dendrometria 2

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Comentado [JTS21]: = SOMA(F12:F21) 
 
 
 
 
 
 
1) Considerando o método de determinação do volume por meio da balança hidrostática demonstre 
que: 
vc = ms −mr 
 d 
Em que: vc = Volume do corpo de prova; ms = massa do recipiente com o corpo de prova; mr = 
massa do recipiente sem o corpo de prova; d = densidade do fluido. 
 
R: Quando o fluido utilizado não é a água. 
Por exemplo: Um recipiente contendo mercúrio foi colocado em uma balança e sua massa, após a medição, 
foi igual a 5464,88g (mr). Em seguida, procedeu-se a imersão do corpo-de-prova saturado no recipiente com 
mercúrio e o resultado registrado na balança foi de 7435,43 g (ms). Qual o volume do corpo-de-prova? d= 
13,59. 
 
 
vc = 
7435,43 − 5464,88 
 
 
13,59 
 
= 0,000145 m³ 
 
Quando o fluido utilizado é a água. 
Por exemplo: Um recipiente com água foi colocado em uma balança e sua massa, após a medição, foi 
igual a 200 g (mr = 200 g). Em seguida, foi procedida a imersão do corpo-de-prova saturado no 
recipiente com água, e o resultado registrado na balança foi de 345 g (ms = 345 g). Qual o volume do 
corpo de prova em questão? 
vc = 345 − 200 = 0,000145 m³ 
 
2) Com base nas informações de cubagem rigorosa de uma árvore mensurada em seções absolutas 
apresentadas nas tabelas a seguir, e considerando a altura total da árvore igual a 13,0 m, calcule o 
volume total com casca pelos métodos de cubagem de Smalian (Tabela 1), Huber (Tabela 2) e Newton 
(Tabela 3). Considere o toco com 10 cm de altura. 
 
 
 
 Comentado [JTS6]: =((D15^2)*PI())/40000 
Comentado [JTS7]: = ((D16^2)*PI())/40000 
 
Tabela 1 - Dados para cálculo do volume total pelo método de Smalian. 
 
Seção 
Toco 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
Ponta 
 
vc/c (m³) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Comentado [JTS10]: =((E16+E17)/2)*(C17-C16) 
Comentado [JTS11]: = ((D17^2)*PI())/40000 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Total 
Comentado [JTS19]: = ((D21^2)*PI())/40000 
Comentado [JTS18]: = ((E20+E21)/2)*(C21-C20) 
Comentado [JTS17]: =((D20^2)*PI())/40000 
Comentado [JTS16]: = ((E19+E20)/2)*(C20-C19) 
Comentado [JTS15]: = ((D19^2)*PI())/40000 
Comentado [JTS14]: =((E18+E19)/2)*(C19-C18) 
Comentado [JTS13]: == ((D18^2)*PI())/40000 
Comentado [JTS12]: = ((E17+E18)/2)*(C18-C17) 
Comentado [JTS9]: = ((D16^2)*PI())/40000 
000321 0, 
002926 0, 
008185 0, 
016073 0, 
023537 0, 
032554 0, 
014179 0, 
020726 0, 
013094 0, 
003530 0, 
Comentado [JTS5]: =((E14+E15)/2)*(C15-C14) 
Comentado [JTS4]: = ((D14^2)*PI())/40000 
3,5 12,00 
5,0 10,00 
8,9 8,00 
11,2 6,00 
13,2 4,00 
15,5 2,00 
16,6 1,30 
19,6 0,50 
21,2 0,10 
g(m2) dc/c (cm) hi (m) 
Comentado [JTS20]: = ((E21)/3) 135124 0, 
000962 0, 
001963 0, 
006221 0, 
009852 0, 
013685 0, 
018869 0, 
021642 0, 
030172 0, 
035299 0, 
Comentado [JTS8]: = ((E15+E16)/2)*(C16-C15) 
Comentado [JTS3]: =((E13+E14)/2)*(C14-C13) 
Comentado [JTS2]: = ((D13^2)*PI())/40000 
Comentado [JTS1]: =C13*E13 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela 2 - Dados para cálculo do volume total pelo método de Huber. 
Seção hi (m) dc/c (cm) g(m2) vc/c (m³) 
Toco 0,003530 
1 0,30 20,6 0,013332 
2 0,90 17,5 0,019242 
3 1,65 16,1 0,014251 
4 3,00 14,8 0,034407 
5 5,00 12,0 0,022619 
6 7,00 10,1 0,016024 
7 9,00 7,5 0,008836 
8 11,00 4,0 0,002513 
Ponta 0,000321 
Total 0,135074 
 
Tabela 3 - Dados para cálculo do volume total pelo método de Newton. 
Torete hi (m) dc/c (cm) g(m2) vc/c (m³) 
Toco 
 
0, 003530 
 
 
 
1 0,10 21,2 0, 035299 
 
0, 013252 
 0,30 20,6 0, 033329 
 
 
 
2 0,50 19,6 0, 030172 0, 019737 
 0,90 17,5 0, 
 
024053 
 
 
 
3 1,30 16,6 0, 021642 
 
0, 014227 
 1,65 16,1 0, 020358 
 
 
 
4 2,00 15,5 0, 018869 0, 033789 
 3,00 14,8 0, 
 
017203 
 
 
 
5 4,00 13,2 0, 013685 0, 022925 
 5,00 12,0 0, 01131 
 
 
 
6 6,00 11,2 0, 009852 0, 016040 
 7,00 10,1 0, 008012 
 
 
 
7 8,00 8,9 0, 006221 
 
0, 008619 
 9,00 7,5 0, 004418 
 
 
 
8 10,00 5,0 0, 001963 0, 002651 
 11,00 4,0 0, 
 
001257 
 
 
 
9 12,00 3,5 0, 000962 0, 000321 
Ponta 
 
 
Total 0, 135091 
 
 
3) Considerando o valor obtido pela cubagem rigorosa com o método de Smalian como o volume real 
da árvore apresentada no exemplo anterior, calcule o fator de forma artificial e o natural. Espera-se 
que os fatores de forma natural e artificial sejam iguais. Se a árvore for maior que 13 m, o que 
aconteceria? 
0,135124 π16, 62 
f1,3 = 
0,281352 
= 0,480266 | vcil = 
40000 
∗ 13 = 0,281352 m² 
Quando a árvore tem 13 metros de altura, estes dois fatores são iguais, uma vez que 10% da altura 
corresponde a altura do DAP. Para árvores com mais de 13 metros de altura, o fator de forma artificial é 
menor que o fator de forma natural, sendo o contrário verdadeiro. 
 
4) Elabore a fórmula para o cálculo de volume de uma árvore pelo método de Hohenadl 
considerando que árvore tenha sido dividida em 8 toretes de tamanhos relativos. Na sequência, 
considere os dados apresentados abaixo como as medidas de diâmetro tomadas no centro de cada 
torete e calcule o volume total da árvore, completando a tabela. Considere uma árvore com altura 
igual a 20 metros. Comentado [JTS49]: = SOMA(F47:F64) 
Comentado [JTS48]: = ((E64)/3) 
Comentado [JTS45]: = ((E62+(4*E63)+E64)/6)*(C64- 
C62) 
Comentado [JTS44]: = ((D62^2)*PI())/40000 
Comentado [JTS43]: = ((D61^2)*PI())/40000 
Comentado [JTS42]: = ((E60+(4*E61)+E62)/6)*(C62- 
C60) 
Comentado [JTS41]: = ((D60^2)*PI())/40000 
Comentado [JTS40]: = ((D59^2)*PI())/40000 
Comentado [JTS39]: = ((E58+(4*E59)+E60)/6)*(C60- 
C58) 
Comentado [JTS38]: = ((D58^2)*PI())/40000 
Comentado [JTS37]: = ((D57^2)*PI())/40000 
Comentado [JTS36]: = ((E56+(E57*4)+E58)/6)*(C56- 
C54) 
Comentado [JTS35]: = ((D56^2)*PI())/40000 
Comentado [JTS34]: = ((D55^2)*PI())/40000 
Comentado [JTS33]: = ((E54+(4*E55)+E56)/6)*(C56- 
C54) 
Comentado [JTS32]: = ((D54^2)*PI())/40000 
Comentado [JTS31]: = ((D53^2)*PI())/40000 
Comentado [JTS30]: = ((E52+(4*E53)+E54)/6)*(C54- 
C52) 
Comentado [JTS29]: = ((D52^2)*PI())/40000 
Comentado [JTS28]: = ((D51^2)*PI())/40000 
Comentado [JTS25]: = ((D49^2)*PI())/40000 
Comentado [JTS24]: = ((E48+(4*E49)+E50)/6)*(C50- 
C48) 
Comentado [JTS23]: = ((D48^2)*PI())/40000 
Comentado [JTS22]: = C48*E48 
 Comentado [JTS26]: = ((D50^2)*PI())/40000 
Comentado [JTS27]: = ((E50+(4*E51)+E52)/6)*(C52- 
C50) 
 Comentado [JTS46]: = ((D63^2)*PI())/40000 
Comentado [JTS47]: = ((D64^2)*PI())/40000 
 
 
 
 
 
 
 
 
π 2 π 2 π 2 π 2 
vt = 0,125H 
4 
d 0,065 + 0,125H 
4 
d 0,1875 + 0,125H 
4 
d 0,3125 + 0,125H 
4 
d 0,4375 π 2 π 2 π 2 π 2 
+ 0,125H 
4 
d 0,5625 + 0,125H 
4 
d 0,6875 + 0,125H 
4 
d 0,8125 + 0,125H 
4 
d 0,9375 
𝑣𝑡 = 0,125𝐻(g0,065 + g0,1875 + g0,3125 + g0,4375 + g0,5625 + g0,6875 + g0,8125 + g0,9375) 
 
𝑣𝑡 = 0,125 ∗ 20 ∗ (0,090305) = 0,0225763 m³ 
 
Tabela 4 - Dados para cálculo de cálculo de volume pela fórmula de Hohenald. 
% h h (cm) dc/c (cm) gc/c (m²) vc/c (m³) 
6,25 1,25 19,6 0,030172 
18,75 3,75 16,5 0,021382 
31,25 6,25 13,2 0,013685 
43,75 8,75 11,3 0,010029 
56,25 11,25 9,4 0,006940 
68,75 13,75 7,4 0,004301 
81,25 16,25 5,3 0,002206 
93,75 18,75 4,5 0,001590 
 SOMA 0,090305 
 
5) Uma árvore com 18 m de altura foi cubada pelo método da FAO, sendo medidos três diâmetros 
(cm) nas alturas referentes a 1/6, 1/2 e 5/6 do primeiro torete. A partir do segundo torete, os 
diâmetros (cm) foram medidos na metade de cada torete. Com base nos diâmetros obtidos e 
disponibilizados abaixo, calcular o volume total pelo método da FAO. 
 
d0,6 = 25,8 ; d1,8 = 24,2 ; d3,0 = 20,2 ; d5,4 = 18,3 ; d9,0 = 15,4 ; d12,6 = 10,8 ; d16,2 = 5,3 
 
vt = 0,366665 m³ 
 
6) Considerando os dados de cubagem rigorosa de 15 árvores de um povoamento equiâneo (Tabela 
5), estime os coeficientes de regressão para o seguinte modelo: v = β0 + β1DAP + ε. Verifique se o 
modelo é adequadopara os dados apresentados por meio da análise de variância (5% de 
probabilidade) e calcule e interprete as medidas de precisão da equação ajustada. 
 
Tabela 5 – Dados de cubagem rigorosa para 15 árvores de Eucalipto. 
 
Árvore DAP (cm) h (m) vc/c (m3) 
1 11,8 21,7 0,1095 
2 12,3 23,1 0,1372 
3 12,1 23,2 0,1352 
4 11,2 20,2 0,0951 
5 10,0 18,0 0,0615 
6 13,3 24,0 0,1636 
7 12,8 22,9 0,1412 
8 13,7 24,2 0,1778 
9 13,0 23,6 0,1401 
10 13,4 23,7 0,1609 
11 16,5 25,8 0,2451 
12 17,4 27,0 0,2966 
13 17,2 26,7 0,2862 
14 17,2 27,1 0,3058 
15 17,3 26,9 0,2993 
0 1 
 
 
 
 
 
 
 
Obtenção dos parâmetros 
 
β̂ = −0,2670 | β̂ = 0,03231 | v̂ = −0,2670 + 0,03231(DAP) 
0 1 
 
Análise de Variância 
FV GL SQ QM 
Regressão 1 0,0916 0,0916 
Resíduo 13 0,0012 9,60606E-05 
Total 14 0,0928 
Fcalc = 953,04 
Ftab (5%; 1; 13 g) = 4,67 
Conclusão: Fcalc > Ftab, rejeita-se H0. O modelo é adequado. Com 5% de probabilidade, as variações 
ocorridas podem ser explicadas pela variável combinada DAP. 
 
Medidas de precisão da equação ajustada 
- Coeficiente de Determinação (R²): R² (%) = 98,70. 
- Erro Padrão da Estimativa (𝑆yX): 𝑆yX = ±0,098 m³ 
- Erro Padrão Relativo (𝑆yX (%)): 𝑆yX (%) = ±5,34 
 
7) Considerando os mesmos dados da Tabela 5, estime os coeficientes de regressão para o seguinte 
modelo: v = β0 + β1DAP + β2H + ε. Verifique se o modelo é adequado para os dados apresentados 
por meio da análise de variância (5% de probabilidade) e calcule as medidas de precisão da 
equação ajustada. 
 
β̂ = −0,275347 | β̂ = 0,031086 | ̂ꞵ2 = 0,0010108 
v̂ = −0,275347 + 0,031086DAP + 0,0010108Ht 
 
Análise de Variância 
FV GL SQ QM 
Regressão 2 0,0872269 0,04361345 
Resíduo 12 0,0055361 0,00046134 
Total 14 0,0922763 - 
Fcalc = 94,536 
Ftab (5%; 2; 12) = 6,93 
Conclusão: Fcalc > Ftab, rejeita-se H0. O modelo é adequado. 
 
8) Agora, considere o modelo de Schumacher e Hall já ajustado: 
 
ln (v) = −10,2075 +1,8457 ln (DAP) +1,1195 ln(H) 
 
e os dados utilizados para o ajuste. 
n = 34 
Y = - 58,4515 
Y² = 154,7138 
X1Y = -140,2715 
 X2Y = -163,7483 
Com base nos dados apresentados, efetue a análise de variância da regressão para a equação de 
volume de Schumacher e Hall, concluindo pelo teste F em nível de 5 % de probabilidade e obtenha 
as medidas de precisão da equação ajustada (R2, o Sy.x e o Sy.x(%)). Interprete os valores encontrados. 
 
 
 
 
 
 
 
β̂ = −0,52032 | β̂ = 0,029489 | v̂ = −0,52032 + 0,029489Ht 
0 1 
 
Análise de Variância 
FV GL SQ QM 
Regressão 1 0,083472 0,083472 
Resíduo 13 0,0092905 0,00071465 
Total 14 0,092763 - 
Fcalc = 116,80 
Ftab (5%; 1; 13) = 4,67 
Conclusão: Fcalc > Ftab, rejeita-se H0. O modelo é adequado. Com 5% de probabilidade, as variações 
ocorridas podem ser explicadas pela variável combinada Ht. 
 
9) Um Engenheiro Florestal ajustou dois modelos de regressão diferentes para um conjunto de 
dados. Com base nas equações ajustadas da Tabela 6, com seus respectivos R2 (%) e Syx (%), 
escolha qual delas ajustou-se melhor aos dados. Estime os volumes totais com base no DAP e H das 
árvores da tabela 7. 
 
A melhor é a equação que possui menor erro. 
ln(v) = −11,7452 + 1,538438 ln(DAP) + 1,86977 ln(H) 
 
Tabela 6 – Modelos de regressão ajustados. 
Modelos R2 (%) Syx (%) 
v = 0,02168 + 0,0000285(DAP2H) 99,47 11,57 
ln(v) = −11,7452 + 1,538438 ln(DAP) + 1,86977 ln(H) 99,64 10,83 
 
Tabela 7 – Dados para estimativa de volume. 
Árvore H(m) DAP(cm) vc/c (m3) 
1 10,0 6,02 0,009295 
2 10,1 5,19 0,007537 
3 27,8 30,46 0,761698 
4 28,2 31,29 0,815353 
5 17,4 9,84 0,055761 
6 16,6 9,71 0,050029 
7 24,5 13,31 0,168277 
8 17,9 12,41 0,084018 
9 28,4 21,36 0,459203 
10 28,9 22,12 0,500652 
 
10) De acordo com as afirmativas abaixo identifique as Verdadeiras (V) e Falsas (F). 
 
(F) Na tabela de volume regional o volume é em função apenas de uma variável independente. 
(V) O erro padrão relativo, diferente do erro padrão da estimativa, indica o erro médio relativo da variável 
associado ao uso da equação. 
(F) O fator de forma artificial é maior que o fator de forma de Hohenadl para árvores maiores que 13 metros 
de altura. 
(V) Na regressão linear simples, pode existir apenas uma variável independente. 
(F) No modelo de regressão linear, os parâmetros são somados, subtraídos, multiplicados e divididos. 
(V) São métodos diretos de medição de volume os métodos da balança hidrostática e do xilômetro. 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÕES DE CONCURSO PÚBLICO 
 
11) [PREFEITURA MUNICIPAL DE MASSARANDUBA, SC (2014)]. Tendo em vista que a forma 
das árvores não é perfeitamente regular, o método de cubagem, implica na divisão do fuste das árvores 
em n seções. Sobre os métodos de cubagem, analisar os itens abaixo: 
I - No método de cubagem de Huber, os diâmetros ou as circunferências são medidos nas extremidades de 
cada seção. 
II - No método de cubagem por Smalian, o diâmetro ou a circunferência é medido na metade da seção. 
III - No método de cubagem por Newton, os diâmetros ou as circunferências são medidos em três posições 
ao longo de cada seção. 
 
Está(ão) CORRETO(S): 
a) Somente o item I 
b) Somente o item II 
c) Somente o item III 
d) Somente os itens I e II 
 
12) [PREFEITURA MUNICIPAL DE JAGUARIAÍVA, PR (2014)]. Tendo em vista que a forma das 
árvores não é perfeitamente regular, o método de cubagem implica na divisão do fuste das árvores em “n” 
seções (toras). Isto leva à medição de diâmetros sucessivos ao longo do tronco e emprego de fórmulas para 
obtenção dos volumes nas várias seções estabelecidas previamente. Diante disso, qual o volume da seção 
(tora) da figura a seguir, determinado pelo Método de Cubagem de Smalian? 
Onde d1 = 0,56m; dm = 0,51m; d2 = 0,48m; h = 3m. 
a) 0,612 m3. 
b) 0,315 m3. 
c) 0,639 m3. 
d) 1,56 m3. 
 
13) [PREFEITURA MUNICIPAL DE SANTA ROSA, RS (2013)]. Na biometria florestal temos 
fórmulas para determinação rigorosa de volumes, sendo conhecidas as fórmulas de Smalian, Huber e 
Newton. Um carregamento de toras de Pinheiro foi executado sendo tomadas as medidas dos troncos para 
cômputo do volume total do material. Foram registradas 10 toras, sendo metade com comprimento de 6,0 
metros e a outra metade de 7,0 metros. Os diâmetros dos troncos no meio da seção de 6,0 metros foram 
anotados: 50 cm, 60 cm, 55 cm, 65 cm e 70 cm. Nas toras de 7,0 metros foram tomadas as circunferências 
de cada tronco também na posição central da seção, sendo: 2,20 m; 2,10 m; 2,30 m; 2,15 m e 1,90 m. A 
cubagem total das 10 toras resultou no volume total: 
 
a) 25,30 m³ 
b) 20,90 m³ 
c) 21,28 m³ 
d) 13,55 m³ 
e) 18,50 m³ 
 
14) [FUNDAÇÃO DO MEIO AMBIENTE/FATMA, SC (2011)]. O volume de árvores tem sido 
estimado com certa facilidade e acurácia, empregando-se equações de volume, ajustadas quase sempre a 
partir de medições do diâmetro à altura do peito e da altura total. A variável volume constitui uma das 
informações mais importantes para a estimativa do potencial florestal de uma região, sendo que o volume individual 
fornece um ponto de partida para a avaliação do conteúdo lenhoso dos povoamentos florestais. Com relação aos 
 
 
 
 
 
 
 
métodos desenvolvidos para a determinação de volumes individuais das árvores, é correto afirmar: 
 
a) Uma função de afilamento é uma descrição matemática do perfil longitudinal de um tronco e seu volume 
pode ser obtido pela integração dessa função, podendo determinar o volume de madeira entre quaisquer 
pontos ao longo do tronco, embora essa função seja bastante rígida porque não permite a estimativa do 
diâmetro a uma altura qualquer do fuste. 
b) A presença ou não de cascas e o tipo de manejo diferencia a medição do volume da árvore de acordo 
com o método de estimativa ou medida utilizado. 
c) O método de cubagem através do xilômetro é o único que não fornece o valor do volume 
verdadeiro dasárvores, sendo este estimado pela função de afilamento. 
d) A presençaou não de cascas não diferencia a medição do volume da árvore de acordo com o método de 
estimativa ou medida utilizado, mas o tipo de manejo diferencia. 
e) O método do fator de forma, que é uma razão entre volumes, é usado para corrigir o volume do cilindro 
para o volume da árvore, sendo influenciado pela espécie, sítio, espaçamento, desbaste e idade. 
 
15) [SECRETARIA DO MEIO AMBIENTE E RECURSOS HÍDRICOS, GO (2011)]. Cubagem 
Rigorosa é a obtenção de diâmetros a várias alturas, tendo o objetivo de estimar o volume de uma 
determinada árvore. Sobre o tema, assinale a alternativa INCORRETA. 
 
a) Existem métodos de cubagem absolutos (Smalian, Huber e Newton), métodos de cubagem relativos 
(Hohenald e da FAO), sendo a diferença que no método de cubagem relativo cada seção ou tora 
representa um percentual da altura da árvore e os absolutos são seções ou toras de acordo com um 
determinado comprimento. 
b) O volume da seção por Smalian é obtido pelo produto da média aritmética das áreas seccionais dos 
extremos da seção, pelo seu comprimento. 
c) As árvores devem ser cubadas com rigor e devem representar, fielmente, o povoamento florestal. Sendo 
que quando se realiza inventários contínuos numa área, devem ser abatidas árvores dentro da parcela do 
inventário, garantindo assim uma melhor representação do povoamento. 
d) Para definir quantas árvores devem compor a cubagem rigorosa, é necessário ter ideia da estrutura 
diamétrica da população considerada, podendo ser realizada por idade ou grupos de idades ou por estrato, 
sendo o critério do Engenheiro Florestal. Em todos os casos deve-se realizar o controle por classes 
diamétricas para cada espécie. 
e) Existem inúmeras maneiras de se identificar as árvores a serem cubadas rigorosamente no 
campo. O fundamental é que a escolha não seja tendenciosa e que estas representem, de fato, as 
demais árvores dopovoamento. 
 
16) [SECRETARIA DO MEIO AMBIENTE E RECURSOS HÍDRICOS, GO (2011)]. O fator de 
forma é utilizado para corrigir o volume do cilindro em relação ao volume da árvore. Através dos dados 
apresentados abaixo, calcule o fator de forma: 
DAP= 20 cm 
Volume real = 0,288 
Altura total = 20m 
 
a) 0,43 
b) 0,45 
c) 0,48 
d) 0,55 
e) 0,64 
 
17) [COMPANHIA ESTADUAL DE DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA, RS (2010)]. Um 
pesquisador desenvolveu tabelas de volume para Araucaria angustifolia. Nestas tabelas, uma árvore com 
DAP = 24,0 cm e altura total = 26,0 m apresenta um volume de 0,479 m³. Qual o fator de forma artificial 
desta árvore? 
 
 
 
 
 
 
 
a) entre 0,38 e 0,40. 
b) entre 0,40 e 0,42. 
c) entre 0,42 e 0,44. 
d) entre 0,44 e 0,46. 
e) entre 0,46 e 0,48.