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07/08/2015 Lógica Matemática Prof. Patrícia Tavares Livro: Edgard de Alencar Filho, “Iniciação à lógica matemática”, Nobel, 2002 •A Lógica tem, por objeto de estudo, as leis gerais do pensamento, e as formas de aplicar essas leis corretamente na investigação da verdade. •Na Grécia Antiga, 342 a.C, o filósofo Aristóteles sistematizou o conhecimento existente em Lógica, elevando-o à categoria de ciência. •Em sua obra chamada Organon (“ferramenta para o correto pensar”), estabeleceu princípios tão gerais e tão sólidos que até hoje são considerados válidos. Lógica Cap. 1 – Proposições e Conectivos �Conceito de proposição. � Valores lógicos das proposições. � Proposições simples e proposições compostas. �Conectivos. � Tabela-verdade. �Notação. Cap. 1 – Proposições e Conectivos •Aristóteles se preocupava com as formas de raciocínio que, a partir de conhecimentos considerados verdadeiros, permitiam obter novos conhecimentos. •A partir dos conhecimentos tidos como verdadeiros, caberia à Lógica a formulação de leis gerais de encadeamentos de conceitos e juízos que levariam à descoberta de novas verdades. Essa forma de encadeamento é chamada, em Lógica, de argumento. •Um argumento é uma seqüência de proposições (afirmações) na qual uma delas é a conclusão e as demais são premissas. •O objeto de estudo da lógica é determinar se a conclusão de um argumento é ou não uma conseqüência lógica das premissas. 07/08/2015 Proposição: Frases (idéias) de sentido completo. Ex: 1 – Passei no vestibular. 2 – A lua é cheia. 3 – Chove. 4 – Não Chove. Valores lógicos: Verdadeiro (V) Falso (F) Cap. 1 – Proposições e Conectivos �Princípios •Não contradição: uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. •Terceiro excluído: uma proposição só pode ser verdadeira ou falsa. Tipos de proposição •Simples ou atômica: proposições que contém apenas um pensamento completo. Ex: Hoje faz calor. •Composta ou molecular: proposições que contém mais de um pensamento completo. Ex: Hoje faz calor e chove. Cap. 1 – Proposições e Conectivos Cap. 1 – Proposições e Conectivos � Notação • Letra minúscula representa proposição simples. • Letra maiúscula representa proposição composta. � Conectivos: palavras que se usam para formar novas proposições a partir de outras • e • ou • não • se ... então ... • ... se e somente se ... Cap. 1 – Proposições e Conectivos � Tabela Verdade • Contém todos os possíveis valores lógicos da proposição composta correspondente a todas as possíveis atribuições de valores lógicos às proposições simples. p q 1 2 3 4 V V V F F V F F 07/08/2015 Cap. 1 – Proposições e Conectivos � Notação • O valor lógico de uma proposição simples indica-se por V(p). •V(p) = V (verdadeira) ou V(p) = F (falsa) EXERCÍCIOS Questão 1 – Páginas 15 e 16 Cap. 2 – Operações lógicas sobre proposições. �Negação. �Conjunção. �Disjunção. �Disjunção exclusiva. �Condicional. � Bicondicional. p ~ p � Negação ( ~ ): p: Chove na cidade. ~ p: Não chove na cidade. ~ p: Não é verdade que chove na cidade. ~ p: É falso que chove na cidade. Tabela verdade da negação: Cap. 2 – Operações Lógicas sobre Proposições V F F V Cap. 2 – Operações Lógicas sobre Proposições Observação: Negação de TODOS e NENHUM: q: Todos os homens são elegantes. ~ q: Nem todos os homens são elegantes. r: Nenhum homem é elegante. ~ r: Algum homem é elegante. 07/08/2015 � Conjução ( ∧∧∧∧ ): e É o ato de criar uma proposição composta a partir de duas ou mais proposições, unindo-as pelo conectivo e. Exemplo: p: Lula é inocente. q: Maluf é um santo. p∧q: Lula é inocente e Maluf é um santo. p q p∧∧∧∧qTabela Verdade: Valores lógicos: • V: se p e q têm o valor lógico V simultaneamente. • F: demais casos. Cap. 2 – Operações Lógicas sobre Proposições V V V F F V F F V F F F � Disjunção ( ∨∨∨∨ ): ou Exemplo: p: Dirceu é culpado. q: Rubens é veloz. p∨q: Dirceu é culpado ou Rubens é veloz. p q p∨∨∨∨q Tabela Verdade: Valores lógicos: • V: se p ou q tem o valor lógico V (simultaneamente ou não). • F: demais casos. Cap. 2 – Operações Lógicas sobre Proposições V V V F F V F F V V V F � Disjunção exclusiva ( ∨∨∨∨ ): ou Exemplo: P: Carlos é médico ou professor. (disjunção ∨) Q: José é acreano ou gaúcho. (disjunção exclusiva ∨) p q p ∨∨∨∨ q Tabela Verdade: Valores lógicos: • V: se p e q não têm o mesmo valor lógico. • F: demais casos. Cap. 2 – Operações Lógicas sobre Proposições V V V F F V F F F V V F � Condicional ( →→→→ ): Se ... então Exemplo: p: Está nevando. q: Está fazendo frio. p→ q: Se está nevando então está fazendo frio. Exemplo: p→ q: Se Jorge é engenheiro, então sabe matemática. p q p →→→→ qTabela Verdade: Valores lógicos: • F: se p é verdadeira e q é falsa. •V: demais casos. Cap. 2 – Operações Lógicas sobre Proposições V F V V V V V F F V F F 07/08/2015 � Bicondicional (↔↔↔↔ ): ... se e somente se ... Exemplo: p: Um número é par. q: Um número é divisível por 2. p↔ q: Um número é par se e somente se for divisível por 2. Exemplo: p ↔ q: O triângulo ABC é eqüilátero se e somente se for eqüiângulo. p q p ↔↔↔↔ qTabela Verdade: Valores lógicos: • V: se p e q têm o mesmo valor lógico. • F: se p e q têm o valores lógicos diferentes. Cap. 2 – Operações Lógicas sobre Proposições V F F V V V V F F V F F EXERCÍCIOS Questões 1 a 20 Páginas 25 a 28 Cap. 2 – Operações Lógicas sobre Proposições
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