Algoritmos de Ordenação e Classificação de Problemas

Prévia do material em texto

O algoritmo counting sort tem larga aplicabilidade pelo seu desempenho linear na ordenação de dados em memória. No entanto, o maior consumo de espaço em memória pode restringir seu uso em determinados cenários. Outra característica é sua estabilidade quanto ao posicionamento de elementos com o mesmo valor.
 
Considerando que um vetor A de n posições é passado como parâmetro para o algoritmo counting sort e que dois elementos nas posições i e j têm o mesmo valor k (A[ i ] = A[ j ] = k), assinale a alternativa correta quanto ao funcionamento do algoritmo. Assuma que um vetor B é retornado pelo algoritmo.
 
O algoritmo é estável, porque a posição C[ k ] do vetor auxiliar C é decrementada após a alocação de k em B, e não é mais incrementada.
A ordenação de dados em memória é uma das operações mais comuns executadas por algoritmos computacionais. Embora existam diferentes estratégias para esse tipo de operação, poucas delas conseguem alcançar um tempo computacional linear.
 
Algoritmo Ordenação Linear Simplificada
Entrada: Um vetor A de n inteiros cujos valores são 1 ou 2.
Saída: Vetor A com os valores ordenados de forma não-decrescente
1. Defina k ← 0
2. para i ← 1 até n faça
3. se A[ i ] = 1, então k ← k + 1
4. para i ← 1 até k faça
5. A[ i ] ← 1 
6. para i ← k + 1 até n faça
7. A[ i ] ← 2
8. retorna A
 
 
Nesse contexto, considerando o algoritmo apresentado, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
 
I. ( ) Para um vetor A contendo m posições com valor 1 e n posições com valor 2, o algoritmo realiza m + n operações de atribuições ao vetor A.
II. ( ) O algoritmo é estável.
III. ( ) Para qualquer sequência de valores aceitos pelo algoritmo, as primeiras posições do vetor A serão ocupadas pelo valor 2.
IV. ( ) O maior valor possível para k é n.
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
V, V, F, V.
A construção de estratégias gulosas para a solução de problemas é uma abordagem muito comum, porque, em geral, várias opções podem ser implementadas. Porém, nem sempre a melhor solução é possível de ser obtida com essa abordagem. Um exemplo é o problema conhecido como problema da mochila 0-1. Uma mochila que suporta, no máximo, um peso P, deve ser carregada com os itens mais valiosos dentre n disponíveis, de modo a alcançar o maior valor total. Cada item i tem um peso pi e um valor vi associado.
Considerando a instância do problema da mochila 0-1, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
 
I. ( ) A solução ótima inclui os itens 2 e 3.
II. ( ) Organizando os itens por ordem crescente de peso e selecionando cada item nessa ordem, somos conduzidos a uma solução sub-ótima.
III. ( ) A estratégia gulosa de selecionar os itens com maior razão vi/pi conduz à solução ótima.
IV. ( ) Qualquer solução contendo o item com maior valor por peso é sub-ótima.
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
V, V, F, V.
Os problemas que precisam ser resolvidos computacionalmente podem ser classificados de acordo com a sua computabilidade. Essa classificação é importante, considerando que ela tem efeito direto sobre a viabilidade de construção de um algoritmo útil em cenários práticos.
 
Considerando essas informações e os conteúdos estudados, assinale a alternativa correta a respeito dessa classificação de problemas.
Resposta certa. O problema de encontrar uma rota ótima visitando pontos específicos uma única vez é uma aplicação do problema do Caixeiro Viajante, que é da classe NP. Problemas da classe NP-difícil satisfazem apenas uma condição dos problemas da classe NP (problemas NP-completo satisfazem às duas condições e são NP-difíceis), ou seja, se um algoritmo polinomial for encontrado para ele, então todos os problemas NP poderão ser reduzidos a esse problema, o que possibilitará que estes sejam resolvidos em tempo polinomial.
A descoberta de um algoritmo polinomial para um problema NP-completo pode tornar a igualdade P = NP verdadeira.
Os conceitos que fundamentam a construção de estratégias gulosas são importantes para que uma modelagem precisa possa ser empregada durante a proposição de soluções. Essa análise deve preceder, inclusive, a etapa de projeto de um algoritmo guloso.
 
Nesse contexto, dado um conjunto { x1, x2, …, xn } de pontos na reta dos números reais, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
 
I. É possível projetar uma estratégia gulosa para encontrar o menor conjunto de intervalos fechados de comprimento 1 (um) contendo todos os pontos.
Porque:
II. A cada etapa da estratégia gulosa uma escolha local ótima pode ser feita de modo a garantir a obtenção de uma solução final ótima.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
Resposta certa. Considere o intervalo mais à esquerda. Sabemos que esse intervalo deve conter o ponto mais à esquerda. Então, sabemos que seu lado esquerdo é exatamente o ponto mais à esquerda. Portanto, simplesmente removemos qualquer ponto que não pertença ao conjunto informado e que esteja a uma unidade de distância do ponto, uma vez que eles estão contidos neste único intervalo. Em seguida, nós apenas repetimos esse processo até que todos os pontos sejam cobertos. Como em cada etapa há uma escolha claramente ótima de onde colocar o intervalo mais à esquerda, essa solução final é ótima. Portanto, ambas as afirmativas são verdadeiras e a II justifica a primeira.
A recursão é uma poderosa técnica para modelagem e projeto de algoritmos. O uso dessa estratégia, porém, depende da correta identificação dos seus dois principais elementos: um caso base que finaliza as chamadas recursivas e o passo de recursão. Suponha a situação em que a operação de adição em uma linguagem de programação é feita por um componente externo. Esse componente recebe como parâmetro dois números a serem somados e, internamente, ele faz uso dos operadores ++ para incrementar o valor de um número em 1 e -- para decrementar em 1.
 
Somador
Entrada: Dois inteiros i e j a serem somados
Saída: Valor de i + j
1. se i = 0 então
2. retorna j
3. senão
4. retorna Somador(- -i, ++j)
 
Considerando o Algoritmo Somador apresentado, assinale a alternativa correta a respeito de seu funcionamento.
Resposta certa. A função de recorrência do algoritmo pode ser descrita como:
T( i, j ) = j, se i = 0
T( i, j ) = T(i - 1, j + 1), se i > 0
Como o resultado das chamadas recursivas é o próprio resultado final do algoritmo, não existem etapas de combinação das soluções parciais. Para i = 3 e j = 7, o algoritmo faz a seguinte chamada recursiva, após a invocação Somador(3, 7):
Somador(2, 8)
Somador(1, 9)
Somador(0, 10)
O passo recursivo da função de recorrência associada é T(i, j) = T(i -1, j + 1) para i > 0.
Os conceitos de computabilidade de problemas são essenciais para a definição de soluções que possam atender tanto a cenários teóricos como práticos. Em particular, é importante dar atenção à decidibilidade dos problemas, já que ela pode inviabilizar qualquer implementação computacional.
 
Nesse contexto, considere a função h: P → B, em que P é um tipo de dado que representa um programa e B um tipo de dado booleano (verdadeiro ou falso). Quando h é aplicada a um programa que termina, ela retorna verdadeiro; quando aplicada a um programa que não termina, o resultado é falso. Por exemplo:
h(“x ← 0”) = verdadeiro
h(“enquantoverdadeirofaça x ← 1”) = falso
 
Tendo como base a função h descrita, e considerando os conteúdo estudado, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
 
I. A função h é computável.
Porque:
II. Ela é capaz de retornar uma saída para qualquer instância de problema, em um número finito de passos.
 
A seguir, assinale a alternativa correta.
Resposta certa. Se for assumido que h é computável, então um programa H que computa a função h pode ser escrito de modo que:
H(“x ? 0”)= verdadeiro
H(“enquantoverdadeirofaça x ? 1”) = falso.
Nesse caso, é possível definir um programa D como segue
D = “se H(D) então,
 enquantoverdadeiro, faça x ? 1
 se não x ? 0”.
Então, como o programa H aceita qualquer entrada, é possível para ele uma instância de si próprio, tendo o programa D como parâmetro, ou seja, H(H(D)). Logo, se H(D) é verdadeiro, então D representa um programa que é equivalente a “enquantoverdadeirofaça x ? 1”, cuja execução não termina e, portanto, H(D) é falso. Por outro lado, se H(D) é falso, então D representa um programa equivalente a “x ? 0”, cuja execução termina e, portanto, H(D) é verdadeiro. Dessa forma, uma inconsistência é obtida. Consequentemente, pode-se afirmar que o programa H não existe, o que, por sua vez, leva à conclusão de que a função h não retorna para qualquer instância e não é computável.
As asserções I e II são proposições falsas.
Uma estratégia muito utilizada no desenvolvimento de algoritmos recursivos é aplicar a técnica de divisão e conquista. Nesse caso, o problema original é dividido em problemas menores, os quais são solucionados e, posteriormente, combinados para formar a solução do problema inicial. Um exemplo é o problema de multiplicação de matrizes quadradas (mesmo número de linhas e colunas), cujo algoritmo iterativo é apresentado a seguir:
 
Algoritmo MultiplicaMatrizQuadrada
Entrada: Duas matrizes A e B quadradas de tamanho n
Saída: Matriz C = A × B
1. Defina uma matriz C quadrada de tamanho n
2. para i ← 1 até n faça
3. para j ← 1 até n faça
4. cij ← 0
5. para k ← 1 até n faça
6. cij ← cij + aik × bkj
7. retorna C
 
Suponha, então, uma versão recursiva desse algoritmo, chamada MultiplicaRecursivo, pode ser obtida por meio da divisão das matrizes A, B e C em 4 matrizes de tamanho n/2 (assuma que n é potência exata de 2), conforme imagem a seguir:
 as_20211112113908.JPG
 
Considerando essas informações e os conteúdos estudados, analise as seguintes afirmativas.
 
I. O algoritmo MultiplicaRecursivo terá desempenho superior que a versão iterativa apresentada.
II. O caso base do algoritmo será se n = 1, então retorna c11 = a11 × b11.
III. Serão necessárias 8 chamadas recursivas ao algoritmo MultiplicaRecursivo, para a construção de todas as submatrizes Cij.
IV. A etapa de divisão das matrizes A, B e C em submatrizes pode impactar no desempenho geral do algoritmo. 
Está correto apenas o que se afirma em:
Resposta certa. Considerando a estratégia de divisão das matrizes originais em 4 submatrizes, o algoritmo recursivo pode ser descrito como a seguir:
Algoritmo MultiplicaRecursivo
Entrada: Duas matrizes A e B quadradas de tamanho n
Saída: Matriz C = A × B
01. Defina uma matriz C quadrada de tamanho n
02. se n = 1 então
03. retorna c11 = a11 × b11
04. se não
05. Particionar as matrizes A, B e C em 4 submatrizes
06. C11 = MultiplicaRecursivo(A11, B11) + MultiplicaRecursivo(A12, B21)
07. C12 = MultiplicaRecursivo(A11, B12) + MultiplicaRecursivo(A12, B22)
08. C21 = MultiplicaRecursivo(A21, B11) + MultiplicaRecursivo(A22, B21)
09. C22 = MultiplicaRecursivo(A21, B12) + MultiplicaRecursivo(A22, B22)
10. retorna C
Como cada uma das submatrizes tem n2/4 entradas, cada uma das 4 adições de submatrizes demanda um tempo T(n2). Logo, a equação de recorrência que descreve o algoritmo é dada por:
T(1) = T(1), se n = 1
T(n) = 8T(n/2) + T(n2), se n > 1
Pela aplicação do teorema mestre, a solução fechada da recorrência é T(n) = T(n3), ou seja, não há diferença de desempenho entre ambas versões do algoritmo. Além disso, como a etapa de divisão das matrizes é T(n2), no pior caso, ela não tem impacto sobre a complexidade geral do algoritmo.
II e III.
Conhecer os detalhes de funcionamento dos algoritmos mais tradicionais é importante, para que as ideias implementadas por eles possam ser aproveitadas na solução de problemas correlatos. Esse é o caso das estratégias empregadas na ordenação linear de dados em memória.
 
Considerando esse contexto, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
 
I. Dado um conjunto de n inteiros no intervalo de 0 a k, é possível construir um algoritmo que aprimore a entrada em um tempo Θ(n + k) e que responda quantos números existem no intervalo [a ... b] em um tempo O(1).
Porque:
II. O aprimoramento da entrada, ou pré-processamento, pode ser feito com base no algoritmo counting sort e a obtenção da quantidade de números no intervalo informado acontece por meio de uma operação computacional elementar.
Resposta certa. O algoritmo pode começar com os primeiros passos executados pelo counting sort. Nesse caso, os três primeiros laços atuarão no aprimoramento da entrada, o que demandará um custo T(n + k), assim como o algoritmo counting sort. Logo, o vetor auxiliar C, utilizado pelo algoritmo, conterá em cada posição C[ i ] o número de elementos menores ou iguais a i no vetor original. Para obter a quantidade de números presentes no intervalo [a ... b], uma operação elementar de subtração C[ b ] - C[ a - 1 ] pode ser executada. Nesse caso, ela demandará um tempo O(1).
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
As classes de computabilidade possibilitam que os problemas sejam organizados de acordo com as suas características de tratabilidade computacional. Conhecer as relações entre essas classes e os problemas categorizados nelas é de grande importância para projetar algoritmos que possam ser aplicados em cenários reais.
 
Considere um problema Y que pode ser resolvido usando um número polinomial de passos computacionais, acrescido de um número polinomial de chamadas a um outro problema X. Essa relação pode ser denotada por Y ≤p X. Isso quer dizer que X é pelo menos tão difícil quanto Y com relação ao tempo polinomial. Sabendo que, se X pode ser resolvido em tempo polinomial, isso vai implicar que Y também pode ser resolvido em tempo polinomial, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
 
I. Se X é um problema NP-completo, então X pode ser resolvido em tempo polinomial se, e somente se, P = NP.
Porque:
II. Nesse caso, qualquer outro problema Y pertencente a NP poderá ser resolvido em tempo polinomial.
 
A seguir, assinale a alternativa correta.
Resposta certa. Observa-se que, se P = NP, então X pode ser resolvido em tempo polinomial, já que X pertence à classe NP. Inversamente, suponha que X possa ser resolvido em tempo polinomial. Se Y é qualquer outro problema em NP, então Y =p X e, como por hipótese, se X pode ser resolvido em tempo polinomial, então Y também pode, logo, temos que Y pode ser resolvido em tempo polinomial. Consequentemente, temos que NP ?P. Mas, como é provado que P ?NP, concluímos que P = NP.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.