EST. DESCRITIVA - CONCEITOS BÁSICOS 2 EC-V 2021.1 (1)

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Prof. Ivonaldo Pacheco Santana 1 
 
 
 
 
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Sergipe 
Diretoria de Ensino 
Gerência de Ensino Superior 
Coordenadoria do Curso de Licenciatura em Matemática 
 
ESTATÍSTICA 
 
1.0. INTRODUÇÃO 
 
 É comum observarmos em jornais e revistas publicações de pesquisas estatísticas sejam através de tabelas ou 
de gráficos. A palavra estatística significa “análise de dados”. Os dados consistem em informações provenientes de 
observações, contagens, medidas ou respostas. 
 Historicamente, o crescimento e o desenvolvimento da estatística moderna estiveram relacionados a três 
fenômenos isolados: 
 
a) Necessidade do governo de coletar dados sobre seu povo 
 
 Na antiguidade as civilizações egípcia, grega e romana praticavam registros do nº de habitantes, nascimentos 
e mortes visando recolhimento de impostos e recenseamento militar; na idade média, as instituições religiosas 
também mantinham registros de nascimentos, mortes e casamentos. No século XVI surgem as primeiras análises 
sistemáticas, as primeiras tabelas e os números relativos; 
 
b) O desenvolvimento da teoria da probabilidade 
 
 A estatística deixa de ser uma simples tabulação de dados numéricos para se tornar o estudo de como se 
chegar a uma conclusão sobre uma população, partindo da observação de partes dessa população através do uso 
da probabilidade. Esse caráter científico ocorreu já no século XVIII. 
 
c) O advento da informática 
 
 Com o desenvolvimento da informática muitas das funções gráficas e métodos de cálculos estatísticos foram 
incorporados em planilhas eletrônicas como o Microsoft Excel. 
 
Atualmente a metodologia estatística é empregada por pesquisadores em várias áreas, como: 
 
a) biologia molecular (análise de dados de microarranjo); 
b) ecologia (análise quantitativa da distribuição espacial de animais e plantas de diversas populações); 
c) engenharia de matérias (estudo das propriedades de vários tratamentos no retardo a corrosão); 
d) saúde pública (identificação de fontes de doenças e as formas de tratá-las); 
e) farmacologia (estudo de efeito de vários remédios); 
f) marketing político (análise do comportamento competitivo dos governos); 
g) engenharia civil ( avaliação dos efeitos de estresse em elementos estruturais e seus impactos nos fluxos de 
tráfego nas comunidades). 
 
1.1. DEFINIÇÃO 
 
 Estatística é a ciência que compreende um conjunto de técnicas e métodos de pesquisa destinados à coleta, 
organização, descrição, análise e interpretação de dados a fim de tomar decisões. Esses conjuntos de dados são 
chamados de populações e amostras. 
 
1.2. FASES DO MÉTODO ESTATÍSTICO 
 
a) Definição do problema - saber exatamente aquilo que se pretende pesquisar. 
 
b) Planejamento – como levantar informações? Que dados deverão ser obtidos? Quais os custos envolvidos? 
Qual o cronograma de atividades? 
 
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c) Coleta de dados – registro sistemático de dados, com um objetivo determinado, pode ser desenvolvida de 
forma direta (obtida diretamente da fonte) ou indireta (por deduções a partir de elementos da coleta direta, 
por analogia, indícios). Os dados aqui coletados podem ser: 
 
 - Primários (quando são publicados pela própria pessoa ou organização que os haja colhido, por exemplo, o 
censo demográfico do IBGE). 
 - Secundários (quando são publicados por outra organização, por exemplo, um jornal ou revista publica 
estatísticas referentes ao censo demográfico extraídas da pesquisa do IBGE) 
 
d) Crítica dos dados – os dados obtidos devem ser criticados, eliminando-se assim incoerências e má 
interpretação às perguntas dirigidas ao informante. 
 
e) Apuração dos dados – resumo dos dados através de sua contagem e agrupamento, também chamada 
tabulação, pode ser manual ou eletrônica. 
 
f) Apresentação dos dados – Há duas formas: através de tabelas que obedecem regras práticas fixadas pelo 
Conselho Nacional de Estatística ou gráficos, que permitem de forma geométrica uma visão rápida e clara do 
fenômeno. 
 
g) Análise e Interpretação dos dados – está ligada essencialmente ao cálculo de medidas e coeficientes, cuja 
finalidade é descrever o fenômeno (estatística descritiva) a interpretação dos dados fundamentada na teoria das 
probabilidades pertence ao campo da (estatística inferencial). 
 
 
1.3. POPULAÇÃO E AMOSTRA 
 
 População é o conjunto de indivíduos, objetos ou informações que apresentam pelo menos uma 
característica comum cujo comportamento interessa-nos analisar, ou seja, conjunto de todos os resultados, 
respostas, medidas ou contagens que possam fornecer dados ao fenômeno em estudo; 
 
 Na maioria das vezes, por impossibilidade ou inviabilidade econômica ou temporal, limitamos as observações 
referentes a uma determinada pesquisa a apenas uma parte da população. A essa parte proveniente da população em 
estudo denominamos amostra. Assim, Amostra é qualquer subconjunto não vazio de uma população, selecionada 
segundo métodos adequados. O objetivo é tirar conclusões sobre populações com base nos resultados da 
amostra. Para isso é necessário garantir que a amostra seja representativa, ou seja, a amostra deve conter as 
mesmas características básicas da população, no que diz respeito ao fenômeno que desejamos pesquisar.; 
 
 Exemplo. Num levantamento recente feito com apenas 50 alunos do curso Tecnólogo em Meio Ambiente do IFS 
- Campus Aracaju perguntou-se: Você acessa a internet como fonte de estudo pelo menos uma vez por semana? 
42 alunos responderam que “sim”. Identifique a população, a amostra e descreva o conjunto de dados. 
 
 A população consiste nas respostas de todos os alunos matriculados no curso Tecnólogo em Meio Ambiente e a 
amostra consiste nas respostas dos 50 alunos do levantamento. O conjunto de dados consiste em 42 respostas ‘sim’ e 
8 respostas ‘não’. 
 
 Censo é o exame completo de toda população. Quanto maior a amostra mais precisas e confiáveis 
deverão ser as induções feitas sobre a população. Logo, os resultados mais perfeitos são obtidos pelo Censo. 
Na prática, esta conclusão muitas vezes não acontece, pois o emprego de amostras, com certo rigor técnico, 
pode levar a resultados mais confiáveis ou até mesmo melhores do que os que seriam obtidos através de um 
Censo. 
 
 
 
 
 
 
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1.4. ESTATÍSTICA DESCRITIVA E INFERÊNCIA ESTATÍSTICA 
 
 Estatística descritiva é a parte da estatística que se preocupa somente com a coleta, descrição, apresentação e 
análise sem tirar conclusões mais genéricas. 
 
 Inferência estatística ou estatística indutiva é a parte da estatística que, baseando-se em resultados obtidos 
de uma amostra, procura inferir ou tirar conclusões a respeito do comportamento da população, dando a precisão dos 
resultados e com que probabilidade se pode confiar neles. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
n = tamanho da amostra; N = tamanho da população; 

__
X média da amostra;  = média da população; 
S2 = variância da amostra; 2 variância da população; 
S = desvio padrão da amostra;  = desvio padrão da população; 
P = proporção estimada na amostra; p = proporção estimada na população. 
 
1.4.1. DEFINIÇÕES: 
 
Parâmetro é uma descrição numérica de uma característica da população; 
 
Estatística ou Estimador estatístico é uma descrição numérica de uma característica da amostra; 
 
Exemplo. Um recente levantamento numa amostra salarial de 50 técnicos recém egressos do IFS revelou que o 
salário médio inicial no primeiro emprego é de R$ 1500,00. Esse salário médio é uma estatística ou estimador 
estatístico. 
 
Exemplo.Com base em uma amostra de 877 executivos pesquisados, achou-se que 45% deles não contratariam 
alguém que cometesse um erro tipográfico em uma solicitação de emprego. Esse número de 45% é uma estatística. 
 
 Estimação é o processo que usa resultados extraídos da amostra para produzir inferências sobre a população 
da qual foi extraída. 
 
 
1.5. VARIÁVEL 
 
É, convencionalmente, o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno. Classifica-se em: 













contínua
discreta
Quantitiva
ordinal
alno
aQualitativ
VARIÁVEL
min
 
 
 
 
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 Variável Qualitativa – quando seus dados (valores) são expressos por atributos ou qualidades. Subdivide-se em: 
 
Qualitativa Nominal – ocorre quando os números são utilizados para nomear e/ou categorizar dados sobre as 
unidades observacionais. Os dados nominais não gozam das propriedades dos números com que lidamos na 
aritmética usual. Por exemplo, se registramos o estado civil como 1, 2, 3 ou 4 , não podemos escrever que 3 > 1 ou 2 
< 4. Outros exemplos: 
a) marca de veículos, ou seja: VW, Fiat, GM, Toyota. 
b) sexo dos integrantes de uma amostra, ou seja: masculino, feminino. 
 
Qualitativa Ordinal – ocorre quando os números são utilizados para, além de identificar e/ou categorizar, ordenar as 
unidades observacionais segundo um processo de comparação em relação a determinada variável. Por exemplo, em 
economia, costuma-se determinar o nível sócio econômico observando qual ganha mais. Se uma pessoa ganha mais 
que outra, recebe um número maior numa escala de 1 a 4, por exemplo. Com estes números podemos escrever que 4 
> 3. Por outro lado, não podemos escrever 4 – 3 = 2 – 1, por exemplo, porque a diferença de nível entre as classes 4 e 
3 é na verdade muito maior do que entre as classes 2 e 1. Quando só pudermos estabelecer desigualdades, referimo-
nos aos dados como dados ordinais. Outros exemplos: 
 
 a) grau de escolaridade, ou seja: ensino fundamental, ensino médio, superior, pós-graduado. 
 b) grau de satisfação por determinado serviço prestado: péssimo, ruim, bom, ótimo. 
 
 Variável Quantitativa – quando seus dados são de caráter numérico e subdivide-se em: 
 
Quantitativa Discreta – variável que pode assumir um número finito de valores num intervalo finito, ou um número 
infinito enumerável de valores, seus valores são expressos geralmente através de números inteiros não-negativos, 
resulta normalmente de contagens. Por exemplo: 
 
a) número de peças produzidas por uma máquina, ou seja: 0, 1, 2, ..., n. 
b) número de estudantes de uma família, ou seja: 0, 1, 2, ..., n. 
 
Quantitativa Contínua – variável que pode assumir, teoricamente, quaisquer valores num certo intervalo finito 
(número infinito não-enumerável de valores ); resulta normalmente de uma mensuração e a escala numérica de seus 
possíveis valores corresponde ao conjunto dos números reais. Por exemplo: 
 
a) peso de um conjunto de crianças, ou seja: 10,5; 12,4; ...; 14,5. 
b) diâmetro externo de uma peça produzida por uma máquina. 
 
Exemplo. Ao se cadastrar em um site de comércio eletrônico, o usuário deve preencher um questionário com estas 
oito perguntas: 
 
a) Você tem computador em casa? 
b) Quantas vezes por semana você acessa a internet? 
c) Numa escala de zero a 10, qual seu índice de confiança na segurança do comércio eletrônico? 
d) Quantos cartões de crédito você possui? 
e) A residência em que você vive é própria ou alugada? 
f) Qual é o provedor que você utiliza para acessar a internet? 
g) Qual é o tempo médio de acesso à internet? 
h) Já comprou algum produto via internet? 
 
 Cada uma das questões anteriores define uma variável. Classifique-as como qualitativas nominais, qualitativas 
ordinais, quantitativas discretas ou quantitativas contínuas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.6. TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM 
 
 Para coletar dados não tendenciosos, é importante que a amostra seja representativa da população. Vejamos 
algumas técnicas de amostragem apropriadas para termos uma boa inferência sobre a população. 
 
Amostragem Casual ou Aleatória Simples 
 
É aquela na qual toda amostra possível de mesmo tamanho tem a mesma chance de ser selecionada, ou seja, 
os elementos são escolhidos por sorteio. Para obter esta amostra podemos utilizar um meio mecânico (“tabela de 
números aleatórios”) ou eletrônico. 
 
Exemplo. Suponha uma população de 300 alunos matriculados no curso de Saneamento Ambiental do IFS. Obtenha 
uma amostra de 10% desses alunos para pesquisa dos níveis de colesterol, usando amostragem casual. 
Solução. 
 
 
Amostragem Proporcional Estratificada 
 
 Quando a população se divide em estratos (subdivisões), convém que o sorteio dos elementos da amostra leve 
em consideração tais estratos, daí obtemos os elementos da amostra proporcional ao número de elementos desses 
estratos. 
 
Exemplo. Em uma escola existem 500 alunos matriculados no nível superior sendo 128 do curso Tecnólogo em 
Meio Ambiente, 182 em Licenciatura em Matemática, 98 em Engenharia civil e 92 em Licenciatura em Química. 
Obtenha uma amostra de 20% dos alunos preenchendo o quadro abaixo 
 
CURSO POPULAÇÃO CÁLCULO AMOSTRA 
Tec. Meio Ambiente 
Lic. Matemática 
Eng. Civil 
Lic. Química 
TOTAL 500 
 
 
 Exemplo.Uma população encontra-se dividida em 5 estratos, com tamanhos respectivamente, n1= 40, n2 = 55, n3 = 34, 
 n4 = 60 e n5 = 41. Sabendo-se que, ao ser realizada uma amostragem proporcional estratificada, o número total da 
amostra foi 46 elementos, determine o tamanho de cada estrato. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Amostragem Sistemática 
 
 Quando os elementos da amostra já se acham ordenados, não há necessidade de criar o sistema de referência. 
São exemplos os prontuários médicos de um hospital, os prédios de uma rua, etc. Nestes casos, a seleção dos 
elementos que contribuirão a amostra pode ser feita por um sistema imposto pelo pesquisador. 
 
 Seja N o tamanho da população e n o tamanho da amostra, então, calcula-se o intervalo de amostragem 
I = N/n ou o inteiro mais próximo de I. sorteia-se, através de um dispositivo aleatório qualquer, um número “x” entre 
1 e I, formando-se a amostra dos elementos correspondentes aos números: x; x + I; x + 2I; ... ; x + (n-1)I. Observa-se 
que a sequência dos elementos sorteados forma uma progressão aritmética de razão r = I. 
 
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Exemplo. Suponhamos uma rua com 900 casas, das quais desejamos obter uma amostra formada por 50 casas para 
uma pesquisa de opinião. Podemos, neste caso, usar o seguinte procedimento: Dividimos 900/50 = 18, escolhemos 
por sorteio casual um número de 01 a 18, o qual indicaria o primeiro elemento sorteado para a amostra; os demais 
elementos seriam periodicamente considerados de 18 em 18.Assim, suponhamos que o nº sorteado fosse 4, a amostra 
seria: 4ª casa, 22ª casa,40ª casa, 58ª casa, 76ª casa, etc. 
 
 
Exemplo. Um hotel tem um fichário com o registro de 5250 clientes e pretende amostrar 250 fichas. Obtenha, por 
meio da amostragem sistemática, os números dos registros das 5 primeiras fichas e o número da última ficha. Sabe-se 
que a primeira ficha sorteada foi a de número 17 (x = 17). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. 7. TABELA ESTATÍSTICA 
 
 É uma das formas de apresentação dos dados assumidos por uma ou mais variáveis, deve ter uma forma 
objetiva e clara de se demonstrar o comportamento da variável em análise. É estruturada através de traços 
horizontais que separam o título, o cabeçalho e o rodapé. Uma tabela compõe-se de: 
 
Título – conjunto de informações no topo da tabela que respondem às perguntas: O quê? Quando? Onde? 
Cabeçalho – parte superior da tabela que especifica o conteúdo das colunas; 
Coluna Indicadora – parte da tabela que especifica o conteúdodas linhas; 
Corpo – conjunto de linhas e colunas onde registramos dados numéricos e informações; 
Rodapé – local onde se registra a fonte dos dados e observações da tabela. 
 
Exemplo. 
 Arrecadação de Tributos da União – 1994 
 (em bilhões de R$) 
____________________________________________________ 
 Período IR COFINS IPI IMPORTAÇÃO 
____________________________________________________ 
 Trim. 1 5,91 2,64 3,13 0,62 
 Trim. 2 6,60 2,81 3,14 0,77 
 Trim. 3 5,40 3,76 3,21 0,83 
 Trim. 4 6,24 4,26 3,76 0,80 
____________________________________________________ 
 Fonte: IPEA/DIPES 
 
De acordo com a Resolução 886 da Fundação IBGE, nas casas ou células devemos colocar: 
 um traço horizontal () quando o valor é zero, não só quanto à natureza das coisas, como quanto ao 
resultado do inquérito; 
 três pontos (...) quando não temos os dados; 
 um ponto de interrogação (?) quando temos dúvida quanto à exatidão de determinado valor; 
 zero (0) quando o valor é muito pequeno para ser expresso pela unidade utilizada. Se os valores são 
impressos em números decimais, precisamos acrescentar à parte decimal um número correspondente 
de zeros (0,0; 0,00; 0,000; ...). 
 
 
 
 
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1. 8. SÉRIES ESTATÍSTICAS 
 
 Toda tabela que apresenta a distribuição de um conjunto de dados estatísticos em função da época, do 
local ou da espécie. 
 
Séries Históricas ou Cronológicas 
 
 Os dados são observados segundo a época de ocorrência. 
 
 Preço do Acém no varejo 
 São Paulo (1989 – 1994) 
Anos Preço médio 
(US$) 
1989 2,24 
1990 2,73 
1991 2,12 
1992 1,89 
1993 2,04 
1994 2,62 
Fonte: APA 
 
 
Séries Geográficas ou Espaciais 
 
 Os dados são observados segundo a localização de ocorrência. 
 
 Duração média dos estudos 
 Superiores 1994 
Países Nº de anos 
Itália 7,5 
Alemanha 7,0 
França 7,0 
Holanda 5,9 
Inglaterra menos de 4 
Fonte: Revista Veja 
 
Séries Categóricas ou Específicas 
 
São constituídas por dados obtidos nas diferentes categorias de uma mesma variável 
 
 Rebanhos Brasileiros 
 1992 
Espécies Quantidade 
(1000 cabeças) 
Bovinos 154.440,8 
Suínos 34.532,2 
Ovinos 19.995,6 
Caprinos 12.159,6 
Fonte: IBGE 
 
 
Séries Conjugadas 
 
 Conjugando duas séries em uma única tabela obtemos uma tabela de dupla entrada. Ficam assim criadas 
duas ordens de classificação: uma horizontal e uma vertical. 
A série conjugada abaixo se classifica como específica – temporal 
 
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 Produção Brasileira de Aço Bruto 
 1991 – 1993 
Processos 
Quantidade (1000 t) 
1991 1992 1993 
Oxigênio Básico 17.934 18.849 19.698 
Forno Elétrico 4274 4637 5065 
EOF 409 448 444 
Fonte: Instituto Brasileiro de Siderurgia 
 
 
 2.0. DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÊNCIA 
 
 Uma vez coletados, os dados brutos ainda não se encontram prontos para análise, por não estarem 
numericamente organizados. Para determinada variável em estudo, verificamos o número de vezes com que ocorre 
cada um de seus valores, esse número chama-se frequência absoluta ou freqüência simples, normalmente 
indicada por fi. Definimos a frequência relativa como a razão entre cada valor absoluto assumido pela variável e 
o nº total de dados: 
n
f
f ir  
 
 A organização de uma tabela de frequência pode se dá das seguintes formas: 
 
 
 
2.1. Distribuição de Frequência - Variável Discreta 
 
 Devemos optar por uma variável discreta na representação de uma série de valores quando o número de 
elementos distintos da série for pequeno. 
 
Exemplo. Considere o conjunto de temperaturas (em °C) registradas durante vinte dias num determinado local: 
 
 23 24 25 20 20 18 25 23 20 19 
 19 23 25 20 20 25 24 19 19 25 
 
A tabela de frequência correspondente é: 
 
Temp. (ºC) 
( ix ) 
if irf irf (%) 
 
 
 
 
 
 
Total 
 
 
2.2. Distribuição de Frequência - Variável Contínua 
 
 Devemos optar por uma variável contínua na representação de uma série de valores quando o número de 
elementos distintos da série for grande. Isto ocorre quando os valores assumidos pela variável pertencem a um 
determinado intervalo real, com pouca coincidência de valores. Neste caso, os dados serão agrupados em classes 
ou intervalos, que podem ser do tipo aberto, semiaberto ou fechado. 
 Convencionaremos que cada intervalo construído será do tipo semiaberto (fechado à esquerda e aberto à 
direita): 
 a |---- b significa [a, b[ = { xaRx  | <b } 
 
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Exemplo. Considere a série de valores das emissões de óxido de enxofre (em t) emitidas por uma indústria em 30 
dias: 
 
 5 14 6 9 20 9 8 9 15 11 25 13 5 14 15 15 18 15 16 19 
 
 16 10 16 7 21 20 23 25 24 12 
 
 Para construção da Distribuição de Frequência - Variável Contínua introduziremos os seguintes conceitos: 
 
a) Rol – consiste em descrever os valores da variável em ordem crescente: 
 
 5 5 6 7 8 9 9 9 10 11 12 13 14 14 15 15 15 15 16 16 
 
 16 18 19 20 20 21 23 24 25 25 
 
b) Amplitude Total (A.T.) – diferença entre o maior e o menor valor da amostra, ou seja: A.T. = mínmáx XX  . 
Temos: A.T. = 25 – 5 = 20t 
 
c) Nº de classes (k) – embora não exista um critério rígido, podendo o pesquisador adotar o número de intervalos 
ou classes de sua preferência, os critérios mais usuais são: 
- Critério da raiz: k = n 
- Critério de Sturgers: k = 1 + 3,3. nlog , onde n representa o total de elementos da amostra; 
 
Adotando o critério de Sturgers, vem: k = 1 + 3,3.log n = 1+3,3.log30 = 5,8  6 classes. 
 
d) Amplitude do intervalo de classe (h) – devemos adotar intervalos de mesma amplitude h, tal que h 
k
AT
. 
Para os valores acima, temos: ...33,3
6
20
h , adotaremos 4h . 
 A tabela de frequência correspondente é: 
 
i Emissões de 
Óxido de SO2 
if (nº de 
emissões) 
 
 iX 
1 5 |----- 9 5 7 
2 9 |-----13 6 11 
3 13 |-----17 10 15 
4 17 |-----21 4 19 
5 21 |----- 25 3 23 
6 25 |-----29 2 27 
 Total 30 
 
 A coluna iX indica o ponto médio da classe, cuja intenção é obter um valor representativo de classe. É 
obtido através da média aritmética entre os extremos do intervalo, ou seja, 
2
ba
X i

 . Dessa forma, 7ix significa 
que as 5 (cinco) emissões do intervalo 5 |----- 9 podem ser consideradas como 7t. 
 
 
2.3. Tipos de frequências 
 
 Obtidas a partir da frequência absoluta convém destacar as frequências relativa, acumulada e acumulada 
relativa, cujo objetivo é ampliar as formas de interpretação da distribuição: 
 Frequência Relativa (
ir
f ) – representa a razão entre a frequência absoluta da classe e a frequência total, pode 
ser expressa no modo percentual como 
ir
f (%); %100.
n
f
f iri  
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 Frequência Acumulada ( iF ) – representa a soma ou acumulo da frequência absoluta desde a 1ª classe até 
uma classe de ordem i , ki  ; 


k
i
ii fF
1
 
 Frequência Acumulada Relativa )(
ir
F - representa a razãoentre frequência acumulada da classe a frequência 
total %100.
n
F
F iri  
 
 
i 
Emissões de 
Oxido de SO2 
if 
nº de dias 
iX 
ir
f 
ir
f (%) iF 
%)(
ir
F 
1 5 ├ 9 5 7 
2 9 ├ 13 6 11 
3 13 ├ 17 10 15 
4 17 ├ 21 4 19 
5 21 ├ 25 3 23 
6 25 ├ 29 2 27 
 Total 30 --- 
 
 
Convém agora que façamos a interpretação das frequências obtidas. Suponha a linha )4( i da tabela: 
 
 Das 30 emissões de óxido de enxofre emitidas por essa indústria em 30 dias, verificou-se que 4 delas estão 
no intervalo de 17 ├ 21 toneladas representando 15% do total das emissões. Também é possível afirmar que 25 das 
emissões ou 83,33% foram inferiores a 21 toneladas. 
 
 
Exemplo. O rol abaixo corresponde ao nível de barulho, medido em decibéis (dB) em 28 horários 
diferentes num determinado local de trabalho: 
 
 60 65 68 69 72 74 75 77 78 82 83 83 85 87 
 90 90 91 94 94 95 97 100 102 107 108 110 112 115 
 
Utilize o critério da raiz ( nk  ) para elaborar uma distribuição de freqüência com classes de 
amplitudes constantes a partir do menor elemento do rol. Apresente as freqüências: absoluta, relativa 
percentual e a freqüência acumulada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.4. Representações Gráficas 
 
 Outra forma de apresentação da organização, resumo e descrição de um conjunto de dados ocorre através dos 
gráficos estatísticos. Esses devem contribuir com conclusões sobre a evolução do fenômeno em estudo ou sobre 
como se relacionam os valores da série, devem ser autoexplicativos e de fácil compreensão. Estudaremos o gráfico 
de barras (verticais ou horizontais), o gráfico de linha, o gráfico de setores, o pictograma, o histograma, o polígono 
de frequência e o polígono de frequência acumulada. 
 
 
2.4.1. Gráficos para variável qualitativa 
 
 Os gráficos de barras (horizontais ou verticais), os gráficos de setores (ou de pizza) e o gráfico de linhas 
(poligonal) são os mais utilizados na representação de variáveis categorizadas, dessa forma, as frequências de 
observações são mostradas cada nível ou categoria da variável. 
 
Gráfico de barras 
 
 Os gráficos de barras verticais apresentam os dados por meio de colunas (retângulos) dispostos em 
posição vertical. A altura de cada retângulo é proporcional a frequência (absoluta ou relativa) dos valores 
observados. 
 
Exemplo. O gráfico abaixo mostra a distribuição da população mundial separada por continente. O continente 
americano apresenta-se divido em América do Norte e América Latina/Caribe. 
 
 
 
 Observando esse gráfico é possível afirmar que: 
 
a) Em 2015 a população mundial era de 7349,4 milhões de habitantes, ou seja, aproximadamente 7 
bilhões e 349 milhões de habitantes; 
 
b) A população no continente americano superava a população da Europa, mas não superava a população 
da África; 
 
c) A razão entre as populações dos dois continentes mais populosos era aproximadamente 3,7; 
 
d) A população da América do Norte em 2015 representava 4,86% da população mundial. 
 
 
 Os gráficos de barras horizontais apresentam os dados por meio de barras (retângulos) dispostos em posição 
horizontal. O comprimento de cada barra é proporcional a frequência (absoluta ou relativa) dos valores observados. 
 
 
 
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Exemplo. 
 
 
 
Observando esse gráfico é possível afirmar que: 
 
a) A menor taxa de mortalidade infantil em 2013 ocorreu na Região Sul; 
 
b) A taxa de mortalidade infantil da região Nordeste superou, aproximadamente, 10,5% da taxa da região 
Sudeste; 
 
 
 É possível a utilização de barras múltiplas com intuito comparativo das frequências entre duas ou mais 
categorias 
 
Exemplo. 
 
 
 
 Observando esse gráfico é possível afirmar que: 
 
a) Em 2009, 48,1% da população da região sudeste, com idade igual ou superior a 10 anos era usuária de internet; 
 
b) Em 2005, os percentuais de usuários de internet, com idade igual ou superior a 10 anos, nas regiões Norte e 
Nordeste eram praticamente iguais; 
 
 
Gráfico de linhas (poligonal) 
 
 É um tipo de gráfico muito utilizado para representar o comportamento de um conjunto de 
valores ao longo de um período. Consiste na obtenção de pontos de forma semelhante aos pontos do plano 
cartesiano, ligados por segmentos de retas. 
 
 
 
 
 
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Exemplo. Analise o gráfico abaixo e classifique as afirmações em verdadeiras (V) ou falsas (F). 
 
 
 
a) O percentual de jovens de até 14 anos vem caindo desde 1940. 
 
b) A máxima diferença entre os percentuais de jovens de até 14 anos e adultos com 60 anos ou mais foi registrada 
no Censo de 1960. 
 
c) Se a população brasileira em 2010 era de aproximadamente 190 milhões, então mais de 40 milhões de 
habitantes tinham até 14 anos. 
 
 
d) Se o Censo de 2000 indicava uma população de 14450000 idosos no Brasil, então a população 
brasileira ultrapassava a barreira dos 175 milhões de pessoas. 
 
 
 
Gráfico de setores 
 
Obtido através da divisão do círculo em setores circulares proporcionais às frequências absolutas ou 
relativas da variável, é utilizado para comparar cada valor ou categoria com o total, através da regra de três: 
 
 total ---------- 360° ----------- 100% 
 parte ----------- x° ------------ y % 
 
Exemplo. Considere a pesquisa realizada com 88 alunos dos cursos médio, técnico e tecnólogo do CEFET/SE 
perguntados sobre suas expectativas em relação a qualidade dessa instituição de ensino em 2004: 
 
Expectativa N° de 
alunos 
if 
(%)
ir
f 
Ótima 2 2 
Boa 44 50 
Ruim 28 32 
Péssima 8 9 
Não respondeu 6 7 
Total 88 100 
 
 Cada valor de frequência aferida aos atributos da variável “Expectativa” fica representada por um setor 
circular. O ângulo de cada setor é: 
 
 
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Expectativas dos Dicentes do CEFET-SE. 
JULHO 2004 
2
44
28
8
6
 Ótima
Boa
Ruim
Péssima
Ñ Respondeu
Fonte: 3º MB
 
 Ótima Boa Ruim Péssima Não respondeu 
 88 ----- 360º 88 ----- 360º 88 ----- 360º 88°----- 360° 88° ----- 360° 
 2 ----- 1x ° 44 ----- 2x º 28 ----- 3x º 8 ------ 4x 6 ---- 5x º 
  81x 2x = 180º  5,1143x  334x  5,245x 
 
Expectativa dos alunos do CEFET 
sobre a qualidade dessa instituição/ 
Julho de 2004 
Boa
 Ruim
 Péssima
Ótima
Não respondeu
Fonte: Pesquisa realizada pelas alunas do CEFET-SE - Elza Guimarães, Marcela Couto, Mary 
 
 
 
 
Exemplo. Em uma cidade, o mercado de leite é disputado por quatro marcas: X,Y,Z e W. Os resultados de uma 
sondagem a propósito da marca preferida, realizada com 400 consumidores, estão parcialmente apresentados na 
tabela e no gráfico seguinte: 
 
 
 Determine: 
 a) a diferença entre o número de consumidores que preferem Z a W; 
 
 
 
 b) a diferença entre os ângulos correspondentes a X e Y. 
 
 
 
Exemplo. Analisando o gráfico de barras abaixo, classifique em V ou F cada sentença seguinte, justificando: 
 
a) Se esse conjunto de dados fosse representado em um gráfico 
de setores, o ângulo correspondente a região sul seria menor que 
90°. 
 
b) O nº de emissoras da região Sudeste supera a soma do nº de 
emissoras dasregiões Nordeste, Centro-Oeste e Norte. 
 
 
c) Supondo que Goiás concentre 60% das emissoras de sua região, 
 o percentual de emissoras do país representado por esse Estado é 
 menor que 5%. 
Marca de 
preferência 
Freqüência 
absoluta 
X 230 
Y 120 
Z ∆ 
W ∆ 
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Gráficos Pictóricos 
 
 Consiste num gráfico animado por figuras relacionadas ao assunto em destaque, também utilizado para 
quantificar informações. Possuem forte apelo visual, chamando atenção e curiosidade do leitor, por isso, muito 
utilizado nos meios de comunicação. 
 
Exemplo. No pictograma abaixo está representada a queda na área desmatada anualmente em uma floresta de certo 
país, devido à maior fiscalização dos órgãos governamentais, no período de 2012 a 2016. Cada árvore do gráfico 
representa 25 mil hectares de floresta desmatada. 
 
 
 
Sabendo que 1 hectare equivale a 10000 m2 , determine a área, em km2, correspondente à superfície de floresta 
desmatada em 2013 e em 2015. 
 
 
 
 
2.4.2. Gráficos para variável quantitativa 
 
 O histograma, o polígono de frequência e o polígono de frequência acumulada são os gráficos mais 
adequados a representação das distribuições da variável quantitativa onde as frequências de observações são 
relacionadas a cada valor ou conjunto de valores de uma variável. 
 
Histograma 
 
 Gráfico usado para representar valores assumidos por uma variável quantitativa quando estes estão 
agrupados em classes. Semelhante ao gráfico de barras, porém com retângulos justapostos; o comprimento da base 
de cada retângulo coincide com a amplitude da classe e a altura corresponde a frequência da classe representada. 
Dessa forma, a área do histograma fica proporcional à soma das frequências da distribuição. 
 
Polígono de Frequência 
 
 Gráfico de linha poligonal obtido pela ligação dos pares ordenados  ii fx , onde ix representa o ponto 
médio da classe e if a respectiva frequência absoluta. Para visualização do polígono admitimos uma classe anterior 
à primeira e outra posterior à última, ambas de frequência nula. È possível traçá-lo conjuntamente ao histograma. 
 
 
Polígono de Frequência Acumulada ou Ogiva de Galton 
 
 É um gráfico de linha poligonal obtido pela ligação dos pares ordenados  ii Fb , onde ib e iF 
representam respectivamente o limite superior e a frequência acumulada da classe i . O gráfico começa no limite 
inferior da 1ª classe (frequência acumulada zero) e termina no limite superior da última classe (frequência acumulada 
igual ao tamanho da amostra). 
 
Exemplo. Construa o histograma, o polígono de frequência e o polígono de frequência acumulada da seguinte 
distribuição: 
 
 
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i 
Emissões 
de SO 
if 
nº de dias 
iX 
 1 5 ├ 9 5 7 
2 9 ├ 13 6 11 
3 13 ├ 17 10 15 
4 17 ├ 21 4 19 
5 21 ├ 25 3 23 
6 25 ├ 29 2 27 
 Total 30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.1. Formas das curvas de freqüência 
 
Curvas em forma de sino 
 
 As curvas em firma de sino caracterizam-se pelo fato de apresentarem um valor máximo na 
região central. Fenômenos pesquisados como peso de adultos, inteligência medida em testes mentais 
oferecem distribuições em forma de sino. Essas curvas podem ser simétricas ou assimétricas. 
 
Curva simétrica 
 
 Esta curva caracteriza-se por apresentar o valor máximo no ponto central e os pontos 
eqüidistantes desse ponto ter a mesma frequência. 
 
 
 
Curvas assimétricas 
 Na prática, não se encontram distribuições perfeitamente simétricas. As distribuições obtidas de medidas 
reais são mais ou menos assimétricas, em relação á freqüência máxima. Assim, as curvas correspondentes a tais 
distribuições apresentam a cauda de um lado da ordenada máxima mais longa que a do outro. Se a cauda mais 
longa fica a direita é chamada assimétrica positiva, se a cauda se alonga à esquerda, chama-se assimétrica 
negativa. 
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 Assimétrica Positiva Assimétrica Negativa 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
01. A tabela seguinte refere-se aos resultados de uma pesquisa, realizada com 400 adolescentes, a respeito de seu 
lazer preferido: 
 
Lazer Frequência 
absoluta 
Frequência 
relativa 
Porcentagem 
(%) 
Instrumento Musical a 0,06 b 
Internet 92 c d 
Esporte e f 9% 
Sair à noite 180 g h 
Outros i j 1 
Total 400 1,00 100% 
 
Quais são os valores de a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,l? 
 
02. Uma indústria embala peças em caixas com 100 unidades. O controle de qualidade selecionou 48 caixas na 
linha de produção a anotou em cada caixa o número de peças defeituosas. Obteve os seguintes dados: 
 
2 0 0 4 3 0 0 1 0 0 1 1 2 1 1 1 1 1 1 0 0 0 3 0 0 0 2 0 0 1 
 
1 2 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 
 
Elabore uma distribuição de frequência - variável discreta. 
 
 
03. Na tabela seguinte, estão representados os resultados de um levantamento realizado com 180 pessoas, na praça 
de alimentação de um Shopping Center, sobre seus gastos em uma refeição. 
 
Gastos (R$) Nº de pessoas 
5 |----- 10 63 
10 |----- 15 x + 54 
15 |----- 20 2x 
20 |----- 25 x/2 
 
a) Qual é o valor de x? 
b) Que porcentagem do total de entrevistados gasta de R$ 20,00 a R$ 25,00 por refeição? 
c) Que porcentagem do total de entrevistados gasta menos de R$ 15,00 por refeição? 
 
 
04. Foram testadas 30 lâmpadas. Os tempos de duração em horas foram: 
 
 300 600 750 1100 400 900 405 320 770 800 520 950 
 1050 390 670 450 430 530 480 800 280 700 312 800 
 1000 900 290 350 485 315. 
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Construa uma tabela de distribuição de frequências. Use o critério da Sturgers para determinação do nº de classes e 
adote classes de amplitudes constantes. 
 
 
05. Vinte e cinco jovens de até 15 anos foram selecionados para participar de um programa desenvolvido pela 
Secretaria e Esportes de uma cidade cujo objetivo consiste na formação de futuros jogadores de vôlei. As alturas dos 
jovens (em metro) são dadas a seguir: 
 
1,82 1,77 1,79 1,74 1,73 1,81 1,82 1,69 1,71 1,78 1,78 1,88 1,72 1,65 1,75 1,78 1,73 
1,82 1,84 1,74 1,76 1,79 1,83 1,76 1,70 
 
a) A partir da menor altura encontrada, agrupe os dados em classes pelo critério da raiz e faça a tabela de freqüência 
correspondente. 
 
b) Em visita ao centro de treinamento, um técnico estrangeiro sugeriu que pelo menos 48% dos jovens deveriam ter 
estatura superior ou igual a 1,80 m. Quantos jovens nessas condições devem ser incorporados ao atual grupo, de 
acordo com tal sugestão? Use os dados agrupados no item a. 
 
 
06. O histograma seguinte mostra as temperaturas máximas diárias registradas em 80 dias durante um verão na 
cidade do RJ. 
 
 
 
a) Em quantos dias a temperatura máxima manteve-se abaixo dos 38°C? 
b) Em quantos dias a temperatura máxima variou de 36°C a 42°C? 
c) O dono de uma barraca de praia disse que o carioca costuma tomar 1 litro de cerveja na praia por dia quando a 
temperatura está abaixo de 32°C e que, para cada 2°C de aumento da temperatura, esse consumo sobe 10% (em 
relação ao consumo anterior). Se um carioca foi à praia nesses 80 dias, quantos litros de cerveja consumiu ao 
todo, de acordo com essa previsão? 
 
 07. A tabela seguinte informa os valores de 160 empréstimos solicitados a um banco por pessoas físicas durante 
 uma semana. 
Valor do empréstimo 
(em R$) 
Frequênciaabsoluta 
Frequência 
relativa 
200 |----- 400 a b 
400 |----- 600 60 c 
600 |----- 800 d e 
 800 |----- 1000 f 0,05 
1000 |----- 1200 g h 
Total 160 1,00 
 
 Complete a tabela, sabendo que 52,5% dos empréstimos representavam valores maiores ou iguais a R$ 600,00 e 
que, entre eles, 
3
2
 eram inferiores a R$ 800,00.