APOSTILA MODULO 1

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MÓDULO UM | MATEMÁTICA | CFOE 2021
RUMO AO TOPO!!! BOATEMÁTICA
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1. CONJUNTOS NUmériCOS
Os conjuntos numéricos reúnem diversos conjuntos cujos elementos são números.
Eles são formados pelos números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais. O ramo da
matemática que estuda os conjuntos numéricos é a Teoria dos conjuntos.
1.1 CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (IN)
O conjunto dos números naturais é representado por N. Ele reúne os números que
usamos para contar (incluindo o zero) e é infinito.
IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...}
1.1.1 Subconjuntos dos Números Naturais
N* = {1, 2, 3, 4, 5..., n, ...} ou N* = N – {0}: conjuntos dos números naturais não-nulos, ou seja,
sem o zero.
Np = {0, 2, 4, 6, 8..., 2n, ...}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais pares.
Ni = {1, 3, 5, 7, 9..., 2n + 1, ...}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais ímpares.
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}: conjunto dos números naturais primos.
Observe que:
► Qualquer número natural tem um único sucessor;
► Números naturais diferentes têm sucessores diferentes;
► O zero é o único natural que não é sucessor de nenhum outro.
1.1.2. Regras de divisibilidade
DIVISIBILIDADE POR 2
Um número é divisível por dois, quando este for par.
Ex A:
DIVISIBILIDADE POR 3
Um número é divisível por três, quando a soma de seus
algarismos for múltiplo de três
Ex B:
DIVISIBILIDADE POR 4
Um número é divisível por quatro, quando seus dois
últimos algarismos for múltiplo de quatro, ou terminar em
“00”
Ex C:
DIVISIBILIDADE POR 5
Um número é divisível por cinco quando o último
algarismo for “0” ou “5”.
Ex D:
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DIVISIBILIDADE POR 6
Um número é divisível por seis quando este for também
divisível por 2 e por 3.
Ex E:
DIVISIBILIDADE POR 9
Um número e divisível por 9 se a soma dos seus
algarismos e um número divisível por 9.
Ex F:
DIVISIBILIDADE POR 11
Um número natural é divisível por 11 quando a diferença,
em valor absoluto, entre as somas dos valores dos
algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par é
divisível por 11.
Ex G:
(EXEMPLO 001) ► (PM RS – 2009 ADAPTADA) Assinale a alternativa que apresenta o
algarismo que devemos colocar no lugar de y para que o número 23423y5 seja divisível por 9.
a) 2.
b) 4.
c) 6.
d) 8.
(EXEMPLO 002) ►(PM SE – IBFC) Um número é composto por 3 algarismos sendo que o
algarismo da centena é o 7 e o da unidade é o 4. A soma dos possíveis algarismos da dezena
desse número de modo que ele seja divisível por 3 é:
a) 15
b) 18
c) 12
d) 9
1.1.3. Números Primos
Definição: Um número p é dito um número primo se p > 0, p ≠ 1 e seus únicos divisores são o
p e o 1.
Números Primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...
Definição: Se o número não é primo então é dito composto. Um número natural é composto,
se e somente se, pode ser escrito como um produto de dois números naturais menores que ele.
Obs: Todo número, ou ele é primo, ou ele é composto, ou ele é o 1.
http://www.profcardy.com/cardicas/tirateima.php?id=39
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(EXEMPLO 003) ► (BOATEMÁTICA 2020) Julgue os seguintes itens em (V) para verdadeiro e
(F) para os itens falsos.
I - Os números 23 e 29 são primos.
II - O número 123 é um número primo.
III - O número 41 é primo e o número 54 não é.
Estão corretos:
A) I e II
B) I e III
C) II e III
D) I, II e III
1.2. CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (Z)
O conjunto dos números inteiros é representado por Z. Reúne todos os elementos dos
números naturais (N) e seus opostos. Assim, conclui-se que N é um subconjunto de Z (N ⊂ Z).
O conjunto dos números inteiros é representado por:
Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
1.2.1. Subconjuntos dos Números Inteiros
Z* = {..., –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, ...} ou Z* = Z – {0}: conjuntos dos números inteiros não-nulos,
ou seja, sem o zero.
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}: conjunto dos números inteiros e não-negativos. Note que Z+ = N.
��
� = {1, 2, 3, 4, 5, ...}: conjunto dos números inteiros positivos e sem o zero.
Z – = {..., –5, –4, –3, –2, –1, 0}: conjunto dos números inteiros não-positivos.
��� = {..., –5, –4, –3, –2, –1}: conjunto dos números inteiros negativos e sem o zero.
OPERAÇÕES
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(EXEMPLO 004) ► CFOE 2009 Considere cinco números inteiros consecutivos em ordem
crescente. Sabe-se que a soma dos quadrados dos três primeiros números é igual à soma dos
quadrados dos dois últimos. Nessas condições, a soma desses cinco números inteiros é
a) igual a 0 ou 60.
b) um número maior do que 60.
c) positiva e menor do que 60.
d) impossível ser determinada sem que se conheça pelo menos um desses números.
1.2.2. MÚLTIPLOS E DIVISORES:
Múltiplo de um número é o produto desse número por outro número qualquer. Então, para se
obter os múltiplos de um número, basta multiplicá-lo, sucessivamente, pelas sequência natural
dos números e, como essa sequência é infinita, conclui-se que:
a) Todo número tem uma infinidade de múltiplos.
b) Com exceção do zero, o menor múltiplo de um número é o próprio número.
Divisores de um número natural
Um número é divisor de outro quando o resto da divisão for igual a 0.
Múltiplos
M2 = {2, 4, 6, 8,.....}
M3 = {3, 6, 9, 12, .....}
M4 = {4, 8, 12, 16, .....}
M5 = {5, 10, 15, 20, ......}
M6 = {6, 12, 18, 24,......}
M7 = {7, 14, 21, 28, ......}
M8 = {8, 16, 24, ... }
Divisores
D2 = {1,2}
D3 = {1, 3}
D4 = {1, 2, 4}
D5 = {1, 5}
D6 = {1, 2, 3, 6}
D7 = {1, 7}
D8 = {1, 2, 4, 8}
OBSERVAÇÕES:
● O um é divisor de todos os números e é o seu menor divisor.
● O zero não é divisor de nenhum número, mas é múltiplo de todos eles, e também o seu
menor múltiplo.
● Omaior divisor de qualquer número é ele próprio.
● Omaior múltiplo de qualquer número é infinito.
● Qualquer número, com exceção do zero é, ao mesmo tempo,múltiplo e divisor de si mesmo.
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1.2.3. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C.)
O mínimo múltiplo comum (MMC) entre números inteiros é o menor número, também
inteiro, que é múltiplo de todos esses números ao mesmo tempo.
Propriedades do MMC
► MMC entre números primos, primos entre si e dois números consecutivos, basta fazer o
produto entre os termos.
► MMC entre dois números, sendo que o maior é múltiplo do menor o maior será o próprio
MMC.
(EXEMPLO 005) ► mmc (3, 5) (EXEMPLO 006) ► mmc (4, 9)
(EXEMPLO 007) ► mmc (6, 7) (EXEMPLO 008) ► mmc (15,60)
(EXEMPLO 009) ► De 4 em 4 dias é necessário solicitar material de higiene para a escola. O
material de limpeza é solicitado a cada 6 dias, enquanto material elétrico e hidráulico recebe
pedidos de nova remessa a cada 10 dias. Se hoje foram solicitados simultaneamente os três
tipos de materiais, depois de quantos dias os três pedidos irão coincidir novamente?
(A) 240
(B) 180
(C) 120
(D))60
(EXEMPLO 010) ► CFOE 2017 No ano de 2002, tomei três vacinas diferentes em um mesmo
dia: Vacina A, B e C. De acordo com o calendário, a vacina A deve ser reaplicada a cada 3
anos, a B a cada 15 anos, e a C a cada 9 anos. Diante das informações apresentadas, em que
ano tomarei novamente as três vacinas no mesmo dia?
a) 2056.
b) 2047.
c) 2032.
d) 2025
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1.2.4. MAXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C.)
O máximo divisor comum (MDC ou M.D.C) corresponde ao maior número
divisível entre dois ou mais números inteiros.
Propriedades do MDC
► Quando fatoramos dois ou mais números, o MDC deles é o produto dos fatores comuns a
eles, por exemplo, o MDC de 12 e 18 é 6;
► Quando temos dois números consecutivos entre si, podemos concluir que o MDC deles é 1,
uma vez que eles serão sempre números primos entre si. Por exemplo: 25 e 26 (o maior
número que divide ambos é o 1);
► Quando temos dois ou mais números e um deles é divisor dos outros, podemos concluirque
ele é o MDC dos números, por exemplo, 3 e 6. (Se 3 é divisor de 6, ele é o MDC de ambos)
(EXEMPLO 011) ► O professor de matemática precisa dividir uma turma de alunos em grupos,
de modo que cada grupo tenha a mesma quantidade de alunos. Nessa turma temos 24 alunas
e 16 alunos. Quantos componentes terá cada grupo?
(EXEMPLO 012) ► (EPCAR-2001) Uma abelha rainha dividiu as abelhas de sua colmeia nos
seguintes grupos para exploração ambiental: um composto de 288 batedoras e outro de 360
engenheiras. Sendo você a abelha rainha e sabendo que cada grupo deve ser dividido em
equipes constituídas de um mesmo e maior número de abelhas possível, então você
redistribuiria suas abelhas em:
a) 8 grupos de 81 abelhas.
b) 9 grupos de 72 abelhas.
c) 24 grupos de 27 abelhas.
d) 2 grupos de 324 abelhas.
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(EXEMPLO 013) ► CFOE 2010 Assinale a alternativa INCORRETA.
a) Dois setores A e B contam, respectivamente, com 36 e 45 funcionários. Desejando instituir
equipes com o maior número de funcionários e sabendo que as equipes de ambos os setores
devem ter o mesmo número de funcionários, então serão instituídas 11 equipes no total.
b) Um país realiza eleições para presidente, de 4 em 4 anos, e para senador, de 6 em 6 anos.
Se em 2008 ocorreram eleições para esses dois cargos, o próximo ano em que essas eleições
coincidirão será no ano 2020.
c) Em um município, o Festival da Canção ocorreu em 2004 e a Festa das Nações ocorreu em
2009. Se o Festival da Canção ocorre de 2 em 2 anos e a Festa das Nações de 4 em 4 anos,
então essas duas festas jamais ocorrerão no mesmo ano.
d) Um atleta pratica musculação nos dias pares e tênis em todos os dias múltiplos de 3. Então,
o número de dias do mês de fevereiro que ele pratica os dois esportes, no mesmo dia, é 4.
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1.3. CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q)
O conjunto dos números racionais é representado por Q. Reúne todos os números que podem
ser escritos na forma p/q, sendo p e q números inteiros e q≠0.
Q = {0, ±1, ±1/2, ±1/3, ..., ±2, ±2/3, ±2/5, ..., ±3, ±3/2, ±3/4, ...}
Note que todo número inteiro é também número racional. Assim, Z é um subconjunto de Q.
1.3.1. Subconjuntos dos Números Racionais
Q* = subconjunto dos números racionais não-nulos, formado pelos números racionais sem o
zero.
Q+ = subconjunto dos números racionais não-negativos, formado pelos números racionais
positivos e o zero.
Q*+ = subconjunto dos números racionais positivos, formado pelos números racionais positivos,
sem o zero.
Q– = subconjunto dos números racionais não-positivos, formado pelos números racionais
negativos e o zero.
Q*– = subconjunto dos números racionais negativos, formado números racionais negativos, sem
o zero.
(EXEMPLO 014) ► CFOE 2020 Chama-se conjunto dos números racionais – símbolo Q – o
conjunto dos pares ordenados (ou frações) a/b, em que a ϵ Z e b ϵ Z*, para os quais se adotam
as definições de igualdade, de adição e de multiplicação. É correto afirmar que os subconjuntos
que se destacam no conjunto dos racionais são
a)Q * = não nulos.
b) Q + = somatórios.
c)Q - = não negativos.
d) Q * = multiplicações.
1.3.2. OPERAÇÕES
Adição e Subtração Multiplicação e Divisão
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(EXEMPLO 015) ► (FCC) Dividir certo número por 0,00125 equivale a multiplicá-lo por um
número inteiro
(A) menor que 100
(B) compreendido entre 100 e 400
(C) compreendido entre 400 e 1.000
(D) compreendido entre 1.000 e 5.000
(E) maior que 5.000
1.3.3. POTÊNCIA
A potência an do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número a
é denominado a base e o número n é o expoente.
Ou seja �� � t
Ex G: 2³ = 2.2.2 = 8
Ex H: 3² = 3.3 = 9
Ex I: 45 = 4.4.4.4.4 = 1024
Da definição temos as seguintes consequências:
a0 = 1 a1 = a a-n = 1/an (a  0)
ATENÇÃO!!!!
1) Potência de um número negativo elevado a um expoente par é um número positivo.
2) Potência de um número negativo elevado a um expoente ímpar é um número que
conserva o seu sinal.
Casos particulares: Seja a um número real e m e n números inteiros positivos:
Propriedades:
P1) am . an = am + n
P2) am : an = am – n
P3) (am)n = am . n
P4) am . bm = (a . b)m
P5) am : bm = (a : b)m
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1.3.3.1. POTENCIAÇÃO DE EXPOENTE NÃO INTEIRO:
Toda raiz pode ser escrita na forma de potência.
(EXEMPLO 016) ► O valor de é:
a) 2
b) 1
c)
d) -2
e) -1
(EXEMPLO 017) ► (UFAC ADAPTADA) Se �� = 2, para algum número real x, o valor de
���h� é:
a) 21/2
b) 3
c) 2
d) 2-1/2
COMENTÁRIOS: 1° ► - 2²  (-2)² 2° ► (2³)4  ���
1.3.4. DÍZIMAS PERIÓDICAS SIMPLES
Como compor:
Numerador: o período
Denominador: um número formado por tantos noves quantos forem os algarismos do período.
(EXEMPLO 018) ► (EsSA) A geratriz da dízima periódica 0,070707... é:
A) 7/90
B) 7/9
C) 7/99
D) 707/999
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(EXEMPLO 019) ► (CESGRANRIO) Se p/q é a fração irredutível equivalente à dízima
periódica 0,323232..., então q – p vale:
a) 64
b) 67
c) 68
d) 69
(EXEMPLO 020) ► CFOE 2013 Relacione a coluna da direita com a da esquerda e, em
seguida, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
(1) 14/21 ( ) 0,625
(2) 5/8 ( ) 8/20
(3) 10/25 ( ) 4/12
(4) 9/27 ( ) 0,666...
a) 1 – 3 – 4 – 2
b) 1 – 4 – 2 – 3
c) 2 – 3 – 4 – 1
d) 2 – 4 – 3 – 1
1.4. CONJUNTOS DOS NÚMEROS IRRACIONAIS: (I)
Número irracional é todo número não racional, ou seja, é um número que não pode ser escrito
na forma a/b.
Todo número irracional tem uma representação decimal infinita e não periódica.
São irracionais:
2 = 1,4142135.... ; e = 2,7182818... ;  = 3,14..... ; 2,01011011101111011111....
Radiciação
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RELEMBRANDO FATORAÇÃO
1° caso: Fator comum.
2° Caso: Agrupamento.
3° Caso: Trinômio Quadrado Perfeito.
4° Caso: Trinômio do tipo x² + S.x + P.
5° Caso: Diferença de dois quadrados.
6° Caso: Soma de dois cubos.
7° Caso: Diferença de dois cubos
(EXEMPLO 021) ► Sendo o número n = 6842 - 6832 , a soma dos algarismos de n é
a) 14
b) 15
c) 16
d) 17
(EXEMPLO 022) ► Qual é a forma fatorada da expressão a² - b² - a + b?
a) (a + b ).(a - b + 1)
b) ( a - b).(a - b + 1)
c) ( a - b ).(a + b - 1)
d) (a + b ).( a - b - 1 )
e) ( a - b).( a - b - 1)
(EXEMPLO 023) ► (BOATEMÁTICA 2020) Sendo a + b = 7 e a – b = -3, calcule o valor de
a2 – b2.
A) -21
B) 40
C) 64
D) 343
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1.4.1. OPERAÇÕES COM IRRACIONAIS
Regra: Adicionamos e subtraímos termos de radicais semelhantes
ADIÇÃO
(J)►
SUBTRAÇÃO
(K)►
Regra: Multiplicamos ou dividimos números que estão fora entre si e os que estão dentro das
raízes entre si.
MULTIPLICAÇÃO
(L)► . =
DIVISÃO
(M)► : =
(EXEMPLO 024) ► CFOE 2010 O valor de
4 711� 79
��6
é
A) 74.
B) 7²
C)
4 48
7
D)
4 7
48
(EXEMPLO 025) ► CFOE 2009 Substituindo x por 1 na expressão abaixo e simplificando-a,
encontramos um número cuja raiz quadrada é um número:
A) par.
B) primo.
C) irracional.
D) decimal.
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1.4.2. RACIONALIZAÇÃO:
Racionaliza os denominadores das frações
1º CASO: Com índice 2
N) 8
�
O) 6
�
P) 1
� �
2º CASO: Com índice diferente de 2
Q) 1� 7 R)
8
�
��
3º CASO: Denominador com soma ou subtração
S) 4
� � �
T) 9
7 � �
(EXEMPLO 026)► CFOE 2012 Qual das alternativas apresenta a associação correta?
ANULADA
a) A – III; B – I; C – II; D - IV
b) A – II; B – I; C – IV; D - III
c) A – II; B – III; C – I; D - IV
d) A – II; B – II; C – IV; D - I
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1.4. CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (R)
O conjunto dos números reais é representado por R. Esse conjunto é formado pelos
números racionais (Q) e irracionais (I). Assim, temos que R = Q ∪ I. Além disso, N, Z, Q e I sãosubconjuntos de R.
Mas, observe que se um número real é racional, ele não pode ser também irracional. Da
mesma maneira, se ele é irracional, não é racional.
1.4.1. Subconjuntos dos Números Reais
R*= {x ∈ R│x ≠ 0}: conjunto dos números reais não-nulos.
R+ = {x ∈ R│x ≥ 0}: conjunto dos números reais não-negativos.
��
� = {x ∈ R│x > 0}: conjunto dos números reais positivos.
R–= {x ∈ R│x ≤ 0}: conjunto dos números reais não-positivos.
��� = {x ∈ R│x < 0}: conjunto dos números reais negativos.
São reais: Os números naturais; Os números racionais; Os números inteiros; Os números
irracionais. Ou seja é a união dos Racionais com os Irracionais.
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(EXEMPLO 027) ► CFOE 2020 Os conjuntos numéricos podem ser representados
esquematicamente pela figura a seguir.
Observe que N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.
A respeito dos conjuntos numéricos, analise as afirmações a seguir.
I. R - Q = conjunto dos números reais irracionais.
II. C - R = conjunto dos números complexos reais.
III. Z - N = conjunto dos números inteiros negativos.
IV. Q - Z = conjunto dos números racionais não inteiros.
Sobre as conclusões apontadas nessas categorias, está correto apenas o que se afirma em
a) I, II e III.
b) I, II e IV.
c) I, III e IV.
d) II, III e IV.
TESTES
001.) (UFRGS) Se “a” é um nº racional e “b” é irracional, então 2a – 3b sempre é:
a) racional
b) irracional
c) positivo
d) negativo
e) complexo não real
002.) (UFRGS/2008) Se x = 0,949494..... e y = 0,0606…, então x + y é igual a:
a) 1,01
b) 1,11
c) 10/9
d) 100/99
e) 110/9
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003.) (PUC/RJ ADAPTADA) O valor de 1㟸777�
�㟸111��
é:
a) 4,444...
b) 4
c) 4,777...
d) 3
004.) EsSA Dado o número 57a3b, substituindo a e b, respectivamente, por algarismos que
tornem esse número divisível por 2, 5 e 9 ao mesmo tempo, encontramos:
(A) 7 e 5
(B) 3 e 0
(C) 7 e 0
(D) 7 e 9
005.) O valor de �㟸777� é:
a) 1,2
b) 1,666...
c) 1,5
d) um número entre 1/2 e 1
006.) (FATEC) Sejam a e b números irracionais quaisquer. Das afirmações:
I. a.b é um número irracional;
II. a + b é um número irracional;
III. a – b pode ser um número racional;
Pode-se concluir que:
a) as três são falsas
b) as três são verdadeiras
c) somente I e III são verdadeiras
d) somente I é verdadeira
e) somente I e II são falsas
007.) (MARITUBA-2008) Na decomposição em fatores primos do número 90 aparecem:
a) Três fatores 2
b) Dois fatores 3
c) Cinco fatores 3
d) Três fatores 5
008.) CESGRANRIO ADAPTADA Considere as seguintes proposições:
I - o maior número inteiro negativo é -1;
II - dados os números inteiros -50 e -80, temos -50 < -80;
III - zero é um que pode ser dividido por qualquer outro número inteiro.
Está(ão) correta(s) a(s) proposição(ões):
(A) II, apenas.
(B) I, apenas.
(C) I, II e III.
(D) I e II, apenas.
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009.) (PM RO – 2005) A Policia Militar de Rondônia estimou em 32.52.11 o número de pessoas
presentes em um show ao ar livre. Esse número e:
a) primo
b) divisível por 6
c) divisível por 10
d) divisível por 7
e) divisível por 15
010.) (PM RO – 2005) A representação decimal da fração e um número -14/5 compreendido
entre:
a) -6 e -5
b) -5 e -4
c) -4 e -3
d) -3 e -2
e) -2 e -1
011.) (PM PB – 2007) O fluxo de passageiros no terminal rodoviário de Campina Grande
aumenta gradativamente no mês de junho. A cada 30 minutos chega um ônibus de Joao
Pessoa e a cada 40 minutos, um ônibus de Recife. De quanto em quanto tempo os horários de
chegada dos ônibus coincidem?
a) de 3 em 3 horas
b) de 1 em 1 hora
c) de 2 em 2 horas
d) de 1/2 em 1/2 hora
e) de 4 em 4 horas
012.) (PM SE – 2005) Os soldados de um batalhão são reunidos a cada 10 dias para tratar de
assuntos específicos de segurança e a cada 12 dias para tratar de assuntos gerais da
comunidade local. Se as duas reuniões coincidiram em 1o de agosto, deverão voltar a coincidir
em
a) 30 de setembro.
b) 1° de outubro.
c) 2 de outubro.
d) 15 de outubro.
e) 30 de outubro.
013.) (PM PI – 2007 ADAPTADA) Duas viaturas da Policia Militar partem simultaneamente de
uma mesma delegacia, percorrendo rotas diferentes. A primeira viatura retorna a delegacia a
cada 40 minutos e a segunda, a cada 50 minutos. Se ambas as viaturas saíram as 20 horas,
que horas elas estarão novamente juntas na delegacia?
A) 22 horas.
B) 22 horas e 20 minutos.
C) 23 horas.
D) 23horas e 20 minutos.
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2. PrOGrESSÃO AriTméTiCA (P.A.)
2.1. DEFINIÇÃO:
Progressão Aritmética (P.A.) é qualquer sequência numérica na qual cada termo (a partir do
segundo) é obtido somando-se ao anterior um certo número constante denominado razão (r).
(a1, a2, a3, a4, a5,...) r = a2 - a1 = a3 - a2= a4 - a3 =...
Exemplos:
(A)► Dada a sequência, qual a sua razão?
(0, 2, 4, 6, 8...)
r = 2 – 0 = 2
(B)► Dada a sequência, qual a sua razão?
(5, 2, -1, -4) r = 2 – 5 = - 3
(C)► Dada a sequência, qual a sua razão?
(3, 3, 3, 3,...) r = 3 – 3 = 0
Assim:
P.A. Crescente r > 0 P.A. Decrescente r < 0 P. A. Constante r = 0
2.2. TERMO GERAL DA P.A.
an = ak + (n - k).r an = a1 + (n - 1).r
Exemplos:
(EXEMPLO 028) ►Calcule o 20º termo da P.A.
de razão 3 e primeiro termo – 11.
(EXEMPLO 029) ► Calcule o 1º termo da P.A.
cujo trigésimo primeiro termo é 183 e cuja
razão é 5.
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(EXEMPLO 030) ► Calcule o número de
termos da P.A. de razão 3, primeiro termo
é – 11 e o último termo é 46.
(EXEMPLO 031) ► Calcule a razão da P.A.
onde o primeiro termo é 30 e o centésimo
termo é 425.
2.3. INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA
Quando temos, por exemplo, dois números 4 e 46. Suponha que desejamos intercalar 5
números entre esses dois dados de modo a formar uma P.A. Basta lembrar que os números
que tínhamos são os extremos, assim aplicando a fórmula do termo geral:
(EXEMPLO 032) ► (BOATEMÁTICA 2013) Interpolando-se 7 termos aritméticos entre os
números 10 e 98, obtém-se uma progressão aritmética cujo sétimo termo é?
a) 76
b) 65
c) 54
d) 52
2.4. PROPRIEDADES DA P.A.
1º) Propriedade
Em uma P.A. qualquer, um termo, a partir do 2º termo, é a média aritmética entre o anterior e o
que sucede:
Sendo
(a1, a2, a3) a2 =
��� ��
�
ou
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(EXEMPLO 033) ►CFOE 2020 O valor de x
para que (x, 2x + 2, x + 1) seja uma
progressão aritmética é
a) -0,5.
b) -1,5.
c) -2,5.
d) -3,5.
(EXEMPLO 034) ►
EEAR 2002 Se (x + 3, 2x – 1, x + 5) é uma P.A.,
então a soma dos três termos dessa P.A. é
a) – 13
b) 15
c) 19
d) 27
2º) Propriedade
Numa P.A. finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos
extremos, assim:
(a1, a2,a3,a4,...,an-3, an-2, an-1, an) temos: a1+ an = a2 + an-1 , a3 + an-2
Exemplo D:
Considere a P.A. finita: 10+30=40
14+26=40
18+22=40
2.5. NOTAÇÃO ESPECIAL
Quando temos uma P.A. com 3 termos desconhecidos, podemos representá-la de um modo
prático, por exemplo:
Para uma P.A.com 3 termos podemos usar: (x - r, x, x + r)
(EXEMPLO 035) ► (PM PR – 2010) Três números estão em progressão aritmética (PA)
crescente. O produto dos três e 66 e a soma deles e 18. Determine o próximo termo dessa
progressão aritmética.
a) a4= 12
b) a4 = 13
c) a4 = 14
d) a4 = 15
e) a4 = 16
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2.6. SOMA DOS TERMOS DE UMA PA
A soma dos termos de uma P.A. é dada pela fórmula:
(EXEMPLO 036) ► Calcule a soma dos 30 primeiros termos da P.A. seguinte:(13, 16, 19, 22...)
(EXEMPLO 037) ► CFOE 2017 Em determinado jardim há um canteiro cujo formato é
triangular e está dividido em 10 seções, sendo que na primeira há 20 flores. A partir da primeira
seção, o número de flores contidas em cada uma das seções seguintes cresce de acordo com
uma progressão aritmética de razão 17. Desse modo, qual o número total de flores contidas
nesse grande canteiro?
a) 965.
b) 882.
c) 798.
d) 640.
(EXEMPLO 038)► CFOE 2018 Fabiana começou a andar de bicicleta todos os dias pela
manhã, percorrendo, a cada dia, 200 metros a mais que no dia anterior. Ao completar o 100º
dia de pedaladas, ela observou ter percorrido, nesse dia, um total de 20km. Qual a distância
total percorrida por Fabiana ao longo desses 100 dias?
a) 1010km
b) 1980km
c) 2000km
d) 3980km
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TESTES
014.) Obter o primeiro termo da P.A. de razão 4 cujo 23º termo é 86.
015.) (FUVEST) Uma P.A. é tal que a1 = 8 e an = an-1 + 12 (n  2) A soma dos vinte primeiros
termos é:
a) 228
b) 4720
c) 3260
d) 2360
e) 2440
016.) (FATEC-SP) Em uma P.A. a soma do 3º com o 7º termo vale 30 e a soma dos 12
primeiros termos vale 216. A razão dessa P.A. é:
a) 0,5
b) 1
c) 1,5
d) 2
e) 2,5
017.) (FUVEST ADAPTADA) Em uma P.A. de termos positivos, os três primeiros termos são
1- a, - a, 11� ⿏. O quarto termo desta P.A. é
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
018.) (FCC) Os números x-2, 2x e x+1, são nessa ordem, termos consecutivos de uma
progressão aritmética. A razão dessa progressão é
019.) (FCC) Uma criança anêmica pesava 8,3 kg. Iniciou um tratamento médico que fez com
que engordasse 150g por semana durante 4 meses. Quanto pesava ao término da 15º semana
de tratamento?
a) 22,50 kg
b) 15 kg
c) 10,7 kg
d) 10,55 kg
e) 10,46 kg
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020.) (FCC) Numa progressão aritmética de termo geral an, tem-se que
O primeiro termo dessa progressão é
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
021.) (UFPA) Três números estão em P.A. A soma destes números é 15 e o produto 105. Qual
a diferença entre o maior e o menor?
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
022.) (FCC) Interpolando-se 15 meios aritméticos entre 1 e 129, obtém-se uma progressão
aritmética de razão
a) 2
b) 5
c) 8
d) 10
e) 17
023.) (FCC) Seja an, com n ∈ N - {0}, o termo geral de uma progressão aritmética crescente. Se
a4 + a5 + a6 = 24 e a4.a5.a6 = 440, o 1º termo dessa progressão é
a) -4
b) –1
c) 0
d) 1
e) 4
024.) (FCC) Seja a sequência (12, 10, 8...) Quantos termos dessa sequência devem ser
somados para perfazer um total de –140?
a) 24
b) 20
c) 19
d) 18
e) 16
025.) (UFCE) A soma dos 25 primeiros termos da progressão (1, 5, 9, 13, 17,...) é
a) 1.129
b) 1.135
c) 1.225
d) 1.323
e) 1.423
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026.) (FCC) Uma pessoa vai pagar uma dívida de 12 prestações mensais cujos valores formam
uma progressão aritmética de razão R$50,00. Se a primeira prestação for de R$100,00, a
quantia total paga por essa pessoa será
a) R$ 5.400,00
b) R$ 4.500,00
c) R$ 3.800,00
d) R$ 1.800,00
e) R$ 1.200,00
027.) (FCC) Um jardineiro deve plantar um canteiro triangular dispondo 210 mudas em filas tais
que a primeira fila tenha uma muda, a segunda fila, duas mudas, a terceira fila, três e assim
sucessivamente. O número de filas desse canteiro será
a) 7
b) 20
c) 21
d) 30
e) 41
028.) (FGV) Um atleta corre sempre 500 metros a mais do que no dia anterior. Sabendo-se que
ao final de 15 dias ele correu um total de 67.500 metros, o número de metros percorrido no
terceiro dia foi
a) 1.000
b) 1.500
c) 2.000
d) 2.500
e) 2.600
029.) (FURG – 2009) O campeão Olímpico Cesar Cielo seguiu um programa de treinamento
para preparar-se para os Jogos Olímpicos de Pequim. No primeiro dia ele nadou 1000 metros,
no segundo dia nadou 1100 metros, no terceiro dia ele nadou 1200 metros e assim
sucessivamente. A distância que o atleta nadou no decimo dia de treinamento foi
a) 1.700 metros
b) 1.900 metros
c) 11.100 metros
d) 10.000 metros
e) 2.700 metros
030.) Numa P.A. temos a = 5 e a = 61. Então, a razão pertence ao intervalo:
a)
b)
c)
d)
e)
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031.) (PM 2010 – PA) Se o 3o termo de uma PA e 8 e o 8o termo e 23, então a soma dos 6
primeiros termos dessa PA e:
a) 57.
b) 54.
c) 48.
d) 24.
e) 23.
032.) (FGV-SP) Um terreno e vendido por meio de um plano de pagamentos mensais em que o
primeiro pagamento de R$500,00 e feito 1 mês após a compra, o segundo de R$550,00 e feito
dois meses após a compra, o terceiro de R$600,00 e feito 3 meses após a compra e assim por
diante (isto e, cada pagamento mensal e igual ao anterior acrescido de R$50,00). Qual o total
pago por um cliente que comprou o imóvel em 20 pagamentos?
a) R$ 19.500,00
b) R$ 29.000,00
c) R$ 38.500,00
d) R$ 39.500,00
e) R$ 41.875,00
3. PrOGrESSÃO GEOméTriCA (PG)
É a sequência de termos em que cada termo a partir do 2° termo é igual ao anterior
multiplicado por uma constante chamada razão.
Ex: (A)► A sequência (1, 2, 4, 8, 16,...) é uma PG de razão 2.
Ex: (B)► A sequência (-3, 9, -27,...) é uma PG de razão -3.
3.1. CALCULO DA RAZÃO
(EXEMPLO 039) ►CFOE 2020 Qual número deve ser somado a 1, 3 e 8 para que se tenham,
nessa ordem sequencial, três números em progressão geométrica?
a) 1/2.
b) 1/3.
c) 2/5.
d) 3/2.
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ANOTAÇÕES
3.2. FÓRMULA DO TERMO GERAL
(EXEMPLO 040) ► (VUNESP – SP) Várias tábuas iguais estão em uma madeireira. Elas
deverão ser empilhadas respeitando a seguinte ordem: uma tábua na primeira vez e, em cada
uma das vezes seguintes, tantas quantas já estejam na pilha. Por exemplo:
Determine a quantidade de tábuas empilhadas na 12ª pilha.
(EXEMPLO 041) ► CFOE 2009 Numa P.G. crescente temos a1 + a3 = 100 e a2 = 14. A soma
dos algarismos do quarto termo dessa sequência é igual a:
A) 12
B) 16
C) 18
D) 20
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(EXEMPLO 042) ► CFOE 2016 A soma do terceiro e quinto termos de uma progressão
geométrica de razão 6 é 499,5. A diferença entre o quarto e o quinto termo dessa progressão é
a) 225.
b) 355.
c) 385.
d) 405.
3.3. INTERPOLAÇÃO GEOMÉTRICA
Interpolar meios geométricos entre dois números quaisquer a1 e an significa determinar os
números reais existentes entre a1 e an para que a sequência numérica seja uma PG.
Para realização da interpolação de meios geométricos precisamos utilizar a fórmula do termo
geral da PG:
(EXEMPLO 043) ► Uma PG é formada por 6 termos, onde a1 = 4 e a6 = 972. Calcule a
subração 45 aa  .
(EXEMPLO 044) ► CFOE 2019 Ao interpolarmos 5 termos geométricos reais entre 5 e 3.645
obtemos uma progressão geométrica de 7 termos, cuja soma destes 7 termos é:
a) 4.375.
b) 5.125.
c) 5.465.
d) 6.500.
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3.4. SOMA DOS TERMOS DE UMA (PG)
(EXEMPLO 045) ► Uma pessoa compra um automóvel e vai pagá-lo em 7 prestações, de
modo que a primeira prestação é de R$ 100,00 e cada uma das seguintes é o dobro da anterior.
O preço do automóvel é, em R$, igual a:
a) 6200
b) 25600
c) 12700
d) 12800
(EXEMPLO 046) ► (PM RS – 2009) Considere a progressão geométrica (1, 3, 9, ...). O valor de
k para que a soma dos k primeiros termos da progressão dada seja 1093 e
a) 6.
b) 7.
c) 8.
d) 9.
e) 10.
(EXEMPLO 047) ► CFOE 2019 Ao interpolarmos 5 termos geométricos reais entre 5 e 3.645
obtemos uma progressão geométrica de 7 termos, cuja soma destes 7 termos é:
a) 4.375.
b) 5.125.
c) 5.465.
d) 6.500.
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3.5. SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. INFINITA.
Dada uma P.G. com: n→∞ e an → 0, sua soma pode ser calculada pela expressão:
(EXEMPLO 048) ► (BOATEMÁTICA 2020) Dada equação: � � �
�
� �
4
+ �
8
+ �
16
+ ... = 100. O
valor de x² é
A) 1900
B) 2500
C) 2850
D) 3200
(EXEMPLO 049) ► (BOATEMÁTICA 2020) Determine a soma dos elementos da progressão
geométrica dada por (5; 0,2; 0,02; 0,002; 0,0002; ...).
A) 47/9
B) 5,2
C) 6
D) 6,2222...
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TESTES
033) TAIFEIRO 2009
034) TAIFEIRO 2006
035) TAIFEIRO 2005
036) Se cada coelha de uma colônia gera três coelhas, qual o número de coelhas da 7ª geração
que serão descendentes de uma única coelha?
A) 3000
B) 1840
C) 2187
D) 3216
E) 729
037) Uma moça seria contratada como balconista para trabalhar de segunda a sábado nas
duas últimassemanas que antecederiam o Natal. O patrão ofereceu R$ 1,00 pelo primeiro dia
de trabalho e nos dias seguintes o dobro do que ela recebera no dia anterior. A moça recusou o
trabalho. Se ela tivesse aceito a oferta, quanto teria recebido pelos 12 dias de trabalho?
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038) Uma praga atacou uma criação de aves. No primeiro dia, uma ave adoeceu; no segundo
dia, duas outras aves adoeceram; no terceiro dia, adoeceram mais quatro e assim por diante,
até o oitavo dia. Nenhuma das aves morreu. Sabendo-se que ao fim do oitavo dia não havia
nenhuma ave sem a doença, qual é o total de aves dessa criação?
039) Uma forte chuva começa a cair na faculdade formando uma goteira no teto de uma das
salas de aula. Uma primeira gota cai e 30 segundos depois cai uma segunda gota. A chuva se
intensifica de tal forma que uma terceira gota cai 15 segundos após a queda da segunda gota.
Assim, o intervalo de tempo entre as quedas de duas gotas consecutivas reduz-se à metade na
medida em que a chuva piora. Se a situação assim se mantiver, em quanto tempo,
aproximadamente, desde a queda da primeira gota, a goteira se transformará em um fio
contínuo de água?
040) Um cachorro persegue um coelho. A velocidade do coelho é 1/10 da velocidade do
cachorro. A distância que os separa é de 100 metros. Nessas condições, quando o cachorro
vencer os 100 metros, o coelho terá corrido 1/10 do que percorreu o cachorro e ficará 10 metros
a sua frente. Quando o cachorro correr esses 10 metros, o coelho terá percorrido 1/10 dessa
distância e estará 1 metro a sua frente. Quando o cachorro correr esse metro, o coelho terá
corrido 10 centímetros, e assim por diante. Esse raciocínio pode levar muita gente a pensar que
o cachorro nunca alcançará o coelho. Assim também pensou o coelho. Azar dele.
Com os recursos estudados é possível determinar em que ponto o cachorro alcançará o coelho.
E, então, quantos metros ele deverá correr para alcançar o coelho?
A) 110,1010...
B) 1000/9
C) 110
D) 9900
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4. ANÁLiSE COmBiNATÓriA
4.1. FATORIAL
O produto de n fatores, a começar por n com n ≥ 2, até o valor 1, é denominado fatorial de n e
indica-se por n!
n! = n.(n - 1).(n - 2).(n - 3) ... 3.2.1
OBS 1: Definições especiais 0! = 1 e 1! = 1
OBS 2: Podemos parar o fatorial para efeitos de cálculos, vejamos:
(n + 1)! = (n + 1).n!
(n + 1)! = (n + 1).n.(n – 1)!
(n + 1)! = (n + 1).n. (n – 1).(n – 2)!
(EXEMPLO 050) ► 5! = (EXEMPLO 051) ► ��
��
(EXEMPLO 052) ► Calcule ��
��
. (EXEMPLO 053) ►
!3!.9
!12
(EXEMPLO 054) ► Se ��
��� �
� 6, com n inteiro positivo, então o valor de n é:
a) quadrado perfeito.
b) ímpar.
c) múltiplo de 7.
d) divisor de 5.
e) primo.
(EXEMPLO 055) ► CFOE 2013 Efetue as expressões com números fatoriais e, em seguida,
relacione as colunas.
(1) 6! +
!3
!4
( ) 208
(2)
!4
!7
- 2! ( ) 724
(3)
!3
!5
- 0! ( ) 6
(4) 3! - 2! + 1! + 0! ( ) 19
A sequência está correta em
a) 1– 3 – 2 – 4
b) 2 – 1 – 4 – 3
c) 2 – 4 – 1 – 3
d) 3 – 1 – 4 – 2
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TESTES
041.) (PUC – SP ADAPTADA) Se (n - 6)! = 720 então:
a) n = 12
b) n = 11
c) n = 10
d) n = 13
042.) Os valores de x que verificam a expressão ��� �
��
� �� são:
a) 3 ou -6
b) 6
c) -3 ou 6
d) 3
e) -3
043.) (UFRN) Se (x+1)! = 3(x!) então x é igual a:
a) 1
b) 4
c) 2
d) 3
044.) Resolva a equação (2x – 3)! = 120
045.) Resolva a equação (2x+1)! = 24
046.) Se x! = 7(x – 1)! Então:
(A) x é primo
(B) x é múltiplo de 5
(C) x é par
(D) x é maior que 10
(E) x é menor que 6
047.) Simplifique ��
�����
.
a) 56
b) 87
c) 870
d) 540
e) 210
048.) (FMABC - SP) Simplifique 1�1��1���
1���
a) 101 103
b) 102!
c) 100 000
d) 101!
e) 10 403
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049.) (PUC - SP) A expressão ��
����䀀�
é igual a:
a) n/2
b)
)1).(2(
1
 nn
c)
)1).(2(  nn
n
d) 1/n
4.2. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
4.2.1. PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO E ADITIVO
Distinção de duas palavras:
“e” – significa multiplicação das possibilidades.
“ou” – significa adição das possibilidades.
Te Liga:
► O uso de elementos pode ser repetidos ou não.
► Quando não se quer a repetição de elementos usa – se a expressão “distintos”.
(EXEMPLO 056) ► Quantos são os números de três algarismos que podemos formar usando
os algarismos 2, 5, 7 e 9?
(EXEMPLO 057) ► Quantos são os números de três algarismos distintos que podemos formar
usando os algarismos 2, 5, 7 e 9?
(EXEMPLO 058) ► Quantas senhas de 6 dígitos podemos formar com os números 0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9. A senha não deve começar com o algarismo 0 e todos os algarismos devem ser
distintos.
(EXEMPLO 059) ► Dados os algarismos 0,1,2,3 e 4, quantos números de três algarismos
distintos podemos formar?
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37
(EXEMPLO 060) ► Um restaurante possui 3 tipos de carne, 2 tipos de massa e 4 tipos de
salada. Quantos pratos contendo 1 tipo de carne, 1 tipo de massa e 1 tipo de salada esse
restaurante pode montar?
(EXEMPLO 061) ► Quantas senhas de 4 dígitos podemos formar com os números 0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9. A senha deve ser um número par.
4.3. ARRANJO SIMPLES
São agrupamentos sem repetição (“distintos”) de elementos que diferem entre si pela ordem ou
pela natureza dos seus elementos.
)!(
!
, pn
nAA nppn 

n = nº total de elementos do problema
p = nº de elementos em cada agrupamento
(EXEMPLO 062) ► ��㟸�
(EXEMPLO 063) ► (MACK - SP) Em uma sala há 8 cadeiras e 4 pessoas. O número de modos
distintos das pessoas ocuparem as cadeiras é:
a) 1680
b) 8!
c) 8 . 4!
d) 8!/4
(EXEMPLO 064) ► As diretorias de 4 membros composta de um presidente, um tesoureiro, um
secretário e um conselheiro que podemos formar com 10 sócios de uma empresa são:
A) 540
B) 40
C) 2
D) 210
E) 5040
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4.4. PERMUTAÇÃO SIMPLES
Permutações simples são arranjos especiais sem repetição de elementos, em que participam
todos os elementos disponíveis e todos são diferentes entre si. O número de permutações será
calculado como usando
Pn = n!
n = nº total de elementos do problema
(EXEMPLO 065) ► De quantos modos diferentes 6 pessoas podem ser colocadas em fila?
(EXEMPLO 066) ► João tem 4 livros de matemática e 3 de física todos distintos. De quantas
maneiras pode organizá-los na estante, se:
(A) Os livros de matemática devem ficar juntos e os de física também.
(B) Os livros de física devem ficar juntos.
OBS: Anagramas são palavras formadas COM ou SEM sentido partindo de uma
determinada palavra
(EXEMPLO 067) ► Em relação a palavra BRASIL, responda:
(A)► Quantos anagramas tem? Observação: (sem restrições)
(B)► (UFPA ADAPTADA) Quantos são os anagramas são começados por B e terminados por
L?
a) 24 b) 120 c) 720 d) 240 e) 1.440
(C)► Quantos anagramas iniciam com vogal?
Observação: (poderia ser com consoante)
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(D)► Quantos anagramas iniciam e terminem com vogal?
Observação: (poderia ser com consoante)
(E)► Quantos anagramas iniciam com consoante e terminem com vogal?
Observação: (poderia ser com consoante)
(F)► Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra BRASIL tem as vogais
juntas?
(G)► Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra BRASIL tem as vogais
separadas?
4.5. PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO
Permutações são arranjos em que participam todos os elementos disponíveis e existem
elementos repetidos. Formando palavras COM ou SEM sentido.
!..!.!.
!,..,,
cba
nP cban 
n = nº total de elementos do problema
p = nº de elementos repetidos
(EXEMPLO 068) ► Quantos são os anagramas da palavra PAPAGAIO?
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(EXEMPLO 069) ► Quantas permutações podemos formar com as letras da palavra MILITAR
que começam e terminam com consoante?
(EXEMPLO 070) ► (VUNESP) A figura mostra a plantade um bairro de uma cidade. Uma
pessoa quer caminhar do ponto A ao ponto B por um dos percursos mais curtos. Assim, ela
caminhará sempre nos sentidos “de baixo para cima” ou “da esquerda para a direita”.
O número de percursos diferentes que essa pessoa poderá fazer de A até B é:
a) 95 040. b) 40 635. c) 924 d) 792. e) 35
4.6. COMBINAÇÕES SIMPLES
São agrupamentos sem repetição de elementos que diferem entre si apenas pela natureza dos
seus elementos. Trocando de posição de seus elementos não altera o grupo.
)!!.(
!
, pnp
nCC nppn 

n = nº total de elementos do problema
p = nº de elementos em cada agrupamento
(EXEMPLO 071) ► (PM RS) Assinale a alternativa correta. Em um grupo de 8 pessoas, deseja-
se formar uma comissão com apenas 3 delas. De quantas maneiras diferentes podemos fazer
essa escolha?
a) 6.
b) 56.
c) 1680.
d) 24.
e) 668.
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(EXEMPLO 072) ► CFOE 2010 Um regime alimentar prescreve que uma das refeições de
Hugo seja composta de um prato quente, duas saladas e uma sobremesa. Se em um
restaurante existem disponíveis 6 pratos quentes, 8 saladas e 5 sobremesas, então de quantas
maneiras diferentes Hugo poderá compor sua refeição?
a) 1.680
b) 840
c) 420
d) 240
(EXEMPLO 073) ► CFOE 2010 De um grupo de 6 comissários de bordo e 5 aeromoças, uma
companhia de aviação pretende escolher 2 comissários de bordo e 2 aeromoças e com os
quatro escolhidos formar uma fila para recepcionar o ministro da aeronáutica. Quantas filas
diferentes podem ser formadas?
a) 600
b) 2.700
c) 3.600
d) 7.200
(EXEMPLO 074) ► CFOE 2017 Considere 9 pontos do plano cartesiano. Desse modo,
ponderando que se tais pontos não são colineares, quantos polígonos de 4 lados e quantos
triângulos, respectivamente, podem se formar utilizando tais pontos?
a) 252 e 78.
b) 245 e 196.
c) 189 e 212.
d) 126 e 84.
(EXEMPLO 075) ► CFOE 2018 Numa escola há 13 professores, sendo que 4 deles lecionam
Matemática. Deseja-se formar uma comissão de 5 professores para auxiliar no processo de
contratação de novos docentes. Nessa comissão, pelo menos 2 professores devem lecionar
Matemática. De quantas maneiras distintas pode-se formar essa comissão?
a) 144
b) 504
c) 657
d) 653184
(EXEMPLO 076) ► CFOE 2019 Em uma festa de confraternização observou-se 55 abraços
trocados entre os participantes, que se cumprimentavam entre si uma única vez. O número de
participantes desta festa era:
a) 10.
b) 11.
c) 15.
d) 22.
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TESTES
050.) Nove times de futebol vão ser divididos em 3 chaves, todas com o mesmo número de
times, para a disputa da primeira fase de um torneio. Cada uma das chaves já tem um cabeça
de chave definido. Nessas condições, o número de maneiras possíveis e diferentes de se
completarem as chaves é:
a) 21.
b) 30.
c) 60.
d) 90.
e) 120.
051.) A quantidade de números pares de 4 algarismos, sem repetição, que podemos formar
com os dígitos 2, 3, 4, 5, 6, 7, e 8 é igual a:
a) 480
b) 240
c) 960
d) 120
e) 2800
052.) (UNIFOR) A soma de todos os números primos que são divisores de 30! é:
a) 140
b) 139
c) 132
d) 130
e) 129
053.) Se (n + 1)! = 10.n!, então (n - 1)² vale:
a) 100
b) 81
c) 64
d) 36
e) 25
054.) (FAAP ADAPTADA) Quantas motos podem ser licenciadas se cada placa tiver 2 vogais
(podendo haver vogais repetidas) e 3 algarismos distintos?
a) 25.000
b) 120
c) 120.000
d) 18.000
055.) (UEMG ADAPTADA) Uma secretária possui 6 camisas, 4 saias e 3 pares de sapatos. O
número de maneiras distintas com que a secretária poderá se arrumar usando 1 camisa, 1 saia
e 1 par de sapatos corresponde a
a) 13
b) 126
c) 72
d) 54
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056.) São dados 12 pontos num plano, 3 a 3 não colineares. O número de retas distintas
determinadas por esses pontos é
a) 66
b) 78
c) 83
d) 95
e) 131
057.) (PEIES) Sabe-se que uma equipe de basquete é formada por 5 jogadores. De quantas
maneiras distintas o técnico pode montar a equipe, dispondo de 9 jogadores e supondo que
eles, joguem em qualquer posição?
a) 17010
b) 3024
c) 756
d) 126
e) 252
058.) (PUC - PR ADAPTADA) O número de placas de veículos que poderão ser fabricadas
utilizando-se das 26 letras do alfabeto latino e dos 10 algarismos arábicos, cada placa contendo
três letras e quatro algarismos, não podendo haver repetição de letras e algarismos é:
a) 67 600 000
b) 78 624 000
c) 15 765 700
d) 1 757 600
059.) (MACK - SP) Em uma sala há 8 cadeiras e 4 pessoas. O número de modos distintos das
pessoas ocuparem as cadeiras é:
a) 1680
b) 8!
c) 8 . 4!
d) 8! / 4
e) 32
060.) UFSM ADAPTADA De quantas maneiras distintas podemos alinhar cinco estacas azuis
idênticas, uma vermelha e uma branca?
a) 7
b) 21
c) 42
d) 120
061.) Quantos anagramas da palavra BELEZA começam por B e terminam por A?
a) 6
b) 12
c) 24
d) 36
e) 72
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062.) Quantos anagramas são possíveis com as letras da palavra SOCORRO?
a) 200
b) 360
c) 420
d) 840
e) 1440
063.) (UNIFRA ADAPTADA) Uma sala possui 6 portas. O número de possibilidades para que
uma pessoa possa entrar e sair dessa sala, de modo que nunca saia pela mesma porta que
entrou, é
a) 12
b) 11
c) 30
d) 36
064.) (PM PR) Sejam quatro cidades designadas por A, B, C e D. Considere que ha três
rodovias que ligam a cidade A com a cidade B, duas rodovias que ligam a cidade B com a C e
quatro rodovias que ligam a cidade C com a cidade D. Se desejarmos ir de A até D, passando
pelas cidade B e C, de quantas formas poderemos realizar tal percurso?
a) 12
b) 16
c) 24
d) 30
065.) (UPF ADAPTADA) O número de anagramas da palavra FEDERAL, em que as letras AL
aparecem juntas, é:
a) 240
b) 180
c) 120
d) 6!
066.) (UFPEL) Com o objetivo de manter a democracia e preservar a autonomia escolar, a
Secretaria Municipal de Educação de um município realizou eleição para compor as equipes
diretivas das escolas. Essas equipes devem ser compostas por um diretor, um vice-diretor e um
coordenador. Considerando que, numa determinada escola, um grupo composto por 10
pessoas resolveu participar desse processo e que qualquer uma delas pode ocupar qualquer
cargo, e correto afirmar que o número de equipes que se pode formar com esse grupo e:
a) 210
b) 720
c) 30
d) 140
067.) Um engenheiro de obra do "Sistema Fácil", para determinados serviços de acabamento
tem a sua disposição três azulejistas e oito serventes. Queremos formar equipes de
acabamento constituídas de um azulejista e três serventes, o número de equipes diferentes
possíveis, é:
a) 3
b) 56
c) 112
d) 168
e) 12
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068.) (EEAR) Uma lanchonete tem em sua dispensa 5 espécies de frutas. Misturando 3
espécies diferentes, pode-se preparar ___________ tipos de suco.
a) 24
b) 15
c) 10
d) 8
069.) (UFSM) Numa Câmara de Vereadores, trabalham 6 vereadores do partido A, 5
vereadores do partido B e 4 vereadores do partido C. O número de comissões de 7 vereadores
que podem ser formadas, devendo cada comissão ser constituída de 3 vereadores do partido A,
2 vereadores do partido B e 2 vereadores do partido C, e igual a
a) 7
b) 36
c) 152
d) 1.200
e) 28.800
070.) (EEAR) Em análise combinatória, a razão ��㟸�
��
é igual a:
a) 7
b) 5
c) 3
d) 1
071.) UFSM ADAPTADA A expressão C10,3 + A5,2 dividido por P4 é igual a:
a) 7/2
b) 35/6
c) 5
d) 35
072.) (UFSM) A senha para acessar um programa secreto num computador é composta por 3
letras diferentes seguidas de 4 algarismos distintos. As letras são escolhidas entre as 23 do
alfabeto e os algarismos entre 0, 1, 2, ..., 9. O número máximo de senhas diferentes que se
pode esperar é
a) C23,3.A10,4
b) A23,3 + C10,4
c) P33,7
d) C23,3.C10,4
e) A23,3.A10,4
073.) (UESPI) De um grupo de 7 pessoas, o número de maneiras distintas de formar uma
comissão composta de 5 elementos do grupo é:
a) 21
b) 42
c) 120
d) 10
e) 20
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074.) PM 2007 Um destacamento da PM com 10soldados deverá disputar um torneio de futsal
no interior do Estado. Dos 5 atletas que participarão da competição, um é goleiro e os demais
jogam na frente. Se, dos 10 soldados que compõem o grupamento, somente 2 jogam como
goleiro e os restantes só jogam na frente, a quantidade de equipes de futsal que pode ser
formada com esse número de soldados é igual a
(A) 100.
(B) 120.
(C) 140.
(D) 160.
075.) A quantidade de números pares de 4 algarismos, sem repetição, que podemos formar
com os dígitos 2, 3, 4, 5, 6, 7, e 8 é igual a:
a) 480
b) 240
c) 960
d) 120
e) 2800
5. NOÇÕES DE PrOBABiLiDADE
5.1. EXPERIMENTO ALEATÓRIO
São fenômenos que, mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes,
apresentam resultados imprevisíveis. O resultado final depende do acaso.
Exemplo:
Da afirmação "é provável que o meu time ganhe a partida hoje" pode resultar:
- que ele ganhe - que ele perca - que ele empate
Este resultado final pode ter três possibilidades.
5.2. ESPAÇO AMOSTRAL
É o conjunto universo ou o conjunto de resultados possíveis de um experimento
aleatório.
► No experimento aleatório "lançamento de uma moeda" temos o espaço amostral {cara,
coroa}.
► No experimento aleatório "lançamento de um dado" temos o espaço amostral {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
► No experimento aleatório "dois lançamentos sucessivos de uma moeda" temos o espaço
amostral:
{(ca,ca), (co,co) , (ca,co) , (co,ca)}
OBS: cada elemento do espaço amostral que corresponde a um resultado recebe o nome
de ponto amostral. No primeiro exemplo: cara pertence ao espaço amostral {cara, coroa}.
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5.3. EVENTOS
É qualquer subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório.
Se considerarmos S como espaço amostral e E como evento: Assim, qualquer que seja E, se E
c S (E está contido em S), então E é um evento de S.
Se E = S, E é chamado de evento certo.
Se E  S e E é um conjunto unitário, E é chamado de evento elementar.
Se E = Ø, E é chamado de evento impossível.
5.4. CONCEITO DE PROBABILIDADE
Chamamos de probabilidade de um evento A (sendo que A está contido no Espaço amostral) o
número real P(A), tal que:
P(A) = ��഑䀀
��h䀀
n(A) número de casos favoráveis de A.
n(S) número total de casos.
(EXEMPLO 077) ► Um arquivo contém 24 fichas, numeradas de 1 a 24. Retira-se ao acaso
uma ficha. A probabilidade de se tirar uma ficha com o número maior ou igual a 15 é
aproximadamente igual a:
a) 20,93%
b) 37,50%
c) 41,67%
d) 43,48%
e) 50%
(EXEMPLO 078) ► CFOE 2018 A tabela abaixo apresenta os dados de uma pesquisa
realizada com o objetivo de verificar se a qualidade dos uniformes confeccionados para a
Aeronáutica estava associada com o turno em que os mesmos foram produzidos.
Turnos Qualidades do uniforme
Bom Regular Ruim
Manhã
Tarde
Noite
120
110
90
50
35
40
20
15
25
Um uniforme é escolhido ao acaso por um inspetor da qualidade. Calcule a probabilidade desse
uniforme ser de boa qualidade, sabendo que foi produzido no turno noturno.
A)
8
3
B)
32
9
C)
31
18
D)
64
31
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48
OBS: Quando todos os elementos do Espaço amostral tem a mesma chance de
acontecer, o espaço amostral é chamado de conjunto equiprovável.
.
Exemplos:
1- No lançamento de uma moeda qual a probabilidade de obter cara em um evento A?
S = {ca, co} = 2 A = {ca} = 1 P(A) = 1/2 = 0,5 = 50%
2- No lançamento de um dado qual a probabilidade de obter um número par em um evento A?
S = {1,2,3,4,5,6} = 6 A = {2,4,6} = 3 P(A) = 3/6 = 0,5 = 50%
Obs: a probabilidade de todo evento certo = 1 ou 100%.
Exemplo:
3- No lançamento de um dado qual a probabilidade de obter um número menor ou igual a 6 em
um evento A?
S = {1,2,3,4,5,6} = 6 A = {1,2,3,4,5,6} = 6 P(A) = 6/6 = 1,0 = 100%
Obs: a probabilidade de todo evento impossível = 0 ou 0%
Exemplo:
4- No lançamento de um dado qual a probabilidade de obter um número maior que 6 em um
evento A?
S = {1,2,3,4,5,6} = 6 A = { } = 0 P(A) = 0/6 = 0 = 0%
5.5. PROBABILIDADE CONDICIONAL
(EXEMPLO 079) ► CFOE 2009 No lançamento de 2 dados, qual a probabilidade de que a
soma dos dois seja 8, supondo que no primeiro o resultado tenha sido menor que 5?
A) 10%
B) 12,5%
C) 14%
D) 16,5%
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49
OBSERVAÇÃO: Para resolver problemas que envolvem dois ou mais eventos precisamos
observar o seguinte:
Com REPOSIÇÃO
(EXEMPLO 080) ► (UNIFRA – 2009) Uma
urna contém exatamente 5 bolas: três
amarelas e duas verdes. Retira-se, ao acaso,
uma bola da urna, registra-se a sua cor e
repõe-se a bola na urna. A seguir, retira-se,
novamente ao acaso, uma bola da urna e
registra-se sua cor. Determine a probabilidade
de saírem duas bolas de cores diferentes.
a) 6/5
b)12/25
c) 3/5
d) 2/5
e) 6/25
Sem REPOSIÇÃO
(EXEMPLO 081) ► EEAR/2008 Uma urna
contém 3 bolas verdes e 4 amarelas. Ao retirar,
sem reposição, duas bolas, a probabilidade
delas serem amarelas é
a) 2/7.
b) 3/7.
c) 4/7.
d) 6/7.
OBS: Se nos exercícios não fala nada de reposição então não se repõe os elementos.
(EXEMPLO 082) ► UNISC 2012 Percentualmente, qual é a chance de tirarmos, ao acaso, duas
bolas de mesma cor de uma urna que contém duas bolas brancas e três bolas pretas?
a) 33,33...%.
b) 35%.
c) 38%.
d) 40%.
e) 50%.
.
PROBABILIDADE COM ANALISE COMBINATÓRIA
(EXEMPLO 083) ► FCC Se anotarmos em pedaços de papel todos os anagramas que podem
ser obtidos a partir da palavra BRASIL, escrevendo um anagrama em cada pedaço de papel,
podemos dizer que a probabilidade de sortearmos um desses papéis e sair um anagrama
começado por uma vogal, é de, aproximadamente:
a) 25%
b) 33,3%
c) 40%
d) 50%
e) 60%
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50
TESTES
076.) (PM-PA-2010) Em um Batalhão, há 20 oficiais, 60 sargentos e 120 cabos ou soldados. A
probabilidade de um militar sorteado ao acaso nesse grupo ser um cabo ou soldado é de:
a) 60%.
b) 62%.
c) 64%.
d) 66%.
077.) (ESAF) Ao se jogar um dado honesto três vezes, qual o valor mais próximo da
probabilidade de o número 1 sair exatamente uma vez?
a) 35%
b) 17%
c) 7%
d) 42%
e) 58%
078.) (PM/RO/2005) De um grupo formado por 12 policiais militares do sexo masculino e 8 do
sexo feminino, escolhe-se ao acaso uma pessoa. A probabilidade desta pessoa ser uma mulher
é de:
A) 1/3
B) 1/4
C) 2/5
D) 3/7
E) 3/8
079.) Num fichário existem 12 nomes de mulher e 28 nomes de homem. Se retirarmos, ao
acaso duas dessas fichas, com reposição, qual a probabilidade de ambas serem com nomes de
mulher?
a) 3%
b) 5%
c) 9%
d) 15%
e) 30%
080.) PM 2007 Num certo Batalhão da PM, para escolher o Oficial do Dia, dispõe-se de
tenentes masculinos e femininos na razão de uma mulher para cada 3 homens. A probabilidade
de se escolher uma mulher tenente é de
(A) 15%.
(B) 20%.
(C) 25%.
(D) 30%.
081.) Ao retirar duas cartas de um baralho, sem reposição, qual a probabilidade de obtermos
um ás e um rei em qualquer ordem?
a) 1/663
b) 2/663
c) 4/663
d) 8/663
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51
082.) Uma rifa, em que apenas um número será sorteado, contém todos os números de 1 a 100.
Os funcionários do INSS compraram todos os números múltiplos de 8 ou 10. A probabilidade de
que um desses funcionários seja premiado no sorteio da rifa é de
a) 12%
b) 18%
c) 20%
d) 22%
e) 30%
083.) Uma urna contém 20 bolinhas numeradas de 1 a 20. Sorteando-se uma bolinha desta
urna, a probabilidade de que o número da bolinha sorteada seja múltiplo de 2 ou de 5 é:
a) 13/20
b) 4/5
c) 7/10
d) 3/5
084.) (PUC ADAPTADA) De sua turma de 30 alunos, é escolhida uma comissão de 3
representantes. Qual a probabilidade de você fazer parte da comissão?
A) 1/10
B) 1/12
C) 5/24
D) 1/3
085.) (FGV ADAPTADA) Um jogador aposta que, em três lançamentos de uma moeda honesta,
obterá duas caras e uma coroa. A probabilidade de que ele ganhe a aposta é:
A) 1/3
B) 2/3
C) 1/8
D) 3/8
086.) (FGV ADAPTADA) Uma urna contém 50 bolinhas numeradas de 1 a 50. Sorteando-se
uma bolinha, a probabilidade de que o número observadoseja múltiplo de 8 é:
(A) 3/25
(B) 7/50
(C) 1/10
(D) 8/50
087.) (UPF ADAPTADA) Uma urna contém 3 bolas brancas e 4 bolas pretas. Tira-se,
sucessivamente, 2 bolas. Então a probabilidade das bolas serem da mesma cor, é:
(A) 1/7
(B) 2/7
(C) 3/7
(D) 4/7
088.) Qual a probabilidade de um candidato acertar uma questão de 5 alternativas se respondê-
la ao acaso?
A) 0,1
B) 0,2
C) 0,3
D) 0,4
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52
089.) Numa caixa havia 3 meias vermelhas, 2 brancas e 1 preta. João retirou 3 meias da caixa.
Sabendo-se que nenhuma delas era preta, podemos afirmar, sobre as 3 meias retiradas, que:
(A) são vermelhas.
(B) são da mesma cor.
(C) pelo menos uma é vermelha.
(D) uma é vermelha e duas são brancas.
6. mATriZES
6.1. CONCEITO
Matriz m x n é uma tabela de m . n números reais dispostos em m linhas (filas horizontais) e n
colunas (filas verticais).
Exemplos:
(A)►
A = 4� � é uma matriz 2 x 1 B =
1 �
� � 4
� �
é uma matriz 3 x 2 C =
1 4 � �
� � �
� � 6
é uma
matriz 3 x 3
6.2. REPRESENTAÇÃO DE UMA MATRIZ
Consideremos uma matriz A do tipo m x n. Um elemento qualquer dessa matriz será
representado pelo símbolo aij, onde o índice i refere-se à linha em que se encontra tal
elemento e o índice j refere-se à coluna em que se encontra o elemento.
Exemplo
(B)►Seja a matriz A =
� �
4 � 1
� � �
6.3. CONSTRUÇÃO DE MATRIZES PARTINDO DE UMA LEI
(EXEMPLO 084) ► Escreva a matriz A = (aij)2 x 2, onde aij = 2i + j.
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6.4. TIPOS DE MATRIZES
6.4.1. Matriz Quadrada
Considere uma matriz m x n. Quando m = n (o número de linhas é igual ao número de colunas),
diz-se que a matriz é quadrada de ordem n x n ou simplesmente de ordem n.
Exemplo:
(D)►
� 4 6
� � 1
� 1 � �
é uma matriz de ordem 3.
6.4.2. Matriz Triangular
Considere uma matriz quadrada de ordem n. Quando os elementos acima ou abaixo da
diagonal principal são todos nulos, dizemos que a matriz é triangular.
Exemplos:
(E)►
, e
6.4.3. Matriz Diagonal
A matriz quadrada de ordem n em que todos os elementos acima e abaixo da diagonal
principal são nulos é chamada de matriz diagonal.
Exemplos
(F)►
e
6.4.4. Matriz Nula
A matriz que tem todos os elementos iguais a zero é chamada de matriz nula. A matriz nula de
ordem m x n é indicada por 0m x n e a matriz nula de ordem n por 0n.
Exemplos:
(G)►
e
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6.5. IGUALDADE DE MATRIZES
Duas matrizes de mesmo tipo m x n são iguais quando todos os seus elementos
correspondentes são iguais.
Exemplo:
(H)► Determinando a, b, c, d de modo que se tenha a igualdade seguinte, o valor de a + b –
c.d é:
=
6.6. OPERAÇÕES
6.6.1. Adição e Subtração
Dadas duas matrizes, A = (aij)m x n e B = (bij)m x n, a matriz soma A + B é a matriz C = (cij)m x n,
onde cij = ai j + bij para todo i e todo j.
Assim, a matriz soma C é do mesmo tipo que A e B, de modo que cada um de seus elementos
é a soma de elementos correspondentes de A e B, conforme exemplo a seguir:
(I)► + = (J)► - =
(EXEMPLO 085) ► Dada as matrizes A e B determine A+B.
6.6.2. Multiplicação de um número real por uma matriz
(EXEMPLO 086) ► Seja A =
� � 1
� � �
6 1�
então 2.A vale
(EXEMPLO 087) ► Resolver a equação matricial 2X = A + B, conforme segue, onde
A = 1 �� � � e B =
� � 1
� 1 �
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(EXEMPLO 088) ► CFOE 2019 Considere as matrizes 








135
142
A e









204
123
B . O valor de 2A - 3B é dado por:
A) 





 331
021
B) 





 862
125
C) 







139
265
D) 







4622
51413
6.6.3. Multiplicação de Matrizes
Dadas as matrizes A = (aij)m x n e B = (bij)n x p, chama-se produto de A por B, e indica-se por A . B,
a matriz C = (cik)m x p, onde um elemento qualquer c é obtido da seguinte maneira:
Regra:
Observações:
1º) O produto AB existe, se e somente se, o número de colunas de A for igual ao número de
linhas de B.
2º) A matriz produto C = AB é uma matriz cujo número de linhas é igual ao número de linhas de
A e o número de colunas é igual ao número de colunas de B.
A(m x n) . B(n x p) = C(m x p)
3º) Notemos que, se A é do tipo m x n e B é do tipo n x p, com p diferente de m, então A.B
existe, mas B.A não existe.
(EXEMPLO 089) ► Dados A =
� �
� �
1 4
e B = � 16 � , determine A.B e B.A
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(EXEMPLO 090) ► CFOE 2012 Sejam as matrizes � � � 1� � e B =
� �
4 1 . Sobre a matriz
C = (A + B)2, é correto afirmar que
a) a soma dos elementos da 1ª coluna é igual a soma dos elementos da 2ª coluna.
b) todos os seus elementos são múltiplos de 3.
c) a soma dos elementos da 1ª linha é igual a soma dos elementos da 2ª linha.
d) nenhum de seus elementos é divisível por 6.
6.6.4. Matriz Transposta
Seja A uma matriz m x n. Denomina-se matriz transposta de A (indica-se por At) a matriz n x m
cujas linhas são, ordenadamente, as colunas de A.
Exemplo:
(P)► A = 6 � �4 � ⇒ A
t = 6 4� � �
(EXEMPLO 091) ► CFOE 2018 Considere a equação matricial X = Ct – A.B. Sabendo que A e
B são matrizes 3 x 5 e 5 x 2, respectivamente, determine o tipo da matriz C de modo que X seja
a matriz solução da equação.
a) 3 x 2
b) 2 x 3
c) 3 x 5
d) 5 x 2
(EXEMPLO 092) ► CFOE 2009 Sendo as matrizes A =
1 � 1
� � 4
� 1 � ��
,B =
1 � �
4 1 �
� � 4
e a matriz
X – 2A + B = 0, a soma dos elementos da 1ª linha da matriz X é:
A) 7
B) 5
C) 4
D) 3
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TESTES
090.) Se A = � 1 �� 1 e B =
4 �
1 � , então a matriz 2A -
�
�
é:
A) � 4 � 17h� �
B) � 19h� �
C) � 4 � 17h� �
D) � � � �1 1
091.) Sejam A e B as matrizes
� � �⿏��䀀4��㟸 ⿏�� � ��
� � ����䀀��4㟸 ��� � ��
. Se C = A.B, então c22 vale:
a) 3
b) 14
c) 56
d) 84
e) 258
092.) Sejam as matrizes A3 x 2, B3 x 3 e C2 x 3. A alternativa em que a expressão é possível de ser
determinada é:
A) B²(A + C)
B) (BA) + C
C) (CB) + A
D) (AC) + B
093.) Dada a matriz A = � 1 �1 � , seja A
t a sua transposta. O produto A . At é a matriz:
A) � 1 �� 4
B) 1 � 1� 1 �
C) � �� 4
D) � 14 1
094.) Sejam as matrizes M = � 1� � 1 e T =
�
� . Se M .T é a matriz nula 2 x 1, então p .q é
igual a:
A) -12
B) -15
C) -16
D) -18
E) -20
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7. DETErmiNANTES
Toda matriz quadrada tem, associado a ela, um número chamado de determinante
da matriz, obtido a partir de operações que envolvem todos os elementos da matriz.
7.1. DETERMINANTE DE MATRIZ QUADRADA DE ORDEM 1
Seja a matriz A = [a11], quadrada de ordem 1. Por definição, o determinante de A é igual ao
número a11.
Indicamos assim: det A = a11.
Exemplos:
(A)► A = [ 4 ] ⇒det A = 4 (B)► B = [ -1 ] ⇒det B = -1
7.2. DETERMINANTE DE UMA MATRIZ QUADRADA DE ORDEM 2
Se A é uma matriz quadrada de ordem 2, calcula-se o seu determinante fazendo o produto
dos elementos da diagonal principal MENOS o produto dos elementos da diagonal
secundária.
Exemplos:
(C)►Calcule o determinante A = � 1 �� 1 ⇒ det A = (-1).1 – 2 . 0 = - 1 – 0 = -1. Logo,
det A = - 1.
(D)►Calcule o determinante B = 4 6� � ⇒ det B = 4 .5 – 2 .6 = 20 – 12 = 8. Logo, det B = 8.
(EXEMPLO 093) ► Calcule o determinante � � 1
� � �
.
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7.3. MATRIZ INVERSA
Só existe matriz inversa se o determinante for diferente de zero. Caso seja zero,
chamaremos a matriz de matriz SINGULAR.
Siga quatro passos básicos:
1º: Calcular o determinante da matriz;
2º: Trocar de Posição os elementos da diagonal Principal;
3º: Trocar de Sinal os elementos da diagonal Secundária;
4º: Dividir todos os elementos da matriz pelo determinante;
(EXEMPLO 094) ► Qual a matriz inversa de A = � 1 6� 1
MATRIZ INVERSA DE ORDEM 3 X 3
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7.4. DETERMINANTE DE MATRIZ DE ORDEM 3
Regra de Sarrus (regra prática calcular determinantes de ordem 3)
Na prática deve proceder-seda seguinte forma:
Repete-se as duas primeiras colunas à direita da matriz dada e efetuam-se as seguintes
multiplicações:
⇒ Os produtos obtidos na direção da diagonal principal permanecem com o mesmo sinal;
⇒ Os produtos obtidos na direção da diagonal secundária mudam de sinal;
⇒ O determinante é a SOMA dos valores assim obtido.
Exemplo:
(EXEMPLO 095) ► Calcule o determinante de A =
� 1 �
� � � �
� 1 4 � �
.
(EXEMPLO 096) ► CFOE 2012 Seja a matriz
� � � 4 17
� � � � �
� 7 � � 1
.
O valor de x para que o determinante dessa matriz seja nulo é um número
a) natural par.
b) divisível por 3.
c) natural e menor que 7.
d) inteiro e menor que – 3.
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7.5. PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES
1ª propriedade: Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada M
forem iguais a zero, seu determinante será nulo, isto é, det M = 0.
2ª propriedade: Se os elementos correspondentes de duas linhas (ou duas colunas) de
uma matriz quadrada M forem iguais, seu determinante será nulo, isto é, det M = 0.
3ª propriedade: Se uma matriz quadrada M possui duas linhas (ou duas colunas)
proporcionais, seu determinante será nulo, isto é, det M = 0.
4ª propriedade: Se todos os elementos de uma linha (ou de uma coluna) de uma matriz
quadrada são multiplicados por um mesmo número real k, então seu determinante fica
multiplicado por k.
5ª propriedade: Se uma matriz quadrada M de ordem n é multiplicada por um número real k,
o seu determinante fica multiplicado por kn, isto é: Det (k.Mn) = kn.det Mn
6ª propriedade: O determinante de uma matriz quadrada M é igual ao determinante de sua
transposta, isto é, det M = det (Mt).
7ª propriedade: Se trocarmos de posição entre si duas linhas (ou duas colunas) de uma
matriz quadrada M, o determinante da nova matriz obtida é o oposto do determinante da
matriz anterior.
8ª propriedade: O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos
da diagonal principal.
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9ª propriedade: Sendo A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem e AB a matriz-
produto, então det (A.B) = (det A).(det B) ⇒(teorema de Binet)
10ª propriedade: O determinante da matriz inversa M-1 é o inverso do determinante da
matriz M.
(EXEMPLO 097) ► CFOE 2012 Informe se é verdadeiro (V) ou falso (F) o que se afirma
abaixo e depois assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
( ) O determinante de uma matriz quadrada de ordem 3 e que apresenta todos seus
elementos iguais a 2 é igual a 0.
( ) Os valores dos determinantes de uma matriz de ordem 2 e de sua transposta são
sempre iguais.
( ) Uma matriz quadrada A e uma matriz quadrada B obtida pela troca de duas linhas ou
duas colunas de A apresentam determinantes iguais.
( ) O determinante de uma matriz identidade de ordem 3 é igual a 0.
a) V – F – F – V b) F – F – V – V
c) F – V – V – F d) V – V – F – F
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TESTES
095.) Se ⿏ �� � = 0, então o determinante de
⿏ � �
� � 1
� � �
é:
A) 0
B) bc
C) 2bc
D) 3bc
096.) O valor do número real x que verifica a equação
� 1 �
� � � 1 �
� 1 �
= 4 é:
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
097.) Dada a matriz A = � �� 1 � , sendo A
t sua transposta, o determinante da matriz A.At é:
A) 1
B) 7
C) 14
D) 49
098.) Uma matriz A, de ordem 3, é tal que, em cada linha, os elementos são termos
consecutivos de uma progressão aritmética de razão 3. Se as somas dos elementos da
primeira, segunda e terceira linhas valem 12, 0 e 3, respectivamente, o determinante de A é:
A) 4
B) 2
C) 0
D) -2
099.) Seja a matriz A = � �� � , em que x, y, z, t  R. Se os números x, y, z e t, nesta ordem,
constituem uma PG de razão ½, o determinante dessa matriz é igual a:
A) � ��
4
B) � ��
�
C) ¼
D) 0
100.) O valor de x que torna o determinante
� � 1
� 1 �
� � 1
nulo é:
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
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101.) Se o valor do determinante da matriz
� � �
� � �
� � �
é 6 2 , então (mpq)² é igual a:
A) 16
B) 18
C) 24
D) 28
102.) Considere a matriz A =
7h� � �
4 8 �
1� � �h7
. O determinante associado à matriz A2, é
igual a:
A) 0;
B) 1;
C) 25;
D) 64;
103.) A soma das soluções da equação
� 1 1
� � �
� � �
= 0 é:
A) – 1
B) 0
C) 1
D) 3
104.) Dada a equação
�� � 1 �
� �� 1
� � � 1
= 45, seu conjunto solução é:
A) {1 , 2}
B) {3 , 2}
C) {-1 , -2}
D) {1 , -2}
105.) Se uma matriz A = (aij)3x3 é tal que aij =
� � �㟸 �� � � �
�㟸 �� � � �
�㟸 �� � ♸ �
, julgue os itens a seguir se
verdadeiros (V) ou falsos (F).
1. ( ) o produto dos elementos da diagonal principal da matriz A é igual a 6.
2. ( ) a soma dos elementos da diagonal secundária da matriz A é igual a 9.
3. ( ) os elementos da 3ª coluna da matriz A são todos iguais.
4. ( ) os elementos da 1ª linha da matriz A estão em ordem crescente.
106.) Sejam A e B matrizes 3x3 tais que det(A) = 3 e det(B) = 4. Então det(A . 2B) é igual a:
a) 32
b) 48
c) 64
d) 96
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65
8. SiSTEmAS LiNEArES DE N EQUAÇÕES E N iNCÓGNiTAS
São sistemas em que o número de equações é igual ao número de incógnitas.
Usaremos sistemas 2x2 e 3x3, isto é, de duas e três variáveis respectivamente.
Para resolvê-los utiliza-se a Regra de Cramer.
8.1. REGRA DE CRAMER
1º) Calcula-se determinante formado pelos coeficientes das incógnitas.
2º) Se este determinante for diferente de zero, a solução do sistema será:
x = ��
�
y = ��
�
z = ��
�
onde, Dx, Dy e Dz são obtidos substituindo-se, no determinante D, a coluna da variável x, y
e z, respectivamente, pelos termos independentes.
(EXEMPLO 098) ►
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8.2. DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR
8.2.1. SISTEMA POSSÍVEL:
a) Determinado (única solução) D  0
b) Indeterminado (infinitas soluções)  D=0 e Dx = Dy = Dz = … = 0
8.2.2. SISTEMA IMPOSSÍVEL: ou incompatível (sem solução)  D=0 e Dx ou Dy ou Dz
ou …  0
(EXEMPLO 099) ► CFOE 2011 Para que o seguinte sistema
�� � ⿏� � 4� � �
� � �⿏� � 4� � 1
� � ��� 4� � �
seja possível e indeterminado, o valor de a deve ser
a) diferente de -1
b) igual a 1
c) diferente de 1
d) igual a -1
OBSERVAÇÃO:
É o sistema linear que apresenta todos os termos independentes nulos.
(EXEMPLO 100) ► CTISM/2010 Dado o sistema de equações lineares a�x � b�y � cx � y � � , em
que x e y são incógnitas; a, b e c são números reais. Para que o sistema seja homogêneo e
admita apenas a solução trivial, deve – se ter
(a) c  0 e a  b
(b) c  0 e a = b
(c) c = 0 e a  b
(d) a = b = c = 0
(e) c = 0 e a = b
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67
(EXEMPLO 101) ► CFOE 2010 Considere um sistema de duas equações lineares com
duas variáveis. Resolvendo-o pelo método de eliminação, chegou-se à igualdade 3 = 3.
Nessas condições, pode-se afirmar que o sistema
a) não admite solução.
b) admite uma única solução.
c) admite apenas duas soluções.
d) admite infinitas soluções.
TESTES
107.) (PUC – MG ADAPTADA) O valor de y tal que





222
632
yx
yx
é:
a) -3
b) -2
c) 4
d) 5
108.) CTISM ADAPTADA Os valores de x e y que satisfazem ao sistema
�� � �� � � �
� � �� � 9
são dois números:
(a) fracionários
(b) naturais
(c) simétricos
(d) negativos
109.) UFSM ADAPTADA No sistema �x � �y � ��x � ay � 7 , o valor de “a” para que o mesmo não
possua solução deve ser:
a) 9/2
b) –9/2
c) –3
d) 3
110.) FUVEST – SP Se
�� ��� �� � 14
4�� �� � ��
6� � 18
então x é igual a:
a) 27
b) 3
c) 0
d) -2
e) 1
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68
111.) UFSM Um espetáculo de dança foi apresentado em um teatro que possui um total de
340 poltronas. Trinta ingressos foram distribuídos gratuitamente, x ingressos foram vendidos
a R$ 7,00 e y ingressos, a R$ 14,00. Estando com lotação esgotada, foi recolhido, com a
venda dos ingressos, um total de R$ 3.360,00. Se esses ingressos tivessem sido vendidos,
respectivamente, a R$ 10,00 e R$ 20,00,o valor recolhido (em reais) seria de:
a) 4.500.
b) 4.800.
c) 5.480.
d) 6.200.
112.) Considere o sistema linear
� � � � �� � 1
��� �� � 4
4�� ⿏� � �
onde a e b são números reais.
Assinale V nas afirmações verdadeiras e F nas falsas.
( ) Se a = -6, o sistema é impossível qualquer que seja b.
( ) Se b  8, o sistema tem infinitas soluções qualquer que seja a.
( ) se a  - 6, o sistema é possível e determinado qualquer que seja b.
A seqüência correta é
a) V – V – F.
b) V – V – V.
c) V – F – V.
d) F – F – V.
e) F – V – F.
113.) PEIES ADAPTADA O valor da expressão A = (2x – y). �, onde x, y e z são soluções
do sistema
��� � � �� � 1
4�� ��� 6� � � �
6�� 6�� 6� � � 1
é:
(a) � �
�
(b) � � ��
(c) 0
(d) 2/3
114.) PEIES - 2007 Seja (a, b, c) solução do sistema
��� � � � � �
6�� � � �� � 9
��� � � �� � 7
. Então, é correto
afirmar que:
(a) a < b – c
(b) a, b, c são números inteiros.
(c) a < b < c.
(d) ⿏ � ���
�
(e) a, b, c são números negativos.
115.) UFSM Para que o sistema
� � � � �� � �
�� ��� � � �
��� � � � � �
tenha soluções diferentes da solução x = y
= z = 0, k deve ser um número real tal que:
a) k = -1 ou k = 0
b) k = 2 ou k = 1
c) k > 1
d) k < -1
e) k ≠ 0
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69
116.) PEIES - 2009 Para que o sistema de equações lineares
com incógnitas x, y e z possua solução, a constante  deve ser igual a:
(a) -2
(b) -1
(c) 0
(d) 1
(e) 2
117.) UNIFRA-2001/1 Sejam x, y e z três pessoas. Sabe-se que x tem tantos anos tanto y e
z tem juntos; a idade de y é a diferença entre o dobro da idade de x e 50; a idade de z é a
diferença entre o triplo da de y e 80. Nessas condições, a soma das idades dessas três
pessoas é:
a) 160
b) 150
c) 120
d) 100
e) 80
118.) Se V = {(a;b;c)} é o conjunto-verdade do sistema
� � � � 9
� � � � 8
� � � � 1�
então a + b + c é igual a:
a) 10
b) 12
c) 15
d) 18
e) 20
119.) A solução do sistema �� � �� � �4� � �� � 1 é:
a) x = 1; y = 2.
b) x = y = 1
c) x = y = 2
d) x = - 1; y = 4
120.) Resolva o sistema linear abaixo:
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70
9. NÚmErOS COmPLEXOS
9.1. INTRODUÇÃO:
No conjunto dos números complexos, além de todos os números reais já conhecidos,
incluímos também as raízes de números negativos. Portanto, o conjunto dos números
complexos é uma ampliação do conjunto dos números reais. O conjunto dos números
complexos foi formado admitindo-se a existência da unidade imaginária.
Exemplos
(A)►
(B)►
9.2. UNIDADE IMAGINÁRIA:
A unidade imaginária dos números complexos, representada por i, é a raiz quadrada da
unidade negativa, ou seja:
Elevando ao quadrado ambos os membros da equação, temos:
i2 = –1
OBSERVAÇÃO:
Na resolução de uma equação do 2º grau, com discriminante negativo (∆ < 0), as raízes
complexas imaginárias são obtidas a partir da unidade imaginária. Veja:
Exemplos
(EXEMPLO 102) ► x2 – 6x + 13 = 0 (EXEMPLO 103)► x² - 2x + 10 = 0
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71
Observando os resultados, podemos afirmar que todos os números complexos são
compostos de duas partes. Uma delas é real, e a outra é imaginária.
9.3. FORMA ALGÉBRICA:
Todo número complexo Z pode ser representado pela forma algébrica Z = a + bi
onde a e b são números reais.
Observação:
Na forma algébrica, a é a parte real e b é a parte imaginária do número complexo Z, ou seja:
EXEMPLO:
(E)► Do numeral a seguir Z = 3 – 8i podemos dizer que:
Parte Real Re(Z) = Parte Imaginária (Im) =
EXEMPLO:
(F)► Quais devem ser os valores de x e y para que o número Z = (x – 1) + (y – 5).i seja:
Imaginário puro.
real.
Imaginário.
9.4. CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS:
Como o conjunto R dos números reais é subconjunto do
conjunto C dos números complexos, todo número real também é um número complexo.
Observação:
A diferença C - R resulta no conjunto dos números imaginários.
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9.5. IGUALDADE DE NÚMEROS COMPLEXOS:
Dois números complexos são iguais se, e somente se, têm respectivamente as mesmas
partes reais e as mesmas partes imaginárias, ou seja:
Z1 = a + bi e Z2= c + d.i logo Z1 = Z2 a = c e b = d
(EXEMPLO 104) CFOE 2014 Considere as igualdades:
�m � 4䀀 � ��n – �䀀i � 1 � 7i
p – 1 � q – 4 i � � – �i
Dispondo-se os valores de m, n, p e q em ordem crescente, obtém-se
a) q, m, p, n.
b) q, n, m, p.
c) m, q, p, n.
d) n, p, m, q.
9.6. OPERAÇÕES NA FORMA ALGÉBRICA:
9.6.1. ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
A soma (ou diferença) de dois números complexos é obtida através da soma (ou diferença)
das partes reais e das partes imaginárias, ou seja:
Z1 = a + bi e Z2 = c + di
Z1 + Z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d). i
Z1 – Z2 = (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d). i
Exemplos:
(H)► Seja Z1 = 3 - 5i e Z2 = 4 + i então
Z1 + Z2 =
Z1 – Z2 =
9.6.2. MULTIPLICAÇÃO
O produto de dois números complexos é obtido através da propriedade distributiva usual
para expressões reais.
Z1 = a + bi e Z2 = c + di ► Z1 . Z2 = (a + bi) . (c + di)
Exemplo:
(I)► Seja Z1 = 3 - 5i e Z2 = 4 + i então Z1 . Z2 =
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(EXEMPLO 105) ► (BOATEMÁTICA 2014) Sendo Z um número complexo e i a unidade
imaginária, resolva a equação Z + i.Z = 2 + 7i
OBSERVAÇÃO: CONJUGADO DE UM COMPLEXO
O conjugado de um número complexo Z = a + bi, representa-se por z�, é o número complexo
z� = a – bi.
Z = a + bi  z� = a – bi
(EXEMPLO 106) EEAR 2013 Seja z’ o conjugado de um número complexo z. Sabendo que
z = a + bi e que 2z + z’ = 9 + 2i, o valor de a + b é
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
9.6.3. DIVISÃO
A divisão entre dois números complexos é efetuada multiplicando-se e dividindo-se o
quociente dado pelo complexo conjugado do denominador, ou seja:
Exemplos:
(K)►
(L)►
(M)►
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(EXEMPLO 107) ► (UFSM Adaptada) O valor de a para que o quociente dos complexos
�⿏���
���
, seja o número real é:
a) –3/2
b) –2
c) –3/4
d) –3
9.7. POTÊNCIAS DE "i"
As potências do tipo in, com n natural, se repetem periodicamente:
Conclusão:
Para um expoente maior ou igual a quatro, basta dividirmos por 4 e tomarmos o resto, ou
seja:
in = ir onde r é o resto da divisão n |4
r
(EXEMPLO 108) ► EEAR 2008 Calculando i2053, obtém-se
a) 1.
b) i.
c) – i.
d) – 1.
(EXEMPLO 109) ► CFOE 2010 Sobre números complexos, considere as assertivas a
seguir e assinale a alternativa que aponta as corretas.
I. i2009= −i.
II. (1 – i)2 = –2i.
III.
a) Apenas I e II.
b) Apenas I e III.
c) Apenas II e III.
d) I, II e III.
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9.8. PLANO DE ARGAND GAUSS E MODULO
(EXEMPLO 110) ► CFOE 2019 Dado o número complexo z = - 3 + 3i. O argumento
principal, em graus, deste número complexo z é dado por:
a) 45º.
b) 60º.
c) 135º.
d) 150º.
(EXEMPLO 111) ► UFRGS Se Z = � + i e Z’ = 3 + � . i, então Z . Z’ tem módulo e
argumento, respectivamente, iguais a:
(a) 2 � e 30o
(b) 3 � e 30o
(c) 3 � e 60o
(d) 4 � e 30o
(e) 4 � e 60o
(EXEMPLO 112) ► FCC Considere a igualdade x + (4 + y).i = (6 − x) + 2yi, em que x e y
são números reais e i é a unidade imaginária. O módulo do número complexo z = x + y.i, é
um número
(A) maior que 10.
(B) quadrado perfeito.
(C) irracional.
(D) racional não inteiro.
(E) primo.
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(EXEMPLO 113) ► FCC Sabe - se que se i e unidade imaginaria do conjunto dos números
complexos, então, para cada número natural n, a potência in e igual a 1, i, -1 ou –i. Usando
essa informação e correto afirmar que a soma e igual a
a. 0
b. -1- i
c. 1+ i
d. 1- i
e. i - 1
9.9. FORMA POLAR OU TRIGONOMÉTRICA DE Z:
Z = r (cos q + i.sen q)
(EXEMPLO 114) ► Dado o número z = 2 3 + 2i, como é a sua forma trigonométrica?
(EXEMPLO 115)► (UNIFRA) A forma algébrica do número complexo
y = 4. cos 11�
6
� �� ��� 11�
6
é
(A) 2 � + 2i
(B) 2 + 2 �i
(C) 3 - 2i
(D) � + 2i
(E) 2 � - 2i
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(EXEMPLO