ESTÁTICA DOS FLUIDOS

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DOS FLUIDOS
Pedro José G. Ferreira
Thaís Cavalheri
í-2754
ESTÁTICA DOS FLUIDOS
Prof. Me. Pedro José G. Ferreira
Profa. Dra. Thaís Cavalherí
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reprodução total ou parcial para qualquer finalidade, sem prévia e expressa
autorização dos autores, por meio eletrônico ou mecânico, incluindo cópia
impressa ou digital e gravação, ou por qualquer outro sistema de armazenamento
e transmissão de informação existente ou que possa existir no futuro, sujeito as
penas da lei de Direitos Autorais n° 9.610/98.
BIOGRAFIA RESUMIDA DOS AUTORES
Pedro José G. Ferreira
Possui graduação em Engenharia de Controle e Automação pela
Universidade Paulista (UNIP) obtida em 2004. Após a graduação, cursou durante
o período de 2006 a 2007 a pós-graduação lato sensu (especialização) em
Formação de Professores para o Ensino Superior pela UNIP. Em 2009 ingressou
no curso de Mestrado em Engenharia da Produção no Programa de Pós-
Graduação da UNIP, concluindo em 2011. No período de 2004 a 2009 atuou
como Engenheiro na Companhia Ultragaz S.A. Dentro do mercado de
Engarrafamento de Gás Liquefeito do Petróleo (GLP), as principais atividades
desenvolvidas foram nas áreas de produção; manutenção; projetos de
Engenharia; processos de pintura industrial; inspeção e manutenção de vasos de
pressão; normatização, elaboração e acompanhamento de ensaios técnicos.
Desde 2005 até o presente, atua como Professor Adjunto do curso de Engenharia
do ICET da UNIP. Juntamente como Professor do ICET, é coordenador do curso
de Engenharia Básico.
Thaís Cavalheri
Cursou o Bacharelado em Física Médica pela Universidade de São
Paulo (USP) no período de 2001 a 2005. Em 2005 ingressou no curso de
Mestrado em Ciências (Física) no Programa de Física Aplicada à Medicina e
Biologia da USP, concluindo em 2007. Juntamente com o curso de Mestrado,
também cursou a pós-graduação lato sensu (especialização) Master in Business
Administration - MBA em Gestão de Organizações Hospitalares e Sistemas de
Saúde pela Fundação Getúlio Vargas - FGV. Em 2008 ingressa no curso de
Doutorado em Ciências (Física) junto ao Programa de Tecnologia Nuclear do
Instituto de Pesquisas Energéticas e Nucleares da Comissão Nacional de Energia
Nuclear (IPEN-CNEN/SP), programa este vinculado à Pós-Graduação da USP.
Defende sua Tese de Doutorado em 2012. Após o final do doutorado, permanece
ainda no IPEN-CNEN/SP como pesquisadora em pós-doutoramento. Em 2011 é
contratada pela Universidade Paulista (UNIP) junto ao Instituto de Ciências
Exatas e Tecnologia (ICET) com a titulação de Professor Titular. Desde agosto de
2012 até o presente é professora líder das disciplinas Tópicos de Física Geral e
experimental (TFGE) e Mecânica da Partícula (MP).
SUMARIO
Página
1. O SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI) E OUTROS
SISTEMAS 1
1.1 Sistemas de Unidades Físicas , 1
1.2 Unidades Fundamentais e Derivadas 1
1.3 Tipos de Sistemas: MLT e FLT 2
1.4 O Sistema Internacional de Unidades (SI) 4
1.5 O Sistema CGS 6
1.6 O Sistema MKS , 6
1.7 O Sistema MKgfS 7
•1.8 Outros Sistemas 8
1.9 Conversão de Unidades 9
1.10 Exercícios Propostos 13
TAREFAS 17
2. DEFINIÇÃO E PROPRIEDADES DE FLUIDOS 29
2.1 Conceitos Fundamentais e Definição de Fluidos 29
2.2'Pressão Média e Tensão de Cisalhamento Média 31
2.3 Massa Específica 32
.2.4 Peso Específico 34
2.5 Relação entre Massa Específica e Peso Específico 35
2.6 Peso Específico Relativo 36
2.7 Tipos de Fluido 37
2.7.1 Fluido Ideal 37
2.7.2 Fluido Incompressível 37
2.7.3 Fluido Compressível 38
2.7.4 Fluido indilatável ;..-• 38
2.7.5 Fluido Dilatável 38
2.8 Equação de Estado dos Gases 38
2.9 Tipos de Viscosidade 41
2.9.1 Viscosidade Dinâmica ou Absoluta 41
2.9.2 Viscosidade Cinemática 45
2.10 Pressão Hidrostática 46
2.11 Exercícios Propostos 49
TAREFAS 51
3. ESCALAS TERMOMÉTRICAS E DE PRESSÃO 63
3.1 Escalas Termométricas 63
3.1.1 Escalas Celsius e Fahrenheit 63
3.1.2 Escala Kelvin , 65
3.2 Escalas de Pressão 67
3.2.1 Pressão Atmosférica (Pafm) 67
3.2.2 Presão Efetiva e Pressão Absoluta 70
3.3 Exercícios Propostos : 77
TAREFAS r 79
4. ESTÁTICA DOS FLUIDOS 87
4.1 Empuxo 87
4.1.1 Princípio de Arquimedes 88
4.1.2 Peso Real e Peso Aparente 89
4.2 Pressão Média 91
4.3 Lei de Stevin 92
4.4 Vasos Comunicantes 95
4.5 Lei de Pascal 97
4.5.1 Prensa Hidráulica 98
4.6 Exercícios Propostos 103
TAREFAS 111
5. MEDIDORES DE PRESSÃO , 121
5.1 Barómetro 121
5.2 Manómetros 123
5.2.1 Manómetro de Tubo Piezométrico, Piezômetro ou Coluna
Piezoméírica 124
5.2.2 Manómetro Metálico ou de Bourdon 125
5.2.3 Manómetro de Tubo em U 127
5.3 Equação Manométrica 131
5.4 Exercícios Propostos 133
TAREFAS 139
6. COMPORTA-SUPERFÍCIE PLANA 151
6.1 Força numa Superfície Plana Submersa ' 151
6.2 Centro das Pressões 156
6.3 Momento de Inércia 160
TAREFAS 165
BIBLIOGRAFIA 171
CAPITULO 1
1. O SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI) E OUTROS
SISTEMAS
1.1 Sistema de Unidades Físicas
Sistema de unidades físicas é o nome que se dá ao conjunto
de unidades utilizadas para dimensionar todas as espécies de
grandezas físicas.
1.2 Unidades Fundamentais e Derivadas
Atualmente, verificou-se que as unidades de um sistema
podem ser definidas em função de seis unidades, convenientemente
escolhidas. Essas seis unidades são consideradas fundamentais,
primárias ou também unidades base do sistema. Todas as outras
unidades são definidas em função das fundamentais, sendo assim
consideradas unidades derivadas ou secundárias.
Portanto, grandezas 'correspondentes às unidades
fundamentais são conhecidas como grandezas fundamentais do
sistema, enquanto que, as demais, grandezas derivadas.
-1-
1.3 Tipos de Sistemas: MLT e FLT
Um sistema de unidades físicas é constituído por unidades
geométricas, cinemáticas, dinâmicas, térmicas, eletromagnéticas e
óticas. Esses sistemas não necessitam de seis unidades
fundamentais, podendo ser compostos somente por três dessas
unidades. Dentre as três unidades que definem um sistema, uma deve
ser geométrica, uma cinemática e uma dinâmica. Hoje, todos os
sistemas usados adotam como grandeza geométrica fundamental o
comprimento (L) e como grandeza cinemática primária o tempo (T).
Entretanto, quanto à grandeza dinâmica fundamental, alguns sistemas
escolheram a massa (M) e, outros definiram a força (F).
Sendo assim, os sistemas podem ser agrupados em dois
tipos: MLT, denominados inerciais ou físicos e FLT, denominados
gravitacionais ou técnicos.
Qualquer outra grandeza física (conhecida como grandeza derivada)
que não faz parte da base pode ser relacionada com as grandezas
fundamentais por meio das equações da Mecânica e, sua unidade
será definida pelo produto de potência das três unidades
fundamentais escolhidas para cada tipo de sistema.
Tabela 1.3.1: Tipos de sistemas e as grandezas fundamentais que os
constitui.
Tipo de
Sistema
MLT
FLT
Tipo de Grandeza Física
Dinâmica
Geométrica
Cinemática
Dinâmica
Geométrica
Cinemática
Grandeza Fundamental (Base)
Massa
Comprimento
Tempo
Força
Comprimento
Tempo
Símbolo
M
L
T
F
L
T .
m
m
Para Sistemas de Unidades (os quais serão descritos a
seguir) que adotam como grandezas fundamentais o terno MLT, a
força é uma grandeza física derivada. A fim de definir a unidade de
força, utiliza-se a 2a Lei de Newton, também conhecida como Lei da
Dinâmica de Newton. Portanto, para os sistemas do tipo MLT, a
unidade de força será definida por:
2a Lei de Newton: F - m • a
. . _ comprimento , __?sendo, aceleração = => a = L • T
tempo
:. F^M-L-T'2
Da mesma forma, para Sistemas de Unidades que adotam o
terno FLT como grandezas fundamentais, a massa é uma grandeza
física derivada. Sendo assim:
2a Lei de Newton: F = m -a => m = —
a
sendo, a = L-T 2
L-T~
Exemplo:
Determinar a equação dimensional da massa específica p no
sistema do tipo FLT (base):
A massa específica é definida por: p = —
V
Sendo: m = massa;
V= volume.
Sabendo que para o sistemado tipo FLT a massa é uma
grandeza física derivada e deve ser relacionada com as grandezas
fundamentais, pode-se definir pela 2a Lei de Newton:
F = m-a :=> m = —
a
Por meio da cinemática, define-se a grandeza física
aceleração:
comprimento , 2
aceleração ^ => a = L - T
tempo
L-T
Segundo a geometria, sabe-se que o volume é definido por:
3 3volume = comprimento => V = L
,-> _i • m F-L -T ._ ,_4 _2Sendo assim: p = — = ^ • => p = F-L -T
V i.J
1.4 O Sistema Internacional de Unidades (SI)
Quando se deseja medir uma grandeza física, é necessário
selecionar uma unidade de medida. O Sistema Internacional de
4
'A Unidades (SI) consiste em unidades de medidas oficiais adotadas em
todo o mundo para definir as sete grandezas físicas descritas a seguir:
Tabela 1.4.1: Unidades de grandezas físicas do SI.
Grandeza Física
Comprimento
Massa
Tempo
Corrente Elétrioa
Temperatura
Intensidade Luminosa
Quantidade de Matéria
Unidade
metro
quilograma
segundo
ampere
kelvin
candeia
mol
Símbolo
m
kg
s
A
K
cd
mol
Qualquer outra grandeza física pode ser medida por meio
das sete unidades que fazem parte do Sistema Internacional de
Unidades (SI), apresentadas anteriormente.
Na Tabela 1.4.2 a seguir estão descritas grandezas físicas
derivadas e suas respectivas unidades no SI que serão amplamente
utilizadas no estudo da Mecânica dos Fluidos:
Tabela 1.4.2: Unidades de grandezas físicas derivadas do SI.
Grandeza Física
Velocidade
Aceleração
Força
Densidade
Trabalho
Potência
Pressão
Símbolo do
Sistema Tipo MLT
' "" L?r1 "•"
L.T*
M.L.T-2
M.L-3
M.L *.T*
M.L *.T -J
M.L^.T^
Unidade
m/s
m/s*
kg.m/s-1 = N*
kg/m-5
N. m = J*
J/s = W*
N/m^ = Pa*
*N = newton (unidade de força).
*J = joule (unidade de energia).
*W = watt (unidade de potência).
*Pa = pascal (unidade de pressão).
5
1.5 O Sistema CGS
O Sistema CGS é do tipo MLT e, suas unidades
fundamentais estão descritas na Tabela 1.5.1 a seguir:
Tabela 1.5.1: Unidades de grandezas físicas do Sistema CGS.
Grandeza Física
Massa
Comprimento
Tempo
Unidade
grama
centímetro
segundo
Símbolo
g
cm
s
Na Tabela 1.5.2 a seguir estão descritas algumas grandezas
físicas derivadas e suas respectivas unidades no Sistema CGS:
Tabela 1.5.2: Unidades de grandezas físicas derivadas do Sistema
CGS.
Grandeza
Física
Velocidade
Aceleração
Força
Densidade
Trabalho
Potência
Pressão
Símbolo do
Sistema Tipo MLT
L.T-1
L.T-*
M.L.T '*•
M.L'0
M.L^.T-*
M.L .̂T "*
M.L-\T-Z
Unidade
cm/s
cm/s7
g.cm/s7 = dyn*
g/cmd
dyn.cm = erg**
erg/s
dyn/cm^
*dyn=dina = unidade de força.
**erg = 0,1 jiJ = unidade de energia/trabalho
1.6 O Sistema MKS
O Sistema MKS é do tipo MLT e atualmente é o sistema
universal da Física. Suas unidades fundamentais estão descritas na
Tabela 1.6.1 a seguir:
6
Tabela 1.6.1: Unidades de grandezas físicas do Sistema MKS.
Grandeza Física
Massa
Comprimento
Tempo
Unidade
quilograma
metro
segundo
Símbolo
kg
m
s
1.7 O Sistema MKgfS
O Sistema MKgfS é do tipo FLT sendo muito utilizado em
Engenharia, principalmente em obras e projetos técnicos. Suas
unidades fundamentais estão descritas na Tabela 1.7.1 a seguir:
Tabela 1.7.1: Unidades de grandezas físicas do Sistema MKgfS.
Grandeza Física Unidade Símbolo
Força
Comprimento
Tempo
quilograma-força
metro
segundo
kgf
m
s
Na Tabela 1 .7.2 a seguir, estão descritas algumas grandezas
físicas derivadas e suas respectivas unidades no Sistema MKgfS:
Tabela 1.7.2: Unidades de grandezas físicas derivadas do Sistema
CGS.
Grandeza Física
Velocidade
Aceleração
Massa
Densidade
Trabalho
Potência
Pressão
Símbolo do
Sistema Tipo FLT
LT'1
L/r2
F.L^.T2
F.L-VT*
F.L
F.L.T -1
F.L*
Unidade
m/s
m/s^
kgf.s2/m = utm*
utm/nT5
kgf. m
kgf.m/s
kgf/m2
*utm = unidade técnica de massa.
7
1.8 Outros Sistemas
O Sistema MTS usado na França e o Sistema Inercial Inglês
e Norte Americano usado na Inglaterra e nos Estados Unidos, são
sistemas do tipo MLT. Suas unidades fundamentais estão descritas na
Tabela 1.8.1 a seguir:
Tabela 1.8.1: Unidades de grandezas físicas dos Sistemas MTS e o
Inercial Inglês e Norte Americano.
Sistema MTS
Grandeza Física Unidade Símbolo
Massa
Comprimento
Tempo
tonelada
metro
segundo
t
m
Sistema Inercial Inglês e
Norte Americano
Unidade Símbolo
libra
pé
segundo
Ib
Na Tabela 1.8.2 a seguir, estão descritas algumas grandezas
físicas derivadas e suas respectivas unidades no Sistema Inercial
Inglês e Norte Americano:
Tabela 1.8.2: Unidades de grandezas físicas derivadas do Sistema
Inercial Inglês e Norte Americano.
Grandeza
Física
Velocidade
Aceleração
Força
Densidade
Trabalho
Potência
Pressão
Símbolo do
Sistema Tipo MLT
LT-1
L.T-*
M.L.T •"
M.L'3
M.L ".T '"
M.L-VT"5
M.L^.T*
Unidade
Ws
ftfe-1
Jb.Ws" = pdl*
Ib/ft3
pdl.ft
pdi.ft/s
pdl/ft2
*pdl - poundal (unidade técnica de força).
O Sistema Gravitacional Inglês e Norte Americano usado na
Inglaterra e nos Estados Unidos, são sistemas do tipo FLT. Suas
unidades fundamentais estão descritas na Tabela 1.8.3 a seguir:
Tabela 1.8.3: Unidades de grandezas físicas do Sistema Gravitacional
Inglês e Norte Americano.
Grandeza Física
Força
Comprimento
Tempo
Unidade
libra-força
pé
segundo
Símbolo
Ibf
L ft
s
Na Tabela 1.8.4 a seguir estão descritas grandezas físicas
derivadas e suas respectivas unidades no Sistema Gravitacional
Inglês e Norte Americano:
Tabela 1.8.4: Unidades de grandezas físicas derivadas do Sistema
Gravitacional e Norte Americano.
Grandeza Física
Velocidade
Aceleração
Massa
Densidade
Trabalho
Potência
Pressão
Símbolo do
Sistema Tipo FLT
L.T-1
L.T'2
F.L-\J'2
F.L^.T^
F.L
F.L.T -1
F.L*
Unidade
ft/s
ft/s^
Ibf.s^/ft = siug*
slug/ft3
Ibf.ft
Ibf.ft/s
Ibf/ft2
*slug = unidade de massa.
1.9 Conversão de Unidades
Todas as medidas de qualquer que seja a grandeza física,
possuem um módulo e uma unidade. Quando são realizadas
operações matemáticas com essas grandezas, como somar, subtrair,
9
multiplicar e dividir, as unidades são tratadas' como grandezas
algébricas. Atente-se para o exemplo a seguir:
Exemplo:
Considere que um carro está a 90 km/h. Qual é a velocidade
do carro em metros por segundo (m/s) e também em milhas por hora
(mi/h)?
1° - A velocidade de 90 km/h será multiplicada por uma série
de fatores de conversão que transformará km/h em m/s:
90 km 1000 m
• x x-
1 h
1 km 60 min 60 s
1 min
-x — = 25 mis
2° - A velocidade de 90 km/h será multiplicada somente por-
um fator de conversão que transformará km/h em mi/h, sabendo que 1
mi = 1,61 km:
90 km 1 mi
^H L.1,61 km =55'9 milh
A seguir estão descritas tabelas com os principais fatores de
conversão utilizados atualmente para diferentes grandezas físicas:
Comprimento
ÍÊMWIMNNÍL m
1 metro (m)
1 polegada (pol)
-l pé (ft)
1 milha (mi)
1 "
2,540x1 0*
0,3048
1609,344
pol
39,37
1
12
63360
ft
3,281
8,333x1 0'2
1
5280
mi
6,2Í4xí Õ*
1 ,578x1 0'5
1,894x1 0"4
1
in = inch = polegada 1 in (ou pol) =2,54 cm
10
*
m
Tempo
1 segundo (s)
1 minuto (min)
1 hora (h)
1 dia (d)
1 ano
1
60
3600
8,640x1 0 4
3, 156x1 0 7
min
Í ,667x1 Ô'2
1
60
1440
5,260x1 0 5
h
2,778x10 •*
1,667x1 0'2
1
24
8,766x1 0 J
d
1, 157x1 0-1
6,994x1 0 "*
4, 167x10-*
1
365,242
ano
3,1 69x10 -o
1,901x10 •*
1,141x10-*
2,738x1 0"3
1
Massa
kg utm slug
1 quilograma (kg) 1 1,0197x10- 6,852x10-
1 unidade técnica de massa (utm) 9,80665 1 0,67
1 slug 14,59 1,4925
*1 ton (tonelada) = 1000 kg
Área
1 metro quadrado (m*) 1550 10,76
1 polegada quadrada (poP) 6,452x10" 6,944x10"
1 pé quadrado (ft2) 9,290x10" 144 1
Volume
cm- põr
1 metro cúbico (m )
1 centímetro cúbico (cm3)
10' 103 6,102x10^ 35,31
10" 10" 6,102x10- 3,531x10"
1 litro (I)
1 polegada cúbica (pol3)
10- 103 1 61,02 3,531x1 0 ̂
5,787x1 0"4
1 pé cúbico (ft3)
1,639x10-"
2,832x10-*
16,39
2,831x104
1,639x10" 1
28,32 1728 1
Velocidade
km/h ft/s mi/h
1 metro/segundo (m/s) 1 3,600 3,281 2,237
1 quilómetro/hora (km/h) 0,2778 0,9113 0,6214
1 pé/segundo (ft/s) 0,3048 1,097 0,6818
milha/hora (mi/h) 0,4470 1,609 1,467 111
1 newton (N) •1
Força
o , 2
pdl
7,233
Ibf
"0,2248"
1 quilograma-força (kgf) 9,8065 1 70,93 2,205
1 poundal (pdl) 0,138 1,41x10" 1 3,1x10' 13825
1 libra-força (Ibf) 4,448 0,454 32,17 1 4,448x1 Oi
1 dina 10' 0,102x10' 7,23x10" 2,248x10" 1
Potência
W cal/s HP Ibf.ft/s Btu/h
77. •*,.,_...'
3,411 watt (W) 1 0,2390 1,341x1 q' 0,7376
1 caloria/segundo (cal/s) 4,184 5,611x10" 3,086
1 Horse Power (HP) 745,7 178,2 1 550
1 libra-força pé por
segundo (Ibf.ft/s)
1,356 0,3240 1,818x10'3
3,928x10"41 Btu/hora (Btu/h) 0,2930 7,000x10" 0,2162
Densidade
kg/m3 g/cm3 Ib/ft3
1 quilograma/metro cúbico (kg/m3)
1 grama/cm3 (kg/cm3)
1 libra/pé cúbico (lb/ftj)
1
10a
16,02
•TCP
1
1,602x1 0"2
6,243x1 0"2
62,43
1
1 pascal
(N/m2 = Pa)
1 dina/cm*
(dyn/cm2)
1 atmosfera
(atm)
1 milímetro de Hg
(mmHg = torr)
1 llbra-
f orça/polegada
quadrada (Ibf/pof )
1 polegada
de água
1 metro de coluna
de água (mca)
* Ihf/nnl2 flihra
Pa
1
0,1
1,01x1 05
133,3
6895
249,1
9806,38
dina/cm2
10
1
1,01x10 6
1,33x1 03
6,89x1 0 4
2491
9.81.104
Pressão
atm
9,87x1 O*
9,87x1 0 "7
1
1,32x1 0"3
0,068
2,46x1 0"3
0,1
mmHg
(torr)
7,50x1 0"3
7,50x1 0"4
760
1
51,72
1,87
73,55
'Ibf/pof
1,45x1 0"4
1,45x1 0"5
14,70
1,93x1 0'2
1
3,61 x10'2
1,42
polegada
de água
4,02x1 0"3
4,02x10"*
406,8
0,535
27,68
1
39,37
V
mca ^F
1,02.10™^
1,02.1o''
10,33™
0,01 ̂
0,03 A
1 •A
12
1.10 Exercícios Propostos
01. Demonstre a transformação das unidades de comprimento, área e
volume relacionadas a seguir para as respectivas unidades citadas:
de
2,5 km
5,0 m
2,0 in
1,0 m2
100 cm2
1,0 m3
14501
2,5 m3
para
m
mm
cm
cm2
In2
1
m3
dm3
resposta
02. Demonstrar a conversão das unidades de pressão, relacionadas a
seguir para as respectivas unidades citadas:
de para resposta
0,8 kPa
10.000 N/m2
200 bar
200 kgf/m2
kgf/m2
kgf/m2
kgf/m2
bar
03. Escrever as fórmulas dimensionais nas bases MLT e FLT das
seguintes grandezas físicas: vazão, volume e pressão.
13
04. Quando aplicamos uma força F em um corpo de massa m, é
causada uma aceleração a e um deslocamento AS; e assim,
definimos a grandeza física trabalho realizado por uma força. O
trabalho é definido pela equação a seguir:
W = m • a • AS
Pensando exclusivamente no Sistema Internacional de Unidades (SI),
expresse a unidade de trabalho.
05. Considerando duas grandezas de dimensões X = M e Y = LT2,
sendo M a dimensão de massa, L a dimensão de comprimento e T a
dimensão de tempo, determine a grandeza definida por X.Y.
06. Quando estamos dentro de uma piscina e tentamos levantar o
corpo de uma pessoa, "sentimos" certa facilidade para levantar este
corpo, que não é percebida quando estamos fora da água. Isso se
deve a força de empuxo (E), que é dada pelo produto da massa
específica (p), pela gravidade (g) e pelo volume deste corpo (V) (E -
p.g. V). Defina a fórmula dimensional do empuxo na base FLT.
07. Como exemplificado na teoria do Capitulo 1, no Sistema
Internacional de Unidades (SI) possuímos 7 unidades de medidas
oficiais, as quais são: o metro (m), o quilograma (kg), o segundo (s), o
kelvin (K), o ampere (A), a candeia (cd) e o mol (mo/). O número de
14
Reynolds (Re) é um número adimensional utilizado na Mecânica dos
Fluídos, para o cálculo do regime de escoamento. Utilizando unidades
no SI e a equação a seguir, demonstre que o número de Reynolds ê
um número adimensional.
*(̂ Sendo: p = massa específica;
^ v= velocidade média de escoamento do fluído;
;{p> D = diâmetro do conduto;
£• fj - viscosidade dinâmica do fluído.
0
•m
0
m
m
m
•
••
•
*
*
16
TAREFA-1
Demonstrar a conversão das unidades de pressão,
relacionadas a seguir, para as respectivas unidades citadas:
de
1,3MPa
20.000 N/m2
135 bar
200 kgf/cm2
10 mca
para
kgf/m2
kgf/cm2
kgf/m2
bar
Pa
resposta
17
TAREFA - 2
Escrever as equações dimensionais das grandezas a seguir
apresentando as justificativas adequadas:
Grandeza
Pressão
Força
Potência
Velocidade angular
Massa
Frequência
MLT FLT
20
TAREFA-3
Considerando duas grandezas X e Y, respectivamente de
dimensões M.L.T"2 e L2, sendo M a dimensão de massa, L a dimensão
de comprimento e T a dimensão de tempo, determine a grandeza
definida por X/Y.
21
22
TAREFA-4
Segundo o site da \Jol(http://carros.hsw,uol.com.br/aerodinamica2.htm),
o Volvo seda 960, no período de 1970/1980, possuía coeficiente de
arrasto (crf) 0,36. Os Volvos mais recentes, mais curvilíneos, possuem
coeficiente de arrasto (cd) 0,28; uma demonstração da preocupação
da indústria com a eficiência energética. A tabela a seguir apresenta o
coeficiente de arrasto (crf) de alguns veículos:
Veículo Coeficiente de Arrasto (c<y)
Saveiro
Gol
0,378
0,340
Fonfe:http://autoentusiastas.blogspot.com. br/2011/07/aerodinamica-no-dia-dia.html
Sabendo que o coeficiente de arrasto (cd) é expresso pela
equação a seguir, verifique utilizando os dados oferecidos, se o
veículo testado em túnel de vento é competitivo frente aos dados
apresentados anteriormente na tabela.
0,5 • p • v2 • A
Dados provenientes do ensaio em túnel de vento:
massa específica ar (p) - 1,22 kg/m3;
área frontal (A) = 1,35 m2;
velocidade (v) - 90km/h;
força de arrasto (Fd) = 320 N.
23
24
TAREFA - 5
O Instituto Nacional de Eficiência Energética (INEE) promove
seminários para discutir aumento da eficiência energética em veículos
pela redução da resistência do ar. A força de arrasto é a força que os
veículos têm que vencer para se movimentar e, essa grandeza
aumenta conforme a velocidade do corpo aumenta. A redução do
consumo de combustível não é somente uma questão económica,
mas também uma questão ambiental, pois quem efetivamente
consome menos, polui menos. Utilizando unidades no Sistema
Internacional (SI) e a equação a seguir, demonstre que o coeficiente
de arrasto (cd) é uma grandeza física adimensional.
0,5 • p • v • A
25
26
*
*e
•
*
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
Exercícios Propostos
01.
de
2,5 km
5,0 m
2,0 in
1,0 m2
100 cm2
1,0 m3
14501
2,5 m3
para
m
mm
cm
cm2
In2
I
m3
dm3
resposta
2.500
5.000
5,08
10.000
15,5
1.000
1,45
2.500
02.
de para resposta
0,8 kPa
10.000 N/m2
200 bar
200 kgf/m2
kgf/m2
kgf/m2
kgf/m2
bar
81,58
1019,72
2.039.432
0,02
03. Vazão: MLT = L3.T1 e
Volume: MLT = L3 e
Pressão: MLT = M.L"1 .T2 e
FLT = L3.T1
FLT = L3
FLT = F.L'2
04. W = N.m = J
05. A grandeza definida porX.Y é força cuja unidade, em SI, é newton (N).
06. [E] = F
27
Tarefas
01.
de para resposta
1,3MPa
20.000 N/m2
135 bar
200 kgf/cm2
10 mca
kgf/m2
kgf/cm2
kgf/m2
bar
Pa
1.326.106
0,204
1, 38.10"
196,13
9,81.1 04
02.
Grandeza MLT
Pressão
Força
Potência
Velocidade angular
Massa
Frequência
-, -..irv.»-;-. -•.,->-..•<'
ML'1r2
MLT^
MLZT3
r1
M
T1
PL-2
F
FLT1
T1
FL'1T2
T1
FLT
03. A grandeza definida por X/Y é pressão.
04. Não é competitivo. Cd = 0,622.
28
w CAPITULO 2
2. DEFINIÇÃO E PROPRIEDADES DE FLUIDOS
2.1 Conceitos Fundamentais e Definição de Fluidos
v Fluidos são substâncias que têm a capacidade de escoar e
^ não possuem uma forma própria, tomando o formato do recipiente que
os contém. Portanto, a capacidade de escoar distingue o fluido de um
^ sólido. Sendo assim, os fluidos são os líquidos e os gases. Ainda, ppr
™ meio da observação prática da Experiência das Duas Placas,
^ compara-se o comportamento entre um fluido e um sólido na
^ aplicação de uma força tangencial.
^ Na descrição da Experiência das Duas Placas, considere um
™ sólido preso entre duas placas planas, cuja placa inferior encontra-se
™ fixa e a superior está sujeita a aplicação de uma força tangencial Ft
" constante. Observe a Figura 2.1.1:
|-»Placa Superior F, = cte
*
•
(a)
Sólido
íáS%í%3áí£í
U-Placa Inferior Fixa
Figura 2.1.1: (a) Sólido entre duas placas e, (b) Sólido deformado
angularmente devido à aplicação de uma Ft aplicada sobre a placa
superior.
29
Devido à aplicação da força tangencial pt constante sobre a
placa superior nota-se umadeformação angular no sólido, o qual
alcança uma nova posição de equilíbrio estático.
Em um segundo momento, a mesma experiência é realizada
colocando-se um fluido entre as placas: inferior fixa e a superior
sujeita a uma força tangencial F( constante (Fig. 2.1.2).
[-» Placa Superior F, = cte
A
D
L4- Placa Inferior Fixa
B
Fluido
C
//////////^/////s
(a
/////MM.
(b)
Figura 2.1.2: (a) Fluido entre duas placas e, (b) Fluido deformado
continuamente devido à aplicação de uma Ft aplicada sobre a placa
superior.
Primeiramente nota-se o princípio da aderência, o qual
descreve que os pontos do fluido em contato com uma superfície
sólida aderem aos pontos da mesma, com os quais se encontram em
contato. Sendo assim, considerando o volume ABCD do fluido sob a
ação da Ft, ele deforma-se continuamente e não alcança uma nova
posição de equilíbrio estático.
Portanto, analisando a Experiência das Duas Placas aplicada
para um sólido e um fluido conclui-se que o sólido deforma-se
limitadamente sob a ação de uma força tangencial constante,
enquanto que, o fluido é uma substância que se deforma
continuamente quando submetido a uma Ft constante, não atingindo
uma nova configuração de equilíbrio estático.
30
2.2 Pressão Média e Tensão de Cisalhamento Média
Considere uma superfície de área A submetida à ação de
uma força F (Fig. 2.2.1). Decompondo essa força F em componentes
tangencial (pt) e.normal (Fn):
Figura 2.2.1: Superfície de área A submetida à ação de uma força F.
Define-se Pressão Média (P) como sendo a razão entre o
módulo da componente normal da força (pn| = Fn) (Fig.2.2.1) e a área
sobre a qual está aplicada:
P = 1 n
A
Ainda, por meio da Figura 2.2.1, define-se a Tensão de
Cisalhamento Média (r) como o quociente entre o módulo da
componente tangencial da força (\Ft\ Ft) (Fig.2.2.1) e a área sobre
a qual está aplicada:
31
= i_L = il
T~ A ~ A
Portanto, sendo Pressão (P) e Tensão de Cisalhamento (•?)
grandezas definidas por força sobre unidade de área, as unidades
mais utilizadas para essas grandezas, de acordo com o Sistema de
Unidades, estão descritas na Tabela 2.2.1 a seguir:
Tabela 2.2.1: Unidades de Pressão (P) e Tensão de Cisalhamento (r)
para os Sistemas de Unidades: MKgfS, CGS e MKS (SI).
Sistema
MKgfS
CGS
MKS (SI)
Unidade de P e/ou T
kgf/m*
dina/cm11
N/m2 (Pa)
* 1 N/m2 = 1 pascal (Pa)
2.3 Massa Específica
A Massa Específica (p) de uma substância é a razão entre a
massa (m) de uma quantidade da substância e o correspondente
volume do fluido (V) ocupado por essa quantidade:
w
Assim, sendo Massa Específica (/?) a grandeza física definida^
por massa sobre unidade de volume, as unidades mais utilizadas
essa grandeza de acordo com o Sistema de Unidades utilizado,
descritas na Tabela 2.3.1 a seguir:
32
Tabela 2.3.1: Unidades de Massa Específica (p) para os Sistemas de
Unidades: MKgfS, CGS e MKS (SI).
Sistema
MKgfS
CGS
MKS (SI)
Unidade de/?
utm/md
g/cmj
kg/m3
Na tabela 2.3.2 estão mostradas o valor da Massa Específica
(p) para alguns fluidos:
Tabela 2.3.2: Valor da Massa Específica (p) para diferentes fluidos.
Fluido
Agua destilada
Agua do mar
Álcool etílico
Glicerina
Mercúrio
Óleo diesel
Óleo lubrificante
Óleo de soja
Petróleo
Ar(15,6°C;P = 1 atm)
Metano (1 5,6 °C; P = 1 atm)
Massa Específica
(P) (kg/m3)
1000
1030
800
1260
13600
890
910
950
880
1,2
0,6
Exemplo:
Misturam-se volumes iguais de dois líquidos de massas
específicas pi = 0,50 g/cm3 e /^ = 0,90 g/cm3. Determinar a massa
específica pM da mistura.
Como os dois líquidos possuem volumes iguais: Vt= V2 = V,
portanto, o volume da mistura é 2 V. A massa da mistura é igual à
soma das massas dos dois líquidos: mM = m1 + m2.
33
Da definição de massa específica: p = —, temos que:
V
m M =
0,50 + 0,90 -„ , 3
PM=-—H— =* PM =0.70 g I cm*
* Nota: A densidade (d) de um corpo (porção limitada da matéria) é a
razão entre a massa (m) do corpo e o correspondente volume (V). A.
densidade (d) (termo mais utilizado para objetos sólidos) possui as
mesmas unidades da massa específica (p) (de modo geral,
nomenclatura utilizada para fluídos e substâncias).
2.4 Peso Específico
O Peso Específico (tf de uma substância é a razão entre a
força peso (G) de uma quantidade da substância e o correspondente
volume do fluido (V) ocupado por essa quantidade:
34
Desta maneira, sendo Peso Específico (y) a grandeza física
definida por força peso sobre unidade de volume, as unidades mais
utilizadas para essa grandeza de acordo com o Sistema de Unidades
utilizado, estão descritas na Tabela 2.4.1 a seguir:
Tabela 2.4.1: Unidades de Peso Específico (y) para os Sistemas de
Unidades: MKgfS, CGS e MKS (SI).
Sistema Unidade de
MKgfS
CGS
MKS (SI)
kgf/m-1
dina/cm3
N/mJ
2.5 Relação entre Massa Específica e Peso Específico
Por meio da 2a Lei de Newton, a qual relaciona as grandezas
físicas força (F), massa (m) e aceleração (a), pode-se determinar a
força peso (G):
sendo: g = aceleração da gravidade.
Utilizando a equação que determina a força peso (G) e
dividindo-a pelo volume:
G m
35
Sabendo que massa específica (p) é determinada por: p = — e que
^v
peso específico (y) é determinado por: y = —, é possível
as grandezas físicas p e y por meio da . equação apresentad
anteriormente:
2.6 Peso Específico Relativo
O Peso Específico Relativo do fluido (75) é determinado
razão entre o peso específico do fluido em questão (y) e o
específico do fluido referência (yref). Para líquidos, o
considerado como referência é a água (y^o = 1-000 kgf/m3 - 10.00^
N/m3); enquanto que o fluido referência para os gases é o ar. £
Tref
É importante notar que Peso Específico Relativo (yr) é um™
grandeza adimensional, ou seja, o seu valor será o mesm™
independente do sistema de unidades adotado. ™
•
Exemplo: W
Considere um fluido (líquido) com massa específica p = ^P
utm/m3. Determine o seu peso específico (y) e o peso específicw
relativo (yr). ™
Dados: yH20 - 1 .000 kgf/m3 *
g = 10 m/s2 •
36 •
(.m3)
- - =>/ = 800 kgflm3 (sistema MKgfS)
Y Y 800 kgf/m3
-3— = -l— => j
Yref YH20 1000 kgf!m*
2.7 Tipos de Fluido:
2.7.1 Fluido Ideal
Um fluido é considerado ideal quando sua viscosidade é
nula. Admite-se que o atrito de camadas do fluido deslizando sobre as
vizinhas é a força responsável pela viscosidade. Se o fluido ideal não
possui viscosidade, conclui-se que durante o seu escoamento não há
nenhuma perda de energia por atrito.
2.7.2 Fluido Incompressível
O fluido é considerado incompressível se o seu volume não
varia ao modificar a pressão. Como consequência, se o fluido for
incompressível, a sua massa específica não varia com a pressão.
* Nota: De acordo com as propriedades físico-químicas da água, há
um aumento no seu volume no intervalo de temperatura de O a 4 °C.
Sendo assim, nesse intervalo de temperatura, a massa específica da
água é menor. Portanto, a água será considerada um fluido
incompressível para temperaturas superiores a 4 °C.
37
2.7.3 Fluido Compressível
O fluido é considerado compressível se o seu volume varia
com a alteração da pressão, ou seja, não apresenta volume .próprio,
dependendo portanto da pressão que está submetido.
2.7.4 Fluido Indilatável
O fluido é considerado indilatável se o seu volume não varia
ao modificar a temperatura, ou seja, apresenta volume próprio. Todos
os líquidos são exemplos de fluidos indilatáveis.
2.7.5 Fluido Dilatável
Ao contrário da afirmação anterior, o fluido é considerado
dilatável se o seu volume varia com a alteração da temperatura, não
apresentando volume próprio. Os gases são exemplos de fluido
dilatável.
2.8 Equação de Estado dos Gases
Quando o fluido não puder ser considerado incompressíve
nem indilatável, ou seja, quando houver efeitos no volume do fluido
devido à variação da pressão e temperatura, será necessário
determinar as variações na massa específica (p) em função da
pressão (P) e da temperatura (T).
O estudo a ser desenvolvido relaciona-se às três grandezas
macroscópicas: a pressão(P), a temperatura (T) e a massa específico
(p), que será analisada devido à variação do volume (V} . Em função
38
dessas grandezas físicas, será analisado o comportamento de um gás
ideal ou perfeito.
Considere a Equação de Estado:
P „ -r- P— = R • T ou p
p H R-T
sendo: R = constante dos gases que depende do gás em estudo e,
como exemplo, para o ar o valor da constante R = 287 m2/s2K.
T- temperatura absoluta na escala kelvin.
Considerando uma mudança de estado de um gás:
P2 •
sendo o estado inicial do gás representado por (1) e o estado final
representado por (2).
No processo do tipo isotérmico, durante a mudança de
estado do gás, não há variação de temperatura, ou seja, TV = 72.
Portanto:
P-\—L = — = cie
/»1 P2
No processo isobárico, durante a transformação de estado
do gás, não há variação de pressão, ou seja, P1 - P2. Sendo assim:
P\ r1 = P2 • T2 = cíe
39
No processo chamado isocórico ou isométrico, durante
transformação de estado do gás, não há variação do volume, ou seja
não há variação na massa específica. Desta maneira, p-j = p2.
PL = PZ
Tl T2
No processo do tipo adiabático, durante a mudança de_
estado do gás, não há trocas de calor entre o sistema estudado e o~
meio externo. Nesse-caso:
P2
sendo: k - constante adiabática que depende do gás em estudo e
como exemplo, para o ar o valor da constante k - 1,4.
Exemplo:
Numa tubulação escoa o gás hidrogénio. Numa secção (1),
pressão P-Í = 4.105 N/m2 e a temperatura TV = 40 °C. Ao longo de tod;
a tubulação, a temperatura mantem-se constante. Determine a mass;
específica do gás (p2) numa secção (2), sabendo que a pressão ness;
secção é P2 = 2.105 N/m2. Considere a constante dos gases para c
hidrogénio: R - 4122 m2/s2K.
4122
40
Admitindo o processo do tipo isotérmico onde durante a mudança de
estado do gás não há variação de temperatura, ou seja, TI - T2.
Portanto:
P±=PZ_ ^ .£. '
/M P2 P-\3
4.1 05
2.9 Tipos de Viscosidade:
• De uma maneira simplesj pode-se definir viscosidade como
sendo a propriedade que indica a maior ou menor dificuldade em o
fluido escoar. No estudo da viscosidade, ela pode ser definida por dois
diferentes tipos: a viscosidade dinâmica ou absoluta e a viscosidade
cinemática.
2.9.1 Viscosidade Dinâmica ou Absoluta
Durante a análise do Experimento das Duas Placas (item
2.1), foi considerado o Princípio da Aderência, o qual descreve que os
pontos do fluido em contato com uma superfície sólida aderem aos
pontos da mesma, com os quais se encontram em contato. Devido à
aplicação de uma força tangencial pt constante sobre a placa superior
(Fig.2.9.1), as partículas do fluído que se encontram junto a esta placa
(representadas pelos pontos A e B), terão velocidade diferente de
41
zero e, as partículas do fluido que estão junto à placa inferior
(representadas pelos pontos C e D), terão velocidade nula.
Desta maneira, entre as partículas de cima e as debaixo
existirá a força de atrito que, por se tratar de uma força tangencial,
dará origem a tensões de cisalhamento, com sentido contrário ao do
movimento devido à ação contrária da força de atrito (Fig.2.9.1.1),
r—s-Placa Superior
A B
Fluido
D C
F, = cte
- Placa Inferior Fixa (b)
Figura 2.9.1.1: (a) Fluido entre duas placas e, (b) Fluido deformado
continuamente devido à aplicação de uma i=t aplicada sobre a placa
superior. Tensões de Cisalhamento (?) devido à força de atrito entre
as partículas do fluido.
Por meio da Figura 2.9.1.2 a seguir, observa-se que para um
deslocamento c/y haverá uma correspondente variação dv na
velocidade:
i—> Placa Superior
V2
V1
i-» Placa Inferior Fixa
Figura 2.9.1.2: Gradiente da velocidade: variação da velocidade (c/v)
de acordo com a posição dy.
42
A Lei de Newton para a viscosidade considera uma relação
de proporção entre a tensão de cisalhamento (-z) e o gradiente da
velocidade (dv/dy):
dv_
dy
sendo o coeficiente de proporcionalidade // denominado viscosidade
dinâmica ou absoluta. A viscosidade dinâmica (ju) é uma grandeza
que depende de cada fluido e das condições sob as quais está
submetido, como pressão e temperatura.
Após um determinado intervalo de tempo em que a força
tangencial Ft está aplicada sobre a placa superior, esta passará a
desenvolver um movimento uniforme com velocidade v0.
Considerando s uma distância pequena, pode-se admitir a
simplificação prática descrita na Figura 2.9.1.3 a seguir:
L ,—>Placa Superior
A
B
-- ' • — - ^ '- -'! . -1
/C '
A' ,/
dy
/
B'
e
\m
l—> Placa Inferior Fixa
Figura 2.9.1.3: Simplificação prática para a determinação da
viscosidade dinâmica (//).
Considerando a semelhança entre os triângulos da Figura
2.9.1.3:
43
A ABC&A A'B'C' :. — = ¥$- . e de forma geral: ^L = ̂ L
dy s dy Ay
Portanto, a Lei de Newton para viscosidade:
dv Av
=> U.
dy ' A y
AV VQ
- — = /í- —Ay s
Por meio da análise dimensional da Lei de Newton para a
viscosidade e, adotando o sistema do tipo FLT, obtém-se as unidades
da viscosidade dinâmica:
dv
F FL_2
Área £. l dy
Assim, as unidades mais utilizadas para Viscosidade
Dinâmica (jJ) de acordo com o Sistema de Unidades, estão descritas
na Tabela 2.9.1.1 a seguir:
44
Tabela 2.9.1.1: Unidades de Viscosidade Dinâmica (/*) para os
Sistemas de Unidades: MKgfS, CGS e MKS (SI).
Sistema
MKgfS
CGS
MKS (SI)
Unidade de//
kgf.s/m2
dina.s/cm'1 (poise)
N.s/m2
* 1 centípoise (cP) - 0,01 Poise.
2.9.2 Viscosidade Cinemática
A Viscosidade Cinemática (v) é determinada pela razão entre
a viscosidade dinâmica (//) e a massa específica (p) do fluido em
estudo.
P
Por meio da análise dimensional e, adotando o sistema do
tipo FLT, obtém-se as unidades da viscosidade cinemática:
45
Assim, as unidades mais utilizadas para Viscosidade
Cinemática (v) de acordo com o Sistema de Unidades utilizado, estão
descritas na Tabela 2.9.2.1 a seguir:
Tabela 2.9.2.1: Unidades de Viscosidade Cinemática (v) para os
Sistemas de Unidades: MKgfS, CGS e MKS (SI).
Sistema
MKgfS
CGS
MKS (SI)
Unidade de v
m2/s
crn^/s (stoke_St)
m2/s
* 1 centistoke (cSt) = 0,01 St.
O nome viscosidade cinemática se deve ao fato da grandeza
em questão não envolver nenhuma força, somente comprimento e
tempo, que são grandezas fundamentais da cinemática.
2.10 Pressão Hidrostática
Um fluido estará ,em equilíbrio quando as forças de
cisalhamento sobre ele são nulas. Em outras palavras, isso significa
que qualquer superfície em contato com o fluido exerce sobre ele
forças que em cada ponto são normais à superfície. Considerando a
Lei da Ação e Reação, o fluido em equilíbrio também exerce sobre a
superfície forças normais a ela. A Figura 2.10.1 ilustra as forcas
exercidas nas paredes de um recipiente por um gás (Fig.2.10.1_a) e
por um líquido (Fig.2.10.1_b) em estado de equilíbrio.
46
Figura 2.10.1: (a) Forças exercidas por um gás sobre seu recipiente,
(b) Forcas exercidas por um líquido sobre seu recipiente.
Assim, considera-se que a pressão de um fluido em
equilíbrio em um dado ponto é a mesma em todas as direções. Esse
tipo de pressão, que pode variar de acordo com o ponto estudado,
mas em cada ponto é a mesma em todas as direções, é denominada
de Pressão Hidrostática. Desta forma, a pressão de um fluido em
equilíbrio é sempre hidrostática.
47
48
2.11 Exercícios Propostos
01, A fim de verificar a massa específica (p) de alguns líquidos, um
aluno de engenharia utilizou um reservatório de vidro padrão com
volume controlado de 120 ml. Ele preencheu o reservatório com cada
um dos líquidos e, logo após mensurou a massa de cada um desses
fluidos, obtendo a tabela a seguir:
Líquido Massa (g)
A
B
C
94,68
120,00
106,08
Determine a massa específica (p) de cada um dos líquidos em g/cm3.
02. Um reservatório com capacidade volumétrica de 2 m3 armazena
uma massa de 1650 kg de óleo solúvel. Determine a massa específica
(p) e o peso específico (7) desse óleo.
03. Um fluido possui viscosidade dinâmica ft= 1,03.10"3 N.s/rrf e
massa específica p - 1000 kg/m3. Determine sua viscosidade
cinemática(v).
04, Sabendo que a pressão (P) pode ser medida por meio da altura da
coluna de um líquido, um encanador irá instalar um chuveiro e, no
manual do aparelho está descrito a especificação de pressão mínima
49
(Pmin) e pressão máxima (Pmax) para o bom funcionamento do
chuveiro. Sendo a pressão mínima (Pro/n) de 7 mca (metros de coluna
d'agua), a pressão máxima (Pmax) de 40 mca e P = p-g-fi, verifique se
a pressão de 98.000 N/m2 é apropriada para o equipamento.
* Nota: Consulte o item 1.9 Conversão de Unidades do Capitulo 1.
05. Foram misturados dois fluidos homogéneos de massas iguais e
massas específicas de 1 g/ml e 0,86 g /ml. Demonstre os cálculos
para determinar a massa específica da mistura.
06. Uma jóia de prata maciça possui massa (m) de 200g e volume (V}
20ml. Determine a densidade (d) da prata utilizada na confecção da
jóia.
07. Um objeto feito em ouro possui massa (m) de 1000 g e densidade
(d) de 20 g/cm3. Determine o volume desse objeto.
50
TAREFA - 1
A densidade (d) é a grandeza física determinada pela
relação entre a massa de um corpo e o seu volume. Os corpos que
apresentam maior densidade são aqueles que possuem grande
concentração de massa em um pequeno volume, tais como o ouro e a
prata. Um ourives deseja verificar se as barras, ilustradas a seguir,
são realmente compostas por ouro e prata e, para isso, ele fará um
experimento simples, que comprovará a verdadeira composição de
cada um dos materiais. O profissional primeiramente realizará a
medição da massa de cada uma das barras com uma balança
analítica de precisão. Utilizando um paquímetro, ele executará a
medição das dimensões geométricas necessárias para calcular o
volume de cada sólido. A partir das medições descritas anteriormente,
os dados obtidos estão apresentados a seguir:
Raio: 50,00 mm
Altura: 100,00 mm
Massa: 15.307,5 g
Raio: 60,00 mm
Altura: 50,00 mm
Massa: 5.759,39 g
Com base nas medições do ourives e, sabendo que a
densidade do ouro (d0) e da prata (cfp) são respectivamente, 19,5 g/ml
e 10,20 g/ml, determine qual barra é de ouro e qual barra é de prata.
51
M M M M * W'»"
TAREFA - 2
Um encanador irá instalar um chuveiro e, no manual do
aparelho está descrito a especificação de pressão mínima (Pm;n) e
pressão máxima (Pmax) para o bom funcionamento do chuveiro. Logo
a seguir está apresentada a página do manual que trata do assunto
em questão.
Verifique a altura .
da coluna icfágua
do aparelho em
relação a caixa
d'águaesigaas
instruções abaixo.
1)Para .proteçSo do equipamento e redução do
consumo de água, mantenha o. redutor Indicado
quando1 a pressS» (P) for maior que 50.000 Pa.
2)'Pressão mínima (Pmjn) de funcionamento: 12 moa.
3)PressSo máxima (Pnuxl de funcionamento: 5D.mca.
Sabendo que a pressão (P) no local de instalação é de
20.000 Pa e que P-p-g-h, determine se o chuveiro pode ser
instalado, de acordo com as especificações do manual. Considere p a
massa específica do fluido em questão, h a altura da coluna do fluido
e g a aceleração da gravidade igual a 10 m/s2.
53
54
TAREFA-3
Um Engenheiro acaba de reformar uma casa e deseja
substituir a caixa de água atual por uma de maior capacidade. Ele
espera que o novo reservatório seja capaz de atender a demanda de
água dos equipamentos que serão instalados. Após realizar alguns
cálculos, o profissional verificou que o melhor locai para colocar esta
caixa de água é sobre o forro do quarto, o qual suporta, com
segurança, uma carga de até 3.000 kg. A caixa de água escolhida
possui as dimensões indicadas na figura a seguir. Sendo assim,
determine se o forro do quarto pode receber a carga proveniente do
armazenamento de água, sabendo que a massa específica da água
(pH2o)éde1g/ml.
55
56
TAREFA - 4
Foram misturados dois fluidos homogéneos, fluido A e fluido
B, de massas iguais (mA = mB] e massas específicas respectivas pA -
0,75 g/ml e pB = 0,98 g/ml. Determine a massa específica da mistura
demonstrando os cálculos.
57
58
TAREFA-5
A fim de verificar a massa específica (p) de alguns líquidos,
um aluno de engenharia utilizou um reservatório de vidro padrão com
volume controlado de 120 ml. Ele preencheu o reservatório com cada
um dos líquidos e, logo após mensurou a massa de cada um desses
fluidos, obtendo a tabela a seguir:
A
B
C
-l 00
150
80
Determine a massa específica (p) de cada um dos líquidos
em g/cm3.
59
60
£• RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
fáft Exercícios Propostos
•,̂ 01 . pA = 0,79 g/cm3, />s = 1 g/cm3 e /jc = 0,88 g/cm3.
é
A 02. /> = 825 kg/m3 e f = 8250 N/m3.
* 03. y= 1,03.1 0"6 m2/s.
*F 04. P = 10 mca — sim, é apropriada.
é
^> 05. p^tar, = 0,925 g/ml.
•Ã 06. orpnl<, = 10 g/ml.
•â' '
. 07. t/ot/efo = 50cm3.
Tarefas
01. Barra A: Ouro (o1,, = 19,5 g/ml) e Barra B: Prata (rfp = 10,19 g/ml).
02. Não, pois P = 2 mca.
03. Suporta, m = 1800 kg.
04. /3mfaíura = 0,850 g/ml.
05. /5A = 0,833 g/cm3, /?s = 1 ,25 g/cm3 e pc = 0,667 g/cm3.
62
CAPITULO 3
^ 3. ESCALAS TERMOMETRICAS E DE PRESSÃO
*A 3.1 Escalas Termométricas
+
A A necessidade de se quantificar o calor devido às sensações
A de quente e frio levou a construção de termómetros e, o
^ aperfeiçoamento das medidas de temperatura deu origem às diversas
^ escalas termométricas. No século XVIII foram criadas diversas
^ escalas termométricas, dentre elas, a Fahrenheít e a Celsius,
^ conhecidas como escalas efetivas ou relativas. A escala absoluta de
^ temperatura Kelvin foi proposta em 1848.
•_ 3.1.1 Escalas Celsius e Fahrenheit
A fim de caracterizar cada escala termométrica dois pontos
específicos são fixados: o ponto de fusão do gelo e o ponto de
ebulição da água.
Na escala Celsius, o valor zero foi adotado para o ponto de
fusão do gelo e o valor 100 para o ponto de ebulição da água. O
intervalo entre os dois pontos fixos foi dividido em 100 partes iguais,
com cada parte correspondendo a uma unidade da escala
denominada grau Celsius (°C).
63
Quando os pontos fixos da escala Celsius são projetados
para a escala Fahrenheít, obtém-se 32 para o ponto de fusão do
gelo e o valor 212 para o ponto de ebulição da água. O intervalo
entre os dois pontos fixos foi dividido em 180 partes iguais, sendo que
cada parte corresponde a uma unidade da escala denominada grau
Fahrenheit (°F) (Rg.3.1.1.1).
100 °C 212 °F
•\ f \
Tc
4
0 °C
a
b
,
TF
32 °F
Escala Celsius Escala Fahrenheit
Figura 3.1.1.1: Escalas Celsius e Fahrenheit com seus respectivos
pontos fixos representados.
A fim de realizar conversões de temperaturas entre as
escalas Celsius e Fahrenheit, são feitas comparações entre os
segmentos a e b representados na Figura 3.1.1.1:
a _ Tc - O _ TF - 32
b~100-0~212-32
=> T c =(7 F -32)
64
3.1.2 Escala Kelvin
Como já dito anteriormente, a escala Kelvin é conhecida
como escala absoluta de temperatura. O limite inferior de
temperatura da escala Kelvin (O K) corresponde ao zero absoluto (O K
= -273 °C). A variação da escala Kelvin corresponde à mesma
variação da escala Celsius (Fig.3.1.2.1).
100 °C 373 K
m
m
m
o °c
Escala Celslus
_273_K
Escala Kelvin
Figura 3.1.2.1: Escalas Celsius e Kelvin com seus respectivos pontos
fixos representados.
A fim de realizar conversões de temperaturas entre as
escalas Celsius e Kelvin, são feitas comparações entre os segmentos
representados na Figura 3.1.2.1:
TK=Tc+273
rc=TK-273
65
Exemplo:.
Para calibrar um termómetro, um estudante coloca-o em
equilíbrio térmico, primeiro com gelo fundente e, depois com água em
ebulição, tudo sob condições normais de pressão. A figura a seguir
representa os resultados obtidos. Quando o termómetro encontra-se
em equilíbrio térmico com o ar ambiente do laboratório, a altura da
coluna de mercúrio é de 24,4 cm. Sendo assim, determine a
temperatura do laboratório na escala Celsius.
TE= Temp. de ebulição
= Temp. de fusão
= Temp. ambiente
T(°C)
Resolução:
100 °C 40,0 cm
a
b TA
/
o°c ,
a
f \
24,4 cm
20,0 cm
Escala Celsius Altura da Coluna
de Mercúrio
66
A fim de determinara temperatura do laboratório na escala
Celsius, são feitas comparações entre os segmentos a e b
representados na Figura anterior:
a _ TA-Q __ 24,4-20,0
~b ~ 100-0 "40,0-20,0
" ^ 20-7^=4,4-100 => 7 A =22°C
3.2 Escalas de Pressão
3.2.1 Pressão Atmosférica (Paím)
Considera-se um líquido em equilíbrio dentro de um
recipiente. O ar atmosférico exerce uma pressão constante, chamada
de pressão atmosférica (Patm), sobre todos os pontos livres cia
superfície do líquido, tornando assim, a superfície do fluido horizontal.
A pressão atmosférica é constituída por vários gases que
exercem uma pressão sobre a superfície terrestre. Essa pressão
atmosférica varia com a altitude e as condições climatológicas do
local. Á medida que se afasta da superfície da Terra, o ar torna-se
mais rarefeito, exercendo uma pressão cada vez menor;
aproximadamente 85 mmHg para cada 1000 m de altitude.
Afim de determinar a pressão atmosférica, Torricelli realizou
um experimento demonstrado pela figura a seguir (Fig.3.2.1.1):
67
76 cm
A
Mercúrio
Figura 3.2.1.1: Experimento de Torricelli realizado em 1643 paraP
determinar a medida da pressão atmosférica (Patm). f
A pressão no ponto A (PA) corresponde à pressão da coluna^
de mercúrio dentro do tubo e a pressão no ponto B (PB) corresponde..
à pressão atmosférica ao nível do mar. Sabendo que a pressão no
ponto A é igual à pressão no ponto B por estarem na mesma altura^
então:
PA ~ PB => pcoluna (Hg) = Patm
Por meio da Figura 3.2.1.1, observa-se que 76 cm
mercúrio equilibra a pressão atmosférica ao nível do mar, em
palavras, 76 cm de Hg equivale à pressão atmosférica ao nível
mar. No Capítulo 4 e também um pouco no item a seguir, s
descrito de forma detalhada como se calcula a variação de
entre dois pontos que se encontram em alturas distintas.
assim, aqui só será anunciado que:
68
Considerando as grandezas a seguir no SI de unidades:
pHg = 13600 kg/m3; g = 9,8 m/s2 e hHg = 0,76 m
AP = Pcoluna (Hg) = Patm •'• Patm = P ' 9' h
Patm= 13600 -9,8 -0,76 => Patm = 1,01x105 NI m2
Na tabela a seguir nota-se que à medida que se afasta do
nível do mar, a pressão atmosférica diminui, como já dito
anteriormente.
Tabela 3.2.1.1: Variação da pressão atmosférica com a altitude.
Altitude (m)
0
200
400
800
1200
1600
2000
3000
Pressão Atmosférica
(Pato)(mmHg)
760
742
724
690
658
627
598
527
A pressão atmosférica também é chamada de pressão
barométrica e varia com a altitude como mostrado na Tabela 3.2.1.1).
Os barómetros são medidores de pressão atmosférica. A Figura
3.2.1.1 representa esquematicamente um barómetro.
69
3.2.2 Pressão Efetiva e Pressão Absoluta
Á medida que se aprofunda no líquido, a pressão aumenta
(representado pelo ponto B na Fig.3.2.2.1). O aumento da pressão do
ponto A para o ponto 6, depende da massa específica (p) do líquido
em questão, da aceleração da gravidade (g) e da diferença de cotas
entre os dois pontos (/?). É importante lembrar que: o peso específico
(y) é determinado pelo produto da massa específica (p) do fluido pela
aceleração da gravidade (g) (y~ P-9) •
A equação que determina a variação de pressão AP entre os
pontos A e B (Fig.3.2.2.1) é chamada de pressão hidrostática, ou
também de pressão efetiva, a qual representa a pressão exercida
somente pela coluna de fluido de cota /?:
AP = y-h = p-g-h
AP = y. h = p.g.h
Figura 3.2.2.1: Líquido em equilíbrio (em repouso) em um recipiente
aberto para a atmosfera.
Medidores de pressão, como por exemplo, os manómetros
utilizam a pressão atmosférica como referência, medindo, portanto, a
diferença entre a pressão do sistema e a pressão atmosférica. A
pressão manométrica (pressão medida pelo manómetro) pode ser
positiva ou negativa, dependendo de estar acima ou abaixo da
70
pressão atmosférica. Se for medida pressão negativa, o manómetro é
chamado de manómetro de vácuo ou também vacuômetro.
Manómetros e manómetros de vácuo medem somente pressões
efetivas.
Na Figura 3.2.2.2, por meio da ilustração de um manómetro
contendo um reservatório e um tubo em U, pode-se entender como
esse medidor de pressão determina a pressão manométrica do
sistema (Pman) contido no reservatório:
Liquido
Figura 3.2.2.2: Esquema de um manómetro de tubo em U aberto.
Sabendo que os pontos A e B apresentam a mesma pressão
por estarem a uma mesma altura, a pressão manométrica (Pman) será
determinada segundo a equação a seguir:
"sistema ~ "atm + ̂ coluna ^ ^sistema ~ ̂ atm — P ' 9 '
71
Retomando a Figura 3.2.2.1, considera-se que o ponto /T
encontra-se na superfície do líquido, portanto a pressão no ponto W
(PA) pode ser considerada igual à pressão atmosférica (Patm). Senda
assim, calcula-se a pressão no ponto B (PB) a uma profundidade h:
A pressão no ponto B (PB) representa a pressão total <m
pressão absoluta em um determinado ponto a uma profundidade ii
dentro de um líquido. _
De forma resumida, pode-se escrever que: _
P. Absoluta (Pressão Total) = P. Efetíva (Pressão Manométrica) + P. Atmosférica^
pabs - pman + Patm £
"sistema ~ ' atm + "coluna ^ 'sistema ~ 'atm = P " 9 ' n
•
•Exemplo:
A figura a seguir representa um manómetro contendo gás.
conectado a um tubo preenchido com mercúrio e aberto para a
atmosfera. Considere que o sistema encontra-se em equilíbrio^
Determine a pressão exercida pelo gás em mmHg e também em
N/m2. Dados: //Hg = 13600 kg/m3; g - 9,8 m/s2 e Patm - 760 mmHg.
72
Palm = 760 mmHg
í-«B
Resolução:
Sabendo que os pontos A e B possuem a mesma pressão'
por estarem no mesma altura:
PA=PB => PA = PA ~'gás
•• Pgás ~ Paím "*" "colunaHg
=760 mmHg+320 mmHg ^> 1080 mmHg
Em N/m2:
m
0
"gás ~ Patm "*" PcoíunaHg
1.01.105 +13600-9,8-0,32
=1,44.105 N l m2
73
Logo a seguir serão feitas algumas observações para se
entender melhor o diagrama esquemático que relaciona pressão
efetiva com pressão absoluta (Figura 3.2.2.3).
> O limite inferior de qualquer pressão é zero, ou seja, vácuo
perfeito.
> Um vácuo perfeito.é a pressão mais baixa possível. Sendo assim,
uma pressão absoluta (Paí>s) será sempre positiva.
> Uma pressão efetiva que sé encontra acima da pressão
atmosférica (Paím) será positiva e medida por um manómetro
\'man) •
> Uma pressão efetiva que se encontra abaixo da pressão
atmosférica (Patm) será negativa e medida por um manómetro de
vácuo ou também conhecido por vacuômetro (Pvac).
Pressão Efetiva
(Pef>0) (manómetro)
Pressão Atmosférica (Barómetro)
Pressão Efetiva
(P,f <0) (vacuômetro)
Pressão Absoluta
Pressão Absoluta
Referência: zero absoluto (vácuo absoluto)
Figura 3.2.2.3: Diagrama esquemático relacionando as pressões
efetivas e absolutas.
74
;: . As unidades de pressão e suas transformações foram
l idisGUtidas no Capítulo 1. Vale ressaltar, que dentre as unidades de
i-pressão mais utilizadas está a unidade atmosfera (afm), que
i'corresponde a pressão responsável por elevar em 760 mm uma
j -:c.oluna de mercúrio. Portanto:
. 1 atm = 760 mmHg = 101.325 Pa (101,23 kPa) = 10.332 kgf/m2 (1,033
kgf/cm2) = 1,01 bar = 14,7 psi (Ibf/pol2) (pound force per square inch =
;' libra-força por polegada quadrada) = 10,33 mca (metro de coluna de
l í á§ua)-
75
76
3.3 Exercícios Propostos
01. Alguns aquecedores de resistência residenciais podem atingir
temperaturas de até 120 °C. Determine o valor dessa temperatura nas
escalas Fahrenheit e Kelvin.
02. Uma antiga escala de temperatura, proposta por um físico,
utilizava como ponto de gelo fundente o valor de 10 °D e, a
temperatura da água em ebulição o valor de 80 °D. Determine a
indicação nessa antiga escala D da temperatura correspondente a
40 °C?
03. Determine a pressão de 5 atm, em escala efetiva, nas unidades de
pressão: N/m2; kgf/m2; bar; cmHg e mca. Considerando que a pressão
atmosférica em Campinas seja de 713 mmHg, determine a pressão
absoluta (em Campinas) em todas ,as unidades de pressão citadas
anteriormente.
04. Na medida de uma determinada pressão, uma coluna de mercúrio
(Tng= 136.000 N/m3), como a representada a seguir,apresentou altura
de 300 mm. Na coluna ilustrada ao lado, utilizou-se como fluido a
água (YH2o - 10.000 N/m3). Determine a altura da coluna de água que
representa a mesma pressão medida pela coluna de mercúrio.
77
" T300 mm
Mercúrio'
V -*;" - ' -•:, ̂
78
TAREFA-1
Em um determinado processo de fabricação de uma peça,
um engenheiro deseja realizar um procedimento de têmpera
(tratamento térmico) com resfriamento em água. A temperatura do'
material deverá ser elevada até 780 °C em atmosfera neutra, a fim de
evitar a descarbonetação, utilizando-se água ou uma solução salina
para o resfriamento. Sabe-se que, nas condições descritas, é possível
um endurecimento superficial de 2,5 mm e que, se aumentar a
temperatura para 870 °C, pode-se obter um endurecimento superficial
de aproximadamente 5 mm. No forno disponível para o tratamento
térmico da peça, é possível realizar a leitura da temperatura em
Fahrenheit (°F). Determine se a temperatura indicada no forno é
possível a obtenção de, pelo menos, 2,5 mm de dureza superficial.
Forno
Tanque de Resfriamento
79
80
TAREFA-2
Termometria é o segmento da física que estuda os
fenómenos referentes ao calor, às mudanças de estado físico da
matéria e à temperatura. O instrumento utilizado para medir
temperatura é denominado termómetro, o qual possui dois pontos
fixos que servem como referência. Na escala Celsius, estão
representados os pontos de fusão do gelo e de ebulição da água.
Determine para uma escala arbitrária, chamada UNIP, a equação que
relaciona-a temperatura nessa escala arbitrária com a temperatura na
escala Celsius.
Temp. Ebulição 100 °C
0°CTemp. .Fusão [_ _"_<-_ | W "UNIK
290 °UNIP
'UNIP
20 °UNIP
Escala Celsius Escala UNIP
81
82
TAREFA-3
Determine a pressão de 10 atm, em escala efetiva, nas
unidades de pressão: N/m2; kgf/m2 e mca. Considerando que a
pressão atmosférica local seja de 740 mmHg, determine a pressão
absoluta (local) em todas as unidades de pressão citadas
anteriormente.
84
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
Exercícios Propostos
01. 7> = 248°F, TK=393K.
02. 7=38°D.
03. Pef = 5 atm = 506.624,98 N/m2 = 51661 kgf/m2 = 5,07 bar = 380 cmHg
51,66 mca.
P.i,s = 5,94 atm = 601.870,48 N/m2 = 61.373,71 kgf/m2 = 6,02 bar = 451,3 cmHg ;
61,38 mca.
04. fiagua = 4,08 m.
Tarefas
01. T = 790 °C -^ aproximadamente 2,5 mm de dureza superficial.
02. TUNIP = 2,7.Tc + 20
03. Pel= 10 atm = 1013.249,97 N/m2 = 103.322,74 kgf/m2 = 103,33 mca.
P.bs= 10,97 atm = 1.111.908,82 N/m2 = 113.383,14 kgf/m2 = 113,39 mca.
85
m
CAPITULO 4
4. ESTÁTICA DOS FLUIDOS
4.1 Empuxo
Quando um corpo é colocado totalmente imerso em um
líquido, ele fica sujeito a duas forças: a força peso (P) e a força de
empuxo (Ê) devido à interação do corpo com o líquido.
Figura 4.1.1: Forcas peso (P) e empuxo (E) que atuam sobre um
corpo submerso em um líquido.
Como consequência da atuação dessas duas forças sobre o
corpo, três diferentes situações podem ser observadas:
- Se o corpo permanece parado no ponto onde foi colocado, a
intensidade da força de empuxo é igual à intensidade da força peso (E
= P), sendo assim, o objeto encontra-se em equilíbrio estático
= 0). Para que esta situação ocorra, é necessário que a
87
densidade do corpo (d) seja igual à massa específica do liquido
(Fig.4.1.2_a).
- Se o corpo afunda, a intensidade da força de empuxo é menor
que a intensidade da força peso (E < P), ficando sujeito a uma forç^
resultante (FR} orientada para baixo (d>p) (FR = P-£)(Fig.4.1.2_b). 4
- Se o corpo for levado à superfície, a intensidade da força de empuxo
é maior que a intensidade da força peso (E> P), durante a ascensão
ficando sujeito a uma força resultante (FR) orientada para cima (d <
(FR = £-p)(Fig.4.1.2_c). \a 4.1.2: (a) Corpo em equilíbrio; (b) corpo afundando; (c)
levado à superfície.
4.1.1 Princípio de Arquimedes
Arquimedes viveu na Grécia no século III A.C. e durante
dos seus banhos constatou que um corpo imerso na água
"mais leve" devido a certa força, vertical para cima, exercida pe
líquido sobre o corpo, a qual "alivia" o peso do corpo. Essa força
qual Arquimedes se referia é denominada Empuxo (Ê). A vista
o Princípio de Arquimedes enuncia: .
88
"Todo corpo mergulhado em um fluido sofre, por parte deste, uma
força vertical para cima, cuja intensidade é igual ao peso do fluido
deslocado pelo corpo."
Seja VfO volume do fluido deslocado pelo corpo. Portanto, a
massa do fluido deslocado (mf) será, lembrando que pf é a massa
específica do fluido:
=>
Segundo o Princípio de Arquimedes, o empuxo é igual ao
peso dessa massa de fluido deslocada:
4.1.2 Peso Real e Peso Aparente
Considera-se um experimento: uma esfera de alumínio (d =
2,7 g/cm3), maciça, imersa no ar, pendurada em um dinamômetro que
indica um valor P para o peso da esfera (Fig.4.1.2.1_a). Em seguida,
a esfera é imersa em um líquido, por exemplo, água. Seja Pa a nova
indicação do dinamômetro para o peso da esfera (Fig.4.1.2.1_b).
Figura 4.1.2.1: (a) Objeto imerso no ar; (b) objeto imerso em água.
O peso P quando a esfera encontra-se imersa no ar é
chamado de Peso Real, enquanto que o peso Pa quando o objeto
encontra-se imerso em água recebe o nome de Peso Aparente. A
diferença entre o Peso Real e o Peso Aparente corresponde ao
empuxo exercido pelo líquido:
) Pa ~ ̂ aparente ~ P ~
Exemplo:
Um objeto de massa 10 kg e volume 0,002 m3, é imerso em
água (p= 1000 kg/m3). Considere g = 10 m/s2. Determine:
a) a intensidade da força de empuxo que a água exerce sobre o
objeto;
b) o peso real e o peso aparente do objeto;
c) a aceleração do objeto, desprezando o atrito com a água.
90
Resolução:
a) Como o objeto está totalmente imerso, o volume de água
deslocado é igual ao volume do objeto:
E = p.V0.g -> E= 1000.0,002.10 -> E =20 N
b) Peso Real: P = m.g -» P =10.10 -» P = 100 N
Peso Aparente: Pa = P - E -> Pa = 100-20 -» Pa = 80N
c) Observando que a intensidade do peso real é maior que a
intensidade do empuxo, então o objeto acelera verticalmente para
baixo.
FR = P - E -> FK = m.a -> m.a = P- E
10.a=100-20 -» a = 8m/s2
4.2 Pressão Média
Conforme descrito no Capítulo 2, uma força aplicada sobre
uma superfície pode ser decomposta em duas situações: uma
tangencial, que origina tensões de cisalhamento e, outra normal, que
originará as pressões. Sabendo que Fn representa a força normal que
age sobre a superfície de área A, a pressão uniforme (P) sobre toda a
área, ou a pressão média (P) é definida por:
A
91
Ai = 20 rrf -*
F2=10C N
_^ Az =12 m2
p, =£ = ̂ = 5 W/m 2 =5 Pa P2 = £. = ™ = 8,33 W/m2 =8,33 Pa
Figura 4.2.1: (a) Pressão Pf exercida sobre o recipiente í; (b) pressão
P2 exercida sobre o recipiente 2.
É importante notar que a força em ambos os recipientes é a
mesma (Fi = F2) aplicadas em áreas diferentes (A-, ^A2). Portanto, a
pressão exercida em cada um deles será diferente (P-t ** P2]
(Rg.4.2.1).
4.3 Lei de Stevin
Relembrando alguns conceitos sobre medidas de pressão,
vistos no capítulo anterior: Considera-se um líquido em equilíbrio
dentro de um recipiente (Fig.4.3.1). O ar atmosférico exerce uma
pressão constante, chamada de pressão atmosférica (Patm)> sobre
todos os pontos livres da superfície do líquido (representados pelo
ponto A na Fig.4.3.1). Á medida que se aprofunda no líquido, a
pressão aumenta (representado pelo ponto B na Fig.4.3.1). O
aumento da pressão do ponto A para o ponto B, depende da massa
específica (p) do líquido em questão, da aceleração da gravidade (g]
e da diferença de cotas entre os dois. pontos (h}. É importante lembrar
92
que: o peso específico (y) é determinado pelo produto da massa
específica (p) do fluido pela aceleração da gravidade (g) (y- p.g).
A Lei de Stevin pode ser enunciada como: a diferença de
pressão (AP) entre dois pontos de um fluido em equilíbrio (em
repouso) é igual ao produto do peso específico (y) pela diferença de
cotas dos dois pontos (h) (Fig.4.3.1).
AP = y.h = p.g.h
Figura 4.3.1: Líquido em equilíbrio(em repouso) em um recipiente
aberto para a atmosfera.
Diz-se que o fluido está em repouso (equilíbrio) quando a
pressão em torno de um ponto for a mesma em qualquer direção. Se
a pressão fosse diferente em alguma direção, haveria um
desequilíbrio num ponto, fazendo com que este se deslocasse nessa
direção e assim, tirando o fluido da situação de repouso.
Sendo AP - PB — PA, e considerando que PA - Patm, a
pressão no ponto B (PB) representa a pressão total (ou pressão
absoluta) em um determinado ponto a uma profundidade h dentro de
um líquido:
= p-g-h => => P = +P-9-
93
A variação de pressão (AP) entre dois pontos do liquido é
denominada de pressão hidrostática ou também pressão efetiva.
A respeito da Lei de Stevin são necessárias algumas
considerações:
- Em um líquido, todos os pontos à mesma profundidade (num mesmo
nível horizontal) apresentam a mesma pressão;
- Na diferença de pressão entre dois pontos, não interessa a distância
entre eles, mas sim a diferença de cotas;
- Não importa o formato do recipiente para o cálculo da pressão em
um determinado ponto;
- Para os gases, o peso específico (y) é muito pequeno. Portanto, se a
diferença de cota entre dois pontos (h) de interesse for pequena, a
diferença de pressão entre esses pontos pode ser desprezada.
Exemplo:
Uma piscina com 5,0 m de profundidade está cheia com
água (p - 103 kg/m3). Considere g - 10 m/s2 e Patm = 1,0.105 N/m2.
Determinar:
a) a pressão hidrostática (AP ou Ph) a 3,0 m de profundidade;
b) a pressão total (P) no fundo da piscina;
c) a diferença de pressão entre dois pontos quaisquer, dentro da
piscina e, separados verticalmente por 80 cm.
94
Resolução:
a) A pressão hidrostática a 3,0 m de profundidade é dada por:
ph=p.g.h ^ P / J=103-10-3,0 => P/? = 3,0.104 N! m2
= 3,0.104 Pa
b) A pressão total no fundo da piscina:
P = Patm+p-g-h => P = 1,0.105+103-10-5,0
=> Ph = 1,5.105 NI m2 (Pa)
c) A diferença de pressão entre dois pontos quaisquer, dentro da
piscina e, separados verticalmente por 80 cm:
AP=p-g- /7 =» AP = 103-10-0,80 => Ph = 8,0.103 N/m2(Pa)
4,4 Vasos Comunicantes
Admitem-se dois líquidos 1 e 2, não miscíveis, colocados em
vasos comunicantes (Fig.4.4.1). Os pontos A e B encontram-se no
mesmo líquido e na mesma horizontal. Assim, escreve-se:
PA = PB
Patm +Pl-9-hl = Paím +P2-3-I12
95
Por meio da equação anterior, tém-se que: as alturas
medidas a partir do nível de separação entre os dois líquidos (hi e h2)
ão inversamente proporcionais às massas específicas dos líquidossão
Figura 4.4.1: Dois líquidos 1 e 2 não miscíveis colocados em vasos
comunicantes.
Os vasos comunicantes podem ser utilizados para
estabelecer relações entre as massas específicas (p) de dois, três ou
mais líquidos.
Exemplo:
Três líquidos não miscíveis 1, 2 e 3 estão colocados em
vasos comunicantes. Sendo p-, = 0,50 g/cm3 e p2 = 2,50 g/cm3,
determine a massa específica do líquido 3 (p3).
96
Resolução:
Os pontos A e B encontram-se no mesmo líquido e na
mesma horizontal. Assim, escreve-se:
-g.h2 = Patm
Pi-hi+ p2.h2 = p3-h3
0,50.7,0 + 2,50.2,0 = ps.5,0
p3 = 1,70 g/cm3
4.5 Lei de Pascal
A lei de Pascal enuncia que: o acréscimo de pressão
produzido num fluido em equilíbrio se transmite integralmente a todos
os pontos do fluido.
97
Na Figura 4.5.1 admitem-se as pressões 0,7 atm e 0,3 atm
nos pontos A e B respectivamente. Se por meio de um êmbolo
comprime-se o fluido, produzindo consequentemente um acréscimo
de pressão de 0,2 atm, todos os pontos do fluido em repouso sofrerão
esse mesmo acréscimo de pressão. Portanto, os pontos A e B
apresentarão pressões de PA = 0,9 atm e PB = 0,5 atm,
resp ectivam ente.
Figura 4.5.1: Acréscimo de pressão sobre o fluido sendo transmitido a
todos os pontos.
4.5.1 Prensa Hidráulica
Na Figura 4.5.1.1 é mostrado um esquema de uma prensa
hidráulica. Empregadas com frequência para levantar objetos
pesados, como automóveis, as prensas hidráulicas — sistemas
multiplicadores de forças - são construídas com base no -princípio de
Pascal.
98
Figura 4.5.1.1: Prensa hidráulica.
Por meio do Princípio de Pascal, ao se aplicar uma força no
tubo estreito, esta produz um acréscimo de pressão (AP) que será
transmitindo integralmente para o tubo largo, o qual se encontra o
automóvel. Assim, pode-se afirmar que o acréscimo de pressão no
lado 1 (ÁP-Í) será igual ao acréscimo de pressão no lado 2 (ÁP2).
Observando a relação a seguir, nota-se que a força é diretamente
proporcional à área do tubo (Fig.4.5.1.1).
= AP
A-\o que não existam perdas de energia durante a
aplicação das forças na prensa hidráulica, conclui-se que os
deslocamentos do automóvel e do nível do óleo são inversamente
proporcionais às áreas dos tubos (Fig.4.5.1.2).
- d 2
99
F2
F,
1
RCT
Ai
m^
t -J
> r
A2
h
Figura 4.5.1.2: Prensa hidráulica. Os deslocamentos di e d2 são
inversamente proporcionais as intensidades das forças F-\ F2.
Exemplo:
Considere uma prensa hidráulica com diâmetros dos tubos 1 e
2 medindo 6 cm e 20 cm respectivamente. Seja a massa do carro
igual a 1200 kg, determine:
a) a intensidade da força a ser aplicada no tubo 1 para equilibrar o
carro;
b) o deslocamento no nível de óleo no tubo 1 considerando que o
carro suba 10 cm.
100
4
j»
***íílffrr^
Ai
\^/— v^-^
A2
Reso/ugão;
a) Sabendo que a área do tubo é: A = Tc/?2, sendo R o raio do tubo e
valendo metade do diâmetro:
R^ -Zcm e R2 =10c/n
A,=;r,(3)2 => ^=9.^
F-, 1200.10
•F, =1080 N
b) Considerando a igualdade a seguir:
10
100«r
=> £/! =111,11 0^7 =
101
4.6 Exercícios Propostos
01. A seguir está representada uma prensa hidráulica. Sobre a
plataforma 1, de área 1,5 m2, encontra-se uma pessoa de massa 92
kg. Considerando a aceleração da gravidade g - 10 m/s2 e A2 - 15
m2, determine:
a) a força aplicada na plataforma 2;
b) a altura h2 que deslocará a plataforma 2 para cima quando a
plataforma 1 descer h-, = 15 cm.
Mataforma 1
Plataforma 2
103
02. A partir do sistema representado na figura a seguir, determinar o
peso G que pode ser suportado pelo pistão 1, desprezando os atritos.
Dados: P3 = 0,1 kPa; Patm ~Q;Ai = 60 rrf; A2 = 25 rrr e A3 = 20
A2
A3
104
m
m
m
03'. Qual a massa que poderá ser suportada em equilíbrio no cilindro
A quando uma força de 130 N está sendo aplicada na alavanca CD?
Dados: RA - 15 cm; RB = 3 cm; g = 10 m/s2.
•
*
•
•
•
ca
15 cm 30 cm
D
F = 130 N
m
•
9
0
m
105
04. Na figura a seguir, sabendo que o fluido A é água e o fluido B
mercúrio, determinara pressão P2.
Dados: rHg = 136000 N/m3 YHZO = 10000 N/m3
106
05. De acordo com-o sistema ilustrado a seguir, determine o peso G, o
qual é suportado pelo pistão 5. Desprezar os atritos e desconsiderar o
desnível entre os cilindros. A pressão imposta PI por um compressor
possui o valor de 800 kPa. Dados: A-, - 20 cm2; A2 - 5 cm2; A3 =
10 cm2; A4 = 15 cm2; A5 = 40 cm2; AH - 4 cm2; h = 3 m e pHg -
136.000 N/m3.
107
06. O sistema ilustrado a seguir encontra-se estático. Considere que
pressão Pt aplicada no sistema possui o valor de 200 kPa e que a
mola está comprimida de 4 cm. Sabendo-se que a constante elástica
da mola vale 160 N/cm, determine o valor da cota h. Dados: A-t - 20
cm2 e A2 - 10 cmz.
108
07, Um cilindro constituído de madeira (fmat/ = 8000 N/m3) com
dimensões de 40 cm de altura e 40 cm de diâmetro encontra-se
imerso em um fluido de peso específico Ynuiaa = 15500 N/m3. Sendo
assim, qual é a altura do cilindro (hSUB) que está submersa no fluido?
109
110
TAREFA -1
Para transportar um tanque de guerra de uma margem à
outra do rio, militares ingleses utilizaram uma plataforma com
dimensões indicadas na figura a seguir. Sabendo que tal plataforma é
constituída de um material cuja densidade é 300 kg/m3 e, quando o
tanque encontra-se sobre ela 30% do seu volume fica submerso,
determine a massa do tanque (m^que] de guerra.
111
112
TAREFA-2
Um engenheiro deseja elevar uma carga de 12000 kg
utilizando um elevador hidráulico, como o representadologo a seguir.
A razão entre o diâmetro da plataforma (dp) e o diâmetro do pistão
dp
sobre o qual será aplicada a força Ff é de —— - 40. Desprezando
os atritos, qual será a força F, necessária para levantar a carga?
113
114
TAREFA-3
Blaise Pascal foi um físico e matemático francês que
enunciou o princípio físico que se emprega aos elevadores e aos
freios hidráulicos. A seguir é representado de maneira esquemática o
funcionamento do freio de um automóvel ao acionar o pedal. No
momento do acionamento do pedal, é empurrado o fluido de freio, o
qual preenche o cilindro 1 e é transferido para o cilindro 2, acionando
o freio e atuando sobre o disco.
-> Pedal
f?!
L2 = 40 cm
RI
t\
yfyfflWMtW.'/.
1 £
/•"N l
V t /
^— ' l
L, = 10 cm Fluído
de Freio
Sabendo-se que o raio 1 (Ri) e o raio 2 (/?2) valem 2 cm e 4
cm respectivamente e que, o motorista acionou o pedal aplicando uma
força de 75 N, determine a força que o cilindro 2 exerce sobre a
pastilha.
115
116
TAREFA - 4
No sistema ilustrado a seguir, uma força F— 50 N é aplicada
com o objetivo de levantar a carga G. Sabendo que as áreas A-, - 10
cm2, A2 = 50 cm2 e o peso específico do mercúrio YHS = 136000 N/m3,
determine o peso G da carga e a altura h do mercúrio.
Agua .
117
118
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
Exercícios Propostos
01. a) F2 = 91 99,95 N; b) /72 = 1 ,5 cm.
02. -G = 4800 N.
*<9 03. m = 650 kg.
•£ 04.P2=16,75kPa.
'•
'̂ 05. G = 2326 N.
*
^ .06. A = 1,76 m.
0
A> 07. hsuB = 0,206 m.
^f Tarefas
m
'0 -01./nían,M = 12960kg.
m-, . , - v
^ , 02. fi = 75 N.
^ 03. -Fpasfl/íia = Í200 W.
f
|0 . 0.4, G• = 625 N e h = 0,92 m.
119
120
CAPITULO 5
5. MEDIDORES DE PRESSÃO
5.1 Barómetro
No capítulo 3, definiu-se que os barómetros são instrumentos
que se destinam a medir a pressão atmosférica. A Figura 5.1.1
representa esquematicamente um barómetro de coluna ou barómetro
de mercúrio.
Considera-se um líquido em equilíbrio dentro de um
recipiente. O ar atmosférico exerce uma pressão constante, chamada
de pressão atmosférica (Patm), sobre todos os pontos livres da
superfície do líquido, tornando assim, a superfície do fluido horizontal.
A fim de determinar a pressão atmosférica, Torricelli realizou
um experimento demonstrado pela figura a seguir (Fig.5.1.1).
A figura 5.1.1 representa o desenho esquemático de um
barómetro de mercúrio que consiste de um tubo comprido fechado em
uma extremidade e que inicialmente está preenchido de mercúrio
(Hg). A extremidade aberta é submersa na superfície do reservatório
cheio de mercúrio até que a coluna de Hg dentro do tubo alcance o
equilíbrio. Na parte superior do tubo produz-se vácuo muito próximo
do vácuo perfeito contendo vapor de mercúrio. Como a pressão
correspondente ao vapor de mercúrio é muito pequena em
temperatura ambiente, ela é desprezada e assim, a pressão
121
atmosférica é determinada diretamente em função da altura da coluna
de mercúrio.
Mercúrio
Figura 5.1.1: Desenho esquemático de um barómetro. Experimento de
Torricelli realizado em 1643 para determinar a medida da pressão
atmosférica (Patm).
A pressão no ponto A (PA) corresponde à pressão da coluna
de mercúrio dentro do tubo e a pressão no ponto B (PB) corresponde
à pressão atmosférica ao nível do mar. Sabendo que a pressão no
ponto A é igual à pressão no ponto B por estarem na mesma altura,
então:
~ratm
Torricelli observou que 76 cm de mercúrio, ou seja, a coluna
h formada é devida à pressão atmosférica ao nível do mar, em outras
palavras, 76 cm de Hg equivale à pressão atmosférica ao nível do mar
122
e tem-se: Patm =y:h. Como a pressão atmosférica padrão é muito
utilizada, mais uma vez registra-se:
Pafm=760 mmHg = 10.330 kgf I m2 =101,3 kPa
De forma geral, o líquido utilizado é o mercúrio, uma vez que
o seu peso específico é suficientemente elevado de tal maneira a
formar uma pequena coluna h e, portanto, podendo ser usado tubos
relativamente curtos.
5.2 Manómetros
Manómetro é o instrumento utilizado para medir a pressão de
fluidos contidos em recipientes fechados. Como já descrito no capítulo
3, os manómetros utilizam a pressão atmosférica como referência,
medindo, portanto, a diferença entre a pressão do sistema e*a
pressão atmosférica. A pressão manométrica (pressão medida pelo
manómetro) pode ser positiva ou negativa, dependendo de estar
acima ou abaixo da pressão atmosférica. Se for medida pressão
negativa, o manómetro é chamado de manómetro de vácuo ou
também vacuômetro. Manómetros e manómetros de vácuo medem
somente pressões efetivas.
Existem alguns tipos de manómetros, dentre os quais serão
descritos: Manómetro Metálico ou de Bourdon; Manómetro de Tubo
Piezométrico; e Manómetro com Tubo em U.
123
5.2.1 Manómetro de Tubo Piezométrico, Piezõmetro ou Coluna
v
P i ezo métrica
O manómetro de -tubo piezométrico, também conhecido
como piezômetro ou mesmo coluna piezométrica, é constituído de um
tubo aberto na parte superior, conectado a um reservatório contendo
fluido com uma pressão a ser medida (Fig.5.2.1.1). Sabendo que o
tubo está aberto à atmosfera, a pressão medida é relativa. à
atmosférica.
Figura 5.2.1.1: Esquema de um manómetro de tubo piezométrico.
O manómetro de tubo piezométrico apresenta algumas
limitações:
> Por se tratar de um tubo aberto, o piezômetro não pode medir
pressão de gases por não conseguir conter o fluido;
124
> Na situação em que se deseja medir pressões efetivas
negativas, haverá entrada de ar para o reservatório, impossibilitando
esse tipo de medida;
> No caso em que se deseja medir pressões elevadas ou mesmo
pressões de líquidos com pequeno peso específico, o uso do
piezômetro não é adequado, uma vez que a altura da coluna h será
muito alta. Sendo assim, a coluna piezométrica só é indicada para
medidas de pequenas pressões.
5.2.2 Manómetro Metálico ou de Bourdon
O Manómetro Metálico, patenteado em 1852 e registado por
E. Bourdon é largamente utilizado na indústria nas medidas de
pressões ou depressões.
A medida da pressão ocorre de forma indireta por meio de
um tubo metálico. Um sistema possuindo uma engrenagem acoplada
à extremidade fechada do tubo curvado metálico, transmite o
movimento a um ponteiro, o qual se desloca sobre uma escala. Esse
movimento é devido à deformação do tubo sobre o efeito da mudança
de pressão pela tomada de pressão (Fig.5.2.2.1).
Considerando que a parte externa do manómetro encontra-
se exposta à pressão atmosférica, o mostrador indicará a leitura direta
da pressão na escala efetiva.
125
Tubo curvado
Metálico
Articulação
Ponteiro
Tomada de
Pressão
Figura 5.2.2.1: Esquema de um manómetro de Bourdon.
Considere a Figura 5.2.2.2. As regiões interna e externa do
tubo metálico estão sujeitas às pressões PI e P2, respectivamente.
Assim, o manómetro indicará a diferença P-t - P2'-
Pressãoíndícada=Pressãotomadaí-Pressâoamb}ente
Figura 5.2.2.2: Leitura da pressão por meio de um manómetro de
Bourdon.
126
5.2.3 Manómetro de Tubo em U
Na Figura 5.2.3.1, por meio da ilustração de um manómetro
contendo um reservatório e um tubo em U, pode-se entender como
esse medidor de pressão determina a pressão manométrica do
sistema (Pman) contido no reservatório. A figura mostra a inclusão de
um fluido manométrico que geralmente é o mercúrio (líquido
hachurado). A determinação da medida da pressão do gás contido no
reservatório só é possível devido à presença do fluido manométrico
que impede o escape do gás.
Líquido
Figura 5.2.3.1: Esquema de um manómetro de tubo em U aberto.
Assim como nos barómetros, na maioria das vezes, utiliza-se
como fluido manométrico o mercúrio, pois devido ao seu elevado peso
específico diminui-se a altura da coluna que se forma.
Sabendo que os pontos A e B apresentam a mesma pressão
por estarem a uma mesma altura, a pressão manométrica (Pman) será
determinada segundo a equação a seguir:
127
'sistema = 'atm + 'coluna —* "sistema ~~ 'atm = Y ' "
Retomando a Figura 5.2.3.1, considera-se que o ponto A
encontra-se