Modelagem matematica aplicada à otimização e à análise de processos

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MODELAGEM 
MATEMÁTICA APLICADA 
À OTIMIZAÇÃO E À 
ANÁLISE DE PROCESSOS
Denise Gomes Alves
Warley Gramacho da Silva
(ORGANIZADORES)
Denise Gomes Alves
Warley Gramacho da Silva
(ORGANIZADORES)
PALMAS - TO
2019
MODELAGEM 
MATEMÁTICA APLICADA 
À OTIMIZAÇÃO E À 
ANÁLISE DE PROCESSOS
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M689	 Modelagem	matemática	aplicada	à	otimização	e	à	análise	de
	 	 processos	[recurso	eletrônico]	/	orgs.	Denise	Gomes	Alves	e	 
	 	 Warley	Gramacho	da	Silva.	—	Tocantins	:	EDUFT,	2019.
	 	 Dados	eletrônicos	(ePub).
 
	 ISBN:	978-85-60487-58-5
	 	 1.	Otimização	matemática.	2.	Fenômenos	de	transporte.
	 3.	Tecnologia	de	alimentos	-	Processos.	I.	Alves,	Denise	Gomes.	 
	 II.	Silva,	Warley	Gramacho	da.	III.	Título.
CDD	519
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3
APRESENTAÇÃO
A eminente evolução na agricultura requer necessidade continua de 
estudos de processos para otimização de recursos. Assim sendo, a ciência e 
a tecnologia de alimentos atuam no âmbito da aplicação de matérias primas 
oriundas da produção agrícola para transformação de produtos destinados ao 
consumidor como viáveis ao consumo. 
A pesquisa na área de alimentos possibilita o desenvolvimento de novos 
produtos e processos que vão auxiliar a agricultura de subsistência, o extrativis-
mo, entre outros setores; e colaborar no combate à fome, à desnutrição, entre 
outros graves problemas. Por outro lado, a experimentação é onerosa e deman-
da tempo de execução, o que nem sempre é viável para a indústria alimentícia. 
Para agilizar esse processo, a modelagem permite a estimativa de parâmetros 
e respostas necessárias para a redução de variáveis experimentais. 
Nesse sentido, esta obra apresenta modelos matemáticos e métodos de 
estimativa aplicados à modelagem de processos alimentícios em suas diversas 
escalas. O primeiro capítulo trata do processo de secagem de alimentos e sua 
modelagem no âmbito dos fenômenos dos transportes. O segundo capítulo 
apresenta os métodos e modelos aplicados à otimização de novas formulações 
alimentícias como base para a transformação de matérias primas agrícolas 
em produtos finais. Já o terceiro capítulo aborda o processo de hidratação de 
alimentos, modelado em seus aspectos químicos e físicos para obtenção de 
produtos com padrão de identidade e qualidade. Finalizando, o quarto capítulo, 
por meio de equações e modelagens geométricas, mostra a importância do 
conhecimento acerca das formas físicas dos produtos para definição dos 
processos aplicáveis à obtenção de novos alimentos.
Esta obra foi escrita por autores acadêmicos e doutores com formação 
em engenharia, matemática e computação e promove uma abordagem 
multidisciplinar de importantes processos. 
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SUMÁRIO
Apresentação ................................................................................................... 3
Capítulo 1: Modelagem do processo de desidratação de alimentos .............. 9
Capítulo 2: Otimização de formulações alimentícias .................................... 31
Capítulo 3: Modelagem do processo de hidratação de alimentos ................ 55
Capítulo 4: Determinação da área superficial de alimentos .......................... 77
Sobre os organizadores............................................................................... 96
MODELAGEM DO 
PROCESSO DE 
DESIDRATAÇÃO DE 
ALIMENTOS
9
Denise Gomes Alves
Letícia Vieira Emiliano Camargo
Maria Olivia dos Santos Oliveira
Pedro Henrique Silva Miranda
Glêndara Aparecida de Souza Martins
A desidratação de alimentos é uma das operações unitárias mais antigas usadas pela indústria de processamento de alimentos. A desidratação reduz a umidade dos alimentos a fi m de aumentar sua 
vida útil e possibilita a adição de uma ou mais formas de energia aos alimentos. 
O processo de desidratação envolve a transferência simultânea de massa e 
calor para o alimento e o meio utilizado para transferir energia para o alimento 
(JAYAS, 2016). Além de aumentar a estabilidade e vida útil, a desidratação visa 
à redução do peso do alimento facilitando seu transporte (SABLANI, 2008). 
De acordo com Jayas (2016), a água é uma das substâncias em 
maior quantidade nos alimentos e tem grande infl uência nas características 
sensoriais deles. Um alimento com baixo teor de umidade é menos suscetível 
a deteriorações, por isso o processo de desidratação é tão importante. Os 
alimentos têm a água ligada e a água livre; no processo de desidratação, 
quando é aplicado o calor, grande parte da água livre é retirada. Isso 
acontece porque a água ligada está unida aos nutrientes, tornando-a difícil 
de ser retirada. A umidade varia de um alimento para outro. Na desidratação 
a umidade do alimento passar para o ar e tende ao equilíbrio. Vários fatores, 
como umidade inicial do alimento, temperatura do ar, material de secagem 
e área exposta ao calor infl uenciam no tempo que o alimento vai fi car sob 
processo de secagem (AKPINAR, 2003).
Gava (1977) classifi ca o processo de desidratação em dois grandes 
grupos: secagem natural e desidratação ou secagem artifi cial. A secagem é 
uma operação unitária que envolve as transferências simultâneas de calor e 
massa. A transferência de calor é necessária para evaporação da umidade e 
MODELAGEM DO PROCESSO 
DE DESIDRATAÇÃO DE 
ALIMENTOS
MODELAGEM DO PROCESSO 
DE DESIDRATAÇÃO DE 
ALIMENTOS
Matemática 
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normalmente se baseia no mecanismo de convecção. Quanto à transferência 
de massa, existem dois processos envolvidos: o transporte da água no interior 
do sólido a ser seco até a superfície e a remoção do vapor a partir dela. A 
taxa de secagem é conduzida de acordo como os dois processos ocorrem. No 
transporte, o movimento da água dentro do sólido é uma função da natureza 
física do sólido, da temperatura e de seu conteúdo de umidade. Na remoção, 
para a água ser removida como vapor da superfície do material, depende 
das condições externas de temperatura, umidade do ar, velocidade do ar de 
secagem, área da superfície exposta e pressão (MUJUMDAR, 1995).
No método de secagem natural, o alimento é exposto ao sol e a fonte de 
calor é proveniente da radiação solar. A secagem natural existe desde os tempos 
pré-históricos; é um método muito utilizado para secagem de produtos agrícolas. 
É de preço bem acessível, porque conta com a energia solar. O problema é que 
não é um método muito padronizado, porque não há controle de temperatura, 
de umidade e do fluxo de ar. Outro problema é a contaminação, que geralmente 
acorre porque não é um método com condições controladas (MADHLOPA, 2002).
Outro método é a secagem artificial, que tem grandes vantagens. 
Apresenta maior eficiência quando comparada com a secagem natural. A 
secagem artificial é mais eficiente porque podem ser controlados vários fatores,como temperatura, umidade e fluxo de ar. A secagem artificial ou forçada 
é considerada uma operação unitária porque o calor aplicado é artificial e 
ocorre em meio totalmente controlado. Este método artificial apresenta várias 
formas, como secagem por convecção, condução, irradiação, liofilização e 
osmótica. Na sequência, são descritas cada uma delas.
Secagem por convecção
As indústrias alimentícias, quando trabalham com grande produção de 
alimentos desidratados, na maioria das vezes usam a secagem convectiva 
(OKOS, 2007). Nesse processo convectivo, o ar aquecido tem baixa umidade 
relativa que acaba removendo a água do alimento desidratando-o. O ar é 
um meio de secagem muito abundante. Na secagem artificial, o ar aquecido 
transmite calor ao alimento provocando a evaporação, retirando a umidade do 
meio onde o alimento está contido, fazendo com que a umidade não volte ao 
alimento. Na secagem convectiva, a temperatura do ar e seu fluxo determinam 
a velocidade da secagem (GAVA, 1977).
Um exemplo de equipamento que faz secagem por convecção é o secador 
de bandeja. Nele o alimento é colocado em uma bandeja pela qual passa um 
fluxo de ar quente que passa pelo alimento. Consequentemente, o calor flui do 
ar quente para o alimento aquecendo-o por calor sensível e depois causando um 
calor latente, o que provoca a evaporação da água do alimento (BERK, 2018).
11
Modelagem Matemática Aplicada à 
Otimização e à Análise de Processos
De acordo com Berk (2018), o calor é transferido pelo processo de convecção 
do ar quente para uma superfície mais fria e úmida, e para estabelecer a taxa de 
transferência de calor pelo método da convecção pode-se usar a lei de Newton 
do resfriamento, que é mostrada na equação 1.
q = hA (Ta – Ts) (1)
Onde:
q = Taxa de calor (W)
h = Coeficiente de transferência de calor convectivo 
(W . m−2 . K−1 );
A = Área (m2);
Ts = Temperatura da superfície (ºC)
Ta = Temperatura do fluido no infinito (ºC)
 
Para contextualizar teoria e prática através da Lei de Resfriamento de 
Newton, Pereira e Barbosa (2018) realizaram um experimento no qual utilizaram 
o termômetro de temperatura para medir a temperatura do ambiente (quarto 
fechado). Em seguida, um café que estava sendo preparado foi retirado do 
fogo, colocado numa xícara e levado até o quarto. Logo após, com intervalos 
de 1, 5 e 10 minutos, foram feitas as medições da temperatura do café. Na 
sequência, foram feitos os cálculos por meio da aplicação teórica na Lei de 
Resfriamento de Newton resolvendo a seguinte situação: num quarto fechado, 
cuja temperatura ambiente permanece a 29,7ºC coloca-se certa quantidade 
de café numa xícara a uma temperatura constante de 81,7ºC (temperatura do 
café inicialmente na prática).
1. No intervalo de 1 minuto: Se após 1 minuto a temperatura do café for de 
78,9ºC, determine a temperatura do café após atingir 2, 3, 4 e 5 min. 
2. No intervalo de 5 minutos: Se após 5 minutos a temperatura do café for de 
69,6ºC, determine a temperatura do café após atingir 10, 15, 20 e 25 min. 
3. No intervalo de 10 minutos: Se após 10 minutos a temperatura do café for 
de 62,2ºC, determine a temperatura do café após atingir 20, 30, 40 e 50 min.
Verificou-se que os resultados obtidos com os dois métodos (teoria e 
prática) são próximos, porém os valores vão se distanciando gradativamente. 
Matemática 
12
Isso ocorre por diversas razões: em alguns momentos a porta do quarto foi 
aberta; a janela e a porta do quarto contêm algumas aberturas que possibilitam 
a entrada de ventilação, assim a temperatura do quarto pode ter sido alterada; 
ao cair um papel no chão ou fazer algum tipo de movimento também pode 
ter ocorrido a variação da temperatura, entre outras. Portanto, verifica-se que 
houve no ambiente do experimento (quarto) a transferência de calor transiente, 
ou seja, “implica variação ao longo do tempo ou dependência do tempo” 
(GHAJAR; ÇENGEL, 2012).
Secagem por condução 
Na secagem por condução, o calor é transferido para o alimento através do 
contato dele com uma superfície aquecida. Dessa maneira, o calor é transferido 
de uma superfície mais quente para outra menos quente pelo contato entre 
elas. Esse método é muito utilizado quando o alimento a ser desidratado é muito 
seco ou úmido. O método condutivo apresenta maior eficiência térmica quando 
comparado com o convectivo, visto que não é necessário aquecer grande 
quantidade de ar (ORDÓÑEZ, 2005). O processo de condução é baseado 
na teoria que partículas mais energéticas de um material transferem energia 
para partículas vizinhas menos energéticas. Essas transferências ocorrem por 
causa das interações entre as partículas. A lei de Fourier descreve o processo 
de condução térmica (ÇENGEL & GHAJAR, 2012; INCROPERA, 2008). 
A lei de Fourier é demonstrada na equação 2. 
qx = k . A . 
dT
dX
 (2)
Onde:
qx = W
k = condutividade térmica
A = área do material (m²)
dT = gradiente de temperatura (ºC ou K)
dX = gradiente de massa (m)
 
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Modelagem Matemática Aplicada à 
Otimização e à Análise de Processos
Secagem por radiação 
No processo de secagem por radiação por infravermelho, o alimento 
recebe calor na forma de energia eletromagnética. A energia térmica pode ser 
suprida a partir de diferentes fontes de energia eletromagnética. A radiação 
por infravermelho tem baixa penetração no alimento, por isso a secagem por 
radiação é indicada para alimentos mais finos (PARK, 2007). A escolha do 
espectro e do comprimento de onda utilizados na radiação depende muito da 
natureza e da temperatura da fonte de calor. Esse método de desidratação 
requer materiais que emitam radiação infravermelha, como lâmpadas elétricas, 
entre outros. Para definir a taxa de transferência de energia por infravermelho, 
é necessário saber a diferença de temperatura entre a fonte de calor e o 
alimento que está recebendo a radiação. A radiação no alimento funciona 
da seguinte maneira: é emitida pela fonte de radiação e se propaga pelo ar; 
após isso é absorvida pelo alimento e convertida em calor pela interação da 
radiação com o alimento; depois que a energia eletromagnética é convertida 
pela interação, o calor passa por todo o alimento a partir da sua superfície 
(SAKAI E MAO, 2006). 
Secagem por liofilização 
A liofilização ou criosecagem é o processo no qual ocorre a remoção da 
água em um alimento por sublimação da água no estado sólido. Nesse processo 
o alimento é congelado e se formam cristais de gelo, depois é submetida a 
um vácuo no liofilizador e assim a água passa diretamente do estado sólido 
para o gasoso ocorrendo o processo de sublimação. A liofilização ocorre em 
baixas temperaturas e no vácuo (ausência de ar). O alimento desidratado 
não é submetido a aumento de calor e assim não sofre alterações químicas e 
organolépticas que outros processos térmicos provocam (GAVA, 1977). Segundo 
Berk (2018), as indústrias farmacêuticas foram as primeiras a utilizar a liofilização 
comercialmente trabalhando antibióticos, células e plasma sanguíneo. Por volta 
dos anos 1950 a indústria começou a usar esse processo na desidratação, mas 
a indústria farmacêutica ainda é a que mais utiliza esse processo. 
Na liofilização ocorre o processo de sublimação da água, que passa 
diretamente do estado sólido para o gasoso sem passar pelo líquido. Isso é 
possível porque em determinada pressão e temperatura existe o ponto triplo da 
água e, se pressão e temperatura estiverem abaixo do ponto triplo, é possível 
ocorrer a sublimação. Na prática a liofilização ocorre a uma pressão muito 
baixa, em torno de 10 a 50 Pa. Por causa desses fatores a liofilização acaba 
sendo um processo com um alto custo (BERK, 2018). 
Matemática 
14
Esse processo ocorre em duas etapas. A maior parte da água do alimento 
é removida na primeira etapa, estágio em que ocorre a sublimação dos cristais 
de gelo, que são a água livre contida no alimento. No segundo estágio, ocorre 
a desidratação por dessorção na qual grande parte da água absorvidana 
matriz do alimento é removida. Por causa desses dois estágios da liofilização, 
normalmente, o teor de umidade dos alimentos chega à umidade final em 
torno de 1 a 3% (PIKAL, 1990).
Desidratação osmótica 
No processo de secagem por desidratação osmótica, a água é retirada 
a partir da imersão do alimento em solução de sal ou sacarose com alta 
pressão osmótica. Esse método de desidratação é antigo, muito utilizado 
na salga de peixes ou desidratação de frutas quando a remoção da água 
acontece junto com a penetração do soluto (BERK, 2018). 
O processo osmótico é relativamente simples, primeiramente o alimento 
é descascado e cortado, logo após é imerso em solução de sacarose ou sal 
ou ambos. Depois disso começa o processo de desidratação osmótica. A água 
e alguns nutrientes do alimento passam para a solução e, ao mesmo tempo, 
o soluto é absorvido pelo alimento. Nesse processo osmótico, é possível 
recuperar a solução osmótica pela evaporação. No início da desidratação, o 
processo de remoção de água é mais rápido e conforme o tempo vai passando 
a remoção da água fica cada vez mais demorada, isso ocorre devido à 
diferença de pressão osmótica que vai diminuindo gradativamente ao decorrer 
do tempo. A desidratação osmótica é um processo que não retira alto teor de 
água do alimento e deixa-o com alto teor de umidade; consequentemente, 
esse método não é suficiente para deixar o alimento totalmente seco e estável 
para ter uma longa vida de prateleira. Por esse problema a desidratação 
osmótica é usada como pré-tratamento e, posteriormente, o alimento sofre 
outro processo de conservação, como secagem, congelamento ou algum 
processo térmico (RAOULT-WACK, 1989).
Modelos matemáticos 
O comportamento de cada alimento durante a redução do teor de água é 
parâmetro importante no desenvolvimento e aprimoramento de equipamentos 
de secagem. Nesse sentido, são utilizados modelos matemáticos que 
representam satisfatoriamente a perda de água em todas as camadas do 
alimento (BERBET et al., 1995). Modelos matemáticos que avaliam as 
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Modelagem Matemática Aplicada à 
Otimização e à Análise de Processos
características do sistema de transferência de massa em alimentos são 
cada vez mais explorados, tornando-se úteis para o cálculo eficiente de cada 
análise a fim de reduzir perdas, melhorar processos e aumentar a qualidade 
do produto (DANTAS et al., 2011).
Os modelos matemáticos podem ser divididos em dois grupos principais: 
empíricos e teóricos. Nos modelos teóricos, geralmente são consideradas 
as condições externas sob as quais a operação ocorre como também os 
mecanismos internos de transferência de energia e massa e seus efeitos. 
Dependendo do alimento que se está secando, a umidade pode se movimentar 
interiormente, normalmente por mecanismos diferentes (BROOKER et al., 1992; 
COUTINHO et al., 2005). Por sua vez, os modelos empíricos geralmente são 
obtidos a partir de simples correlações matemáticas dos dados experimentais 
(SINGH & KULSHRESTHA, 1987) e os seus parâmetros, normalmente, não 
possuem significado físico.
Modelagem da cinética de secagem
O estudo da cinética de secagem permite conhecer o comportamento 
do material ao longo do processo e o prognóstico do tempo de secagem. A 
modelagem do processo é importante para o desenvolvimento e a otimização 
dos secadores, além de possibilitar padronização dos processos. A secagem 
de materiais biológicos é complexa, devido às interações na matriz sólida 
que afetam diretamente a transferência de massa e calor durante o processo 
(TOGRUL & PEHLIVAN, 2004).
Para explicar o processo de migração de umidade no interior dos 
alimentos, foram pospostos vários modelos matemáticos descrevendo a 
influência de cada variável no processo e estimando a difusividade da água. No 
processo, durante os períodos de taxa constante e decrescente, os métodos 
de cálculo da secagem diferem. Quando a taxa é constante, as transferências 
de calor e massa são analisadas na superfície do material em contato com 
o ar de secagem, já para taxa decrescente, as análises são baseadas nas 
transferências internas que governam a secagem (PARK et al., 2001).
Os modelos teóricos que descrevem a taxa decrescente de secagem 
geralmente consideram como mecanismo principal a difusão baseada na 
segunda lei de Fick, segundo a qual o fluxo de massa por unidade de área é 
proporcional ao gradiente de concentração de água (PARK et al., 2001). 
O modelo empírico é um método de abordagem com base em dados 
experimentais e na análise adimensional. Os modelos de secagem apresentam 
relação direta entre o conteúdo médio de umidade e o tempo de secagem e seus 
Matemática 
16
parâmetros não têm significado físico, logo, não oferecem visão apurada das 
fases importantes que ocorrem durante o processo, ainda que descrevam as 
curvas de secagem para determinadas condições experimentais (KEEY, 1972). 
Modelagem de curvas de secagem
A proporção de umidade das amostras do alimento deve ser calculada 
usando-se a seguinte equação:
MR = M – MeMo –Me
Onde, 
M = Teor de água no produto; 
Me = Teor de água de equilíbrio do produto; 
Mo = Teor de água inicial do produto.
 
As curvas de secagem podem ser ajustadas de acordo com os modelos 
matemáticos. A seguir (tabela 1) estão os principais modelos utilizados.
Nome do modelo Modelo Referência
Newton MR = exp(–kt) Mujumdar (1987)
Page MR = exp(–ktn) Diamante & Munro (1993)
Modified page MR = exp[–(kt)n] White et al. (1978)
Henderson e Pabis MR = a exp(–kt) Zhang & Litchfeld (1991)
Logarítmico MR = a exp(–kt) + c Yagcioglu et al. (1999)
Dois termos MR = a exp(–kot) + b exp(–k1t) Henderson (1974)
Wang e Singh MR = 1 + at + bt Wang & Singh (1978)
Aproximação de 
difusão
MR = exp(–kt) + (1–a) exp(–kbt) Yaldız & Ertekin (2001)
Verma et al MR = exp(–kt) + (1–a) exp(–gt) Verma et al. (1985)
Henderson e Pabis 
modificados
MR = exp(–kt) + b exp(–gt) + c 
exp(–ht)
Karathanos (1999)
Exponencial de dois 
termos
MR = exp(–kt) + (1–a) exp(–kat) Sharaf-Eldeen, Blaisdell & 
Hamdy (1980)
Tabela 1. Modelos matemáticos de curva de secagem, modificada. (AKPINAR et al., 2003). 
Onde: MR = Razão entre as umidades (adimensional); a, b, c, g = constantes das equações; 
n= número de termos da equação; k = coeficiente de secagem; t = tempo (min).
17
Modelagem Matemática Aplicada à 
Otimização e à Análise de Processos
Isotermas de sorção
A relação entre o conteúdo de umidade total e a atividade de água em um 
intervalo de valores com temperatura constante fornece a isoterma de sorção 
quando expressada graficamente. Essa curva isotérmica pode ser obtida de 
duas formas (AL-MUHTASEB et al., 2002): 
1. Isoterma de adsorção: é obtida pela inserção de material completamente seco 
em várias atmosferas de umidade relativa maior e com o tempo verifica-se o 
aumento de peso das amostras, resultado da adsorção de água pelo material. 
2. Isoterma de dessorção: é encontrada quando o material úmido é colocado 
em atmosferas de umidade relativa menor. Com o tempo verifica-se a perda 
de peso de água das amostras. 
Alguns modelos têm sido utilizados na literatura para representar as 
curvas experimentais de sorção de alimentos; uns baseados na teoria do 
mecanismo de sorção, outros são empíricos. Dentre os modelos disponíveis 
na literatura, os apresentados a seguir podem ser utilizados para descrever o 
comportamento de isotermas de produtos vegetais.
Modelo de GAB (Guggenheim – Anderson – De Boer) (RIZVI, 2005):
X = 
KXm Caw
(1 – kaw) (1 + kaw(C – 1))
Onde, 
X = umidade de equilíbrio (kg água/kg alimento seco);
Xm = umidade da monocamada de água adsorvida 
(kg água/kg alimento seco);
aw = atividade da água (adimensional);
C = parâmetro energético que leva em consideração a 
diferença de energia entre a monocamada e as múltiplas 
camadas de água adsorvida acima da monocamada 
(adimensional);
k = parâmetro energético que leva em consideração 
a diferença de energia entre a água livre (bulk) e a que 
se encontra adsorvida nas múltiplascamadas acima da 
monocamada (adimensional).
 
Matemática 
18
Os parâmetros C e k apresentam dependência com a temperatura (T) do 
tipo Arrhenius:
C = C0 exp 
H0 – Hn
RT = C0 exp 
Q
RT 
K = K0 exp 
Hn – Hl
RT = K0 exp 
Q*
RT 
Onde,
C0 e k0 são constantes adimensionais;
H0, Hn e Hl são as entalpias molares de sorção (J/mol) para a água da 
monocamada, das múltiplas camadas acima da monocamada e livre, 
respectivamente;
R é a constante universal dos gases ideais;
Q e Q* são constantes (J/mol).
Modelo de Henderson (HENDERSON, 1952):
Xeq = 
ln (1 – aw)
– A 
1/B
 
Onde, 
A e B são constantes.
Modelo de Peleg (PELEG, 1993):
Xeq = K1a
n1
w + K2a
n2
w
Onde, 
k1, k2, n1 e n2 são constantes.
19
Modelagem Matemática Aplicada à 
Otimização e à Análise de Processos
Modelo de Oswin (CHINNAN & BEAUCHAT, 1985):
Xeq = A 
aw
1 – aw 
B
 
Onde, 
A e B são constantes.
Modelo de Halsey (RIZVI, 2005):
Xeq = 
K
ln A
aw 
 
1/B
Onde, 
K, A e B são constantes. 
A forma simplificada da equação é:
Xeq = 
– A
lnaw 
1/B
Modelo de Ferro-Fontan (FERRO-FONTAN et al, 1982):
Xeq = 
y
In Aaw 
 
1/r
Onde,
r = constante
α = constante adimensional
Y = constante 
Matemática 
20
Quanto à escolha do modelo matemático para o produto, segundo 
Mohapatra e Rao (2005), para que se adeque um modelo na descrição um 
fenômeno, valores de erro médio relativo menor que 10% indicam bom ajuste 
para fins práticos. Enquanto para Draper e Smith (1998), a capacidade de 
um modelo para descrever com fidelidade determinado processo físico é 
inversamente proporcional ao valor do erro padrão da estimativa (SE). Para 
modelos não lineares, o coeficiente de determinação (R2) não é boa ferramenta 
de tomada de decisão, sendo necessária a análise conjunta dos três parâmetros 
estatísticos.
Aplicação em alimentos
Marques (2007) estudou a secagem de pseudofrutos de caju com pré-
tratamento osmótico em xarope de glicose com 50ºBrix, nas temperaturas de 
50, 60 e 70ºC. Obteve como resultado que, dentre os modelos matemáticos 
utilizados, o modelo proposto por Cavalcanti Mata ajustou melhor os dados 
experimentais de secagem com valor médio para o coeficiente de determinação 
de 99,94%, caracterizando, então, satisfatória representação do fenômeno de 
secagem do produto. 
Peña et al. (1997) afirmam que a maior vantagem da utilização de modelos 
matemáticos na predição de isotermas de adsorção de umidade reside no fato 
de que com poucos pontos experimentais pode-se construir uma isoterma, 
a qual, por outro lado, pode ser facilmente interpolada ou extrapolada para 
obtenção de pontos nas regiões de baixas e altas atividades de água, pontos 
esses de difícil determinação experimental. Ademais disso, a aplicação dos 
princípios termodinâmicos, como o calor isostérico de adsorção, aos dados 
experimentais das isotermas, permite a obtenção de informações sobre as 
propriedades da água, microestrutura, fenômenos físicos na superfície dos 
alimentos e parâmetros cinéticos de adsorção (KAYA; KAHYAOGLU, 2005). 
Silva (2010) realizou experimentos sobre as características higroscópicas 
e termodinâmicas do coentro desidratado. Concluiu que os modelos matemáticos 
de Peleg e de Smith foram os que melhor representaram o comportamento das 
isotermas de adsorção de umidade das folhas e caule desidratados. A energia 
necessária para a adsorção de umidade pela folha do coentro desidratada é 
superior que a do caule. O caule desidratado tende a ganhar umidade mais 
rapidamente (SILVA, 2010).
A secagem em camada de espuma consiste em um processo de 
conservação através do qual o material líquido ou semilíquido é transformado 
em espuma estável por meio de batedura e incorporação de ar ou outro gás, 
que é submetida à secagem com ar aquecido até o ponto em que impeça o 
crescimento de micro-organismos, reações químicas e/ou enzimáticas. É um 
21
Modelagem Matemática Aplicada à 
Otimização e à Análise de Processos
método relativamente simples e barato, que se vale da utilização de agentes cuja 
finalidade é manter a espuma estável durante o processo. Dentre as vantagens 
desse método, destacam-se as menores temperaturas de desidratação e o 
menor tempo de secagem devido à maior área superficial exposta ao ar, o que 
aumenta a velocidade de remoção de água. Com isso obtém-se um produto 
final poroso e de fácil reidratação (KARIM; CHEEWAI, 1999). 
Brach et al. (2015) desenvolveram uma pesquisa cujo objetivo foi determinar 
as isotermas de equilíbrio para as sementes de uva das variedades Cabernet 
Sauvignon e Bordô visando à obtenção de dados que indicassem a melhor 
condição de armazenamento e processamento dessa matéria-prima. As isotermas 
de equilíbrio foram determinadas nas temperaturas de 25, 35 e 50 °C utilizando 
o método estático. Foram ajustados aos dados experimentais os modelos de 
Henderson, Henderson Modificado, Motta Lima, BET, Sabbah e Oswin, utilizando 
o software Statistica 7.1. Verificaram que os modelos que melhor se ajustaram 
aos dados experimentais obtidos para as isotermas de equilíbrio foram os de 
Henderson e Henderson Modificado, em todas as condições estudadas. 
Na secagem em camada de espuma da polpa de mandacaru, Dos 
Santos Melo (2013) realizou a experimentação e ajustes de alguns modelos 
matemáticos. A secagem foi feita em camada de espuma da polpa do fruto 
do mandacaru com a adição de 2% de albumina e 2% de Super Liga Neutra 
desidratada em estufa com circulação de ar forçada, a 70; 80, e 90 °C, com 
três diferentes espessuras de camada de espuma. A partir dos dados obtidos 
no decorrer do processo de secagem foram traçadas as curvas de secagem e 
ajustados os modelos de Page, Henderson e Pabis e Cavalcanti Mata. Houve 
influência da espessura da camada de espuma e a temperatura de secagem 
no tempo de secagem da espuma; consequentemente, o processo mais rápido 
ocorreu para a amostra de menor espessura e submetida a temperatura mais 
elevada. O modelo de Cavalcanti Mata foi o que obteve o melhor ajuste nas 
curvas de cinética de secagem da amostra (DOS SANTOS MELO, 2013).
A secagem de produtos agrícolas pode ser descrita por modelos 
matemáticos que são ferramentas úteis na estimativa do tempo necessário 
para redução do teor de água do produto sob diferentes condições de 
secagem, auxiliando nas tomadas de decisão e contribuindo para a melhoria 
da eficiência do processo (ANDRADE et al., 2003; SOUSA et al., 2011). Dentre 
esses modelos, alguns resultam em bons ajustes de cinéticas de secagem de 
produtos agrícolas variados, como o de Page, usado por Carlesso et al. (2005) 
e Alexandre et al. (2009) em secagem de sementes de maracujá e abacaxi em 
fatias, respectivamente; o de Henderson & Pabis, usado por Barbosa et al. (2007) 
em secagem de erva cidreira brasileira; Coelho e Pinto (2011) em secagem de 
tomate; o de Cavalcanti-Mata, usado por Pessoa et al. (2011) e por Marques 
et al. (2007) para ajustes de secagens de sorgo e de caju, respectivamente. 
Matemática 
22
O presente trabalho teve como objetivo avaliar a influência da espessura da 
camada da espuma e da temperatura de secagem no processo de secagem em 
camada de espuma da polpa do fruto do mandacaru. 
Semelhantemente, Alexandre et al. (2009), ao estudarem a secagem de 
abacaxi pérola em fatias nas temperaturas de 50, 60, 70 e 80 ºC, obtiveram 
para o modelo de Page R² > 0,97; já Babalis et al. (2006), ao estudarem a 
secagem de figo nas temperaturas de 55 a 85°C e velocidade de ar de 
secagem de 1 m s-1, encontraram, para o modelo de Henderson & Pabis, 
R2 > 0,99. Gouveia et al. (2011) obtiveram R2 > 0,99 ao ajustarem o modelo 
de Cavalcanti Mata à curva de secagem do feijão preto desidratado em secador 
de bandeja nas temperaturas de 40, 50, 60, 70 e 80 °C (DOS SANTOS MELO, 
2013). 
Na realização do estudo de sapoti liofilizado, Oliveira (2011) avaliou as 
características do fruto quanto ao comportamento higroscópico através de 
isotermas de adsorção. As isotermas de adsorçãoforam projetadas através 
do ajuste de dados experimentais aos modelos matemáticos de BET, GAB, 
Oswin e Henderson. Os modelos de GAB e Oswin foram aqueles que melhor 
se ajustaram para o pó de sapoti liofilizado com erro de 18,01% e 18,10% 
respectivamente, enquanto o modelo de BET apresentou elevado erro de 
41,755 para esse mesmo produto analisado. A partir desses resultados podem-
se estudar embalagens apropriadas que visem à melhor conservação para o 
produto avaliado (OLIVEIRA, 2011).
Bezerra (2011) analisou o comportamento higroscópico dos pós de manga 
das variedades Rosa e Tommy Atkins através de isotermas de adsorção. Para o 
ajuste das isotermas de adsorção, os modelos de GAB e de Oswin se ajustaram 
satisfatoriamente aos dados experimentais dos pós de manga, exceto para a 
variedade Rosa. Foi observado também que, em ambientes com atividade de 
água elevada (a partir de 0,70), os pós das variedades Rosa e Tommy Atkins 
apresentaram comportamento mais higroscópico (BEZERRA, 2011).
Baptestine (2015) propôs e ajustou modelos matemáticos no processo 
de secagem de espuma de graviola em diferentes condições de ar, além de 
determinar o coeficiente de difusão efetivo e a energia de ativação. Para a 
formação da espuma, utilizou albumina na concentração de 7,43% em massa 
e com agitação durante alguns minutos, então a espalhou sobre bandejas 
obtendo uma camada fina de cerca de 5,0 mm de espessura cujas condições 
de secagem foram: de 40, 50, 60, 70 e 80 °C, 5,6 m s-1 e 60%. O modelo 
para determinar o binômio teor de água crítico e tempo crítico e o de Midili se 
ajustaram bem aos dados experimentais da secagem e se obteve acréscimo 
no coeficiente de difusão efetiva com o aumento da temperatura de secagem e 
energia de ativação de 33,10 kJ mol-1 (BAPTESTINI, 2015).
Na Engenharia de Alimentos, quando se deseja projetar curvas de 
23
Modelagem Matemática Aplicada à 
Otimização e à Análise de Processos
isotermas de adsorção, podem se destacar os modelos de Oswin e Halsey, 
pois são amplamente utilizados. No entanto, por serem não lineares, podem 
ser questionados quanto à validade de previsão do comportamento assintótico 
ou, também, a extensão do comportamento linear. Diante disso, Oliveira (2015) 
estudou esses modelos na construção de isotermas com auxílio da simulação 
Monte Carlo em que foram gerados valores aleatórios de níveis de atividades de 
água (aw) como variável independente para os referidos modelos. O foco foi na 
obtenção dos resultados das propriedades de não linearidade, resultando-se, por 
meio da medida de curvatura intrínseca, que os modelos, quando utilizados com 
elevados valores de aw, obtiveram comportamentos similares, acarretando em 
resultados promissores quanto à complexidade de convergência. Os resultados 
da curvatura extrínseca destacaram que em todas as faixas de aw avaliadas 
os modelos necessitam de parametrização que garanta comportamento mais 
próximo ao linear.
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OTIMIZAÇÃO DE 
FORMULAÇÕES 
ALIMENTÍCIAS 
31
Camila Mariane da Silva Soares
Aynaran Oliveira de Aguiar
Romilda Ramos da Silva
Warley Gramacho da Silva
Glêndara Aparecida de Souza Martins
Técnicas de otimização 
A otimização pode ser defi nida como o aperfeiçoamento da atuação de um sistema ou do processamento de um produto de maneira que se obtenha deles todos os benefícios possíveis. Em um 
método analítico, diferentes variáveis infl uenciam na grandeza e na qualidade 
do sistema que se estuda (NOVAES et al., 2017).
Graças à grande quantidade de dados disponíveis hoje em diversas 
áreas, o desenvolvimento de métodos computacionais tem se tornado cada vez 
mais importante para que se obtenham informações relevantes desses dados 
de forma automática (COMPARINI et al., 2012). 
A otimização visa a descobrir sempre as condições mais adequadas para 
o desenvolvimento de qualquer processo. Esse trabalho é geralmente realizado 
avaliando-se a infl uência de determinado fator sobre uma variável resposta.
Quando se tem pouco conhecimento sobre determinado processo, 
ou apenas conhecimento limitado sobre a região considerada ótima para 
a execução de um projeto ou desenvolvimento de formulações do ponto 
experimental,os projetos sequenciais são úteis para se obter orientação e 
direção para futuras experimentações (ARAUJO, 1996).
Considerado uma ferramenta estatística de extrema relevância quando se 
trata da fi xação de parâmetros experimentais utilizados na pesquisa científi ca. 
Moura et al. (2017) acrescentam que realizar análises estatísticas, interpretar 
resultados obtidos, ajustar modelos, verifi cá-los e defi nir as faixas consideradas 
ótimas para a realização do processamento são outros passos importantes para 
validar a otimização de um sistema, adquirindo, dessa forma, o maior número 
OTIMIZAÇÃO DE 
FORMULAÇÕES 
ALIMENTÍCIAS
Matemática 
32
de informações no que se trata dos resultados do experimento que utilizou o 
planejamento fatorial. Para que a análise obtenha nível de confiança alto, é 
necessário que se tomem algumas precauções, entre elas realizar repetições 
dos ensaios para avaliar o erro experimental. 
Ferramentas computacionais são frequentemente utilizadas na otimização 
de métodos analíticos. Dentre as vantagens de sua utilização, temos a redução 
do número de experimentos a serem executados, a consequente diminuição do 
uso de reagentes e a redução da carga de trabalho em laboratório; além disso, 
outra vantagem relevante é o desenvolvimento de modelos matemáticos que 
avaliem do ponto de vista estatístico a relevância e significância dos fatores 
analisados em relação ao estudo e interações entre eles. Quanto maiores forem 
as interações no sistema, mais relevantes serão as diferenças encontradas 
em estratégias de otimização univariada e multivariada. Logo, quando se trata 
do processo univariado, as chances de falhas são maiores, já que o efeito de 
uma variável pode vir a depender do nível de outros fatores envolvidos naotimização. Os esquemas de otimização multivariada envolvem os níveis de 
todas as variáveis ao mesmo tempo, contactando todos os fatores envolvidos 
no processo (fatorial completo ou fracionário) para que se tenham os efeitos do 
sistema analítico (FERREIRA et al., 2007).
A otimização de procedimentos analíticos é alcançada empregando-se 
técnicas estatísticas multivariadas. Dentre as técnicas multivariadas de maior 
relevância temos a metodologia de superfície de resposta (RSM), que é uma 
compilação de técnicas matemáticas e estatísticas fundamentadas no ajuste 
de uma equação polinomial aos dados experimentais que precisam expor o 
comportamento de uma coletânea de dados. Quando um processo pode ser 
influenciado por mais de um fator, a superfície de resposta pode ser aplicada 
com êxito. O objetivo é otimizar concomitantemente os níveis dessas variáveis 
para conseguir o máximo desempenho do sistema (BEZERRA et al., 2008).
Programação Linear
A Programação Linear tem início durante a Segunda Guerra Mundial, 
quando o jovem matemático George B. Dantzig e sua equipe foram confrontadas 
com problemas complexos de natureza tática, logística e militar. A partir daí 
surgiu a ideia de desenvolver modelos matemáticos que permitissem usar dados 
reais e simulados para a obtenção de resultados hipotéticos que auxiliariam na 
tomada de decisões. Por volta de 1947 a Programação Linear começou a se 
destacar com o surgimento do SIMPLEX (SOUZA et al., 2013; ALMEIDA et al., 
2013; SCALABIN et al., 2006). 
33
Modelagem Matemática Aplicada à 
Otimização e à Análise de Processos
Com isso a Programação Linear passou a ser usada como ferramenta 
para resolução de diversos problemas, como produção, armazenamento 
de produtos, distribuição de recursos da indústria, minimização de custo e 
tempo, especificações de dietas, entre outros (SCALABI, 2006; SOUZA et al., 
2013). Existem diversos softwares que facilitam a solução de um problema de 
Programação Linear, como o LINDO, SOLVER do aplicativo MS EXCEL, LINGO 
e o VISUAL XPRESS (ALMEIDA et al., 2013; SILVA & SILVA, 2012).
A Programação Linear é uma das técnicas mais propagadas da Pesquisa 
Operacional, que consiste na relação linear entre as características dos problemas 
em busca de resultados ótimos (RODRIGUES et al., 2014). É conceituada como 
uma ciência voltada à resolução de problemas reais e que fornece ferramentas 
quantitativas ao processo de tomada de decisões (PRADO, 2007). 
O modelo matemático é composto por uma função objetivo linear e restrições 
técnicas. Goldbarg e Luna (2005) destacam que a Programação Linear reduz um 
sistema real a um conjunto de equações ou inequações a fim de otimizar uma 
função objetivo. Essa função parte de um princípio único no qual é necessária 
clareza em relação às variáveis decisórias envolvidas, podendo estar sujeitas a 
uma série de restrições, geralmente representadas por inequações (CAIXETA 
FILHO, 2004). Prado (2007) afirma que a Programação Linear é uma ferramenta 
de otimização com várias alternativas sujeitas a algum tipo de restrição ou 
regulamentação, capaz de produzir resultados expressivos em quase todas as 
áreas. Além disso, é considerada ferramenta altamente relevante por ser muito 
eficiente para se chegar a uma solução ótima.
Modelos de Programação Linear
Os modelos de Programação Linear são descritos como um tipo especial 
de modelo para a otimização. O termo otimizar representa a possibilidade de 
maximizar ou minimizar a função objetivo (GOLDBARG; LUNA, 2005). Para que 
determinados sistemas possam ser representados por meio de uma PL, Goldbarg 
e Luna (2005 p.31-32) descreveram as principais características a serem seguidas.
• Proporcionalidade: a quantidade de recursos consumidos em dada 
atividade deve ser proporcional ao nível dessa atividade na solução final do 
problema. Sendo assim, o custo de cada atividade é proporcional ao nível 
de operação da atividade. 
• Não Negatividade: deve ser sempre possível o desenvolvimento de uma 
dada atividade em qualquer nível não negativo e qualquer proporção de um 
dado recurso deve sempre ser utilizado.
• Aditividade: o custo total é a soma das parcelas associadas a cada atividade. 
Matemática 
34
• Separabilidade: pode-se identificar separadamente o custo (ou consumo 
de recursos) específico das operações de cada atividade.
Além disso, conforme Prado (2008), o modelo de Programação Linear 
pode ser descrito pela seguinte formulação algébrica:
 
Otimizar:
Max (ou min) Z = c1x1 + c2x2 + c3x3 ... + cnxn Função Objetivo 
Sujeito a: 
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1 
Restrições
a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = b2 
a31x1 + a32x2 + a33x3 + ... + a3nxn = b3 
... ... ... ... ...
am1x1 + am2x2 + am3x3 + ... + amnxn = bm 
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, ... , xn ≥ 0 
Condição de 
não-negatividade 
Onde: X: {x1, x2, x3, ..., xn 
Variáveis de 
decisão 
A: { a1, a2, a3, ... , am 
Coeficiente das 
variáveis 
B: { b1, b2, b3, ... , bm 
Termos 
independentes 
(representando os 
recursos disponíveis)
 
Essa é considerada a forma padrão para um o problema de Programação 
Linear, desse modo qualquer situação cuja formulação matemática se encaixe 
nesse modelo pode ser considerado um problema de Programação Linear 
(HILLIER & LIEBERMAN, 2013).
Existem outras formas utilizáveis quando o modelo precedente não se 
encaixa na forma natural de alguns problemas de Programação Linear. As 
demais formas legítimas descritas por Hillier e Lieberman (2013) são:
Algumas restrições funcionais com desigualdade do tipo maior do que 
ou igual a:
ai1xi + ai2x2 + . . . .+ ain + xn ≥ bi ( para alguns valores de i)
Algumas restrições funcionais na forma de equação: 
ai1xi + ai2x2 + . . . .+ ain + xn = bi ( para alguns valores de i)
35
Modelagem Matemática Aplicada à 
Otimização e à Análise de Processos
Eliminar as restrições não negativas para algumas das variáveis de 
decisão:
xj irrestrita em sinal (para alguns valores de j)
Portanto qualquer problema que combine alguma dessas formas com 
as partes remanescentes do modelo anterior ainda será um problema de 
Programação Linear. Logo, as definições breves de um problema linear são 
que cada componente de seu modelo se ajuste a uma das formas citadas 
anteriormente.
Existem ainda algumas terminologias para soluções de modelos. O 
termo solução comumente está ligado à resposta final de um problema, no 
entanto, para a convenção em Programação Linear é bem diferente. Desse 
modo qualquer especificação de valores para variável de decisão é chamada 
de solução, sendo ela desejável ou mesmo uma opção admissível. Os adjetivos 
apropriados para diferentes tipos de soluções foram descritos por Hillier e 
Lieberman (2013): Solução Viável: aquela em que todas as restrições são 
satisfatórias; Solução Inviável: aquela em que pelo menos uma das restrições 
é violada. Existe a possibilidade de nenhuma solução ser viável ou que não 
haja nenhuma solução ótima.
Na sequência, um exemplo de problema resolvido com a Programação 
Linear (GOLDBARG E LUNA, 2005).
Uma cooperativa agrícola opera em três fazendas que possuem 
produtividade aproximadamente igual entre si. A produção total por fazenda 
depende fundamentalmente da área disponível para o plantio e da água para 
irrigação. A cooperativa procura diversificar sua produção plantando este ano 
três tipos de cultura em cada fazenda: milho, arroz e feijão. Cada tipo de 
cultura demanda por certa quantidade de água. Para reduzir o conflito no 
uso das colheitadeiras alugadas pela cooperativa, estabeleceram-se limites 
de área de produção em cada tipo de cultura. Para evitar a concorrência 
entre os cooperados, acordou-se que a proporção de área cultivada fosse a 
mesma para cada uma das fazendas. Pede-se a elaboração de um programa 
de produção que defina a área de cada cutura que será plantada em cada 
fazenda de modo a otimizar o lucro total da produção da cooperativa.
Tabela 1: Água disponível e área decultivo por fazenda
Fazenda Área total para cultivo (Acres) Água disponível (Litros)
1 400 1.800
2 650 2.200
3 350 950
Matemática 
36
Tabela 2: Consumo de água, área de cultivo e lucro por cultura
Cultura Área Máxima de Cultivo (Acres)
Consumo de Água 
(Litros por Acres) Lucro (R$/ Acres)
Milho 660 5,5 5.000
Arroz 880 4 4.000
Feijão 400 3,5 1.800
Solução:
1. Escolha a variável de decisão (Já está imposta no próprio enunciado)
xij ≡ quantidade de unidade de acres que, na fazenda i ( i = 1, 2 e 3 ), serão 
destinadas à cultura j (j = M-milho, A-arroz e F-feijão).
2. Elaboração da função objetivo
Z = Maximizar { f (x) = 5.000 ( x1M + x2M + x3M) + 4.000 ( x1A + x2A + x3A) + 1.800 ( 
x1F + x2F + x3F)} – soma dos custos em cada cultura em cada fazenda.
3. Formulação das restrições associadas à área de cultivo:
 • Fazenda 1: 
X1M + X1A + X1F ≤ 400
 • Fazenda 2:
X2M + X2A + X2F ≤ 650
 • Fazenda 3:
X3M + X3A + X3F ≤ 350
 a) Restrições associadas ao consumo de água:
 • Fazenda 1: 
5,51M + 41A + 3,51F ≤ 1.800
 • Fazenda 2:
5,52M + 42A + 3,52F ≤ 2.200
 • Fazenda 3:
5,53M + 43A + 3,53F ≤ 950
 b) Restrições associadas ao plantio por cultura:
 • Milho: 
X1M + X1A + X1F ≤ 660
37
Modelagem Matemática Aplicada à 
Otimização e à Análise de Processos
 • Arroz:
X2M + X2A + X2F ≤ 880
 • Feijão:
X3M + X3A + X3F ≤ 400
 c) Restrições associadas à proporção da área cultivada:
x1M + x1A + x1F
400 = 
x2M + x2A + x2FF
650
 = 
x3M + x3A + x3FF
350
4. Restrições de não negatividade
 x1M ≥ 0, x1A ≥ 0, x1F ≥ 0, x2M ≥ 0, x2A ≥ 0, x2F ≥ 0, x3M ≥ 0, x3A ≥ 0, x3F ≥ 0
Método Simplex
O algoritmo SIMPLEX tem obtido destaque por contribuir expressivamente 
para a programação matemática deste século. Trata-se de um algoritmo real, 
extremamente eficiente em soluções de sistemas lineares e de fácil ajuste a 
cálculos computacionais (GOLDBARG; LUNA, 2005). É um método interativo 
de fácil entendimento que percorre pontos externos do conjunto de soluções 
lógicas do problema, formado por um grupo de critérios para escolha de 
soluções básicas que melhorem o valor da função objetivo e também de um 
teste de otimalidade (GUTIN, 2005; BAZARAA et al., 2011).
Segundo Larrosa et al. (2011), Programação Linear é uma técnica que 
se mostra versátil, sendo utilizada na solução de problemas como formulação 
de dieta alimentar, programação da produção, otimização de recursos, entre 
outros. Na Tabela 3, estão expostos alguns exemplos do uso a Programação 
Linear como ferramenta de otimização de processos da indústria alimentícia. 
Tabela 3: Programação Linear aplicada à indústria de alimentos
Título Alimento estudado Referência
Simulation of the multicomponent 
diffusion during the osmotic 
dehydration of apple: 
determination of the diffusion 
coefficients by the simplex method
Maçã BORSATO et al., 2010
Matemática 
38
Título Alimento estudado Referência
Modelagem matemática para 
otimização da produção e renda 
de melão e melancia em função 
de lâminas de água e doses de 
nitrogênio
Melão e 
melancia DELGADO et al., 2010
Otimização no planejamento 
agregado de produção em 
indústrias de processamento de 
suco concentrado congelado de 
laranja
Suco de laranja MUNHOZ & NETO, 2011
Programação linear para 
formulação de pasta de vegetais e 
operação de secagem em leito de 
jorro
Pasta de 
vegetais LARROSA et al., 2011
Escolha de cultivares de soja com 
base na composição química 
dos grãos como perspectiva para 
maximização dos lucros nas 
indústrias processadoras
Soja
SBARDELOTTO e 
VILLAR LEANDRO, 
2008
Problema de Programação Linear 
de dieta aplicado à nutrição de 
suínos
Suínos SANTOS, 2016
Otimização de recursos para 
maximizar os lucros em uma 
fábrica de cerveja: utilização 
da pesquisa operacional para o 
encontro de valores ótimos de 
produção
Cerveja AMORIM, 2016
Análise do mix de produção para 
maximização da lucratividade em 
produção conjunta: um caso na 
indústria de lácteos
Produtos 
lácteos
DAL MAGRO et al, 
2016
Superfície de resposta
A metodologia de análise de superfície de resposta foi desenvolvida 
por Box nos anos 1950. Consiste em um grupo de técnicas matemáticas e 
estatísticas utilizadas no desenvolvimento, na implementação e na otimização 
de vários processos nos quais a superfície é influenciada por várias variáveis 
39
Modelagem Matemática Aplicada à 
Otimização e à Análise de Processos
(SUMIC et al, 2016). Baseia-se no ajuste de modelos empíricos aos dados 
experimentais obtidos em relação ao delineamento experimental no qual o 
objetivo é otimizar simultaneamente os níveis dessas variáveis a fim de se obter 
o melhor desempenho do sistema (BEZERRA et al, 2008).
De maneira geral, essa relação pode ser aproximada em um modelo 
polinomial de baixo grau do tipo:
Eq. 1 → y = f’(x)β + ϵ
Onde X = (X1, X2, ..., Xk)’, f(x) é um vetor função de p elementos que consiste 
nas potências e nos produtos cruzados das potências de x1, x2, ..., xk até 
certo ponto denotado por d (≥1), β é o vetor de p coeficientes constantes 
desconhecidas referidas como parâmetros, e ϵ é o erro experimental (KHURI; 
MUKHOPADHYAY, 2010). 
Existem dois importantes modelos comumente utilizados na análise de 
superfície de resposta: primeira (d = 1) e segunda (d = 2) ordem. O modelo de 
primeira ordem pode ser descrito conforme a seguir:
Eq. 2 → y = β0 + ∑ki=1 βi xi+ ∈
Esse modelo é apropriado quando o experimentador está interessado em 
aproximar a superfície de resposta verdadeira quando a região é muito pequena 
e há pouca curvatura em f (CARLEY et al, 2004; KHURI; MUKHOPADHYAY, 
2010).
O modelo de equação de segunda ordem (d = 2) é tipicamente descrito 
na forma da Eq. 3:
Eq. 3 → y = β0+ ∑ki=1 βixi + ∑
k-1
i=1 ∑
k
j=i+1 βjixixj + ∑ki=1 βii x i2 + ∈
Onde X1, X2, ..., Xk são os valores codificados dos fatores de entrada, os 
quais influenciam a resposta y. β0, βi, βii, e βij são parâmetros desconhecidos 
determinados pela regressão de quadrados mínimos. Os níveis das variáveis 
independentes Xi são codificados como xi conforme a seguinte equação:
Eq. 4 → Xi = 
X1 – X0
DX1 
, i = 1, 2, ... k
Onde X0 é o valor da variável independente no ponto central do intervalo (KASIRI 
et al, 2015). 
Matemática 
40
O desempenho de um produto ou serviço é geralmente caracterizado 
por muitas variáveis de resposta. Em muitas situações essas características 
são controladas por um conjunto de fatores independentes (JOHN, 2013). 
A metodologia de superfície de resposta consiste em um grupo de técnicas 
utilizadas no estudo empírico da relação entre a resposta e diversas variáveis 
de entrada. Quando o procedimento envolve mais de uma resposta, não é 
possível otimizar cada uma separadamente, gerando um confl ito denominado 
de problema da superfície de múltiplas respostas (JEONG; KIM, 2009; HE 
et al, 2012). A Figura 1 exemplifi ca o uso da superfície de resposta para 
otimização do processamento de alimentos utilizando o Statistica 7.0:
Eq. 5 → Proteína = 18,68 + 0,044X1 + 0,009X2
Eq. 6 → Lipídeo = 1,944 + 0,605X1 + 0,021 X2
Onde, X1 = Temperatura e X2= Tempo de secagem.
a)
41
Modelagem Matemática Aplicada à 
Otimização e à Análise de Processos
b)
,
Figura 1: Superfície de resposta representando a variação de proteína (a) e lipídeos (b) em 
função de tempo e temperatura para otimização do processamento da castanha de caju 
torrada (SILVA et al 2015).
A superfície de resposta abrange alguns métodos para descobrir as 
melhores condições de funcionamento utilizando experimentos científi cos. Para 
o desenvolvimento de uma pesquisa, geralmente são necessárias diversas 
experiências para se chegar ao resultado de um experimento. A superfície de 
resposta pode ser utilizada como um conjunto de fatores e condições diferentes 
para coletar mais dados na região experimental. Níveis e valores variados das 
condições de operação de uma pesquisa, como as variáveis que infl uenciam no 
processo direta e indiretamente, podem ser usados para alcançar uma resposta 
ótima(LENTH et al., 2009).
Para Bezerra et al. (2008), alguns termos da superfi cie de resposta devem 
ser ressaltados para melhor entendimento da técnica. Domínio experimental é 
o campo experimental que deve ser investigado; é defi nido pelos limites mínimo 
e máximo das variáveis experimentais estudadas. O design experimental é 
um conjunto específi co de experimentos defi nidos por uma matriz composta 
por vários níveis. Variáveis independentes são variáveis experimentais que 
podem ser modifi cadas independentemente umas das outras. Os níveis de 
uma variável são valores diferentes de uma variável em que os experimentos 
podem ser realizados. Residual é a diferença entre o conjunto determinável 
de condições. Um bom modelo matemático adaptado a dados experimentais 
apresenta baixos valores residuais.
Para Barros Neto et al. (2003) e Risso et al. (2006), a modelagem ajusta-
se aos modelos matemáticos, lineares ou quadráticos, buscando o caminho 
Matemática 
42
de máxima inclinação de um determinado modelo, sendo o caminho pelo qual 
a resposta chegue de maneira mais expressiva. Desse modo a superfície de 
resposta se aproxima a um modelo empírico relacionado entre os fatores e 
a resposta do processo, por ser fundamental na teoria estatística, a fim de 
minimizar o empirismo que envolve técnicas de tentativa e erro (BOX et al., 
1978; SARAMAGO et al., 2008). Essa técnica de otimização vem sendo bastante 
utilizada pela indústria alimentícia por possibilitar a obtenção de resultados 
bastante expressivos.
Tabela 4: Superfície de resposta aplicada à indústria de alimentos
Título Alimento estudado Referência
Laminados biodegradáveis de 
blendas de amido de mandioca 
e poli (vinil álcool): efeito da 
formulação sobre a cor e 
opacidade
Amido de 
mandioca ZANELA et al., 2015
Avaliação do planejamento 
experimental no processo de 
secagem do inhame (Discorea 
spp.)
Inhame (Discorea 
spp.) MOURA et al., 2017
Aplicação da metodologia 
de superfície de resposta 
na otimização da mistura de 
antioxidantes com efeito sobre 
a estabilidade lipídica do ovo 
atomizado
Ovo CARVALHO et al., 2017
Avaliação do pré-tratamento 
osmótico com cloreto de sódio 
e diferentes tempos sobre a 
secagem da abóbora cabotiá
Abóbora cabotiá MAI et al., 2015
Otimização via metodologia 
de superfície de resposta dos 
parâmetros tecnológicos para 
produção de fruta estruturada 
e desidratada a partir de polpa 
concentrada de mamão
Mamão GRIZOTTO et al., 2005
43
Modelagem Matemática Aplicada à 
Otimização e à Análise de Processos
Vantagens e desvantagens do método
Apesar de ser crescente a popularização sobre os benefícios do uso de 
ferramentas estatísticas, é necessário ressaltar que os cientistas têm algumas 
dificuldades no uso dessas ferramentas; isso por algumas razões técnicas, 
como a escassez de explicação de como os dados devem ser utilizados nos 
programas e até mesmo pela dificuldade em entender os livros estatísticos, que 
apresentam linguagem técnica complexa. Outra desvantagem é o custo que 
essas ferramentas podem ter. Devido ao custo envolvido em pacotes estatísticos 
comerciais, existe atualmente uma crescente demanda por softwares gratuitos. 
Esses programas incluem domínio público e podem ser usados para análise 
estatística e / ou matemática. As vantagens da utilização de ferramentas 
estatísticas, incluindo a superficie de resposta na pesquisa de alimentos, são 
enormes. A superficie gera gráficos com alta definição em segundos; simulações 
de resultados também podem ser realizadas em curto período de tempo; vários 
conhecimentos de matemática e estatística, algoritmos complexos e equações 
também são criados em segundos (NUNES et al., 2015).
Segundo Hu et al. (2008), a superfície de resposta derivada de funções 
de segunda ordem é hábil pelo fato de resolver grande parte dos problemas 
usando esforço computacional mínimo, é ágil e de fácil acesso. Além disso, é 
crucial na comparação dos coeficientes dos parâmetros e na eliminação das 
variáveis não importantes.
Para Araújo et al. (2014), a utilização da superfície de resposta em 
pesquisas que possuem quantidade significativa de fatores que podem influenciar 
o processo é importante, já que possibilita o planejamento e a execução da 
pesquisa de forma mais organizada, reduzindo a quantidade de experimentos 
que seriam feitos, economizando tempo, reduzindo a carga de trabalho, além 
de economizar recursos financeiros.
Lenth et al. (2009) ressaltam que a ferramenta possui a desvantagem 
de algumas complicações que compreendem o uso comum (e a importância) 
de variáveis preditoras codificadas; a avaliação do ajuste; as dessemelhantes 
análises de acompanhamento empregadas com base no que o modelo é 
ajustado; e os efeitos da visualização. Os autores também dizem que os métodos 
de superfície de resposta abrangem determinados problemas característicos 
de projeto experimental derivados da experimentação iterativa e da precisão de 
projetos relativamente esparsos. 
Novaes et al. (2017) afirmam que a metodologia de superfícies de 
respostas (MSR) vem sendo muito aplicada devido a sua alta eficiência, poder 
de modelagem e capacidade de exploração dos sistemas estudados. 
Orlandini et al. (2014) descrevem a superfície de resposta como muito 
utilizada para quantificar e interpretar as relações entre as respostas e os efeitos 
Matemática 
44
dos fatores. Os autores dizem que, para otimizar um método, a abordagem 
simples é a triagem, que elege a partir de um número de fatores potenciais os 
mais significativos, com número limitado de experimentos. Já na metodologia 
de superfície de resposta, o número de experimentos aumenta; porém, nesse 
caso, também é possível obter um modelo de regressão descrevendo de forma 
temporária a variação da resposta no domínio experimental.
Desejabilidade
A performance de um produto ou serviço é geralmente caracterizada 
por muitas variáveis de resposta. Em muitas situações, essas características 
são controladas por um conjunto de fatores independentes (JOHN, 2013). 
A metodologia de superfície de resposta consiste em um grupo de técnicas 
utilizadas no estudo empírico da relação entre a resposta e diversas variáveis 
de entrada. Quando o procedimento envolve mais de uma resposta, não é 
possível otimizar cada uma separadamente, gerando um conflito denominado 
de problema da superfície de múltiplas respostas (JEONG et al, 2009; HE et al, 
2012).
Dentre os métodos que podem ser utilizados para solucionar o problema, 
temos a abordagem por função de desejabilidade. O problema da múltipla 
resposta possui três estágios: coleta de dados, construção do modelo e 
otimização. O objetivo geral desses métodos, segundo He et al. (2012), é 
converter o problema de otimização de múltipla resposta em uma única função 
de objetivo agregada e construir um algoritmo eficiente para encontrar a solução 
ideal, ou seja, permite que o analista encontre as condições experimentais para 
alcançar simultaneamente o valor ótimo para todas as variáveis avaliadas.
A função de desejabilidade foi inicialmente apresentada por Derringer 
e Suich (1980) e Derringer (1994). Considerado um método bastante popular 
devido a sua simplicidade e flexibilidade, baseia-se na ideia de que a qualidade 
de produtos ou processos que possuam muitas características é inaceitável 
se um deles estiver fora do limite desejável (CANDIOTI et al, 2014). Consiste 
em transformar cada resposta yi em uma função de desejabilidade di que varia 
ao longo de um intervalo [0,1]. Assim, se a resposta yi for seu objetivo, então 
di = 1, para uma resposta desejável; e se a resposta for outra e estiver fora da 
região aceitável, então di = 0, para uma resposta indesejável. Dessa forma, a 
função de desejabilidade geral ou composta D pode ser definida como a média 
geométrica ponderada de todo indivíduo di, ou seja,
Eq. 7 → D (d1 (y1), d2 (y2), ... , dl (yl) = (∏li=1 di (yi)wi)1/∑wi
45
Modelagem Matemática Aplicada à 
Otimização e à Análise de Processosonde l é o número de respostas (HE, et al, 2012). Diferentes funções podem 
ser construídas, dependendo dos critérios de otimização adotados, dentro de 
uma faixa aceitável de valores de resposta dada por (Ui-Li), onde Ui é o valor 
aceitável superior para a resposta e Li é o menor (CANDIOTI et al, 2014). 
Apesar da popularidade da função de desejabilidade, existem outras 
abordagens utilizadas para otimizar múltiplas respostas, como os métodos 
baseados na programação de compromisso, programação de metas, inspeção 
de gráficos de contorno, programação física, probabilidade, índice de 
desempenho, redes neurais e otimização vetorial. Entretanto, devido à falta de 
disponibilidade e complexidade, alguns métodos são pouco utilizados (COSTA 
et al, 2011). 
Métodos baseados na desejabilidade são de fácil incorporação de 
parâmetros de pesos ou prioridades das respostas, entre eles o mais popular 
é o de Derringer e Suich. Por outro lado, a desvantagem do método encontra-
se em especificar quatro tipos de parâmetros que podem influenciar nas 
condições das variáveis (COSTA et al, 2011). 
Derringer e Suich propuseram funções de desejabilidade baseadas em 
três tipos de respostas. 
1. Nominal-the-best (NTB), no qual espera-se que a resposta atinja um valor 
determinado t. Para tal, a função é definida como:
Eq. 8 → 
y – L
T – L
S
, L ≤ y ≤ T
 
y – U
T – U
t 
, L ≤ y ≤ T
 0, outra forma
d = 
Onde, s e t são parâmetros de forma, especificados pelo analista (s, t > 0). No 
caso da resposta NTB, d = 1 quando y = T, e d = 0 quando y < L ou y > U, no 
qual U é o limite superior e L é o limite inferior. 
2. Larger-the-best (LTB), o valor da resposta deve ser maior que o limite inferior, 
ou seja, y > L. A função pode ser definida por:
Eq. 9 → d = 
y – L
U – L
r
, L ≤ y ≤ U
Onde r é um parâmetro definido pelo analista (r > 0). 
Matemática 
46
3. Small-the-best (STB), o valor da resposta deve ser inferior ao limite superior, 
logo, y < U. A função pode ser descrita por: 
Eq. 10 → d = 
y – U
L – U
r
, L ≤ y ≤ U
(KIM & LIN, 2000; COSTA et al, 2011).
A função desejabilidade foi utilizada por Barros et. al. (2013) durante o 
processo de otimização de um método de extração assistida por ultrassom 
para determinação de cobre, manganês, zinco e níquel por espectrofotometria 
de absorção com chamas em amostras de ração para nutrição de frangos. 
As variáveis otimizadas foram: massa da amostra, tempo de sonicação e 
concentração final da mistura extratora. As funções de desejabilidade individuais 
utilizadas tiveram como objetivo maximizar as respostas, como descrito na 
equação a seguir.
Eq. 11 → DG = 0,756(±0,05) – 0,003 (±0,03) (AC) – 0,148 (±0,06) (AC)2 
– 0,261 (±0,03) (SM) – 0,518 (±0,06) (SM)2 + 0,142 (±0,03) (ST) 
– 0,481(±0,07) (ST)2 – 0,132 (±0,07) (AC) (SM) – 0,041(±0,05) 
(AC)(ST) – 0,016 (±0,05) (SM)(ST)
Nessa equação, os valores em negrito são significativos em nível de 
confiança de 95%. 
A seguir, a Figura 2 representa o uso da função desejabilidade.
Figura 2: Perfis para os valores preditos das desejabilidades individuais e global na otimização 
do método para extração de metais usando-se energia de ultrassom (BARROS et al., 2013
47
Modelagem Matemática Aplicada à 
Otimização e à Análise de Processos
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para maximizar os lucros em uma fábrica de cerveja: utilização da pesquisa 
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