] 
 
De acordo com o desenho a seguir, Belo Horizonte e Salvador. 
 
 
 
Resposta da questão 15: 
 [B] 
 
6𝑥 + 4° = 2𝑥 + 100° 
4𝑥 = 96° 
𝑥 = 24° 
 
Logo, 𝑦 = 180°– (2 ⋅ 24° + 100°) = 32°. 
 
Obs: O formato da figura apresentada não condiz com os cálculos obtidos acima. 
 
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Resposta da questão 16: 
 [C] 
 
 
 
𝐴𝐵 = 𝐴𝑀 ⇒ 𝐴�̑�𝐵 = 𝛼 
 
No triângulo AMC, temos: 
𝛼 = 70° + 𝜃 ⇒ 𝛼 − 𝜃 = 70°  (𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎𝑑𝑜 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜) 
 
Resposta da questão 17: 
 [D] 
 
3𝑥 − 16 = 2𝑥 + 10 → 𝑥 = 26 
𝑦 + (2𝑥 + 10) = 180° 
𝑦 + 2 ⋅ 26 + 10 = 180° → 𝑦 = 118° 
 
Resposta da questão 18: 
 [E] 
 
É fácil ver que os elementos geométricos que constituem os contornos das partes claras da 
figura são arcos de circunferências e segmentos de retas. 
 
Resposta da questão 19: 
 [D] 
 
De acordo com as informações do problema e considerando que 𝐴�̂�𝐵 = 𝑥, temos: 
 
 
 
 
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𝑥 + 70° +
𝑥 + 70°
2
+ 𝑥 = 180° 
2𝑥 + 140° + 𝑥 + 70° + 2𝑥 = 360° 
5𝑥 = 150° 
𝑥 = 30° 
 
Portanto, as medidas dos ângulos são: 
𝑥 = 30° 
 
𝑥 + 70°
2
=
30° + 70°
2
= 50° 
 
𝑥 + 70° = 100° 
 
Resposta da questão 20: 
 [A] 
 
Seja 𝐶�̂�𝐷 = 𝑥. Logo, dado que 𝐶𝐵 = 𝐶𝐸, vem 𝐶�̂�𝐵 = 𝑥 + 39°. Em consequência, usando o fato 
de que a soma dos ângulos internos do triângulo 𝐵𝐸𝐷 é igual a 180°, obtemos 𝐸�̂�𝐵 = 102° − 𝑥. 
Além disso, como 𝐴𝐵 = 𝐴𝐷, segue que 𝐴�̂�𝐸 = 63° − 𝑥. Portanto, a resposta é 102°. 
 
Resposta da questão 21: 
 [C] 
 
Resposta da questão 22: 
 [D] 
 
A soma dos ângulos colaterais de uma reta que atravessa retas paralelas é 180°. Assim, se os 
ângulos forem 𝑥 e 𝑦, pode-se deduzir: 
{
𝑥 + 𝑦 = 180
𝑥 − 𝑦 = 20
 
2𝑥 = 200 → 𝑥 = 100 → 𝑦 = 80 
 
Ângulos agudos são aqueles menores que 90°, portanto o ângulo colateral interno agudo mede 
80°. 
 
Resposta da questão 23: 
 [B] 
 
Se �̂� e �̂� são congruentes, podemos escrever que: 
2𝑥 + 15° = 5𝑥 − 9° ⇒ 24° = 3𝑥 ⇒ 𝑥 = 8° 
 
Resposta da questão 24: 
 [C] 
 
 
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No triângulo BCD, 
𝛼 + 𝛽 + 50° = 180° 
𝛼 + 𝛽 = 130° 
 
No triângulo ABC, 
𝜃 + 180° − 2𝛼 + 180° − 2𝛽 = 180° 
𝜃 − 2(𝛼 + 𝛽) = −180° 
𝜃 − 2 ⋅ 130° = −180° 
𝜃 = −180° + 260° 
𝜃 = 80° 
 
Resposta da questão 25: 
 [D] 
 
 
 
Desdobrando a figura podemos observar uma coincidência entre os ângulos de medidas 𝛼 + 𝛽 
é 155°. Podemos, então, escrever que: 
𝛼 + 𝛽 = 155° 
𝛼 + 180° − 155° = 155° 
𝛼 + 25° = 155° 
 
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𝛼 = 130° 
 
Resposta da questão 26: 
 [C] 
 
 
 
No Δ𝑌𝑊𝑂: 𝑥 = 2 ⋅ 𝑞 (ângulo externo) 
No Δ𝑂𝑌𝑍: 𝑞 + 2 𝑥 = 180° ⇒ 5 ⋅ 𝑞 = 180° ⇒ 𝑞 = 36° 
 
Logo, 𝑌Ô𝑍: 36° . 
 
Resposta da questão 27: 
 [C] 
 
Resposta da questão 28: 
 [C] 
 
Primeiramente deve-se obter o valor do perímetro do terreno, somando todos seus lados, para 
saber o tamanho da cerca a ser utilizada, logo: 
 
𝑃𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 60 + 80 + 60 + 80 = 280𝑚. 
 
Multiplicando este valor por 𝑅$ 20,00 para obter o valor gasto com a cerca, temos: 
280 × 20 = 5600𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠. 
 
Resposta da questão 29: 
 [B] 
 
Resposta da questão 30: 
 [C] 
 
Considere a figura, em que estão representadas as transformações mencionadas. 
 
 
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Portanto, segue que a alternativa correta é a [C].