Aula 5 - Concreto I (Estacio)

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Profª.: Rejane Azevedo de Almeida Fonseca
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INTRODUÇÃO ÀS 
ESTRUTURAS DE 
CONCRETO
CCE1528
Prescrições para as vigas
Detalhamento Transversal
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A escolha do diâmetro ou dos diâmetros e do número de barras 
para atender à área de armadura calculada admite diversas 
possibilidades. Um ou mais diâmetros podem ser escolhidos, 
preferencialmente diâmetros próximos entre si. A área de aço 
escolhida deve atender à área de armadura calculada, 
preferencialmente com uma pequena folga. Alguns autores 
admitem uma área até 5% inferior à calculada. 
O número de barras deve ser aquele que não resulte numa 
fissuração significativa na viga e nem em dificuldades adicionais 
durante a confecção da armadura. A fissuração é diminuída 
quanto mais barras de menor diâmetro são utilizadas. Porém, 
deve-se cuidar para não ocorrer exageros e aumentar o trabalho 
de montagem da armadura. 
Prescrições para as vigas
Detalhamento Transversal
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A escolha de uma das combinações possíveis deve levar em 
conta os fatores: fissuração, facilidade de execução, porte da 
obra, número de camadas de barras, exequibilidade (largura da 
viga principalmente), entre outros. 
Detalhamentos com uma única camada resultam seções mais 
resistentes que seções com duas ou mais camadas de barras, pois 
quanto mais próximo estiver o centro de gravidade da armadura 
à borda tracionada, maior será a resistência da seção. Define-se 
como camada as barras que estão numa mesma linha paralela à 
linha de borda inferior ou superior da seção. O menor número 
possível de camadas deve ser um dos objetivos do 
detalhamento. 
Prescrições para as vigas
Detalhamento Transversal
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Construções de pequeno porte devem ter especificados 
diâmetros preferencialmente até 12,5 mm, pois a maioria delas 
não têm máquinas elétricas de corte de barras, onde são cortadas 
com serras ou guilhotinas manuais, com capacidade de corte de 
barras até 12,5 mm. Guilhotinas maiores são praticamente 
inexistentes nas obras de pequeno porte. Além disso, as 
armaduras são feitas por pedreiros e ajudantes e não armadores 
profissionais. Não há também bancadas de trabalho adequadas 
para o dobramento das barras. De modo que recomendamos 
diâmetros de até 12,5 mm para as obras de pequeno porte, e 
acima de 12,5 mm apenas para as obras de maior porte, com 
trabalho de armadores profissionais.
Prescrições para as vigas
Detalhamento Transversal
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Depois que detalhamos a armadura, podemos encontrar o valor 
exato da altura útil.
Pequenas diferenças, de até 1 cm ou 2 cm podem, de modo 
geral, serem desconsideradas em vigas de dimensões correntes, 
não havendo a necessidade de se recalcular a armadura, pois a 
diferença de armadura geralmente é pequena. 
Embora a norma indique a armadura de pele para vigas com h > 
60 cm, recomenda-se a sua aplicação quando h ≥ 50 cm, para 
evitar o aparecimento de fissuras por retração, com área igual:
Prescrições para as vigas
Detalhamento Transversal
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Quando o momento fletor é negativo, a armadura deve 
obrigatoriamente ser disposta próxima à face superior 
tracionada da seção. Seria um erro gravíssimo fazer o contrário, 
com a armadura As no lado inferior da viga. 
Na distribuição das barras da armadura longitudinal negativa 
nas seções transversais das vigas é importante deixar espaço 
suficiente entre as barras para a passagem da agulha do 
vibrador. Deve-se ter em mente qual o diâmetro da agulha do 
vibrador que será utilizado. Os diâmetros de agulha mais 
comuns utilizados na prática são de 25, 35 e 49 mm. De 
preferência o espaçamento entre as barras deve ser um pouco 
superior ao diâmetro da agulha, para permitir a penetração da 
agulha com facilidade, sem que se tenha que forçar a sua 
passagem. 
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Detalhamento ao longo da viga
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Uma vez detalhada a armadura longitudinal nas seções 
transversais mais solicitadas de uma viga de concreto armado e 
conhecido o diagrama de momentos fletores, é possível obter o 
desenvolvimento da armadura ao longo de toda a viga. 
O objetivo final do detalhamento é usar as barras de aço com o 
menor comprimento possível, não deixando de atender todas as 
condições de segurança do ELU. 
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Detalhamento ao longo da viga
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Ao definir os pontos de interrupção das barras, em função da 
distribuição dos momentos fletores solicitantes de cálculo, há 
necessidade de transferir para o concreto as tensões a que elas 
estão submetidas; para isso, as barras devem ser providas de um 
comprimento adicional. Essa transferência é denominada 
ancoragem, e o comprimento adicional é chamado comprimento 
de ancoragem básico (𝑙𝑏). 
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Detalhamento ao longo da viga
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Emenda por traspasse
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Detalhamento ao longo da viga
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Dimensionamento de elementos lineares à 
Força cortante
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No dimensionamento de uma viga de Concreto Armado, 
geralmente o primeiro cálculo feito é o de determinação das 
armaduras longitudinais para os momentos fletores máximos, 
seguido pelo cálculo da armadura transversal para resistência às 
forças cortantes.
Diferentes teorias e modelos foram desenvolvidos para análise 
de vigas de concreto sob força cortante, sendo que o modelo de 
treliça, embora desenvolvido há mais de cem anos, é o que ainda 
se destaca,devido à sua simplicidade e bons resultados. A norma 
brasileira NBR 6118/2014 admite dois modelos para cálculo da 
armadura transversal, denominados Modelo de Cálculo I e 
Modelo de Cálculo II. A treliça clássica de Ritter-Mörsch é 
adotada no Modelo de Cálculo I, e o Modelo de Cálculo II 
admite a chamada “treliça generalizada”. 
Tensões Principais
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Considere uma viga biapoiada sujeita a duas cargas 
concentradas de valor P, simetricamente dispostas no vão à uma 
distância a dos apoios. 
Tensões Principais
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No trecho entre as cargas o único esforço solicitante é o 
momento fletor, enquanto nos trechos de comprimento a, atuam 
o momento fletor e o esforço cortante. 
A tensão normal 𝜎𝑥 é obtida em 
função do momento fletor, da 
forma usual. A componente 𝜎𝑦 é 
desprezada. Logo, 𝜎𝑥 é a própria 
tensão principal na direção do 
eixo da viga. 
Tensões Principais
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• Trecho do apoio até a carga 
Nestes trechos onde há esforços cortante, surgem tensões de 
cisalhamento 𝜏𝑥𝑦 = 𝜏𝑦𝑥. As componentes das tensões 𝜎𝑥 e 𝜏𝑥𝑦 são 
obtidas pelas fórmulas clássicas de Resistência dos Materiais. 
As tensões principais 𝜎1 e 𝜎2 agora 
estão inclinadas em relação ao eixo 
da viga, sendo este ângulo de 
inclinação θ. 
• θ > 45° : acima da Linha Neutra; 
• θ = 45° : na Linha Neutra; 
• θ < 45° : abaixo da Linha Neutra. 
Tensões Principais
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Indicam-se as trajetórias das tensões principais e as orientações 
das fissuras ao longo do eixo da viga. 
Tensões Principais
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Pode-se dizer que as fissuras são perpendiculares à direção das 
tensões principais de tração 𝜎1. Assim,no trecho entre as cargas, as 
fissuras são verticais, pois não há esforço cortante neste trecho. 
Entre as cargas e os apoios, as fissuras são inclinadas devido ao 
esforço cortante. 
À medida que o concreto fissura as trajetórias de tensões mudam. 
No entanto, a compreensão das trajetórias é importante para 
prevermos as direções em que devem ser dispostas as armaduras, a 
fim de “costurar” as forças de tração. 
As tensões principais de tração inclinadas na alma exigem uma 
armadura denominada armadura transversal, composta 
normalmente na forma de estribos verticais fechados. Note que, na 
região de maior intensidade das forças cortantes, a inclinação mais 
favorável para os estribos seria de aproximadamente 45°, ou seja, 
paralelos às trajetórias das tensões de tração e perpendiculares às 
fissuras. Por razões de ordem prática os estribos são normalmente 
posicionados na direção vertical.
TRELIÇA CLÁSSICA DE RITTER-MÖRSCH 
(θ = 45°) 
27
O comportamento da região da viga sob maior influência de forças 
cortantes e com fissuras inclinadas no Estádio II, pode ser muito 
bem descrito fazendo-se a analogia com uma treliça isostática.
Neste modelo é suposto que uma carga aplicada num ponto 
qualquer de uma viga de concreto armado, chegue até os apoios 
percorrendo o caminho de uma treliça.
Cada barra da treliça representa uma parte de uma viga simples: o 
banzo inferior é a armadura longitudinal de tração, o banzo 
superior é o concreto comprimido pela flexão, as diagonais 
inclinadas de 45° representam o concreto comprimido (bielas de 
compressão) entre as fissuras de cisalhamento, e as diagonais 
tracionadas inclinadas os estribos (montantes verticais no caso de 
estribos verticais).
TRELIÇA CLÁSSICA DE RITTER-MÖRSCH 
(θ = 45°) 
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TRELIÇA CLÁSSICA DE RITTER-MÖRSCH 
(θ = 45°) 
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Quando os montantes (diagonais tracionadas – estribos) forem 
constituídas por estribos verticais:
TRELIÇA CLÁSSICA DE RITTER-MÖRSCH 
(θ = 45°) 
30
O fato de existir esforço cortante praticamente não altera o 
dimensionamento da flexão. Assim, o dimensionamento 
dos banzos comprimidos e tracionados não precisa ser 
refeito. 
Resta analisar os esforços que surgem nas bielas (diagonais 
comprimidas) e nos montantes (diagonais tracionadas).
TRELIÇA CLÁSSICA DE RITTER-MÖRSCH 
(θ = 45°) 
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•Verificação da diagonal comprimida
Tomando uma seção da treliça passando pela diagonal: 
TRELIÇA CLÁSSICA DE RITTER-MÖRSCH 
(θ = 45°) 
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•Verificação da diagonal comprimida
TRELIÇA CLÁSSICA DE RITTER-MÖRSCH 
(θ = 45°) 
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•Verificação da diagonal comprimida
TRELIÇA CLÁSSICA DE RITTER-MÖRSCH 
(θ = 45°) 
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•Determinação da armadura transversal
TRELIÇA CLÁSSICA DE RITTER-MÖRSCH 
(θ = 45°) 
35
•Determinação da armadura transversal
TRELIÇA CLÁSSICA DE RITTER-MÖRSCH 
(θ = 45°) 
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•Determinação da armadura transversal
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Resistência total do tirante
TRELIÇA GENERALIZADA (θ VARIÁVEL) 
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Com base nos resultados de numerosas pesquisas experimentais 
verificou-se no século passado que a inclinação das fissuras é 
geralmente inferior a 45°, e consequentemente as bielas de 
compressão têm inclinações menores que 45°, podendo chegar a 
ângulos de 30° ou até menores com a horizontal, em função 
principalmente da quantidade de armadura transversal e da 
relação entre as larguras da alma e da mesa (em seções T e I por 
exemplo). Além disso, a treliça não considera a ação de arco nas 
proximidades dos apoios. Por não fazer essas considerações a 
treliça clássica de Ritter-Mörsch foi considerada conservadora, e 
resulta em uma armadura transversal um pouco exagerada. 
TRELIÇA GENERALIZADA (θ VARIÁVEL) 
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Para levar em conta a menor inclinação das fissuras surgiu, na 
década de 60, a chamada “treliça generalizada”, com ângulos θ 
menores que 45° para a inclinação das diagonais comprimidas.
A determinação correta do ângulo θ para uma viga é muito 
complexa, porque depende de inúmeros fatores. 
A dedução das forças na treliça generalizada é semelhante àquela já 
apresentada para a treliça clássica.
No modelo de treliça generalizada o ângulo θ é uma incógnita no 
problema.
Modelo de Cálculo I 
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No Modelo de Cálculo I a NBR 6118 (item 17.4.2.2) adota a 
treliça clássica de Ritter-Mörsch, ao admitir o ângulo θ de 
45° entre as diagonais comprimidas de concreto (bielas de 
compressão) e o eixo longitudinal do elemento estrutural, e 
a parcela complementar Vc tem valor constante, 
independentemente da força cortante solicitante VSd.
•Verificação da diagonal comprimida 
A equação que define a tensão de compressão nas bielas de 
concreto para a treliça clássica (θ = 45°) foi deduzida 
anteriormente.
Portanto, para não ocorrer o esmagamento das diagonais 
comprimidas deve-se ter: Vsd ≤ VRd2
Modelo de Cálculo I 
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• Cálculo da armadura transversal
Da equação VSd ≤ VRd3, fazendo a força cortante de cálculo 
(VSd) igual à máxima força cortante resistente de cálculo, 
relativa à ruptura da diagonal tracionada (armadura 
transversal), tem-se: 
A parcela Vc referente à parte da força cortante absorvida 
pelos mecanismos complementares ao de treliça é 
definida como: 
Modelo de Cálculo I 
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• Cálculo da armadura transversal
A força Vc0 representa a resistência à força cortante de uma 
viga sem estribos, ou seja, é a máxima força cortante que uma 
viga sem estribos pode resistir. 
Modelo de Cálculo I 
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• Cálculo da armadura transversal
Modelo de Cálculo I 
44
• Cálculo da armadura transversal
Utilizando a equação que foi deduzida para a treliça clássica:
Adotando o θ = 45° e simplificando:
Modelo de Cálculo I 
45
• Cálculo da armadura transversal
Colocando a equação em função da armadura:
Modelo de Cálculo I (θ = 45°) 
46
• Resumo
Modelo de Cálculo II 
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No Modelo de Cálculo II a NBR 6118 (item 17.4.2.3) admite 
que o ângulo de inclinação das diagonais de compressão 
(θ) varie livremente entre 30° e 45° e que a parcela 
complementar Vc sofra redução com o aumento de VSd. Ao 
admitir ângulos θ inferiores a 45°, a norma adota a 
chamada “treliça generalizada”.
•Verificação da diagonal comprimida 
Utilizamos a equação que define a tensão de compressão nas 
bielas de concreto para a treliça generalizada (mesma equação 
da clássica), sem adotarmos nenhum ângulo.
Portanto, para não ocorrer o esmagamento das diagonais 
comprimidas deve-se ter: Vsd ≤ VRd2
Modelo de Cálculo II 
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• Cálculo da armadura transversal
Da equação VSd ≤ VRd3, fazendo a força cortante de cálculo 
(VSd) igual à máxima força cortante resistente de cálculo, 
relativa à ruptura da diagonal tracionada (armadura 
transversal), tem-se: 
A parcela Vc referente à parte da força cortante absorvida 
pelos mecanismos complementares ao de treliça é 
definida como: 
Modelo de Cálculo II 
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• Cálculo da armadura transversal
Modelo de Cálculo II 
50
• Cálculo da armadura transversal
Modelo de Cálculo II 
51
• Cálculo da armadura transversal
Modelo de Cálculo II 
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• Cálculo da armadura transversal
Utilizando a equação que foi deduzida para a treliça clássica:
Colocando a equação em função de Vsw:
Modelo de Cálculo II (30° ≤ θ ≤ 45°) 
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• Resumo