Método simplex

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DESCRIÇÃO
O método simplex para a solução de modelos de programação linear e a utilização do solver na solução de problemas de
programação linear.
PROPÓSITO
Dominar a solução de problemas de programação linear, seja por meio do método simplex, ou pela utilização de softwares,
permitirá que você aplique a técnica de modelagem no processo de decisão de problemas complexos de diversas origens, em
especial em sua atuação profissional.
PREPARAÇÃO
Para o conteúdo deste tema, são necessários uma calculadora e um software editor de planilhas eletrônicas com o add-in do
solver habilitado.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Empregar o método simplex para a solução de problemas de programação linear
MÓDULO 2
Aplicar o solver para solução de problemas de programação linear
INTRODUÇÃO
A modelagem matemática nos permite representar, de forma simplificada, um problema complexo por meio de linguagem
matemática. Com isso, conseguimos analisar diferentes cenários de forma mais rápida e barata do que se a situação fosse
avaliada na realidade, auxiliando-nos, assim, no processo de tomada de decisão.
No contexto da programação linear, que se aplica, por exemplo, no planejamento de redes logísticas, há métodos, como o
método gráfico, que se restringem à solução de problemas com apenas duas ou no máximo três variáveis de decisão. Como
solucionar, então, problemas mais complexos, com maior número de variáveis de decisão? Este é o assunto a ser tratado neste
tema. A seguir, abordaremos o método simplex para a solução de problemas de programação linear e aprenderemos a utilizar o
solver do Excel para a solução desse tipo de problema!
MÓDULO 1
 Empregar o método simplex para a solução de problemas de programação linear
APRESENTAÇÃO DO TEMA
O vídeo aborda o método simplex e sua importância para a resolução de problemas.
O MÉTODO SIMPLEX PARA A SOLUÇÃO DE MODELOS DE
PROGRAMAÇÃO LINEAR
Podemos resolver, de forma simples, problemas de programação linear com duas variáveis de decisão por meio do método
gráfico. Entretanto, são poucos os problemas de programação linear no mundo real que envolvem apenas duas variáveis de
decisão, de modo que a aplicação do método gráfico é bastante limitada.
ENTÃO, COMO FAZEMOS PARA SOLUCIONAR PROBLEMAS
MAIS COMPLEXOS, COM UM MAIOR NÚMERO DE VARIÁVEIS DE
DECISÃO?
Existe uma série de técnicas matemáticas para resolver problemas de programação linear com qualquer número de variáveis
sem a necessidade de visualizar em gráficos as regiões viáveis. Dentre tais técnicas, destaca-se o algoritmo simplex, que foi o
primeiro método desenvolvido para resolver problemas de programação linear.
O algoritmo simplex foi desenvolvido por George B. Dantzig, em 1947, enquanto trabalhava como consultor em matemática para
o controle da Força Aérea norte-americana. O método simplex é específico para a solução de problemas de otimização linear
(equações ou inequações lineares). Trata-se de um algoritmo eficiente que se baseia na solução sucessiva de sistemas de
equações indeterminados, em que sistemas adjacentes são avaliados de forma iterativa, sendo, assim, adaptável ao cálculo
computacional. Na época, os computadores estavam começando a surgir, e a resolução desse tipo de problema se tornava
importante na prática!
O simplex é considerado uma das grandes contribuições à programação matemática.
Antes de estudarmos o algoritmo simplex, é importante entendermos o conceito do simplex e recordarmos alguns pontos sobre
a solução de problemas de programação linear com duas variáveis de decisão por meio do método gráfico.
O QUE É UM SIMPLEX?
Um simplex é um polígono convexo, ou seja, com propriedade especial: uma reta que passe por quaisquer dois pontos
pertencentes a um simplex deve estar contida inteiramente dentro do simplex. Logo, na figura a seguir, observa-se que o
polígono representado em (a) não é convexo, enquanto o ilustrado em (b) é um simplex.
 
Fogliato (2006, p. 33) adaptado por Renata Albergaria de Mello Bandeira.
 Polígono não convexo e polígono simplex.
As restrições de um problema de programação linear sempre definem hiperespaços convexos. Esta é a premissa do algoritmo
simplex e de boa parte da teoria de otimização convexa. Assim, o espaço de soluções de um problema de programação linear,
ou seja, a área formada pela intersecção das restrições do problema, é uma forma geométrica simplex.
MÉTODO GRÁFICO
Para encontrar a solução ótima pelo método gráfico, precisamos seguir os seguintes passos:
Desenhe as retas correspondentes às restrições do problema e encontre o espaço de soluções.

Desenhe o vetor z (função objetivo).

Desenhe linhas ortogonais ao vetor z. Essas são as linhas de isocusto, isto é, são as retas que têm o mesmo valor de z.

Calcule o valor de z no ponto ótimo, ou seja, a linha de isocusto com maior z que ainda pertence ao espaço de soluções.
Em um caso bidimensional, o espaço de soluções viáveis é um plano, e a função objetivo é representada por um vetor. Assim,
por meio do método gráfico, buscamos a reta (x2 = z - ax1) perpendicular ao vetor da função objetivo com o maior (ou menor) z
possível dentro do espaço de soluções. Como o espaço de soluções é simplex, a reta x2 = z - ax1 para z ótimo que corta o plano,
obrigatoriamente, corta as retas de restrições. Ainda, como nos pontos de interseção (vértices) temos mudança de inclinação
(retas diferentes), garante-se que a solução ótima se dá na interseção entre retas de restrições (nos vértices), de modo que o
algoritmo simplex analisa apenas os pontos de interseção do espaço de soluções.
Na verdade, esta foi a grande ideia de Dantzig para o desenvolvimento do algoritmo simplex: dado que a solução ótima está em
um vértice do espaço de soluções viáveis, por que não percorrê-los em busca da melhor solução possível?
MÉTODO SIMPLEX
Conforme verificamos, a chave do algoritmo simplex está no formato da região limitada pelas restrições. Portanto, apesar de ser
um procedimento algébrico, os conceitos subjacentes ao método simplex são geométricos.
O simplex é um algoritmo iterativo, que se utiliza de um ferramental baseado em álgebra linear para a resolução sucessiva de
sistemas de equações, embora as restrições de problemas de programação matemática sejam tipicamente inequações. Desse
modo, a primeira etapa do método simplex consiste em converter as restrições de desigualdade em restrições de igualdade
equivalente. O algoritmo simplex só pode ser rodado se o problema estiver escrito na forma canônica, que é a forma de se
representar programas matemáticos por meio de equações. Para isso, precisamos criar as chamadas variáveis de folga ou de
excesso.
VARIÁVEIS DE FOLGA (F)
Exemplo (forma canônica):
X1 ≤ 10 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
f1 = Variável de folga
Assim, se x1=8, então teríamos que a variável de folga f1 seria igual a 2. Se x1=3, então teríamos que a variável de folga f1
seria igual a 7.
VARIÁVEIS DE EXCESSO (E)
Exemplo (forma canônica):
X1≥10 → X1 -E1=10
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
e1 = Variável de excesso
Assim, se x1=12, então teríamos que a variável de excesso e1 seria igual a 2. Se x1=15, então teríamos que a variável de
excesso e1 seria igual a 5.
Veja o caso do problema da Fitwear, apresentado a seguir. Será que conseguimos escrevê-lo em sua forma canônica?
Caso Fitwear S/A
A Fitwear S/A é uma confecção de roupas esportivas, tendo uma linha fitness feminina, na qual produz roupas de ginástica
exclusivas para mulheres, como tops e calças de lycra.
Cada top de ginástica é vendido por R$80,00 e utiliza R$20,00 de matéria-prima, como tecido e alinhamentos, e R$32,00 de
mão de obra. Trinta minutos de corte e 15 minutos de costura são demandados para a confecção de um top de ginástica.
Cada calça de ginástica é vendida por R$120,00 e utiliza R$35,00 de matéria-prima, como tecido e alinhamentos, e R$40,00 de
mão de obra. Quinze minutos de corte e 30minutos de costura são demandados para a confecção de uma calça de ginástica.
A Fitwear só pode contar com 100 horas de corte por semana e 160 horas de costura. A confecção não tem problemas no
fornecimento de matérias-primas, de modo que seu suprimento pode ser considerado ilimitado, bem como a demanda semanal
de seus produtos.
A Fitwear deseja planejar sua produção semanal de modo a maximizar seus lucros.
Quando modelamos o problema, consideramos as seguintes variáveis de decisão:
X1
Número de tops de ginástica confeccionados a cada semana.
X2
Número de calças de ginástica confeccionadas a cada semana.
Assim, chegamos à seguinte formulação matemática em sua forma-padrão.
MÁX Z= 28 X1+ 40X2
SUJEITO A (FORMA-PADRÃO):
 0,5X1 +0,25X2≤100 → RESTRIÇÃO DE HORAS DE CORTE
 0,25X1 +0,5X2≤160 → RESTRIÇÃO DE HORAS DE COSTURA
 X1, X2≥0 → RESTRIÇÃO DE NÃO NEGATIVIDADE DAS VARIÁVEIS
DE DECISÃO
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que tanto a restrição referente às horas de corte quanto a restrição referente às horas de costura são do tipo ≤. Logo,
precisaremos de duas variáveis de folga, f1 e f2, para passar o problema para sua forma canônica.
MÁX Z= 28 X1+ 40X2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sujeito à (forma canônica):
0,5X1 +0,25X2+F1=100
0,25X1 +0,5X2+F2=160
X1, X2≥0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Uma vez adicionadas as variáveis de folga, o problema da Fitwear é dito no formato canônico e pronto para ser resolvido pelo
método simplex!
Para resolver o problema de programação linear, o algoritmo simplex se baseia na solução sucessiva de sistemas de equações,
utilizando-se do conceito de variáveis básicas e não básicas:
VARIÁVEIS BÁSICAS
São aquelas para as quais o sistema de equações é resolvido.
VARIÁVEIS NÃO BÁSICAS
São aquelas que são zeradas para que o sistema de equações apresente uma solução, ou seja, para que o número de
equações seja igual ao número de variáveis, permitindo, assim, a solução do sistema de equações.
No problema da Fitwear, por exemplo, temos quatro variáveis (x1, x2, f1 e f2) e apenas duas equações (restrições). Entretanto,
para que um sistema de equações lineares seja resolvido, é necessário que o número de equações seja igual ao número de
variáveis. De tal modo, para resolver o problema da Fitwear, devemos considerar duas variáveis como nulas (não básicas) e
resolver o problema para outras duas (variáveis básicas), e assim fazemos por iterações sucessivas, até que encontremos o par
de variáveis básicas que nos dá a solução ótima.
Em linhas gerais, o algoritmo simplex parte de uma solução viável do sistema de equações que constituem as restrições do
problema de programação linear, solução essa normalmente extrema (vértice). A partir dessa solução inicial, o algoritmo adota
um critério de escolhas para encontrar novos e melhores vértices da envoltória convexa do problema, e outro critério para
determinar se o vértice escolhido (solução básica) é ou não um vértice ótimo (GOLDBARG; LUNA, 2005). Assim, pelo método
simplex, devemos:
1
Transformar o modelo em sua forma canônica, ou seja, transformar o sistema de inequações em sistema de equações.
javascript:void(0)
javascript:void(0)
Determinar uma solução básica inicial, que será iterativamente melhorada.
2
3
Realizar o teste da otimalidade, ou seja, verificar se a iteração atual é ótima ou se outras variáveis não base (ou seja, que estão
zeradas) devem entrar na base, pois têm potencial para contribuir para melhorar a solução.
Realizar o teste da mínima razão, que determinará qual variável básica deve sair da base, ou seja, verificará quais das variáveis
devem passar a ser nulas para que a nova variável entre na base.
4
5
Calcular a nova solução básica e voltar ao passo 3.
Arenales et al. (2007) descrevem o algoritmo simplex em duas fases. A fase 1 traz o procedimento de como determinar uma
solução inicial, enquanto o método simplex propriamente dito é apresentado na fase 2.
PASSO 1
Escreva o problema na forma canônica
Minimizar f(x)=cTx
 Ax=b, sendo A uma matriz mxn
 x≥0
PASSO 2
Determine inicialmente uma partição básica factível A=[B.N], ou seja, com dois vetores de índices básicos e não básicos:
B1, B2, …, Bm e N1, N2, …, Nn-m.
Faça iteração=1.
Fase 2: {início da iteração simplex}
PASSO 1: {CÁLCULO DA SOLUÇÃO BÁSICA}
xb^=B-1b (equivalentemente, resolva o sistema Bxb=b)
xn^=0
PASSO 2: {CÁLCULO DOS CUSTOS RELATIVOS}
{vetor multiplicador simplex}
ƛT=CBTB-1 (EQUIVALENTEMENTE, RESOLVA O SISTEMA BT ƛ=CB)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
{custos relativos}
CNJ^=CNJ-ƛTANJ, J=1,2,…,N-M
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
{determinação da variável a entrar na base}
CNJ^= MÍNIMO CNJ^ , J=1, 2, …, N-M (A VARIÁVEL XNK ENTRA NA BASE)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PASSO 3: {TESTE DA OTIMALIDADE}
SE CNJ^≥0, ENTÃO PARE {SOLUÇÃO NA ITERAÇÃO ATUAL É ÓTIMA}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PASSO 4: {CÁLCULO DA DIREÇÃO SIMPLEX}
Y=B-1ANK(EQUIVALENTEMENTE, RESOLVA O SISTEMA BY=ANK)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PASSO 5: {DETERMINAÇÃO DO PASSO E VARIÁVEL A SAIR DA BASE}
Se y≤0, então: pare {problema não tem solução ótima finita: f(x)→-∞}
Caso contrário, determine a variável a sair da base pela razão mínima:
Ε^=XBL^YL= MÍNIMO {XBI^YI, TAL QUE YI>0, YI>0,I=1,2,...M} (A VARIÁVEL
XBL SAI DA BASE)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PASSO 6: {ATUALIZAÇÃO: NOVA VARIÁVEL BÁSICA, TROQUE A L-ÉSIMA
COLUNA DE B PELA K-ÉSIMA COLUNA DE N}
Matriz básica nova:
B=[AB1 … ABL-K ANK ABL+1 … ABM]
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Matriz não básica nova:
N=[AN1 …ANK-1 ABL ANK+1 … ANN-M]
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Iteração = iteração +1
Retorne ao passo 1
{fim da iteração simplex}
Na forma de algoritmo, como apresentado por Arenales et al. (2007), o método simplex pode parecer difícil, mas vamos
entender o que Dantzig propôs por meio de um exemplo.
Caso da empresa Glass Co.
A empresa Glass Co., que possui três fábricas, produz janelas e portas de vidro. As esquadrias e ferragens em aço são feitas na
fábrica 1, as esquadrias de madeira são produzidas na fábrica 2 e a fábrica 3 produz o vidro e monta os produtos.
A direção da empresa decidiu modernizar sua linha de produtos e propôs o lançamento de dois novos produtos:
Produto 1: porta de vidro de 2,5m com esquadria de alumínio.
Produto 2: janela adornada com esquadria de madeira 1,2m x 1,8m.
O produto 1 requer capacidade produtiva das fábricas 1 e 3. O produto 2 precisa das fábricas 2 e 3. A divisão de marketing
concluiu que a empresa poderia vender tanto quanto fosse possível produzir desses produtos por essas fábricas. Porém, ambos
os produtos competem por capacidade produtiva da fábrica 3, não estando claro qual mix dos dois seria mais lucrativo.
Determine quais devem ser as taxas de produção para maximizar o lucro total, sujeitas às restrições impostas pela capacidade
produtiva:
Fábrica
Tempo de produção por lote (em
horas)
Tempo de produção disponível por semana (horas)
Produtos
1 2
1 1 0 4
2 0 2 12
3 3 2 18
Lucro por
lote
R$3.000,00 R$5.000,00
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
 Produção empresa Glass Co. Extraída de Hillier e Lieberman, 2013, pág. 21
Inicialmente, devemos escrever o modelo matemático para o problema da Glass Co., seguindo os passos do procedimento para
construção do modelo de programação linear:
Identificação das variáveis de decisão

Identificação da função objetivo

Identificaçãodo conjunto de restrições
A seguir, vamos seguir cada um dos passos indicados.
IDENTIFICAÇÃO DAS VARIÁVEIS DE DECISÃO
No caso da Glass Co., a empresa deve decidir os produtos a serem fabricados. Logo, a definição da variável de decisão seria:
xi — quantidade de produto i confeccionada
Assim, temos:
x1 - Quantidade de lotes produtos 1 fabricados.
x2 - Quantidade de lotes produtos 2 fabricados.
IDENTIFICAÇÃO DA FUNÇÃO OBJETIVO
No caso da Glass Co., a empresa deseja maximizar seu lucro total:
Determine quais devem ser as taxas de produção para maximizar o lucro total (…).
Para cada lote de portas de vidro de 2,5m com esquadria de alumínio (produto 1) vendido, a empresa lucra R$3.000,000,
enquanto o lucro de venda de cada lote de janela adornada com esquadria de madeira 1,2m x 1,8m (produto 2) equivale a
R$5.000,00. Logo, o lucro total é igual a 3000x1+5000x2., de modo que a função objetivo para o problema é:
MAX Z=3X1+5X2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
IDENTIFICAÇÃO DO CONJUNTO DE RESTRIÇÕES
No caso do problema da Glass Co., foram consideradas ilimitadas a demanda por seus produtos e a oferta de matéria-prima, de
modo que não entram como restrições no modelo matemático. Porém, há restrições relacionadas ao tempo de produção
disponível por semana em cada fábrica.
Fábrica
Tempo de produção por lote (em horas)
Tempo de produção disponível por semana (horas)Produtos
1 2
1 1 0 4
2 0 2 12
3 3 2 18
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
 Produção empresa Glass Co. Extraída de Hillier e Lieberman, 2013, pág. 21.
Há, ainda, a restrição de não negatividade das variáveis de decisão, uma vez que não se pode produzir um número negativo de
portas ou janelas. Logo, a restrição 4 é dada por: x1, x2≥0
Logo, temos as seguintes restrições:
x1≤4
2x2≤12 → x2≤6
3x1+2x2≤18
Enfim, temos o seguinte modelo matemático para o problema da Glass Co.:
MAX Z=3X1+5X2
S.A.
 X1≤4
 2X2≤12
 3X1+2X2≤18
 X1, X2≥0
 X1, X2≥0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MAS QUAL É O MIX DE PRODUÇÃO QUE NOS DÁ A SOLUÇÃO
ÓTIMA?
O primeiro passo do algoritmo simplex é transformar o modelo em seu formato canônico.
Passando para o formato canônico, temos:
MAX Z=3X1+5X2
S.A.
X1+F1 = 4 → RESTRIÇÃO 1
2X2+F2 =12→ RESTRIÇÃO 2
3X1+2X2+F 3=18 → RESTRIÇÃO 3
X1,X2, F1, F2, F3>=0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em seguida, devemos escolher uma solução básica inicial. Observe que temos três equações no sistema de equações e cinco
variáveis. Dessa forma, devemos ter três variáveis-base e duas não base. O modo mais fácil de resolver esta etapa é escolher
as variáveis x1 e x2 como variáveis não básicas, uma vez que essa opção elimina o trabalho necessário para encontrar a
solução quando as variáveis básicas são as variáveis de folga (ou excesso) (f1, f2 e f3 ). Nesse caso, se x1=0 e x2=0, z seria
igual a zero também, enquanto f1=4, f2=12 e f3=18.
Função objetivo: Z=3x1+5x2, logo, para a solução inicial de x1=0 e x2=0, temos Z=0.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Restrição 1: x1 +f1 = 4 → 0 +f1 = 4 → f1 = 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Restrição 2: 2x2 +f2 =12 → 0 +f2 = 12 → f2 = 12
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Restrição 3: 3x1+2x2 +f3 =18 → 0+0+f3 = 18 → f2 = 18 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Portanto, temos a solução inicial de (0,0,4,12,18).
Passamos, então, para o teste da otimalidade. Como Z=3x1+5x2, verificamos que o coeficiente de cada variável não básica
(x1 e x2) fornece a taxa de crescimento em Z.
Como as taxas de crescimento são positivas (3 e 5) e este é um problema de maximização, concluímos que a solução inicial
(0,0,4,12,18) não é a solução ótima!
Já sabemos que a solução básica inicial não é ótima, então uma variável não básica (x1 ou x2) deve entrar na base. Porém,
devemos aumentar x1 ou x2?
Para determinar isso, devemos verificar a direção de deslocamento. Observe que, para cada unidade que aumentarmos x1,
temos uma taxa de crescimento em Z de 3. Ao mesmo tempo, para cada unidade que aumentarmos x1, temos uma taxa de
crescimento em Z de 5. Sendo 5>3, devemos optar por x2 para crescer. Logo, x2 é a variável básica que entra.
Entretanto, para que x2 passe a ser uma variável básica, uma das variáveis-base da solução inicial (f1, f2 e f3) precisa sair da
base. Porém, como determinar qual delas?
Para essa etapa, devemos ter em mente que, ao aumentar x2, eleva-se Z. Contudo, não podemos sair do espaço de soluções,
ou seja, da região de soluções viáveis. Assim, devemos aumentar x2, mantendo a variável não básica x1=0 e respeitando que
todas as variáveis sejam não negativas.
X1=0 (VARIÁVEL NÃO BÁSICA)
X1+F1= 4→ F1=4
2X2+F2=12 → F2=12-2X2
3X1+2X2+F3=18 → F3=18-2X2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como x1, x2, , f1,f2, f3≥0:
Teste da mínima razão
F1=4 → NÃO IMPLICA EM LIMITE SUPERIOR EM X2
F2=12-2X2 ≥=0→ X2≤12/2=6 ← MÍNIMO
F3=18-2X2 ≥0→X2≤18/2=9
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Verificamos, então, que x2 passa a receber o valor de 6, enquanto f2 se torna uma variável não base e nula. Assim, deduzimos
intuitivamente o teste da mínima razão.
O objetivo do teste da mínima razão é determinar qual variável básica cai a zero primeiro à medida que a variável básica que
entra é aumentada.
Podemos descartar imediatamente a variável básica em qualquer equação cujo coeficiente da variável básica que entra é zero
ou negativo, já que uma variável básica não decresceria à medida que a variável básica que entra aumentasse.
No caso do problema da Glass Co., ao aumentarmos o valor de x2 de 0 a 6, temos mudanças na solução.
SOLUÇÃO INICIAL
x1=0
javascript:void(0)
x2=0
F1=4
F2=12
F3=18
NOVA SOLUÇÃO
x1=0
x2=6
F1=?
F2=0
F3=?
Temos que x2 é igual a 6 e x1 continua sendo zero. Portanto, temos que Z=3x1+5x2=3*0+5*6=30. Devemos determinar, então,
os valores de f1, f2 e f3.
X1+F1 = 4→ 0+ F1 = 4→ F1 = 4
2X2+F2 =12 → 2*6+F2 =12 F2=0
3X1+2X2 +F3 =18→ 3*0+2*6+F3=18→ F3=6
A nova solução é (0,6,4,0,6) e Z=30!
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, devemos verificar se essa solução é ótima ou não, por meio do teste de otimalidade. Sendo Z=3x1+5x2, verificamos que
x1 tem o coeficiente positivo (=3), de modo que aumentar x1 implica em aumentar Z. Portanto, a solução atual não é ótima e
devemos realizar nova iteração, analisando a entrada de x1 como variável básica. Dessa forma, devemos realizar o teste da
mínima razão para determinar qual variável básica deve se tornar nula, saindo então da base, para permitir a “entrada” de x1.
Z -3X1-2,5X2=30
X1+F1= 4
javascript:void(0)
2X2+F2=12 
3X1+2X2+F3=18
Teste da mínima razão
F1=4-X1 ≥0→ X1≤ 4/1→ X1≤ 4
F2=12-2X2≥0 → NENHUM LIMITE SUPERIOR EM X1
F3=6-3X1≥0 → X→≤6/3→X1≤2 → MÍNIMA RAZÃO
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, f3 sai da base para x1 entrar com o valor igual a 2. Porém, ao aumentarmos o valor de x1 de 0 a 2, temos mudanças na
solução.
SOLUÇÃO INICIAL
x1=0
x2=6
F1=4
F2=0
F3=18
NOVA SOLUÇÃO
x1=2
x2=6
F1=?
F2=0
F3=?
Temos que x2 é igual a 6 e x1 equivale a 2. Logo, temos que Z=3x1+5x2=3*2+5*6=36. Devemos determinar, então, os valores
de f1, f2 e f3.
javascript:void(0)
javascript:void(0)
X1 +F1 = 4→ 2+ F1 = 4→ F1 = 2
2X2+F2 =12 → 2*6+F2 =12→F2 =0
3X1+2X2 +F3 =18→ 3*2+2*6+F3 =18→ F3 =0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, concluímos que x1 substitui f3 como variável básica, sendo a nova solução igual a (2,6,2,0,0) e Z=36. As variáveis não
básicas agora sãof2 e f3. Verificamos que aumentar as atuais variáveis não básicas não implica em aumento em Z, o que
garante que esta é a solução ótima.
MÉTODO SIMPLEX EM SUA FORMA TABULAR
Aprendemos até agora a forma algébrica do simplex, que é a melhor para aprender a lógica por trás do algoritmo. Porém, não é
a forma mais conveniente para realizar cálculos necessários. As operações realizadas no método simplex podem ser
organizadas em tabelas, chamadas tabelas simplex. Essa organização é a mais indicada para quando estivermos resolvendo
um problema de programação linear manualmente.
Considere um problema de otimização linear:
MINIMIZAR F(X)=CX
AX=B
X≥0.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Nesse problema, temos as variáveis x1, x2 … xn. Os coeficientes da função objetivo são c1, c2 … cn. Os coeficientes das
restrições são a1, a2 … an e b.
Arenales et al. (2007) descrevem as operações realizadas em cada iteração do algoritmo simplex em tabelas, em duas fases.
Fase 1:
Determine a tabela simplex inicial.

A matriz dos coeficientes contém uma matriz identidade mxm (m é o número de equações) e o vetor independente b≥0.

A função objetivo é escrita em termos das variáveis não básicas, isto é, os coeficientes das variáveis básicas são nulos.

Faça a iteração =0.
Fase 2:
Determine o menor dos custos relativos: ck= mínimo {cj para toda variável não básica}.

Se ck≥0, então pare (a solução básica na iteração é ótima). Se não, a variável xk entra na base.

Se aik≤0, i=1, …, m, então f→-∞ e o problema não tem solução ótima finita. Nesse caso, pare. Se não, determine blalk mínimo
{biaik tal que aik>0,i=1,…,m}. (a variável básica da linha l sai da base).

Atualize a tabela simplex (pivoteamento do elemento (l,k)). A variável xk passa a ser a variável básica na linha l. Faça a iteração
= iteração +1 e retorne ao passo 1.
Na forma de algoritmo, como apresentado por Arenales et al. (2007), o método simplex tabular pode parecer difícil, mas vamos
entendê-lo resolvendo o exemplo da Glass Co., cujo modelo em formato canônico é apresentado a seguir.
MAX Z=3X1+5X2
S.A.
 X1 +F1= 4 → RESTRIÇÃO 1
2X2+F2 =12 → RESTRIÇÃO 2
3X1+2X2+F3=18 → RESTRIÇÃO 3
X1,X2, F1, F2, F3>=0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Inicialmente, vamos definir o formato da tabela de maneira a facilitar sua compreensão. A tabela simplex tem, do lado esquerdo,
as variáveis básicas e, do lado direito, as constantes das equações. No meio da tabela, ficam todos os coeficientes das
restrições e da função objetivo. Por padronização, colocaremos na primeira linha (zero) a equação que representa a função
objetivo, conforme apresentado na figura a seguir.
 
Imagem: Fogliato (2006, p. 61) adaptado por Renata Albergaria de Mello Bandeira
 Tabela simplex.
Uma escolha viável para a primeira base para o problema da Glass Co. seria (f1, f2, f3), pois facilitaria o preenchimento da
tabela simplex inicial, dado que B=I e B-1=I.
MAX Z=3X1+5X2
X1 +F1 = 4 
2X2 +F2 =12
3X1 +2X2 +F3 =18 
 A3 A4 A5 A1 A2
A=B I N=100I10010I02001I32
 F1 F2 F3 X1 X2
B=100010001 B-1=100010001
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Quando as variáveis de folga constituem a primeira base, na primeira linha da tabela simplex, apenas escrevemos o negativo
dos coeficientes de custo das variáveis não básicas. Como zj-cj representa a potencial melhoria no valor de z da função
objetivo representada pela j-ésima variável, as variáveis atualmente básicas devem receber o valor zero, pois já se encontram
na base. Assim, a primeira linha da tabela simplex para o exemplo da Glass Co. é:
x1 x2 f1 f2 f3 RHS
Z -3 -5 0 0 0 Z0
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
O valor atual de z, z0, para esta primeira tabela, com as variáveis básicas sendo f1, f2, f3, seria igual a zero, pois Z=3x1+5x2 e
x1=x2=0. Assim, atualizando a tabela, tem-se:
x1 x2 f1 f2 f3 RHS
Z -3 -5 0 0 0 0
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
Em seguida, devem-se escrever as linhas que compõem as restrições da tabela simplex, conforme indicado na figura a seguir.
 
Fogliato (2006, p. 61) adaptado por Renata Albergaria de Mello Bandeira.
 Restrições da tabela simplex.
Para cada variável do problema, deve-se determinar yj. Como as variáveis de folga foram escolhidas como a primeira base,
temos B=I e B-1=I. Logo, temos yj=aj, de modo que as linhas que compõem as restrições no tableau são copiadas diretamente
do problema. Ainda, as variáveis atualmente na base (f1, f2, f3) são identificadas à esquerda da tabela simplex, como pode ser
identificado na figura a seguir.
Max Z=3x1+5x2
s.a.
 
Renata Albergaria de Mello Bandeira
 Preenchendo a tabela simplex para o problema da Glass Co.
Observa-se, por meio da figura anterior, que os únicos elementos faltantes estão do lado direito da tabela simplex e
correspondem à fórmula:
B¯=B-1B=IB=B
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desse modo, para a tabela inicial, basta copiar os valores de b no lado direito da tabela, conforme apresentado na figura a
seguir.
Max Z=3x1+5x2
s.a.
 
Renata Albergaria de Mello Bandeira
 Tabela simplex inicial para o problema da Glass Co.
Uma vez preenchida a tabela inicial, devemos identificar as variáveis candidatas a entrar na base na primeira linha da tabela.
Para isso, devemos analisar os valores dos coeficientes de cada variável apresentados na segunda linha da tabela simplex,
levando em consideração o tipo de problema apresentado, maximização ou minimização:
Problema de maximização
Em um problema de maximização, a variável cujo coeficiente é negativo e apresenta o maior valor absoluto é aquela que
entrará na base.

Problema de minimização
Em um problema de minimização, a variável a entrar na base será a que tiver o maior valor positivo.
Por meio da figura da Tabela simplex inicial para o problema da Glass Co., observamos que a variável a entrar na base no
problema da Glass Co. é x2, uma vez que tanto xx quanto x2 têm valores negativos na segunda linha da tabela, sendo 5>3.
Depois de identificarmos a variável que entra na base, é preciso determinar a variável básica que deve dar lugar para que x2
entre na base. Para isso, aplicamos o teste da mínima razão, conforme indicado na figura a seguir. Observa-se que o menor
valor é 6, de modo que a variável a sair da base é f2.
 
Renata Albergaria de Mello Bandeira
 Teste da mínima razão para o problema da Glass Co.
Para completar a iteração do simplex, devemos, então, proceder com as operações elementares que utilizam a linha que
contém o elemento de pivot, de modo que a coluna x2 (da variável entrante) assuma a configuração da coluna f2 (variável que
sai da base). Observe, na figura a seguir, que a linha pivot é a quarta linha da tabela (atual linha do f2 no lado esquerdo da
tabela) e que os valores para as colunas x2 e f2 não coincidem, de modo que é necessário executar a operação elementar.
Portanto, sendo a linha (3)´ a quarta linha da tabela (3) após a operação elementar, tem-se que a operação que transformará 2
em 1 é: (3)´=(3)/2.
 
Renata Albergaria de Mello Bandeira
 Operações com a linha pivot para o problema da Glass Co.
Observe, na segunda tabela da figura anterior, que, para a coluna x2 assumir a configuração anterior da coluna f2, é preciso
ainda realizar operações elementares nas linhas (1) e (4) da tabela simplex. Assim, para a linha (4)´, é preciso que (4)´=(4)-2*(3)
´, enquanto para a linha (1)´ devemos fazer (1)´=(1)+5*(3)´, conforme indicado na próxima figura.
 DICA
Para a linha (2), não é preciso realizar nenhuma operação, uma vez que os valores para as colunas x2 e f2 já são coincidentes.
 
Operações com a linha pivot para o problema da GlassCo.
 Renata Albergaria de Mello Bandeira
Verifique, na figura anterior, que a coluna x1 ainda apresenta um valor negativo na segunda linha da tabela simplex, de modo
que esta variável deve entrar na base, sendo necessária, então, mais uma iteração. Logo, faz-se o teste da mínima razão,
conforme indicado na figura a seguir, sendo verificado que a variável a sair da base para que x1 entre é f3. Portanto, são
necessárias as operações elementares para que a coluna x1 receba os valores da coluna f3.
 
Renata Albergaria de Mello Bandeira
 Teste da mínima razão para o problema da Glass Co. — 2a iteração
Observa-se, na figura do Teste da mínima razão para o problema da Glass Co. — 2a iteração, que a quinta linha (4) da
tabela simplex é a linha pivot. Assim, para que a coluna x1 receba os valores da coluna f3, a primeira operação elementar a ser
feita é: (4)´=(4)/3, tal como apresentado na figura a seguir.
 
Renata Albergaria de Mello Bandeira
 Primeira operação elementar (linha (4)) para o problema da Glass Co. — 2a iteração.
Para a coluna x1 assumir a configuração anterior da coluna f3, ainda é preciso realizar operações elementares nas linhas (1) e
(2) da tabela simplex. Assim, para a linha (2)´, é preciso que (2)´=(2)-(4)´, enquanto para a linha (1)´ devemos fazer (1)´=
(1)+3* (4)´, conforme indicado na próxima figura.
 DICA
Para a linha (3) não é preciso realizar nenhuma operação, uma vez que os valores para as colunas x1 e f3 já são coincidentes
nesta linha.
 
Renata Albergaria de Mello Bandeira
 Operações com a linha pivot para o problema da Glass Co. — 2a iteração.
 ATENÇÃO
Verifique, na figura anterior, que não há mais valores negativos na segunda linha da tabela simplex (1), de modo que não há
mais variáveis para entrar na base. Logo, concluímos que a solução ótima para o problema da Glass Co. é x1=2, x2=6 e z=36,
tal como apresentado na seção método simplex, quando resolvemos este mesmo problema por meio do método simplex em sua
forma analítica.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. A FITWEAR S/A É UMA CONFECÇÃO DE ROUPAS ESPORTIVAS, TENDO UMA LINHA FITNESS
FEMININA, NA QUAL PRODUZ ROUPAS DE GINÁSTICA EXCLUSIVAS PARA MULHERES, COMO
TOPS E CALÇAS DE LYCRA. 
 
CADA TOP DE GINÁSTICA É VENDIDO POR R$80,00 E UTILIZA R$20,00 DE MATÉRIA-PRIMA,
COMO TECIDO E ALINHAMENTOS, E R$32,00 DE MÃO DE OBRA. TRINTA MINUTOS DE CORTE E
15 MINUTOS DE COSTURA SÃO DEMANDADOS PARA A CONFECÇÃO DE UM TOP DE GINÁSTICA. 
 
CADA CALÇA DE GINÁSTICA É VENDIDA POR R$120,00 E UTILIZA R$35,00 DE MATÉRIA-PRIMA,
COMO TECIDO E ALINHAMENTOS, E R$40,00 DE MÃO DE OBRA. QUINZE MINUTOS DE CORTE E
30 MINUTOS DE COSTURA SÃO DEMANDADOS PARA A CONFECÇÃO DE UMA CALÇA DE
GINÁSTICA. 
 
A FITWEAR SÓ PODE CONTAR COM 100 HORAS DE CORTE POR SEMANA E 160 HORAS DE
COSTURA. A CONFECÇÃO NÃO TEM PROBLEMAS NO FORNECIMENTO DE MATÉRIAS-PRIMAS,
DE MODO QUE SEU SUPRIMENTO PODE SER CONSIDERADO ILIMITADO, BEM COMO A DEMANDA
SEMANAL DE SEUS PRODUTOS. 
 
CONSIDERANDO QUE SERIA POSSÍVEL PRODUZIR NÚMEROS NÃO INTEIROS, QUAL DEVE SER A
PRODUÇÃO SEMANAL A SER ADOTADA PELA FITWEAR DE MODO A MAXIMIZAR SEUS LUCROS?
CONSIDERE AS SEGUINTES VARIÁVEIS DE DECISÃO: 
 
 • X1 = NÚMERO DE TOPS DE GINÁSTICA CONFECCIONADOS A CADA SEMANA 
 
 • X2 = NÚMERO DE CALÇAS DE GINÁSTICA CONFECCIONADAS A CADA SEMANA
A) x1=320, x2=160
B) x1=200, x2=160
C) x1=160, x2=320
D) x1=280, x2=220
E) x1=280, x2=120
2. UTILIZE O MÉTODO SIMPLEX PARA A SOLUÇÃO DESTA PROGRAMAÇÃO LINEAR: 
 
MAX: 350X1 + 300X2 
 
SUJEITO A: 
 
X1 + X2 <= 200 
 
9X1 + 6X2 <= 1566 
 
12X1 + 16X2 <= 2880 
 
X1 >= 0 
 
X2 >= 0 O VALOR DE Z PARA A SOLUÇÃO ÓTIMA DO PROBLEMA APRESENTADO É IGUAL A:
A) Zero
B) 54.000
C) 60.900
D) 64.000
E) 66.100
GABARITO
1. A Fitwear S/A é uma confecção de roupas esportivas, tendo uma linha fitness feminina, na qual produz roupas de
ginástica exclusivas para mulheres, como tops e calças de lycra. 
 
Cada top de ginástica é vendido por R$80,00 e utiliza R$20,00 de matéria-prima, como tecido e alinhamentos, e R$32,00
de mão de obra. Trinta minutos de corte e 15 minutos de costura são demandados para a confecção de um top de
ginástica. 
 
Cada calça de ginástica é vendida por R$120,00 e utiliza R$35,00 de matéria-prima, como tecido e alinhamentos, e
R$40,00 de mão de obra. Quinze minutos de corte e 30 minutos de costura são demandados para a confecção de uma
calça de ginástica. 
 
A Fitwear só pode contar com 100 horas de corte por semana e 160 horas de costura. A confecção não tem problemas
no fornecimento de matérias-primas, de modo que seu suprimento pode ser considerado ilimitado, bem como a
demanda semanal de seus produtos. 
 
Considerando que seria possível produzir números não inteiros, qual deve ser a produção semanal a ser adotada pela
Fitwear de modo a maximizar seus lucros? Considere as seguintes variáveis de decisão: 
 
 • x1 = número de tops de ginástica confeccionados a cada semana 
 
 • x2 = número de calças de ginástica confeccionadas a cada semana
A alternativa "A " está correta.
 
O modelo matemático para este problema é:
 Máx Z= 28 x1+ 40x2
Sujeito a:
 0,5x1 +0,25x2≤100 → restrição de horas de corte
 0,25x1 +0, 5x2≤160→ restrição de horas de costura
 x1, x2≥0 → restrição de não negatividade das variáveis de decisão
Em sua forma canônica, temos:
 Máx Z= 28 x1+ 40x2
Sujeito a:
 0,5x1 +0,25x2+f1=100 
 0,25x1 +0, 5x2+f2=160
 x1, x2≥0 
A solução do problema pela tabela simplex é:
 Solução da Atividade 1 pela tabela simplex. Captura de tela do Excel.
2. Utilize o método simplex para a solução desta programação linear: 
 
MAX: 350X1 + 300X2 
 
Sujeito a: 
 
X1 + X2 <= 200 
 
9X1 + 6X2 <= 1566 
 
12X1 + 16X2 <= 2880 
 
X1 >= 0 
 
X2 >= 0 O valor de z para a solução ótima do problema apresentado é igual a:
A alternativa "E " está correta.
 
A resposta correta é a letra E, conforme pode ser verificado na solução obtida pelo método gráfico, apresentada na figura a
seguir.
 Solução da atividade 2 pela tabela simplex. Captura de tela do Excel.
MÓDULO 2
 Aplicar o solver para solução de problemas de programação linear
UTILIZAÇÃO DO SOLVER PARA SOLUÇÃO DE
PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR
No módulo 1, aprendemos a resolver problemas de programação linear por meio do método simplex, tanto o analítico quanto o
tabular. Aplicamos essas técnicas em alguns exemplos, de modo a entender a lógica do algoritmo. Porém, pudemos verificar
que são muitos os cálculos que precisam ser feitos para resolvermos problemas de programação linear manualmente, e apenas
um erro em uma conta nos levaria a um resultado errado. Contudo, felizmente, existem diversos softwares de computador que
podem ser utilizados para nos auxiliar a encontrar a solução ótima para problemas de programação matemática, por exemplo:
LINDO
CPLEX
AIMMS
GAMS
MATHPRO
Usando o software de computador adequado, podemos resolver facilmente quaisquer problemas de programação linear.
As técnicas para a solução de problemas de programação linear são, inclusive, desenvolvidas por meio de pacotes de planilhas
eletrônicas. Assim sendo, aprenderemos nesta seção a utilizar o solver do pacote de planilhas eletrônicas Excel para solução de
problemas de programação linear.
 DICA
Os mesmos conceitos e técnicas que apresentaremos a seguir também podem ser aplicados em outros pacotes de planilhas,
dadas as necessidades de alterações em detalhes de implementação.
PASSOS PARA IMPLEMENTAR UM PROBLEMA DE
PROGRAMAÇÃO LINEAR EM PLANILHA
Ragsdale (2009) apresenta cinco passos que devem ser feitos para implementar qualquer problema de programação linear em
uma planilha:
1
Organize os dados para o modelo (os coeficientes das restrições, os coeficientes da função objetivo etc.) na planilha.
Reserve as células separadas na planilha para representar cada variável de decisão do modelo algébrico. Isso é útil na
determinação de fórmulas para a função e restrições doobjetivo.
2
3
Crie uma fórmula para cada célula da planilha que corresponda à função objetivo no modelo algébrico.
Para cada restrição, crie uma fórmula em uma célula separada na planilha. Muitas das fórmulas de restrição têm estrutura
semelhante, de modo que, quando possível, crie fórmulas de restrição que possam ser copiadas para implementar outras
fórmulas de restrição.
4
5
Use sombras e cores de fundo e/ou bordas para identificar as células que representam as variáveis de decisão, restrições e
funções objetivos do modelo.
INSTALANDO O SOLVER
Demonstraremos, neste módulo, como usar o solver do Excel resolvendo o problema enfrentado pela Fitwear. No entanto, antes
de iniciarmos a resolução do problema, é preciso instalar o solver nos pacotes de planilhas eletrônicas Excel. Para isso, siga o
passo a passo:
Clique em arquivos > opções no Excel, conforme indicado na figura.
 
 Instalando o solver — Passo 1. Captura do Excel.
O segundo passo é clicar em suplementos na tela que foi aberta.
 
 Instalando o solver — Passo 2. Captura do Excel.
Na tela seguinte, clique no botão ir, em gerenciar suplementos do Excel.
 
 Instalando o solver — Passo 3. Captura do Excel.
Na próxima tela, clique na opção solver.
 
 Instalando o solver — Passo 4. Captura do Excel.
Para finalizar, basta clicar na aba dados para visualizar a opção solver.
 
 Instalando o solver — Passo 5. Captura do Excel.
UTILIZANDO O SOLVER
Agora que já temos o solver instalado no nosso Excel, vamos iniciar a resolução do problema da Fitwear visto no módulo 1.
 DICA
Caso seja necessário, retorne ao módulo anterior e relembre como desenvolvemos o modelo matemático do problema.
Observe a seguir o modelo matemático, considerando as variáveis de decisão:
X1
Número de tops de ginástica confeccionados a cada semana.
X2
Número de calças de ginástica confeccionadas a cada semana.
Temos a formulação matemática em sua forma-padrão.
MÁX Z= 28 X1+ 40X2
SUJEITO A:
0,5X1 +0,25X2≤100 → RESTRIÇÃO DE HORAS DE CORTE
0,25X→ +0, 5X→≤160→ RESTRIÇÃO DE HORAS DE COSTURA
X1, X2≥0 → RESTRIÇÃO DE NÃO NEGATIVIDADE DAS VARIÁVEIS DE DECISÃO
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Uma das primeiras etapas para a solução do problema deve ser a organização dos dados. Vamos começar representando as
variáveis de decisão, como indicado na figura a seguir. Observe que descrevemos as variáveis de decisão na planilha, bem
como os ganhos semanais com a venda de cada produto (x1 e x2), deixando destacado em amarelo as células variáveis (ou
ajustáveis), que reservamos na planilha para representar as variáveis de decisão do modelo.
 
 Variáveis de decisão. Captura de tela do Excel.
O próximo passo é criar uma fórmula que represente a função objetivo de acordo com as variáveis de decisão indicadas na
figura. Para isso, devemos utilizar a função “somarproduto” do Excel, que faz o produto escalar entre dois vetores.
 
 Função “somarproduto”. Captura de tela do Excel.
A figura a seguir ilustra como inserimos a função objetivo na planilha eletrônica no caso do problema da Fitwear. Observe que
fizemos a função “somarproduto” entre o vetor (28,40), que corresponde aos coeficientes da função objetivo, e as células que
destinamos para receber o valor das variáveis de decisão. Com isso, teremos que a célula destacada em amarelo para a função
objetivo recebeu a fórmula 28*x1+40*x2.
 
 Função objetivo. Captura de tela do Excel.
De maneira análoga à que fizemos a representação da função objetivo, precisamos representar as restrições. Para isso,
também vamos utilizar a função “somarproduto” do Excel. Veja a seguir como inserimos as duas restrições para o problema da
Fitwear na planilha eletrônica.
RESTRIÇÃO DE HORAS DE CORTE
Observe que fizemos a função “somarproduto” entre os vetores que indicam os coeficientes das restrições e as células que
destinamos para receber o valor das variáveis de decisão. Com isso, teremos que a célula destacada em amarelo na figura
restrição de horas de corte recebeu a fórmula 0,5x1+0,25x2.
 
 Restrição de horas de corte. Captura de tela do Excel.
RESTRIÇÃO DE HORAS DE COSTURA
Observe que a célula destacada em amarelo na figura restrição de horas de costura recebeu a fórmula 0,25x1+0, 5x2.
 
 Restrição de horas de costura. Captura de tela do Excel.
FINALMENTE, TERMINAMOS A IMPLEMENTAÇÃO DO MODELO
DO PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO LINEAR DA FITWEAR NO
EXCEL. ENTRETANTO, AINDA PRECISAMOS RESOLVÊ-LO.
Para isso, é preciso indicar para o solver o que cada célula da planilha representa:
A FUNÇÃO OBJETIVO
AS VARIÁVEIS DE DECISÃO
AS RESTRIÇÕES
Assim sendo, devemos definir a célula de destino, ou seja, aquela que representa a função objetivo na caixa de diálogo
parâmetros do solver, como indicado na próxima figura. Observe que a célula E9 contém a fórmula que representa a função
objetivo para o nosso problema, como havíamos preparado anteriormente. Neste momento, devemos instruir também o solver
para tentar maximizar seu valor, especificando o botão max.
 
 Definindo a função objetivo na célula de destino. Captura de tela do Excel.
O próximo passo consiste em indicar as células que representam as variáveis de decisão no modelo. Observe, na figura a
seguir, que as células C8 e D8, em nossa planilha, representam as variáveis de decisão para o modelo. O solver determinará os
valores ótimos para essas células.
 
 Definindo as variáveis de decisão. Captura de tela do Excel.
A seguir, devemos definir as células de restrição na planilha e as restrições que se aplicam a essas células.
 ATENÇÃO
As células de restrição são aquelas em que implementamos as fórmulas para cada restrição.
Para definir as células de restrição, siga os passos:
Clique no botão incluir.
 
 Especificando as células de restrição — passo 1. Captura de tela do Excel.
Preencha a caixa de diálogo incluir restrições.
 
 Especificando as células de restrição — passo 2. Captura de tela do Excel.
Observe que as células E13 e E14 representam as células de restrição cujos valores devem ser menores ou iguais aos
indicados nas células G13 e G14, respectivamente.
 
 Especificando as células de restrição — passo 3. Captura de tela do Excel.
Já especificamos as restrições, mas ainda precisamos determinar que as variáveis de decisão devem ser iguais ou maiores do
que zero. Para isso, basta clicar em tornar variáveis irrestritas não negativas na caixa de diálogo parâmetros do solver,
conforme indicado na figura a seguir. Enfim, para encontrarmos a solução ótima para o problema, basta clicar no botão
resolver.
 
 Condições de não negatividade. Captura de tela do Excel.
A figura a seguir apresenta a tela de saída do Excel com a solução ótima para o problema da Fitwear.
 
 Solução ótima para o problema da Fitwear. Captura de tela do Excel.
Observe que x1 deve ser 53,33, x2 recebe 293,333 e o valor ótimo de z é igual a 13.226,67.
UTILIZAÇÃO DO SOLVER PARA A SOLUÇÃO DE
PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR
O vídeo mostra um passo a passo para a resolução de um problema de programação linear no solver do Excel.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. A FÁBRICA XYZ PRODUZ RAÇÕES PARA A ALIMENTAÇÃO DE GADO. AS RAÇÕES SÃO
ELABORADAS A PARTIR DA MISTURA DE TRÊS DIFERENTES TIPOS DE GRÃOS: 1, 2 E 3. TRÊS
NUTRIENTES SÃO CONSIDERADOS NO PRODUTO FINAL: A, B E C. 
 
SABE-SE QUE O GRÃO DO TIPO 1 CUSTA R$35,00 POR KG. UM QUILO DE GRÃO 1 POSSUI 30MG
DE NUTRIENTE A, 10MG DE NUTRIENTE B E 43MG DE NUTRIENTE C. O GRÃO DO TIPO 2 CUSTA
R$23,00 POR KG. AINDA, UM QUILO DO GRÃO 2 POSSUI 28MG DO NUTRIENTE A, 17MG DO
NUTRIENTE B E 40MG DO NUTRIENTE C. O GRÃO DO TIPO 3 POSSUI APENAS 70MG DO
NUTRIENTE TIPO A E UM QUILO DESTE TIPO DE GRÃO CUSTA R$78,00. 
 
A RAÇÃO PARA GADO DEVE CONTER, NO MÍNIMO, 1250MG DE NUTRIENTE A, 380MG DO
NUTRIENTE B E 980MG DO NUTRIENTE C. 
 
O ANALISTA DESEJA DETERMINAR UMA COMPOSIÇÃO DA RAÇÃO QUE MINIMIZE OS CUSTOS
DE PRODUÇÃO, CONSIDERANDO QUE AS NECESSIDADES MÍNIMAS DOSNUTRIENTES SEJAM
ATENDIDAS. DESSE MODO, É POSSÍVEL AFIRMAR QUE A SOLUÇÃO ÓTIMA PARA O PROBLEMA
TEM UM VALOR DE Z IGUAL A:
A) 262,84
B) 1262,84
C) 2262,84
D) 3262,84
E) 4262,84
2. UMA MÃE ESTÁ MUITO PREOCUPADA COM A ALIMENTAÇÃO DE SEUS FILHOS. ELA DESEJA
QUE AS CRIANÇAS TENHAM UMA ALIMENTAÇÃO EQUILIBRADA E, POR ISSO, CONSULTOU UMA
NUTRICIONISTA QUE LHE RECOMENDOU QUE ELES COMAM, NO MÍNIMO, 10MG DE VITAMINA A,
70MG DE VITAMINA C E 250MG DE VITAMINA D POR DIA. 
 
PORÉM, ALÉM DE SE PREOCUPAR COM A QUALIDADE DA ALIMENTAÇÃO, ESSA MÃE TAMBÉM
ESTÁ PREOCUPADA COM OS CUSTOS. ELA DESEJA OFERECER AOS SEUS FILHOS ESSA DIETA
EQUILIBRADA, PORÉM AO MENOR CUSTO POSSÍVEL. POR ISSO, ELA FEZ UMA PESQUISA E
DESCOBRIU AS INFORMAÇÕES NUTRICIONAIS PARA DIFERENTES TIPOS DE ALIMENTO,
CONFORME APRESENTADO NA TABELA. 
 
VITAMINA LEITE (L) CARNE (KG) PEIXE (KG) SALADA (100G)
A 2 2 10 20
C 50 20 10 80
D 80 70 10 80
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃOCOMPLETA DA TABELA UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
 INFORMAÇÕES NUTRICIONAIS EM MG
A MÃE TAMBÉM FOI AO SUPERMERCADO E VERIFICOU QUE UM LITRO DE LEITE CUSTA R$2,00,
UM QUILO DE CARNE CUSTA R$20,00, UM QUILO DE PEIXE CUSTA R$25,00 E PARA PREPARAR
100G DE SALADA ELA GASTARIA R$3,00. DESSE MODO, É POSSÍVEL AFIRMAR QUE A SOLUÇÃO
ÓTIMA PARA O PROBLEMA TEM UM VALOR DE Z IGUAL A:
A) 2,46
B) 3,46
C) 4,46
D) 5,46
E) 6,46
GABARITO
1. A fábrica XYZ produz rações para a alimentação de gado. As rações são elaboradas a partir da mistura de três
diferentes tipos de grãos: 1, 2 e 3. Três nutrientes são considerados no produto final: A, B e C. 
 
Sabe-se que o grão do tipo 1 custa R$35,00 por kg. Um quilo de grão 1 possui 30mg de nutriente A, 10mg de nutriente B
e 43mg de nutriente C. O grão do tipo 2 custa R$23,00 por kg. Ainda, um quilo do grão 2 possui 28mg do nutriente A,
17mg do nutriente B e 40mg do nutriente C. O grão do tipo 3 possui apenas 70mg do nutriente tipo A e um quilo deste
tipo de grão custa R$78,00. 
 
A ração para gado deve conter, no mínimo, 1250mg de nutriente A, 380mg do nutriente B e 980mg do nutriente C. 
 
O analista deseja determinar uma composição da ração que minimize os custos de produção, considerando que as
necessidades mínimas dos nutrientes sejam atendidas. Desse modo, é possível afirmar que a solução ótima para o
problema tem um valor de z igual a:
A alternativa "B " está correta.
 
Como as rações são elaboradas a partir de três diferentes tipos de grãos, temos que as variáveis de decisão são:
x1 = quilos de grão tipo 1 usados na produção de um quilo de ração
x2 = quilos de grão tipo 2 usados na produção de um quilo de ração
x3 = quilos de grão tipo 3 usados na produção de um quilo de ração
Como se deseja minimizar o custo de produção e sabe-se o custo do quilo de cada tipo de grão, temos a seguinte função
objetivo:
Min Z= 35x1+23x2+78x3
Logo, podemos afirmar que a resposta certa para o exercício é a Letra E. Porém, vamos continuar a construção do modelo
matemático para este problema.
A ração deve conter, no mínimo, 1250mg de nutriente A, 380mg do nutriente B e 980mg do nutriente C. Assim, teremos três
restrições com relação à quantidade dos diferentes tipos de nutrientes. São elas:
30x1+28x2+70x3≥1250 → Nutriente A
10x1+17x2≥380 → Nutriente B
43x1+40x3≥980 → Nutriente C
Portanto, temos que o modelo para este problema é:
Min Z= 35x1+23x2+78x3
Sujeito a:
30x1+28x2+70x3≥1250
10x1+17x2≥380
43x1+40x3≥980
x1,x2,x3,x4≥0
A figura apresenta a tela de saída do Excel com a solução ótima para o problema. Observe que x1 deve ser 22,79, x2 recebe
20,22 e x3 é nulo, sendo o valor ótimo de z igual a 1262,84.
 Solução ótima para o problema da Atividade 1. Captura de tela do Excel.
2. Uma mãe está muito preocupada com a alimentação de seus filhos. Ela deseja que as crianças tenham uma
alimentação equilibrada e, por isso, consultou uma nutricionista que lhe recomendou que eles comam, no mínimo,
10mg de vitamina A, 70mg de vitamina C e 250mg de vitamina D por dia. 
 
Porém, além de se preocupar com a qualidade da alimentação, essa mãe também está preocupada com os custos. Ela
deseja oferecer aos seus filhos essa dieta equilibrada, porém ao menor custo possível. Por isso, ela fez uma pesquisa e
descobriu as informações nutricionais para diferentes tipos de alimento, conforme apresentado na tabela. 
 
Vitamina Leite (l) Carne (kg) Peixe (kg) Salada (100g)
A 2 2 10 20
C 50 20 10 80
D 80 70 10 80
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
 Informações nutricionais em mg
A mãe também foi ao supermercado e verificou que um litro de leite custa R$2,00, um quilo de carne custa R$20,00, um
quilo de peixe custa R$25,00 e para preparar 100g de salada ela gastaria R$3,00. Desse modo, é possível afirmar que a
solução ótima para o problema tem um valor de z igual a:
A alternativa "E " está correta.
 
A variável de decisão deve ser xi, sendo x a quantidade de alimento do tipo “i” a ser consumida por dia. Logo, temos:
x1 = litros de leite a serem consumidos por dia pelas crianças
x2 = quilos de carne a serem consumidos por dia pelas crianças
x3 = quilos de peixe a serem consumidos por dia pelas crianças
x4 = 100g de salada a serem consumidos por dia pelas crianças
O modelo para este problema é:
Min Z= 2x1+20x2+25x3+3x4
Sujeito a:
2x1+2x2+10x3+20x4≥10 
50x1+20x2+10x3+30x4≥70 
80x1+70x2+10x3+80x4≥250
x1,x2,x3,x4≥0
A figura apresenta a tela de saída do Excel com a solução ótima para o problema. Observe que x1 deve ser 2,91 litros de leite,
x2 e x3 são nulos, enquanto x4 é igual a 208,33g de salada, sendo o valor ótimo de z igual a 6,46.
 Solução ótima para o problema da Atividade 2. Captura de tela do Excel.
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A pesquisa operacional pode nos auxiliar no apoio a processos de decisão, em especial para problemas complexos. Estudamos
o método simplex, tanto pelo modo analítico quanto pelo tabular, por meio do qual aprendemos a resolver problemas de
programação linear, encontrando a solução ótima para este tipo de problema. Contudo, resolvê-los manualmente é muito
trabalhoso, envolvendo um grande número de cálculos. Um simples erro em uma das contas requeridas implica encontrar uma
solução equivocada para o problema. Por isso, é muito importante conhecer softwares computacionais que permitem a solução
de problemas de programação matemática.
São muitos os softwares computacionais dedicados à solução de problemas de programação matemática, como o CPLEx, o
GAMS, o LINDO, o LINGO etc. No entanto, problemas de programação linear podem ser resolvidos pelo solver de pacotes de
planilhas eletrônicas. Aprendemos a solucionar problemas de programação linear por meio do solver do Excel. Isso certamente
facilitará que consigamos aplicar a Pesquisa Operacional para a solução de problemas reais.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
ARENALES, M. et al. Pesquisa operacional. Rio de Janeiro: Elsevier, 2007.
FOGLIATO, F. Pesquisa operacional. Porto Alegre, 2006. (Notas de aula).
GOLDBARG, M. C.; LUNA, H. P. Otimização combinatória e programação linear. 2. ed. São Paulo: Campus, 2005.
LACHTERMACHER, G. Pesquisa operacional na tomada de decisões. Rio de Janeiro: Campus, 2009.
RAGSDALE, C. T. Modelagem e análise de decisão. São Paulo: Cengage Learning, 2014.
RODRIGUES, L. H.; AHLERT, F.; LACERDA, D. P.; CAMARGO, L. F. R.; LIMA, P. Pesquisa operacional: programação linear
passo a passo: do entendimento do problema à interpretação da solução. São Leopoldo: Unisinos, 2014.
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos tratados nesta aula, leia:
Conheça métodos preparatórios (utilizados antes do emprego do simplex) para resolver problemas diferentes do padrão de
maximização com restrições do tipo menor ou igual no capítulo 4 do livro “Operations research: applications and algorithms (Vol.
3)”, de Winston e Goldberg (2004).
Para se aprofundar na utilização do solver para a solução de problemas de programação linear, sugerimos a leitura do capítulo 3
do livro“Modelagem e análise de decisão”, de Ragsdale (2009).
CONTEUDISTA
Renata Albergaria de Mello Bandeira
 CURRÍCULO LATTES
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