Atividade Contextualizada Teoria das Estruturas-2022

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ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA TEORIA DAS ESTRUTURAS 
 
 
Nome 
Matrícula: 
Engenharia Civil 
 
CASE FINAL 
 
Uma universidade pede autorização para uma turma de Engenharia visitar uma 
grande obra em que você é o responsável técnico. Durante a visita, varias 
perguntas são feitas, seja sobre tecnologia do concreto, seja sobre tecnologia 
da construção, entre outras. Em determinado momento, um aluno avista um 
guindaste de torre carregando uma viga pré-moldada e pergunta para você 
como saber qual a carga máxima que esse guindaste consegue suportar. Você, 
tendo um vasto conhecimento sobre o assunto, diz que o guindaste de torre 
está submetido ao seu peso e a carga que suporta, e, para calcular as reações 
que o guindaste sofre, é necessário aplicar os princípios de equilíbrio. 
Caro aluno, agora é você! A atividade final irá englobar as quatro unidades que 
estudamos, porém você deve prestar muita atenção nas instruções a seguir. 
Conforme apresentando ao longo dessa matéria, todos os conteúdos foram 
devidamente embasados em normas técnicas, elaborados por meio de 
pesquisas de órgãos nacionais e internacionais ao longo dos anos e por meio 
de livros profissionais renomados na área. Você deverá desenvolver um livro-
resumo contendo a temática “Teoria das Estruturas – Resumo”, elaborando 
uma revisão geral sobre as temáticas estudadas durante a disciplina. 
O livro precisa conter: 
1. Conceitos básicos sobre processo dos esforços (mostrar as principais 
definições e como seu uso é aplicado nas estruturas encontradas nas 
construções atuais); 
2. Principio dos trabalhos virtuais (mostrar a importância do uso desse método 
para as analises de esforços em estruturas tanto isostáticas quanto 
hiperestáticas e fazer em breve comentário sobre a definição da matriz de 
flexibilidade); 
3. Conceitos básicos do processo dos deslocamentos ( mostrar suas principais 
definições e onde esse processo pode ser aplicado, exemplificando nas 
estruturas encontradas nas construções atuais); 
4. Conceitos básicos dos métodos dos elementos finitos (determinar os tipos de 
análises usando esse método, falar brevemente sobre os fundamentos do MEF 
e abordar sabre sua aplicação nas estruturas); 
5. Fundamentos do processo de Cross (fundamentar as respostas dadas com o 
uso de estatísticas de órgãos oficiais, como DNIT, a ANTT, e os DERs 
estaduais, entre outros); 
6. Referências bibliográficas. 
O projeto de pesquisa deve conter no mínimo cinco páginas e no máximo dez. 
O arquivo deve ser entregue no formato PDF, conforme as normas de padrão 
ABNT para formatação de trabalhos técnicos. As referências bibliográficas 
também devem seguir os padrões da ABNT. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teoria das Estruturas – Resumo 
 
Estrutura é um sistema destinado a proporcionar o equilíbrio de um conjunto de 
ações, capaz de suportar as diversas ações que vierem a solicitá-la durante a 
sua vida útil sem que ela perca a sua função. 
 
1. Conceitos básicos sobre processo dos esforços 
O processo dos esforços, também conhecido como método das forças, é o 
processo mais simples quando se trata de resolução de estruturas 
hiperestáticas. Trata-se de um método matemático usado para definir os 
esforços em estruturas hiperestáticas. Esse método se fundamenta nas 
possibilidades matemáticas do método clássico, gerando resultados 
semelhantes, pois combina esforços em números iguais ao grau de 
indeterminação estática. 
As hipóteses fundamentais do Método Clássico para solução de problemas 
referentes às estruturas reticulares - formadas por barras - são: 
1) Validade das equações de equilíbrio da Mecânica Geral; 
2) Continuidade da estrutura, caracterizada pelo fato de não apresentarem 
pontos angulosos as linhas elásticas das barras cujos eixos também não 
tenham pontos angulosos (estes, se houver, serão considerados como nós) e 
de se conservarem constantes os ângulos entre as tangentes às linhas 
elásticas nos nós; 
3) Aplicabilidade das hipóteses da Resistência dos Materiais para materiais 
elásticos (proporcionalidade entre tensões e deformações, conservação das 
seções planas); 
4) Superposição de efeitos, isto é, o efeito produzido por um conjunto de ações 
(cargas, temperatura, etc.) é igual a soma dos efeitos destas ações atuando 
isoladamente. 
 
As estruturas são sistemas caracterizados por um ou mais elementos 
conectados entre si, de maneira que se tornem estáveis. Sendo assim, as 
estruturas precisam ser capazes de conceber esforços externos, segurar esses 
esforços internamente e enviá-los para os apoios. Todavia, os cálculos de 
determinadas estruturas são complexos. 
As equações de equilíbrio da estática dizem que a soma das forças verticais, 
horizontais e dos momentos precisam resultar em um valor nulo. 
Para isso, é preciso considerar que os vínculos estejam em um sistema plano, 
ou seja, a movimentação dessas estruturas pode ocorrer somente nas direções 
determinadas nesse plano. O número de grau de movimentação é fundamental 
para a classificação da estrutura hipostática, isostática e hiperestática. 
 
Quadro 1. Vinculações e características. (retirado do material de apoio) 
 
As estruturas são classificadas em função do número de reações de apoio ou 
vínculos que possuem. Cada reação constitui uma incógnita a ser determinada. 
 Para uma estrutura plana, o equilíbrio de um corpo rígido fornece três 
equações: 
∑𝐹𝑥 = 0 ∑𝐹𝑦 = 0 ∑𝑀𝑜 = 0 
 
Estruturas hipostáticas são aquelas cujo número de reações de apoio ou 
vínculos é inferior ao número de equações fornecidas pelas condições de 
equilíbrio estático. A Figura 1 ilustra um tipo de estrutura hipostática. As 
incógnitas são duas: RA e RB. Esta estrutura não possui restrição a 
movimentos horizontais. 
 
Figura 1. Exemplo de estrutura hipostática. (retirado do material de apoio) 
 
As estruturas hipostáticas são estruturas em que os vínculos não são 
suficientes para sustentar e manter o equilíbrio estático, portanto, não são 
adequadas para as construções. O número de incógnitas é menor do que o n 
número de equações. 
 
Estruturas isostáticas são aquelas cujo número de reações de apoio ou 
vínculos é igual ao número de equações fornecidas pelas condições de 
equilíbrio da Estática. No exemplo da estrutura da Figura 2 as incógnitas são 
três: RA, RB e HA. Esta estrutura está fixa; suas incógnitas podem ser 
resolvidas somente pelas equações fundamentais da Estática. 
 
Figura 2. Exemplo de estrutura isostática. (retirado do material de apoio) 
 
As estruturas isostáticas são as estruturas em que o número de vínculos é 
suficiente para manter o equilíbrio estático. As estruturas isostáticas 
apresentam um número de apoio suficiente para impedir a movimentação da 
estrutura e, com isso, seu equilíbrio é estável. 
 
Estruturas hiperestáticas são aquelas cujo número de reações de apoio ou 
vínculos é superior ao número de equações fornecidas pelas condições de 
equilíbrio estático. Um tipo de estrutura hiperestática está ilustrado na Figura 3. 
As incógnitas são quatro: RA, RB, HA e MA. As equações fundamentais da 
Estática não são suficientes para resolver as equações de equilíbrio. São 
necessárias outras condições relativas ao comportamento da estrutura, como, 
p. ex., a sua deformação para determinar todas as incógnitas. 
 
Figura 3. Exemplo de estrutura hiperestática. (retirado do material de apoio) 
 
As estruturas hiperestáticas são as estruturas em que os vínculos são mais do 
que o necessário para manter o equilíbrio estático. Por essas estruturas 
apresentarem o número de apoio maior do que o necessário, evita-se o 
movimento da estrutura e, com isso, seu equilíbrio fica estável. Mesmo que a 
análise da estrutura hiperestática seja complexa, a maioria das estruturas é 
hiperestática. 
Dentre as vantagens do uso das estruturas hiperestáticas, destaca-se a 
segurança,pois há uma redistribuição maior das tensões devido à rigidez da 
estrutura. No momento em que um elemento estrutural está sendo muito 
solicitado, ele redistribui a tensão para os elementos ao seu entorno, pois 
ocorre uma redistribuição de momentos. Ocorre, também, um menor 
deslocamento transversal com maior rigidez, pois a maior rigidez da estrutura 
causada pelo menor grau de liberdade faz com que ocorra uma melhor 
distribuição dos esforços, assim como tensões menores. Por fim, é importante 
destacar a economia de material, já que as vigas contínuas, mesmo 
apresentando momentos negativos maiores nos apoios, contêm momentos 
positivos no meio do vão e, assim, geram economia. 
As desvantagens, por sua vez, têm a ver com a complexidade dos modelos de 
cálculo, podendo ocasionar dificuldades na análise das estruturas no projeto. 
Há, também, o surgimento de problemas significativos devido a recalques, 
trazendo mudanças nos valores de momento fletor e torçor, no esforço 
cortante, nos esforços normais e de reação dos elementos. Além disso, quando 
as tensões não são consideradas, geram variações significativas. Tais tensões 
podem ocorrer por conta da má execução do material ou de variações de 
temperatura não consideradas, gerando, assim, mudanças na posição relativa 
do elemento e causando variações nos esforços que irão atuar ao longo da 
estrutura. 
 
O processo dos esforços é uma técnica usada para avaliar estruturas 
hiperestáticas, possibilitando obter as reações de apoio e traçar os seus 
diagramas de esforços solicitantes. Os processos de cálculos de estruturas 
hiperestáticas precisam respeitar sempre as condições de equilíbrio, de 
compatibilidade e dos materiais empregados. Eles são conhecidos como leis 
constitutivas de materiais. 
As condições de equilíbrio são eficazes quando a estrutura consegue ficar em 
repouso, ou seja, quando as forças atuantes nessas estruturas e as reações de 
apoio estiverem em equilíbrio. 
Respeitando as condições no processo dos esforços, aplicam-se as equações 
de equilíbrio estático, utilizadas na resolução das estruturas isostáticas. O 
resultado dos esforços que acontecem na estrutura se dá pelo comportamento 
do material. Respeitando o comportamento dos materiais utilizados, o processo 
dos esforços considera que os materiais apresentem atuação elástica linear, e 
que as deformações vigentes estejam de acordo com região elástica. 
As estruturas que não possuem rompimento em várias segmentações, cuja 
forma defletida esteja de acordo com as restrições de deslocamento 
necessárias para vinculações de apoio, são consideradas estruturas que 
obedecem às condições de compatibilidade. Para assegurar o não rompimento 
da estrutura, ou assegurar que as deflexões da estrutura obedeçam às 
condições de vinculação, escreve-se uma ou mais equações de 
compatibilidade, respeitando as condições do processo dos esforços. 
O conceito básico do processo dos esforços constitui na substituição da 
estrutura hiperestática por uma estrutura isostática básica, resultante da 
remoção de certas restrições, como a retirada de reações de apoio. Por essa 
estrutura básica ser isostática, a análise pode ser facilmente feita pelos 
métodos conhecidos. 
Exemplificando, considera-se a viga da Figura 4 (a). Por essa viga possuir 
quatro reações de apoio, força horizontal e vertical no apoio fixo A, força 
vertical no apoio móvel B, força vertical móvel em C e somente três equações 
de equilíbrio, ela é considerada uma viga hiperestática. Assim, para equacionar 
essa estrutura, é preciso determinar mais uma equação, gerando um sistema 
de quatro incógnitas e quatro equações. Em outras palavras, um sistema com 
uma única solução. 
 
Figura 4. (a) Viga hiperestática. (b) Estrutura isostática básica. (retirado do material de 
apoio) 
Para solucionar essa equação adicional, é preciso trocar a estrutura 
hiperestática por uma estrutura isostática básica equivalente, por meio da 
remoção de uma das vinculações de apoio que corresponde ao vínculo 
retirado, apresentado na Figura 4 (b). Com o objetivo de que essa estrutura 
básica seja de fato igual a uma estrutura isostática, apesar de aplicada uma 
força vertical em B equivalente à reação de apoio, é necessário considerar a 
condição de compatibilidade aplicada nesse apoio móvel em B, ou seja, a 
situação de deslocamento vertical em B precisa ser nula. 
 
2. Principio dos trabalhos virtuais 
O princípio do trabalho virtual é usado para caracterizar um deslocamento ou 
uma inclinação em um ponto de qualquer estrutura. Para melhor entendimento 
desse princípio, usaremos um corpo submetido a um conjunto de forças 
externas, de acordo com a Figura 5. 
 
Figura 5. Corpo submetido a um conjunto de forças externas (a) e corpo com 
aplicação da força virtual externa P' (b). (retirado do material de apoio) 
 
As forças externas P1, P2 e P3 provocarão esforços internos fi nos diversos 
pontos internos ao longo do corpo, cuja estrutura padrão, seja uma viga, uma 
treliça ou um pórtico, é um esforço normal, cortante, momento torço e momento 
fletor. Portanto, o corpo deformará, mostrando deslocamento externos 
Δn aplicados nos pontos das forças externas, bem como deslocamentos 
internos d nos vários do corpo. 
O trabalho externo é o resultado da soma de uma força externa por meio de 
deslocamentos que acontecem na direção dessa força, no ponto de aplicação. 
Já a soma de um esforço interno em um ponto interior qualquer por meio de 
deslocamentos internos que acontecem nesse ponto resulta em um trabalho 
interno. 
Assim, por meio do princípio da conservação de energia, temos: 
Ue = Ui → ∑Pn ∙ Δn = ∑fi ∙ di 
Considerando que se deseja achar o deslocamento Δ do ponto A no corpo da 
Figura 5 (a) na mesma direção demonstrada, ele fica sujeito ao conjunto de 
forças externas reais apresentadas. Para esse fim, usa-se o princípio do 
trabalho virtual. 
Desse modo, as forças, sejam elas internas ou externas, são virtuais e os 
deslocamentos internos e externos são reais. Com isso, os deslocamentos Δ 
e d não são resultantes das forças P’ e fv. Contudo, é importante que as forças 
internas e externas estejam em equilíbrio e os deslocamentos internos e 
externos sejam compatíveis. Em outras palavras, as forças internas virtuais 
fv são resultantes do deslocamento externo real Δ e seus resultados são 
calculados de acordo com as condições de compatibilidade de deslocamentos. 
Os sistemas de forças e deslocamentos apresentam o fator de atuação sobre o 
mesmo corpo. 
 
DEFINIÇÃO DE MATRIZ DE FLEXIBILIDADE 
Para solucionar o processo dos esforços, é fundamental definir a matriz de 
flexibilidade, ou seja, a matriz de coeficiente de flexibilidade (fij). Os termos da 
matriz de flexibilidade constituem os deslocamentos generalizados de acordo 
com a direção i quando a atuação de uma força generalizada unitária segue 
essa direção. A definição dos termos da matriz de flexibilidade pode ser feita 
por aplicação de indeterminados métodos para a caracterização de 
deslocamentos em elementos lineares. Levando em consideração o sistema 
fundamental escolhido, a matriz de flexibilidade de cada barra é calculada pela 
seguinte expressão: 
 
Em que f é a matriz de flexibilidade da barra para o sistema fundamental 
usado, L é comprimento da barra, E é o módulo de elasticidade e I a inércia da 
seção transversal da barra. 
Depois de caracterizada a matriz de flexibilidade, é preciso caracterizar os 
deslocamentos no sistema fundamental pelas direções das incógnitas 
hiperestáticas, quando se encontram dependentes do carregamento exterior. 
Quando relacionada à variação de temperatura, corresponde à deformação por 
fluências e os deslocamentos tendem a ser considerados com base no 
princípio das forças virtuais pelas seguintes expressões: 
 
Em que δ10 é o deslocamento causado pela solicitação do esforço exterior 
pela direção de x1, M1(x)é o momento fletor causado no sistema 
por x1 = 1 KNm, δ20 é o deslocamento causado pela solicitação do esforço 
exterior pela direção de x2, M2(x) é o momento fletor no sistema fundamental 
causado por x2 = 1 KNm, δ30 é o deslocamento causado pela solicitação do 
esforço exterior pela direção de x3, N3(x) é o esforço normal no sistema 
fundamental causado por x3 = 1 KN, α é o coeficiente de dilatação térmica do 
material utilizado, h é a espessura da secção transversal Δt(x) corresponde à 
variação diferencial de temperatura, t0(x) corresponde à variação uniforme de 
temperatura. 
 
Figura 6. Variação dos esforços ao longo da barra devido ao carregamento unitário 
pela direção das incógnitas hiperestáticas. 
 
Sabendo que todas as funções demonstradas precisam apenas do 
comprimento da barra, a determinação do seu valor é facilmente encontrada 
em qualquer ponto. Contudo, as funções relacionadas à variação de 
temperatura são apresentadas em número finito de pontos e mudam de barra 
para barra com o decorrer do tempo. Assim, para obter os deslocamentos 
pelos carregamentos exteriores, é preciso, primeiramente, achar os valores da 
variação de temperatura nos pontos já conhecidos. Em seguida, deve-se 
calcular o valor dos esforços unitários. Por fim, o resultado da função é 
integrado numericamente. 
 
3. Conceitos básicos do processo dos deslocamentos 
O Método dos Deslocamentos, também chamado de Método da Rigidez Direta, 
é um dos métodos mais utilizados na Análise Estrutural em estruturas 
hiperestáticas, ou seja, quando as condições de equilíbrio não são suficientes 
para solucionar as mesmas, sendo necessário fazer uma superposição de 
configurações deformadas. 
O processo dos esforços e o processo dos deslocamentos são constituídos 
sempre de acordo com as condições de compatibilidade, as condições de 
equilíbrio e as condições que controlam o desempenho dos materiais (leis 
constitutivas do material). 
O Método consiste na construção das matrizes de rigidez das barras, cujos 
elementos são os coeficientes de rigidez, e dos vetores de cargas nodais 
equivalentes, tanto em coordenadas locais quanto em globais. Com as 
matrizes e vetores das barras, é possível montar a matriz de rigidez da 
estrutura, assim como seu vetor de cargas nodais equivalentes. Com a 
aplicação das condições de contorno impostas pelos vínculos, se obtém um 
sistema de equações cujas incógnitas são os deslocamentos nodais da 
estrutura. Por ter um roteiro de metodologia bem definido e fórmulas tabeladas 
para os coeficientes de rigidez e ser bem versátil o Método dos Deslocamentos 
permiti tanto uma resolução manual, baseada em simplificações, quanto uma 
computacional. 
No processo dos deslocamentos, utiliza-se a superposição de casos 
fundamentais que, quando somados, resultam na estrutura original. No geral, 
as incógnitas são forças pelas quais os deslocamentos retomam às condições 
de compatibilidade e, no processo dos deslocamentos, as incógnitas são 
deslocamentos pelos quais as forças retomam as condições de equilíbrio. 
O Método dos Deslocamentos consiste em solucionar estruturas 
bidimensionais ou tridimensionais através da análise dos deslocamentos em 
cada elemento utilizando uma superposição de configurações deformadas mais 
simples. Estas configurações, também chamadas de casos básicos, satisfazem 
as condições de compatibilidade da estrutura, mas não as condições de 
equilíbrio da mesma. Neste método, o equilíbrio é então atingido quando é feita 
a superposição destes casos. 
As deslocabilidades são deslocamentos ou rotações nodais livres que definem 
a configuração deformada da estrutura. Representadas pela notação Di, as 
deslocabilidades são as incógnitas do sistema de equações gerado pelo 
Método dos Deslocamentos. Os valores das deslocabilidades são usados para 
obter a configuração deformada da estrutura, além de possibilitarem o cálculo 
dos esforços internos e das reações dos vínculos da mesma. 
O primeiro passo do processo dos deslocamentos se dá em classificar quais 
são os deslocamentos não identificados em cada nó da estrutura. Na Figura 
07, os nós A e C estão engastados, impedindo o deslocamento, rotação vertical 
e horizontal. 
 
Figura 07. (a) Pórtico hiperestático. (b) Deslocabilidades. (c) Sistema 
hipergeométrico. 
 
Em seguida, deve-se gerar a suposição de casos fundamentais, em que cada 
um dos casos são arranjos deformados conhecidos. Com isso, cada caso 
fundamental separa os efeitos do carregamento e das deslocabilidades 
provocadas nas estruturas. 
A caracterização dos casos fundamentais é dada pela determinação do 
sistema hipergeométrico, conforme mostrado na Figura 07 (c), que é a 
estrutura original com os deslocamentos nos nós que impedem a soma de 
apoios imaginários. Na Figura 08 é possível ver que a soma do arranjo 
deformado de cada caso resulta no arranjo deformado da estrutura original. 
 
Figura 08. Superposição dos casos fundamentais. 
 
No passado, as estruturas projetadas eram, em sua maioria, menos 
sofisticadas, compostas por elementos estruturais com menor esbeltez, vãos e 
número de pavimentos. Atualmente, o cenário é outro: as estruturas são mais 
altas e esbeltas e a arquitetura mais arrojada, o que leva à necessidade de 
maiores vãos. Todas essas mudanças tornaram as estruturas mais 
deformáveis, sendo ainda mais importante a avaliação das condições em 
serviço, que é a verificação da durabilidade e de fissuras, deslocamentos e 
flechas em estruturas. 
 
4. Conceitos básicos dos métodos dos elementos finitos 
O Método dos Elementos Finitos (MEF) é uma análise matemática que consiste 
na fragmentação de um meio contínuo em pequenos elementos, sem que haja 
alteração das propriedades do meio original. Esses elementos são descritos 
por equações diferenciais e resolvidos por modelos matemáticos, para que 
sejam obtidos os resultados desejados. Somente com o advento dos 
computadores a sua viabilização tornou-se possível, facilitando a resolução das 
enormes equações algébricas. 
O MEF pode ser utilizado em diversas áreas das ciências exatas, biológicas e 
tecnológicas, como na física, nas engenharias civil, mecânica, elétrica, e 
outras, e inclusive na biologia, ortodontia e medicina, existem trabalhos com 
esta metodologia nas diversas especialidades, quando se deseja analisar 
cargas, tensões ou deslocamentos. Com o contínuo uso desse método em 
pesquisas, com suas vantagens em relação a outros disponíveis, torna-se de 
suma importância o conhecimento da técnica, para que sua utilização possa 
proporcionar benefícios científicos. Para que os trabalhos sejam mais precisos 
em sua interpretação, torna-se primordial que o profissional da engenharia civil 
conheça os conceitos básicos deste método. 
Existem atualmente diversos softwares comerciais para a análise numérica 
pelo MEF, como o SAP2000, Strap, Abaqus, ANSYS, entre outros. 
Essas equações diferenciais, escritas em cada elemento, são então resolvidas 
em conjunto para que sejam obtidos os resultados desejados (deslocamentos, 
tensões, esforços, campo magnético, fluxo pressão, etc.). A origem do 
desenvolvimento desse método data do final do século XVIII, entretanto, a sua 
viabilização tornou-se possível somente com o advento dos computadores, 
facilitando a resolução das enormes equações algébricas. O Método dos 
Elementos Finitos é um método de solução aproximada de equações 
diferenciais muito úteis em ciência e engenharia. Ele possibilita a simulação de 
situações reais em um espaço discreto, cujo limite infinitesimal tende ao 
contínuo. A visualização computacional também tem seguido a implementação 
dos cálculos por este método permitindo uma análise visual das situações 
determinadas através do cálculo numérico. 
As estruturas de edifícios, pontes, barragens, viadutos, etc., devem ser 
projetadas para que cumpram, durante toda a sua vida útil, asfinalidades de 
utilização. A problemática levantada é que, deve-se projetá-las para que 
respondam às ações a que estão submetidas, de forma adequada, sem 
comprometer sua segurança, durabilidade e conforto. Para que esses objetivos 
sejam alcançado deve-se utilizar cálculos numéricos prevendo possíveis falhas 
estruturais. Múltiplos tipos de problemas físicos que são encontrados nas 
ciências e nas engenharias são apresentados matematicamente na forma de 
equações diferenciais ordinárias e parciais. A solução exata habitualmente é 
fruto de um método de solução analítica encontrado por meio de métodos 
algébricos e diferenciais aplicados a geometrias e condições de contorno 
particulares; a aplicação generalizada dos métodos analíticos para diferentes 
geometrias e condições de contorno torna impraticável ou até mesmo 
impossível a obtenção de soluções analíticas exatas. 
Atualmente o MEF encontra aplicação em praticamente todas as áreas de 
engenharia, como na análise de tensões e deformações, transferência de calor, 
mecânica dos fluidos e geologia, eletromagnetismo, etc. 
 
5. Fundamentos do processo de Cross 
O Processo de Cross, ou Método da Distribuição de Momentos (White et al. 
1976), é um método relativamente simples para o cálculo de momentos fletores 
em vigas contínuas, pórticos planos, grelhas e até em pórticos espaciais. Este 
processo é baseado no Método dos Deslocamentos e só se aplica para 
estruturas sem deslocabilidades externas (do tipo translação), isto é, ele só se 
aplica a estruturas com barras inextensíveis e que só tenham deslocabilidades 
do tipo rotação. Apesar desta limitação, o método criado por Hardy Cross na 
década de 1930 (“Analysis of Continuous Frames by Distributing Fixed-End 
Moments,” Transactions, ASCE, Paper no. 1793, vol. 96, 1936) ainda é 
utilizado hoje para o cálculo de estruturas. 
O trabalho de Cross teve um impacto inicial muito grande pois possibilitou a 
solução manual de estruturas hiperestáticas em um momento em que 
estruturas de concreto armado estavam se tornando muito comuns. O concreto 
armado propicia a criação de pórticos com ligações contínuas, com alto grau de 
hiperestaticidade. A aplicação prática do Processo de Cross diminuiu bastante 
pois atualmente se faz uso de programas de computador para a análise de 
estruturas, que geralmente utilizam o Método dos Deslocamentos (embora 
alguns programas utilizem o Processo de Cross como procedimento de análise 
de vigas contínuas). Apesar do uso do Método da Distribuição de Momentos ter 
caído nas últimas décadas, ele tem um apelo intuitivo muito forte e, por isso, 
serve para uma melhor compreensão do comportamento à flexão de estruturas 
reticuladas. 
E também é um método para cálculo de redes malhadas e consiste em se 
concentrar as vazões a serem distribuídas nas diversas áreas cobertas pela 
rede, em pontos das malhas de modo a parecer que há distribuições 
concentradas e não ao longo do caminhamento das tubulações, como no caso 
do seccionamento fictício. 
 
6. Referências bibliográficas. 
 
 
COSTA, M. S. M., & BILESKY, L. R. (2013). Método dos Elementos Finitos 
Aplicado a Engenharia Civil. FAIT, Itapeva, Nov. 
Cunha, B. V. (2018). Ferramenta gráfico-interativo-didática para o ensino do 
método dos deslocamentos em estruturas bidimensionais. 
Duarte, É. N. (2016). Método dos elementos finitos. Mecânica Do Contato Entre 
Corpos Revestidos, 37–44. https://doi.org/10.5151/9788580391992-03 
FIGUEIREDO, H. R. Teoria das Estruturas. Recife-PE. Ser Educacional, 2020. 
O Processo dos esforços De Engenheiro para Curiosos, 2015. Disponível em: 
<https://engucm.files.wordpress.com/2015/08/2processo_dos_esforc3a7os.pdf
>. Acesso em: 24/03/2022. 
 
https://doi.org/10.5151/9788580391992-03