Termodinâmica - Conceitos Básicos

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Adir Moysés Luiz 
Sérgio Lins Gouveia
Termodinâmica
www.VestSeller.com.br
Adir M. Luiz 
Sérgio L. Gouveia
/ Editora
ettí Mca,
http://www.VestSeller.com.br
© 1989 by Adir Moysés Luiz c Sérgio Lins Gouveia
L978e
(Coleção Física)
89-0052
Impresso no Brasil 
Printed in Brazii
CD D —536.7
CDU “536.7
Luís, Adir Moisés. 1942- 
Tcrmodinâmica / Adir M. Luiz, 
Sérgio L. Gouveia. — Fortaleza 
: Editora VcstScllcr, 2006.
Apêndice : exercícios e tabelas.
ISBN 85-265-0169-0 - 85-265-0164-X (coleção)
Todos os direitos desta edição reservados à
Editora Vestscller
www.vestsellcr.com.br
1. Termodinâmica. I. Gouveia, Sérgio Lins, 
1944. II. Título. III. Série.
CIP-Brasil. Catalogaçào-na-fonte 
Sindicato Nacional dos Editores de Livros, RJ.
http://www.vestsellcr.com.br
49
77
88
79
82
ÍNDICE
Capítulo 1 HIDROSTÁTICA 9
1.1 Equilíbrio dos Fluidos 9
1.2 Propriedades dos Fluidos 9
1.3 Pressão Barométrica 15
1.4 Pressão Manométrica 79
1.5 Principio de Arquimedes 22
Questionário 28
Exercícios 24
Problemas 35
Capítulo 2 EFEITOS DA ENERGIA TÉRMICA 43
2.1 Temperatura e Calor 43
2.2 Principais Efeitos da Energia Térmica 44
2.3 Dilatação Térmica 45
2.4 Termômetros e Escalas Termométricas
2.5 Unidades de Quantidade de Calor 54
2.6 Capacidade Calorífica e Calor Específico 55
2.7 Equilíbrio Térmico 56
2.8 Transições de Fase 58
2.9 Calor Latente dc uma Transição de Fase 62
Questionário 63
Exercícios 64
Problemas 69
Capítulo 3 O ESTADO GASOSO
3.1 Gás Ideal e Gás Real 77
3.2 Evolução Isotérmica de um Gás Ideal — Lei de Boyle 78
3.3 Evolução Isobárica de um Gás Ideal — Lei de Gay-Lussac
3.4 Evolução Isométrica de um Gás Ideal — Lei de Charles
3.5 Equação de Estado de um Gás Ideai — Lei de Clapeyron 84
3.6 Coeficiente de Compressibilidade de um Gás Ideal 86
3.7 Lei de Avogadro 87
3.8 Mistura de Gases — Lei de Dalton
Questionário 90
Exercícios 91
Problemas 96
109
122
128
166
203
153
i58
192
194
Capítulo 4 PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA 101
4.1 Trabalho Realizado por um Gás 101
4.2 Calor e Trabalho 107
4.3 Energia Interna de um Sistema 108
4.4 Primeira Lei da Termodinâmica 108
4.5 Aplicações da Primeira Lei da Termodinâmica
4.6 Entalpia 114
Questionário 115
Exercícios 115
Problemas
Capítulo 5 SEGUNDA LEI DA TERMODINÂMICA ,
5.1 Formulação da Segunda Lei da Termodinâmica 122
5.2 Conceito de Entropia 123
5.3 Máquinas Térmicas 125
5.4 Rendimento Máximo das Máquinas Térmicas
5.5 Refrigerador Ideal 131
5.6 Outros Ciclos de Máquinas Térmicas 131
5.7 Outras Funções de Estado 138
Questionário 139
Exercícios 140
Problemas 141
Capítulo 6 TEORIA CINÉTICA DA MATÉRIA 144
6.1 A Termodinâmica e a Teoria Cinética 144
6.2 Descrição Cinética do Estado Gasoso 145
6.3 Cinética do Estado Líquido 148
6.4 Teoria Cinética dos Gases
6.5 Fenômenos de Transporte
6.6 Transmissão de Calor 158
6.7 Noções de Hidrodinâmica
Questionário 175
Exercícios 177
Problemas 119
BIBLIOGRAFIA 187
Apêndice A Noções de Meteorologia 188
Apêndice B Comentários sobre Gases Reais
Apêndice C Algumas Tabelas Importantes
Apêndice D Termodinâmica das Baixas Temperaturas 197
Apêndice E Temperatura Negativas 199
Apêndice F Tabela Periódica dos Elementos 201
Apêndice G Elementos Químicos 202
Apêndice H Sistema Internacional de Unidades (SI) 
Apêndice I Complementos de Matemática 206 
GLOSSÁRIO 214
PREFÁCIO
Esta Obra se destina ao ensino da Física Básica em nível de Segundo Grau e Ves­
tibular. Os Estudantes Universitários também podem usar este Livro como leitura pre­
liminar para a compreensão das noções fundamentais da Termodinâmica.
A presente Obra se divide em 6 partes. No Capítulo 1 abordamos a Hidrostática. 
No Capítulo 2 analisamos os principais efeitos da energia térmica', neste Capítulo dis­
cutimos, entre outros, os seguintes tópicos: dilatação térmica, capacidade calorífica, 
trocas de calor e equilíbrio de fases. No Capítulo 3 estudamos o estado gasoso, dando 
ênfase sobre as propriedades de um gás ideal. No Capítulo 4 apresentamos a Primeira 
Lei da Termodinâmica. No Capítulo 5 discutimos a Segunda Lei da Termodinâmica e 
suas consequências. No Capítulo 6 apresentamos os conceitos básicos relacionados com 
a Teoria Cinética da Matéria', neste Capítulo damos ênfase àTeoria Cinética dos Gases 
e aos processos de transmissão de calor. Finalizando o Capítulo 6, incluímos as noções 
fundamentais da Hidrodinâmica.
Neste Livro, a exposição da matéria apresenta as seguintes características: (a) as 
teorias são desenvolvidas de forma objetiva, procurando dar ao aluno o máximo de in­
formações, evitando-se divagações e discussões puramente acadêmicas; (d) apresenta­
mos diversos Exemplos resolvidos abrangendo as principais aplicações das teorias físi­
cas expostas em cada Capítulo; existe um total de cerca de 50 Exemplares resolvidos, 
o que dá uma média de cerca de 8 Exemplos resolvidos em cada Capítulo; (c) no final 
de cada Capítulo propomos um Questionário, um conjunto de Exercícios e uma série 
dc Problemas', no Questionário elaboramos perguntas e questões teóricas; (d) todas as 
questões formuladas no Questionário, nos Exercícios e nos Problemas são respondidas 
no final dos respectivos Capítulos; nesta Obra existe um total aproximado de 500 ques­
tões (formuladas nos Questionários, nos Exercícios e nos Problemas).
Este livro faz parte de uma Coleção de Livros de “Física"destinada ao Segundo 
Grau, ao Vestibular e à Universidade. Esta Coleção abrange os seguintes livros: 1- 
Mecânica, 2- Gravitação, Oscilações e Ondas, 3- Elementos de Termodinâmica, 4- 
Eletricidade, Magnetismo e Eletromagnetismo, 5- Ótica e Física Moderna.
Os Autores se sentirão plenamente gratificados se este Livro contribuir efetiva­
mente para a melhoria do ensino da Física Básica.
Rio de Janeiro, março de 1987
Adir M. Luiz
Sérgio L. Gouveia
Capítulo 1
HIDROSTÁTICA
9
7.7 Equilíbrio dos fluidos
A matéria, no estado agregado, pode se apresentar sob forma sólida ou fluida. 
A característica principal de um sólido é que ele possui forma própria que permanece 
inalterada; um fluido não possui forma própria. Todo fluido pode escoar, ou seja, as 
camadas do fluido podem mudar de posição relativa no seio do fluido. O termo fluido 
abrange tanto os líquidos quanto os gases.
A Hidrostática é a parte da Física que estuda o equilíbrio dos fluidos. A Hidrodi- 
nâmica é a parte da Física que analisa o movimento dos fluidos. No presente Capítulo 
apresentaremos os conceitos essenciais pertinentes à Hidrostática. No Capítulo 6 da­
remos algumas noções básicas acerca da Hidrodinâmica.
Denomina-se fluido real aquele que pode escoarcom viscosidade. Note que a vis­
cosidade de um fluido desempenha um papel análogo ao do atrito de um sólido. O flui­
do real é aquele que possui viscosidade diferente de zero. Como a força viscosa é uma 
força que se opõe ao movimento de um fluido, na Hidrostática não tem sentido consi­
derar a viscosidade do fluido, desaparecendo, portanto, a distinção entre o fluido real 
e o fluido ideal, no equilíbrio. Sendo assim, concluímos que as leis da Hidrostática são 
válidas tanto para fluidos ideais quanto para fluidos reais. No estudo dos fluidos, a dis­
tinção entre um líquido e umgóyé feita macroscopicamente. O líquido possui um volu­
me constante, independentemente da forma e do volume do recipiente que o contém. 
O volume ocupado por um gás varia de acordo com o volume do recipiente que o con­
tém. Entretanto, existem certas propriedades e certas leis que são comuns a todos os 
fluidos, independentemente do fluido ser um gás ou um líquido. Estas leis e proprieda­
des serão estudadas nas próximas seções.
7.2 Propriedades dos fluidos
As principais propriedades analisadas a seguir são: a densidade (ou massa especí­
fica) e a pressão exercida por um fluido sobre uma determinada superfície. Os gases pos­
suem inúmeras propriedades peculiares que serão analisadas no Capítulo 3. No Capí­
tulo 6 voltaremos a estudar outras propriedades dos líquidos e dos gases. A viscosida­
de, que é uma propriedade característica do movimento de um fluido real,será estuda­
da no Capítulo 6.
p
10
A/77
AZ
limite 
AZ—O
Considere uma substância pura homogênea. A densidade ou massa específica desta 
substância é definida pela equação:
[ o = m/Z j (II)
onde p é a densidade da substância c m é a massa total de uma porção da substância 
que ocupa um volume total Z. Estamos usando a palavra densidade como sinônimo de 
massa específica. Contudo, preferimos utilizar o termo densidade (em vez de massa es­
pecífica) para designar a razão indicada na fórmula (1.1), porque o termo densidade 
já foi consagrado pelo uso cotidiano. Note que a densidade de uma substância pura ho­
mogênea é constante ao longo de todas as regiões do espaço ocupado pela substância 
pura. Contudo, existem situações em que a densidade da substância não é constante, 
podendo variar ao longo do volume do sistema. Por exemplo, a densidade do ar atmos­
férico diminui com a altura em relação ao nível do mar. Quando a densidade for variá­
vel, não é lícito usar a equação (1.1); neste caso, devemos empregar a seguinte expres­
são para a densidade:
onde A/n é uma quantidade de massa do sistema que ocupa um pequeno volume A Z.
Denomina-se densidade relativa a razão entre a densidade de uma dada substân­
cia e a densidade padrão de uma substância tomada como referência. Em geral, a efe/z- 
sidade relativa é dada tomando-se como referência a densidade da água (igual a 1 g/cmJ) 
ou então a densidade do ar (igual a 1,29 g/litro). Normalmente, para sólidos e para lí­
quidos, a densidade relativa é dada em relação à densidade da água. Contudo, para ga­
ses, costuma-se tomar a densidade relativa em relação ao ar. Por exemplo, nas condi­
ções normais de temperatura e pressão, isto é, para 0 °C e 1 atm, a densidade relativa 
do dióxido de carbono (em relação ao ar) é igual a 1,53. Ou seja, como a densidade do 
ar vale 1,293 g/litro, concluímos que a densidade absoluta (ou simplesmente densida­
de) do CO2 é aproximadamente igual a 1,977 g/litro.
Denomina-se peso específico a relação entre o peso (mg) e o volume (Z) de um corpo 
homogêneo. O conceito de peso específico não será usado neste livro, uma vez que este 
conceito é superado pelo conceito de densidade (ou massa específica) introduzido ante­
riormente. Note que o conceito de densidade é mais adequado do que o conceito de pe­
so específico em vista do seguinte fato: a densidade de um corpo homogêneo mantido 
a uma temperatura constante é a mesma em qualquer local do Universo; contudo, o 
peso específico deste mesmo corpo varia de um local para outro, uma vez que o valor 
da aceleração da gravidade g depende do local onde se encontra o corpo.
Na Tabela 1.1 fornecemos alguns dados sobre as diferentes densidades existen­
tes em sistemas naturais. As densidades são apresentadas em ordem crescente.
Densidade (kg/m3)Matéria
11
Espaço inter-estelar
Melhor vácuo produzido em laboratório
Ar (a 0 °C e 1 atm)
Óleos (densidade média de diversos óleos)
Gelo (a 0 °C e 1 atm)
Água (a 0 °C c 1 atm)
Alumínio
Crosta terrestre
Densidade média da Terra
Ferro (ou aço)
Cobre
Prata
Mercúrio
Ouro
Platina
Centro do Sol
Centro de uma estrela anã branca
Núlco do átomo de urânio
TABELA 1.1
ORDEM DE GRANDEZA DA DENSIDADE DE DIVERSOS SISTEMAS
A menor densidade média existente na Natureza é a densidade do espaço inter- 
estelar (da ordem de 10 “18 até 10 “ 21 kg/mJ). O espaço cósmico afastado de qualquer 
estrela é, portanto, o melhor “vácuo” existente na Natureza. O vácuo absoluto, ou se­
ja, uma região com densidade igual a zero, não corresponde a uma realidade física ob­
jetiva, uma vez que este “vácuo absoluto” não pode ser atingido. O melhor vácuo atin­
gido no laboratório corresponde a uma densidade da ordem de 10 “16 kg/mJ. A densi­
dade do núcleo de urânio (1077 kg/mJ) é uma das maiores densidades existentes no in­
terior da matéria condensada.
Os líquidos possuem densidades muito maiores do que as densidades dos gases. 
A densidade de um líquido é cerca de 1000 vezes maior do que a densidade de um gás. 
Daí decorre uma série de propriedades que distinguem o comportamento de um líqui­
do em comparação com o comportamento de um gás. As moléculas de um gás encon­
tram-se praticamente livres e podem se aproximar ou se afastar umas das outras. Isto 
não ocorre com as moléculas de um líquido que podem apenas fluir, ou seja, mudar 
de posição relativa. Por causa desta característica, verificamos que os líquidos são in- 
compressíveis, ao passo que os gases são compressíveis. Em outras palavras, a densida­
de de um líquido permanece praticamente constante (independentemente da pressão 
externa); porém, a densidade de um gás pode variar com a pressão externa, conforme 
você pode verificar comprimindo um gás com um êmbolo ou pistão.
IO'2' até 10“39 
10“" 
1,29 
0,90 X 10J 
0,92 x 103 
1,00 x 103 
2,70 X 103 
2,80 X 103 
5,50 X 103
7.60 X 103 
8,90 X 103
10,50 X 103 
13,59 X 103 
19,30 X 103 
21,40 X 103
1.60 X 103 
104 até 10'3
10"
12
Outra propriedade que decorre do fato de um líquido possuir densidade muito 
maior do que a densidade de um gás é que a viscosidade de um líquido é muito maior 
do que a viscosidade de um gás.
O chamado Princípio de Pascal decorre da propriedade da incompressibilidade 
dos líquidos. Podemos enunciar o Princípio de Pascal do seguinte modo:
“Os líquidos transmitem integralmente as pressões recebidas”.
Como exemplos de aplicação do Princípio de Pascal citamos o freio hidráulico, 
o elevador hidráulico e a prensa hidráulica. No freio hidráulico dos automóveis, a pres­
são exercida pelo pé sobre o freio é transmitida integralmente até as rodas do automó­
vel. No elevador hidráulico a pressão que eleva o automóvel é fornecida pela pressão 
do ar comprimido sobre a superfície livre de um líquido (ver o Exemplo 1.3 mais adian­
te). O funcionamento de uma prensa hidráulica é análogo ao funcionamento do eleva­
dor hidráulico.
Para produzir o deslocamento de um sólido basta aplicar uma única força num 
determinado ponto do sólido. Contudo, quando aplicamos umaúnica força sobre um 
fluido, é claro que o fluido não se desloca. Para que um fluido se desloque como um 
todo é necessário que as forças que atuam sobre o fluido estejam distribuídas ao longo 
de uma superfície (real ou fictícia) em contato com o fluido. Por exemplo, no caso de 
um êmbolo impulsionando um fluido, as forças que atuam sobre o fluido estão distri­
buídas ao longo da superfície de contato entre o êmbolo e o fluido.
Considere um vínculo ou contato entre duas superfícies sólidas. A força entre os 
dois corpos pode ter, em geral, qualquer direção em relação à superfície decontato en­
tre os dois corpos, dependendo do tipo de vínculo ou de contato. Entretanto, quando 
um líquido está em contato com outro líquido (ou em contato com um sólido), as for­
ças distribuídas que atuam sobre o líquido são sempre ortogonais.à superfície de con­
tato com o líquido (em cada ponto desta superfície). Na realidade, esta é uma das prin­
cipais propriedades dos fluidos, ou seja, os fluidos não suportam forças tangenciais (ou 
forças de cisalhamento). Donde se conclui que, no equilíbrio, não podem existir com­
ponentes tangenciais de forças ao longo de uma superfície real (ou fictícia) em contato 
com o líquido. Em outras palavras, no equilíbrio, só existem forças ortogonais a uma 
superfície em contato com o líquido.
Considere uma parede em contato com um fluido em equilíbrio. Pelas razões ex­
postas acima, concluímos que as forças exercidas pelo fluido sobre a parede são sem­
pre ortogonais à superfície de contato com o fluido (em cada um dos seus pontos). Pa­
ra verificar que as forças distribuídas ao longo de uma parede em contato com um lí­
quido em equilíbrio são sempre ortogonais à parede podemos fornecer o exemplo ilus­
trado na Fig. 1.1.0 recipiente cujo corte transversal é indicado na Fig. 1.1 contém um 
líquido e possui pequenos orifícios distribuídos ao longo da superfície do recipiente. 
O jato que sai de cada orifício é sempre ortogonal à superfície da parede em cada orifí­cio considerado.
Suponhamos que um fluido esteja em contato com uma parede sólida plana de 
área A. No equilíbrio, como não existem forças tangenciais ao longo do fluido, con­
cluímos que as forças distribuídas ao longo da parede são ortogonais à área A em cada 
um de seus pontos. Como a parede é plana concluímos que as forças distribuídas ao
z
F = 13 P” A/t" (1.4)
13
1 kgf/cm2 = 9,8 X IO2 N/m2
1 bar = 1OJ N/m2
ondep„ é a pressão ao longo de uma área infinitesimal Evidentemente, quando 
p„ permanece constante em todos os pontos da área A a expressão (1.4) se reduz ao caso 
particular indicado na equação (1.3).
No Sistema Internacional, a unidade de pressão é a unidade de força (N) por uni­
dade de área (m2), ou seja, a unidade de pressão no Si é N/m2. No sistema CGS a uni­
dade de pressão é d/cm2. A conversão de N/m2 para d/m2 é dada por:
1 N/m2 = 10 d/cm2
Outras unidades de pressão utilizadas em alguns livros são: o kgf/cm2 e o bar. 
Para converter estas unidades de pressão para o Sistema Internacional utilize as rela­
ções:
= F/A | (1.2)
Se a pressão p for igual em todos os pontos da parede, a força total exercida por 
um fluido sobre uma parede plana de área A é dada por:
F = pA (1.3)
Tanto na equação (1.2) quanto na relação (1.3) estamos supondo que a pressão 
permaneça constante em todos os pontos da área plana considerada. Contudo, exis­
tem muitas situações práticas em que a pressão varia ao longo dos pontos da área. Para 
calcular a força total resultante quando a pressão varia ao longo dos pontos da área 
devemos utilizar a expressão:
Fig. 1.1 O jato que sai de um orifício é sempre ortogonal à parede do recipiente em cada orifício 
considerado.
longo da parede são paralelas entre si (e ortogonais à parede). Seja Fo módulo da for­
ça resultante exercida pelo líquido sobre a parede. A pressão p exercida pelo líquido 
sobre a parede é definida através da equação:
l~p
X
X\
\\\
\\\
O volume do líquido é:
Fsaída do ar
A
Fig. 1.2 Esquema de um elevador hidráulico.
14
Ar —- 
comprimido
Exemplo 1.1 Um recipiente que contém 9 litros de um certo líquido é pesado numa 
balança e verifica-se que a massa total do recipiente (com o líquido) é igual a 15 kg, A se­
guir, pesando-se o recipiente vazio, nota-se que a massa do recipiente é igual a I kg. Calcu­
le a densidade do líquido.
Solução. A massa do líquido vale:
m =(15 - 1) kg = 14 kg
Outras unidades de pressão muito utilizadas na prática são a atmosfera (atm) e 
o milímetro de mercúrio (mm de Hg). Estas unidades serão apresentadas na próxima 
Seção, quando analisarmos a experiência de Torricclli (ver a experiência do barômetro 
de Torricelli) mais adiante.
Válvula para a 
saída do ar
----- --
V = 7 dn? = 0,007 mJ
Utilizando a relação (1.1) obtemos imediatamente a densidade do líquido:
P = ni/V = 2000 kg/mJ = 2 g/cmJ
Exemplo 1.2 A pressão de um gás sobre uma parede plana de área A = 0,5 m2 é igual 
a 1000 d/cm2. Calcule a força resultante exercida pelo gás sobre a parede.
Solução. A pressão do gás em N/m2 vale:
p = 1000 d/cm2 = 100 N/m2
De acordo com a relação (1.3) encontramos:
F = pA = 50 N
Exemplo 1.3 Um veículo de massa igual a 2 toneladas é sustentado apoiado sobre o 
cilindro dc um elevador hidráulico (ver a Fig. 1.2). O elevador hidráulico também é co­
nhecido como "macaco hidráulico”. O princípio de funcionamento de um elevador hi­
dráulico é semelhante ao funcionamento do freio hidráulico. Seja a a área da seção reta 
do pistão 1 e/a força exercida sobre o pistão I. Seja A a área da seçào reta do pistão 2 
e Fa força exercida sobre o pistão 2; a força Fé a força que sustenta o veículo, (a) Mostre 
que Fa = fA. (b) Sendo A = 80a, calcule o valor de F.
Axt = 0
h
15
1.3 Pressão barométrica
Considere um líquido no interior de um recipiente cilíndrico fechado. Na Fig. 1.3 
indicamos o corte longidutinal deste recipiente cilíndrico fechado.
Solução, (a) A pressão exercida pelo ar comprimido sobre o pistão 1 é dada por:
P = f‘/a
De acordo com o princípio de Pascal, os líquidos transmitem integralmente as pres­
sões recebidas. Logo, a pressão exercida pelo líquido sobre o pistão 2 também é igual a 
p, ou seja.
p = F/A
Igualando as duas relações precedentes, obtemos o resultado desejado:
Fa = JA
Observação. Esta relação também vale para o freio hidráulico e para qualquer ou­
tro dispositivo hidráulico que possua seções retas com áreas diferentes nas extremidades 
dos tubos. A equação anterior mostra que a força total transmitida numa extremidade é 
diretamente proporcional à área da respectiva extremidade e inversamente proporcional 
à área da seção reta da outra extremidade do dispositivo.
(ò) Da equação anterior, obtemos:
f = Fa/A = F/80
Por outro lado, de acordo com o enunciado, m = 2 X 10* kg. Portanto, 
F = mg = 2 X 10J x 9,8 = 19.600 N
Daf, resulta para fo seguinte valor:
f = F/80 = 245 N
//////////////////// ///////// ///Z////77//////////////////// 
m F = mg'
Fig. 1.3 Liauido no interior de um recipiente cilíndrico fechado.
PtM
h
Fig. 1.4 Líquido no interior de um recipiente cilíndrico aberto.
16
Seja h a altura da coluna de líquido e pm a pressão externa sobre o líquido. Nor­
malmente, a pressão externa é a própria pressão atmosférica. Contudo, quando sobre 
a superfície do líquido existe um pistão, a pressão externa será dada pela soma da pres­
são atmosférica com a pressão exercida pelo pistão (peso por unidade de área do pis­
tão). De acordo com o princípio de Pascal, sabemos que o líquido transmite integral-
Suponha que não exista nenhum gás na região superior do recipiente, entre a su­
perfície livre do liquido e o topo do recipiente, ou seja, considere nula a pressão exter­
na sobre a superfície livre do liquido (pt« = 0). Neste caso, a pressão exercida pelo li­
quido sobre a base do recipiente é igual ao peso do líquido dividido pela área da base: 
p — mg/A (1.5)
onde A é a área da base do recipiente e m é a massa total do líquido no interior do reci­
piente. Multiplicando e dividindo ambos os membros "da relação (1.5) por h, resulta: 
p = mgh/Ah (1.6)
Porém, o volume do líquido no interior do recipiente vale:
V = Ah (1.7)
A densidade de um líquido é definida pela equação (1.1). Levando em conta as 
relações (1.6), (1.7) e (1.1), obtemos para a pressão do líquido a seguinte expressão:
p = Pgh (1.8)
Considere agora um recipiente cilíndrico aberto. Na Fig. 1.4 indicamos o corte 
longitudinal deste recipiente aberto.
/ n i iiniiiii}'illHiii)) m Dini7//////////////
17
A medida da pressão barométrica foi feita pela primeira vez por Torricelli em 1643. 
O dispositivo utilizado por Torricelli passou a ser conhecido como barômetro de Torri­
celli (ver a Fig. 1.5). O barômetro é um instrumento destinado a medir a pressão atmos­
férica num dado local. Por isto que se costuma chamar de pressão barométrica ou pres­
são absoluta a pressão indicada pelo barômetro. De acordo com a relação (1.10) vemos 
que a pressão barométrica da atmosfera varia com a altura do local onde a medida é 
realizada. Por extensão, quando um barômetro é utilizado para medir a pressão num 
dado ponto de qualquer fluido, dizemos que a medida fornece a pressão barométrica 
ou pressão absoluta do fluido no ponto considerado. Se o fluido for um líquido, a pres­
são barométrica varia com a profundidade do líquido de acordo com a equação (1.9).
mente a pressão externa sobre ele exercida. Neste caso, levando em conta a equação 
(1.8), verificamos que a pressão na base do recipiente é dada por:
p = pa, + Pgh (1.9)
É claro que quandopa< = 0, a expressão (1.9) se reduz à equação (1.8). É impor­
tante observar que as relações (1.8) e (1.9) valem para qualquer profundidade h do li­
quido, ou seja, estas relações mostram que a pressão de um fluido aumenta linear­
mente com a profundidade do ponto considerado. As relações (1.8) e( 1.9) valem tan­
to para um liquido quanto para um gás (com densidade constante). Contudo, no caso 
de um gás (com densidade constante), geralmente se despreza, para pequenos valoresde h, a variação de pressão com a profundidade no seio do gás.
A densidade da atmosfera terrestre varia com a altura, de modo que não pode­
mos aplicar a equação (1.9) para grandes camadas da atmosfera terrestre. Contudo, 
esta relação pode ser usada quando consideramos uma variação de altura não muito 
grande na atmosfera terrestre.
Note que a diferença essencial entre um líquido e um gás é que o liquido é incom- 
pressivel, ao passo que o gás é compressível. Devido a este comportamento, concluí­
mos que a densidade de um líquido permanece constante, ao passo que a pressão no 
interior do líquido aumenta linearmente com a profundidade. No caso de um gás, a pres­
são aumenta com a profundidade de forma não linear, uma vez que o aumento da pressão 
acarreta também o aumento da densidade do gás. Sendo assim, concluímos que a den­
sidade do ar atmosférico deve diminuir com a altitude; a pressão atmosférica também 
diminui com a altitude. Contudo, a variação de pressão com a altitude não é linear co­
mo no caso de um líquido, que segue a equação (1.9) ou (1.8). Verifica-se que tanto a 
densidade do ar quanto a pressão do ar diminuem com a altitude, em relação ao nível 
do mar, de acordo com a seguinte relação:
p = Po e~‘y ;p = poe~by (1-10)
onde ae b são constantes, y é a altitude em relação ao nível do mar, poé a pressão at­
mosférica ao nível do mar (para y = 0) e p0 é a densidade do ar ao nível do mar. Co­
mo a pressão de um gás ideal é diretamente proporcional à densidade do gás, supondo 
que a atmosfera tenha um comportamento ideal, podemos considerar a = b. O valor 
experimental encontrado na atmosfera é o seguinte:
a = b = 0,116 /km
-
h
1 atm = 1,013 x IO5 N/m2 (Ml)
18
1 atm = 1,013 x 106d/cm2
Como 1 d/cm2 = 0,1 N/m2, o valor da pressão atmosférica normal no Sistema 
Internacional é dado por:
/////////?//////////////////////7////Z///
Fig. 1.5 Barômetro de Torricelli.
O barômetro de Torricelli é constituído por um longo tubo de vidro contendo mer­
cúrio. O tubo é invertidocom sua extremidade inferior fechada e colocado verticalmente 
sobre um recipiente contendo mercúrio. A seguir, a extremidade inferior é aberta e o 
mercúrio desce da extremidade superior do tubo até atingir uma posição de equilíbrio 
indicada na Fig. 1.5. Nesta posição de equilíbrio, h éo desnível entre a superfície livre 
superior do mercúrio (no interior do tubo) e a superfície livre do mercúrio no recipien­
te. Como o mercúrio do tubo desceu sob a ação do próprio peso, é nula a pressão na 
parte superior vazia do tubo. Deste modo, podemos aplicar a equação (1.8) para cal­
cular a pressão atmosférica, ou seja,
Po = pgh
A experiência de Torricelli mostra que a pressão atmosférica normal, ao nível do 
mar, corresponde a uma altura A = 76 cm para a coluna de mercúrio. Como a densida­
de do mercúrio é igual a 13,59 g/cmJ, obtemos para a pressão atmosférica o seguinte 
valor:
1 atm = 76 cm de Hg = 760 mm de Hg
(1.12)
ou seja,
19
Outra unidade de pressão que se usa na prática é o cm de Hg e o mm de Hg. Neste 
caso, temos:
P* = p - Po
onde p’ é a pressão manométrica. Em outras palavras, podemos dizer que:
A pressão manométrica é a diferença entre a pressão absoluta (p) e a pressão at­
mosférica (po).
Exemplo 1.4 Um recipiente aberto contém mercúrio (ver a Fig. 1.4). Se a pressão 
externa for a pressão atmosférica normal, qual é opressão absoluta num ponto situado 
a uma profundidade h = 76 cm a partir da superfície livre do mercúrio.
Solução. Como o tubo está aberto, podemos utilizar a relação (1.9). Logo, a pres­
são absoluta no ponto considerado será:
p = 1 atm + pgh
O termo pgh para h = 76 cm de mercúrio já foi calculado anteriormente; vimos que 
este termo vale 1 atm. Logo, a pressão absoluta no ponto considerado vale:
p = 2 atm
Exemplo 1.5 Se a experiência de Torricelli fosse repetida com um tubo contendo água, 
qual seria a altura h da coluna barométrica?
Solução. Sabemos que a pressão atmosférica normal vale
1 atm = 1,013 X 10J N/m2
A altura h da coluna de água pode ser calculada pela equação (1.8). Como a densi­
dade da água vale 10J kg/mJ e g = 9,8 m/s2, obtemos:
h = p0/fig = (1,013 X 10J)/(9,8 x 102) = 10,3 m
1.4 Pressão manométrica
A pressão barométrica fornece a pressão absoluta ou pressão total de um fluido 
conectado a um barômetro do tipo do barômetro de Torricelli. Contudo, o uso deste 
tipo de barômetro é útil somente para medidas da pressão atmosférica. Quando dese­
jamos medir a pressão de um gás ou de um líquido contido no interior de um recipiente 
é mais conveniente utilizar um manômetro. Vimos que o barômetro possui um tubo fe­
chado na sua parte superior (onde p = 0). O manômetro é um tubo aberto em forma 
de U cm que uma das extremidades é ligada ao recipiente e aoutra extremidade perma­
nece aberta para a atmosfera. O esquema de um manômetro típico é indicado na Fig. 
1.6.
Na Fig. 1.6 a pressão p do gás é equilibrada pela pressão (po + Pgh) do lado di­
reito do tubo em U. Logo, a altura h do manômetro fornece uma pressãop’ = pgh. 
De acordo com a relação (1.9), temos:
P = Pg + Pgh = po + p’
(1.13)
Po
n íi1
p
h
P’ = P - Po Pgh
GÁS
Fig. 1.6 Esquema de um manômetro.
20
Exemplo 1.6 Um manômetro contém mercúrio e uma das suas extremidades está li­
gada a um recipiente contendo um gás, conforme indicado na Fig. 1.6. A pressão atmos­
férica no local da experiência é igual a 74 cm de Hg e o desnível do manômetro vale h = 
30 cm. Calcule: (a) a pressão manométrica do gás, (ò) a pressão absoluta do gás. Dê as res­
postas em cm de Hg, em d/cm2, cm N/m2 c em atm.
Solução, {a) \ pressão manométrica, em cm de Hg, é dada pelo próprio desnível in­
dicado no manômetro, ou seja,
p* = 0,395 atm
(b) A pressão absoluta pode ser calculada pela relação (1.12). Em cm de mercúrio, 
a pressão absoluta será:
p = (74 + 30) cm de Hg = 104 cm de Hg
p' = 30 cm de Hg
De acordo com a relação (1.13), a pressão manométrica p' em d/cm2 será dada por:
p’ = 13,59 (g/cm-9 x 981 (cm/s?J x 30 cm
Ou seja, o valor da pressão manométrica em d/cm2 será:
p' = 4 x 10J d/cm2
Como 1 d/cm2 = 0,1 N/m2, vem:
p’ - 4 x 10* N/m2
Para calcular o valor da pressão manométrica em atm é suficiente usar a equação 
(1.11). Logo,
A pressão manométrica pode ser obtida diretamente pela leitura da diferença de 
nível h indicada no manômetro, ou seja, a pressão manométrica vale:
p‘ = Pgh
7
í-
£'
4
SIFÃO
H
ÁGUA
Fig. 1.7 Esquema de um sifão.
21
p - 1,369 atm = 1,386 x líPN/m* = 1,386 x 10*d/cm>
Exemplo J. 7 Princípio de funcionamento de um sifão. Quando desejamos esvaziar 
um recipiente que não possui torneira em sua base e que não pode ser virado (para despe­
jar o líquido), podemos utilizar o sifão. No esquema indicado na Fig. 1.7 Hê a altura da 
dobra do tubo do sifão em relação à base do recipiente. Mostre que um sifão só pode reti­
rar água de um recipiente quando a altura H for menor do que 10 m.
Solução. Como sabemos, para utilizarmos um sifão, é necessário, inicialmente, 
encher de água um tubo flexível. A seguir, tapando-se as extremidades do tubo, coloca-se 
o tubo na posição indicada na Fig. 1.7. Abrindo-se, simultaneamente, as duas extremida­
des do tubo, a água começará a jorrar da extremidade libre B do tubo, iniciando-se uma 
sucção que possibilita retirar toda a água do recipiente. A pressão no ponto B é a pressão 
atmosférica. Então, a pressão no ponto A será:
pA = 1 atm - pgH
Se a pressão manométrica pg/7 for igual a 1 atm, teremos, obviamente, p,\ = 0. 
Contudo, quando a pressão de qualquer líquido diminui e tende para zero, ela certamente 
se torna menor do que a pressão de vapor do líquido na temperatura considerada. Con­
forme veremos, quando estudarmos as mudanças de fase de uma substância (ver o Capí­
tulo 2), quando a pressão sobre o líquido for menor do que a pressão de vapor do líquido, 
ocorre uma transição de fase e o líquido se transforma em vapor. Sendo assim, quando 
a pressão no ponto A for suficientemente pequena, formam-se bolhas no interior do tu­
bo; como os gases sãocompressíveis, a água deixará de escoar no interior do tubo. Por-
\
A
r-- 
Saída da água
X.XXX^1XX\XX'\XXX\XXXXXX\\\\\V\X\\\'
Para obter a pressão absoluta em d/cm2, em N/m2 e em atm basta fazer as respecti­
vas conversões de unidades. Como os cálculos são elementares, forneceremos apenas a res­
posta:
PO
LÍQUIDO
E
h2
(1-15)
22
1.5 Princípio de Arquimedes
O famoso princípio de Arquimedes decorre da relação (1.9), conforme mostrare­
mos nesta Seção. Na Fig. 1.8 indicamos um corpo cilíndrico totalmente imerso no seio 
de um líquido contido num recipiente cilíndrico aberto. A Fig. 1.8 representa um corte 
longitudinal do recipiente que contém o líquido com o corpo situado a uma certa pro­
fundidade.
tanto, para o caso da água, para que um sifão possa funcionar, é necessário que o termo 
p$H seja menor do que uma atmosfera. No limite, teremos:
H = (1 atm)/ípg) = (10J N/m2)/(10J kg/mJ)(9,8 m/s2) = 10 m
Donde se conclui que um sifão só pode retirar água de um recipiente quando H for 
menor do que 10 m.
h
_____ F = mg*J
///////////////////?>/////////72 2//77777^///77Z///////zz/z/Z
Fig. 1.8 Corpo totalmente submerso no seio de um líquido.
A. fim de calcular o módulo da força de empuxo E exercida pelo liquido sobre o 
corpo é necessário aplicar a equação (1.9) para determinar a pressão do liquido no ní­
vel 1 e no nível 2. Observando a Fig. 1.8 e levando em conta a equação (1.9), obtemos:
Pi = Po + pgh,; Pi = Po + Pght
Subtraindo membro a membro as duas equações anteriores, resulta:
Pt - Pi = Pg (ht - h2) = pgh (1.14)
A força de empuxo é dada pelo produto da diferença de pressão (p, — p2) pela área 
A da base do corpo cilíndrico, ou seja,
E = (p, - pi)A
23
Das relações (1.14) e (1.15) decorre a seguinte equação para a força de empuxo:
E=pgM <M6)
O volume do corpo cilíndrico é dado por:
V = Ah (1.17)
O volume do liquido deslocado pelo corpo é igual ao volume do próprio corpo, 
uma vez que o corpo está totalmente submerso. Deste modo, a equação (1.16) pode ser 
escrita na forma: _____________
A = m’g = o’Vg (1.19)
Conforme podemos observar na Fig. 1.8,0 peso Fé orientado de cima para bai­
xo e o empuxo Eé orientado de baixo para cima. Aplicando a Segunda Lei de Newton 
no corpo de massa m‘, temos:
F — E = m'a (1.20)
De acordo com a relação (1.20), para que um corpo possa afundar no seio de um 
fluido é necessário que o peso Fseja maior do que o empuxo E. Comparando as rela­
ções (1.18) e (1.19) concluímos que quando a densidade p' for maior do que a densida­
de p do fluido, o corpo submerge até atingir o fundo do recipiente. No caso contrário, 
isto é, quando P’ for menor do quep, o corpo não pode ficar na posição indicada na 
Fig. 1.8, uma vez que, neste caso, E é maior do que F; sendo assim, o corpo começa 
a subir e só ficará em equilíbrio na superfície livre do líquido, permanecendo uma par­
te do corpo acima da superfície livre do líquido e a outra parte submersa no líquido. 
Esta situação será ilustrada a seguir.
Na Fig. 1.9 indicamos um corpo cilíndrico flutuando sobre a superficie de um lí­
quido contido num recipiente aberto. A Fig. 1.9 representa um corte longitudinal do 
recipiente com uma parte do corpo mergulhada até uma profundidade h. A altura to­
tal do corpo é igual a h‘ .
E = ogV = mg (1.18)
A relação (1.18) é a equação apropriada para o cálculo da força de empuxo que 
um líquido exerce de baixo para cima sobre um corpo totalmente imerso em seu inte­
rior. Na equação (1.18)pé a densidade do líquido e m é a massa do líquido deslocado 
pelo corpo. A equação (1.18) vale também quando o corpo está parcialmente submer­
so no líquido. Além disto, como a equação (1.9) vale para qualquer fluido, concluímos 
que a equação (1.18) também vale tanto para líquidos quanto para gases. Então, o re­
sultado (1.18) pode ser aplicado para qualquer fluido, sendo que o corpo pode estar 
total ou parcialmente submerso no fluido. Quando o corpo está parcialmente submer­
so no fluido, o volume Vdo fluido deslocado é menor do que o volume do corpo. Em, 
qualquer caso, m ésempre a massa do líquido deslocado pelo corpo.
O resultado (1.18) é uma expressão matemática do famoso princípio de Arqui- 
medes. Podemos enunciar o princípio de Arquimedes do seguinte modo:
"Todo corpo imerso num fluido recebe um empuxo, de baixo para cima, numeri­
camente igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo".
Seja m‘ a massa do corpo e p' a densidade do corpo; então, o peso Fdo corpo 
possui módulo dado por:
h‘
h ■
(1.21)
(1-23)
24
E = mg =p'gV = pgAh
Das equações (1.21), (1.22) e (1.23) resulta:
P'V = pK (1.24)
p'h’ = ph (1.25)
O resultado (1.24) é geral e não depende da forma do corpo. No entanto, a equa­
ção (1.25) é um caso particular do resultado geral (1.24) e só vale quando a área da face 
superior do corpo for igual à àrea da face inferior do corpo, isto é, o resultado (1.25) 
só vale para cubos, paralelepípedos, cilindros, prismas e para os corpos de revolução 
com eixo de rotação na direção ortogonal ao plano da superfície livre do líquido.
Denomina-se centro de empuxo o ponto de aplicação da força de empuxo. Por 
outro lado, sabemos que o peso de um corpo é uma força resultante aplicada no centro 
de gravidade do corpo; também sabemos que, na superfície terrestre, o centro de gravi­
dade coincide com o centro de massa do corpo. Para um corpo homogêneo totalmenle 
submerso num líquido normalmenteo centro de gravidade coincide com o centro de em­
puxo. Contudo, quando um corpo homogêneo está submerso no seio de umgtfcem ge­
ral o centro de gravidade do corpo não coincide exatamente com seu centro de empuxo; 
como, por exemplo, no caso de um balão carregando um ou mais passageiros.
Para verificar se um corpo está em equilíbrio na superfície livre de um líquido ou 
no seio de um fluido basta aplicar as leis deNewton para o caso do equilíbrio. Para que 
haja equilíbrio de translação é necessário que o peso seja igual ao empuxo. Para que
Como o corpo indicado na Fig. 1.9 está em equilíbrio,
E — F = m 'g 
onde m'éamassa do corpo, ou seja,
m‘= _p’V = p‘Ah' (1.22)
onde p' t a densidade do corpo, V’ é o volume total do corpo, A é a área da base c h’ 
é a altura total do corpo. De acordo com o princípio de Arquimedes (1.18), a força de 
empuxo será dada por:
I
Jo’ 
m i 
to
Fig. 1.9 Corpo em equilíbrio flutuando num líquido. OpontoOéocentrodeempuxoeoponto 
0’ é o centro de gravidade.
25
Fig.l. 10 Corpo flutuando numa posição na qual não existe equilíbrio. O metacentro M se en­
contra acima do centro de gravidade CG.
haja equilíbrio de rotação é necessário que a soma dos torques em relação ao centro de 
gravidade (ou em relação ao centro de empuxo) seja igual a zero.
Sabemos que quando a densidade média /o'do corpo for menor do que a densida­
de p do líquido, o corpo flutua no líquido, ficando parcialmente submerso; exemplos: 
corpos homogêneos com p’<P, corpos ocos com densidade média p’ menor do que p, 
sistemas que possuem uma casca interna fina em comparação com o comprimento do 
corpo, como no caso dos navios e embarcações dos mais variados tipos. No caso da flu­
tuação, obviamente, F = E(peso = empuxo), donde se conclui que o sistema está em 
equilíbrio de translação na superfície do líquido. Neste caso, para que haja equilíbrio 
de rotação, é necessário que o centro de empuxo e o centro de gravidade estejam situa­
dos sobre a mesma reta vertical. Na Fig. 1.8 o corpo está em equilíbrio de translação 
e de rotação. Contudo, o corpo indicado na Fig. 1.10 não está em equilíbrio de rota­
ção; neste caso, surge um torque que deverá fazer o corpo girar no sentido anti-horário 
até que ele retorne à posição de equilíbrio. Na Fig. 1.10 estamos designando por CG 
o centro de gravidade e por CE o centro de empuxo.
Quando um corpo se inclina na superfície de um líquido, seu centro de gravidade 
não muda de posição, contudo, o centro de empuxo se desloca lateralmente (para o la­
do que produz maior deslocamento do líquido). Compare a Fig. 1.9 com a Fig. 1.10. 
Na Fig. 1.10o centrode empuxo se deslocou para a direita, de modo que o centro de 
gravidade e o centro de empuxo não estão mais sobre a mesma reta vertical, donde se 
conclui que o corpo na posição indicada na Fig. 1.10 não pode permanecer em equilí­
brio nesta posição. Trace uma reta vertical ligando o centro de empuxo CE com um ponto 
P na vertical do lugar. A antiga posição vertical (em relação à base do corpo) é indica­
da pela reta que liga o ponto CG com o ponto N. Denomina-se metacentro o ponto de 
encontro entre as duas retas mencionadas acima. Quando o metacentro fica situado num 
ponto abaixo do plano horizontal que contém o centro de gravidade CG, o corpo vira 
e não retorna mais para a posição de equilíbrio inicial. Quando o metacentro se encon­
tra acima do centro de gravidade CG (como no exemplo da Fig. 1.10), o corpo sofre 
uma rotação e oscila, até atingir de novo a posição de equilíbrio original.
(1.26)
(1.28)10p'V79 =pV
Porém,
26
F = \0m’g/9 = \Qp'V‘g/9
O empuxo E possui módulo:
Exemplo 1.8 Um bloco de gelo cúbico flutua sobre a superfície da água contida num 
recipiente em repouso, (a) Supondo que a densidade do gelo seja igual a 0,9 g/cmJ, calcule 
a razão entre a altura h' total do bloco de gelo e a altura ho da parte do bloco que fica co­
berta pela água, (d) Se apoiarmos sobre o bloco um pequeno corpo dc massa m0 = m 79, 
qual deve ser a razão entre a altura total h‘ e a altura h da parte submersa? A massa do 
bloco de gelo é igual a m‘.
Solução, (a) De acordo com a equação (1.25), temos:
h7h0 = P/P* = 1/0,9 = 1,1
(b) Seja m ’ a massa do bloco de gelo. Se colocarmos outra massa mo = m 79 sobre 
o bloco de massa m ’, a massa do sistema torna-se igual a (m * + m 79). Portanto, o peso 
do conjunto vale:
E = mg 
onde m é a massa da água deslocada. Nas circunstâncias do item (b), a massa de água des­
locada é maior do que a massa deslocada no caso (<?). Podemos escrever:
E = pVg (\.2T)
Dividindo membro a membro as relações (1.26) e (1.27), e levando em conta que, 
no equilíbrio, F = E, resulta:
Vf = Ah'; V Ah 
onde A é a área da base do bloco, h ’ é a altura total do bloco e h é a altura da parte submer­
sa do bloco. Substituindo V e V‘ na equação (1.28), obtemos:
10 p A 79 = ph
E daí decorre que a razão solicitada no problema será:
h7h = 9P/\Qp‘ = (9 x l)/(10 X 0,9) = 1
Donde se conclui que h’ = h, ou seja, o bloco de gelo ficará completamente sub­
merso com sua face superior tangenciando a superfície livre da água e o corpo de massa 
m0 = m’/9 ficará apoiado sobre o bloco de gelo e estará acima da superfície livre da água.
Exemplo 1.9 Um objeto é constituído por uma liga de ouro c de prata. Pesando-se 
este objeto numa balança de mola (no ar), observa-se que a hiassa total do objeto é igual 
a 400 g. Quando suspenso nesta mesma balança de mola e submerso completamente no 
seio da água contida num recipiente aberto, verifica-se que o peso do objeto é igual a 370 
gf. Calcule a massa de ouro c a massa de prata contida neste objeto.
Solução. Na pesagem feita no ar atmosférico, podemos desprezar a força de empu­
xo do ar. Neste caso, o peso p do objeto vale:
p = (wi + m2)g - ipik] + p'2V2)g (129)
onde o índice 1 refere-se ao ouro e o índice 2 refere-se à prata. Da Tabela 1.1, temos:
Pi = 19,3 g/cmJ p2 = 10,5 g/cmJ
(1.30)
(1.31)
(1.32)
V — V2. Substituindo V2 na equação (1.29) encon-
9,66 cmJ
Portanto,
Fig. 1.11 Inclinação da superfície livre de um líquido acelerado.
27
tg 0 = a/g
Note bem a analogia entre este resultado e o ângulo formado por um pêndulo sim­
ples com a vertical quando o Ho do pêndulo está preso ao teto de um trem que se desloca 
em linha reta com aceleração a.
= V - V, = 30 - 9,66 = 20,34 cmJ
As massas solicitadas no problema serão:
Massa do ouro: m\ = P\V\ = 186,4 g
Massa da prata:mz = P2P2 = 213,6 g
Exemplo 1.10 Um aquário contendo água está apoiado no piso de um trem que se 
desloca cm linha reta com aceleração õ*. Determine a inclinação do líquido no interior do 
aquário.
Solução. Na Fig. 1.11 indicamos um corte longitudinal do aquário apoiado no piso 
de um trem que se desloca da esquerda para a direita com aceleração a . Considere um 
elemento de volume próximo da superfície do líquido. A força N que_o líquido exerce so­
bre este elemento de volume é ortogonal à superfície do líquido. Sejap o peso do elemen­
to de líquido considerado. A soma vetorial das forças que atuam sobre o elemento de vo­
lume considerado, de acordo com a Segunda Lei de Ncwton, deve ser igual a ma . Obser­
ve o diagrama de forças indicado na Fig. 1.11; verifique que:
tg 0 = ma /mg
ou seja, o ângulo de inclinação da superfície livre do líquido (em relação à horizontal) é 
tal que
Da equação (1.30) resulta:
V = (p - pypg = (400 - 37O)g/pg = 30cmJ
Da equação (1.31) vem: V2 
tramos:
h (Pi - Pz) + P2V = p/g 
Logo, usando o resultado (1.32) e os demais dados,
V, = (400 - 3153/(19,3 - 10,5)
Ao mergulharmos o objeto na água, o peso indicado pela balança será 
p' - P - E = p -DgV
ondep’ = 370 gf p = 1 g/cmJ e V — volume do objeto, ou seja,
v = Vi + Vi
QUESTIONÁRIO
1.1
1.2
1.3
1.4
flt
p2 A2
Pi
Fig. 1.12
28
Qual é a diferença entre a densidade (ou massa específica) e a densidade relativa de 
uma substância?
O princípio de Pascal pode ser aplicada ao escoamento de um gás no interior de um 
tubo?
Um balão contendo um gás é pesado numa balança de mola. Depois dc esvaziado 
completamente, o balão é novamente pesado. O peso do balão cheio de gás é igual 
ou diferente do peso do balão vazio?
Princípio dos vasos comunicanles. Quando existem conexões ligando diversos reci­
pientes contendo um líquido, vcrifica-se que, no equilíbrio, o nível do líquido é o 
mesmo em todos os recipientes conectados. Trata-se de um resultado conhecido co­
mo princípio dos vasos comunicanles; este princípio só vale quando existe equilí­
brio hidrostático. Além disto, é necessário que o líquido nos diferentes recipientes 
seja o mesmo. Quando dois recipientes que se comunicam entre si contêm líquidos 
com densidades diferentes, os níveis dos líquidos nos dois recipientes são diferen­
tes. Considere o tubo em U indicado abaixo. Suponha que num dos ramos do tubo 
exista um líquido com densidade P\ (por exemplo, água) e no outro ramo exista um 
líquido com densidade pj (por exemplo, mercúrio), sendo Pj maior do quePi. Seja 
h\ o nível do líquido 1 e hi o nível do líquido de densidadePj. Obtenha uma expres­
são para h\/hi.
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
O que é pressão barométrica?
O que é pressão manométrica?
Enuncie 0 princípio de Arquimedes.
O que é o centro de empuxo?
O que é metacentro?
1.10 O que ocorre com um corpo flutuando num líquido quando o metacentro está abai­
xo do centro de gravidade?
EXERCÍCIOS
29
1.11 Um bloco de madeira flutua na superfície da água contida num recipiente em repouso. 
O bloco possui forma de paralelepípedo e inicialmente está flutuando com a base 
de área maior paralela ao plano vertical (o paralelepípedo está na “vertical”). Se 
o bloco flutuar com a base maior na horizontal, o nível da água aumenta ou dimi­
nui?
1.12 Um corpo está completamente submerso num líquido contido num recipiente aber­
to. Aumentando-se a pressão sobre a superfície livre do líquido, o empuxo varia ou 
permanece constante?
1.13 Um cubo maciço de gelo está flutuando num recipiente contendo água. Quando o 
gelo fundir, o nível da água subirá ou baixará?
1.14 Um cubo oco de gelo flutua num recipiente contendo água. Quando o gelo fundir, 
o nível da água subirá ou baixará?
1.15 Um bloco de gelo flutua num recipiente contendo água. No interior do bloco existe 
uma esfera maciça de um certo material cuja densidade é maior do que a densidade 
da água. Verifique se o nível da água aumenta ou diminui quando o gelo se fundir.
1.16 Um método simples para saber se um ovo está bom ou estragado consiste em colo­
cá-lo num recipiente contendo água. Explique porquê um ovo bom submerge até 
o fundo do recipiente ao passo que um ovo estragado flutua na superfície da água.
1.17 Um balão cheio de gás(menos denso do que o ar), começa a subir e atinge uma altu­
ra acima da qual ele não pode ultrapassar. Entretanto, um bloco de chumbo afunda 
e atinge sempre o fundo do oceano. Explique esta aparente contradição.
1.18 Um recipiente contendo água está apoiado no piso de um elevador que desce com 
aceleração a. Como varia a pressãop com a profundidade h da água do recipiente? 
Qual seria a variação dep com h se o elevador estivesse subindo com aceleração o?
1.19 (a) Um bloco de madeira flutua na superfície da água contida num recipiente situa­
do no interior de um elevador. Verifique se o bloco afunda ou emerge quando o ele­
vador desce com aceleração a. (b) O que aconteceria com o bloco se o elevador esti­
vesse subindo com aceleração al (c) O que ocorreria com o bloco se o recipiente fos­
se transportado para a superfície da Lua?
1.20 Por definição, pressão é:
(A) força necessária para imprimir velocidade constante a um bloco em repouso,
(B) energia potencial por unidade de massa,
(C) força por unidade de área,
(D) força por unidade de comprimento,
(E) força por unidade de massa
1.21 Os cinco objeto da Fig. 1.13 possuem mesmo peso. Quando colocados sobre areia
fofa, qual deles afundará mais?
1.22 “A pressão exercida sobre certa região de um líquido se transmite integralmente a 
todos os pontos deste líquido”. Este é o enunciado:
(A) da Lei de Stevin;
(B) da Lei de Torricelli;
(C) do princípio de Arquimedes;
(D) da equação de Bernoulli;
(E) do princípio de Pascal.
Fig. 1.13
(A) (B)
(C)
P(E)
Fig. 1.14
30
L. TX
1.23 O freio hidráulico de um automóvel funciona com base:
(A) na Lei de Hooke;
(B) na Segunda Lei de Newton;
(C) no Princípio de Arquimedes;
(D) no Principio de Pascal;
(E) na Lei de Boyle.
1.24 Você mergulha verticalmente no mar. O gráfico que melhor representa a variação 
da pressão da água sobre seu ouvido, em função da profundidade, é dado por:
(C)
n n
uLi
31
(B) 150/2N.
(D) 100/3 N.
(B) 0,8 g/cmJ
(D) l,8g/cmJ
(A)u (B)I | |
(D)
FTT
(E)
Fig. 1.15
1.27 (PUC-RS) Uma coluna de 12,92 m de altura de um certo líquido é capaz de equili­
brar uma pressão atmosférica de 760 mm de Hg. A massa especíica do líquido con­
siderado vale: 
(A) l,2g/cmJ 
(C) 0,5 g/cmJ 
(E) Outro valor.
1.28 Na figura seguinte, o pistão E desliza sem atrito no cilindro da seringa A. Uma linha
de nylon passa pela polia M e sustenta um saco de plástico que é cheio de água. 
Empurrando o pistão contra o fundo do cilindro e tapando-se o bico C da seringa, 
enche-se o saco de plástico com 3,0 litros de água e com isso mantém-se o pistão em 
equilíbrio em qualquer posição dentro da seringa. Se a seção reta do êmbolo é de 
3,0 cm2, o valor da pressão atmosférica será:
(A) 300 N/cm2. (B) 1 N/cm2.
(C) 10 N/cm2. (D) 3N/cm2.
(E) 100 N/cm2.
1.25 Uma prensa hidráulica tem seus êmbolos com seções circulares iguais a 30 cm2 e 20 
cm2. A força que se deve aplicar ao êmbolo de menor área, para que no de maior área 
apareça uma força de 50 N, é:
(A) 2/150 N. 
(C) 3/100 N.
(E) 100 N.
1.26 Um cubo está totalmente submerso num líquido. As forças exercidas pelo líquido 
sobre uma seção reta vertical do cubo são melhor representadas pelo diagrama:
A
[El
raguaj
C
Fig. 1.16
II j’1F
Fig. 1.17
gásvácuo ís
32
Fig. 1.18
(B) 2,72 x 10'N/m2.
(D) 27,2 x 103 N/m2.
(B) 5.0 x IO’ ' N/mm’.
(E) 5,0 x 10 N/mm2.
1.29 Na figura abaixo, uma força de 5 N está sendo feita sobre o êmbolo de seção reta 
1 cm2. O líquido sai pelo orifício de seção reta 0,1 mm2. Podemos dizer que o líqui­
do sai pelo orifício com pressão igual a:
(A) 5,0 X IO’ 2 N/mm2.
(C) 5,0 X I0"2 N/mm2.
(E) 5,0 x 10N/mm2.
1.30 Um recipiente fechado contém um gás e mercúrio como mostra a figura. Colado a 
uma das paredes do recipiente existe um tubo de ensaio que, inicialmente, estava to- 
talmentc cheio de mercúrio e na posição de equilíbrio o mercúrio fica no tubo até 
uma altura h = 20,0 cm. Se a massa específica do mercúrio for 13,6 x lO^kg/m2, 
a pressão do gás no recipiente será:
(A) 2,72 N/m2.
(C) 1,36 x 103 N/m2.
(E) 136 x 10* N/m’.
1.31 (CESGRANRIO- 1987) Dois tubos comunicantes contêm um líquido de massa es- 
pecíficapj = 1,00 g/cmJ. Uma quantidade de um segundo líquido, não miscível no 
primeiro e cuja massa específica Pj se quer determinar, é colocada em um dos tu­
bos. Na situação de equilíbrio, as alturas indicadas na figura valem: Hi = 10,00 cm;
w,
Fig. 1.19
1.33
1.34
33
i
: Pri
Hj = 9,00 cm e Hy = 5,00 cm. Assim, a massa específica do segundo líquido é:
(A) 0,56g/cm< (B) 0,90g/cmJ.
(C) l,llg/cm< (D) l,25g/cmJ.
(E) ] ,80 g/cmJ.
1.32 Sabemos que a unidade de pressão atmosfera (atm) equivale à pressão exercida por 
uma coluna de 76 cm de mercúrio em sua base. Para transformar uma pressão me­
dida em atm para cm de água, é necessário multiplicar a pressão por:
(A) 76 cm de HzO (D) 100 cm de água
(B) 7,60cmdeH2O (E) 1000 cm de água
(C) 760 cm de água
Um sólido flutua num recipiente contendo água, mantendo a quinta parte do seu 
volume submersa. O mesmo sólido flutua no óleo com a quarta parte do seu volu­
me submersa. Concluímos que a densidade relativa deste óleo vale:
(A) 0,5: (B) 0,4; (C) 0,7; (D) 0,8; (E) 0,9
Um tronco de madeira flutua na água mantendo um décimo do seu volume acima 
da superfície da água. A densidade do tronco, em g/cmJ, vale:
(A) 0,9; (B) 0,8; (C) 0,7; (D) 0,1; (E) 1,1
1.35 (PUC-SP) Um sólido de densidade D = 5 g/cmJ está imerso em água de densidade
1 g/cmJ. Supondo a aceleração da gravidade 10 m/s2 e desprezando a viscosidade 
do líquido, a aceleração de queda deste sólido no interior da água é:
(A) 4 m/s2. (B) 5 m/s2.
(C) 6 m/s2. (D) 8 m/s2.
(E) 10 m/s2.
1.36 (M ACK) Um baião para estudo atmosférico tem massa 50 kg (incluindo o gás), vo­
lume de 110 mJ e está preso à terra por meio de uma corda. Na ausência de vento, 
a corda permanece esticada e vertical. Considerando a densidade do ar igual a 1,3 
kg/mJ a tensão sobre a corda é: (Dado: g = 10 m/s2
(A) 500 N. (B) 610 N.
(C) 720 N. (D) 930 N.
(E) 1.130 N.
1.37 Um objeto cilíndrico é formado por um cilindro de madeira com massa de 1 kg e 
outro cilindro de ferro de mesmo diâmetro com massa igual a 1 kg. Os dois cilindros 
são colados pela base. O objeto é colocado sobre a água num tanque em repouso. 
Em relação à água, a densidade relativa da madeira é igual a 0,5 e a do ferro vale 
7,5. Qual das situações seguintes representa melhor a posição de equilíbrio do obje­
to?
Pi
Fig. 1.20
m = ?
Fig. 1.21
Fig. 1.22
34
(A) em (1) o equilíbrio é instável, e em (2), indiferente;
(B) em (2) o equilíbrio é instável, e em (3), estável;
(C) em (2) o equilíbrio é estável, e em (3), instável;
(D) em (3) o equilíbrio é estável, e em (1), instável;
(E) são existe equilíbrio em nenhum caso.
(B) 90 g.
(D) HOg.
(A) 50 g.
(C) 100 g.
(E) 200 g.
1.39 (MACK) Nas partes (1), (2) e (3) da figura abaixo indicamos o corte transversal de 
um corpo flutuante em três posições diferentes.
Sendo G o centro de gravidade do flutuante e M, o seu metacentro, podemos afir­
mar que:
1.38 (FEEDSON DEQUElROZ-CE)Umcubodegclode lOcm de aresta flutua em água. 
A massa específica da água é 1,0 g/cmJ e a do gelo é 0,9 g/mJ. Para que o cubo de 
gelo flutue com a face superior coincidindo com a superfície livre da água, deve ser 
posto sobre o cubo um corpo de massa:
vh'. à. 4
PROBLEMAS
1.40
1.41
1.44
1.45
1.46
1.47
1.48
1.49
1.50
1.51
hi
fh
Fig. 1.23
35
1.42
1.43
i?
Um homem de 70 kg de massa está em pé sobre uma plataforma de 0,5 m2 de área. 
Calcule a pressão exercida pelo homem sobre a plataforma.
Um cubo de 10 kg de massa e 0,2 m de aresta está apoiado sobre uma das suas faces, 
num plano horizontal. Calcule a pressão exercida pelo cubo sobre o plano horizon­
tal.
Calcule a massa específica do cubo mencionado no problema anterior.
Um cilindro dc altura h e densidadep está apoiado sobre sua base num plano hori­
zontal. Calcule a pressão exercida pelo cilindro sobre o plano horizontal em função 
de g, de h e de P.
Uma placa retangular de vidro mede 1,0 m dc largura por2,5 m de comprimento. 
A placa está imersa num líquido num nível tal que a pressão exercida pelo líquido 
em todos os pontos da placa é constante e igual a 10 N/m2. Calcule o módulo da for­
ça que atua sobre a placa.
Uma chapa de cobre de 2,0 m2, utilizada num coletor deenergia solar, é pintada com 
tinta preta, cuja densidade, depois de seca, vale 1,7 g/cmJ. A espessura da camada 
é da ordem de 5,0 pm (cinco mícrons). Calcule a massa da tinta que recobre a placa 
do coletor.
Calcule a densidade relativa do alumínio em relação ao mercúrio. Consulte a Tabe­
la 1.1.
Um torrícelli (lort) equivale a uma pressão de 1 mm de Hg. Calcule em torr uma pres­
são p = 1,2 atm.
Considere a pressão atmosférica normal igual a 1,013 X IO5 N/m2. Calcule a pres­
são atmosférica normal (o) em N/cm2, (b) em kgf/cm2.
Suponha que a cabeça dc uma pessoa tenha uma área superior de 100 cm2. Calcule 
o valor aproximado da força total exercida de cima para baixo pela atmosfera sobre 
a cabeça desta pessoa. Dê a resposta cm kgf e em N.
O pistão de um elevador hidráulico possui raio igual a 20 cm. Calcule a pressão exer­
cida sobre este pistão a fim de se poder elevar um automóvel de massa igual a 1500 
kg. Despreze a contribuição da pressão atmosférica sobre o pistão.
Coloca-se água num tubo em U, conforme indicado na figura abaixo. Num dos ra­
mos do tubo coloca-se um líquido cuja densidade absoluta é igual a p. Calcule a den­
sidade do líquido, sabendo que hi = 50 cm e Az - 58 cm.
1.52
A
E
óleo
B’B
DC
Fig. 1.24
1.53
1.54
1.55
1.56
1.57
1.58
1.59
1.60
1.61
36
No tubo em U aberto, esquematizado na figura abaixo, as colunas de água e de óleo 
encontram-se em equilíbrio. A densidade relativa do óleo é igual a 0,80. Considere 
a pressão atmosférica ambiente igual a 105 N/m?. Determine: (a) a altura DE, (b) 
a pressão nos pontos A, B C, D, B e E. Considere AB = BC = 20 cm.
A pressão atmosférica varia em função da altura de acordo com a relação (1.10). 
Determine a altura H acima do nível do mar para a qual a pressão atmosférica se 
reduza a po/e, onde pn é a pressão atmosférica ao nível do mar; a letra e representa 
a base dos logaritmos neperianos (ou logaritmos naturais). Calcule o valor de H, 
usando o valor aproximado a = 0,12/km.
Um corpo homogêneo possui densidade relativa d menor do que um. Ou seja, sua 
densidade é menor do que a densidade da água. Suponha que o corpo esteja flutuando 
sobre a superfície da água contida num recipiente em repouso. Determine a razão 
entre o volume V‘ total do corpo e o volume ^da parte submersa do corpo.
No problema anterior suponha que o corpo seja um cubo de aresta h'. Determine 
a razão h'/h, onde h é a altura da parte submersa do cubo.
Um balão ascende porque o ar quente do seu interior é menos denso do que o ar am­
biente. Suponha que o volume total do balão seja de 10 m5 e que a massa total do 
material do balão mais a massa da bucha seja igual a 2 kg. A densidade do ar no ex­
terior do balão vale 1,2 g/litro. Sabendo que a aceleração inicial do balão é igual 
a 0,5 m/s2, calcule: (a) a força de empuxo sobre o balão, (tf) a densidade do gás do 
interior do balão.
A resultante das forças que atuam sobre um corpo sólido homogêneo submerso num 
líquido de densidade d\ é igual a F\. Quando o corpo é colocado num líquido de den­
sidade tf? a resultante passa do valor F\ para o valor Fi. Obtenha a expressão da den­
sidade d do corpo em função de di, di, F\ e Fi.
Um corpo homogêneo possui peso P'quando está mergulhado num líquido de den­
sidade P. Pesando-se o corpo no ar, verifica-se que o peso aumenta de P' para P. 
Desprezando o empuxo do ar, obtenha urna expressão para a densidade tf do corpo. 
Uma pedra pesa 200 N no vácuo e 150 N quando está imersa na água. Calcule a den­
sidade da pedra.
Um corpo homogêneo pesa 100 N quando mergulhado num óleo de densidade igual 
a 0,8 g/cmJ, e pesa 60 N, quando mergulhado na água. Calcule a densidade d do 
corpo.
Mediante uma bomba, fazemos vácuo na parte superior de um recipiente que pos­
sui um tubo vertical mergulhado num poço. Seja //a distância vertical entre a bor­
da superior do tubo e o nível da água no poço. Qual é o valor aproximado de //aci­
ma do qual não c possível retirar água do poço?
■■4
>--ag'ua-<*
1.62
1.63
1.64
1.65
1.66
1.67
1.68
di
d2
1.69
1.70
37
Um “iceberg” possui forma aproximada de paralelepípedo. A parte que flutua aci­
ma da superfície do mar possui uma altura de 13 m. Calcule a profundidade da ex­
tremidade da parte submersa do “iccbcrg”, sabendo que a densidade do gelo é apro­
ximadamente igual a 0,90 g/cmJ.
A figura seguinte indica um corpo C preso a uma mola de constante elástica igual a 
40 N/cm. A outra extremidade da mola está presa no fundo de um recipiente cheio 
de um líquido de densidade d. O comprimento da mola antes da sua deformação de­
corrente da ação do peso e doempuxo é igual a 1,5 cm. O sistema está em equilíbrio 
na posição indicada na figura. A massa do corpo Cé igual a 10 kg. Considere g =
//////////!/!////////I)//////////
Fig. 1.25
Um óleo possui densidade igual a 0,8 g/cmJ. Estime a altura máxima entre a dobra 
do tubo de um sifão e a superfície inferior do recipiente para que seja possível esva­
ziar este recipiente mediante a utilização do sifão.
Tome como referência a Fig. 1.6. Suponha que o líquido no interior do manômetro 
seja o mercúrio e que h = 50 cm. Considere a pressão atmosférica externa igual a 
1,0 x 103 N/m2. Estime o valor aproximado: (o) da pressão manomctrica p‘, (b) 
da pressão absoluta p do gás.
Um cubo de madeira de aresta igual a h flutua sobre a água. Supondo que a densi­
dade relativa da madeira seja iguala 0,5, calcule a distância x entre o centro de gra­
vidade e o centro de flutuação do bloco.
Um volume Vde um certo líquido cuja densidade é Pi é misturado com igual volu­
me de outro líquido com densidadepz. Obtenha a expressão da densidade p da mis­
tura.
Um tanque possui 1,5 m dc comprimento, 1 m dc largura e 1 m de altura. Este tan­
que está cheio de água até uma altura de 80 cm. Mergulhando-se neste tanque um 
corpo homogêneo de massa m = 37 kg, verifica-se que o nível da água passa para 
uma altura de 80,8 cm. Calcule a densidade d do corpo.
Uma esfera de ferro possui raio/? = 4 cm. Determine o raio de uma cavidade esféri­
ca de raio R ’, concêntrica com a esfera de raio R, para que ela possa flutuar man­
tendo a metade do seu volume total fora da água. Considere a densidade do ferro 
igual a 7,8 g/cm?.
Uma esfera maciça está em equilíbrio no interior de um recipiente que contém dois 
líquidos não miscíveis dc densidades d\ e di, sendo di maior do que d\. O centro da 
esfera está situado sobre o plano de separação entre os dois líquidos, conforme ilus­
trado na figura abaixo. Deduza uma expressão para a densidade d da esfera em fun­
ção de d\ e dc di.
/ ///// /7////////////?//////7///
Fig. 1.26
1.71
1.72
1.73
38
Fig. 1.27
em repouso. O recipiente é, a seguir, colocado no piso de um elevador. Obtenha uma 
expressão para a tensão Tno fio, supondo que: (a) o elevador sobe com uma acele­
ração a, (ô) o elevador desce com uma aceleração a.
É possível determinar a aceleração de um veículo, medindo-se a inclinação da su­
perfície livre de um líquido contido num recipiente ligado rigidamente em qualquer 
parte do veículo. Calcule a aceleração do veículo, sabendo que a inclinação da su­
perfície livre do líquido é igual a 45°.
10 m/s2. (o) A densidade do líquido é maior ou menor do que a densidade do corpo 
C? (d) Calcule o módulo da força de empuxo.
-T- 
j 4 cm 
LL
Uma jóia possui na sua parte externa uma camada de ouro e, na parte interna, uma 
camada de alumínio. O peso da jóia (no ar) é igual a 5 gf. Quando o corpo está imer­
so na água e suspenso a uma balança de mola, a jóia pesa 4 gf. Calcule a massa de 
alumínio e a massa de ouro da jóia.
Um bloco de madeira está preso a um fio que o mantém mergulhado no seio de um 
líquido, conforme indicado na figura abaixo. Seja Eo módulo da força de empuxo, 
Eo peso do bloco e Toa tensão no fio que susteota o bloco quando o recipiente está
a
H
L
Fig. 1.28
1.1
1.2
1.3
1.6
39
1.74 Um aquário sem tampa é colocado no piso de um caminhão. O aquáriocontém água 
até uma altura h, conforme indicado na figura abaixo. Seja //a altura total do aquá­
rio. A figura abaixo representa a seção longitudinal do aquário obtida pelo corte 
do aquário por um plano vertical paralelo a uma das faces do aquário. O caminhão 
se desloca num plano horizontal com aceleração a . Escreva a condição para que 
a água não entorne do aquário durante a aceleração do caminhão.
RESPOSTAS DO QUESTIONÁRIO
A densidade (ou massa específica) fornece a razão entre a massa e o volume de um 
corpo homogêneo, ao passo que a densidade relativa de um material homogêneo é 
a razão entre a densidade do material e a densidade de outra substância homogênea 
tomada como referência. Em geral, a densidade relativa de uma substância pura é 
dada em relação à água (cuja densidade vale aproximadamente a g/cmJ). A densi­
dade é também chamada de massa volumêtrica.
Não. o Princípio de Pascal se aplica somente para líquidos, que são considerados 
fluidos incompressíveis.
Pesar um recipiente contendo um fluido e, a seguir, pesar o mesmo recipiente sem 
o fluido c o método prático para se saber a massa (e a densidade) de um fluido. Sen­
do assim, éclaro que a diferença de peso indicará o peso do gás (daí, obtemos a massa 
do gás no interior do balão). Contudo, como a densidade dos gases é muito peque­
na, em comparação com a densidade dos líquidos, esta técnica se aplica, ern geral, 
somente para líquidos. O balão cheio de gás pesa, obviamente, mais do que o balão 
vazio; contudo, somente uma balança de precisão poderia detetar a diferença de peso. 
Por exemplo, a densidade do ar atmosférico (a uma atm) é aproximadamente igual 
a 1 g/litro. Portanto, dentro de um baião de 1 litro existe apenas l grama de ar.
Utilizando a equação (1.9) obtemos facilmente o seguinte resultado: ht/h2 = p/p,. 
É a pressão absoluta obtida por uma determinação direta da pressão do gás, con­
forme, por exemplo, indicado na Fig. 1.5. Denomina-se barômetro um aparelho que 
pode determinar a pressão absoluta de um gás.
A pressão manométrlca é a diferença de pressão entre a pressão do gás e a pressão 
atmosférica, ou seja, é a pressão indicada por um tubo em U denominado manôme- 
tro (ver a Fig. 1.6).
1.4
1.5
1.7
1.8
1.9
1.12
1.13
1.16
1.17
1.18
40
1.14
1.15
1.10
1.11
Todo corpo mergulhado num fluido recebe um empuxo, de baixo para cima, nume­
ricamente igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo.
Cenlro de empuxo éo ponto de aplicação da força de empuxo resultante que atua 
sobre um corpo parcial ou totalmcnte imerso num fluido. O centro de empuxo é o 
cenlro cie massa da parte do corpo submersa no fluido.
Quando um corpo está cm equilíbrio, o centro de gravidade e o centro de empuxo 
estão situados sobre a mesma reta vertical. Fora do equilíbrio, o centro de gravida­
de não muda de posição, mas o centro de empuxo se altera, dependendo da parte 
do corpo que fica submersa no fluido. A direção vertical do equilíbrio anterior se 
intercepta com a vertical baixada a partir do centro de empuxo (fora do equilíbrio) 
num ponto denominado metacenfro (ver a Fig. L. 10).
O corpo gira e não volta mais para a posição de equilíbrio anterior.
Uma vez que o empuxo é igual ao peso do líquido deslocado e como o empuxo é igual 
ao peso do corpo nos dois casos (pois o corpo está em equilíbrio), concluímos facil­
mente que o nível da água não se altera.
Os líquidos transmitem integralmente as pressões recebidas. Sendo assim, o empu­
xo não depende da pressão externa aplicada ao líquido.
O nível da água fica inalterado. O peso da água deslocada pelo gelo é igual ao peso 
do gelo. Ora, o peso da água obtida com a fusão do gelo é igual ao peso do próprio 
gelo. Assim sendo, a quantidade de água obtida com a fusão do gelo ocupará um 
volume exatamente igual ao volume da parte submersa do gelo, de modo que não 
ocorrerá modificação do nível da água no recipiente.
O nível da àgua não se altera, pelo mesmo motivo exposto na resposta 1.13.
O volume da parte submersa do gelo é maior do que a soma do volume da pedra mais 
o volume da água que se obtém com a fusão do gelo. Daí, concluímos que o nível 
da água deverá baixar quando o gelo se fundir.
A densidade média de um ovo bom é maior do que a densidade da água; por esta 
razão um ovo fresco submerge até o fundo do recipiente que contém água. No nú­
cleo de um ovo podre formam-se gases; sendo assim, com a parte central cheia de 
gás, a densidade média do ovo podre torna-se menor do que a densidade da água, 
de modo que o ovo podre flutua na superfície da água.
A diferença crucial entre o oceano e a atmosfera é que a água é incompressível, ao 
passo que o ar atmosférico é compressível. De acordo com a equação (1.18), verifi­
camos que, quando um corpo homogêneo possui densidade maior do que a densi­
dade da água, o empuxo é sempre maior do que o peso, de modo que o corpo sub­
merge. Em camadas profundas, a densidade da água do mar é quase igual à densi­
dade da água na superfície (uma vez que os líquidos são incompressíveis); donde se 
conclui que o peso do corpo continua maior do que o empuxo e o corpo só fica em 
equilíbrio no fundo do mar. Entretanto, no caso de um balão, como a densidade 
do ar diminui à medida que o balão sobe, concluímos que, para uma certa altura, 
o empuxo se tornará igual ao peso. Então, o balão continuará a subir com velocida­
de constante. Porém, logo a seguir, como a densidade do ar continua diminuindo 
com a altura, o empuxo se tornará menor do que o peso e o balão começará a cair. 
Concluímos, portanto, que nenhum balão pode passar de uma certa altura máxima 
na atmosfera.
Quando o elevador desce com aceleração aplicando a Segunda Lei de Newton a 
um elemento cilíndrico de água cuja base possui área A, temos:
ma = mg - pA
RESPOSTAS DOS PROBLEMAS
41
onde p é a pressão na base do elemento cilíndrico dc área A. A massa m da coluna 
vale:
ma = mg - pK(g - a)
onde m è a massa do bloco, p é a densidade da água e kéo volume da parte submer­
sa do corpo. Daí, resulta:
m = pAh
Substituindo m na equação anterior, vem:
p = Ph(g — a)
ou seja, a pressão varia com a profundidade de acordo com a relação acima. Quan­
do o elevador sobe com aceleração, obtemos, analogamente, o seguinte resultado:
p = Ph(g + a)
1.19 (a) De acordo com a resposta da questão anterior, quando o elevador desce com ace­
leração a, verificamos que a pressão varia com a profundidade dc acordo com a re­
lação: p = ph(g - a). Aplicando a Segunda Lei de Newton ao bloco de madeira, 
temos:
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
1.30 (D)
1.31 (D)
1.32 (E)
1.33 (D)
1.34 (A)
1.35 (D)
1.36 (D)
1.37 (C)
1.38 (C)
1.39 (C)
1.20 (C)
1.21 (D)
1.22 (E)
1.23 (D)
1.24 (D)
1.25 (B)
1.26 (D)
1.27 (B)
1.28 (C)
1.29 (A)
V = m/P
Caso o elevador estivesse em repouso, também teríamos: V = m/p. Donde se con­
clui que o bloco de madeira não afunda nem emerge quando o elevador desce com 
aceleração a. Quando o elevador sobe com aceleração a, verificamos que a resposta 
do item (d) é igual à resposta do item (a), (c) Devemos usar o Princípio de Arquime- 
des na superfície da Lua. Embora o valor de g na superfície da Lua seja diferente 
do valor de g na superfície terrestre, este fator será cancelado, uma vez que, na su­
perfície do líquido, devido ao equilíbrio, temos: peso = empuxo. Logo, V = m/p. 
Donde se conclui que o bloco de madeira não afunda nem emerge.
1.40 p = 1400 N/m2.
1.41 p = 250 N/m2.
1.42 p = 12,5 g/cm2.
1.43 p = pgh
1.44 F = 25 N
1.45 m = 1,7 x 10"2 kg = 17 g
1.46 Densidade relativa = 0,2
2.7 g
42
1.47 p = 912 lorr
1.48 (a) 10,13 N/cm2 ; (b) 1,033 kgf/cm2
1.49 F = 103 kgf = 1013 N
1.50 p = 1,17 x 10J N/m2
1.51 P = 0,86g/cmJ
1.52 (d) DE = 36 cm; (d) p,\ = pc = 105 N/m2; po - p\\ = 1,016 x IO5 N/m2;
Pc = Po = 1,02 x 105 N/m2
1.53 H = \/a = 8,33 km
1.54 V’/V =■ d
1.55 hVh = d
1.56 (a) E= 117,6 N; (b)p = 0,94 kg/nr*
1.57 d= (F\d2 - F2d\)/(F\ - F2)
1.58 d = PP/(P - P')
1.59 d = 4 g/cmJ
1.60 d = 1,3 g/cmJ
1.61 H = lOm
1.62 H = 12,7 m
1.63 (a)p' = 6,7 x 10'N/m2; (d) p = 1,67 x IO5 N/m2
1.64 x = h/4
1.65 P = (Pi + P:)/2
1.66 d = 3,08 g/cmJ
1.67 P’ =3,9 cm
1.68 d = (di + t/i)/2
1.69 h = 130 m
1.70 (o) A densidade do corpo Cé menor do que a densidade do líquido; (b) E = 200 N
1.71 Massa do alumínio existente na jóia = 2,3 g; massa do ouro
1.72 (a) T = To(l + <?/g); (ô) T = To(l - a/g)
1.73 a = g
1.74 tga<a/(g2 + a2)1},/2, onde: tg a = 2(H - h)/L
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Capítulo 2
EFEITOS DA ENERGIA TÉRMICA
2. / Temperatura e calor
Para descrever fenômenos físicos é necessário considerar uma certa porção da ma­
téria denominada sistema. Todo sistema é delimitado pelas suas fronteiras. O ambiente 
ou vizinhança do sistema é a região do espaço que interage com o sistema através das 
suas fronteiras.
Para estudar as propriedades de um sistema devemos definir certas grandezas ma­
croscópicas que podem ser avaliadas mediante sensações fisiológicas diretas ou através 
de medidas mais sofisticadas. Por exemplo, quando tocamos numa garrafa retirada da 
geladeira ou quando tocamos numa panela exposta ao fogo, temos sensações nitida­
mente di ferentes. Dizemos que a garrafa está * fria' ’ e que a panela está “quente''. Usan­
do termos científicos, afirmamos que a temperatura da panela é maior do que a tempe­
ratura da garrafa. A temperatura de um sistema é uma grandeza macroscópica que in­
dica o grau de aquecimento do sistema.
Segurando dois objetos, podemos comparar os seus pesos e dizer qual deles é o 
mais pesado. Analogamente, tocando dois objetos, podemos dizer qual dos dois pos­
sui a temperatura mais elevada. Entretanto, nossas sensações não são suficientes para 
determinar, com precisão, nem o peso nem a temperatura de um corpo. Para medir a 
massa de um corpo é necessário usar uma balança. Analogamente, para determinar a 
temperatura de um corpo utilizamos um dispositivo denominado termômetro. Mais 
adiante mostraremos como funciona um termômetro.
Colocando-se um corpo quente em contato com um corpo frio, verificamos que 
depois de um certo tempo, denominado tempo de relaxamento do sistema, a tempera­
tura dos dois corpos se iguala. Quando os dois corpos passam a ter a mesma tempera­
tura, dizemos que eles atingiram o equilíbrio térmico. O corpo quente cedeu calor ou 
energia térmica para o corpo frio. Podemos então afirmar que a energia térmica (ou o 
calor) c uma quantidade de energia que se transmite de um corpo quente para um cor­
po frio. A transmissão de caloràe um sistema para outro ocorre sempre que existe uma 
diferença de temperatura entre os dois sistemas; no equilíbrio térmico não pode ocor­
rer nenhuma troca de calor.
Quando dois corpos estão em contato, o calor é transmitido do corpo quente pa­
ra o corpo frio mediante um mecanismo de condução, no qual a energia térmica atra­
vessa todas as partes dos corpos. Contudo, mesmo quando o corpo quente não está em
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contato direto com o corpo frio, o calor se propaga do corpo quente para o corpo frio 
mediante um mecanismo conhecido como radiação térmica. Você não precisa tocar num 
forno para saber se ele está quente; ao aproximar a mão do forno você poderá sentir 
o calor transmitido pela radiação térmica que emana do forno.
2.2 Principais efeitos da energia térmica
A fim de impedir a passagem de calor para o interior de um sistema é necessário 
que as fronteiras do sistema sejam revestidas por um material isolante térmico. Deno­
mina-se fronteira adiabática aquela que impede a troca de calor entre o sistema e o am­
biente. Como exemplos de isolantes térmicos podemos citar: a cortiça, a lã de vidro, 
a madeira, a matéria-plástica, o tijolo, etc. Algumas vezes uma fronteira adiabática pode 
ser constituída por duas paredes (uma de vidro c outra de metal) separadas por uma 
parede onde se faz o vácuo. O vácuo é um ótimo isolante térmico; o calor não podese 
propagar no vácuo devido à inexistência de matéria; no vácuo o calor só pode ser trans­
mitido por radiação (através de ondas eletromagnéticas). A função da parede metálica 
externa da parede adiabática mencionada é refletir a radiação térmica devolta para o 
interior do sistema. Este tipo de fronteira adiabática é usada na garrafa térmica con­
vencional e no chamado frasco Dewar (usado nos laboratórios). Denomina-se sistema 
isolado todo sistema delimitado por fronteiras adiabáticas.
Suponha que um sistema não possua fronteiras adiabáticas. Neste caso, o siste­
ma não se encontra isolado e a energia térmica pode penetrar ou sair do sistema. Dize­
mos que um sistema absorve co/orquando a energia térmica penetra no sistema. No ca­
so contrário, quando a energia térmica sai do sistema para o ambiente, dizemos que 
o sistema rejeita calor.
O principal efeito produzido pela absorção de calor é o aquecimento do sistema, 
com a conseqüente elevação da temperatura do sistema. Neste caso, a energia térmica 
absorvida pelo sistema denomina-se calor sensível. Entretanto, o aquecimento não é o 
único efeito produzido pela absorção de uma quantidade de calor. Considere, por exem­
plo, uma panela cheia de cubos de gelo; se fornecermos calor ao sistema, o gelo se con­
verterá em água; no entanto, enquanto existir pelo menos um cubo de gelo, a tempera­
tura do sistema permanecerá constante. Neste caso, dizemos que ocorreu uma mudan­
ça de fase ou transição de fase, ou seja, a fase sólida (ou estado sólido) se transformou 
nafase líquida da água. Mais adiante analisaremos a questão das transições de fase. Com 
base em dados experimentais, podemos afirmar que durante uma transição de fase a 
temperatura do sistema permanece constante. Sendo assim, o calor absorvido por um 
sistema que muda de fase não é utilizado para elevar a temperatura do sistema. Neste 
caso, dizemos que a energa térmica absorvida é um calor latente. O termo calor latente 
é utilizado, portanto, quando a energia térmica não é aproveitada para aquecer o siste­
ma. No exemplo citado, o calor latente foi usado para alterar a estrutura do gelo, con­
vertendo-o em água líquida.
As transições de fase e o aquecimento de um sistema não são os únicos efeitos pro­
duzidos pelo calor. Contudo, é conveniente dividir os efeitos produzidos pelo calor em 
dois grupos: absorção de calor com aumento de temperatura do sistema (ou rejeição 
de calor com diminuição de temperatura) e absorção de calor sem aumento de tempe­
ratura do sistema. No último caso, embora a temperatura do sistema permaneça cons-
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tante, o sistema sofre modificações internas provocadas pela energia térmica; como 
exemplos desta última situação podemos citar as transições de fase e certos tipos de rea­
ções químicas isotérmicas.
O efeito produzido pelo calor se traduz por modificações macroscópicas e micros­
cópicas do sistema. No caso do calor sensível, o efeito macroscópico produzido é o au­
mento da temperatura do sistema e o efeito microscópico produzido é o aumento da 
energia cinética média das moléculas do sistema. No caso do calor latente da transição 
de fase o efeito macroscópico é a alteração da fase da substância sem modificação da 
temperatura; o efeito microscópico é a mudança da organização espacial das molécu­
las da substância considerada. No caso de uma reação química isotérmica o efeito ma­
croscópico é o desaparecimento de algumas substâncias e o aparecimento de outras; o 
efeito microscópico é a alteração completa da estrutura molecular dos constituintes do 
sistema.
Os exemplos citados anteriormente não esgota os efeitos da energia térmica. O calor 
pode produzir trabalho mecânico (ver o Capítulo 4). Por sua vez, a energia mecânica 
pode ser transformada em energia elétrica, em energia luminosa, em energia térmica, 
etc. Podemos então dizer que o calor também pode produzir, direta ou indiretamente, 
efeitos mecânicos, efeitos luminosos, efeitos elétricos, efeitos magnéticos, etc.
2.3 Dilatação térmica
Quando o calor sensível é absorvido por um corpo, algumas propriedade do