PRÁTICA 5 - ASSOCIAÇÃO DE CAPACITORES MARÇO 2022

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Profa. Dra. Dorotéia de Fátima Bozano 
Instituto de Física 
Universidade Federal de Mato Grosso do Sul 
Laboratório de Física FIII 
Março de 2022 
 
PRÁTICA 5 
ASSOCIAÇÃO DE CAPACITORES 
 
Nessa prática, será feito um estudo sobre capacitores. Será introduzido o conceito de 
capacitância e as leis de carga e descarga de capacitores, bem como as regras de associação 
desses elementos em um circuito elétrico. 
 
Sempre que surgir uma dúvida quanto à utilização de um instrumento ou componente, o aluno deverá 
consultar o professor para esclarecimentos. 
 
Quando usar um capacitor, verifique se ele possui polaridade; se possuir, confira a polaridade antes de 
ligar o circuito. Nos capacitores disponíveis no laboratório, uma seta aponta para o pólo negativo. 
Verifique também a máxima tensão que pode ser aplicada no capacitor. 
 
I - Introdução 
A história dos capacitores começa em 1745 com a famosa experiência da garrafa de 
Leyden projetada por Pieter van Musschenbroek na Holanda. A experiência que conduziu à 
garrafa de Leyden era realizada com uma máquina eletrostática, um varão de ferro suspenso 
do teto na horizontal por fios de seda (isolante) e uma garrafa de vidro com água. A máquina 
era constituída por uma roda com manivela ligada por uma correia a um globo de vidro que 
podia rodar em torno de um eixo. Um dos experimentadores fazia rodar o globo através do 
acionamento da manivela. Um segundo experimentador assentava as mãos sobre o globo de 
vidro para produzir eletricidade por fricção. Noutra parte do globo era estabelecido contato 
elétrico com o varão de ferro. Na outra extremidade deste varão, um terceiro 
experimentador segurava a garrafa de vidro com a mão direita, de forma que uma peça de 
latão ligada ao varão de ferro mergulhava na água. Do globo saltavam faíscas para o varão. O 
experimentador com a garrafa numa mão aproximava a outra mão do varão fazendo saltar 
faíscas do varão para a mão. 
Figura 1 - Garrafa de Leyden. 
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A experiência ficou conhecida, mas não compreendida. Não se sabia quais as funções 
da água, do vidro e do experimentador que segurava na garrafa. Das experiências que se 
seguiram, concluiu-se que a água podia ser substituída por outra substância condutora. 
 
Capacitores Planos 
O inglês John Bevis (1695-1771) fez algumas modificações na experiência de Leyden 
e concluiu que a função do experimentador que segura na garrafa é ligar a garrafa à Terra. 
Por isso, resolveu envolver externamente a garrafa por uma folha de estanho. Continuando 
as pesquisas, Bevis concluiu que o importante da garrafa é o vidro (isolante) que se encontra 
entre dois condutores, no interior e no exterior da garrafa e não a sua forma. Por isso, colou 
duas folhas de estanho, uma de um lado e outra de outro, de um quadrado de vidro. Criou 
desta forma um novo capacitor, sem forma de garrafa e com uma forma mais próxima dos 
capacitores dos nossos dias. Para carregar o capacitor ligou uma das folhas de metal à terra 
e a outra a uma máquina eletrostática. 
 
Capacitores de Ar 
Mais tarde, em 1750, o professor alemão Franz Ulrich Theodor Aepinus fez 
experiências que o levaram à construção de um capacitor utilizando o ar como material 
dielétrico. Colocou duas placas metálicas separadas por uma pequena distância preenchida 
por ar. Ligou uma placa à terra e a outra a uma máquina eletrostática e ao tocar 
simultaneamente as duas armaduras sentiu o "desejado" choque. "Desejado" porque 
confirmou a sua teoria de que o ar podia substituir o vidro. 
Atualmente, os capacitores podem classificar-se em eletrostáticos e eletrolíticos. Os 
primeiros podem ser fixos ou variáveis. Os capacitores fixos podem ser de dielétrico de: 
papel, filme plástico, cerâmica, de vidro, mica. Os capacitores variáveis podem ser de 
dielétrico de: ar, de filme plástico, cerâmicos. 
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II - Capacitor de Placas Paralelas e Capacitância 
O capacitor é um dos componentes mais utilizados em eletrônica. Sua construção 
baseia-se em placas, chamadas de armaduras, que são condutoras, separadas por um 
material isolante, chamado de dielétrico. Tanto as armaduras, como o dielétrico, podem ter 
as mais variadas formas e montagens e podem ser feitos de diversos materiais, fazendo 
assim, com que tenhamos diversos tipos de capacitores. 
Capacitores são utilizados em circuitos com tensão contínua para armazenar cargas e 
servirem de referência para timers, como referência para circuitos osciladores. Também são 
utilizados para bloquearem a circulação de corrente contínua e como, raramente, divisores 
de tensão contínua. 
Quando os capacitores são utilizados em tensão alternada ele poderá ter a função de 
acoplamento ou de desacoplamento de um sinal alternado. Também pode ser usado como 
divisor capacitivo para um sinal alternado ou como equalizador de frequências. Outro uso 
muito comum é na construção de circuitos sintonizados. Todo capacitor oferecerá uma certa 
dificuldade para a circulação de corrente alternada, esta dificuldade recebe o nome de 
reatância capacitiva. A reatância capacitiva irá diminuir, proporcionalmente, ao aumento da 
frequência aplicada sobre o capacitor e ao aumento da capacitância. 
Suponhamos o caso de duas placas condutoras idênticas, paralelas entre si, separadas 
por uma distância S e com área A, tal como mostrado na Figura 2. Uma das placas está 
carregada com uma carga + Q e a outra com uma carga -Q. 
 
Figura 2 – Esquema de capacitor de placas paralelas. 
 
 
 
Uma aproximação comum é desconsiderar o chamado efeito de borda, isto é, vamos 
calcular o campo elétrico gerado por cada placa como se ela fosse infinita. O campo elétrico 
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gerado por uma placa infinita uniformemente carregada pode ser calculado pela Lei de Gauss 
sendo dado pela Equação 1: 
�⃗� = 
𝛔
𝟐𝛆𝐨
= 
𝐐
𝟐𝛆𝐨𝐀
. (1) 
Onde: σ e a densidade superficial de carga, A é a área da placa e Q a carga armazenada 
e εo é a permissividade elétrica do vácuo. Note que se trata de um campo elétrico constante. 
A direção desse campo, E⃗ , é perpendicular a placa e o sentido saindo da placa se Q é positivo 
e entrando na placa se Q é negativo. 
O capacitor esquematizado na Figura 2 pode ser aproximado considerando duas 
placas infinitas carregadas com cargas + Q e – Q e separadas por uma distância S. Assim, na 
região fora das placas os campos gerados por cada placa apontam em sentidos opostos e se 
cancelam. Entre as placas eles se somam e geram um campo elétrico de módulo E⃗ dado pela 
Equação 1. 
A tensão elétrica, V, entre as placas de um capacitor é dada pela Equação 2: 
𝐕 = �⃗� 𝐒 = 
𝐐𝐒
𝟐𝛆𝐨𝐀
 . (2) 
Pela Equação 2, tem-se que a tensão entre as placas é proporcional à carga, Q, nelas 
armazenada. Uma grandeza que expressa a capacidade de armazenar carga pode ser 
definida. Tal grandeza é denominada capacitância C, e é definida pela Equação 3: 
𝐂 = 
𝐐
𝐕
 . (3) 
Para o caso de um capacitor de placas paralelas: 
𝐂 = 
𝐀𝛆𝐨
𝐒
 . (4) 
A capacitância não depende da carga nem da diferença de potencial, V, entre as placas, 
ou seja, é uma propriedade intrínseca do capacitor. Se houver um meio dielétrico entre as 
placas, o campo elétrico gerado será reduzido (na região onde o dielétrico está presente) por 
um fator κ (a constante dielétrica do meio). Isso ocorre porque aparecerão cargas de 
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polarização no dielétrico, cargas negativas na interface com a placa positiva e cargas 
positivas na interface com a placa negativa, como apresentado na Figura 3. Há um 
cancelamento parcial da carga que está na placa com a carga de polarização, o que faz com 
que a densidade superficial de carga na interface seja menor. 
Figura 3 – Capacitor de placas paralelas com dielétrico inserido entre as placas. Cargas de polarização 
no dielétrico. σb é a densidade de cargas de polarização no dielétrico, e σf é a densidade de cargas livres 
nas placas metálicas. 
 
 
Se o campo elétrico, E⃗ , é menor por um fator κ, a tensão entre as placas, V, é menor 
por um fator κ, e a capacitância aumenta por um fator κ, como apresentado na Equação 5. 
𝐂 = 
𝐀𝛋𝛆𝐨
𝐒
 (5) 
O capacitor tem funções variadas, mas uma das principais é de armazenar energia 
elétrica, U. A energia armazenada num capacitor pode ser calculada pelo trabalho necessário 
para carregá-lo. A diferença de potencial entre as placas é V = Q / C, onde q é a carga que está 
sobre as placas. O trabalho necessário é dado pela Equação 6: 
𝐝𝐖 = 𝐕𝐝𝐪 = 
𝐪
𝐂
𝐝𝐪. (6) 
Para calcular a energia armazenada, U, basta integrar a Equação 6 de q=0 a q=Q: 
𝐔 = ∫ 𝐕𝐝𝐪 = 
𝟏
𝐂
 ∫ 𝐪𝐝𝐪
𝐪 𝐐
𝐪 𝟎
𝐪 𝐐
𝐪 𝟎
= 
𝟏
𝟐
𝐐𝟐
𝐂
 (7) 
Lembrando que Q = CV (Equação 3), a energia armazenada no capacitor, U é dada pela 
Equação 8: 
𝐔 = 
𝟏
𝟐
𝐂𝐕𝟐 (8) 
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Essa energia pode ser recuperada quando o capacitor é descarregado, e por isso é dito 
que ela fica armazenada no capacitor ou, mais precisamente, no campo elétrico entre as 
placas. O capacitor pode então armazenar energia elétrica, para fornecê-la ao circuito em 
momentos de picos de consumo ou quando há uma falha da fonte. 
A máxima tensão que pode ser aplicada a um capacitor é limitada pelo fenômeno da 
ruptura dielétrica. Quando o campo elétrico atinge um valor limite, o dielétrico se torna 
condutor. O valor de campo elétrico que causa a ruptura depende do dielétrico, e é 
geralmente da ordem de MV/m. 
Na prática, os capacitores são formados por diversas placas, dispostas de maneira a 
aumentar a superfícies das mesmas e obter uma maior capacitância, conforme pode ser 
observado na Figura 4. 
 
Figura 4 – Formação de um capacitor comercial. 
 
Imagem obtida em: https://www.sabereletrica.com.br/entenda-o-funcionamento-dos-capacitores/. 
Consultado em 01/11/2017 
 
Existem diversos tipos de capacitores, de acordo com o material empregado como 
dielétrico (Figura 5). Cada dielétrico confere um valor diferente de capacitância, 
considerando as mesmas dimensões físicas do capacitor. Os dielétricos podem ser sólidos, 
líquidos ou gasosos, sendo mais comuns os dois primeiros tipos. Exemplos de materiais 
dielétricos utilizados em capacitores comerciais são: cerâmica, poliéster, tântalo, mica, óleo 
mineral, soluções eletrolíticas etc. 
 
Figura 5 – Imagem de diversos tipos de capacitores comerciais. 
 
 
 
 
 
 
 
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Fonte: https://www.sabereletrica.com.br/entenda-o-funcionamento-dos-capacitores/. Consultado em 
01/11/2017 
 
Cada tipo de capacitor apresenta suas peculiaridades, vantagens e desvantagens: 
 Cerâmicos: Capacitores pequenos, de baixo custo, adequados para altas frequências. 
São fabricados com valores de capacitância de picofarad (pF) até 1 microfarad (µF). 
Sua capacitância pode variar dependendo da tensão aplicada. Não apresenta 
polaridade assim como os resistores. 
 Poliéster: Muito utilizados para sinais de tensão alternada (AC) de baixa frequência, 
mas inapropriados para altas frequências. Seu valor típico de capacitância reside na 
ordem de nanofarad (nF). Não apresenta polaridade. 
 Tântalo: Alta capacitância, tamanho reduzido, ótima estabilidade. Existem modelos 
polarizados e não-polarizados. Possuem maior custo de produção em relação aos 
capacitores eletrolíticos e tensão máxima de isolamento em torno de 50V. Não 
apresenta polaridade. 
 Mica: São inertes, ou seja, não sofrem variação com o tempo e são muito estáveis, 
porém, de alto custo de produção. Não apresenta polaridade. 
 Óleo: Possuem alta capacitância e são indicados para aplicações industriais, pois 
suportam altas correntes e picos de tensão elevados. Possuem tamanho superior em 
relação a outros tipos de capacitores e seu uso é limitado a baixas frequências. 
 Eletrolíticos: Nome comumente empregado aos capacitores cujo dielétrico é o óxido 
de alumínio imerso em uma solução eletrolítica. São capacitores polarizados de alto 
valor de capacitância, muito utilizados em fontes de alimentação. Possuem custo 
reduzido em relação ao valor da capacitância, porém, proporcionam grandes perdas e 
seu uso é limitado a baixas frequências. Apresentam dielétrico que têm 
comportamento diferente de acordo com o sentido do campo elétrico. Por isso, esses 
capacitores geralmente apresentam polaridade, isto é, possuem um terminal positivo 
e um terminal negativo. Essa polaridade deve ser sempre respeitada ao conectar-
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se o capacitor a um circuito elétrico pois os mesmos podem explodir, se ligados 
de forma invertida. 
 Supercapacitor: Um supercapacitor é um condensador eletroquímico que possui uma 
grande capacidade de armazenamento de energia quando comparado a capacitores 
comuns. Enquanto capacitores comuns possuem uma capacitância da ordem de mili, 
micro ou nano farad, os supercapacitores são avaliados nas unidades de 1 farad até 
centenas de farads. O primeiro supercapacitor, baseado em um mecanismo de 
camada dupla, foi desenvolvido em 1957 pela General Eletronics. 
 
 Ao escolher um capacitor comercial, deve-se atentar para as seguintes características: 
tipo de dielétrico, capacitância, tensão máxima de trabalho (isolamento) e tolerância. Esses 
três últimos valores, geralmente vêm especificados no próprio componente (Figura 6). Em 
alguns casos, a tolerância é omitida, em outros a tensão máxima de isolamento. 
 Tais valores podem estar escritos de forma explícita ou por meio de códigos 
universalmente aceitos (Figura 6). Capacitores eletrolíticos sempre trazem os valores de 
forma explícita, o mesmo não ocorrendo com os demais tipos. 
 Existem dois códigos principais para a identificação de capacitores: um código 
numérico e outro de cores. Este último, atualmente, é empregado apenas para resistores. 
 O código numérico é composto por três algarismos, seguido, opcionalmente, por uma 
letra (Figura 6). Esta letra corresponde à tolerância do componente, ou seja, à variação 
máxima do valor da capacitância especificada pelo fabricante. Da esquerda para a direita, os 
dois primeiros números correspondem aos dois algarismos do valor da capacitância, 
enquanto que o terceiro número corresponde ao fator multiplicativo. Tais valores são 
expressos em picofarad (10-9 F). 
 Os exemplos apresentados na Figura 6 a seguir servem para ilustrar a forma 
correta de interpretar o código numérico: 
 
Figura 6 – Exemplos dos códigos da capacitância de diferentes capacitores. 
 
 
 
 
 
 
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Fonte: https://www.sabereletrica.com.br/entenda-o-funcionamento-dos-capacitores/. Consultado em 
01/11/2017 
 
 Da esquerda para a direita, os valores da capacitância são obtidos da seguinte forma: 154 = 15 x 104 = 150.000 pF = 150 nF. 
 474 = 47 x 104 = 470.000 pf = 470 nF. 
 20 = 20 x 102 = 2.000 pf = 2 nF. 
 225 = 22 x 105 = 2.200.000 pF = 2,2 µF. 
 
 Os dois capacitores da direita (Figura 6) ainda possuem especificada a sua tensão de 
isolamento: 12kV e 250V. Nos últimos 2 capacitores há, também, a especificação da 
tolerância, por meio das letras M (202M) e K (225K). A Tabela 1 apresenta a relação entre as 
letras e a tolerância correspondente. 
 
Tabela 1 – Especificação dos códigos de tolerância para capacitores comerciais 
 
TOLERÂNCIA 
Até 10pF Acima de 10pF 
B = ±0,10pF F = ±1% M = ±20% 
C = ±0,25pF G = ±2% P = +100% -0% 
D = ±0,50pF H = ±3% S = +50% -20% 
F = ±1pF J = ±5% Z = +80% - 20% 
G = ±2pF K = ±10% 
 
Fonte: http://www.eletronicadidatica.com.br/componentes/capacitor/capacitor.htm. Consultado em 
01/11/2017. 
 
 Por exemplo, os capacitores apresentados na Figura 6, de códigos 202M e 225K, 
possuem tolerância de 20% e 10% respectivamente. Isto significa que o capacitor de 2.000 
pF pode ter seu valor de capacitância entre 1600 e 2400 pF, enquanto que o capacitor de 2,2 
µF pode ter seu valor entre 1,98 e 2,42 µF. 
 
III - Capacitor Cilíndrico 
 Considere duas cascas cilíndricas coaxiais, com raios a e b(com b>a), e comprimento 
L (Figura 7). Esse arranjo é conhecido como capacitor cilíndrico. As cargas em cada placa 
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continuam iguais, mas a área de cada uma delas é diferente, e a densidade de cargas também 
será. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 7 – Esquema de capacitor cilíndrico: (a) vista lateral, mostrando o capacitor e a superfície 
gaussiana; (b) vista por cima, mostrando a distribuição de carga e as linhas do campo elétrico 
 
 
 
 Assumindo que uma carga +Q está na superfície interna, e uma carga –Q na superfície 
externa. Pela Lei de Gauss, o campo elétrico só é não-nulo na região entre as placas. Pela 
simetria, o campo deve ser radial e depender apenas da distância ao eixo. Tomando como 
superfície gaussiana a de um cilindro totalmente contido na região entre as placas, de raio r 
(com a < r < b), e altura h (com h < L). O fluxo sobre as tampas é nulo porque o campo 
elétrico é perpendicular à superfície; sobre a parte lateral, o campo é constante (em módulo) 
e sempre aponta para fora. As configurações da carga e do campo estão mostradas na Figura 
7b. 
 A carga contida nesse cilindro é uma fração h / L da carga da superfície interna. Então, 
pela lei de Gauss temos a Equação 9. 
𝟐𝛑𝐫𝐡|𝐄(𝐫)| = 
𝟏
𝛆𝐨
𝐡
𝐋
𝐐. (9) 
 Portanto o módulo do campo elétrico, |𝐄(𝐫)|, entre os cilindros metálicos, é dado pela 
Equação 10: 
|𝐄(𝐫)| = 
𝐐
𝟐𝛑𝛆𝐨𝐋
𝟏
𝐫
. (10) 
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O módulo campo elétrico cai com o inverso da distância, r, ao eixo. A diferença de 
potencial, V(r), é obtida ao integrar o módulo do campo elétrico, de entre r = a e r= b: 
∫ |𝐄(𝐫)|𝐝𝐫 = ∫
𝐐
𝟐𝛑𝛆𝐨𝐋
𝟏
𝐫
𝐝𝐫
𝐫 𝐛
𝐫 𝐚
=
𝐐
𝟐𝛑𝛆𝐨𝐋
𝐥𝐧
𝐛
𝐚
. 
𝐫 𝐛
𝐫 𝐚
 (11) 
E a capacitância de um capacitor cilíndrico, C, é dada pela Equação 12. 
𝐂 = 
𝐐
𝐕
= 𝛆𝐨
𝟐𝛑𝐋
𝐥𝐧
𝐛
𝐚
 (12) 
Um caso importante é quando as placas estão muito próximas, ou seja, a diferença d 
= b –a, é muito pequena em comparação com a, ou seja d = b –a ~ a. Nesse caso, podemos 
usar a aproximação: ln (b/a) = ln (1 + d/a) ≈ d/a. Então a capacitância do capacitor cilíndrico 
será dada pela Equação 13: 
𝐂 = 
𝐐
𝐕
= 𝛆𝐨
𝟐𝛑𝐚𝐋
𝐝
 . (13) 
Observando a Equação 13, tem-se que 2πaL é a área de cada placa (as duas placas têm 
aproximadamente a mesma área), e d é a separação entre elas. Recuperando, portanto, a 
fórmula para o capacitor de placas paralelas. 
De fato, muitos capacitores comerciais são cilíndricos formados por um par de folhas 
condutoras enroladas em espiral. Isto lhe confere uma maior relação área das 
placas/volume, ou seja, uma maior capacitância por volume. O cálculo da capacitância deste 
tipo de capacitor pode ser feito de forma aproximada considerando N (número de voltas da 
espiral, Figura 4) capacitores cilíndricos associados em paralelo. A seguir será estudado 
como fazer essa associação. 
 
IV - Associação de Capacitores 
Como no caso dos resistores, os capacitores podem ser associados em série ou em 
paralelo, como na Figura 8. 
 
Figura 8 - Associação de Capacitores (a) em série (b) em paralelo. 
 
 
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Fonte: Autora 
Quando conectados em série, as cargas em todos são iguais. Para justificar essa 
afirmação, considere a placa direita do capacitor C1 e a placa esquerda de C2 (Figura 8.a). 
Essas placas estão ligadas entre si e isoladas de todo o resto. Inicialmente, elas tinham carga 
nula, então a soma das cargas deve permanecer nula. Se uma carga -Q se acumular na placa 
direita de C1, uma carga +Q deve se acumular na placa direita de C2. Dessa forma, a carga 
sobre os dois capacitores é a mesma. Esse argumento pode ser usado para quantos forem os 
capacitores ligados em série. 
A tensão sobre o conjunto dos capacitores é a soma das tensões sobre cada capacitor 
(isso é um fato geral sobre componentes ligados em série): 
𝐕 = 𝐕𝟏 + 𝐕𝟐 + 𝐕𝟑 + ⋯ + 𝐕𝐍 (14) 
Como a carga, Q, em todos é igual todos os capacitores podemos escrever a Equação 
15. 
𝐕 = 
𝐐
𝐂𝟏
+ 
𝐐
𝐂𝟐
+
𝐐
𝐂𝟑
+ ⋯ +
𝐐
𝐂𝐍
 . (15) 
A capacitância equivalente é Ceq= Q / V. Portanto, a capacitância equivalente, Ceq, para 
capacitores associados em série é dada pela Equação 16: 
𝟏
𝐂𝐞𝐪
= 
𝐕
𝐐
= 
𝟏
𝐂𝟏
+ 
𝟏
𝐂𝟐
+
𝟏
𝐂𝟑
+ ⋯ + 
𝟏
𝐂𝐍
. (16) 
Na associação em paralelo, os capacitores estão em um mesmo potencial (um fato 
geral sobre componentes em paralelo), mas acumulam cargas diferentes (Figura 8b). A carga 
total é a soma das cargas acumuladas em cada capacitor, Equação 17. 
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𝐐 = 𝐐𝟏 + 𝐐𝟐 + 𝐐𝟑 + ⋯ + 𝐐𝐍. (17) 
Dividindo a Equação 17 por V, obtém-se a capacitância equivalente para capacitores 
associados em paralelo: 
𝐂𝐞𝐪 = 
𝐐
𝐕
= 𝐂𝟏 + 𝐂𝟐 + 𝐂𝟑 + ⋯ + 𝐂𝐍. (18) 
As fórmulas para associação de capacitores são análogas às de associação de 
resistores, mas há uma importante diferença. Resistências se somam quando conectadas em 
série, enquanto capacitâncias se somam quando conectadas em paralelo. A soma dos 
inversos ocorre quando resistências se ligam em paralelo, ou quando capacitores se ligam 
em série. 
 
IV - Carga e Descarga de Capacitores 
Considere o circuito mostrado na Figura 9, onde um capacitor carregado com carga Q 
está ligado em série a um resistor através de uma chave. Inicialmente, com a chave aberta e 
a tensão nos terminais do capacitor é VC = Q/ C. 
 
Figura 9 – Circuito para estudo da descarga de um capacitor. 
 
Fonte: Autora 
 
No momento em que a chave, S, é ligada, o capacitor passa a funcionar como uma fonte 
e estabelece uma corrente variável que flui através do resistor. Aplicando a Lei da Malhas de 
Kirchhoff ao circuito obtemos a Equação 19. 
𝐕𝐂(𝐭) = 𝐑𝐈(𝐭). (19) 
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Como a tensão nos terminais do capacitor é VC = Q/C e a corrente decresce no tempo 
(o capacitor é um reservatório finito de cargas) a correnteno circuito deve ser escrita como 
I= -dQ/dt. Portanto, teremos a equação diferencial apresentada na Equação 20. 
𝐑
𝐝𝐐(𝐭)
𝐝𝐭
+ 
𝐐(𝐭)
𝐂
= 𝟎. (20) 
A Equação 20 é uma equação diferencial de primeira ordem, linear e homogênea. A 
condição inicial é Q(t=0) = Qo, e a solução que a satisfaz (deduza essa expressão) é dada pela 
Equação 21: 
𝐐(𝐭) = 𝐐𝐨𝐞
 𝐭 𝐑𝐂⁄ . (21) 
E a tensão sobre o capacitor é dada pela Equação 22: 
𝐕𝐂(𝐭) = 
𝐐(𝐭)
𝐂
= 
𝐐𝐨
𝐂
𝐞 𝐭 𝐑𝐂⁄ = 𝐕𝐨𝐞
 𝐭 𝛕⁄ . (22) 
A carga e a tensão decaem exponencialmente, com constante de tempo igual a τ = RC. 
Isso significa que após decorrido um tempo τ, a tensão decai a 1/e do valor inicial, ou seja: 
V(t = RC) = Vo/e. 
Vamos agora estudar o carregamento de um capacitor. Para isso, é necessário inserir 
uma fonte de alimentação (em série) no circuito, como na Figura 10. Aplicando a Lei de 
Malhas de Kirchhoff ao circuito da Figura 10, podemos escrever a equação diferencial dada 
pela Equação 23. 
Figura 10 – Circuito para estudo do carregamento de um capacitor. 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Autora 
 
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Março de 2022 
 
𝐑
𝐝𝐐(𝐭)
𝐝𝐭
+ 
𝐐(𝐭)
𝐂
= 𝐕(𝐭). (23) 
A carga inicial do capacitor é Q(t = 0) = 0 e a tensão na fonte é V = Vo. Por causa do 
termo V(t), temos que a Equação 23 é uma equação diferencial de primeira ordem não-
homogênea, cuja solução (deduza essa expressão) é dada pela Equação 24: 
𝐐(𝐭) = 𝐂𝐕𝐨 𝟏 − 𝐞
𝐭 𝐑𝐂⁄ . (24) 
A tensão sobre o capacitor, VC, durante seu carregamento é dada pela Equação 25: 
𝐕𝐂(𝐭) = 
𝐐(𝐭)
𝐂
= 𝐕𝐨 𝟏 − 𝐞
𝐭 𝐑𝐂⁄ . (25) 
A tensão se aproxima de forma assintótica da tensão da fonte Vo. 
A Figura 11 mostra os comportamentos típicos de carga e descarga de um capacitor. 
Figura 11 – Comportamento da (a) carga e (b) descarga de um capacitor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Autoria 
 
A corrente, I (t) = + dQ/dt, é então dada por: 
𝐈(𝐭) = 𝐈𝐨𝐞
𝐭 𝐑𝐂⁄ = 𝐈𝐨𝐞
𝐭 𝛕⁄ . (26) 
Onde: I0 = Vo/R. 
Deve-se notar que a corrente I (t) possui uma descontinuidade em t = 0, visto que 
salta de zero (I (t) = 0 para t < 0s) para I (t = 0+) = Io = Vo/R e é dada pela Equação 26 somente 
para t > 0s. 
0 10 20 30 40 50 60
0
1
2
3
4
5
6
T
e
n
s
ã
o
 n
o
 C
a
p
a
ci
to
r 
(V
)
Tempo (ms)
(a)
0 10 20 30 40 50 60
0
1
2
3
4
5
6
T
e
n
sã
o
 n
o
 C
a
p
ac
it
o
r 
(V
)
Tempo (ms)
(b)
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Profa. Dra. Dorotéia de Fátima Bozano 
Instituto de Física 
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Existe um instrumento chamado capacímetro que é projetado para medir 
capacitâncias. Alguns modelos de multímetros digitais também apresentam uma função para 
medir capacitâncias. No entanto, quando não se dispõe deste instrumento é comum se 
analisar as curvas de carga e descarga de capacitores, utilizando um resistor de valor 
conhecido, com o fim de determinar a capacitância. Isso é feito através da determinação da 
constante de tempo de carga ou descarga. 
Uma aplicação importante dos circuitos RC é utilizá-lo como base de tempo para 
circuitos temporizadores. Uma lâmpada de corredor, por exemplo, pode ser “programada” 
para ficar acesa por um tempo determinado. Utiliza-se um capacitor que é carregado quando 
a lâmpada é ligada e a partir daí se descarrega em uma resistência. Um circuito eletrônico 
monitora a tensão na resistência e faz com que a lâmpada se desligue quando essa tensão 
atingir um limiar. O tempo necessário para que isso ocorra depende da constante de tempo 
do circuito, o que permite regular quanto tempo a lâmpada permanece acessa. Em geral, esse 
tipo de circuito RC é constituído por um capacitor fixo e um reostato, o que permite o ajuste 
da constante de tempo para qualquer valor. 
 
V – PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
 Nesta prática será um capacitor cerâmico de capacitância nominal 10nF, um 
voltímetro cuja resistência interna para uma dada escala, RV, uma fonte de tensão contínua 
(dc) com resistência interna, Ri e um resistor comercial de resistência nominal 1kΩ. As 
resistências internas do voltímetro para cada fundo de escala foram determinadas em aulas 
práticas anteriores. 
 
V.1 - Descarga de Um Capacitor 
 
a) Monte o circuito indicado na Figura 12, utilizando um multímetro e um capacitor 
disponível na bancada. Verifique a tensão de trabalho máxima do capacitor em estudo 
indicada no próprio capacitor pelo fabricante. 
b) Determine a capacitância do capacitor utilizando um capacímetro. 
c) Para o circuito da Figura 12, onde a fonte real apresenta uma resistência interna, Ri, e o 
voltímetro real apresenta uma resistência, RV (depende do fundo de escala utilizado para 
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a medição da tensão), a resistência equivalente associada (associação em paralelo) ao 
capacitor, Req1, é dada pela Equação 27: 
 𝐑𝐞𝐪𝟏 = 
𝐑𝐕𝐑𝐢
𝐑𝐕 𝐑𝐢
. (27) 
 
Os valores da resistência interna do voltímetro, RV, para cada fundo de escala de medição 
e a resistência interna da fonte, Ri, foram determinadas em práticas anteriores. 
d) Ajuste a tensão da fonte para Vo = 15 V (verifique com o voltímetro utilizando a escala de 
20V) e anote a resistência interna voltímetro, RV, para a escala utilizada (já determinada 
em experimento anterior). 
e) Determine o valor da resistência equivalente, Req1, utilizando a Equação 27. 
f) Determine o valor da constante de tempo capacitiva teórica: τteórico 1 = Req1.C. 
g) Carregue o capacitor ligando a fonte de alimentação e aguarde 1 minuto. Desligue a fonte 
de alimentação utilizando a chave S (um cabo conectado à fonte) e observe a descarga do 
capacitor sobre a resistência interna do voltímetro. Meça o tempo, t, necessário para que 
o capacitor atinja as seguintes tensões: 14, 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5 V. Após cada tensão 
ser atingida, carregue novamente o capacitor e repita o procedimento. 
 
Figura 12 – Circuito para estudo da descarga do capacitor através das resistências internas da fonte e 
voltímetro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Autora 
 
h) Construa um gráfico das razões VC(t)/Vo em função do tempo, t, em escala linear (similar 
à Figura 11.b). Obtenha a curva (e a respectiva equação) que melhor descreve o 
comportamento experimental dos dados obtidos. 
 
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i) Utilizando a curva que melhor descreve o comportamento experimental, determine o 
tempo que corresponde ao valor da razão VC(t)/Vo = 1/e (onde e ≈ 2,718 é o número 
neperiano). Nessa condição, pela Equação 22, temos t = Req1C = constante de tempo τ, e 
V(t)/Vo = 0,37. 
j) Construa um gráfico dos valores de ln(VC(t)/Vo ) em função do tempo, t, para a descarga 
do capacitor. 
Obs. 1: Podemos reescrever a Equação 22 sob a forma da Equação 28: 
𝐕𝐂(𝐭)
𝐕𝐨
= 𝐞
𝐭
𝐑𝐞𝐪𝟏𝐂 = 𝐞 𝐭 𝛕⁄ . (28) 
Aplicando-se a função logaritmo neperiano em ambos os lados da igualdade da 
Equação 28, obtemos a Equação 29: 
𝐥𝐧
𝐕𝐂(𝐭)
𝐕𝐨
= 𝐥𝐧 𝐞 𝐭 𝛕⁄ = − 
𝟏
𝛕
𝐭. (29) 
k) Utilize o método dos mínimos quadrados para o gráfico ln(VC(t)/Vo ) em função do tempo, 
t, e determine a equação da melhor reta. Obtenha o valor da constante de tempo 
capacitiva, τ (s), a partir do coeficiente angular da melhor reta (Equação 29). Determine, 
também, o coeficiente de determinação, r2, e avalie o comportamento da regressão linear 
obtida. 
l) Compare os valores da constante de tempo τ determinadas nos Itens V.1.f , V.1.i. e V.1.k. 
Compare os 3 valores da constante de tampocapacitiva e discuta seus resultados. 
m) A partir da média das constantes de tempo capacitivas, determine a capacitância do 
capacitor utilizado e compare com os valores fornecido pelo fabricante e determinado 
com o uso do capacímetro. Discuta seus resultados. 
 
V.2 - Carga de Um Capacitor 
a) Monte o circuito mostrado na Figura 13, utilizando o capacitor (C = 10nF, valor nominal) 
e o resistor (1kΩ, valor nominal) disponíveis na bancada, em série com a fonte de 
alimentação. 
b) Determine o valor da resistência, R, utilizando um multímetro na função ohmímetro. 
c) Determine o valor da capacitância, C, utilizando um capacímetro. 
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d) Para o circuito da Figura 13, onde a fonte real apresenta uma resistência interna, Ri, e o 
voltímetro real apresenta uma resistência, RV (depende do fundo de escala utilizado para 
a medição da tensão), a resistência equivalente associada (associação em paralelo) ao 
capacitor, Req2, é dada pela Equação 30: 
 𝐑𝐞𝐪𝟐 = 
𝐑𝐕(𝐑𝐢 𝐑)
𝐑𝐕 𝐑𝐢 𝐑
. (30) 
e) Ajuste a tensão da fonte para 15V e aguarde um minuto. Desconecte o capacitor e anote o 
valor da tensão no capacitor indicada pelo voltímetro. Essa será a tensão máxima, V0, no 
capacitor. 
f) Determine o valor da resistência equivalente, Req2, utilizando a Equação 30. 
g) Determine o valor da constante de tempo capacitiva teórica: τteórico 2 = Req2.C. 
Figura 13 – Circuito para o estudo experimental da carga de um capacitor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Autora 
 
 
h) Com o capacitor totalmente descarregado (basta realizar um curto-circuito entre os 
terminais do capacitor com uma sonda do multímetro), conecte o capacitor, e meça o 
tempo, t, para o capacitor atingir tensões variando de 0V até seu valor máximo, Vo, em 
passos de 1V. 
i) Construa um gráfico em escala linear (similar à Figura 11.a) de ((Vo - Vc(t))/Vo) em função 
do tempo, t, para atingir os diferentes valores da tensão no capacitor, VC(t). Vo é o valor 
medido no Item V.2.a. Obtenha a curva (e a respectiva equação) que melhor descreve o 
comportamento experimental dos dados obtidos. 
 
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j) Utilizando a curva que melhor descreve o comportamento experimental, determine o 
tempo que corresponde ao valor ((Vo - Vc(t))/Vo) = 1/e (onde e ≈ 2,718 é o número 
neperiano). Nessa condição, pela Equação 22, temos t = Req2C = constante de tempo τ, e 
((Vo - Vc(t))/Vo) = 0,37. 
k) Construa um gráfico de ln((Vo - Vc(t))/Vo) em função do tempo, t, onde Vo é o valor que 
você mediu no Item V.2.a. 
Obs. 2: Podemos reescrever a Equação 25 sob a forma da Equação 29: 
(𝐕𝐨 𝐕(𝐭))
𝐕𝐨
= 𝐞
𝐭
𝐑𝐞𝐪𝟐𝐂. (31) 
Aplicando-se a função logaritmo neperiano em ambos os lados da igualdade da Equação 
31, obtemos a Equação 32. 
𝐥𝐧
 (𝐕𝐨 𝐕(𝐭))
𝐕𝐨
= 𝐥𝐧(𝐞
𝐭
𝐑𝐞𝐪𝟐𝐂) = −
𝟏
𝛕
𝐭. (32) 
l) Aplique o método dos mínimos quadrados ao gráfico ln((Vo - Vc(t))/Vo) em função do 
tempo, t, e determine a equação da melhor reta. Obtenha o valor da constante de tempo, 
τ (s), a partir do coeficiente angular da melhor reta (Equação 30). Determine, também, o 
coeficiente de determinação, r2, para avaliar seus resultados experimentais. 
m) Compare com os valores da constante de tempo, τ, obtidos nos Itens V.1.f, V.1.i. e V.1.k, 
V.2.g, V.2.j e V.2.l. Discuta seus resultados. 
 
V.3 - Associação de Um Capacitor Carregado com um Descarregado 
a) Monte o circuito da Figura 14 usando capacitores eletrolíticos de C1=1000µF e C2= 
2200µF (verifique a polaridade dos mesmos). 
 
Importante: Antes de iniciar o experimento lembre-se de descarregar os 
capacitores para evitar qualquer carga armazenada entre suas placas. 
 
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Neste experimento serão utilizados capacitores eletrolíticos. Estes capacitores são 
polarizados. Ao conectá-los em um circuito é indispensável identificar os polos 
positivo e negativo de cada capacitor. Cada polo do capacitor deve estar conectado 
ao polo correspondente da fonte de alimentação. 
 
 
 
Figura 14 - Circuito para estudar a conservação da energia eletrostática em capacitores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Autora 
 
b) Ajuste a fonte para Vfonte = 15 V, mantenha a chave S2 aberta e feche a chave S1 para 
carregar o capacitor C1 = 1000 µF e meça a tensão V1 máxima nos terminais do capacitor 
C1. 
c) Determine a energia armazenada no capacitor C1, 𝐔𝟏 = 
𝟏
𝟐
𝐂𝟏𝐕𝟏
𝟐(J) 
d) Em seguida, desconecte a fonte (abra a chave S1) e feche a chave S2 para ligar o capacitor 
descarregado C2 = 2200 µF em paralelo com o capacitor já carregado C1. 
e) Aguarde até que a tensão no voltímetro estabilize e meça a tensão de equilíbrio da 
associação de capacitores, Vf. 
f) Determine a capacitância equivalente, Ceq, da associação em paralelo dos capacitores C1 e 
C2. 
g) Calcule a energia total, Ueq, armazenada pelos capacitores em paralelo para a tensão de 
equilíbrio da associação, Vf, isto é: 𝐔𝐞𝐪 = 
𝟏
𝟐
𝐂𝐞𝐪𝐕𝐞𝐪
𝟐 (J). 
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h) Compare os resultados das energias armazenadas obtidas nos Itens V.3.c e V.3.g. Houve 
conservação de energia? 
Obs.3: Lembre-se que o voltímetro não é ideal, ou seja, apresenta uma resistência interna, 
e resistores dissipam energia com uma potência, P (W = J/s) dada por: 𝐏 = 
𝐕𝟐
𝐑𝐕
 (𝐖). 
 
 
 
Referências Bibliográficas 
- Capacitância e Capacitores, Laboratório de Eletricidade e Magnetismo, Instituto de Física 
de São Carlos/USP, consultado em 13 de janeiro de 2016. 
- Luiz Bertini, O Capacitor, doradioamad.dominiotemporario.com/doc/O_Capacitor.pdf, 
consultado em 13 de janeiro de 2016.