Aula 05 Método do Deslocamento (Método da Deformação)

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Disciplina: Teoria das Estruturas II
Aula 5: Método do Deslocamento (Método da
Deformação)
Apresentação
Na quarta aula, vimos como calcular uma estrutura hiperestática pelo Método da Deformação (método do deslocamento).
Nesta aula, continuaremos a compreender como calcular uma estrutura hiperestática pelo Método das Deformações,
usando apoio adicional.
Objetivos
Resolver estruturas hiperestáticas usando o método das deformações (apoio adicional);
Calcular uma estrutura hiperestática usando o método da deformação;
Traçar os diagramas solicitantes dessa estrutura hiperestática.
Método das Deformações (método do deslocamento ou método
da rigidez)
 Cálculos para engenharia (Fonte: Dragon Images / Shutterstock)
Explicaremos detalhadamente, pelos exercícios a seguir, como calcular uma estrutura hiperestática por esse método, com apoio
adicional.
Exercícios Resolvidos
Nestes exercícios (exemplos) a nomenclatura de Momento de Inércia será a letra J.
 Acesso a dados no notebook (Fonte: TADAphotographer / Shutterstock)
Exemplo 1
Obter os diagramas solicitantes e as reações de apoio do pórtico abaixo, conforme mostra a Figura 1.
Dados:
E J = 1
 Figura 1 – Pórtico hiperestática.
1º Passo: Sistema Principal (S.P.):
No sistema principal, temos que calcular o número total de deslocabilidades (di + de) para a estrutura hiperestática. Colocar os
nomes nas barras, nos apoios e numerar as placas e os apoios adicionais.
 Figura 2 – Sistema Principal (colocando as placas e o apoio adicional), nomes nas barras e nos
apoios.
Nó A ➔ não precisa de placa (extremidade da estrutura o momento é zero), pois em apoio de 1º e 2º gênero não há
deslocabilidade interna. Há deslocamento horizontal nessa barra (AC).
Nó B ➔ precisa de placa para saber a rotação em B, e precisa de apoio adicional, pois há deslocamento horizontal nessa barra
(AC).
Nó C ➔ não precisa de placa (extremidade da estrutura o momento é zero), pois apoio de 1º e 2º gênero não há deslocabilidade
interna. Há deslocamento horizontal nessa barra (AC), basta colocar um apoio adicional na barra AC.
Nó D ➔ não precisa de placa, já é um engaste e não há deslocamento linear.
Colocar placa e apoio adicional:
d = 1 (apoio adicional)
d = 1 (placa)
d = d + d = 2
Logo o sistema será:
e
i
e i
β10 + β11 Δ1 + β12 Δ2 = 0
β20 + β21 Δ1 + β22 Δ2 = 0
Calcular o momento �etor em B, usando a tabela de Momento de engastamento perfeito (tabela 1).
Segunda coluna:
Carga distribuída de 40kN/m
𝑀𝐵= +(𝑞𝑙2)8= 40 𝑥 728= 245𝑘𝑁𝑚
Barra 3: engaste e engaste
Essa barra não tem carga, logo M = 0B
𝑀𝐵= 0𝑘𝑁𝑚
Somando os momentos �etores:
Placa 1 ➔ β10 = -33,75 + 240 + 0 = 211,25kNm
Apoio adicional 2 ➔ β20 = 0kNm
b20 = 0, por que não tem carga horizontal e nem momento �etor para fazer deslocamento na viga (em C), para esta fase.
Logo, b20 = 0.
3º Passo: Estado 1 (rotação da placa 1 => Δ1):
Rotacionando a placa 1, trabalho com as barras 1, 2 e 3.
Barra 1: apoio e engaste
Trabalhando com a rigidez relativa no nó:
𝐾𝐵=  45𝑙=456= 7,5𝑘𝑁𝑚
Barra 2: engaste e apoio
Trabalhando com a rigidez relativa no nó:
𝐾𝐵=  45𝑙=457= 6,43𝑘𝑁𝑚
Barra 2: engaste e engaste
Trabalhando com a rigidez relativa no nó:
𝐾𝐵=  60𝑙=603= 20𝑘𝑁𝑚
𝐾D=  30𝑙=303= 10𝑘𝑁𝑚
Somando os momentos �etores:
Placa 1 ➔ β11 = 7,5 + 4,43 + 20 = 33,93kNm
Apoio adicional ➔ b 21 = (20+10) / 3 = 10kN
4º Passo: Estado 2 (deslocamento do apoio adicional => Δ2):
Dando um deslocamento em Δ2 ao apoio 2, teremos o aparecimento de deslocamento ortogonal para a barra 3, permanecendo
horizontal as barras 1 e 2.
Teremos os seguintes momentos de engastamento perfeito devido a esse deslocamento:
𝑀𝐷= 𝑀𝐵=  900𝑙2 =90032 = 100 𝑘𝑁𝑚
Somando os momentos �etores:
Placa 1 ➔ β 12 = 0 + 100 + 0 = 100kNm
Apoio adicional ➔ β 22 = (100+100) / 3 = 66,67kN
5º Passo: Sistema
β10 +β11 Δ1 + β12 Δ2 = 0
β20 + β21 Δ1 + β22 Δ2 = 0
211,25 + 33,93 Δ1 + 100 Δ2 = 0
0 + 10 Δ1 + 66,67 Δ2 = 0
Δ1 = -11,1591
Δ2 = 1,6738
6º Passo: Superposição
M = M0 + M1 Δ1 + M2 Δ2
𝑀B1= −33,75+7,5 𝑥(−11,1591)+0 𝑥 (1,6738)= −117,25𝑘𝑁𝑚
𝑀𝐵2= 245+6,43 𝑥(−11,1591)+0 𝑥 (1,6738)= 173,25𝑘𝑁𝑚
𝑀𝐵3= 0+20 𝑥(−11,1591)+100 𝑥 (1,6738)= −55,80𝑘𝑁𝑚
 Figura 3 – Pórtico com os valores da reação de apoio e diagramas de momento fletores.
 Figura 4 – Diagrama de esforços normais (kN)..
Saiba mais
Você encontrará a obtenção de diagrama de momento �etor e as reações de apoio do pórtico abaixo e do diagrama de momento
�etor do pórtico abaixo em Exercícios resolvidos (exemplos) <galeria/aula5/anexo/doc01.pdf> . Dessa forma, você dará
continuidade aos seus estudos sobre o assunto e ampliará seu conhecimento.
http://estacio.webaula.com.br/cursos/go0078/galeria/aula5/anexo/doc01.pdf
Atividade
1. Calcular pelo Método das Deformações a estrutura hiperestática, e desenhar os diagramas de esforços internos.
Dados: EI = 1
2. Calcular pelo Método das Deformações a estrutura hiperestática, desenhar os diagramas de esforços internos.
Dados: EI = 1.
3. Calcular pelo Método das Deformações a estrutura hiperestática, desenhar os diagramas de esforços internos.
Dados: EI = 1
4. Calcular pelo Método das Deformações a estrutura hiperestática, e desenhar os diagramas de esforços internos.
Dados: EI = 1
5. Calcular pelo Método das Deformações a estrutura hiperestática, e desenhar os diagramas de esforços internos.
Dados: EI = 1
6. Calcular pelo Método das Deformações a estrutura hiperestática, e desenhar os diagramas de esforços internos.
Dados: EI = 1.
7. Calcular os exercícios da aula do Método das Forças pelo Método da Deformação.
Notas
Deformação1
É a alteração da forma de uma estrutura devido ao seu carregamento.
Calcular deslocamentos2
Seja calcular determinado deslocamento ∆, por exemplo, o deslocamento vertical no ponto C, em uma estrutura isostática sujeita
a um sistema de cargas qualquer. (Fonte: http://cadtec.dees.ufmg.br/nucleoead/forum/arquivos/apostila_ptv.pdf
<http://cadtec.dees.ufmg.br/nucleoead/forum/arquivos/apostila_ptv.pdf> )
Notas
Referências
MARTHA, Luiz Fernando. Análise de estruturas. cap. 10. Rio de Janeiro: Elsevier, s/d.
McCORMAC, Jack C. Análise estrutural. cap. 11 a 13. Rio de Janeiro: LTC, s/d.
SUSSEKIND, J. C. Curso de análise estrutural. v. 3. cap. 1. Rio de Janeiro: Globo, s/d.
Próxima aula
Calcular as reações de apoio em estruturas hiperestáticas;
Traçar os diagramas solicitantes em estruturas hiperestáticas.
Explore mais
Para saber mais acesse:
ENGENHARIA fácil. Método dos deslocamentos <https://www.youtube.com/watch?v=JKjcc6MrUQk> .
http://cadtec.dees.ufmg.br/nucleoead/forum/arquivos/apostila_ptv.pdf
https://www.youtube.com/watch?v=JKjcc6MrUQk