2018_Simulação Numérica do Escoamento Turbulento em Canal T

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Rio de Janeiro 
2018 
 
MINISTÉRIO DA DEFESA 
EXÉRCITO BRASILEIRO 
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA 
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA 
CURSO DE MESTRADO EM ENGENHARIA MECÂNICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GUILHERME CUNHA CALAZANS FIUZA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SIMULAÇÃO NUMÉRICA DO ESCOAMENTO TURBULENTO 
EM CANAL T 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rio de Janeiro 
2018 
 
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA 
 
 
 
 
GUILHERME CUNHA CALAZANS FIUZA 
 
 
 
 
 
 
 
 
SIMULAÇÃO NUMÉRICA DO ESCOAMENTO TURBULENTO EM 
CANAL T 
 
 
 
 
Dissertação de Mestrado apresentada ao Curso de 
Mestrado em Engenharia Mecânica do Instituto Militar 
de Engenharia, como requisito parcial para a obtenção 
do título de Mestre em Ciências em Engenharia 
Mecânica. 
 
Orientador: Prof. André Luiz Tenório Rezende – D.C. 
2 
c2019 
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA 
Praça General Tibúrcio, 80 – Praia Vermelha 
Rio de Janeiro – RJ CEP: 22290-270 
 
 
Este exemplar é de propriedade do Instituto Militar de Engenharia, que poderá incluí-lo em base 
de dados, armazenar em computador, microfilmar ou adotar qualquer forma de arquivamento. 
 
É permitida a menção, reprodução parcial ou integral e a transmissão entre bibliotecas deste 
trabalho, sem modificação de seu texto, em qualquer meio que esteja ou venha a ser fixado, 
para pesquisa acadêmica, comentários e citações, desde que sem finalidade comercial e que seja 
feita a referência bibliográfica completa. 
 
Os conceitos expressos neste trabalho são de responsabilidade do(s) autor(es) e do(s) 
orientador(es). 
 
 
 
620 
 
Fiuza, Guilherme Cunha Calazans 
F565s Simulação numérica do escoamento turbulento em canal T / Guilherme 
Cunha Calazans Fiuza; orientado por André Luiz Tenório Rezende – Rio 
de Janeiro: Instituto Militar de Engenharia, 2019. 
 
 175p.: il. 
 
 Dissertação (Mestrado) – Instituto Militar de Engenharia, Rio de 
Janeiro, 2019. 
 
 
1. Curso de Engenharia Mecânica – teses e dissertações. 2. 
Fluidodinâmica. 3. Escoamento. I. Rezende, André Luiz Tenório. II. 
Instituto Militar de Engenharia. III. Título. 
 
 
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Dedico esse trabalho a minha família, por todo apoio 
e amor dedicados a mim desde sempre. 
 
 
5 
AGRADECIMENTOS 
 
 
 
Agradeço a todas as pessoas que me incentivaram, apoiaram e possibilitaram a realização 
desta dissertação de mestrado. 
Meus pais, Ary e Cristina, minha irmã Beatriz, meus avós Joaquim e Maria do Carmo e 
minha namorada Cynthia. 
Em especial ao meu Professor Orientador Dr. André Luiz Tenório Rezende, por sua atenção 
e disponibilidade para comigo.
6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“A mente que se abre a uma nova ideia jamais 
voltará ao seu tamanho original.” 
Albert Einstein
7 
SUMÁRIO 
 
LISTA DE ILUSTRAÇÕES .................................................................................................. 10 
LISTA DE TABELAS ........................................................................................................... 13 
LISTA DE ABREVIATURAS E SÍMBOLOS ...................................................................... 14 
LISTA DE SIGLAS ............................................................................................................... 18 
 
1. INTRODUÇÃO .................................................................................................... 1 
1.1. Objetivo e Escopo do Trabalho .............................................................................. 6 
1.2. Organização do Trabalho ....................................................................................... 7 
 
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA .......................................................................... 10 
2.1. Análises Experimentais ........................................................................................ 10 
2.2. Análises Numéricas .............................................................................................. 14 
2.3. Artigos Comparativos........................................................................................... 16 
 
3. MODELAGEM DE TURBULÊNCIA ............................................................. 24 
3.1. Equações de Governo ........................................................................................... 24 
3.2.1 Modelagem RANS ................................................................................................ 25 
3.3 Hipótese de Boussinesq ........................................................................................ 27 
3.4 Modelo k-ε Padrão ................................................................................................ 29 
3.5 Modelo k-ω Padrão............................................................................................... 33 
3.6 Modelo SST k-ω ................................................................................................... 34 
3.7 Modelo Transition SST ......................................................................................... 37 
3.7.1 Equação de Transporte de Intermitência .............................................................. 37 
3.7.2 Equação de Transporte para o número de Reynolds de espessura de momento de 
transição................................................................................................................ 39 
3.7.3 Transição de Separação Induzida ......................................................................... 41 
3.7.4 Acoplamento com o modelo de Turbulência SST k-ω ......................................... 42 
3.8 Modelo RSM ......................................................................................................... 44 
3.8.1 Equações de Navier-Stokes .................................................................................. 44 
3.8.2 Modelagem do Termo Dij ..................................................................................... 46 
3.8.3 Modelagem do Termo 𝜀𝑖𝑗 ..................................................................................... 46 
8 
3.8.4 Modelagem do Termo Φij .................................................................................... 47 
3.8.5 Equação de Transporte de Reynolds ..................................................................... 50 
3.9 Tratamento da Região Próxima à Parede ............................................................. 50 
 
4 MÉTODO NUMÉRICO .................................................................................... 56 
4.1 Método dos Volumes Finitos ............................................................................... 56 
4.2 Discretização e Solução da Equação Geral de Transporte ................................... 59 
4.2.1 Discretização Espacial .......................................................................................... 60 
4.2.1.1 Esquema UPWIND de primeira ordem ................................................................ 61 
4.2.1.2 Esquema UPWIND de segunda ordem ................................................................. 62 
4.2.1.3 Esquema de Diferenças Centrais .......................................................................... 63 
4.2.1.4 Esquema QUICK .................................................................................................. 64 
4.3 Discretização das Equações de Navier-Stokes ..................................................... 65 
4.3.1 Acoplamento Velocidade-Pressão ........................................................................ 66 
4.4 Método Multigrid ................................................................................................. 68 
4.5 Critério de Convergência ...................................................................................... 69 
 
5 RESULTADOS ...................................................................................................70 
5.1 Domínio Computacional, Condições de Contorno e Malha................................. 71 
5.2 Análise de Convergência de Malha ...................................................................... 74 
5.3 Razão do Fluxo de Quantidade de Movimento 𝑀𝑅 = 2 ...................................... 76 
5.3.1 Contorno de Velocidade Média ............................................................................ 76 
5.3.2 Linhas de Corrente do Escoamento ...................................................................... 79 
5.3.3 Comprimento de Recolamento ............................................................................. 82 
5.3.4 Distribuição de Vetores de Velocidade Média ..................................................... 84 
5.3.5 Perfis de Velocidade Média ................................................................................. 87 
5.3.6 Contorno de Coeficiente de Pressão ..................................................................... 90 
5.3.7 Bolha de Recirculação .......................................................................................... 93 
5.3.8 Região próxima a parede ...................................................................................... 96 
5.3.9 Grandezas de Segunda Ordem ........................................................................... 101 
5.4 Razão do Fluxo de Quantidade de Movimento 𝑀𝑅 = 0,5................................. 111 
5.4.1 Contorno de Velocidade Média .......................................................................... 112 
5.4.2 Linhas de Corrente do Escoamento .................................................................... 114 
9 
5.4.3 Comprimento de Recolamento ........................................................................... 117 
5.4.4 Perfis de Velocidade Média ............................................................................... 120 
5.4.5 Bolha de Recirculação ........................................................................................ 123 
5.4.6 Contorno de Coeficiente de Pressão ................................................................... 125 
5.4.7 Região Próxima a Parede ................................................................................... 128 
5.4.8 Grandezas de Segunda Ordem ........................................................................... 133 
 
6 CONCLUSÃO .................................................................................................. 144 
 
7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................... 148 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
LISTA DE ILUSTRAÇÕES 
 
 
 
FIG. 1.1 Sistema de Escoamento de fluido em canal com escoamento cruzado. ................ 1 
FIG. 1.2 Descrição Física do fenômeno............................................................................... 2 
FIG. 1.3 Detalhe de bolha de recirculação presente no escoamento cruzado em canal T. .. 3 
FIG. 1.4 Gradiente de pressão adverso (ANDERSON, 1991). ............................................ 4 
FIG. 1.5 Descrição do efeito Venturi (ANDERSON, 1991). .............................................. 5 
FIG. 2.1.1 Escoamento em canal com junção T utilizando R.V = 1,2 (BARTMANN ET AL, 
1992). .................................................................................................................. 11 
FIG. 2.1.2 Esboço de diferentes regiões de vorticidade concentrada no escoamento em canal 
com junção T (BARTMANN ET AL, 1992). ..................................................... 11 
FIG. 2.1.3 Esquema da experiência realizada por Bartmann. (BARTMANN ET AL, 1992)
 ............................................................................................................................. 12 
FIG. 2.1.4 Classificação do escoamento e suas variações(KAMIDE ET AL, 2009). .......... 13 
FIG. 2.2.1 Distribuição de contornos de velocidade média ao longo do canal (a-1/a-2) e na 
seção transversal do canal (c-1/c-2) (FUKUSHIMA ET AL, 2003). ................. 14 
FIG. 2.2.2 Contorno de produção de energia cinética turbulenta (MUPPIDI E MAHESH, 
2007). .................................................................................................................. 15 
FIG. 2.3.1 Geometria do caso experimental de HIROTA ET AL (2006) e HIROTA ET AL 
(2010). ................................................................................................................. 17 
FIG. 2.3.2 Vetores de velocidade média para diferentes RV (HIROTA ET AL, 2006). ...... 18 
FIG. 2.3.3 Vetores de velocidade média para RV = 1 presentes no trabalho de HIROTA ET 
AL (2010). ........................................................................................................... 19 
FIG. 2.3.4 Ilustração da malha computacional utilizada no trabalho de GEORGIOU E 
PAPALEXANDRIS (2017). ............................................................................... 20 
FIG. 3.1 Perfil da Camada Limite (WILCOX, 1988). ....................................................... 50 
FIG. 4.1 Aplicação da equação da continuidade em uma célula qualquer do domínio 
bidimensional (PIAIA, 2009). ............................................................................. 57 
FIG. 4.2 Volumes de controle bidimensionais e nomenclaturas utilizadas para descrever os 
esquemas UPWIND............................................................................................. 61 
FIG. 4.3 Volume de controle unidimensional. ................................................................... 64 
FIG. 4.4 Sequência de refino de malhas. ........................................................................... 69 
11 
FIG. 5.1 Geometria utilizada no trabalho de GEORGIOU E PAPALEXANDRIS (2017).
 .............................................................................................................................72 
FIG. 5.2 Condições de contorno para todos os casos construídos no presente trabalho. ... 72 
FIG. 5.3 Ilustração da malha utilizada para o presente trabalho. ....................................... 73 
FIG. 5.4 Análise de Convergência de Malha ..................................................................... 74 
FIG. 5.5 Análise de Convergência de Iterações ................................................................. 75 
FIG. 5.6 Contornos de velocidade média para MR = 2. ................................................... 78 
FIG. 5.7 Linhas de Corrente para MR = 2. ....................................................................... 81 
FIG. 5.8 Detalhe de Linhas de corrente no primeiro vértice MR = 2. .............................. 81 
FIG. 5.9 Distribuição de tensão de cisalhamento na parede inferior do canal principal para 
MR = 2. .............................................................................................................. 82 
FIG. 5.10 Distribuição de vetor de velocidade média e linhas de corrente ao longo do 
escoamento para MR = 2. ................................................................................... 87 
FIG. 5.11 Perfis da componente de Velocidade na direção x para cada ponto do canal 
principal para MR = 2. ....................................................................................... 88 
FIG. 5.12 Detalhe de Perfil de velocidade no interior da bolha de recirculação em x =1,61 m 
para MR = 2. ....................................................................................................... 89 
FIG. 5.13 Contorno de coeficiente de pressão ao longo do escoamento para todos os modelos 
de turbulência utilizados para MR = 2. .............................................................. 92 
FIG. 5.14 Detalhe de linhas de corrente na região da bolha de recirculação secundária para 
MR = 2 (GEORGIOU E PAPALEXANDRIS, 2017)........................................ 93 
FIG. 5.15 Detalhe das linhas de corrente na região da bolha de recirculação para MR = 2.
 ............................................................................................................................. 95 
FIG. 5.16 Perfis de u+ em função de y+ para três regiões do escoamento na parede inferior 
para MR = 2. ....................................................................................................... 98 
FIG. 5.17 Perfis de u+ em função de y+ para três regiões do escoamento na parede superior 
para MR = 2. ..................................................................................................... 100 
FIG. 5.18 Gráfico de perfis de tensão de Reynolds u'u' para diferentes pontos do canal para 
MR = 2. ............................................................................................................ 102 
FIG. 5.19 Perfil detalhado de tensão de Reynolds u'u' para a região de entrada do 
escoamento jato no canal, x=-0,5 m para MR = 2. ........................................... 103 
FIG. 5.20 Gráfico de perfil de tensão de Reynolds v'v' para a região de entrada do 
escoamento jato no canal, x=-0,5 para MR = 2. ............................................... 105 
12 
FIG. 5.21 Perfil de energia cinética turbulenta ao longo do canal para MR = 2............... 107 
FIG. 5.22 Perfil detalhado de energia cinética turbulenta no ponto x=-0,5 m para MR = 2.
 ........................................................................................................................... 108 
FIG. 5.23 Perfil de produção de k ao longo do canal para MR = 2................................... 110 
FIG. 5.24 Contornos de velocidade média para MR = 0,5. .............................................. 114 
FIG. 5.25 Linhas de Corrente para MR = 0,5. .................................................................. 116 
FIG. 5.26 Detalhe de linhas de corrente para o primeiro vértice para todos os casos para 
MR = 0,5. ......................................................................................................... 117 
FIG. 5.27 Distribuição de tensão de cisalhamento na parede inferior do canal principal para 
MR = 0,5. ......................................................................................................... 118 
FIG. 5.28 Perfis da componente de Velocidade na direção x para MR = 0,5. .................. 120 
FIG. 5.29 Perfil de velocidade U em detalhe na região da bolha de recirculação no ponto 
x=2,94 m para MR = 0,5. ................................................................................. 121 
FIG. 5.30 Detalhe das linhas de corrente na região da bolha de recirculação para MR = 0,5.
 ........................................................................................................................... 124 
FIG. 5.31 Contorno de coeficiente de pressão ao longo do escoamento para todos os modelos 
de turbulência utilizados para MR = 0,5. ......................................................... 127 
FIG. 5.32 Perfis de u+ em função de y+ para três regiões do escoamento na parede inferior 
para MR = 0,5. .................................................................................................. 130 
FIG. 5.35 Perfis de u+ em função de y+ para três regiões do escoamento na parede superior 
para MR = 0,5. .................................................................................................. 132 
FIG. 5.34 Gráfico de perfil de tensão de Reynolds u'u' para MR = 0,5. .......................... 134 
FIG. 5.35 Perfil detalhado de tensão de Reynolds u'u' para a região de entrada do 
escoamento jato no canal, x=-0,5 m para MR = 0,5. ........................................ 135 
FIG. 5.36 Gráfico de perfil de tensão de Reynolds v'v' para MR = 0,5. ........................... 137 
FIG. 5.37 Perfil de energia cinética turbulenta ao longo do canal para MR = 0,5............ 139 
FIG. 5.38 Perfil detalhado de energia cinética turbulenta no ponto x=-0,5 m para MR = 0,5.
 ........................................................................................................................... 140 
FIG. 5.39 Perfil de produção de energia cinética turbulenta ao longo do canal para MR =
0,5. ..................................................................................................................... 142 
 
 
13 
LISTA DE TABELAS 
 
 
 
TAB. 2.3.1 Resumo dos valores de pontos de recolamento aproximados para diferentes 
valores de RV conforme o artigo de HIROTA ET AL (2006). ......................... 18 
TAB. 2.3.2 Resumo dos valores de pontos de recolamento aproximados para 𝑀𝑅 = 2 e 
𝑀𝑅 = 0,5 encontrados na literatura. ................................................................ 22 
TAB. 3.1 Descrição de técnicas de análise numérica. ...................................................... 25 
TAB. 3.2 Descrição dos termos da Equação de energia cinética turbulenta. ................... 29 
TAB. 3.3 Constantes do modelo SST k- ω (MENTER, 1994).......................................... 37 
TAB. 3.4 Constantes para a equação de intermitência do modelo Transition SST 
(LANGTRY e MENTER, 2009). ..................................................................... 39 
TAB. 3.5 Constantes para a equação de número de Reynolds de espessura de momento de 
transição do modelo Transition SST (LANGTRY e MENTER, 2009). ........... 41 
TAB. 4.1 Etapas para resolução do problema de acoplamento velocidade – pressão. ..... 68 
TAB. 5.1 Descrição das malhas utilizadas na análise de convergência. .......................... 74 
TAB. 5.2 Comparação de comprimento de recolamento da bolha de recirculação dos 
modelos RANS e técnica LES para 𝑀𝑅 = 2. .................................................... 83 
TAB. 5.3 Comparação de comprimento de recolamento da bolha de recirculação dos 
modelos RANS e técnica LES para 𝑀𝑅 = 0,5. ............................................... 119 
14 
LISTA DE ABREVIATURAS E SÍMBOLOS 
 
ABREVIATURAS 
 
 
 
A - Área 
a - Relação entre o ponto P e seus vizinhos no MVF 
Cf - Coeficiente de atrito 
 
Cf,min - Coeficiente de atrito mínimo 
Cp - Coeficiente de pressão 
CS - Constante de Smagorinsky 
CDw - Parte positiva do termo de difusão cruzada 
D - Distância até a parede mais próxima 
ER - Raio de expansão 
F1 - Função de mistura do modelo SST k-ω 
F2 - Função de mistura do modelo SST k-ω 
H - Altura do degrau 
kP - Energia cinética turbulenta no ponto P 
Li - Comprimento do canal de entrada 
- 
Lx - Comprimento do canal de saída 
- 
Ly - Altura do canal de saída 
- 
15 
max( ; ) - Operador de seleção de valor máximo 
min( ; ) - Operador de seleção de valor mínimo 
N(ui) - Operador de Navier-Stokes 
p - Pressão 
- 
- 
P - Pressão modificada 
Pw - Pressão na parede superior 
Re - Número de Reynolds 
Rey - Número de Reynolds turbulento 
S - Termo fonte 
T - Tempo 
Ub - Velocidade média de entrada do escoamento 
UP - Velocidade média no ponto P 
uτ - Velocidade de atrito 
yP - Distância do ponto P à parede 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
SÍMBOLOS 
 
 
 
𝛿𝑖𝑗 - Delta de Kronecker 
ε - Dissipação de energia cinética turbulenta por unidade de massa 
gi - Aceleração da gravidade na direção i 
i - Coordenadas cartesianas i = 1, 2 ou 3 (x, y ou z) 
k - Energia cinética turbulenta 
𝑙𝜐 - Comprimento de escala da região próxima à parede 
µ - Viscosidade dinâmica 
µt - Viscosidade dinâmica turbulenta 
n - Coordenada local normal à parede 
𝑝𝑖 - Componente da pressão 
𝑝�̅� - Componente da pressão média na direção i 
𝑝′𝑖 - Flutuação da pressão na direção i 
ρ - Massa específica 
𝜏𝑖𝑗 - Tensor das tensões 
𝜏 - Tensor de cisalhamento de Reynolds 
𝜏𝑤 - Tensão de cisalhamento na parede 
ui - Componente do vetor velocidade nadireção i 
𝑢�̅� - Componente da velocidade média na direção i 
𝑢′𝑖 - Flutuação da velocidade na direção i 
𝑢′𝑖𝑢′𝑗̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ - Tensor de Reynolds 
υ - Viscosidade cinemática 
17 
υef - Viscosidade efetiva 
𝜐𝑡 - Viscosidade turbulenta 
𝜐𝑡,2𝑐 - Viscosidade turbulenta da camada próxima à parede 
𝜐𝑡,𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 - Viscosidade turbulenta da região de transição 
𝜔 - Taxa específica de dissipação da energia cinética turbulenta 
xi - Componente do vetor posição na direção i 
𝜎𝑖𝑗 - Tensor de tensões viscosas 
∅ - Variável que representa uma grandeza qualquer 
Г - Coeficiente de difusão 
∀ - Volume de controle arbitrário 
Ωij - Tensor taxa de rotação do escoamento médio 
∫ - Integral 
∑ - Somatório 
∇ - Operador Gradiente 
𝜕
𝜕𝑡
 - Derivada parcial em relação ao tempo 
𝜕
𝜕𝑥
 - Derivada parcial em relação à posição 
𝐷
𝐷𝑡
 - Derivada material 
Dij - Termo de dissipação de Energia Cinética Turbulenta 
Φij - Termo de Tensão de Pressão 
𝑀𝑅 - Razão de Fluxo de Quantidade de Movimento 
 
18 
LISTA DE SIGLAS 
 
 
 
CAPES Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior 
CFD Dinâmica dos Fluidos Computacional 
DNS Simulação Numérica Direta 
LES Simulação de Grandes Escalas 
MVF Método de Volumes Finitos 
 
PIV Velocimetria por Imagem de Partícula 
LDV Velocimetria a Laser baseada no efeito Doppler 
QUICK Método de Discretização Espacial 
RANS Modelagem da Turbulência Baseada nas Equações Médias de Reynolds 
RSM Modelo de Tensor de Reynolds 
SIMPLE Técnica Utilizada na Resolução do Acoplamento Velocidade-Pressão 
SST Transporte de Tensões Cisalhantes 
SAS Simulação Adaptativa em Escala 
UPWIND Método de Discretização Espacial 
19 
RESUMO 
 
 
 
O escoamento em um canal com junção T trata-se de um caso onde há a formação de bolha 
de recirculação formada por meio da separação do escoamento provocada pela súbita mudança 
na geometria do escoamento. O presente trabalho realiza a simulação computacional e análise 
do escoamento turbulento sobre um canal com junção T bidimensional e em regime 
permanente, por meio da construção de uma geometria simples com a grande vantagem de 
apresentar características importantes para o âmbito do estudo dos fenômenos de separação, 
recirculação e recolamento de escoamentos turbulentos. A modelagem da turbulência realizada 
nesse estudo é baseada nas equações médias de Reynolds (RANS). Tal modelagem foi utilizada 
pelo fato de que a mesma não exige um esforço computacional elevado. Adicionalmente, um 
dos principais objetivos do presente trabalho é a comparação do desempenho dos diferentes 
modelos de turbulência utilizados em casos com separação, recirculação e recolamento do 
escoamento. Os modelos de turbulência que utilizam a metodologia RANS utilizados são os 
modelos de duas equações diferenciais parciais k-ω, k-ε, Shear Stress Transport k-ω (SST k-ω), 
Transition Shear Stress Transport e o modelo de fechamento de segunda ordem Reynolds Stress 
Model (RSM). Os resultados foram comparados com os dados da literatura experimental e 
numérica por meio da Simulação de Grandes Escalas (LES). Todas as simulações foram 
realizadas com um número de Reynolds na entrada do escoamento paralelo igual a 15.000, 
baseado na altura do canal h e na velocidade de entrada U0. A malha utilizada em todos os casos 
possui 1.500.000 elementos apresentando um maior refinamento na região próxima a entrada 
do escoamento jato e nas regiões próximas a parede. Os principais resultados analisados são 
campos de velocidade, campos de pressão, grandezas relacionadas à turbulência. Os modelos 
k-ε – Tratamento de Parede Aprimorado, k-ε - Tratamento de Parede Menter-Lechner obtiveram 
os resultados de ponto de recolamento mais próximos a literatura, entretanto, resultados 
imprecisos para grandezas de segunda ordem. O modelo RSM obteve os resultados mais 
próximos da literatura, principalmente para as grandezas de segunda ordem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
ABSTRACT 
 
 
 
The flow on a T junction channel is a case where there is the formation of a recirculation bubble 
formed by the separation of the flow caused by the sudden change in the geometry of the flow. 
The present work performs the computational simulation and analysis of the turbulent flow on 
a bi-dimensional T junction channel in permanent regime, by means of the construction of a 
simple geometry with the great advantage of presenting important characteristics for the scope 
of the study of the phenomena of separation, recirculation and reattachment of turbulent flows. 
The computational simulation performed in this study is based on the Reynolds Average Navier-
Stokes (RANS). The choice of the modeling used in this work is because it does not require a 
high computational effort. Additionally, one of the main objectives of the present work is the 
comparison of the performance of the different models of turbulence used in cases with 
separation, recirculation and reattachment of the flow. The RANS turbulence models used are 
the models of two partial differential equations k-ω, k-ε, Shear Stress Transport k ω (SST k-ω), 
Transition Shear Stress Transport, and the second-order Reynolds Stress Model (RSM). The 
results were compared with data from the experimental and numerical literature using the Large 
Scale Simulation (LES). All simulations were performed with a Reynolds number at the inlet of 
the parallel flow equal to 15,000, based on the height of the channel h and the input velocity U0. 
The mesh used in all cases has 1,500,000 elements and presents a greater refinement in the 
region near the entrance of the jet flow and in the regions near the wall. The main results 
analyzed are velocity and pressure fields and turbulent quantities. The models k-ε - Improved 
Wall Treatment, k-ε - Menter-Lechner Wall Treatment obtained results close to the literature 
for reattachment point of the large recirculation bubble, however, inaccurate results for second-
order quantities. The RSM model obtained the closest results in the literature, mainly for second 
order quantities. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
1. INTRODUÇÃO 
 
 
 
O canal com escoamento cruzado consiste em dois sistemas de canais, um chamado de 
canal principal e um outro conectado ao canal principal chamado de canal ramo, são interligados 
perpendicularmente por meio de uma junção T. A geometria deste canal é melhor descrita na 
FIG. 1.1: 
 
 
FIG. 1.1: Sistema de Escoamento de fluido em canal com escoamento cruzado. 
 
Em escoamentos em canais com junção em T, há dois diferentes escoamentos, um oriundo 
do canal principal chamado de escoamento paralelo, indicado pela seta horizontal azul na FIG. 
1.1, e um oriundo do canal ramo, indicado pela seta vertical vermelha na FIG. 1.1, chamado de 
escoamento jato, com diferentes velocidades, temperaturas ou concentrações adentram em um 
canal com junção T. A física do sistema de escoamentos é ilustrada na FIG. 1.2. 
 
2 
 
FIG. 1.2: Descrição Física do fenômeno 
 
Conforme ilustrado na FIG. 1.2, o escoamento paralelo não consegue transpor o 
escoamento jato. Dessa forma, o escoamento paralelo contorna o escoamento jato como um 
obstáculo. Analogamente, o escoamento jato não consegue transpassar o escoamento paralelo 
e se inclina, na direção do escoamento paralelo, até se encontrar paralelo à parede do canal e ao 
escoamento paralelo. 
A mudança da direção do escoamento jato ocasiona o fenômeno de separação do 
escoamento e dessa forma o aparecimento de uma grande bolha de recirculação a jusante da 
entrada do escoamento jato no canal. Adicionalmente, há o aparecimento de uma pequena 
segunda bolha de recirculação a montante da entrada do escoamento jato ao canal (GEORGIOU 
E PAPALEXANDRIS, 2017). 
O fenômeno de separação do escoamento é expresso pela ocorrência de uma regiãode 
fluido rotativo separado do escoamento externo por uma camada viscosa, que por uma pequena 
distância é separada da camada limite do escoamento. O padrão de escoamento em uma região 
de separação é governado pela geometria do escoamento, pelas propriedades do escoamento e 
do fluido em questão. O fenômeno está ilustrado na FIG. 1.3. 
 
3 
 
FIG. 1.3: Detalhe de bolha de recirculação presente no escoamento cruzado em canal T. 
 
Durante a criação da bolha de recirculação devido à separação abrupta causada pela 
geometria, a camada cisalhante que se separa da extremidade da superfície inferior do canal 
torna-se imediatamente instável, havendo desprendimento periódico de vórtices da extremidade 
da superfície inferior do canal, os quais sofrem advecção ao longo da camada cisalhante livre. 
A camada cisalhante sofre imediata transição após descolar-se da superfície. Após a transição, 
a energia cinética turbulenta é rapidamente aumentada devido ao alto nível de cisalhamento 
existente na camada cisalhante livre. Este aumento de energia cinética turbulenta faz a camada 
cisalhante engrossar e encurvar o escoamento de volta para a superfície da placa, provocando o 
recolamento do escoamento conforme ilustrado na FIG. 1.3 (REZENDE, 2009). 
Como na FIG. 1.3, no meio da bolha de recirculação se desenvolve uma zona de pressão 
mínima com a finalidade de prover força centrípeta suficiente para manter a recirculação do 
escoamento. Dessa forma, dois gradientes de pressão ocorrem: um gradiente de pressão 
favorável, entre a zona de pressão mínima e o ponto de recolamento, região de estagnação com 
velocidade nula e pressão máxima, favorecendo um processo de relaminarização, e um 
gradiente de pressão adverso, entre a zona de pressão mínima e o ponto de separação, região de 
estagnação com velocidade nula e pressão máxima, favorecendo a formação de uma bolha de 
recirculação secundária. 
O escoamento recola a jusante do ponto da extremidade da entrada do escoamento jato. 
Após a bolha, o escoamento bifurca, uma parte em direção à jusante da bolha de recirculação e 
a outra fração, menor que a anterior, retornando para completar a bolha de recirculação. Forma-
se então, após o recolamento da bolha de recirculação, a camada limite turbulenta, possuindo 
estruturas turbulentas provenientes da bolha de recirculação formada. Tais estruturas 
turbulentas incrementam a camada de mistura à jusante do escoamento e interagem para o 
desenvolvimento da camada limite turbulenta. 
4 
Gradientes de pressão, presentes no fenômeno de bolha de recirculação, estão relacionados 
diretamente com a distribuição de velocidade ao longo do canal analisado. Um gradiente de 
pressão favorável é aquele no qual a pressão diminui no sentido do escoamento e tende a agir 
contra a redução de velocidade das partículas fluidas na camada-limite. Por outro lado, um 
gradiente adverso de pressão é aquele no qual a pressão cresce no sentido de escoamento, 
contribuindo para a redução da velocidade das partículas fluidas na camada-limite 
(ANDERSON, 1991). Para melhor entendimento, a FIG. 1.4 apresenta uma descrição do 
fenômeno de gradientes de pressão. 
 
 
FIG. 1.4: Gradiente de pressão adverso (ANDERSON, 1991). 
 
Descrevendo ainda o fenômeno físico atuante no canal com escoamento cruzado de acordo 
com a FIG. 1.2, as partículas de fluido do escoamento paralelo aceleram enquanto o escoamento 
paralelo contorna o escoamento jato. Tal fenômeno ocorre devido à redução da área transversal 
do escoamento paralelo ao circundar o escoamento jato, área por sua vez limitada pela parede 
superior do canal e pelo escoamento jato, portanto, devido ao efeito Venturi. Entretanto, após a 
bolha de recirculação, a restrição da área seccional do escoamento paralelo diminui e o 
escoamento paralelo se expande, implicando na formação de um gradiente de pressão adverso, 
causando a diminuição da componente da velocidade na direção do canal do escoamento perto 
da parede superior e o aparecimento de vórtices. Adicionalmente, o efeito Venturi também 
desenvolve gradientes de pressão favoráveis contribuindo para relaminarização do escoamento. 
5 
Analogamente, o escoamento jato também experimenta aceleração na entrada do 
escoamento jato no canal. Esta aceleração é uma manifestação do efeito Venturi produzido pela 
limitação da área transversal do escoamento jato pelo escoamento paralelo e a bolha de 
recirculação. O efeito Venturi atuante no escoamento paralelo não ocorre em escoamentos não 
confinados, pois a área transversal nesses casos é infinita devido à ausência de parede superior. 
A presença de um canal com parede superior impele o escoamento jato a inclinar 
antecipadamente e como resultado, o escoamento jato se alinha com a parede do canal mais 
rápido do que em escoamentos não confinados. 
O efeito Venturi pode ser entendido como a diminuição da pressão e o consequente 
aumento da velocidade ao diminuir-se a área de passagem de escoamento incompressível. 
Como exemplo, considera-se a FIG. 1.5, onde é possível visualizar o aumento da velocidade e 
diminuição da pressão na região da garganta do tubo de Venturi que é a área transversal mínima 
do duto. Após a saída do escoamento na região da garganta, sua pressão aumenta e velocidade 
diminui. 
 
 
FIG. 1.5 Descrição: do efeito Venturi (ANDERSON, 1991). 
 
O estudo de escoamentos cruzados em canais é de fundamental importância para a 
engenharia mecânica e é de grande interesse técnico e científico. Em grande parte de 
dispositivos técnicos nos quais há transporte de fluidos, tubulações ou canais são utilizados, 
como por exemplo, em motores a combustão, turbinas, bombas, sistemas de exaustão, sistemas 
6 
de ar condicionado entre outros sistemas. Um tipo de conexão de tubulação normalmente 
encontrado nestes sistemas é uma junção tipo T em 90 graus com variados diâmetros. 
Existem inúmeros casos presentes na natureza e na engenharia de escoamentos turbulentos 
com separação que merecem ser estudados e que podem ser aprofundados por meio de 
simulações computacionais, como por exemplo escoamento sobre degraus, escoamento sobre 
aerofólios, escoamentos confinados em canal e entre outros. 
Os métodos numéricos têm como significativa vantagem a possibilidade de resolver 
problemas complexos com diferentes condições de contorno, apresentando resultados em um 
curto intervalo de tempo. Com a utilização da simulação numérica, tanto o tempo como o custo 
do projeto pode ser reduzido. A utilização das técnicas de simulação numérica contribui 
fortemente para o desenvolvimento de uma etapa na engenharia, onde a simulação numérica 
desempenha um papel decisivo nos custos e na qualidade dos projetos, juntamente com as 
técnicas experimentais (MALISKA, 2004). 
O presente trabalho trata-se da análise numérica computacional e análise de um canal com 
escoamento cruzado por meio da construção de uma geometria relativamente simples. Os casos 
simulados no atual trabalho são baseados nos estudos realizados por GEORGIOU E 
PAPALEXANDRIS (2017), HIROTA ET AL (2010) e HIROTA ET AL (2006), utilizando 
uma geometria análoga ao estudo, com o objetivo de validar os resultados obtidos e realizar a 
comparação entre diferentes modelos de turbulência, analisando resultados como o 
comprimento de recolamento, contornos de coeficiente de pressão, perfis e contornos de 
velocidade média, perfis de velocidade adimensional nas regiões próximas a parede do canal, 
perfis de energia cinética turbulenta e produção de energia cinética turbulenta, tensões de 
Reynolds e distribuição de flutuação de velocidades. 
 
 
1.1. Objetivo e Escopo do Trabalho 
 
 
 Este trabalho tem como principal objetivo o estudo de um escoamento cruzado turbulento 
em um canal com junção T e a eficiência da utilização dos modelos de turbulência na simulação 
computacional deste escoamento com separação provocada pela mudança súbita dedireção do 
escoamento. Foram simulados casos utilizando diferentes modelos de turbulência por meio do 
programa Ansys, com as mesmas condições de contorno e o mesmo número de Reynolds na 
7 
entrada do escoamento paralelo no canal principal igual a 15.000, baseado na altura do canal e 
na velocidade média de entrada. Os resultados encontrados também são validados e comparados 
com os resultados obtidos pelo estudo feito por GEORGIOU E PAPALEXANDRIS (2017), 
que realizou a simulação numérica utilizando a técnica Simulação de Grandes Escalas (LES) e 
pelos estudos experimentais realizados por HIROTA ET AL (2006) e HIROTA ET AL (2010), 
para um caso com as mesmas condições de contorno, número de Reynolds e geometria que os 
casos construídos no atual trabalho. 
Estudos anteriores foram realizados sobre simulações computacionais e experimentais 
envolvendo canais com seções retangulares ou circulares, diferentes números de Reynolds, 
geometrias e fluidos. Tais estudos estão detalhados no capítulo 2. 
O diferencial do presente trabalho é a comparação entre diferentes modelos de turbulência, 
com a criação de casos com modelos RANS, analisando regiões de separação, recirculação e 
recolamento do escoamento em um canal com junção T de seção retangular por meio da 
construção de um caso bidimensional, em regime permanente e escoamento incompressível. A 
análise bidimensional possui maior simplificação em comparação a análise 3-D, com a exclusão 
de efeitos tridimensionais e bolhas de recirculação verificadas em seções transversais do canal, 
entretanto, a análise 2-D favorece redução de custo computacional, sendo este o principal 
motivo para sua utilização. 
Para a análise computacional, foram utilizados modelos baseados nas equações médias de 
Reynolds, (RANS). Tal modelagem foi escolhida por não exigir um esforço computacional 
elevado, sendo a modelagem mais utilizada atualmente na resolução de casos de engenharia 
pela indústria. 
 
 
1.2. Organização do Trabalho 
 
 
O Capítulo 1 contém a introdução sobre o tema do escoamento turbulento em canal com 
junção T com escoamento cruzado e a dinâmica dos fluidos computacional, bem como o 
objetivo, escopo e organização do trabalho. 
No Capítulo 2 é apresentada a revisão bibliográfica do estudo do escoamento em canais 
com junção T, abordando os primeiros trabalhos experimentais e computacionais realizados 
sobre o tema. Adicionalmente, alguns trabalhos recentes sobre simulações computacionais com 
8 
diferentes modelos de turbulência e números de Reynolds são apresentados. Os trabalhos 
realizados por GEORGIOU E PAPALEXANDRIS (2017), HIROTA ET AL (2010) e HIROTA 
ET AL (2006), no qual é baseado o presente trabalho, também são abordados e descritos nesse 
capítulo. 
O Capítulo 3 apresenta as equações que governam o escoamento incompressível para o 
caso bidimensional em regime permanente tratado no presente estudo. A utilização do método 
da decomposição de Reynolds nas equações de conservação de massa e de Navier-Stokes 
permitem a obtenção das Equações Médias de Reynold (RANS). Consequentemente, o problema 
de fechamento do sistema de equações de conservação, levando à Hipótese de Boussinesq, uma 
das alternativas de modelagem da viscosidade turbulenta, é adicionalmente discutida neste 
capítulo. Os modelos RANS baseados nessa hipótese que são utilizados nesse estudo são os 
seguintes modelos de duas equações diferenciais: k-ω, k-ε e suas variações de tratamentos 
próximo a região da parede, Transition SST e SST k-ω (Shear Stress Transport k-ω). Esses três 
modelos são discutidos nesse capítulo. Além desses modelos, é utilizado e apresentado nesse 
trabalho o modelo de fechamento que não utiliza a hipótese de Boussinesq denominado RSM 
(Reynolds Stress Model). 
O Capítulo 4 apresenta o método numérico utilizado na resolução do problema abordado 
no presente estudo. O Método dos Volumes Finitos é utilizado para a discretização das equações 
de governo, formando um sistema de equações lineares. O esquema de interpolação empregado 
é o QUICK (Quadratic Upstream Interpolation for Convective Kinematics). A técnica 
Multigrid é utilizada na resolução desse sistema de equações. O acoplamento velocidade-
pressão é tratado por meio do esquema denominado SIMPLE (Semi-Implicit Method for 
Pressure-Linked Equations) (PATANKAR, 1980). 
No Capítulo 5 é verificado a geometria construída nas análises computacionais realizadas 
utilizando o ar como fluido analisado, malha utilizada e as condições de contorno. 
Adicionalmente, são mostrados e analisados os resultados encontrados nas simulações 
numéricas ao utilizar cada um dos modelos de turbulência tratados nesse trabalho. Os resultados 
são comparados com os resultados obtidos por GEORGIOU E PAPALEXANDRIS (2017) ao 
realizar a simulação numérica por meio da técnica LES para o escoamento turbulento sobre um 
canal de seção retangular com junção T com o mesmo número de Reynolds utilizado em todos 
os casos construídos com os modelos RANS, igual a 15.000. Os resultados também são 
comparados com os resultados obtidos pro HIROTA ET AL (2010), que realizou uma análise 
experimental sobre um canal de seção retangular com junção T também com o mesmo número 
9 
de Reynolds utilizado em todos os casos construídos com os modelos RANS, igual a 15.000. Os 
principais resultados mostrados no presente trabalho são relacionados a velocidade média, 
linhas de corrente, coeficiente de pressão, velocidade adimensional próxima a região das 
paredes do canal e grandezas de segunda ordem, como as tensões de Reynolds, flutuações de 
velocidade, energia cinética turbulenta e produção de energia cinética turbulenta. 
O Capítulo 6 apresenta as conclusões obtidas na realização desse estudo e sugestões para 
futuros trabalhos. 
No Capítulo 7 são mostradas as referências bibliográficas utilizadas na elaboração desse 
trabalho. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 
 
 
 
Nesta seção são descritos estudos anteriores relacionados ao presente trabalho. Os estudos 
são divididos em análises experimentais e análises numéricas para melhor entendimento do 
desenvolvimento histórico e computacional da análise de fluidos para canais com junção T. No 
final da seção são descritos as análises experimentais e numéricas utilizadas para comparação 
direta com os resultados do presente trabalho. 
 
 
2.1. Análises Experimentais 
 
 
O estudo do escoamento turbulento por meio de um escoamento cruzado em canal com 
junção T foi iniciado por meio de experimentos realizados em laboratório, utilizando métodos 
de escaneamento por luz juntamente com técnicas digitais de obtenção de campos de 
velocidade. Alguns dos principais trabalhos experimentais desse tipo foram realizados por 
BRÜCKE (1997), BARTMANN ET AL (1992) e KELSO E PERRY (1996) tornando-se 
referências para os estudos posteriores nesse campo. 
BRÜCKE (1997) realizou um estudo experimental em um canal com junção tipo T de seção 
circular por meio do escaneamento PIV (Velocimetria por Imagem de Partícula), por onde 
ocorre o escoamento de água no canal. O autor realizou um estudo qualitativo, com número de 
Reynolds igual a 2.000 na entrada do escoamento paralelo. Devido a limitações na captura de 
frames por meio do PIV, o autor realizou uma comparação entre os escoamentos jato e paralelo 
utilizando uma razão de velocidade 𝑅𝑉 calculada de acordo com a EQ. 2.1: 
 
𝑅𝑉 =
𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐽𝑎𝑡𝑜
𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑃𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜
 (2.1) 
 
Inicialmente, o autor utilizou um 𝑅𝑉 = 1,2 e encontrou vórtices com características 
periódicas na região de esteira do escoamento jato conforme ilustrado na FIG. 2.1.1. 
 
11 
 
FIG. 2.1.1 Escoamento em canal com junção T utilizando RV = 1,2 (BARTMANN ET AL, 
1992). 
 
Para 𝑅𝑉 superiores a 1,5, vórticessemelhantes a anéis aparecem na entrada do escoamento 
jato. Foram encontradas ainda duas regiões de recirculação na entrada do escoamento jato no 
canal. O autor atribuiu a criação das zonas de recirculação ao gradiente adverso de pressão em 
ambas as metades superiores e inferiores da seção da junção T. A jusante da bolha de 
recirculação, foram encontrados um par de vórtices contra rotativos, onde ambos os vórtices 
rotacionam em sentidos opostos e vórtices semi-circulares em formato de anel na região de 
recirculação. As estruturas vorticais podem ser melhor observadas na FIG. 2.1.2. 
 
 
FIG. 2.1.2 Esboço de diferentes regiões de vorticidade concentrada no escoamento em canal 
com junção T (BARTMANN ET AL, 1992). 
 
Adicionalmente, por meio do uso de coloração por partículas fluroescentes no escoamento 
jato, o autor verificouque grande parte do escoamento contra rotativo é originado do 
escoamento jato. 
12 
BARTMANN ET AL (1992) realizou um estudo experimental em um canal com junção T 
com seção transversal circular utilizando água como fluido ilustrado na FIG. 2.1.3. O 
escoamento foi analisado de forma visual, com tubulação composta de material plexiglass 
(vidro acríclico), um material transparente permitindo melhor visualização do fluido. O 
escoamento jato foi colorido de forma a ser facilmente identificado em comparação ao 
escoamento paralelo ao canal. 
 
 
FIG. 2.1.3: Esquema da experiência realizada por Bartmann. (BARTMANN ET AL, 1992) 
 
O autor também utilizou o conceito de razão de velocidade definido pela EQ. 2.1 e 
encontrou um comportamento similar a descarga de jato em escoamentos estagnados para altos 
valores de R.V. Para 𝑅𝑉 = 2,7, foram encontradas formações periódicas de anéis de vórtices 
deformados devido a interação entre ambos escoamentos jato e paralelo. Uma região de bolha 
de recirculação foi encontrada somente para 𝑅𝑉 = 1,3 e 1,8. Após a bolha de recirculação, há 
a formação de estruturas de vórtices similares à estrutura ilustrada na FIG. 2.1.2. 
KELSO E PERRY (1996) analisou experimentalmente um escoamento cruzado, entretanto 
aberto, possuindo uma 𝑅𝑉 = 4. O estudo experimental foi conduzido em um canal de água, 
onde o escoamento jato foi colorido. O estudo ilustra como resultado uma região de separação 
que ocorre a montante do escoamento jato e a produção de vórtices em formato de anel pelas 
camadas de cisalhamento. O escoamento jato se inclina na direção do escoamento paralelo e 
forma um par de vórtices contra rotativos, conforme ilustrado na FIG. 2.1.2 que se originam 
perto da entrada do escoamento jato. 
DE TILLY E SOUZA (2008) realizou uma análise experimental bidimensional com o 
objetivo de buscar coerência física entre a transferência de calor nas paredes do canal e o 
comportamento do escoamento em um canal de seção retangular com junção T. Para comparar 
ambos os escoamentos jato e paralelo, o autor foi o primeiro a utilizar o conceito de razão de 
fluxo de quantidade de movimento, caracterizado pela EQ. 2.2: 
13 
 
𝑀𝑅 =
(𝜌𝑈²𝐴)𝐸𝑠𝑐𝑜𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑃𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜
(𝜌𝑈²𝐴)𝐸𝑠𝑐𝑜𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐽𝑎𝑡𝑜
 (2.2) 
 
Para o experimento, foi utilizado uma razão de fluxo de quantidade de movimento de 𝑀𝑅 =
0,1 e ar como fluido estudado. Foram realizadas análises com três diferentes números de 
Reynolds, conforme variação da velocidade na entrada do escoamento paralelo, Re=6.500, 
Re=13.000, Re=19.500. O autor confirmou que a mistura foi intensificada quando o fluxo 
cruzado foi turbulento. O autor atribuiu o aumento da mistura à formação de estruturas de larga 
escala na camada de cisalhamento que é formada entre o escoamento paralelo e o escoamento 
jato. Adicionalmente, quando o escoamento paralelo era laminar, as estruturas de grandes 
escalas não foram formadas e a mistura entre os escoamentos foi significantemente reduzida. 
KAMIDE ET AL (2009) realizou uma análise experimental em um canal de seção circular 
com junção T, utilizando água como fluido por meio de PIV (Velocimetria por Imagem de 
Partícula). Foram analisados três tipos de fluidos nos quais o 𝑀𝑅 < 0,35, classificado como 
jato impingente, 0,35 < 𝑀𝑅 < 1,35, como jato defletor e 𝑀𝑅 > 1,35, classificado como jato 
de parede. Foram verificadas duas regiões de recirculação para os casos de jato impingente e 
jato de parede, conforme ilustrado na FIG. 2.1.2. 
 
 
FIG. 2.1.4: Classificação do escoamento e suas variações(KAMIDE ET AL, 2009). 
14 
2.2. Análises Numéricas 
 
 
Com o desenvolvimento computacional consequente do avanço tecnológico, o estudo 
numérico computacional do escoamento turbulento em um canal com junção T tem crescido e 
se tornado relevante na comunidade da dinâmica dos fluidos computacional. 
Uma das primeiras análises numéricas computacionais foi realizada por FUKUSHIMA ET 
AL (2003), onde uma análise experimental tridimensional com finalidade de obter dados que 
confirmem os dados obtidos pela análise numérica foi executada. Dessa forma, foi realizado 
uma análise numérica por meio de Simulação Numérica Direta (DNS) e comparado com 
resultados obtidos experimentalmente medidos por meio de LDV (Velocimetria a Laser 
baseada no efeito Doppler). Para a entrada de ambos os escoamentos paralelo e jato, foram 
utilizados Re = 4.485 e água como fluido analisado. 
 
 
FIG. 2.2.1: Distribuição de contornos de velocidade média ao longo do canal (a-1/a-2) e na 
seção transversal do canal (c-1/c-2) (FUKUSHIMA ET AL, 2003). 
 
FUKUSHIMA ET AL (2003) verificou que o escoamento jato é fortemente curvado pelo 
escoamento paralelo enquanto o escoamento paralelo contorna o escoamento jato. A camada 
de cisalhamento entre o escoamento jato e paralelo é formado e o escoamento paralelo não 
permite que o escoamento jato alcance a parede esquerda do canal. Somente quando a largura 
do canal de entrada do escoamento jato é menor que a largura da entrada do escoamento paralelo 
15 
no canal, ocorre o desenvolvimento de vórtices conforme ilustrado na FIG. 2.1.2 desenvolvidos 
nas laterais do escoamento jato, conforme também apresentado na FIG. 2.2.1 c-1/c-2. 
MUPPIDI E MAHESH (2007) utilizou uma análise numérica tridimensional utilizando a 
técnica DNS para a análise de um jato turbulento em um canal aberto com escoamento cruzado, 
comparando seus resultados com o resultado experimental de SU E MUNGAL (2004) 
utilizando ar como fluido. O escoamento jato possui número de Reynolds de 5.000 na entrada 
do escoamento jato. O autor encontrou como resultado a formação de um par de vórtices contra 
rotativos após a entrada do escoamento jato, conforme já verificado pelos resultados 
experimentais anteriores e apresentado na FIG. 2.1.2. Adicionalmente, a curvatura do 
escoamento jato é novamente verificada. As interações entre os escoamentos jato e paralelo 
promovem intensidade de turbulência e consequentemente, de energia cinética turbulenta, onde 
o pico de produção de energia cinética turbulenta é identificada perto do vértice de saída do 
escoamento jato, conforme verificado na FIG. 2.2.2. 
 
 
FIG. 2.2.2 Contorno de produção de energia cinética turbulenta (MUPPIDI E MAHESH, 
2007). 
 
FRÖLICH ET AL (2009) utilizou LES para a análise de um escoamento tridimensional 
tipo jato com base na análise experimental de KELSO E PERRY (1996), confirmando a 
formação de uma região de recirculação com um par vórtices contra rotativos encontrados pelos 
resultados experimentais anteriores. O autor confirma a criação da zona de recirculação devido 
a interação entre os escoamentos paralelo e jato, atuando como um obstáculo para cada um dos 
escoamentos. Adicionalmente, FRÖLICH ET AL (2009) avalia também as velocidades 
16 
instantâneas do escoamento, as quais são geradas primariamente pelas camadas de cisalhamento 
entre os escoamentos jato e paralelo. 
SAKOWITZ ET AL (2014) realizou uma análise numérica tridimensional em um canal 
com junção T deseção circular e retangular por meio da técnica LES e o modelo de turbulência 
k-ε utilizando água como fluido. O autor se baseou na análise experimental de BRÜCKE (1997) 
e HIROTA ET AL (2006). Foram encontrados resultados de acordo com os experimentos para 
ambas as seções transversais. O modelo k-ε não previu vórtices de larga escala, previstos pelo 
modelo LES. Novamente, uma bolha de recirculação foi encontrada à jusante da entrada do 
escoamento jato, a formação de tal bolha foi atribuída à curvatura do escoamento jato. 
Com base na análise experimental e nos dados iniciais utilizados por HIROTA ET AL 
(2006), SARA ET AL (2017) realizou uma análise numérica utilizando os modelos SST k-ω e 
o modelo SST - SAS. O modelo SST k-ω para escoamento estacionário foi utilizado como ponto 
inicial para a utilização do modelo SST k-ω para escoamento transiente. Adicionalmente, 
SARA ET AL (2017) identificou também uma bolha de recirculação à jusante da entrada do 
escoamento. Por meio de seu estudo, foi confirmado que o ponto de recolamento do escoamento 
é x = 4, confirmando a análise experimental realizada por HIROTA ET AL (2006). SARA ET 
AL (2017) confirma que o modelo SST - SAS é mais preciso em comparação ao modelo SST k-
ω, obtendo resultados próximos a analise experimental realizada por HIROTA ET AL (2006). 
 
 
2.3. Artigos Comparativos 
 
 
Nesta seção serão apresentados somente os artigos utilizados para comparação direta com 
os resultados presentes na análise numérica. Serão tratados aqui os artigos experimentais de 
HIROTA ET AL (2006) e HIROTA ET AL (2010) e o artigo numérico de GEORGIOU E 
PAPALEXANDRIS (2010). Todos os artigos apresentam a mesma geometria do canal e 
utilizam ar como fluido em análise. 
O trabalho realizado por HIROTA ET AL (2006) e HIROTA ET AL (2010) envolve uma 
análise experimental tridimensional do escoamento turbulento sobre um canal com junção T. 
HIROTA ET AL (2006) utiliza variados valores de razões de aspecto para o canal, entretanto, 
obteve resultados similares para todos os valores de razão de aspecto. Desse modo, para todas 
as análises experimentais foram considerados como dimensão utilizada a altura do canal 
17 
principal de 𝐻 = 2𝐵, sendo B a largura do canal ramo e a profundidade de ambos os canais 
possuem valor de 2A, onde 𝐴 = 60𝑚𝑚. 
A FIG. 2.3.1 apresenta a geometria do experimento realizado por HIROTA ET AL (2006) 
e HIROTA ET AL (2010) juntamente com as dimensões discutidas anteriormente. 
 
 
FIG. 2.3.1: Geometria do caso experimental de HIROTA ET AL (2006) e HIROTA ET AL 
(2010). 
 
A análise experimental realizada por HIROTA ET AL (2006) e HIROTA ET AL (2010) 
utiliza um sistema 2-D para medição da distribuição da velocidade. Pequenas gotículas de óleo 
de cerca de 5 µm foram inseridas nos escoamentos analisados. As imagens de partículas 
capturadas foram processadas por um código de correlação cruzada desenvolvido em 
laboratório com precisão sub-pixelar. Para a análise estatística, a velocidade média e as 
intensidades das flutuações de velocidade foram computadas por meio da média de 500 campos 
de velocidade instantânea. O campo de velocidade é encontrado por meio do uso da técnica PIV 
(Velocimetria por Imagem de Partícula). 
O trabalho de HIROTA ET AL (2006) apresenta o número de Reynolds utilizado para a 
entrada do escoamento paralelo de 𝑅𝑒 = 25.000, baseado na altura do canal e na velocidade de 
entrada. Adicionalmente, o autor utiliza diferentes razões de velocidade de entrada do 
escoamento, calculada pela EQ. 2.1, variando de 𝑅𝑉 = 0,5, 𝑅𝑉 = 1 e 𝑅𝑉 = 2. Na FIG. 5.2, 
tem-se a distribuição de vetores de velocidade média para diferentes 𝑅𝑉. 
 
18 
 
 
 
FIG. 2.3.2: Vetores de velocidade média para diferentes 𝑅𝑉 (HIROTA ET AL, 2006). 
 
O autor apresenta os pontos de recolamento, ilustrados na FIG. 2.3.2 como triângulos na 
parede inferior do canal, por meio da mudança de direção do vetor velocidade média na parede 
inferior do canal. Contudo, o autor não apresenta os valores dos pontos de recolamento 
tabelados e bem especificados. Desse modo, a TAB. 2.3.1 apresenta os valores de 
comprimentos de recolamento aproximados para diferentes 𝑅𝑉. 
 
TAB. 2.3.1: Resumo dos valores de pontos de recolamento aproximados para diferentes 
valores de RV conforme o artigo de HIROTA ET AL (2006). 
RV Número de Reynolds 
Comprimento de Recolamento 
Aproximado 
0,5 25.000 3,0 m 
1 25.000 4,0 m 
2 25.000 5,0 m 
 
19 
Adicionalmente, o autor ilustra ainda como resultado, a distribuição de velocidade média 
ao longo do canal juntamente com a distribuição de intensidade de turbulência no escoamento 
estudado. O autor relata que a bolha de recirculação gerada pela mistura de ambos os 
escoamentos é ocasionada pela força centrípeta causada pela curvatura do escoamento jato e 
que a bolha de recirculação varia de modo proporcional ao aumento. 
A análise experimental realizada por HIROTA ET AL (2010) utiliza o número de Reynolds 
na entrada do escoamento paralelo de 𝑅𝑒 = 15.000 e apenas a 𝑅𝑉 = 1, onde ambas as 
velocidades dos escoamentos são iguais, para a análise do escoamento. O artigo apresenta a 
distribuição dos vetores de velocidade média do escoamento estudado, de modo análogo ao 
artigo de HIROTA ET AL (2006), conforme ilustrado na FIG. 2.3.3. 
 
 
FIG. 2.3.3: Vetores de velocidade média para 𝑅𝑉 = 1 presentes no trabalho de HIROTA ET 
AL (2010). 
 
O autor não apresenta valores de ponto de recolamento, entretanto, concentra seus 
resultados para a distribuição de valores de flutuações de velocidades u’ e v’. O autor analisou 
as flutuações de velocidade u’ presentes no escoamento ao longo do canal e encontrou um valor 
máximo na região de mistura entre os escoamentos paralelo e jato, enquanto que para as 
flutuações de velocidade v’, o valor máximo se encontra na região da camada de cisalhamento 
entre a bolha de recirculação e o escoamento jato. Para a seção transversal da passagem dos 
escoamentos, o autor observou que a interface entre os escoamentos oscila verticalmente, 
formando um pequeno vórtice longitudinal, produzido diretamente pelas flutuações de 
velocidade v’. 
O trabalho realizado por GEORGIOU E PAPALEXANDRIS (2017) envolve uma análise 
numérica tridimensional do escoamento turbulento sobre um canal com junção T baseada no 
experimento de HIROTA ET AL (2010) utilizando a mesma geometria especificada nas 
análises experimentais anteriores e o mesmo número de Reynolds para a entrada do escoamento 
20 
paralelo no canal 𝑅𝑒 = 15.000. Para comparação entre os escoamentos jato e paralelo, o autor 
utilizou o conceito de razão de fluxo de quantidade de movimento 𝑀𝑅, aplicado anteriormente 
por DE TILLY E SOUZA (2008), calculado por meio da EQ. 2.2. O autor utilizou dois valores 
de razão de fluxo de quantidade de movimento: 𝑀𝑅 = 2, onde ambas as velocidades dos 
escoamentos jato e paralelo são iguais e corresponde a razão de velocidade 𝑅𝑉 = 1 utilizada 
na análise experimental, e 𝑀𝑅 = 0,5, onde a velocidade de entrada do escoamento jato é o dobro 
da velocidade do escoamento paralelo e corresponde a razão de velocidade 𝑅𝑉 = 2 também 
utilizada na análise experimental. GEORGIOU E PAPALEXANDRIS (2017) realizaram a 
análise numérica por meio da técnica de grandes escalas (LES) utilizando código próprio. Para 
a técnica de Simulação grandes escalas, o autor utilizou, para discretização espacial, esquemas 
finitos de segunda ordem. A computação da viscosidade turbulenta foi calculada por meio da 
utilização do modelo dinâmico de Smagorinsky (GERMANO ET AL, 1991) juntamente com a 
técnica de mínimos quadrados proposta por LILLY (1992). O autor utilizou a técnica LES com 
resolução do escoamento para as regiões próximas a parede uma vez que, conforme verificado 
por JAVARAJU ET AL (2010), o uso de funções de parede em escoamento em canais com 
junção T não apresenta uma reduçãosignificativa no custo computacional sem afetar as 
propriedades estatísticas da turbulência. 
GEORGIOU E PAPALEXANDRIS (2017) utilizou uma malha computacional dividida 
em 3 regiões de interesse conforme FIG. 2.3.4. Tal divisão deve-se a formação de estruturas de 
diferentes dimensões que interagem entre si e se desenvolvem ao longo do escoamento 
estudado. A malha utilizada é refinada nas regiões próximas a parede devido a resolução do 
escoamento pela técnica LES. 
 
 
FIG. 2.3.4: Ilustração da malha computacional utilizada no trabalho de GEORGIOU E 
PAPALEXANDRIS (2017). 
 
21 
A primeira região de interesse é a região de entrada do escoamento paralelo no canal, 
definida por −5 < 𝑥 ≤ −1 e 0 < 𝑦 < 2. Esta região possui uma malha menos refinada na 
direção x devido ao fato de não ocorrer misturas de escoamento no local. A malha nesta região 
consiste de 60 x 96 x 64 células, ou 368.640 células. 
A segunda região cobre o canal ramo, entrada do escoamento jato, é definida por −1 <
𝑥 ≤ 0 e −2 < 𝑦 ≤ 0. Esta região possui 64 x 96 x 64 células, ou 393.216 células. 
A terceira região ilustra o restante do canal principal e é definido por -1< 𝑥 ≤ 13 e 0 <
𝑦 < 2. A região cobre a interação entre os escoamentos paralelo e jato, com a formação de 
camadas de cisalhamento entre ambos escoamentos em cada vértice da entrada do escoamento 
jato, justificando o refino da malha na área dos vértices. A malha possui 216 x 96 x 64 células, 
ou 1.327.104 células. 
Desse modo, o autor utilizou uma malha possuindo o total de 2.087.960 elementos, refinada 
em regiões específicas nas quais ocorrem a formação de tensões de Reynolds e flutuações de 
velocidades, tais regiões identificadas em ambos os vértices da entrada do escoamento jato no 
canal principal. 
 Foram calculados os perfis de velocidade para diferentes posições ao longo do canal com 
junção T, de modo a analisar essas grandezas nas regiões de separação, recolamento, 
recirculação e recuperação do escoamento. A partir dos perfis de velocidade, o ponto de 
recolamento do escoamento foi encontrado para cada razão de fluxo de quantidade de 
movimento 𝑀𝑅 analisado. Adicionalmente, o autor analisou a distribuição de flutuações de 
velocidades ao longo do escoamento. GEORGIOU E PAPALEXANDRIS (2017) comparou 
seus resultados com a análise experimental de HIROTA ET AL (2010) para a razão de fluxo de 
quantidade de movimento 𝑀𝑅 = 2, uma vez que somente esta razão de fluxo de quantidade de 
movimento foi utilizada na análise experimental. A relação de pontos de recolamento em 
comparação com os resultados experimentais são exibidos na TAB 2.3.2. 
 
 
 
 
 
 
22 
TAB. 2.3.2: Resumo dos valores de pontos de recolamento aproximados para 𝑀𝑅 = 2 e 𝑀𝑅 =
0,5 encontrados na literatura. 
 
Razão de Fluxo de 
Movimento 
𝑀𝑅 = 2 𝑀𝑅 = 0,5 
Número de Reynolds – 
Análise Experimental 
(HIROTA ET AL ET AL, 
2006) 
25.000 25.000 
Número de Reynolds – 
Análise Numérica 
HIROTA ET AL ET AL 
(2010) 
15.000 15.000 
Ponto de Recolamento 
Experimental Aproximado 
(HIROTA ET AL ET AL, 
2006) 
5,0 m 4,0 m 
Ponto de Recolamento 
Numérico (GEORGIOU E 
PAPALEXANDRIS, 2017) 
5,19 m 4,12 m 
 
GEORGIOU E PAPALEXANDRIS (2017) verificou uma variação do comprimento de 
recolamento de aproximadamente x=4 até x=5. O aumento da velocidade do escoamento 
paralelo ao contornar o escoamento jato na região de mistura de ambos os escoamentos. Tal 
fato foi atribuído ao efeito Venturi, uma vez que a seção na qual o escoamento paralelo atravessa 
é minimizada devido a bolha de recirculação atuar como uma barreira, permitindo a passagem 
do escoamento paralelo somente por uma estreita porção da seção do canal principal. Uma forte 
aceleração na entrada do escoamento jato também é percebida, sendo igualmente entendida 
como um segundo efeito Venturi, onde o escoamento paralelo e a bolha de recirculação atuam 
como barreira, estreitando a seção transversal de passagem pelo escoamento jato. 
GEORGIOU E PAPALEXANDRIS (2017) confirma os experimentos anteriores 
realizados e o aparecimento de gradientes de pressão favoráveis por meio do efeito Venturi na 
região acima da bolha de recirculação, contribuindo para a relaminarização do escoamento, e 
gradientes de pressão adversos após a bolha de recirculação, contribuindo para o aparecimento 
de vórtices após a bolha. GEORGIOU E PAPALEXANDRIS (2017) comprova os valores de 
pontos de recolamento encontrados pela análise experimental de HIROTA ET AL (2006), além 
dos valores de distribuição de flutuações de velocidade muito próximos aos resultados 
experimentais de HIROTA ET AL (2006) e HIROTA ET AL (2010), comprovando que, apesar 
23 
do seu alto custo computacional, a técnica LES obtém resultados de maior precisão e, no caso, 
análogo a literatura experimental. 
Após o resumo dos artigos, verifica-se a necessidade da utilização de novas técnicas de 
resolução de escoamentos cruzados em canal T de menor custo computacional propiciando 
resultados próximos as literaturas anteriormente apresentadas. No presente trabalho foi 
utilizado a modelagem RANS reconhecida pelo seu baixo custo computacional e resultados 
satisfatórios em comparação com a técnicas como a LES. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
3. MODELAGEM DE TURBULÊNCIA 
 
 
 
3.1. Equações de Governo 
 
 
No presente trabalho foram consideradas as hipóteses adotadas nas análises numéricas 
realizadas como fluido newtoniano, escoamento incompressível, em regime permanente e 
propriedades físicas constantes. 
Para a realização da simulação, as equações que governam o problema são a equação de 
conservação de massa e a equação da conservação da quantidade de momento linear 
apresentadas pelas EQ. (3.1) e EQ. (3.2) respectivamente. 
 
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑖
= 0 (3.1) 
 
𝜕𝑢𝑖𝑢𝑗
𝜕𝑥𝑗
= 𝑔𝑖 −
1
𝜌
𝜕𝑝
𝜕𝑥𝑖
+
𝜕
𝜕𝑥𝑗
(𝜐
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑗
) (3.2) 
 
A modelagem de turbulência pode ser realizada por meio de três principais técnicas de 
simulação de escoamentos turbulentos. Ordenando tais técnicas de maior custo computacional 
até o menor custo computacional, tem-se de acordo com a TAB. 3.1 
A modelagem RANS tem obtido destaque na comunidade de dinâmica de fluidos 
computacional por exigir menor esforço computacional e apresentar resultados satisfatórios. 
No presente trabalho são usados os seguintes modelos de turbulência do tipo RANS: o modelo 
k-ε (JONES e LAUNDER, 1972; LAUNDER e SHARMA, 1974), o modelo k-ω padrão 
(WILCOX, 1988), o SST k-ω (Shear Stress Transport k-ω) (MENTER ET AL, 2003), o modelo 
Transition SST (LANGTRY e MENTER, 2009) e o modelo de fechamento direto Reynolds 
Stress Model (LAUNDER, 1975; LAUNDER E SHIMA, 1989). 
 
 
 
25 
TAB. 3.1: Descrição de técnicas de análise numérica. 
Técnica Descrição 
DNS – Simulação 
Numérica Direta 
Necessita de maior refinamento da malha e consequentemente 
possui o maior custo computacional dentre as três técnicas. As 
equações de governo são resolvidas de maneira direta, não 
havendo necessidade de modelos de turbulência. É considerada 
a técnica mais natural para resolver escoamentos turbulentos 
(REZENDE, 2009). 
LES – Simulação de 
Grandes Escalas 
Técnica intermediária em relação a custo e tempo 
computacional. Nesta técnica, as grandes escalas são 
calculadas de forma direta, enquanto as pequenas escalas são 
calculadas por meio de modelos de sub-malha (RODI, 2006). 
RANS – Reynolds 
Averaged Navier-Stokes 
Baseado na aplicação da decomposição de Reynolds nas 
equações de governo com o objetivo de obter as equações para 
valores médios do escoamento. A decomposição de Reynolds 
aborda os valores instantâneos das grandezas envolvidas no 
problema como uma variação aleatória em torno dos seus 
valores médios (REZENDE, 2009).3.2.1 Modelagem RANS 
 
 
O modelo das equações médias de Reynolds é baseado na aplicação da decomposição de 
Reynolds nas equações de governo com o objetivo de obter as equações para valores médios do 
escoamento. 
A decomposição de Reynolds aborda os valores instantâneos das grandezas envolvidas no 
problema como uma variação aleatória em torno dos seus valores médios. De forma geral, para 
qualquer grandeza ϕ, a decomposição de Reynolds é: 
 
∅𝑖 = ∅�̅� + ∅′𝑖 (3.3) 
 
Descrevendo cada termo da decomposição, o primeiro termo da soma, com uma barra, 
26 
representa o valor médio e o segundo termo representa a flutuação instantânea em torno da 
média. O operador da média é mostrado na EQ. 3.4. 
 
∅̅ =
1
∆𝑡
∫ ∅∆𝑡 𝑑𝑡 (3.4) 
 
De acordo com a definição da decomposição de Reynolds, a média das flutuações é igual à 
zero. 
 
∅′̅ = 0 (3.5) 
 
Com o objetivo de obter as equações médias de Reynolds para o problema analisado no 
presente trabalho, a aplicação da decomposição de Reynolds nas equações de conservação que 
governam o problema é realizada. Ao substituir os valores instantâneos pela soma dos valores 
médios e das suas flutuações nas equações de conservação de massa e de conservação da 
quantidade de momento linear, obtêm-se, respectivamente, as EQ. 3.6 e 3.7. 
 
𝜕𝑢𝑗̅̅ ̅
𝜕𝑥𝑗
= 0 (3.6) 
 
𝑢�̅�
𝜕𝑢𝑖̅̅ ̅
𝜕𝑥𝑗
= 𝑔𝑖 −
1
𝜌
𝜕�̅�
𝜕𝑥𝑖
+
𝜕
𝜕𝑥𝑗
(𝜐
𝜕𝑢𝑖̅̅ ̅
𝜕𝑥𝑗
− 𝑢𝑖′𝑢𝑗′̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅) (3.7) 
 
Ao comparar as equações da técnica RANS com as EQ. 3.1 e EQ. 3.2 observa-se que as 
variáveis dependentes são a velocidade média e a pressão média, enquanto nas equações 
anteriores as variáveis a serem resolvidas eram seus valores instantâneos. Adicionalmente, é 
incluído um novo termo de segunda ordem, 𝑢𝑖′𝑢𝑗′̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅, chamado de tensor de Reynolds. 
O tensor de Reynolds representa a influência das flutuações da turbulência no escoamento 
médio. Esse tensor trata-se de um tensor simétrico, ou seja, possui seis componentes 
dependentes entre si. Com o seu surgimento, são acrescentadas ao problema seis novas 
incógnitas, entretanto nenhuma nova equação é acrescentada. Desse modo, tem-se um problema 
de fechamento matemático da turbulência. Com o objetivo de resolver esse problema são 
necessários modelos para modelar o tensor de Reynolds. 
A resolução do problema de fechamento pode ser resolvida de duas formas, a primeira por 
27 
meio da Hipótese de Boussinesq e a segunda por meio do cálculo direto do tensor de Reynolds 
por meio da resolução das equações de conservação do tensor de Reynolds. 
 
 
3.3 Hipótese de Boussinesq 
 
 
A hipótese de Boussinesq (BOUSSINESQ, J., 1877), é a aproximação mais utilizada e de 
menor custo computacional para resolver o problema do fechamento da turbulência. 
Ao fazer uma analogia com a equação constitutiva da tensão viscosa e considerando que o 
escoamento é incompressível, obtém-se a hipótese de Boussinesq apresentada na EQ. 3.8. 
 
−𝜌𝑢𝑖′𝑢𝑗′̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = 𝜐𝑡 (
𝜕𝑢𝑖̅̅ ̅
𝜕𝑥𝑗
+
𝜕𝑢𝑗̅̅ ̅
𝜕𝑥𝑖
) −
2
3
𝜌𝑘𝛿𝑖𝑗 (3.8) 
 
A hipótese propõe uma analogia entre as tensões viscosas e as tensões turbulentas, onde, 
de acordo com o primeiro termo da EQ. 3.8, as tensões turbulentas são proporcionais ao 
gradiente de velocidade média do escoamento e o coeficiente de proporcionalidade é a 
viscosidade turbulenta 𝜐𝑡. O último termo da EQ. 3.8 ilustra a pressão dinâmica dos turbilhões, 
de forma análoga a pressão termodinâmica, onde k é a energia cinética turbulenta, dada pela 
soma dos elementos da diagonal principal do tensor de Reynolds, mostrada na EQ. 3.9. 
 
𝑘 =
1
2
𝑢′𝑖𝑢′𝑖̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ =
1
2
[𝑢′2̅̅ ̅̅ + 𝑣′2̅̅ ̅̅ + 𝑤′2̅̅ ̅̅ ̅] (3.9) 
 
A viscosidade presente na EQ. 3.8, denominada viscosidade turbulenta, é uma função do 
escoamento e não uma propriedade do fluido. Logo, a magnitude da viscosidade turbulenta 
apresenta diferentes valores a cada ponto do domínio, dependendo da condição local do 
escoamento. Consequentemente, os modelos que utilizam a hipótese de Boussinesq obtém o 
valor da viscosidade turbulenta em função de valores encontrados do escoamento médio 
(MIRANDA, 2014). 
Com o objetivo de obter a equação da conservação da quantidade de momento linear para 
a modelagem RANS de acordo com a hipótese de Boussinesq, devem-se substituir as tensões 
turbulentas obtidas pela EQ. 3.8 na EQ. 3.7. 
28 
𝑢�̅�
𝜕𝑢𝑖̅̅ ̅
𝜕𝑥𝑗
= −
𝜕𝑃
𝜕𝑥𝑖
+
𝜕
𝜕𝑥𝑖
[𝜐𝑒𝑓 (
𝜕𝑢𝑖̅̅ ̅
𝜕𝑥𝑗
+
𝜕𝑢𝑗̅̅ ̅
𝜕𝑥𝑗
)] (3.10) 
 
O termo de pressão modificada P é dada por uma função da pressão dinâmica turbulenta �̅� 
e da energia cinética turbulenta 𝑘, apresentada na EQ. 3.11. 
 
𝑃 =
1
𝜌
�̅� +
2
3
𝑘 (3.11) 
 
Adicionalmente, surge a viscosidade efetiva, 𝜐𝑒𝑓, dada pela soma entre a viscosidade 
molecular e a viscosidade turbulenta, como mostra a EQ. 3.12. 
 
𝜐𝑒𝑓 = 𝜐 + 𝜐𝑡 (3.12) 
 
Ao modelar as tensões turbulentas por meio do uso da EQ. 3.8, a hipótese de Boussinesq 
simplifica de maneira significativa o problema de fechamento da turbulência, uma vez que essa 
equação substitui as seis equações que seriam necessárias devido ao surgimento do tensor 
simétrico de Reynolds. Logo, os modelos de turbulência que utilizam a hipótese de Boussinesq 
precisam lidar com a modelagem da viscosidade turbulenta. 
A hipótese de Boussinesq não pode ser considerada um modelo de turbulência, sendo uma 
técnica para modelagem das tensões turbulentas por meio da viscosidade turbulenta. Os 
modelos de turbulência obtêm os valores de viscosidade turbulenta de acordo com os valores 
calculados do escoamento médio. 
As três principais classes dos modelos de viscosidade turbulenta são os modelos algébricos, 
os modelos de uma equação diferencial e os modelos de duas equações diferenciais. Os modelos 
algébricos dizem respeito aos modelos de zero equação diferencial, onde é utilizado uma 
especificação algébrica para determinar a velocidade e o comprimento característico, de acordo 
com as propriedades geométricas e com o escoamento médio. Os modelos de uma equação 
utilizam uma equação diferencial parcial para descrever o transporte de uma única escala 
turbulenta, geralmente empregada no cálculo da viscosidade turbulenta, além de uma segunda 
escala resolvida através de relações algébricas. Com relação aos modelos de duas equações 
diferenciais, usa-se uma segunda equação diferencial parcial para resolver a segunda escala de 
turbulência (REZENDE, 2009). 
No presente trabalho foram utilizados modelos de duas equações e nas próximas sessões 
29 
serão abordados os seguintes modelos de duas equações diferenciais parciais da modelagem 
RANS baseados na hipótese de Boussinesq: modelos k-ε, k-ω, SST k-ω e Transition SST. 
 
 
3.4 Modelo k-ε Padrão 
 
 
O modelo k-ε padrão é o modelo de turbulência de duas equações mais utilizado nas últimas 
décadas. Nesse modelo são resolvidas duas equações diferenciais parciais, uma para a energia 
cinética turbulenta k e outra para a dissipação da energia cinética turbulenta por unidade de 
massa ε, presentes nas EQ. 3.21 e EQ. 3.22. A energia cinética turbulenta representa a energia 
cinética dos vórtices das grandes escalas de comprimento. 
A equação exata para a energia cinética em regime permanente é mostrada na EQ. 3.13. 
 
𝑢�̅�
𝜕𝑘
𝜕𝑥𝑖
= 𝜏𝑖𝑗
𝜕𝑢𝑖̅̅ ̅
𝜕𝑥𝑗
− 𝜀 +
𝜕
𝜕𝑥𝑗
(𝜐
𝜕𝑘
𝜕𝑥𝑗
−
1
2
𝑢′𝑖𝑢′𝑗𝑢′𝑗̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ −
1
𝜌
𝑝′𝑢′𝑗̅̅ ̅̅ ̅̅ ) (3.13)