APOSTILA BIOESTATÍSTICA definitiva-convertido

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APOSTILA DE BIOESTATÍSTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
A coleta de dados estatísticos tem crescido muito nos últimos anos em todas as 
áreas de pesquisa, especialmente com o advento dos computadores e surgimento de 
softwares cada vez mais sofisticados. Ao mesmo tempo, olhar uma extensa listagem de 
dados coletados não permite obter praticamente nenhuma conclusão, especialmente 
para grandes conjuntos de dados, com muitas características sendo investigadas. 
A Análise Descritiva é a fase inicial deste processo de estudo dos dados 
coletados. Utilizamos métodos de Estatística Descritiva para organizar, resumir e 
descrever os aspectos importantes de um conjunto de características observadas ou 
comparar tais características entre dois ou mais conjuntos. 
As ferramentas descritivas são os muitos tipos de gráficos e tabelas e também 
medidas de síntese como porcentagens, índices e médias. 
Ao se condensar os dados, perde-se informação, pois não se têm as observações 
originais. Entretanto, esta perda de informação é pequena se comparada ao ganho que 
se tem com a clareza da interpretação proporcionada. 
A descrição dos dados também tem como objetivo identificar anomalias, até 
mesmo resultantes dos registros incorreto de valores, e dados dispersos, aqueles que 
não seguem a tendência geral do restante do conjunto. 
Não só nos artigos técnicos direcionados para pesquisadores, mas também nos 
artigos de jornais e revistas escritos para o público leigo, é cada vez mais frequente a 
utilização destes recursos de descrição para complementar a apresentação de um fato, 
justificar ou referendar um argumento. 
Ao mesmo tempo em que o uso das ferramentas estatísticas vem crescendo, 
aumenta também o abuso de tais ferramentas. É muito comum vermos em jornais e 
revistas, até mesmo em periódicos científicos, gráficos – voluntariamente ou 
intencionalmente – enganosos e estatísticas obscuras para justificar argumentos 
polêmicos. 
 
A ESTATÍSTICA 
A definição de estatística não é única, a estatística abrange muito mais do que 
um simples traçado de gráficos e cálculos de medidas. Uma definição seria: 
A estatística é uma coleção de métodos para planejar experimentos, obter dados 
e organizá-los, resumi-lo, analisá-los interpretá-los e deles extrair conclusões. 
 
O MÉTODO ESTATÍSTICO 
Dois métodos científicos podemos destacar: o Método Experimental e o Método 
Estatístico. 
O MÉTODO EXPERIMENTAL consiste em manter constante todas as causas 
(fatores) menos uma e variar esta causa de modo que o pesquisador possa descobrir 
seus efeitos caso existam. 
O MÉTODO ESTATÍSTICO diante da impossibilidade de se manter causas 
constantes, admite todas essas causas presentes variando-as registrando essa variação 
e procurando determinar no resultado final que influências cabem a cada uma delas. 
 
CONCEITOS INICIAIS EM ESTATÍSTICA 
DEFINIÇÕES: 
POPULAÇÃO: É um conjunto de indivíduos ou objetos que apresentam pelo menos uma 
característica em comum. 
CENSO – é a coleção de dados relativos a todos os elementos da população. 
AMOSTRA: Considerando a impossibilidade, na maioria das vezes do tratamento de 
todos os elementos da população, necessitaremos de uma parte representativa da 
mesma. A esta porção da população chamaremos de amostra. 
ESTATÍSTICA: é a medida numérica que descreve uma característica da amostra. 
PARÂMETRO – é a medida numérica que descreve uma característica da população. 
 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA: envolve a organização e sumarização dos dados através de 
metodologias simples. 
A Estatística Descritiva pode ser resumida no diagrama a seguir: 
 
 
 
COLETA DOS DADOS 
Após a definição do problema a ser estudado e o estabelecimento do 
planejamento da pesquisa (forma pela qual os dados serão coletados; cronograma das 
atividades; custos envolvidos; exame das informações disponíveis; delineamento da 
amostra, etc.), o passo seguinte é a coleta dos dados, que consiste na busca ou 
compilação dos dados das variáveis, componentes do fenômeno a ser estudado. 
A coleta dos dados é direta quando os dados são obtidos diretamente da fonte 
originária, como no caso da empresa que realiza uma pesquisa para saber a preferência 
dos consumidores pela sua marca. 
A coleta dos dados é indireta quando é inferida a partir dos elementos 
conseguidos pela coleta direta. 
 
Coleta dos 
dados 
Crítica dos 
dados 
Apresentação 
dos dados 
Tabelas 
Gráficos 
Análise 
CRÍTICA DOS DADOS 
A revisão crítica dos dados procede com a finalidade de suprimir os valores 
estranhos ao levantamento, os quais são capazes de provocar futuros enganos. 
APRESENTAÇÃO DOS DADOS 
Convém organizarmos o conjunto de dados de maneira prática e racional. Tal 
organização denomina-se Série Estatística. Sua apresentação pode ocorrer por meio de 
Tabelas e/ou Gráficos. 
 
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM 
As regras de Amostragem podem ser classificadas em duas categorias gerais: 
PROBABILÍSTICA - São amostragem em que a seleção é aleatória de tal forma que cada 
elemento tem igual probabilidade de ser sorteado para a amostra. 
NÃO-PROBABILISTICAS OU INTENCIONADAS - São amostragem em que há uma escolha 
deliberada dos elementos da amostra. 
 
TIPOS DE AMOSTRAGEM 
AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES 
Também conhecida por amostragem ocasional, acidental, casual, randômica, 
etc. A amostragem simples ao acaso destaca-se por ser um processo de seleção bastante 
fácil e muito usado. Neste processo, todos os elementos da população têm igual 
probabilidade de serem escolhidos, desde o início até completo processo de coleta. 
 
Procedimento 
1. Devemos enumerar todos os elementos da população 
2. Devemos efetuar sucessivos sorteios com reposição até completar o tamanho da 
amostra (n) 
 
Para realizarmos este sorteio devemos fazer uso das “tábuas de números 
aleatórios”. Estas apresentam os dígitos de 0 a 9 distribuídos aleatoriamente. 
EXEMPLO: 
Supor que nós tenhamos uma população com 1 000 elementos, que numeramos de 
0 a 999, para selecionarmos uma amostra aleatória, de 200 elementos, basta 
escolhermos uma posição de qualquer linha e extrairmos conjuntos de três algarismos, 
até completarmos os 200 elementos da amostra. O processo termina quando for 
sorteado o elemento 200. Se o número sorteado não existia na população simplesmente 
não o consideramos, e prosseguimos com o processo. 
 
AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA 
Trata- se de uma variação da amostragem simples ao acaso, muito conveniente 
quando a população está naturalmente ordenada, como fichas em um fichário, listas 
telefônicas etc. Requer uma lista dos itens da população, e, assim, padece das mesmas 
restrições já mencionadas na aleatória ao acaso. Se os itens da lista não se apresentarem 
numa ordem determinada à amostragem Sistemática pode dar uma amostra realmente 
aleatória. 
Procedimento 
Sejam os seguintes elementos: 
N: tamanho da população; 
n: tamanho da amostra. 
 
Então, calcula-se o intervalo de amostragem através da razão 𝒂 =
𝑵
𝒏
 (onde a é o 
inteiro mais próximo). 
Sorteia-se, utilizando a tábua de números aleatórios, um número x entre 1 e a 
formando-se a amostra dos elementos correspondentes ao conjunto de números: 
𝑥; 𝑥 + 𝑎; 𝑥 + 2𝑎; … ; 𝑥 + (𝑛 − 1)𝑎 
Exemplo: Seja N = 500, n = 50. Então 𝑎 =
500
50
= 10. 
Sorteia-se um número de 1 a 10. Seja 3 (x = 3) o número sorteado. Logo, os 
elementos numerados por 3; 13; 23; 33; ... serão os componentes da amostra. 
AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA 
No caso de possuir uma população com uma certa característica heterogênea, 
na qual podemos distinguir subpopulações mais ou menos homogêneas, denominadas 
de estratos, podemos usar a amostragem estratificada. 
Estratificar uma população em L subpopulações denominada estratos, tais que: 
𝑛1 + 𝑛2 + … + 𝑛𝐿 = 𝑛 
Onde os estratos são mutuamente exclusivos. 
Após a determinação dos estratos, seleciona-se uma amostra aleatória de cada 
subpopulação. Se as diversassubamostras tiverem tamanhos proporcionais ao 
respectivo número de elementos nos estratos, teremos a estratificação proporcional. 
 
AMOSTRAGEM CONGLOMERADO 
 
Amostra por conglomerados nos ajuda quando é impossível ou impraticável 
criar um quadro de amostragem de uma população alvo, porque ela é espalhada 
geograficamente e o custo da coleta dos dados é relativamente alta. 
Os elementos da população são selecionados aleatoriamente de forma natural 
por grupos (clusters). Os elementos da amostragem são selecionados a partir da 
população de maneira individual, um de cada vez. 
TAMANHO DA AMOSTRA 
Após a definição do tipo de amostragem mais apropriado para a pesquisa, quantos 
elementos serão necessários para compor a mostra? 
Fatores que determinam o tamanho da amostra. 
1. NÍVEL DE CONFIANÇA quanto maior o nível de confiança, maior o tamanho da 
amostra; 
2. ERRO MÁXIMO PERMITIDO quanto menor o erro permitido, maior o tamanho da 
amostra; 
3. VARIABILIDADE quanto maior a variabilidade, maior o tamanho da amostra. 
 
 
ARMAZENAMENTO DE DADOS 
Exemplo Inicial: Ursos Marrons 
 
Pesquisadores do Instituto Amigos do Urso têm estudado o desenvolvimento dos 
ursos marrons selvagens que vivem em certa floresta do Canadá. O objetivo do projeto 
é estudar algumas características dos ursos, tais como seu peso e altura, ao longo da 
vida desses animais. A ficha de coleta de dados, representada na Figura 2.1, mostra as 
características que serão estudadas na primeira fase do projeto. Na primeira parte do 
estudo, 97 ursos foram identificados (por nome), pesados e medidos. Os dados foram 
coletados através do preenchimento da ficha de coleta mostrada na Figura 2.1. 
Para que os ursos possam ser identificados, medidos e avaliados, os 
pesquisadores precisam anestesiá-los. Mesmo assim, medidas como a do peso são 
difíceis de serem feitas (qual será o tamanho de uma balança para pesar ursos?). Desse 
modo, os pesquisadores gostariam também de encontrar uma maneira de estimar o 
peso do urso através de outra medida mais fácil de obter, como uma medida de 
comprimento, por exemplo, (altura, circunferência do tórax, etc.). Nesse caso, só seria 
necessária uma grande fita métrica, o que facilitaria muito a coleta de dados das 
próximas fases do projeto. 
Geralmente, as coletas de dados são feitas através do preenchimento de fichas 
pelo pesquisador e/ou através de resposta a questionários (o que não foi o caso dos 
ursos). Alguns dados são coletados através de medições (altura, peso, pressão 
sanguínea, etc.), enquanto outros são coletados através de avaliações (sexo, cor, raça, 
espécie, etc.). 
Depois de coletados, os dados devem ser armazenados e sistematizados numa 
planilha de dados, como mostra a Figura 2.2. Hoje em dia, essas planilhas são digitais e 
essa é a maneira de realizar a entrada dos dados num programa de computador. 
A planilha de dados é composta por linhas e colunas. Cada linha contém os dados 
de um urso (elemento), ou seja, de uma ficha de coleta. As características (variáveis) são 
dispostos em colunas. Assim, a planilha de dados contém um número de linhas igual a 
número de participantes do estudo e um número de colunas igual ao número de 
variáveis sendo estudadas. 
 
 
TIPOS DE VARIÁVEIS 
 
VARIÁVEL é a característica de interesse que é medida em cada indivíduo da 
amostra ou população. Como o nome diz, seus valores variam de indivíduo para 
indivíduo. As variáveis podem ter valores numéricos ou não numéricos. 
 
VARIÁVEIS QUANTITATIVAS: são as características que podem ser medidas em 
uma escala quantitativa, ou seja, apresentam valores numéricos que fazem sentido. 
Podem ser contínuas ou discretas. 
 
VARIÁVEIS CONTÍNUAS: características mensuráveis que assumem valores em 
uma escala contínua (na reta real), para as quais valores não-inteiros (com casas 
decimais) fazem sentido. Usualmente devem ser medidas através de algum 
instrumento. 
Exemplos: peso (balança), altura (régua), tempo (relógio), pressão arterial, idade. 
 
VARIÁVEIS DISCRETAS: características mensuráveis que podem assumir apenas 
um número finito ou infinito contável de valores e, assim, somente fazem sentido 
valores inteiros. Geralmente, são o resultado de contagens. 
Exemplos: número de filhos, número de bactérias por litro de leite, número de cigarros 
fumados por dia. 
 
VARIÁVEIS QUALITATIVAS (OU CATEGÓRICAS): são as características que não 
possuem valores quantitativos, mas, ao contrário, são definidas por várias categorias, 
ou seja, representam uma classificação dos indivíduos. Podem ser nominais ou ordinais. 
 
VARIÁVEL NOMINAIS: não existe ordenação entre as categorias. 
Exemplos: sexo, cor dos olhos, fumante/não fumante, doente/sadio. 
 
VARIÁVEIS ORDINAIS: existe uma ordenação entre as categorias. 
Exemplos: escolaridade (1º, 2º, 3º graus), estágio da doença (inicial, intermediário, 
terminal), mês de observação (janeiro, fevereiro,..., dezembro). 
 
Uma variável originalmente quantitativa pode ser coletada de forma qualitativa. 
Por exemplo, a variável idade, medida em anos completos, é quantitativa (discreta); 
mas, se for informada apenas a faixa etária (0 a 5 anos, 6 a 10 anos, etc...), é qualitativa 
(ordinal). Outro exemplo é o peso dos lutadores de boxe, uma variável quantitativa 
(contínua) se trabalhamos com o valor obtido na balança, mas qualitativa (ordinal) se o 
classificarmos nas categorias do boxe (peso-pena, peso-leve, peso-pesado, etc.). 
Outro ponto importante é que nem sempre uma variável representada por 
números é quantitativa. O número do telefone de uma pessoa, o número da casa, o 
número de sua identidade. Às vezes o sexo do indivíduo é registrado na planilha de 
dados como 1 se macho e 2 se fêmea, por exemplo. Isto não significa que a variável sexo 
passou a ser quantitativa! 
No conjunto de dados ursos marrons, são qualitativas as variáveis sexo (nominal) 
e mês da observação (ordinal); são quantitativas contínuas as demais: idade, 
comprimento da cabeça, largura da cabeça, perímetro do pescoço, perímetro do tórax, 
altura e peso. 
 
 
SÉRIES ESTATÍSTICAS 
Uma vez que os dados foram coletados, muitas vezes o conjunto de valores é 
extenso e desorganizado, e seu exame requer atenção, pois há o risco de se perder a 
visão global do fenômeno analisado. Para que isto não ocorra faz-se necessário reunir 
os valores em tabelas convenientes, facilitando sua compreensão. 
Além da apresentação do conjunto de valores na forma tabulada, tem-se 
também a forma gráfica, que por sua vez, representa uma forma mais útil e elegante de 
representar o conjunto dos valores. 
Qualquer que seja a forma de representação do conjunto de valores, desde de 
que não haja alterações em seus valores iniciais, quer seja o de caracterização de um 
conjunto, ou de comparação com outros semelhantes ou ainda o de previsão de valores 
possíveis, facilitará sua compreensão de qualquer estudo. É o caso da série estatística. 
DEFINIÇÃO DE SÉRIE ESTATÍSTICA 
Uma série estatística define-se como toda e qualquer coleção de dados 
estatísticos referidos a uma mesma ordem de classificação: QUANTITATIVA. Em um 
sentido mais amplo, SÉRIE é uma sequência de números que se refere a uma certa 
variável. 
Caso estes números expressem dados estatísticos a série é chamada de série 
estatística. Em um sentido mais restrito, diz-se que uma série estatística é uma sucessão 
de dados estatísticos referidos a caracteres quantitativos. 
Para diferenciar uma série estatística de outra, temos que levar em consideração 
três fatores: 
A ÉPOCA (fator temporal ou cronológico) a que se refere o fenômeno analisado; 
O LOCAL (fator espacial ou geográfico) onde o fenômeno acontece; 
O FENÔMENO (espécie do fator ou fator específico) que é descrito. 
 
TIPOS DE SÉRIES ESTATÍSTICAS 
São quatro os tipos de séries estatísticas conforme a variação de um dos fatores: 
SÉRIE TEMPORAL 
 
A série temporal, igualmente chamada série cronológica, histórica, evolutiva oumarcha, identifica-se pelo caráter variável do fator cronológico. Assim deve-se ter: 
VARIÁVEL: a época 
FIXO: o local e o fenômeno 
Exemplo: Quantidades de acidentes de trabalho no Brasil de 2006 à 2008. 
 
FONTE: Anuário Estatístico de Acidentes de Trabalho da Previdência Social, 2008. 
 
 
SÉRIE GEOGRÁFICA 
 
Também denominadas séries territoriais, espaciais ou de localização, esta série 
apresenta como elemento ou caráter variável somente o fator local. Assim: 
VARIÁVEL: o local 
FIXO: a época e o fenômeno 
Exemplo: Quantidade de acidentes de trabalho por região em 2008. 
 
FONTE: Anuário Estatístico de Acidentes de Trabalho da Previdência Social, 2008. 
 
 
SÉRIE ESPECÍFICA 
 
A série específica recebe também outras denominações tais como série 
categórica ou série por categoria. Agora o caráter variável é o fenômeno. 
 
VARIÁVEL: o fenômeno 
FIXO: a época e o local 
Exemplo: Quantidade de acidentes de trabalho na região Sul pó motivo – 2008. 
 
FONTE: Anuário Estatístico de Acidentes de Trabalho da Previdência Social, 2008. 
 
SÉRIES CONJUGADAS OU MISTAS 
 
É a apresentação em um única tabela da variação de valores de mais de uma 
variável, isto é, fazer a conjugação de duas ou mais séries; 
Conjugando duas séries em uma única tabela, obtemos uma tabela de dupla entrada. 
Em uma tabela desse tipo ficam criadas duas ordens de classificação: uma horizontal 
(linha) e uma vertical (coluna). 
 
VARIÁVEL: o local e a época 
FIXO: o fenômeno 
Exemplo: Quantidades de acidentes de trabalho por Região de 2006 à 2008. 
 
FONTE: Anuário Estatístico de Acidentes de Trabalho da Previdência Social, 2008. 
 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA 
REPRESENTAÇÃO DA AMOSTRA 
Podemos observar que a estatística tem como objetivo encontrar leis de 
comportamento para todo o conjunto, por meio da sintetização dos dados numéricos, 
sob a forma de tabelas, gráficos e medidas. 
PROCEDIMENTO COMUM PARA A REPRESENTAÇÃO DAS DISTRIBUIÇÕES DE 
FREQÜÊNCIA (MANEIRA DE SUMARIZAR OS DADOS) 
 
1) DADOS BRUTOS: O conjunto dos dados numéricos obtidos após a crítica dos valores 
coletados constitui-se nos dados brutos. Assim: 
24 23 22 28 35 21 23 23 33 34 
24 21 25 36 26 22 30 32 25 26 
33 34 21 31 25 31 26 25 35 33 
2) ROL: É o arranjo dos dados brutos em ordem de frequências crescente ou 
decrescente: Assim: 
21 21 21 22 22 23 23 23 24 24 
25 25 25 25 26 26 26 28 30 31 
31 32 33 33 33 34 34 35 35 36 
 
3) AMPLITUDE TOTAL OU RANGE “R” : É a diferença entre o maior e o menor valor 
observado. 
No exemplo: R = 36 - 21 = 15 
 
Para a variável contínua: 
Seja 𝑥𝑖 peso de 100 indivíduos: 
classe 𝐹𝑖 
45 ⊢ 55 15 
55 ⊢ 65 30 
65 ⊢ 75 35 
75 ⊢ 85 15 
85 ⊢ 95 5 
∑ 100 
 
4) CLASSE: É cada um dos grupos de valores em que se subdivide a amplitude total do 
conjunto de valores observados da variável. 
 
5) NÚMERO DE CLASSES (K): Não há fórmula exata para o número de classes 
(arredondar para o inteiro mais próximo). Sendo 𝑛 o tamanho da amostra, temos: 
• 𝐾 = 5, se 𝑛 < 25 
• 𝐾 = √𝑛 , se 𝑛 ≥ 25, 
• Fórmula de Sturges: 𝐾 = 1 + 3,32 log 𝑛 
 
7) AMPLITUDE DA CLASSE (h): ℎ =
𝑅
𝐾
 (aproximar para o maior inteiro). 
8)LIMITE DE CLASSE: São os valores extremos do intervalo de classe. 
Exemplo: No intervalo de classe 75 ⊢ 85, o limite inferior (LI) é representado pelo valor 
75, inclusive, e o valor 85 representa o limite superior (LS), exclusive, do intervalo de 
classe. 
 
9)PONTO MÉDIO DO INTERVALO DE CLASSE (𝒙𝒊): É o valor que representa a classe para 
o cálculo de certas medidas. Na distribuição de frequência com dados agrupados em 
intervalos de classe considera-se que os dados distribuem-se de maneira uniforme no 
intervalo. Sua fórmula é bem simples, vejamos: 
 
𝑥𝑖 =
𝐿𝑆 + 𝐿𝐼
2
 
 
TIPOS DE FREQUÊNCIAS 
FREQUÊNCIA SIMPLES ABSOLUTA (𝑭𝒊): É o número de vezes que o elemento aparece 
na amostra, ou o número de elementos pertencentes a uma classe. 
 
FREQUÊNCIA ABSOLUTA ACUMULADA (𝑭𝒂𝒄): É a soma da frequência absoluta da classe 
com a frequência absoluta das classes anteriores. 
 
FREQUÊNCIA SIMPLES RELATIVA (𝒇𝒓%): A frequência relativa é o valor da frequência 
absoluta dividido pelo número total de observações: 
 
𝑓𝑟% =
𝐹𝑖
𝑛
 
 
FREQUÊNCIA RELATIVA ACUMULADA (𝒇𝒓𝒂%): A frequência acumulada relativa é o 
valor da frequência acumulada dividido pelo número total de observações: 
 
𝑓𝑟𝑎% =
𝐹𝑎𝑐
𝑛
 
 
 
MEDIDAS DE POSIÇÃO E SEPARATRIZES 
 
MEDIDAS DE POSIÇÃO 
 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
 
A tendência central da distribuição de frequências de uma variável em um 
conjunto de dados é caracterizada pelo valor típico dessa variável. Essa é uma maneira 
de resumir a informação contida nos dados, pois escolheremos um valor para 
representar todos os outros. 
Assim, poderíamos perguntar, por exemplo, qual é a altura típica dos brasileiros 
adultos no final da década de 90 e compará-la com o valor típico da altura dos brasileiros 
no final da década de 80, a fim de verificar se os brasileiros estão se tornando, em geral, 
mais altos, mais baixos ou não sofreram nenhuma alteração em sua altura típica. Fazer 
essa comparação utilizando medidas-resumo (as alturas típicas em cada período) é bem 
mais sensato do que comparar os dois conjuntos de dados valor a valor, o que seria 
inviável. 
Mas, como identificar o valor típico de um conjunto de dados? Existem três 
medidas que podem ser utilizadas para descrever a tendência central de um conjunto 
de dados: a média, a mediana e a moda. Apresentaremos essas três medidas e 
discutiremos suas vantagens e desvantagens. 
 
MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES 
 
A média aritmética simples (que chamaremos apenas de média) é a medida de 
tendência central mais conhecida e usada para o resumo de dados. Essa popularidade 
pode ser devida à facilidade de cálculo e à ideia simples que ela nos sugere. De fato, se 
queremos um valor que represente a altura dos brasileiros adultos, por que não medir 
as alturas de uma amostra de brasileiros adultos, somar os valores e dividir esse “bolo” 
igualmente entre os participantes? Essa é a ideia da média aritmética. 
Para apresentar à média, primeiramente vamos definir alguma notação. A 
princípio, essa notação pode parecer desnecessária, mas facilitará bastante nosso 
trabalho futuro. 
Existem duas médias: 
 
• POPULACIONAL, representada pela letra grega 𝜇 (mi) 
• AMOSTRAL, representada por �̅�. 
 
1a SITUAÇÃO: Dados não agrupados 
Sejam os elementos x1, x2, x3, ..., xn de uma amostra, portanto “n” valores da 
variável X. A média aritmética da variável aleatória de X é definida por: 
�̅� =
∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
 ou simplesmente, �̅� =
∑ 𝑥
𝑛
 
Onde n é o número de elementos do conjunto. 
Exemplo: Suponha o conjunto de tempo de serviço de cinco funcionários: 3, 7, 8, 10 e 
11. Determinar a média aritmética simples deste conjunto de dados. 
 
�̅� =
3 + 7 + 8 + 10 + 11
5
=
39
5
= 7,8 
Interpretação: o tempo médio de serviço deste grupo de funcionários é de 7,8 anos. 
2a SITUAÇÃO: Dados agrupados em uma distribuição de frequência por valores 
simples 
 
Quando os dados estiverem agrupados numa distribuição de frequência 
usaremos a média aritmética dos valores x1, x2, x 3, ..., xn, ponderados pelas respectivas 
frequências absolutas: F1, F2, F3, ... , Fn. Assim 
�̅� =
∑ 𝑥1𝐹𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
 
Exemplo: Em um determinado dia foi registrado o número de veículos negociados por 
uma amostra de 10 vendedores de uma agência de automóveis obtendo a seguinte 
tabela: 
Veículos 
negociados 
(𝑥𝑖) 
Número de 
vendedores 
(𝐹𝑖) 
 
𝑥𝑖𝐹𝑖 
1 1 1 
2 3 6 
3 5 15 
4 1 4 
∑ 10 26 
�̅� =
∑ 𝑥1𝐹𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
=
26
10
= 2,6 
Interpretação: em média, cada vendedor negociou 2,6 veículos. 
3a SITUAÇÃO: Dados agrupados em uma distribuição de frequência por classes 
 
Quando os dados estiverem agrupados numa distribuição de frequência 
usaremos a média aritmética dos pontos médios x 1, x2, x3,...,xn de cada classe, 
ponderadospelas respectivas frequências absolutas: F1, F2, F3, ... , Fn. Desta forma, o 
cálculo da média passa a ser igual ao da 2a situação. Assim 
�̅� =
∑ 𝑥1𝐹𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
 
Exemplo: A tabela abaixo representa os escores obtidos por um grupo de 58 alunos 
matriculados em uma determinada disciplina: 
Escores Alunos 
(𝐹𝑖) 
𝑥𝑖 𝑥𝑖𝐹𝑖 
35 ⊢ 45 5 40 200 
45 ⊢ 55 12 50 600 
55 ⊢ 65 18 60 1 080 
65 ⊢ 75 14 70 980 
75 ⊢ 85 6 80 480 
85 ⊢ 95 3 90 270 
∑ 58 - 3 610 
�̅� =
∑ 𝑥1𝐹𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
=
3 610
58
= 62,24 
Interpretação: o desempenho médio deste grupo de alunos foi de 62,24 pontos nesta 
disciplina. 
MODA - Mo 
Dentre as principais medidas de posição, destaca-se a moda. É o valor mais 
frequente da distribuição. 
1ª SITUAÇÃO: Dados não agrupados 
Sejam os elementos x1, x 2, x3,...,xn de uma amostra, o valor da moda para este tipo de 
conjunto de dados é simplesmente o valor com maior frequência. 
Exemplo 1: Suponha o conjunto de tempo de serviço de cinco funcionários: 3, 7, 8, 8 e 
11. Determinar a moda deste conjunto de dados. 
Mo = 8 ⇒ Distribuição unimodal ou modal 
Interpretação: o tempo de serviço com maior frequência é de 8 anos. 
Exemplo 2:Suponha o conjunto de tempo de serviço de cinco funcionários: 3, 3, 7, 8, 8 
e 11. Determinar a moda deste conjunto de dados. 
𝑀𝑜 = 3 𝑒 𝑀𝑜 = 8 distribuição bimodal 
Interpretação: os tempos de serviço com maior frequência foram de 3 e 8 anos. 
Exemplo 3: Suponha o conjunto de tempo de serviço de cinco funcionários: 3, 7, 8, 10 e 
11. Determinar a moda deste conjunto de dados. 
Não existe 𝑀𝑜, distribuição amodal 
Interpretação: não existe o tempo de serviço com maior frequência. 
2ª SITUAÇÃO: Dados agrupados em uma distribuição de frequência por valores 
simples 
 
Para este tipo de distribuição, a identificação da moda é facilitada pela simples 
observação do elemento que apresenta maior frequência. Assim, para a distribuição. 
Exemplo: Em um determinado dia foi registrado o número de veículos negociados por 
uma amostra de 10 vendedores de uma agência de automóveis obtendo a seguinte 
tabela: 
Veículos 
negociados 
(𝑥𝑖) 
Número de 
vendedores 
(𝐹𝑖) 
1 1 
2 3 
3 5 
4 1 
∑ 10 
Portanto, se a maior frequência é 𝐹𝑖 = 5, logo 𝑀𝑜 = 3. 
Interpretação: A quantidade de veículos comercializados no dia com maior frequência 
foi de três veículos. 
3ª SITUAÇÃO: Dados agrupados em uma distribuição de frequência por classes 
 
Para dados agrupados em classes, temos diversas fórmulas para o cálculo da 
moda. A utilizada será: 
Fórmula de Czuber 
Procedimento: 
1. Identifica-se a classe modal (aquela que possuir maior frequência) – CLASSE 
(Mo). 
2. Utiliza-se a fórmula: 
𝑀0 = 𝑙𝑖 +
Δ1
Δ1 + Δ2
 . ℎ 
Em que: 
𝑙𝑖 = 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑎𝑙 
Δ1 = 𝐹𝑖 − 𝐹𝑖,𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 
Δ2 = 𝐹𝑖 − 𝐹𝑖,𝑝𝑜𝑠𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 
ℎ = 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 𝑑𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑎𝑙 
 
Exemplo: A tabela abaixo representa os escores obtidos por um grupo de 58 alunos 
matriculados em uma determinada disciplina: 
Escores Alunos 
(𝐹𝑖) 
35 ⊢ 45 5 
45 ⊢ 55 12 
55 ⊢ 65 18 
65 ⊢ 75 14 
75 ⊢ 85 6 
85 ⊢ 95 3 
∑ 58 
Classe Modal = 3ª classe = 55 ⊢ 65 
Δ1 = 18 − 12 = 6 
Δ2 = 18 − 14 = 4 
𝑀𝑜 = 55 +
6
6 + 4
 .10 = 55 + 6 = 61 
 
Interpretação: O escore com maior frequência entre o grupo de 58 alunos foi de 61 
pontos. 
 
MEDIANA - Md 
Construído o ROL, o valor da mediana é o elemento que ocupa a posição 
central, ou seja, é o elemento que divide a distribuição em 50% de cada lado: 
 Md 
 
 
0% 50% 100% 
 
 
1a SITUAÇÃO: Dados não agrupados 
Sejam os elementos x1, x2, x3,... ,xn de uma amostra, portanto “n” valores da 
variável X. A mediana da variável aleatória de X é definida por, 
• Se n for par, então o valor da mediana será a média das duas observações 
adjacentes à posição 𝑛 =
𝑛+1
2
. 
• Se n for ímpar, então o valor da mediana será o valor localizado na posição 
𝑛 =
𝑛+1
2
. 
Exemplo 1: 
Suponha o conjunto de tempo de serviço de cinco funcionários: 3, 7, 8, 10 e 
11. Determinar a mediana deste conjunto de dados. 
Como n = 5, então o valor da mediana estará localizado na posição 
5+1
2
= 3 
Portanto, 
Md = 8 
Interpretação: 50% dos funcionários possuem até oito anos de tempo de serviço, ou, 
50% dos funcionários possuem no mínimo oito anos de tempo de serviço. 
Exemplo 2: 
Suponha o conjunto de tempo de serviço de cinco funcionários: 3, 7, 8, 10, 11 
e 13. Determinar a mediana deste conjunto de dados. 
 
Como n = 6, então o valor da mediana estará localizado na posição 𝑛 =
6+1
2
= 3,5. 
Portanto, 
 
𝑀𝑑 =
8 + 10
2
= 9 
Interpretação: 50% dos funcionários possuem até nove anos de tempo de serviço, ou, 
50% dos funcionários possuem no mínimo nove anos de tempo de serviço. 
 
2a SITUAÇÃO: Dados agrupados em uma distribuição de frequência por valores simples 
 
Quando os dados estiverem agrupados numa distribuição de frequência 
identificaremos a mediana dos valores x1, x2, x3, ..., xn pela posição da mediana 
𝑃𝑂𝑆(𝑀𝑑) =
𝑛
2
 através da frequência absoluta acumulada - Fac. 
Exemplo: 
Em um determinado dia foi registrado o número de veículos negociados por uma 
amostra de 10 vendedores de uma agência de automóveis obtendo a seguinte tabela: 
 
 
Veículos 
negociados 
(𝑥𝑖) 
Número de 
vendedores 
(𝐹𝑖) 
 
𝐹𝑎𝑐 
1 1 1 
2 3 4 
3 5 9 
4 1 10 
∑ 10 - 
Portanto: 
 
𝑃𝑂𝑆(𝑀𝑑) =
10
2
= 5 ⇒ 𝑀𝑑 = 3 
 
 
Interpretação: 50% dos vendedores comercializaram no máximo três veículos, ou então, 
metade dos vendedores comercializou pelo menos três veículos. 
 
3a SITUAÇÃO: Dados agrupados em uma distribuição de frequência por classes 
 
Procedimento: 
1. Calcula-se a posição da mediana: 𝑃𝑂𝑆(𝑀𝑑) =
𝑛
2
. 
2. Pela 𝐹𝑎𝑐 identifica-se a classe que contém o valor da mediana – CLASSE 𝑀𝑑. 
3. Utiliza-se a fórmula: 
 
𝑀𝑑 = 𝑙𝑖 +
𝑃𝑂𝑆(𝑀𝑑) − 𝐹𝑎𝑐,𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
𝐹𝑖
. ℎ 
 
 
Onde: 
𝑙𝑖 = limite inferior da classe mediana 
𝑛 = Tamanho da amostra ou número de elementos 
𝐹𝑎𝑐,𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = Frequência acumulada anterior à classe mediana 
ℎ =Amplitude de classe mediana 
𝐹𝑖 = Frequência absoluta simples da classe mediana 
 
Exemplo: 
A tabela abaixo representa os escores obtidos por um grupo de 58 alunos matriculados 
em uma determinada disciplina: 
 
Escores Alunos 
(𝐹𝑖) 
𝐹𝑎𝑐 
35 ⊢ 45 5 5 
45 ⊢ 55 12 17 
55 ⊢ 65 18 35 
65 ⊢ 75 14 49 
75 ⊢ 85 6 55 
85 ⊢ 95 3 58 
∑ 58 - 
Portanto, 
1. 𝑃𝑂𝑆(𝑀𝑑) =
58
2
= 29 
2. CLASSE (𝑀𝑑) = 55 ⊢ 65 
3. 𝑀𝑑 = 55 +
29−17
18
. 10 = 55 + 6,67 = 61,67 
 
Interpretação: 50% dos alunos obtiveram escore máximo de 61,67 pontos, ou então, 
metade dos alunos obtiveram escore maior que 61,67 pontos. 
 
SEPARATRIZES 
QUARTIS 
Os quartis dividem um conjunto de dados em quatro partes iguais. 
 
 Q1 Q2 = Md Q3 
 
 
0% 25% 50% 75% 100% 
Onde: 
Q1 = 1º quartil, deixa 25% dos elementos. 
Q2 = 2º quartil, coincide com a mediana, deixa 50% dos elementos. 
Q3 = 3º quartil, deixa 75% dos elementos. 
Procedimento: 
1. Calcula-se a posição do quartil: 𝑃𝑂𝑆(𝑄𝑖) =
𝑛
4
. 𝑖 
onde : i = 1, 2, 3 
2. Pela 𝐹𝑎𝑐 identifica-se a classe que contém o valor do quartil - CLASSE(𝑄𝑖) 
3. Utiliza-se a fórmula: 
 
𝑄𝑖 = 𝑙𝑖 +
𝑃𝑂𝑆(𝑄𝑖) − 𝐹𝑎𝑐,𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
𝐹𝑖
. ℎ 
Onde: 
𝑙𝑖 = Limite inferior da classe quartílica 
𝑛 = Tamanho da amostra ou número de elementos 
𝐹𝑎𝑐,𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = Frequência acumulada anterior à classe quartílica 
ℎ = Amplitude da classe quartílica 
 
𝐹𝑖 = Frequência absoluta simples da classe quartílica 
 
Exemplo: 
A tabela abaixo representa os escores obtidos por um grupo de 58 alunos 
matriculados em uma determinada disciplina. Calcule o primeiro quartil. 
Escores Alunos 
(𝐹𝑖) 
𝐹𝑎𝑐 
35 ⊢ 45 5 5 
45 ⊢ 55 12 17 
55 ⊢ 65 18 35 
65 ⊢ 75 14 49 
75 ⊢ 85 6 55 
85 ⊢ 95 3 58 
∑ 58 - 
 
Portanto, 
1. 𝑃𝑂𝑆(𝑄1)=
58
4
. 1 = 14,5 
2. CLASSE(𝑄1) = 45 ⊢ 55 
3. 𝑄1 = 45 +
14,5−5
12
. 10 = 45 + 7,92 = 52,92 
Interpretação : 25% dos alunos obtiveram escore máximo de 52,92 pontos, ou então, 
75% dos alunos obtiveram escore maior que 52,92 pontos. 
 
 
 
 
DECIS 
São valores que divide a série em dez partes. 
 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 
 
 
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% 
 
Procedimento: 
1. Calcula-se a posição do decil: 𝑃𝑂𝑆(𝐷𝑖) =
𝑛
10
. 𝑖 
onde: i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 
2. Pela 𝐹𝑎𝑐 identifica-se a classe que contém o valor do decil - CLASSE(𝐷𝑖) 
3. Utiliza-se a fórmula: 
𝐷𝑖 = 𝑙𝑖 +
𝑃𝑂𝑆(𝐷𝑖) − 𝐹𝑖𝑎,𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
𝐹𝑖
. ℎ 
 
Onde: 
𝑙𝑖 = Limite inferior da classe decílica. 
𝑛 = Tamanho da amostra ou número de elementos. 
𝐹𝑖𝑎,𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = Frequência acumulada anterior à classe decílica. 
ℎ = Amplitude da classe do decílica. 
 
𝐹𝑖 = Frequência absoluta simples da classe decílica. 
 
Exemplo: 
A tabela abaixo representa os escores obtidos por um grupo de 58 alunos 
matriculados em uma determinada disciplina. Calcule o sexto decil. 
Escores Alunos 
(𝐹𝑖) 
𝐹𝑎𝑐 
35 ⊢ 45 5 5 
45 ⊢ 55 12 17 
55 ⊢ 65 18 35 
65 ⊢ 75 14 49 
75 ⊢ 85 6 55 
85 ⊢ 95 3 58 
∑ 58 - 
Portanto, 
1. 𝑃𝑂𝑆(𝐷6) =
58
10
. 6 = 34,8 
2. CLASSE(𝐷6) = 55 ⊢ 65 
3. 𝐷6 = 55 +
34,8+17
18
. 10 = 55 + 9,89 = 64,89 
Interpretação : 60% dos alunos obtiveram escore inferior a 64,89 pontos, ou então, 
40% dos alunos obtiveram escore mínimo de 64,89 pontos. 
 
PERCENTIS 
.. .P10 .. .P20 .. .P30 .. .P40 .. .P50 .. .P60 .. .P70 .. .P80 .. .P90 .. . 
 
0%.. .10%...20%.. .30%.. .40%.. .50%...60%...70%...80%.. .90%.. .100% 
São as medidas que dividem a amostra em 100 partes iguais. A fórmula será: 
Procedimento: 
1. Calcula-se a posição do quartil: 𝑃𝑂𝑆(𝑃𝑖) =
𝑛
10
. 𝑖 
onde : i = 1, 2, 3, ..., 98, 99 
2. Pela 𝐹𝑎𝑐 identifica-se a classe que contém o valor do percentil - CLASSE(𝑃𝑖) 
3. Utiliza-se a fórmula: 
𝐷𝑖 = 𝑙𝑖 +
𝑃𝑂𝑆(𝐷𝑖) − 𝐹𝑎𝑐,𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
𝐹𝑖
. ℎ 
Onde: 
𝑙𝑖 = Limite inferior da classe quartílica 
𝑛 = Tamanho da amostra ou número de elementos 
𝐹𝑎𝑐,𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = Frequência acumulada anterior à classe percentil 
ℎ = Amplitude da classe do percentil 
 
𝐹𝑖 = Frequência absoluta simples da classe do percentil 
 
Exemplo: 
A tabela abaixo representa os escores obtidos por um grupo de 58 alunos 
matriculados em uma determinada disciplina. Calcule o sexto decil. 
Escores Alunos 
(𝐹𝑖) 
𝐹𝑎𝑐 
35 ⊢ 45 5 5 
45 ⊢ 55 12 17 
55 ⊢ 65 18 35 
65 ⊢ 75 14 49 
75 ⊢ 85 6 55 
85 ⊢ 95 3 58 
∑ 58 - 
 
Portanto, 
1. 𝑃𝑂𝑆(𝑃23) =
58
100
. 23 = 13,34 
2. CLASSE(𝑃23) = 45 ⊢ 55 
3. 𝑃23 = 45 +
13,34−5
18
. 10 = 45 + 6,95 = 51,95 
Interpretação: 23% dos alunos com os menores escores obtiveram pontuação inferior 
a 51,95 pontos, ou então, 77% dos alunos obtiveram escore maior que 51,95 pontos. 
 
MEDIDA DE DISPERSÃO 
As medidas de dispersão indicam se os valores estão relativamente próximos um 
dos outros, ou separados em torno de uma medida de posição: a média. 
Consideraremos quatro medidas de dispersão: Desvio-médio, Variância, Desvio Padrão 
e Coeficiente de Variação. 
 
DESVIO-MÉDIO 
O desvio-médio analisa a média dos desvios em torno da média. 
1a SITUAÇÃO: Dados não agrupados 
Sejam os elementos x1, x2, x3, ... , xn de uma amostra, portanto “n” valores da 
variável X, com média igual a �̅�. O desvio-médio da variável aleatória de X é, 
𝑑𝑚 =
∑|𝑥𝑖 − �̅�|
𝑛
 
Onde 𝑛 é o número de elementos do conjunto. 
Exemplo: 
Suponha o conjunto de tempo de serviço de cinco funcionários: 3, 7, 8, 10 e 11. 
Determinar o desvio-médio deste conjunto de dados. 
Como �̅� =7,8 
Então 𝑑𝑚 =
|3−7,8|+|7−7,8|+|8−7,8|+|10−7,8|+|11−7,8|
5
=
11,2
5
= 2,24 
 
Interpretação: em média, o tempo de serviço deste grupo de funcionários se desvia em 
2,24 anos em torno dos 7,8 anos de tempo médio de serviço. 
 
2a SITUAÇÃO: Dados agrupados em uma distribuição de frequência por valores simples 
 
Quando os dados estiverem agrupados numa distribuição de frequência usaremos o 
desvio-médio dos valores x1, x 2, x3, ..., xn, ponderados pelas respectivas frequências 
absolutas: F1, F2, F3, ..., Fn, como no cálculo da média aritmética. Assim 
𝑑𝑚 =
∑|𝑥𝑖 − �̅�|. 𝐹𝑖
𝑛
 
Exemplo: 
Em um determinado dia foi registrado o número de veículos negociados por uma 
amostra de 10 vendedores de uma agência de automóveis como mostra a tabela abaixo. 
O cálculo do desvio-médio será: 
Veículos 
negociados 
(𝑥𝑖) 
Número de 
vendedores 
(𝐹𝑖) 
 
|𝑥𝑖 − �̅�| 
 
|𝑥𝑖 − �̅�|. 𝐹𝑖 
1 1 1,6 1,6 
2 3 0,6 1,8 
3 5 0,4 2 
4 1 1,4 1,4 
∑ 10 4 6,8 
Como �̅� = 2,6 
Então: 𝑑𝑚 =
6,8
10
= 0,68 
Interpretação : em média, a quantidade de veículos negociada de cada vendedor 
possuiu uma distância de 0,68 em torno dos 2,6 veículos comercializados em média por 
vendedor. 
 
3a SITUAÇÃO: Dados agrupados em uma distribuição de frequência por classes 
 
Quando os dados estiverem agrupados numa distribuição de frequência 
usaremos o desvio-médio dos pontos médios x1, x2, x3, ... , xn de cada classe, ponderados 
pelas respectivas frequências absolutas: F1, F2, F3, ... , Fn. Desta forma, o cálculo do 
desvio-médio passa a ser igual ao da 2a situação. Assim 
 
𝑑𝑚 =
∑|𝑥𝑖 − �̅�|. 𝐹𝑖
𝑛
 
 
Exemplo: 
A tabela abaixo representa os escores obtidos por um grupo de 58 alunos matriculados 
em uma determinada disciplina. O cálculo do desvio-médio será: 
Escores Alunos 
(𝐹𝑖) 
𝐹𝑎𝑐 𝑥𝑖 |𝑥𝑖 − �̅�| |𝑥𝑖 − �̅�|. 𝐹𝑖 
35 ⊢ 45 5 5 40 22 110 
45 ⊢ 55 12 17 50 12 144 
55 ⊢ 65 18 35 60 2 36 
65 ⊢ 75 14 49 70 8 112 
75 ⊢ 85 6 55 80 18 108 
85 ⊢ 95 3 58 90 28 84 
∑ 58 - - - 594 
Como �̅� = 62,24 ~ 62 
Então: 𝑑𝑚 =
597
58
= 10,24 
Interpretação: Em média, a nota de cada aluno deste grupo teve um distanciamento 
de 10,24 pontos em torno do desempenho médio deste grupo de alunos que foi de 
62,24 pontos nesta disciplina. 
 
VARIÂNCIA E DESVIO-PADRÃO 
A variância de um conjunto de dados é a média dos quadrados dos desvios dos 
valores a contar da média. A fórmula da variância poderá ser calculada de duas formas: 
 
• POPULACIONAL, representada letra grega 𝜎2 
 
• AMOSTRAL, representada por 𝑆2 
 
1a SITUAÇÃO: Dados não agrupados 
Sejam os elementos x1, x2, x3, ..., xn, portanto “n” valores da variável X, com média 
igual a �̅� . A variância da variável aleatória de X é, 
𝜎2 =
∑(𝑥𝑖 − 𝜇)
2
𝑁
=
1
𝑁
 . (∑ 𝑥𝑖² −
(∑ 𝑥𝑖)
2
𝑁
) 
Ou 
𝑆2 =
∑(𝑥𝑖 − �̅�)
2
𝑛 − 1
=
1
𝑛 − 1
 . (∑ 𝑥𝑖 ² −
(∑ 𝑥𝑖²)
2
𝑛
) 
Obs: A Segunda fórmula é chamada de “Fórmula Desenvolvida”. 
 
Exemplo: 
Suponha o conjunto de tempo de serviço de cinco funcionários: 3, 7, 8, 10 e 11. 
Determinar o desvio-padrão deste conjunto de dados. 
Como �̅� = 7,8 
Então: 𝑆2 =
(3−7,8)2+(7−7,8)2+(8−7,8)2+(10−7,8)2+(11−7,8)2
5−1
=
38,8
4
= 9,7𝑎𝑛𝑜𝑠² 
Interpretação: encontramos então uma variância para o tempo de serviço de 9,7anos2. 
Para eliminarmos o quadrado da unidade de medida, extraímos a raiz quadrada do 
resultado da variância, que chegamos a uma terceira medida de dispersão, chamada de 
DESVIO-PADRÃO: 
• POPULACIONAL, representada letra grega 𝜎2 = √𝜎2 
• AMOSTRAL, representada por 𝑆2 = √𝑆2 
 
Portanto, o desvio-padrão do exemplo foi de 3,11anos. Ou seja, se calcularmos um 
intervalo utilizando um desvio-padrão em torno da média, encontraremos a 
concentração da maioria dos dados. 
2a SITUAÇÃO: Dados agrupados em uma distribuição de frequência por valores 
simples 
Quando os dados estiverem agrupados numa distribuição de frequência 
usaremos a variância dos valores x1, x2, x3, ..., xn, ponderados pelas respectivas 
frequências absolutas: F1, F2, F3, ... , Fn. Assim 
𝜎2 =
∑(𝑥𝑖 − 𝜇)
2. 𝐹𝑖
𝑁
=
1
𝑁
 . (∑ 𝑥𝑖² . 𝐹𝑖 −
(∑ 𝑥𝑖 . 𝐹𝑖)
2
𝑁
) 
Ou 
𝑆2 =
∑(𝑥𝑖 − �̅�)2. 𝐹𝑖
𝑛 − 1
=
1
𝑛 − 1
 . (∑ 𝑥𝑖 ². 𝐹𝑖 −
(∑ 𝑥𝑖². 𝐹𝑖)
2
𝑛
) 
Exemplo: 
Em um determinado dia foi registrado o número de veículos negociados por uma 
amostra de 10 vendedores de uma agência de automóveis como mostra a tabela abaixo. 
O cálculo do desvio-médio será: 
Veículos 
negociados 
(𝑥𝑖) 
Número de 
vendedores 
(𝐹𝑖) 
 
(𝑥𝑖 − �̅�)
2 
 
(𝑥𝑖 − �̅�)
2. 𝐹𝑖 
1 1 2,56 2,56 
2 3 0,36 1,08 
3 5 0,16 0,8 
4 1 1,96 1,96 
∑ 10 5,04 6,4 
Como �̅� = 2,6 
Então:𝑆2 =
6,4
9
= 0,71 𝑣𝑒í𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠² 
𝑆 = √0,71 𝑣𝑒í𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠² = 0,84 𝑣𝑒í𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠 
Ou 
Veículos 
negociados 
(𝑥𝑖) 
Número de 
vendedores 
(𝐹𝑖) 
 
𝑥𝑖. 𝐹𝑖 
 
𝑥𝑖². 𝐹𝑖 
1 1 1 1 
2 3 6 12 
3 5 16 45 
4 1 4 16 
∑ 10 26 74 
𝑆2 =
1
9
 . [74 −
262
10
] = 0,71 𝑣𝑒í𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠² 
𝑆 = √0,71 𝑣𝑒í𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠² = 0,84 𝑣𝑒í𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠 
Interpretação: Portanto, o desvio-padrão do exemplo foi de 0,84 veículos. Ou seja, se 
calcularmos um intervalo utilizando um desvio-padrão em torno da média, 
encontraremos a concentração da maioria dos veículos negociados por vendedor. 
 
3a SITUAÇÃO: Dados agrupados em uma distribuição de frequência por classes 
 
Quando os dados estiverem agrupados numa distribuição de frequência 
usaremos a variância dos pontos médios x1, x 2, x3, ..., xn de cada classe, ponderados 
pelas respectivas frequências absolutas: F1, F2, F3, ... , Fn. Desta forma, o cálculo da 
variância passa a ser igual ao da 2a situação. Assim 
 
𝜎2 =
∑(𝑥𝑖 − 𝜇)
2. 𝐹𝑖
𝑁
=
1
𝑁
 . (∑ 𝑥𝑖² . 𝐹𝑖 −
(∑ 𝑥𝑖 . 𝐹𝑖)
2
𝑁
) 
Ou 
𝑆2 =
∑(𝑥𝑖 − �̅�)
2. 𝐹𝑖
𝑛 − 1
=
1
𝑛 − 1
 . (∑ 𝑥𝑖 ². 𝐹𝑖 −
(∑ 𝑥𝑖². 𝐹𝑖)
2
𝑛
) 
 
Exemplo: 
A tabela abaixo representa os escores obtidos por um grupo de 58 alunos matriculados 
em uma determinada disciplina. O cálculo do desvio-médio será: 
Escores Alunos 
(𝐹𝑖) 
𝐹𝑎𝑐 𝑥𝑖 (𝑥𝑖 − �̅�)
2 (𝑥𝑖 − �̅�)
2. 𝐹𝑖 
35 ⊢ 45 5 5 40 484 2 420 
45 ⊢ 55 12 17 50 144 1 728 
55 ⊢ 65 18 35 60 4 72 
65 ⊢ 75 14 49 70 64 896 
75 ⊢ 85 6 55 80 324 1 944 
85 ⊢ 95 3 58 90 784 2 352 
∑ 58 - - - 9 412 
Como �̅� = 62,24 ~ 62 
Então: 𝑆2 =
9 412
57
= 165,1 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠² 
𝑆 = √165,1 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠² = 12,85 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠 
Ou 
 
Escores Alunos 
(𝐹𝑖) 
𝐹𝑎𝑐 𝑥𝑖 𝑥𝑖 . 𝐹𝑖 𝑥𝑖². 𝐹𝑖 
35 ⊢ 45 5 5 40 200 8 000 
45 ⊢ 55 12 17 50 600 30 000 
55 ⊢ 65 18 35 60 1 080 64 800 
65 ⊢ 75 14 49 70 980 68 600 
75 ⊢ 85 6 55 80 480 38 400 
85 ⊢ 95 3 58 90 270 24 300 
∑ 58 - - 3 610 234 100 
 
𝑆2 =
1
57
 . [234 100 −
3 610²
58
] = 165,1 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠² 
𝑆 = √165,1 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠² = 12,85 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠 
Interpretação: Portanto, o desvio- padrão do exemplo foi de 12,85 pontos. Ou seja, 
se calcularmos um intervalo utilizando um desvio-padrão em torno do escore médio 
de 62,24 pontos, encontraremos a concentração da maioria dos alunos dentro deste 
intervalo de pontuação. 
 
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO 
 
Trata-se de uma média relativa à dispersão, útil para a comparação e 
observação em termos relativos do grau de concentração em torno da média de 
séries distintas. É dada por: 
𝐶𝑉 =
𝜎
𝜇
 .100 ou 𝐶𝑉 =
𝑆
�̅�
 .100 
Classificação da distribuição quanto à dispersão: 
 
• DISPERSÃO BAIXA: CV ≤ 15% 
• DISPERSÃO MÉDIA: 15% < CV < 30% 
• DISPERSÃO ALTA: CV ≥ 30% 
 
Exemplo: 
Numa empresa o salário médio dos funcionários do sexo masculino é de R$ 4 
000,00, com um desvio padrão de R$ 1 500,00, e os funcionários do sexo feminino é em 
média de R$ 3 000,00, com um desvio padrão de R$ 1 200,00. Então: 
Sexo Masculino: 𝐶𝑉 =
1 500
4 000
 .100 = 37,5% 
Sexo Feminino: 𝐶𝑉 =
1 200
3 000
 .100 = 40% 
 
Interpretação: Logo, podemos concluir que o salário das mulheres apresenta maior 
dispersão relativa que a dos homens. Para obtermos o resultado de C.V basta 
multiplicarmos por 100. 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
• LEVIN, Jack. Estatística Aplicada a Ciências Humanas.2a. Ed. São Paulo: Editora 
Harbra Ltda, 1987. 
• TRIOLA, Mário F. Introdução à Estatística. 7a. Ed. Rio de Janeiro: LTC, 1999. 
• LEVINE, D. M. / BERENSON, M. L. / STEPHAN, David. Estatística: Teoria e 
Aplicações usando Microsoft Excel em Português. Rio de Janeiro: LTC, 2000. 
• Reis, E.A., Reis I.A. (2002) Análise Descritiva de Dados. Relatório Técnico do 
Departamento de Estatística da UFMG. Disponível em: www.est.ufmg.br 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://www.est.ufmg.br/
ANEXOS 
 
Tabela Z Acumulada - Distribuição Normal Padrão - P(Z < z tabela) 
z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 
-3,9 0,00005 0,00005 0,00005 0,00005 0,00006 0,00006 0,00006 0,00006 0,00007 0,00007 
-3,8 0,00007 0,00008 0,00008 0,00008 0,00008 0,00009 0,00009 0,00010 0,00010 0,00010 
-3,7 0,00011 0,00011 0,00012 0,00012 0,00013 0,00013 0,00014 0,00014 0,00015 0,00015 
-3,6 0,00016 0,00017 0,00017 0,00018 0,00019 0,00019 0,00020 0,00021 0,00022 0,00022 
-3,5 0,00023 0,00024 0,00025 0,00026 0,00027 0,00028 0,00029 0,00030 0,00031 0,00032 
-3,4 0,00034 0,00035 0,00036 0,00038 0,00039 0,00040 0,00042 0,00043 0,00045 0,00047 
-3,3 0,00048 0,00050 0,00052 0,00054 0,00056 0,00058 0,00060 0,00062 0,00064 0,00066 
-3,2 0,00069 0,00071 0,00074 0,00076 0,00079 0,00082 0,00084 0,00087 0,00090 0,00094 
-3,1 0,00097 0,00100 0,00104 0,00107 0,00111 0,00114 0,00118 0,00122 0,00126 0,00131 
-3,0 0,00135 0,00139 0,00144 0,00149 0,00154 0,00159 0,00164 0,00169 0,00175 0,00181 
-2,9 0,00187 0,00193 0,00199 0,00205 0,00212 0,00219 0,00226 0,00233 0,00240 0,00248 
-2,8 0,00256 0,00264 0,00272 0,00280 0,00289 0,00298 0,00307 0,00317 0,00326 0,00336 
-2,7 0,00347 0,00357 0,00368 0,00379 0,00391 0,00402 0,00415 0,00427 0,00440 0,00453 
-2,6 0,00466 0,00480 0,00494 0,00508 0,00523 0,00539 0,00554 0,00570 0,00587 0,00604 
-2,5 0,00621 0,00639 0,00657 0,00676 0,00695 0,00714 0,00734 0,00755 0,00776 0,00798 
-2,4 0,00820 0,00842 0,00866 0,00889 0,00914 0,00939 0,00964 0,00990 0,01017 0,01044 
-2,3 0,01072 0,01101 0,01130 0,01160 0,01191 0,01222 0,01255 0,01287 0,01321 0,01355 
-2,2 0,01390 0,01426 0,01463 0,01500 0,01539 0,01578 0,01618 0,01659 0,01700 0,01743 
-2,1 0,01786 0,01831 0,01876 0,01923 0,01970 0,02018 0,02068 0,02118 0,02169 0,02222 
-2,0 0,02275 0,02330 0,02385 0,02442 0,02500 0,02559 0,02619 0,02680 0,02743 0,02807 
-1,9 0,02872 0,02938 0,03005 0,03074 0,03144 0,03216 0,03288 0,03362 0,03438 0,03515 
-1,8 0,03593 0,03673 0,03754 0,03836 0,03920 0,04006 0,04093 0,04182 0,04272 0,04363 
-1,7 0,04457 0,04551 0,04648 0,04746 0,04846 0,04947 0,05050 0,05155 0,05262 0,05370 
-1,6 0,05480 0,05592 0,05705 0,05821 0,05938 0,06057 0,06178 0,06301 0,06426 0,06552 
-1,5 0,06681 0,06811 0,06944 0,07078 0,07215 0,07353 0,07493 0,07636 0,07780 0,07927 
-1,4 0,08076 0,08226 0,08379 0,08534 0,08691 0,08851 0,09012 0,09176 0,09342 0,09510 
-1,3 0,09680 0,09853 0,10027 0,10204 0,10383 0,10565 0,10749 0,10935 0,11123 0,11314 
-1,2 0,11507 0,11702 0,11900 0,12100 0,12302 0,12507 0,12714 0,12924 0,13136 0,13350 
-1,1 0,13567 0,13786 0,14007 0,14231 0,14457 0,14686 0,14917 0,15151 0,15386 0,15625 
-1,0 0,15866 0,16109 0,16354 0,16602 0,16853 0,17106 0,17361 0,17619 0,17879 0,18141 
-0,9 0,18406 0,18673 0,18943 0,19215 0,19489 0,19766 0,20045 0,20327 0,20611 0,20897 
-0,8 0,21186 0,21476 0,21770 0,22065 0,22363 0,22663 0,22965 0,23270 0,23576 0,23885 
-0,7 0,24196 0,24510 0,24825 0,25143 0,25463 0,25785 0,26109 0,26435 0,26763 0,27093 
-0,6 0,27425 0,27760 0,28096 0,28434 0,28774 0,29116 0,29460 0,29806 0,30153 0,30503 
-0,5 0,30854 0,31207 0,31561 0,31918 0,32276 0,32636 0,32997 0,33360 0,33724 0,34090 
-0,4 0,34458 0,34827 0,35197 0,35569 0,35942 0,36317 0,36693 0,37070 0,37448 0,37828 
-0,3 0,38209 0,38591 0,38974 0,39358 0,39743 0,40129 0,40517 0,40905 0,41294 0,41683 
-0,2 0,42074 0,42465 0,42858 0,43251 0,43644 0,44038 0,44433 0,44828 0,45224 0,45620 
-0,1 0,46017 0,46414 0,46812 0,47210 0,47608 0,48006 0,48405 0,48803 0,49202 0,49601 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela Z Acumulada- Distribuição Normal Padrão - P(Z < z tabela) 
z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 
0,0 0,50000 0,50399 0,50798 0,51197 0,51595 0,51994 0,52392 0,52790 0,53188 0,53586 
0,1 0,53983 0,54380 0,54776 0,55172 0,55567 0,55962 0,56356 0,56749 0,57142 0,57535 
0,2 0,57926 0,58317 0,58706 0,59095 0,59483 0,59871 0,60257 0,60642 0,61026 0,61409 
0,3 0,61791 0,62172 0,62552 0,62930 0,63307 0,63683 0,64058 0,64431 0,64803 0,65173 
0,4 0,65542 0,65910 0,66276 0,66640 0,67003 0,67364 0,67724 0,68082 0,68439 0,68793 
0,5 0,69146 0,69497 0,69847 0,70194 0,70540 0,70884 0,71226 0,71566 0,71904 0,72240 
0,6 0,72575 0,72907 0,73237 0,73565 0,73891 0,74215 0,74537 0,74857 0,75175 0,75490 
0,7 0,75804 0,76115 0,76424 0,76730 0,77035 0,77337 0,77637 0,77935 0,78230 0,78524 
0,8 0,78814 0,79103 0,79389 0,79673 0,79955 0,80234 0,80511 0,80785 0,81057 0,81327 
0,9 0,81594 0,81859 0,82121 0,82381 0,82639 0,82894 0,83147 0,83398 0,83646 0,83891 
1,0 0,84134 0,84375 0,84614 0,84849 0,85083 0,85314 0,85543 0,85769 0,85993 0,86214 
1,1 0,86433 0,86650 0,86864 0,87076 0,87286 0,87493 0,87698 0,87900 0,88100 0,88298 
1,2 0,88493 0,88686 0,88877 0,89065 0,89251 0,89435 0,89617 0,89796 0,89973 0,90147 
1,3 0,90320 0,90490 0,90658 0,90824 0,90988 0,91149 0,91309 0,91466 0,91621 0,91774 
1,4 0,91924 0,92073 0,92220 0,92364 0,92507 0,92647 0,92785 0,92922 0,93056 0,93189 
1,5 0,93319 0,93448 0,93574 0,93699 0,93822 0,93943 0,94062 0,94179 0,94295 0,94408 
1,6 0,94520 0,94630 0,94738 0,94845 0,94950 0,95053 0,95154 0,95254 0,95352 0,95449 
1,7 0,95543 0,95637 0,95728 0,95818 0,95907 0,95994 0,96080 0,96164 0,96246 0,96327 
1,8 0,96407 0,96485 0,96562 0,96638 0,96712 0,96784 0,96856 0,96926 0,96995 0,97062 
1,9 0,97128 0,97193 0,97257 0,97320 0,97381 0,97441 0,97500 0,97558 0,97615 0,97670 
2,0 0,97725 0,97778 0,97831 0,97882 0,97932 0,97982 0,98030 0,98077 0,98124 0,98169 
2,1 0,98214 0,98257 0,98300 0,98341 0,98382 0,98422 0,98461 0,98500 0,98537 0,98574 
2,2 0,98610 0,98645 0,98679 0,98713 0,98745 0,98778 0,98809 0,98840 0,98870 0,98899 
2,3 0,98928 0,98956 0,98983 0,99010 0,99036 0,99061 0,99086 0,99111 0,99134 0,99158 
2,4 0,99180 0,99202 0,99224 0,99245 0,99266 0,99286 0,99305 0,99324 0,99343 0,99361 
2,5 0,99379 0,99396 0,99413 0,99430 0,99446 0,99461 0,99477 0,99492 0,99506 0,99520 
2,6 0,99534 0,99547 0,99560 0,99573 0,99585 0,99598 0,99609 0,99621 0,99632 0,99643 
2,7 0,99653 0,99664 0,99674 0,99683 0,99693 0,99702 0,99711 0,99720 0,99728 0,99736 
2,8 0,99744 0,99752 0,99760 0,99767 0,99774 0,99781 0,99788 0,99795 0,99801 0,99807 
2,9 0,99813 0,99819 0,99825 0,99831 0,99836 0,99841 0,99846 0,99851 0,99856 0,99861 
3,0 0,99865 0,99869 0,99874 0,99878 0,99882 0,99886 0,99889 0,99893 0,99896 0,99900 
3,1 0,99903 0,99906 0,99910 0,99913 0,99916 0,99918 0,99921 0,99924 0,99926 0,99929 
3,2 0,99931 0,99934 0,99936 0,99938 0,99940 0,99942 0,99944 0,99946 0,99948 0,99950 
3,3 0,99952 0,99953 0,99955 0,99957 0,99958 0,99960 0,99961 0,99962 0,99964 0,99965 
3,4 0,99966 0,99968 0,99969 0,99970 0,99971 0,99972 0,99973 0,99974 0,99975 0,99976 
3,5 0,99977 0,99978 0,99978 0,99979 0,99980 0,99981 0,99981 0,99982 0,99983 0,99983 
3,6 0,99984 0,99985 0,99985 0,99986 0,99986 0,99987 0,99987 0,99988 0,99988 0,99989 
3,7 0,99989 0,99990 0,99990 0,99990 0,99991 0,99991 0,99992 0,99992 0,99992 0,99992 
3,8 0,99993 0,99993 0,99993 0,99994 0,99994 0,99994 0,99994 0,99995 0,99995 0,99995 
3,9 0,99995 0,99995 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99997 0,99997