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Aula 05
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente)
Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital
(Preparação de A a Z)
Autor:
Guilherme Neves
Aula 05
8 de Junho de 2020
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
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Sumário 
1. Lista de Questões de Concursos Anteriores ........................................................ 2 
2. Gabaritos ........................................................................................................... 15 
7. Lista de Questões de Concursos Anteriores com Comentários ........................ 18 
8. Considerações Finais ......................................................................................... 66 
 
 
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Oi, pessoal. 
Aqui quem vos fala é o professor Guilherme Neves outra vez!! 
Hoje faremos uma revisão geral de Estatística Descritiva com questões do CESPE. 
Não esqueçam de me acompanhar lá no instagram @profguilhermeneves para acompanhar dicas 
diárias. 
1. LISTA DE QUESTÕES DE CONCURSOS ANTERIORES 
 
(CESPE 2020/SEFAZ-DF) 
 
A partir de uma amostra aleatória simples de tamanho n, sabe-se que a média aritmética de uma 
variável X foi igual a 3. Considerando que os valores possíveis para a variável X sejam -1 e +4, 
julgue os itens que se seguem. 
1. Nessa amostra aleatória, a quantidade de observações iguais a +4 foi igual a 0,8 n. 
2. O desvio padrão amostral da variável X foi igual ou superior a 2. 
3. A mediana amostral da variável X foi igual a 2,5. 
4. A distribuição da variável X é simétrica em torno da sua média amostral. 
(CESPE 2016/TCE-PA) 
 
Um indicador de desempenho X permite avaliar a qualidade dos processos de governança de 
instituições públicas. A figura mostra, esquematicamente, a sua distribuição, obtida mediante 
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estudo amostral feito por determinada agência de pesquisa. A tabela apresenta estatísticas 
descritivas referentes a essa distribuição. 
Com base nessas informações, julgue os itens a seguir. 
5. O coeficiente de variação da distribuição de X é inferior a 0,8. 
6. O diagrama box-plot mostrado na figura sugere a existência de pelo menos duas 
observações atípicas. 
7. O intervalo interquartílico da distribuição do indicador X é superior a 1,4. 
8. X representa uma variável qualitativa ordinal. 
9. A distribuição do indicador X apresenta assimetria positiva (ou à direita). 
10. A amplitude total da amostra é inferior a 3. 
(CESPE 2016/TCE-PA) 
 
A tabela precedente apresenta a distribuição de frequências relativas da variável X, que 
representa o número diário de denúncias registradas na ouvidoria de determinada instituição 
pública. A partir das informações dessa tabela, julgue os itens seguintes. 
11. A amplitude total da amostra é igual ou superior a 5. 
12. A variável X é do tipo qualitativo nominal. 
13. A moda da variável X é igual a 2. 
14. A variância de X é inferior a 2,5. 
15. A distribuição da variável X é simétrica em torno da média. 
16. A mediana do número diário de denúncias registradas é igual a 2. 
(CESPE 2018/Polícia Federal) 
 
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Tendo em vista que, diariamente, a Polícia Federal apreende uma quantidade X, em kg, de 
drogas em determinado aeroporto do Brasil, e considerando os dados hipotéticos da tabela 
precedente, que apresenta os valores observados da variável X em uma amostra aleatória de 5 
dias de apreensões no citado aeroporto, julgue os itens. 
17. A mediana das quantidades X observadas na amostra em questão foi igual a 18 kg. 
18. O desvio padrão amostral da variável X foi inferior a 7 kg. 
19. A moda da distribuição dos valores X registrados na amostra foi igual a 22 kg. 
20. A tabela em questão descreve a distribuição de frequências da quantidade de drogas 
apreendidas nos cinco dias que constituem a amostra. 
 
(CESPE 2018/IPHAN) 
Define-se estatística descritiva como a etapa inicial da análise utilizada para descrever e resumir 
dados. Em relação às medidas descritivas, julgue os itens a seguir. 
21. São medidas descritivas as medidas de posição (tendência central e separatrizes), as de 
dispersão, as de assimetria e as de curtose. 
22. As medidas de tendência central são assim denominadas por indicarem um ponto em 
torno do qual se concentram as médias dos dados. 
23. A mediana é o valor que ocupa a posição central da série de observações de uma 
variável, dividindo-se o conjunto de valores ordenados em partes assimétricas desiguais. 
24. A moda é o valor que apresenta a maior frequência da variável entre os valores 
observados. 
 
(CESPE 2018/IPHAN) 
Julgue os itens subsequentes, referentes à análise exploratória de dados. 
25. O gráfico de barras é adequado para a análise de variáveis qualitativas ordinais ou 
quantitativas discretas, pois permite investigar a presença de tendência nos dados. 
26. O histograma é um diagrama de retângulos contíguos com base na curtose das faixas de 
valores da variável e com área igual à diferença da frequência absoluta da respectiva 
faixa. 
27. O BOXPLOT representa os dados em um retângulo construído com o primeiro e o 
segundo quartil, fornecendo informação sobre valores médios. 
28. O diagrama de dispersão é adequado para se descrever o comportamento conjunto de 
duas variáveis quantitativas. Cada ponto do gráfico representa um par de valores 
observados. 
29. A representação de diagramas de barras, de linha e de pizza possui escala de medida 
nominal e tem a moda como medida de tendência central. 
 
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(CESPE 2018/IPHAN) 
Uma pesquisa a respeito das quantidades de teatros em cada uma de 11 cidades brasileiras 
selecionadas apresentou o seguinte resultado: {1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4}. 
Com referência a esses dados, julgue os itens seguintes. 
30. A mediana do conjunto é igual a 3. 
31. O valor do primeiro quartil do conjunto de dados (Q1/4) é igual a 3. 
32. O valor do terceiro quartil do conjunto de dados (Q3/4) é igual a 4. 
 
(CESPE 2018/IPHAN) 
Cinco municípios de um estado brasileiro possuem as seguintes quantidades de patrimônios 
históricos: {2, 3, 5, 3, 2}. 
Admitindo que a média e o desvio-padrão desse conjunto de valores sejam iguais a 3 e 1,2, 
respectivamente, julgue os itens seguintes. 
33. Para esse conjunto de valores, a variância é igual a 3. 
 
34. O coeficiente de variação é superior a 0,3 e inferior a 0,5. 
 
(CESPE 2018/IPHAN) 
A tabela a seguir mostra as quantidades de bibliotecas públicas presentes em 20 microrregiões 
brasileiras. 
 
A partir desses dados, pretende-se construir um gráfico de distribuição de frequências com 
quatro classes de igual amplitude. Os valores mínimo e máximo de cada classe devem ser 
números inteiros. 
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Considerando essas informações, julgue o item subsequente, relativo ao gráfico de distribuição a 
ser apresentado. 
35. A amplitude de cada classe deverá ser superior a 6. 
 
36. A última classe deverá variar de 84 a 91. 
 
 
37. (CESPE 2017/CBM-AL) 
Natabela a seguir, A, B, C, D e E são as quantidades de resmas de papel A4 consumidas, em 
quatro meses, pelas seções administrativas I, II, III, IV e V, respectivamente. Apesar de não 
mostrar explicitamente essas quantidades, a tabela apresenta as frequências absolutas e(ou) 
relativas de algumas dessas quantidades. 
 
O gráfico de barras verticais a seguir apresenta as frequências absolutas de resmas consumidas 
pelas cinco seções. 
 
 
 
 
 
 
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(CESPE 2017/CBM-AL) 
O gráfico de setores a seguir mostra a distribuição das quantidades de incêndios em 
determinada região, nos meses de abril a setembro de determinado ano. 
 
Sabendo-se que nesses meses ocorreram 1.548 incêndios nessa região, julgue o item que se 
segue. 
38. A frequência relativa à classe “incêndios no mês de setembro” é superior a 30%. 
39. Nos meses de maio e junho ocorreram mais de 400 incêndios nessa região. 
 
40. (CESPE 2016/FUNPRESP) 
 
O gráfico ilustra cinco possibilidades de fundos de investimento com suas respectivas 
rentabilidades. Considerando que as probabilidades de investimento para os fundos A, B, C e D 
sejam, respectivamente, P(A) = 0,182; P(B) = 0,454; P(C)= 0,091; e P(D)= 0,182, julgue o item 
subsequente. 
O gráfico apresentado é um histograma. 
 
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(CESPE 2019/Prefeitura de São Cristóvão) 
Segundo o IBGE, a massa da renda média mensal real domiciliar per capita em 2016 foi de 
aproximadamente R$ 264 bilhões; a população brasileira nesse ano era de aproximadamente 
190 milhões de pessoas. 
 
A partir dessas informações, julgue os itens a seguir. 
41. A renda média mensal dos brasileiros em 2016 foi superior a R$ 1.300. 
 
42. O gráfico a seguir mostra que, em 2016, mais de 40% da massa de renda mensal real 
domiciliar per capita coube a 10% da população; ao restante coube menos de 60% dessa 
massa de renda. A partir do gráfico, é correto inferir que, naquele ano, em média, a renda 
mensal desses 10% da população era superior a R$ 10.000. 
 
(CESPE 2019/Prefeitura de São Cristóvão) 
A tabela seguinte mostra a distribuição das idades dos 30 alunos da turma A do quinto ano de 
uma escola de ensino fundamental. 
 
A partir dessa tabela, julgue o item. 
43. A moda dessa distribuição é igual a 11 anos. 
44. A mediana das idades é igual a 11,5 anos. 
45. O desvio padrão das idades é inferior a 1 ano. 
46. Se, em outra turma B, as frequências das idades fossem respectivamente iguais ao dobro 
das frequências da turma A, então a média aritmética das idades da turma B seria igual ao 
dobro da média da turma A. 
 
 
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47. (CESPE 2018/IFF) 
Considere que o peso de 5 pessoas, juntas em um elevador, seja de 340 kg. Se, em determinado 
andar, mais um indivíduo entrar no elevador, sem que dele ninguém desça, e a média aritmética 
dos pesos dessas 6 pessoas passar a ser de 70 kg, esse sexto indivíduo pesa 
a) 68,3 kg. 
b) 69 kg. 
c) 70 kg. 
d) 80 kg. 
e) 82 kg. 
 
(CESPE 2018/Polícia Federal) 
Considerando que a análise de uma amostra de minério de chumbo tenha apresentado os 
seguintes resultados percentuais (%): 8,10; 8,32; 8,12; 8,22; 7,99; 8,31, julgue o item a seguir, 
relativo a esses dados. 
48. O valor médio do teor de chumbo presente na amostra foi superior a 8%. 
49. O desvio padrão da análise em apreço é dado pela raiz quadrada do valor médio dividido 
pelo número de amostras, no caso, 6. 
50. A variância dos dados em apreço é dada pelo valor do desvio padrão ao quadrado. 
51. O coeficiente de variação da análise é dado pela razão entre o desvio padrão e a média, 
multiplicada por 100%. 
 
 
52. (CESPE 2018/PM-AL) 
Acerca de análise de dados, julgue o próximo item. 
O gráfico a seguir mostra a distribuição de frequência de delitos ocorridos em determinado 
bairro nos seis primeiros meses de 2018. 
 
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Nesse caso, a média dos delitos ocorridos no semestre considerado foi superior à média dos 
delitos ocorridos no segundo trimestre. 
 
53. (CESPE 2016/FUNPRESP) 
 
Considerando que os dados na tabela mostram salários de diferentes servidores que aderiram (1) 
ou não aderiram (0) a determinado plano de previdência complementar, julgue o item 
subsecutivo. 
A média dos salários do grupo que aderiu ao plano de previdência complementar é menor que a 
do que não aderiu ao plano. 
 
54. (CESPE 2018/IFF) 
A tabela a seguir mostra a distribuição das idades dos 30 alunos de uma sala de aula. 
 
Nesse caso, a média de idade dos alunos dessa sala é igual a 
a) 14 anos. 
b) 13 anos. 
c) 12 anos. 
d) 11 anos. 
e) 10 anos. 
 
55. (CESPE 2018/IFF) 
No registro das quantidades de filhos de 200 casais, verificaram-se os valores mostrados na 
tabela seguinte. 
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Nesse caso, a quantidade média de filhos para esse grupo de casais é igual a 
a) 0. 
b) 1. 
c) 2. 
d) 2,5. 
e) 3. 
 
56. (CESPE 2018/BNB) 
Em uma faculdade, para avaliar o aprendizado dos alunos em determinada disciplina, o professor 
aplica as provas A, B e C e a nota final do aluno é a média ponderada das notas obtidas em cada 
prova. Na prova A, o peso é 1; na prova B, o peso é 10% maior que o peso na prova A; na prova 
C, o peso é 20% maior que o peso na prova B. Nesse caso, se 𝑃", 𝑃$	𝑒	𝑃' forem as notas obtidas 
por um aluno nas provas A, B e C, respectivamente, então a nota final desse aluno é expressa 
por ()*+,,(-*+,.,(/
.,0,
. 
 
57. (CESPE 2018/SEFAZ-RS) 
Para a, b e c, números reais, positivos e distintos, são verdadeiras as seguintes propriedades: 
• 𝒂 < 𝒄 
• 𝒃 < 𝒂*𝒄
𝟐
< √𝒃𝒄 
A partir dessas propriedades, é correto concluir que 
a) 7*8
,
< 7*9*8
.
	 
b) 𝑎 > 𝑏 
c) 𝑐 < 7*9
,
 
d) 𝑎 < 𝑏 < 𝑐 
e) 𝑏 > 𝑐 
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58. (CESPE 2018/IFF) 
 
Foram feitas dez medidas do comprimento da caneta mostrada na figura. Os valores dessas 
medidas estão expressos na tabela a seguir. 
 
Com base nessas informações, é correto afirmar que o valor do desvio padrão, em mm, desse 
experimento é igual a 
a) 0,00. 
b) 0,64. 
c) 0,71. 
d) 0,80. 
e) 0,84. 
59. (CESPE 2016/TRT-8) 
Com relação à definição das medidas de tendência central e de variabilidade dos dados em uma 
estatística, assinale a opção correta. 
a) A moda representa o centro da distribuição, é o valor que divide a amostra ao meio. 
b) A amplitude total, ou range, é uma medida de tendência central pouco afetada pelos valores 
extremos. 
c) A mediana é o valor que ocorre mais vezes, frequentemente em grandes amostras. 
d) A variância da amostra representa uma medida de dispersão obtida pelo cálculo da raiz 
quadrada positiva do valor do desvio padrão dessa amostra. 
e) A média aritmética representa o somatório de todas as observaçõesdividido pelo número de 
observações. 
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(CESPE 2015/DEPEN) 
 
Considerando os dados da tabela mostrada, que apresenta a distribuição populacional da 
quantidade diária de incidentes (N) em determinada penitenciária, julgue os itens que se 
seguem. 
60. A distribuição de N não é simétrica em torno da média, apesar de a média e a mediana 
serem iguais. 
61. O desvio padrão da distribuição de N é igual ou inferior a 1,2. 
62. A amplitude total da distribuição é igual a 5, pois há cinco valores possíveis para a 
variável N. 
63. A moda da distribuição de N é igual a 4, pois esse valor representa a maior quantidade 
diária de incidentes que pode ser registrada nessa penitenciária. 
64. O segundo quartil da distribuição das quantidades diárias de incidentes registradas nessa 
penitenciária é igual a 2. 
65. (CESPE 2015/DEPEN) 
A diferença entre um censo e uma amostra consiste no fato de esta última exigir a realização de 
um número maior de entrevistas. 
(CESPE 2015/TELEBRAS) 
Considerando que os possíveis valores de um indicador X, elaborado para monitorar a qualidade 
de um serviço de cabeamento residencial para a comunicação de dados, sejam elementos do 
conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5} e que uma amostra aleatória de 5 residências tenha apontado os 
seguintes indicadores: 4, 4, 5, 4 e 3, julgue os próximos itens. 
 
66. A amplitude total da amostra aleatória foi igual a 5. 
67. A variância amostral dos indicadores observados foi igual a 0,5. 
68. A mediana e a moda dos indicadores registrados na amostra foram iguais a 4. 
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(CESPE 2014/ANTAQ) 
 
A tabela acima apresenta os resultados de uma pesquisa de satisfação realizada em uma amostra 
de usuários dos serviços de transporte fluvial prestados por uma empresa. Com base nessas 
informações e na tabela, julgue os próximos itens. 
69. A mediana da série de notas obtidas pela empresa é 3. 
70. O desvio padrão da série de notas obtidas pela empresa é inferior àquele que seria 
obtido caso todos os usuários tivessem avaliado a empresa com as notas 2 ou 3. 
71. A moda da série de notas obtidas pela empresa é 3. 
 
(CESPE 2014/TJ-SE) 
Segundo notícia veiculada recentemente, em rede nacional, os processos do judiciário estão 
demorando mais que o razoável porque os juízes têm de analisar, em média, 3 mil processos por 
ano. Para verificar o fato, um analista coletou a quantidade de processos de uma amostra de 10 
juízes, estando os resultados dispostos a seguir (em mil processos por ano). 
 
2 5 4 3 2 2 3 3,5 2,5 5 
 
Com base nessas informações e considerando que μ representa a média populacional por juiz, 
julgue o item subsequente. 
72. A estimativa pontual da média 𝝁 é superior a 3 mil. 
73. A mediana dos processos é igual a 2 mil. 
74. (CESPE 2014/ANATEL) 
O coeficiente de variação é uma medida de dispersão que pode ser negativa. 
75. (CESPE 2014/ANATEL) 
Em uma distribuição unimodal, se a mediana for igual à média, a moda também será igual à 
média. 
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2. GABARITOS 
 
 
01. C 
02. C 
03. E 
04. E 
05. E 
06. C 
07. E 
08. E 
09. C 
10. E 
11. E 
12. E 
13. E 
14. E 
15. C 
16. C 
17. E 
18. C 
19. C 
20. E 
21. C 
22. E 
23. E 
24. C 
25. C 
26. E 
27. E 
28. C 
29. C 
30. C 
31. E 
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32. C 
33. E 
34. C 
35. C 
36. C (Deveria ser errado) 
37. C 
38. C 
39. E 
40. E 
41. C 
42. E 
43. E 
44. E 
45. C 
46. E 
47. D 
48. C 
49. E 
50. C 
51. C 
52. C 
53. E 
54. D 
55. C 
56. E 
57. D 
58. E 
59. E 
60. C 
61. C 
62. E 
63. E 
64. C 
65. E 
66. E 
67. C 
68. C 
69. E 
70. E 
71. C 
72. C 
73. E 
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74. C 
75. E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7. LISTA DE QUESTÕES DE CONCURSOS ANTERIORES COM COMENTÁRIOS 
 
(CESPE 2020/SEFAZ-DF) 
 
A partir de uma amostra aleatória simples de tamanho n, sabe-se que a média aritmética de uma 
variável X foi igual a 3. Considerando que os valores possíveis para a variável X sejam -1 e +4, 
julgue os itens que se seguem. 
1. Nessa amostra aleatória, a quantidade de observações iguais a +4 foi igual a 0,8 n. 
2. O desvio padrão amostral da variável X foi igual ou superior a 2. 
3. A mediana amostral da variável X foi igual a 2,5. 
4. A distribuição da variável X é simétrica em torno da sua média amostral. 
Comentário 
Sabemos que a variável pode assumir os valores -1 ou 4 e que o tamanho da amostra é igual a n. 
Não sabemos qual é a frequência de cada um dos valores. 
Seja 𝑓 a frequência do número +4. Como o total de observações é 𝑛, então a frequência do 
número −1 será 𝑛 − 𝑓. 
𝑿 𝑭𝒓𝒆𝒒𝒖ê𝒏𝒄𝒊𝒂 
−𝟏 𝑛 − 𝑓 
+𝟒 𝑓 
Total 𝑛 
 
Sabemos que a média é igual a 3. Para calcular a média, devemos multiplicar cada valor pela sua 
frequência, somar os valores, e depois dividir por 𝑛. 
 
 
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19 
 
𝑿 𝑭𝒓𝒆𝒒𝒖ê𝒏𝒄𝒊𝒂 𝑿 ∙ 𝒇𝒊 
−𝟏 𝑛 − 𝑓 −1 ∙ (𝑛 − 𝑓) 
+𝟒 𝑓 4 ∙ 𝑓 
Total 𝑛 −1 ∙ (𝑛 − 𝑓) + 4𝑓 
 
A média é igual a 3. Logo, 
−1 ∙ (𝑛 − 𝑓) + 4𝑓
𝑛 = 3 
 
−𝑛 + 𝑓 + 4𝑓 = 3𝑛 
 
5𝑓 = 4𝑛 
 
𝑓 = 0,8𝑛 
Assim, a quantidade de observações iguais a +4 foi igual a 0,8n. O primeiro item está certo. 
 
Vamos agora calcular o desvio padrão. Comecemos calculando a variância, que é dada pela 
fórmula: 
𝑋, − Z𝑋[
,
 
Já sabemos o valor da média 𝑋, que é 3. Vamos agora calcular a média dos quadrados 𝑋, para 
aplicar a fórmula da variância. 
Na tabela anterior, vamos substituir 𝑓 por 0,8𝑛 e 𝑛 − 𝑓 por 𝑛 − 0,8𝑛 = 0,2𝑛. 
 
𝑿 𝑭𝒓𝒆𝒒𝒖ê𝒏𝒄𝒊𝒂 𝑿𝟐 𝑿𝟐 ∙ 𝒇𝒊 
−𝟏 0,2𝑛 (−1), = 1 1 ∙ 0,2𝑛 = 0,2𝑛 
+𝟒 0,8𝑛 (+4), = 16 16 ∙ 0,8𝑛 = 12,8𝑛 
Total 𝑛 Digite	a	equação	aqui. 13𝑛 
 
Assim, a média dos quadrados é: 
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20 
 
𝑋, =
13𝑛
𝑛 = 13 
SE estivéssemos querendo calcular a variância populacional, o valor SERIA: 
𝜎, = 𝑋, − Z𝑋[
,
 
 
𝜎, = 13 − 3, 
 
𝜎, = 4 
Assim, SE estivéssemos interessados no desvio padrão populacional, seu valor SERIA: 
𝜎 = √4 = 2 
Entretanto, queremos calcular o valor da variância amostral. Só poderíamos calcular seu valor 
exato se soubéssemos o valor de 𝑛. Entretanto, o problema não pede seu valor exato. 
Pois bem, para calcular a variância amostral, deveríamos multiplicar 𝑋, − Z𝑋[
,
 pelo fator k
kl+
. 
Assim, a variância amostral é dada por: 
𝑠, = 4 ∙
𝑛
𝑛 − 1 
Ora, como n é positivoe é maior do que n-1, então o número k
kl+
 é maior do que 1. Logo, 𝑠, 
será igual a 4 multiplicado por um número maior do que 1. Dessa forma, 𝑠, é maior do que 4. 
Como 𝑠, é maior do que 4, então 𝑠 é maior do que 2. Portanto, o desvio padrão é superior a 2. 
O segundo item afirma que o desvio padrão é igual ou superior a 2. Ora, como sabemos que o 
desvio padrão amostral é superior a 2, então é verdade dizer que é “igual ou superior a 2”. 
Estamos aqui usando uma regra da lógica proposicional: “para que uma proposição composta 
pelo “ou” seja verdadeira, basta que um de seus componentes seja verdadeira. Observe: 
𝑂	𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜	𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜	é	𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙	𝑎	2	yzzzzzzzz{zzzzzzzz|
}7~��
𝑜𝑢	 𝑜	𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜	𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜	é	𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟	𝑎	2.yzzzzzzzzz{zzzzzzzzz|
����7�����
���������������������������������������������
����7�����
 
Logo, o segundo item está certo. 
Vamos ao terceiro item. Queremos saber se a mediana da variável é igual a 2,5. Vamos observar 
a tabela. 
𝑿 𝑭𝒓𝒆𝒒𝒖ê𝒏𝒄𝒊𝒂 
−𝟏 0,2𝑛 
+𝟒 0,8𝑛 
Total 𝑛 
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21 
 
Sabemos que 20% dos valores são iguais a −1 e que 80% dos valores são iguais a +4. A mediana 
é o valor que fica exatamente no meio separando os 50% menores dos 50% maiores. 
 
−1,−1,−1,… ,−1yzzzzz{zzzzz|
,�%
, 4, 4, 4, 4, … , 4,yzzz{zzz|
.�%
�����������������������
0�%
	4, 4,4, … , 4, 4, 4yzzzz{zzzz|
0�%
�����������
0�%
 
O valor que separa os 50% menores dos 50% maiores é 4. A mediana é 4. Logo, o terceiro item 
está errado. 
Vamos ao último item. O último item afirma que a distribuição é simétrica em relação à média. 
Ora, temos 20% dos valores iguais a -1 e 80% dos valores iguais a 4. Essa distribuição não é 
simétrica. Só seria simétrica se tivéssemos 50% dos valores iguais a -1 e 50% dos valores iguais a 
4. O quarto item está errado. 
 
Gabarito: Certo, certo, errado, errado 
(CESPE 2016/TCE-PA) 
 
Um indicador de desempenho X permite avaliar a qualidade dos processos de governança de 
instituições públicas. A figura mostra, esquematicamente, a sua distribuição, obtida mediante 
estudo amostral feito por determinada agência de pesquisa. A tabela apresenta estatísticas 
descritivas referentes a essa distribuição. 
Com base nessas informações, julgue os itens a seguir. 
5. O coeficiente de variação da distribuição de X é inferior a 0,8. 
6. O diagrama box-plot mostrado na figura sugere a existência de pelo menos duas 
observações atípicas. 
7. O intervalo interquartílico da distribuição do indicador X é superior a 1,4. 
8. X representa uma variável qualitativa ordinal. 
9. A distribuição do indicador X apresenta assimetria positiva (ou à direita). 
10. A amplitude total da amostra é inferior a 3. 
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22 
 
Comentário 
Item I. 
 O coeficiente de variação é o quociente entre o desvio padrão e a média. 
𝐶𝑉 =
𝑠
𝑋
=
0,70
0,80 =
7
8 = 0,875 
O primeiro item está errado. 
 
Item II. 
Os outliers (valores discrepantes, valores atípicos) foram representados pelos dois pontinhos na 
parte superior do gráfico. O segundo item está certo. 
 
Item III. 
O intervalo interquartílico é a diferença entre o terceiro quartil e o primeiro quartil. 
𝑄. − 𝑄+ = 1,20 − 0,25 = 0,95 
O terceiro item está errado. 
 
Item IV. 
Ora, se foi possível obter a média, desvio padrão e outras medidas relativas à variável, então 
estamos diante de uma variável quantitativa. O quarto item está errado. 
 
Item V. 
Como a média é maior do que a mediana, então a assimetria é positiva. O quinto item está 
certo. 
 
Item VI. 
A amplitude total é a diferença entre o máximo e o mínimo. 
𝐴���7~ = 𝑥�á� − 𝑥�ík = 3,10 − 0 = 3,10 
O sexto item está errado. 
Gabarito: Errado, certo, errado, errado, certo, errado 
 
 
 
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23 
 
(CESPE 2016/TCE-PA) 
 
A tabela precedente apresenta a distribuição de frequências relativas da variável X, que 
representa o número diário de denúncias registradas na ouvidoria de determinada instituição 
pública. A partir das informações dessa tabela, julgue os itens seguintes. 
11. A amplitude total da amostra é igual ou superior a 5. 
12. A variável X é do tipo qualitativo nominal. 
13. A moda da variável X é igual a 2. 
14. A variância de X é inferior a 2,5. 
15. A distribuição da variável X é simétrica em torno da média. 
16. A mediana do número diário de denúncias registradas é igual a 2. 
Comentário 
Item I. 
A amplitude total é a diferença entre o maior elementos e o menor elemento. 
𝐴� = 4 − 0 = 4 
O primeiro item está errado. 
 
Item II. 
A variável X pode assumir os valores 0, 1, 2, 3 ou 4. Assim, a variável X é quantitativa discreta. 
O segundo item está errado. 
 
Item III. 
A moda é o valor (ou valores) de maior frequência. A variável X possui 2 modas: 0 e 4. O terceiro 
item está errado. 
 
Item IV. 
Para calcular a variância, vamos calcular a média de X e a média dos quadrados de X. 
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24 
 
Para calcular a média de X, devemos multiplicar cada valor de X pela respectiva frequência. Em 
seguida, devemos somar os resultados e dividir pela soma das frequências. Como estamos 
trabalhando com frequências relativas, a soma das frequências é 1. Logo, não precisamos dividir 
pela soma das frequências já que essa vale 1. 
 
Para calcular a média dos quadrados de X, devemos elevar cada valor de X ao quadrado e 
depois fazer o mesmo procedimento de cálculo para a média: devemos multiplicar cada valor de 
𝑋, pela sua respectiva frequência, somar os resultados e dividir pela soma das frequências 
(novamente não precisamos dividir pela soma das frequências já que essa vale 1). 
𝑿 𝒇𝒓 𝑿 ∙ 𝒇𝒓 𝑿𝟐 𝑿𝟐 ∙ 𝒇𝒓 
0 0,3 0 × 0,3 = 0 0, = 0 0 × 0,3 = 0 
1 0,1 1 × 0,1 = 0,1 1, = 1 1 × 0,1 = 0,1 
2 0,2 2 × 0,2 = 0,4 2, = 4 4 × 0,2 = 0,8 
3 0,1 3 × 0,1 = 0,3 3, = 9 9 × 0,1 = 0,9 
4 0,3 4 × 0,3 = 1,2 4, = 16 16 × 0,3 = 4,8 
Total 1,0 2,0 6,6 
 
Assim, as médias que buscamos são: 
𝑋 =
2,0
1,0 = 2,0 
𝑋, =
6,6
1,0 = 6,6 
SE estivéssemos calcular a variância populacional, o valor SERIA: 
𝜎, = 𝑋, − Z𝑋[
,
 
 
𝜎, = 6,6 − 2, 
 
𝜎, = 2,6 
Entretanto, queremos calcular o valor da variância amostral. Como sei que é uma variância 
amostral? Porque o primeiro item fala que é uma amostra. Só poderíamos calcular seu valor exato 
se soubéssemos o valor de 𝑛. Entretanto, o problema não pede seu valor exato. 
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25 
 
Pois bem, para calcular a variância amostral, deveríamos multiplicar 𝑋, − Z𝑋[
,
 pelo fator k
kl+
. 
Assim, a variância amostral é dada por: 
𝑠, = 2,6 ∙
𝑛
𝑛 − 1 
Ora, como n é positivo e é maior do que n-1, então o número k
kl+
 é maior do que 1. Logo, 𝑠, 
será igual a 2,6 multiplicado por um número maior do que 1. Dessa forma, 𝑠, é maior do que 2,6. 
 
Dessa forma, é incorreto dizer que a variância de X é inferior a 2,5. O quarto item está errado. 
 
Item V. 
No item anterior, vimos que a média de X é igual a 2. De fato, a distribuição é simétrica em torno 
de 2. Observea tabela: 
 
O quinto item está certo. 
 
Item VI. 
A mediana é o termo que separa os 50% menores dos 50% maiores. Observe que a frequência 
de 0 é 30%, a frequência de 1 é 10%. Até agora já temos 40% dos dados. 
O número 2 possui frequência 20%. Assim, o patamar de 50% é ultrapassado no número 2. Logo, 
a mediana é 2. 
O sexto item está certo. 
 
Gabarito: Errado, errado, errado, errado, certo, certo 
 
 
 
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26 
 
(CESPE 2018/Polícia Federal) 
 
Tendo em vista que, diariamente, a Polícia Federal apreende uma quantidade X, em kg, de 
drogas em determinado aeroporto do Brasil, e considerando os dados hipotéticos da tabela 
precedente, que apresenta os valores observados da variável X em uma amostra aleatória de 5 
dias de apreensões no citado aeroporto, julgue os itens. 
17. A mediana das quantidades X observadas na amostra em questão foi igual a 18 kg. 
18. O desvio padrão amostral da variável X foi inferior a 7 kg. 
19. A moda da distribuição dos valores X registrados na amostra foi igual a 22 kg. 
20. A tabela em questão descreve a distribuição de frequências da quantidade de drogas 
apreendidas nos cinco dias que constituem a amostra. 
Comentário 
Item I. 
Para calcular a mediana, devemos dispor os números em ordem crescente. 
10, 18, 22, 22, 28 
A mediana é o termo do meio. Logo, a mediana é igual a 22. 
O primeiro item está errado. 
 
Item II. 
Vou calcular o desvio padrão amostral de duas maneiras. 
A média dos valores é: 
𝑋 =
10 + 22 + 18 + 22 + 28
5 = 20 
Definimos “desvio” como a diferença entre cada número e a média. Assim, os desvios são: 
 
𝑑+ = 10 − 20 = −10 
𝑑, = 22 − 20 = 2 
𝑑. = 18 − 20 = −2 
𝑑� = 22 − 20 = 2 
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27 
 
𝑑0 = 28 − 20 = 8 
 
A variância é a média dos quadrados dos desvios. Em outras palavras, devemos elevar cada 
desvio ao quadrado, somar os valores e dividir pelo total de observações. Entretanto, como 
estamos trabalhando com uma amostra, precisamos fazer uma correção e trocar o denominador 
por n – 1. 
𝑠, =
(−10), + 2, + (−2), + 2, + 8,
5 − 1 
 
𝑠, =
176
4 = 44 
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Como 7, = 49, então a raiz quadrada de 44 é 
menor do que 7. Logo, o desvio padrão amostral é menor do que 7 e o segundo item está certo. 
Vamos calcular o desvio padrão de outra maneira agora. 
Quando subtraímos uma constante de todos os valores, o desvio padrão não é alterado. A 
sequência original de dados é (10, 22, 18, 22, 28). 
Assim, podemos subtrair QUALQUER constante de todos os valores e o desvio padrão não será 
alterado. Por exemplo, vou subtrair 22 de todos os números. A sequência obtida será: 
(−12, 0, −4, 0, 6) 
Assim, o desvio padrão dessa nova sequência é o mesmo desvio padrão da sequência original. 
 
Vamos agora calcular a média desses valores e também a média dos quadrados. 
 
𝑋 =
−12 + 0 − 4 + 0 + 6
5 = −2 
 
𝑋, =
(−12), + 0, + (−4), + 0, + 6,
5 =
196
5 
 
Vamos aplicar a outra fórmula da variância amostral. 
𝑠, = �𝑋, − Z𝑋[
,
� ×
𝑛
𝑛 − 1 
 
𝑠, = �
196
5 −
(−2),� ×
5
4 
 
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28 
 
𝑠, =
196
5 ×
5
4 − 4 ×
5
4 
 
𝑠, =
196
4 − 5 = 49 − 5 = 44 
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Como 7, = 49, então a raiz quadrada de 44 é 
menor do que 7. Logo, o desvio padrão amostral é menor do que 7 e o segundo item está certo. 
 
Item III. 
A moda é o termo que mais aparece. Como o número 22 tem a maior frequência, então o 
número 22 é a moda. 
O terceiro item está certo. 
 
Item IV. 
A tabela dada apenas mostra quais são os valores assumidos pela variável em 5 dias. Não temos 
uma distribuição de frequências. Uma distribuição de frequências seria uma tabela que 
relacionaria os valores com as respectivas frequências. A tabela abaixo é uma distribuição de 
frequências: 
𝑿 𝒇 
10 1 
18 1 
22 2 
28 1 
Total 5 
 
O quarto item está errado. 
 
Gabarito: Errado, certo, certo, errado 
 
 
 
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29 
 
(CESPE 2018/IPHAN) 
Define-se estatística descritiva como a etapa inicial da análise utilizada para descrever e resumir 
dados. Em relação às medidas descritivas, julgue os itens a seguir. 
21. São medidas descritivas as medidas de posição (tendência central e separatrizes), as de 
dispersão, as de assimetria e as de curtose. 
22. As medidas de tendência central são assim denominadas por indicarem um ponto em 
torno do qual se concentram as médias dos dados. 
23. A mediana é o valor que ocupa a posição central da série de observações de uma 
variável, dividindo-se o conjunto de valores ordenados em partes assimétricas desiguais. 
24. A moda é o valor que apresenta a maior frequência da variável entre os valores 
observados. 
Comentário 
Item I. 
O item I está certo. Lembre-se que a mediana é considerada medida de tendência central e 
também é considerada medida separatriz. 
 
Item II. 
O item II está errado. As medidas de tendência central indicam um ponto em torno do qual se 
concentram os dados e não “as médias dos dados”. 
 
Item III. 
A mediana de fato ocupa a posição central. Entretanto, a mediana pode dividir a distribuição em 
partes simétricas como também pode dividir em partes assimétricas. Veja os exemplos a seguir. 
 
Na figura acima, temos uma distribuição normal, que é simétrica. A mediana é 100 e divide a 
distribuição em duas partes simétricas. 
 
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30 
 
Na figura acima, coloquei como exemplo uma distribuição qui-quadrado com 6 graus de 
liberdade. A mediana vale aproximadamente 5,38. Veja que a parte da direita (em azul) não é 
igual à parte da esquerda (em branco). Temos aqui uma situação em que a mediana divide a 
distribuição em duas partes assimétricas. 
O terceiro item está errado. 
 
Item IV. 
O quarto item está certo. É a própria definição de moda. 
 
Gabarito: Certo, errado, errado, certo 
 
(CESPE 2018/IPHAN) 
Julgue os itens subsequentes, referentes à análise exploratória de dados. 
25. O gráfico de barras é adequado para a análise de variáveis qualitativas ordinais ou 
quantitativas discretas, pois permite investigar a presença de tendência nos dados. 
26. O histograma é um diagrama de retângulos contíguos com base na curtose das faixas de 
valores da variável e com área igual à diferença da frequência absoluta da respectiva 
faixa. 
27. O BOXPLOT representa os dados em um retângulo construído com o primeiro e o 
segundo quartil, fornecendo informação sobre valores médios. 
28. O diagrama de dispersão é adequado para se descrever o comportamento conjunto de 
duas variáveis quantitativas. Cada ponto do gráfico representa um par de valores 
observados. 
29. A representação de diagramas de barras, de linha e de pizza possui escala de medida 
nominal e tem a moda como medida de tendência central. 
Comentário 
Item I. 
Utilizamos o gráfico de colunas ou barras para dados agrupados por valor ou por atributo. O 
valor deve ser discreto. Já o atributo pode ser nominal ou ordinal. 
Imagine que estamosinteressados nas idades de alguns alunos. O gráfico relaciona as idades 
com as respectivas frequências. 
 
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31 
 
 
 
Em alguns casos, fica muito apertado escrever as características embaixo das colunas. Nesse 
caso, podemos utilizar barras justapostas. 
Imagine, por exemplo, que estamos interessados em saber a cidade natal de alguns alunos do 
Estratégia. Como algumas cidades possuem nomes muito grandes, poderíamos optar em usar 
um gráfico de barras. 
 
O primeiro item está certo. 
Item II. 
De fato, o histograma é um diagrama de retângulos contíguos. Entretanto, o histograma não é 
baseado na curtose das faixas de valores e a informação sobre a área do histograma também não 
procede. O texto é completamente sem sentido. 
As bases dos retângulos correspondem aos intervalos de valores e as alturas dos retângulos são 
as frequências ou densidades de frequências. 
O segundo item está errado. 
 
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32 
 
Item III. 
O Boxplot é formado pelos valores máximo, mínimo, pelos três quartis e pelos outliers. O 
boxplot NÃO fornece informações sobre os valores médios. O terceiro item está errado. 
 
Item IV. 
Imagine que realizamos uma pesquisa com 25 alunos do Estratégia. Para cada um desses alunos 
anotamos a sua altura em centímetros e a sua massa em quilogramas. 
Aluno Altura (cm) Massa (kg) 
1 158 55 
2 156 52 
3 177 74 
4 159 57 
5 164 64 
6 158 59 
7 184 91 
8 177 85 
9 168 66 
10 160 52 
11 173 68 
12 154 51 
13 172 83 
14 174 69 
15 173 70 
16 168 75 
17 155 47 
18 155 55 
19 181 87 
20 167 64 
21 164 62 
22 163 63 
23 166 63 
24 170 69 
25 171 67 
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33 
 
Esses são os nossos dados brutos. Fica difícil analisar a relação entre altura e massa apenas com 
essa tabela. Uma ideia é colocar esses dados em um gráfico. No eixo x vamos colocar as alturas 
em centímetros e no eixo y vamos colocar a massa em kg. 
 
Esse gráfico é denominado “diagrama de dispersão”. O quarto item está certo. 
 
Item V. 
O gabarito da banca foi dado como certo. 
É claro que, se estamos fazendo uma pesquisa, por exemplo, sobre as religiões de uma 
população, não temos como calcular a média ou a mediana, já que essa é uma variável 
qualitativa nominal. Nesse caso, usaríamos a moda como medida de tendência central. 
Entretanto, poderíamos muito bem utilizar um diagrama de pizza para representar uma variável 
quantitativa discreta e utilizar a média como medida de tendência central. Por isso, acho que a 
questão deveria ter o seu gabarito alterado para errado. 
 
Gabarito: Certo, errado, errado, certo, certo 
 
(CESPE 2018/IPHAN) 
Uma pesquisa a respeito das quantidades de teatros em cada uma de 11 cidades brasileiras 
selecionadas apresentou o seguinte resultado: {1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4}. 
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34 
 
Com referência a esses dados, julgue os itens seguintes. 
30. A mediana do conjunto é igual a 3. 
31. O valor do primeiro quartil do conjunto de dados (Q1/4) é igual a 3. 
32. O valor do terceiro quartil do conjunto de dados (Q3/4) é igual a 4. 
Comentário 
São 11 termos e eles já estão dispostos em ordem crescentes. Como o número de termos é 
ímpar, então a mediana será o termo de posição k*+
,
= ++*+
,
= 6. 
O sexto termo da sequência é 3. 
𝑀� = 𝑄, = 3 
Observe como fica a sequência. 
 
1, 2, 2, 3, 3yzz{zz|
 ú�����	à	��£¤���7	�7	����7k7
, 3⏟
¦§
, 4, 4, 4, 4, 4yzz{zz|
 ú�����	à	������7	�7	����7k7
 
 
A mediana dos números à esquerda será o primeiro quartil. Portanto, 𝑄+ = 2. 
A mediana dos números à direita será o terceiro quartil. Portanto, 𝑄. = 4. 
Gabarito: Certo, Errado, Certo 
 
(CESPE 2018/IPHAN) 
Cinco municípios de um estado brasileiro possuem as seguintes quantidades de patrimônios 
históricos: {2, 3, 5, 3, 2}. 
Admitindo que a média e o desvio-padrão desse conjunto de valores sejam iguais a 3 e 1,2, 
respectivamente, julgue os itens seguintes. 
33. Para esse conjunto de valores, a variância é igual a 3. 
 
34. O coeficiente de variação é superior a 0,3 e inferior a 0,5. 
 
Comentário 
A questão mandou utilizar os seguintes valores: 
 
𝑿 = 𝟑 
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35 
 
 
𝒔 = 𝟏, 𝟐 
Item I. 
A variância é o quadrado do desvio padrão. 
 
𝒔𝟐 = 𝟏, 𝟐𝟐 = 𝟏, 𝟒𝟒 
O primeiro item está errado. 
 
Item II. 
 
O coeficiente de variação é a razão entre o desvio padrão e a média. 
 
𝑪𝑽 =
𝒔
𝑿
= 𝟎, 𝟒 
O segundo item está certo. 
 
Gabarito: Errado, certo 
 
 
(CESPE 2018/IPHAN) 
A tabela a seguir mostra as quantidades de bibliotecas públicas presentes em 20 microrregiões 
brasileiras. 
 
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36 
 
A partir desses dados, pretende-se construir um gráfico de distribuição de frequências com 
quatro classes de igual amplitude. Os valores mínimo e máximo de cada classe devem ser 
números inteiros. 
 
Considerando essas informações, julgue o item subsequente, relativo ao gráfico de distribuição a 
ser apresentado. 
35. A amplitude de cada classe deverá ser superior a 6. 
 
36. A última classe deverá variar de 84 a 91. 
 
Comentário 
Item I. 
O maior valor é 91 e o menor valor é 60. Portanto, a amplitude total é 𝟗𝟏 − 𝟔𝟎 = 𝟑𝟏. Como 
queremos dividir em 4 classes, vamos dividir a amplitude total por 4. 
 
𝟑𝟏
𝟒 = 𝟕, 𝟕𝟓
 
Como os valores mínimo e máximo de cada classe devem ser números inteiros, então 
utilizaremos o menor inteiro maior do que 7,75 como amplitude de cada classe. Portanto, a 
amplitude de cada classe será: 
 
𝒉 = 𝟖 
 
Se colocássemos cada amplitude igual a 7, não conseguiríamos comportar todos os elementos. 
O primeiro item está certo. 
 
Item II. 
Como a amplitude de cada classe é 8 e o menor elemento é 60, então as classes serão. 
 
𝟔𝟎 ⊢ 𝟔𝟖 
𝟔𝟖 ⊢ 𝟕𝟔 
𝟕𝟔 ⊢ 𝟖𝟒 
𝟖𝟒 ⊢ 𝟗𝟐 
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37 
 
A banca considerou esse segundo item como certo, mas o gabarito deveria ser “errado”. 
 
Para chegar ao gabarito da banca, deveríamos utilizar a seguinte distribuição com amplitude 7 e 
intervalos fechados à direita e à esquerda: 
[𝟔𝟎; 𝟔𝟕] 
[𝟔𝟖; 𝟕𝟓] 
[𝟕𝟔; 𝟖𝟑] 
[𝟖𝟒; 𝟗𝟏] 
 
As duas formas de construir os intervalos estão corretas. Logo, o gabarito deveria ser “errado”. 
Gabarito: Certo, certo (o segundo item deveria ser errado). 
 
37. (CESPE 2017/CBM-AL) 
Na tabela a seguir, A, B, C, D e E são as quantidades de resmas de papel A4 consumidas, em 
quatro meses, pelas seções administrativas I, II, III, IV e V, respectivamente. Apesar de não 
mostrar explicitamente essas quantidades, a tabela apresenta as frequências absolutas e(ou) 
relativas de algumas dessas quantidades.O gráfico de barras verticais a seguir apresenta as frequências absolutas de resmas consumidas 
pelas cinco seções. 
 
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38 
 
Comentário 
Sabemos que 38 resmas correspondem a 19% do total. Se 𝑛 é o total de resmas, então: 
 
19%	𝑑𝑒	𝑛 = 38 
 
0,19𝑛 = 38 
 
𝑛 = 200 
A frequência absoluta de C é 20% de 200. 
𝑓8 = 20%	𝑑𝑒	200 =
20
100 × 200 = 40 
O valor da frequência de C no gráfico está correto. 
 
O total de resmas nas seções D e E é 36 + 44 = 80. Isso corresponde a 
80
200 =
40
100 = 40%	𝑑𝑜	𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙. 
 
 
Assim, já temos um total de 19% + 20% + 40% = 79% nas frequências relativas. Ainda 
precisamos de 100% - 79% = 21%, que corresponde à frequência relativa da seção B. 
Assim, a frequência absoluta de B é: 
21%	𝑑𝑒	200 =
21
100 × 200 = 42 
 
O valor da frequência de B no gráfico está correto. 
Logo, o gráfico de barras verticais está perfeito e o item está certo. 
Gabarito: Certo 
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39 
 
(CESPE 2017/CBM-AL) 
O gráfico de setores a seguir mostra a distribuição das quantidades de incêndios em 
determinada região, nos meses de abril a setembro de determinado ano. 
 
Sabendo-se que nesses meses ocorreram 1.548 incêndios nessa região, julgue o item que se 
segue. 
38. A frequência relativa à classe “incêndios no mês de setembro” é superior a 30%. 
39. Nos meses de maio e junho ocorreram mais de 400 incêndios nessa região. 
Comentário 
 
Item I. 
A soma de todos os ângulos é 360o. 
O mês de setembro corresponde a um ângulo de 120o, que é 1/3 da volta completa. A sua 
frequência relativa é: 
120
360 =
1
3 ≅ 33,33% 
O primeiro item está certo. 
 
Item II. 
Os meses de maio e junho, juntos, correspondem a 40o + 50o = 90o. Ora, 90o é o mesmo que 1/4 
da volta completa, ou seja, 25% do total. Assim, os meses de maio e junho correspondem a 
25%	𝑑𝑒	1.548 =
1
4 × 1.548 = 387	𝑖𝑛𝑐ê𝑛𝑑𝑖𝑜𝑠 
O segundo item está errado. 
 
Gabarito: Certo, errado 
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40 
 
40. (CESPE 2016/FUNPRESP) 
 
O gráfico ilustra cinco possibilidades de fundos de investimento com suas respectivas 
rentabilidades. Considerando que as probabilidades de investimento para os fundos A, B, C e D 
sejam, respectivamente, P(A) = 0,182; P(B) = 0,454; P(C)= 0,091; e P(D)= 0,182, julgue o item 
subsequente. 
O gráfico apresentado é um histograma. 
Comentário 
 
O gráfico acima é um gráfico de colunas justapostas. Um histograma representa dados que estão 
agrupados em intervalos de classe. Não é o caso. 
Gabarito: Errado 
 
(CESPE 2019/Prefeitura de São Cristóvão) 
Segundo o IBGE, a massa da renda média mensal real domiciliar per capita em 2016 foi de 
aproximadamente R$ 264 bilhões; a população brasileira nesse ano era de aproximadamente 
190 milhões de pessoas. 
 
A partir dessas informações, julgue os itens a seguir. 
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41 
 
41. A renda média mensal dos brasileiros em 2016 foi superior a R$ 1.300. 
 
42. O gráfico a seguir mostra que, em 2016, mais de 40% da massa de renda mensal real 
domiciliar per capita coube a 10% da população; ao restante coube menos de 60% dessa 
massa de renda. A partir do gráfico, é correto inferir que, naquele ano, em média, a renda 
mensal desses 10% da população era superior a R$ 10.000. 
 
Comentário 
Item I. 
Para calcular a média, vamos dividir a renda total de 264 bilhões pelo total de pessoas (190 
milhões). 
É importante notar que 1 bilhão = 1.000 milhões. 
264	𝑏𝑖𝑙ℎõ𝑒𝑠
190	𝑚𝑖𝑙ℎõ𝑒𝑠 =
264.000	𝑚𝑖𝑙ℎõ𝑒𝑠
190	𝑚𝑖𝑙ℎõ𝑒𝑠 =
264.000
190 ≅ 1.389,47	𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 
 
De fato, a média é superior a R$ 1.300,00. O primeiro item está certo. 
 
Item II. 
A população é de 190 milhões. Logo, 10% equivalem a 19 milhões de pessoas. 
A renda total R$ 264 bilhões. Sabemos que as 19 milhões de pessoas receberam 43,4% da renda 
total. 
43,4%	𝑑𝑒	264	𝑏𝑖𝑙ℎõ𝑒𝑠 =
43,4
100 × 264 = 114,576	𝑏𝑖𝑙ℎõ𝑒𝑠 
Vamos agora calcular a renda média das 19 milhões de pessoas. Basta dividir o quanto elas 
receberam juntas pelo total de pessoas consideradas. 
114,576	𝑏𝑖𝑙ℎõ𝑒𝑠
19	𝑚𝑖𝑙ℎõ𝑒𝑠 =
114,576 × 1.000	𝑚𝑖𝑙ℎõ𝑒𝑠
19	𝑚𝑖𝑙ℎõ𝑒𝑠 =
114.576
19 = 6.030,31	𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 
A renda média é inferior a 10 mil reais. O segundo item está errado. 
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42 
 
Gabarito: Certo, errado 
(CESPE 2019/Prefeitura de São Cristóvão) 
A tabela seguinte mostra a distribuição das idades dos 30 alunos da turma A do quinto ano de 
uma escola de ensino fundamental. 
 
A partir dessa tabela, julgue o item. 
43. A moda dessa distribuição é igual a 11 anos. 
44. A mediana das idades é igual a 11,5 anos. 
45. O desvio padrão das idades é inferior a 1 ano. 
46. Se, em outra turma B, as frequências das idades fossem respectivamente iguais ao dobro 
das frequências da turma A, então a média aritmética das idades da turma B seria igual ao 
dobro da média da turma A. 
 
Comentário 
Item I. 
A moda é o termo que possui a maior frequência. Como a maior frequência é 22, então a moda é 
10 anos. O primeiro item está errado. 
 
Item II. 
A mediana é o termo de posição central. Vamos calcular o total de estudantes. 
𝑛 = 6 + 22 + 0 + 1 + 0 + 1 = 30 
Como o número de elementos é par, então há duas posições centrais: 15 e 16. Por convenção, a 
mediana é a média aritmética dos dois termos centrais. 
𝑀� =
𝑥+0 + 𝑥+¼
2 
Observe que há 6 estudantes com 9 anos e 22 estudantes com 10 anos. Assim, 𝑥+0 = 𝑥+¼ = 10. A 
mediana é igual a 
𝑀� =
10 + 10
2 = 10	𝑎𝑛𝑜𝑠 
O segundo item está errado. 
 
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43 
 
Item III. 
Vamos calcular a variância de duas formas. Ao final, calculamos a raiz quadrada para obter o 
desvio padrão. 
Comecemos calculando a média dos valores. Devemos multiplicar cada valor pela sua respectiva 
frequência e dividir pelo total de alunos, que é 30. 
𝑋 =
9 × 6 + 10 × 22 + 11 × 0 + 12 × 1 + 13 × 0 + 14 × 1
30 = 10 
 
Vamos agora calcular os desvios em relação à média. Desvio é, por definição, a diferença entre 
cada valor e a média. 
𝑑+ = 9 − 10 = −1 
𝑑, = 10 − 10 = 0 
𝑑. = 11 − 10 = 1 
𝑑� = 12 − 10 = 2 
𝑑0 = 13 − 10 = 3 
𝑑¼ = 14 − 10 = 4 
“Guilherme, você havia dito que a soma dos desvios era sempre zero, mas eu somei -1 + 0 + 1 + 
2 + 3 +4 e o resultado não foi igual a zero”. 
Meu amigo, a soma dos desvios SEMPRE é igual a zero. O detalhe é que esses desvios não 
apareceram uma única vez. Você deve multiplicar cada um pela respectiva frequência para que o 
resultado seja zero. Observe: 
∑𝑑� ∙ 𝑓� = (−1) ∙ 6 + 0 ∙ 22 + 1 ∙ 0 + 2 ∙ 1 + 3 ∙ 0 + 4 ∙ 1 
 
∑𝑑� ∙ 𝑓� = 0 
Viu? 
Bom, mas isso nada tem a ver com o cálculo da variância. Comentei apenas por curiosidade. 
Continuando: devemos elevar cada desvio ao quadrado, multiplicar pela respectiva frequência, 
somar, e dividir o resultado por n = 30. Vamos lá? 
𝜎, =
(−1), ∙ 6 + 0,∙ 22 + 1, ∙ 0 + 2, ∙ 1 + 3, ∙ 0 + 4, ∙ 1
30 =
26
30 
Como 26/30 é positivo e menor do que 1, então sua raiz quadrada também será menor do que 1. 
Logo, o desvio padrão é inferior a 1 e o terceiro item está certo. 
 
Vamos agora calcular a variância com a outra fórmula que conhecemos. 
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44 
 
Quando subtraímos uma constante de todos os valores, o desvio padrão não é alterado. A 
sequência original de dados é (9, 10, 11, 12, 13, 14). 
Assim, podemos subtrair QUALQUER constante de todos os valores e o desvio padrão não será 
alterado. Por exemplo, vou subtrair 10 de todos os números. A sequência obtida será: 
(−1, 0,1, 2, 3, 4) 
Tive a ideia de subtrair 10 de todos os valores porque é o valor de maior frequência. 
Assim, o desvio padrão dessa nova sequência é o mesmo desvio padrão da sequência original. 
Vamos agora calcular a média desses valores e também a média dos quadrados. Lembre-se que 
devemos multiplicar cada valor pela sua respectiva frequência. 
 
𝑋 =
(−1) ∙ 6 + 0 ∙ 22 + 1 ∙ 0 + 2 ∙ 1 + 3 ∙ 0 + 4 ∙ 1
30 = 0 
 
𝑋, =
(−1), ∙ 6 + 0, ∙ 22 + 1, ∙ 0 + 2, ∙ 1 + 3, ∙ 0 + 4, ∙ 1
30 =
26
30 
 
Vamos aplicar a outra fórmula da variância. 
𝜎, = 𝑋, − Z𝑋[
,
 
 
𝜎, = ¾
26
30¿ − 0
, 
 
𝜎, =
26
30 
Como 26/30 é positivo e menor do que 1, então sua raiz quadrada também será menor do que 1. 
Logo, o desvio padrão é inferior a 1 e o terceiro item está certo. 
 
Item IV. 
Já calculamos a média da turma A. Observe novamente. 
𝑋 =
9 × 6 + 10 × 22 + 11 × 0 + 12 × 1 + 13 × 0 + 14 × 1
30 = 10 
Queremos dobrar as frequências. Assim, vamos multiplicar o numerador por 2 e o denominador 
por 2. Logo, o resultado será o mesmo: 10. Detalhando um pouco mais: 
9 × 6 × 𝟐 + 10 × 22 × 𝟐 + 11 × 0 × 𝟐 + 12 × 1 × 𝟐 + 13 × 0 × 𝟐 + 14 × 1 × 𝟐
30 × 𝟐 = 
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45 
 
Vamos colocar 2 em evidência no numerador. 
=
𝟐 × (9 × 6 + 10 × 22 + 11 × 0 + 12 × 1 + 13 × 0 + 14 × 1)
30 × 𝟐 
 
Cancelamos “2”. 
9 × 6 + 10 × 22 + 11 × 0 + 12 × 1 + 13 × 0 + 14 × 1
30 = 10 
Ficamos com o mesmo resultado. Se você não tivesse percebido isso rápido, bastaria dobrar as 
frequências, calcular a média e verificar que o resultado não é alterado. 
 
9 × 6 × 𝟐 + 10 × 22 × 𝟐 + 11 × 0 × 𝟐 + 12 × 1 × 𝟐 + 13 × 0 × 𝟐 + 14 × 1 × 𝟐
30 × 𝟐 
 
=
600
60 = 10 
 
O quarto item está errado porque as duas médias são iguais. 
 
Gabarito: Errado, errado, certo, errado 
 
47. (CESPE 2018/IFF) 
Considere que o peso de 5 pessoas, juntas em um elevador, seja de 340 kg. Se, em determinado 
andar, mais um indivíduo entrar no elevador, sem que dele ninguém desça, e a média aritmética 
dos pesos dessas 6 pessoas passar a ser de 70 kg, esse sexto indivíduo pesa 
a) 68,3 kg. 
b) 69 kg. 
c) 70 kg. 
d) 80 kg. 
e) 82 kg. 
Comentário 
A soma de todos os valores é o produto da média pela quantidade de pessoas. Assim, 
𝑆𝑜𝑚𝑎 = 𝑛 ∙ 𝑥 
 
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46 
 
𝑆𝑜𝑚𝑎 = 6 × 70 = 420	𝑘𝑔 
Ora, se havia 340kg, entrou uma pessoa e o total passou a ser de 420kg, então o peso da pessoa 
que entrou é: 
420𝑘𝑔 − 340𝑘𝑔 = 80𝑘𝑔 
Gabarito: D 
 
(CESPE 2018/Polícia Federal) 
Considerando que a análise de uma amostra de minério de chumbo tenha apresentado os 
seguintes resultados percentuais (%): 8,10; 8,32; 8,12; 8,22; 7,99; 8,31, julgue o item a seguir, 
relativo a esses dados. 
48. O valor médio do teor de chumbo presente na amostra foi superior a 8%. 
49. O desvio padrão da análise em apreço é dado pela raiz quadrada do valor médio dividido 
pelo número de amostras, no caso, 6. 
50. A variância dos dados em apreço é dada pelo valor do desvio padrão ao quadrado. 
51. O coeficiente de variação da análise é dado pela razão entre o desvio padrão e a média, 
multiplicada por 100%. 
 
Comentário 
Item I. 
Observe que todos os números são maiores do que 8% e apenas um termo é um pouquinho 
abaixo de 8%. A média certamente será superior a 8%. O primeiro item está certo. Se quiser o 
cálculo: 
𝑋 =
(8,10 + 8,32 + 8,12 + 8,22 + 7,99 + 8,31)%
6 ≅ 8,17% 
 
 Item II. 
O item II não tem o menor sentido. O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. A variância, 
por sua vez, é a média dos quadrados dos desvios. O segundo item está errado. 
 
Item III. 
O terceiro item está certo. A variância SEMPRE é o quadrado do desvio padrão. 
 
Item IV. 
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47 
 
O item IV está certo. O coeficiente de variação é, por definição, a razão entre o desvio padrão e 
a média. Temos o costume de indicar o coeficiente de variação em porcentagem. Assim, 
normalmente multiplicamos por 100%. Observe que 100% = 100/100 = 1. Assim, multiplicar o 
valor por 100% não altera o seu resultado. Por exemplo, imagine que o desvio padrão é 1 e a 
média é 4. Logo, o coeficiente de variação é igual a 
𝐶Â =
𝜎
𝑋
=
1
4 = 0,25 = 0,25 × 100% = 25% 
Assim, você pode dizer que o coeficiente de variação é ¼ ou 0,25 ou 25%. Esses números são 
todos iguais. 
Gabarito: Certo, errado, certo, certo 
 
52. (CESPE 2018/PM-AL) 
Acerca de análise de dados, julgue o próximo item. 
O gráfico a seguir mostra a distribuição de frequência de delitos ocorridos em determinado 
bairro nos seis primeiros meses de 2018. 
 
Nesse caso, a média dos delitos ocorridos no semestre considerado foi superior à média dos 
delitos ocorridos no segundo trimestre. 
Comentário 
Temos os seguintes dados: 
Janeiro Fevereiro Março Abril Maio Junho 
27 30 21 30 24 18 
A média semestral foi: 
𝑥� =
27 + 30 + 21 + 30 + 24 + 18
6 = 25 
A média do segundo trimestre (abril, maio e junho) foi: 
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48 
 
𝑥� =
30 + 24 + 18
3 = 24 
De fato, a média semestral foi superior à média do segundo trimestre. 
Gabarito: Certo 
 
53. (CESPE 2016/FUNPRESP) 
 
Considerando que os dados na tabela mostram salários de diferentes servidores que aderiram (1) 
ou não aderiram (0) a determinado plano de previdência complementar, julgue o item 
subsecutivo. 
A média dos salários do grupo que aderiu ao plano de previdência complementar é menor que a 
do que não aderiu ao plano. 
Comentário 
Temos duas listas de números: uma formada pelos salários dos servidores que aderiram ao 
plano de previdência complementar e outra formada pelos salários dos servidores que não 
aderiram ao plano. 
Os servidores que aderiram ao plano estão indicados pelo número 1 e os servidores que não 
aderiram estão indicados pelo número 0. 
Queremos calcular a média. Como não foi especificada a média, deveremos trabalhar com a 
média aritmética. 
Para tanto, basta somar os elementos correspondentes a cada grupo e dividir pela quantidade 
de elementos do grupo. 
Salários dos servidores que aderiram ao plano: 5.000, 8.000, 6.000, 4.000, 4.500. São cinco os 
servidores que aderiram ao plano. A média destes salários é: 
	𝑥+	ÃÃÃÃ =
5.000 + 8.000 + 6.000 + 4.000 + 4.500
5 =
27.500
5 = 5.500 
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49 
 
Salários dos servidores que não aderiram ao plano: 4.000, 2.000, 3.000, 4.000, 7.000. São 
cinco os servidores que não aderiram ao plano. A média destes salários é: 
	𝑥,	ÃÃÃÃ =
4.000 + 2.000 + 3.000 + 4.000 + 7.000
5 =
20.000
5 = 4.000 
A média dos salários dos servidores que aderiram ao plano é MAIOR do que a média dos 
salários dos servidores que não aderiram ao plano. 
Gabarito: Errado 
 
54. (CESPE 2018/IFF) 
A tabela a seguir mostra a distribuição das idades dos 30 alunos de uma sala de aula. 
 
Nesse caso, a média de idade dos alunos dessa sala é igual a 
a) 14 anos. 
b) 13 anos. 
c) 12 anos. 
d) 11 anos. 
e) 10 anos. 
Comentário 
O total de alunos é 14 + 8 + 3 + 4 + 1 = 30. 
Para calcular a média de idade, devemos multiplicar cada idade pela respectiva frequência, 
somar os resultados, e dividir por 30, que é o total de alunos. 
𝑥 =
10 × 14 + 11 × 8 + 12 × 3 + 13 × 4 + 14 × 1
30 =
330
30 = 11 
Gabarito: D 
 
55. (CESPE 2018/IFF) 
No registro das quantidades de filhos de 200 casais, verificaram-se os valores mostrados na 
tabela seguinte. 
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50 
 
 
Nesse caso, a quantidade média de filhos para esse grupo de casais é igual a 
a) 0. 
b) 1. 
c) 2. 
d) 2,5. 
e) 3. 
Comentário 
A quantidade de casais é 50 + 40 + 40 + 30 + 25 + 10 + 5 = 200. 
Para calcularmos a média de filhos por casal, devemos multiplicar cada quantidade de filhos pela 
sua respectiva frequência, somar os resultados, e dividir por 200, que é a quantidade de casais. 
𝑥 =
1 × 50 + 2 × 40 + 0 × 40 + 3 × 30 + 4 × 25 + 5 × 10 + 6 × 5
200 
 
𝑥 =
400
200 = 2 
Gabarito: C 
 
56. (CESPE 2018/BNB) 
Em uma faculdade, para avaliar o aprendizado dos alunos em determinada disciplina, o professor 
aplica as provas A, B e C e a nota final do aluno é a média ponderada das notas obtidas em cada 
prova. Na prova A, o peso é 1; na prova B, o peso é 10% maior que o peso na prova A; na prova 
C, o peso é 20% maior que o peso na prova B. Nesse caso, se 𝑃", 𝑃$	𝑒	𝑃' forem as notas obtidas 
por um aluno nas provas A, B e C, respectivamente, então a nota final desse aluno é expressa 
por ()*+,,(-*+,.,(/
.,0,
. 
Comentário 
O peso da prova A é 1. 
O peso da prova B é 10% maior que o peso da prova A. Para aumentar um valor em 10%, 
devemos multiplicá-lo por 100% + 10% = 110% = 1,10. Portanto, o preso da prova B será: 
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51 
 
1 × 1,10 = 1,10 
O peso da prova C é 20% maior que o preso da prova B. Para aumentar um valor em 20%, 
devemos multiplicá-lo por 100% + 20% = 120% = 1,20. Portanto, o peso da prova C será: 
1,10 × 1,20 = 1,32 
Para calcular a média ponderada, devemos multiplicar cada nota pelo seu peso e dividir o 
resultado pela soma dos pesos. 
	𝑥	 =
1 ∙ 𝑃" + 1,10 ∙ 𝑃$ + 1,32 ∙ 𝑃'
1 + 1,10 + 1,32 
 
	𝑥	 =
𝑃" + 1,10𝑃$ + 1,32𝑃'
3,42 
Gabarito: Errado 
 
57. (CESPE 2018/SEFAZ-RS) 
Para a, b e c, números reais, positivos e distintos, são verdadeiras as seguintes propriedades: 
• 𝒂 < 𝒄 
• 𝒃 < 𝒂*𝒄
𝟐
< √𝒃𝒄 
A partir dessas propriedades, é correto concluir que 
a) 7*8
,
< 7*9*8
.
	 
b) 𝑎 > 𝑏 
c) 𝑐 < 7*9
,
 
d) 𝑎 < 𝑏 < 𝑐 
e) 𝑏 > 𝑐 
Comentário 
O edital do concurso para SEFAZ-RS não incluiu conhecimentos sobre médias. 
 
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==193336==
 
 
52 
 
Assim, vou resolver primeiro atribuindo valores às variáveis reais positivas 𝒂, 𝒃 e 𝒄. 
 
Como temos √𝒃𝒄, vou colocar 𝒃 = 𝟏𝟔 e 𝒄 = 𝟐𝟓. Dessa forma, √𝒃𝒄 = √𝟏𝟔 × 𝟐𝟓 = √𝟒𝟎𝟎 = 𝟐𝟎. 
 
Eu utilizei os valores 16 e 25 para que a raiz quadrada fosse inteira. 
 
Assim, temos que 
 
𝒂 < 𝒄 
 
𝒂 < 𝟐𝟓 
 
Temos ainda que 
 
𝒃 <
𝒂 + 𝒄
𝟐 <
√𝒃𝒄 
 
𝟏𝟔 <
𝒂 + 𝟐𝟓
𝟐 < 𝟐𝟎 
 
Vamos multiplicar todos os termos por 2. 
 
𝟑𝟐 < 𝒂 + 𝟐𝟓 < 𝟒𝟎 
 
Vamos agora subtrair 𝟐𝟓 de todos os termos. 
 
𝟕 < 𝒂 < 𝟏𝟓 
 
Vamos pegar um número qualquer nesse intervalo. Digamos que 𝒂 = 𝟏𝟎. 
 
Assim, vamos assumir que 𝒂 = 𝟏𝟎, 𝒃 = 𝟏𝟔 e 𝒄 = 𝟐𝟓. 
 
Esses números satisfazem as condições impostas pelo enunciado. 
 
Vamos agora testar as alternativas. 
 
a) 7*8
,
< 7*9*8
.
	 
 
10 + 25
2 <
10 + 16 + 25
3 
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53 
 
 
17,5 < 17			(𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜) 
 
b) 𝑎 > 𝑏 
 
10 > 16	(𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜) 
 
c) 𝑐 < 7*9
,
 
25 <
10 + 16
2 
 
25 < 13	(𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜) 
 
d) 𝑎 < 𝑏 < 𝑐 
10 < 16 < 25	(𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑜) 
 
e) 𝑏 > 𝑐 
 
𝟏𝟔 > 𝟐𝟓	(𝒇𝒂𝒍𝒔𝒐) 
A resposta é a alternativa D. 
Vamos agora resolver utilizando conhecimentos sobre média aritmética e média geométrica. Eis 
novamente o enunciado. 
Para a, b e c, números reais, positivos e distintos, são verdadeiras as seguintes propriedades: 
 
• 𝒂 < 𝒄 
 
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54 
 
• 𝑏 < 7*8
,
< √𝑏𝑐 
A partir dessas propriedades, é correto concluir que 
a) 7*8
,
< 7*9*8
.
	 
b) 𝑎 > 𝑏 
c) 𝑐 < 7*9
,
 
d) 𝑎 < 𝑏 < 𝑐 
e) 𝑏 > 𝑐 
Comentário 
 
Já sabemos que 𝒂 < 𝒄. 
 
A segunda desigualdade nos informa que 𝒃 < √𝒃𝒄. 
 
Em outras palavras, 𝒃 é menor do que a média geométrica entre b e c. Como a média sempre 
fica entre os números, podemos concluir que 𝒃 < 𝒄. 
 
Precisamos agora saber a relação entre 𝒂 e 𝒃. 
 
A segunda desigualdade nos informou que 𝒂*𝒄
𝟐
< √𝒃𝒄. 
 
Ora, 𝒂*𝒄
𝟐
 representa a média aritmética entre os números 𝒂 e 𝒄. Sabemos que a média aritmética 
de números distintos é sempre maior do que a média geométrica. Portanto, 
 
√𝒂𝒄Æ
𝒎é𝒅𝒊𝒂	𝒈𝒆𝒐𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂
𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆	𝒂	𝒆	𝒄
<
𝒂 + 𝒄
𝟐y{|
𝒎é𝒅𝒊𝒂	𝒂𝒓𝒊𝒕𝒎é𝒕𝒊𝒄𝒂	
𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆	𝒂	𝒆	𝒄
< √𝒃𝒄 
 
Juntando o pé com a cabeça, temos: 
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55 
 
 
√𝒂𝒄 < √𝒃𝒄 
 
√𝒂 < √𝒃 
 
𝒂 < 𝒃 
 
Assim,	𝒂 < 𝒃	𝒆	𝒃 < 𝒄. Portanto, 𝒂 < 𝒃 < 𝒄. A resposta está na alternativa D. 
 
Vamos agora analisar as outras alternativas. 
 
a) 7*8
,
< 7*9*8
.
	 
Sabemos que 𝑏 < 7*8
,
, ou seja, b é menor do que a média entre 𝑎 e 𝑐. Assim, se formos incluir 𝑏 
no cálculo da média, o resultado da média diminuirá. Portanto, a alternativa A está errada. 
 
b) 𝑎 > 𝑏 
Falso, pois 𝑎 < 𝑏. 
c) 𝑐 < 7*9
,
 
Falso, pois 𝑐 é o maior de todos e, portanto, também será maior que a média dos dois menores. 
 
e) 𝑏 > 𝑐 
Falso, pois 𝒃 < 𝒄. 
Gabarito: D 
 
 
 
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56 
 
58. (CESPE 2018/IFF) 
 
Foram feitas dez medidas do comprimento da caneta mostrada na figura. Os valores dessas 
medidas estão expressos na tabela a seguir. 
 
Com base nessas informações, é correto afirmar que o valor do desvio padrão, em mm, desse 
experimento é igual a 
a)0,00. 
b) 0,64. 
c) 0,71. 
d) 0,80. 
e) 0,84. 
Comentário 
Atenção!!! 
Sempre que efetuarmos várias medições de um objeto (pode ser peso, comprimento, ou 
qualquer outra coisa) e quisermos calcular o desvio padrão, devemos calcular um desvio padrão 
AMOSTRAL. 
Por quê? Ora, a população seria um conjunto formados pelas infinitas tentativas de medição que 
poderíamos realizar. Se eu faço 10 medidas, estou realizando uma amostra da população. 
Dito isso, vamos à questão. 
 Vamos calcular a variância de duas formas. Ao final, só precisamos calcular a sua raiz quadrada 
para calcular o desvio padrão. 
Vamos calcular a média dos valores. 
𝑋 =
136 + 135 + 135 +⋯+ 136 + 135
10 = 135,4 
Para calcular a variância amostral, devemos elevar cada desvio ao quadrado, somar os resultados, 
e dividir por n – 1 = 9. 
𝑠, =
(136 − 135,4), + (135 − 135,4), + ⋯+ (136 − 135,4), + (135 − 135,4),
10 − 1 
 
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57 
 
𝑠, =
0,6, + 0,4, + ⋯+ 0,6, + 0,4,
9 
 
𝑠, =
6,4
9 
 
Assim, o desvio padrão é: 
𝑠 = Ì0,7111… 
Precisamos obter uma aproximação para essa raiz. 
Uma dica boa: a raiz quadrada de um número entre 0 e 1 é maior do que o próprio número. 
Assim, a raiz quadrada acima tem que ser um número maior do que 0,71. 
Ficamos com as alternativas D e E. Vamos testá-las: 
0,80, = 0,64 
0,84, = 0,7056 
Ficamos com a alternativa E. 
Gabarito: E 
 
59. (CESPE 2016/TRT-8) 
Com relação à definição das medidas de tendência central e de variabilidade dos dados em uma 
estatística, assinale a opção correta. 
a) A moda representa o centro da distribuição, é o valor que divide a amostra ao meio. 
b) A amplitude total, ou range, é uma medida de tendência central pouco afetada pelos valores 
extremos. 
c) A mediana é o valor que ocorre mais vezes, frequentemente em grandes amostras. 
d) A variância da amostra representa uma medida de dispersão obtida pelo cálculo da raiz 
quadrada positiva do valor do desvio padrão dessa amostra. 
e) A média aritmética representa o somatório de todas as observações dividido pelo número de 
observações. 
Comentário 
Vamos analisar cada alternativa. 
a) Está errada, pois é a mediana que divide a amostra ao meio. 
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58 
 
b) A amplitude total é uma medida de dispersão e não uma medida de tendência central. Além 
disso, ela é totalmente influenciada por valores extremos, já que ela é calculada como a diferença 
entre o maior elemento e o menor elemento. A alternativa B está errada. 
c) Está errada, pois é a moda que corresponde ao valor mais frequente. 
d) A alternativa D está errada, pois a variância é o quadrado do desvio padrão e não a raiz 
quadrada. 
e) Correto. É a própria definição de média aritmética. 
Gabarito: E 
 
(CESPE 2015/DEPEN) 
 
Considerando os dados da tabela mostrada, que apresenta a distribuição populacional da 
quantidade diária de incidentes (N) em determinada penitenciária, julgue os itens que se 
seguem. 
60. A distribuição de N não é simétrica em torno da média, apesar de a média e a mediana 
serem iguais. 
61. O desvio padrão da distribuição de N é igual ou inferior a 1,2. 
62. A amplitude total da distribuição é igual a 5, pois há cinco valores possíveis para a 
variável N. 
63. A moda da distribuição de N é igual a 4, pois esse valor representa a maior quantidade 
diária de incidentes que pode ser registrada nessa penitenciária. 
64. O segundo quartil da distribuição das quantidades diárias de incidentes registradas nessa 
penitenciária é igual a 2. 
 
Item I. 
Claramente a distribuição não é simétrica em torno da média. Basta observar que o número 3 
tem frequência 0 enquanto o número 1 tem frequência 0,2. 
Vamos agora verificar se a média e a mediana são iguais. 
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59 
 
Para calcular a média, devemos multiplicar cada valor pela respectiva frequência. Como as 
frequências são relativas, basta somar os valores obtidos (não precisamos dividir pela soma das 
frequências, pois a soma das frequências relativas é sempre igual a 1). 
𝑥 = 0 × 0,1 + 1 × 0,2 + 2 × 0,5 + 3 × 0,0 + 4 × 0,2 
 
𝑥 = 2 
Vamos agora calcular a mediana. 
Observe que 10% dos valores são iguais a 0 e 20% dos valores são iguais a 1. Precisamos de mais 
20% de observações para chegar na mediana. 
Como 50% dos valores são iguais a 2, é no número 2 que atingiremos o patamar de 50%. Logo, a 
mediana é 2. 
O primeiro item está certo. 
Veja que exemplo bonito a questão nos deu: temos uma distribuição que possui 𝑀é𝑑𝑖𝑎 =
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 = 𝑀𝑜𝑑𝑎, mas a distribuição não é simétrica. 
 
Item II. 
Já calculamos a média. Vamos agora calcular a média dos quadrados. 
𝑥, = 0, × 0,1 + 1, × 0,2 + 2, × 0,5 + 3, × 0,0 + 4, × 0,2 
 
𝑥, = 5,4 
 
Vamos agora aplicar a fórmula da variância populacional. 
𝜎, = 𝑥, − (𝑥), 
 
𝜎, = 5,4 − 2, = 1,4 
Ora, como 1,2, = 1,44, então o desvio padrão, que é √1,4 será inferior a 1,2. O item está certo. 
Vamos analisar com mais detalhes por que o item está certo. 
O item afirma que o desvio padrão é igual ou inferior a 2. 
 
Ora, como sabemos que o desvio padrão é inferior 2, então é verdade dizer que é “igual ou 
inferior a 2”. Estamos aqui usando uma regra da lógica proposicional: “para que uma proposição 
composta pelo “ou” seja verdadeira, basta que um de seus componentes seja verdadeira. 
Observe: 
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60 
 
𝑂	𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜	𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜	é	𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙	𝑎	2	yzzzzzzzz{zzzzzzzz|
}7~��
𝑜𝑢	 𝑜	𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜	𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜	é	𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟	𝑎	2.yzzzzzzzzz{zzzzzzzzz|
����7�����
�������������������������������������������
����7�����
 
O segundo item está certo. 
 
Item III. 
A amplitude total é a diferença entre o maior elemento e o menor elemento. 
𝐴� = 4 − 0 = 4 
O valor da amplitude total está errado e a justificativa também. Logo, o terceiro item está errado. 
 
Item IV. 
A moda é o termo que possui a maior frequência. A moda é 2 porque possui a maior frequência 
(0,5). O quarto item está errado. 
 
Item V. 
O segundo quartil é a própria mediana. Já calculamos a mediana, que é igual a 2. 
 O quinto item está certo. 
 
Gabarito: Certo, certo, errado, errado, certo 
 
65. (CESPE 2015/DEPEN) 
A diferença entre um censo e uma amostra consiste no fato de esta última exigir a realização de 
um número maior de entrevistas. 
Comentário 
O item está errado. O censo é o estudo de todos os elementos da população, enquanto a 
amostra é o estudo de uma parte da população. Assim, o censo exige a realização de um número 
maior de entrevistas. 
Gabarito: Errado 
 
 
 
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61 
 
(CESPE 2015/TELEBRAS) 
Considerando que os possíveis valores de um indicador X, elaborado para monitorar a qualidade 
de um serviço de cabeamento residencial para a comunicação de dados, sejam elementos do 
conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5} e que uma amostra aleatória de 5 residências tenha apontado os 
seguintes indicadores: 4, 4, 5, 4 e 3, julgue os próximos itens. 
 
66. A amplitude total da amostra aleatória foi igual a