TEORIA DAS ESTRUTURAS 2- Treliças UPE

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TEORIA DAS ESTRUTURA II- Departamento de Engenharia Civil- Escola Politécnica de Pernambuco- Prof. Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 
 
1 
 
 
 
UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO 
ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
Disciplina: TEORIA AS ESTRUTURAS II (formato remoto) 
 
Prof. Dr. Carlos Welligton Pires Sobrinho 
Programa: 
ANÁLISE DE TRELIÇAS PLANAS PELO MÉTODO DA RIGIDEZ 
 
Treliças Planas 
• São estruturas compostas por barras articuladas por nós rotulados; 
• As cargas aplicadas apenas nos nós; 
• Não é considerado cargas atuantes nos elementos; 
 
 
 
Em uma barra de treliça plana cada nó tem dois graus de liberdade. Sendo estes 
relacionados à deslocamentos lineares. 
E por ser necessário considerar elementos com orientações distintas, há 
necessidade de utilizar na montagem e resolução do problema sistema global; 
 
 
Sistema Global (SG) Sistema Local (SL) 
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Determinação da matriz de rigidez de um elemento de treliça no sistema local 
 
Seja um elemento de treliça no sistema local 
 
 
 
Para U1=1 
 
 
Para deslocar U1 em uma unidade 
necessita-se de uma força de intensidade 
da rigidez, por outro lado surge esforço 
igual no nó contrário 
 
Para U2 =1 
 
 
 
 
 
L’=√𝐿 2 + (𝑈2)2 = L√1 + (
𝑈2 2
 ) 
𝐿 
𝐿𝘍−𝐿 
Para U2 << L → Є= → 0 
𝐿 
Não surgem esforços 
 
Para U3=1 
 
 
Para deslocar U3 em uma unidade 
necessita-se de uma força de intensidade 
da rigidez, por outro lado surge esforço 
igual no nó contrário 
 
Para U4 =1 
 
 
 
 
L’=√𝐿 2 + (𝑈4)2 = L√1 + (
𝑈4 2
 
 ) 
𝐿 
𝐿𝘍−𝐿 
Para U2 << L → Є= → 0 
𝐿 
Não surgem esforços 
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Assim montando a matriz 
 
 
 
 
 
 
 
→ 
 
 
 
 
Consideração dos elementos da matriz 
 
 
 
 
Transformação de sistemas 
Para possibilitar a soma das contribuições de elementos com orientações diferentes 
(o SL o eixo dos elementos) é necessário que todos os elementos estejam 
relacionados ao Sistema Global. 
 
 
Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fazendo C=cosθ e S=senθ 
 
 
Estendendo para os dois nós: 
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Onde [T] é a matriz de transformação para este tipo de elemento. 
 
Determinação da matriz de rigidez do elemento de treliça no sistema global 
Desta forma: 
 
Operando se obtém a expressão de recorrência para a matriz no sistema global: 
 
 
 
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L =√𝐿𝑥2 + 𝐿𝑦2 
 
𝐿𝑥 
C = cosθ = 
𝐿 
 
𝐿𝑦 
S = senθ = 
𝐿 
 
 
Assim, seguindo o procedimento anterior, a montagem da matriz de rigidez é 
formada pela contribuição de cada elemento, assim considerado 
 
 
 
 
 
Desta forma, o procedimento para montagem da matriz do problema será realizado 
no sistema global, com a contribuição de cada elemento. 
O vetor de carga também e construído no sistema global, sendo obtido os 
deslocamentos no sistema global. 
 
{F} = [K].{U} 
 
Após a determinação dos deslocamentos, os esforços nos elementos são calculados 
no sistema Global utilizando a matriz do elemento no sistema global com os 
deslocamentos que atuam nesses elementos. 
 
{g} = [K].{u} 
Para obter os esforços nos elementos no sistema local utiliza a matriz de 
transformação. 
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Exercício 8: Determinar os deslocamentos, esforços nos elementos e reações nos 
apoios na treliça abaixo submetidas as ações indicadas. 
 
 
 
 
 
Considere: 
 
EA = 20.000 kN 
 
 
 
A – Discretização: 
No caso de treliças como por definição a treliça é formada por barras articuladas, as 
articulações se confundem com os próprios nós, não havendo espaço para outro tipo 
de discretização. 
 
 
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B – Montagem da matriz de rigidez: 
B.1 Contribuição do elemento 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim: 
 
 
 
 
Na 
memória 
→ 
 
 
 
 
 
B.1 Contribuição do elemento 2 
 
 
L = 4 
C= cos 0 = 1 
S = sem 0 =0 
U1=0 
V1=0 
U2=1 
V2=2 
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Assim: 
 
 
 
 
Na 
memória 
-→ 
 
 
 
 
Não tendo mais elementos a contribuir, a matriz final é: 
 
C- Vetores de carga 
C.1- Cargas nodais, na direção dos deslocamentos {F} 
 
 
Observe que não há cálculo, os valores 
correspondem as ações associadas a cada 
deslocamento desconhecido, respeitando os 
sentidos positivos. 
 
C.2 Cargas nos elementos {f}. Em treliças, por definição, não existem cargas nos 
elementos. 
 
D- Determinação dos deslocamentos- Equações de equilíbrio. 
{F} = [K].{U} 
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Resolvendo: 
7560 
xL2-L1 
1920 
7560 
 
 
1920 
x(-20)-10 = 
7560 
 
 
1920 
𝑥1920 − 7560 
7560 
 
 
1920 
𝑥1440 − 1920 
𝑈1 
𝑈2 
 
 L2’ → -88,75 = 0.U1 + 3750.U2 → U2 = -0,02367m → -23,67 mm 
L1 → 10 = 7560.U1 + 1920.(0,02367) → U1 = 0,00733m → 7,33 mm 
 
E- Cálculo dos esforços 
 
E.1 Elemento 1 
 
{gi} = [Ki].{Ui} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
→ 
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26,68 kN 
20,00 kN 
-26,68 kN 
-20,00 kN 
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→ 
 
 
 
 
 
Transformação para o Sistema Local 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Diagrama de esforços axiais 
(Sistema Local) 
 
 
 
E.2 Elemento 2 
 
 
 
 
Transformação para o Sistema Local 
 
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Diagrama de esforços axiais 
(Sistema Local) 
 
 
 
Esforços finais 
 
 
 
 
 
 
Diagramas de esforços axiais 
 
 
 
-- xx -- xx -- 
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Exercício 9: Determinar os deslocamentos, esforços nos elementos e reações nos 
apoios na treliça abaixo submetidas as ações indicadas. 
 
 
 
 
Considere: 
 
EA = 10.000 kN 
 
A – Discretização: 
 
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B – Montagem da matriz de rigidez: 
B.1 Contribuição do elemento 1 
 
 
 
 
 
 
 
L = √22 + 3,52 = 4,03 m 
 
2 
C = = 0,5 
4,03 
 
3,5 
S = = 0,87 
4,03 
 
U1=0 
V1=0 
U2=1 
V2=2 
 
 
 
 
 
Na memória → 
 
 
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B.2 Contribuição do elemento 2 
 
 
 
 
L = 3,5 m 
EA = 15.000 
C= 0 
 
S = 1U1=0 
V1=0 
U2=1 
V2=2 
 
 
 
 
 
 
 
Na memória → 
 
 
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B.3 Contribuição do elemento 3 
 
 
 
 
 
 
L = √22 + 3,52 = 4,03 m 
 
−2 
C = = -0,5 
4,03 
 
3,5 
S = = 0,87 
4,03 
 
U1=0 
V1=0 
U2=1 
V2=2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na memória → 
 
 
 
 
 
C- Vetores de carga 
C.1- Cargas nodais, na direção dos deslocamentos {F} 
 
 
. 
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C.2 Cargas nos elementos {f}. Em treliças , por definição, não existem cargas nos 
elementos. 
 
D- Determinação dos deslocamentos- Equações de equilíbrio. 
{F} = [K].{U} 
 
 
Assim o nó superior central desloca 1,25mm para baixo. 
 
E- Cálculo dos esforços internos nas barras: 
E.1- barra 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Transformação para sistema local 
 
 
 
 
E.2- barra 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Transformação para sistema local 
 
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E.3- barra 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Transformação para sistema local 
 
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Diagrama de esforços finais 
 
 
 
Observem que: 
- a soma dos esforços no topo é (2,33 + 5,35 + 2,33 ) = 10,01 ~10 kN ( carga aplicada); 
- por ser simétrica ( cargas, geometrias e materiais) mostra esforços simétricos. 
- as reações nas bases são: 
Va =2,33kN ; Há = 1,33 kN; Vb = 5,35kN; Hb = 0 ; Vc = -1,33 kN e Hc = 2,33 kN; 
- os esforços nas barras são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
--xx-- ---xxx--- ---xx--- 
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Exercício 10: Determinar os deslocamentos e a reação no apoio da treliça às ações 
indicadas. 
 
 
 
Considere: 
 
EA = 20.000 kN 
 
A Discretização 
 
 
B Montagem da matriz de rigidez 
B.1 Contribuição do elemento 1 
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L = √32 + 42 = 5 
4 
C= = 0,8 
5 
3 
S = = 0,6 
5 
U1=0 
V1=0 
U2=1 
V2=0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim: 
 
 
 
 
 
 
Na memória 
→ 
 
 
 
 
 
 
 
B.2 Contribuição do elemento 2 
 
 
 
 
L = 4 
C= cos 0 = 1 
S = sem 0 =0 
U1=0 
V1=0 
U2=1 
V2=0 
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Assim: 
 
 
 
Na memória → 
 
 
Sendo esta a matriz final K=[7560] 
 
C- Vetores de carga 
F = [ 10 ] 
I.D – Equações de equilíbrio. 
[F] = [K].[U] → [10] = [7560].[u1] → u1= 
7520 
→ U1=0,00132m 
 
E – Cálculo dos esforços 
 
 
E.1- Elemento 1 
 
 
 
 
 
 
10 
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Transformação de sistemas 
 
 
 
 
 
 
 
= -4,22 kN 
= 0.01 ~ 0 
=4,22 kN 
=0 
 
 
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E.2- Elemento 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I.F Esforços finais 
 
 
 
 
-- xx -- xx -- 
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Exercícios propostos 
E3.1- Determinar os esforços e reaçoes na treliça abaixo: 
 
 
Considere EA=10.000 kN 
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Exercício 11- Determinar os esforços e reações que surgem na treliça abaixo, 
quando submetida às cargas aplicadas e ao recalque imposto. 
 
 
 
 
Considere: 
EA= 20.000 kN 
 
A- Discretização 
 
 
 
 
No caso de deslocamento 
imposto (geralmente 
conhecido), consideramos 
inicialmente o deslocamento 
desconhecido, e na resolução 
impõe-se o valor deste. 
 
B- Montagem da matriz de rigidez: (aproveitaremos o realizado no exercício 9). 
B.1 Contribuição do elemento 1 
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L = √32 + 42 = 5 
4 
C= = 0,8 
5 
3 
S = = 0,6 
5 
U1=0 
V1=0 
U2=1 
V2=2 
 
 
 
 
 
 
 
Assim: 
 
 
 
 
Na 
memória 
→ 
 
 
 
 
 
 
B.1 Contribuição do elemento 2 
 
 
 
L = 4 
C= cos 0 = 1 
S = sem 0 =0 
U1=0 
V1=0 
U2=1 
V2=2 
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Assim: 
 
 
 
 
Na 
memória 
-→ 
 
 
 
 
Não tendo mais elementos a contribuir, a matriz final é: 
 
C- Vetores de carga 
C.1- Cargas nodais, na direção dos deslocamentos {F} 
 
 
 
 
Observe na direção F1 a carga está aplicada na direção 
positiva, já na direção F2 existem duas cargas, a carga 
vertical (-20, negativa pois está para baixo) e a ação da 
reação (positiva pois está indicada para cima. 
 
C.2 Cargas nos elementos {f}. Em treliças, por definição, não existem cargas nos 
elementos. 
 
D- Determinação dos deslocamentos- Equações de equilíbrio. 
{F} = [K].{U} 
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→ 
10+3,84 
L1-> 10 = 7560xU1 + 1920x(-0,002) U1 = 
7560 
= 0,00183 m 
 
L2-> R-20 = 1920x0,00183 + 1440x(-0,002) → R=20,63 kN 
 
 
 
E – Cálculo dos esforços 
{gi} = [Ki].{ui} 
 
 
 
E.1- Elemento 1 
 
 
 
Transformação de sistemas 
 
 
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E.2- Elemento 2 
 
 
 
 
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34 
 
F- Esforços finais 
 
 
---XX -- XX --- 
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