Introdução à Física Computacional

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Indaial – 2020
Introdução à FísIca 
computacIonal
Prof.a Luciane Janice Venturini da Silva 
Prof.a Priscila Chaves Panta
1a Edição
Copyright © UNIASSELVI 2020
Elaboração:
Prof.a Luciane Janice Venturini da Silva 
Prof.a Priscila Chaves Panta
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
Impresso por:
S586i
Silva, Luciane Janice Venturini da
Introdução à física computacional. / Luciane Janice Venturini da 
Silva; Priscila Chaves Panta. – Indaial: UNIASSELVI, 2020.
204 p.; il.
ISBN 978-65-5663-340-4
ISBN Digital 978-65-5663-339-8
1. Física computacional. - Brasil. I. Panta, Priscila Chaves . II. Centro 
Universitário Leonardo da Vinci.
CDD 004
apresentação
Caro aluno!
Seja bem-vindo à disciplina de Introdução à Física Computacional. 
Cada capítulo deste livro apresenta um número razoável de exemplos 
resolvidos passo a passo, bem como um resumo e autoatividades acerca do 
conteúdo abordado. 
A Unidade 1 fornece uma introdução geral e alguns conceitos básicos 
sobre métodos numéricos e sobre erros em soluções numéricas. Inclui 
também um tópico dedicado à Linguagem de Programação Fortran, onde 
será apresentado o programa, incluindo sua estruturação e processamento. 
Na Unidade 2, você terá acesso a alguns dos mais utilizados 
aplicativos de auxílio para o ensino de ciências, como o Geogebra, Modellus 
X, OpenScad e o Tracker.
O GeoGebra é um programa com finalidades didáticas para ser 
utilizado em situações de ensino e aprendizagem de ciências. Por meio dele 
é possível utilizar múltiplas representações gráficas de objetos matemáticos 
e realizar cálculos aritméticos, algébricos. Uma breve abordagem de seu 
desenvolvimento será feita, apresentando sua interface, algumas de suas 
funcionalidades e as etapas necessárias para construção de alguns objetos. 
O Modellus X é um aplicativo didático extremamente amigável que 
dá as aulas de Física simulações e gráficos com grande riqueza de detalhes. A 
partir de pouca habilidade algébrica é possível criar suas próprias animações.
OpenScad é um software de código aberto que auxilia na criação de 
sólidos 3D CAD. É um modelador baseado somente em scripts e utiliza sua 
linguagem própria. Nas animações em 3D é possível visualizar com riqueza 
de detalhes.
E o Tracker para o estudo do movimento em aulas de física. O 
Tracker é um programa vinculado ao projeto Open source Phisics (Davidson 
College), que cria programas abertos designado ao ensino de física. 
Na sequência, a Unidade 3 apresenta uma introdução a linguagem de 
programação Latex. Você encontrará um breve apanhado a respeito do contexto 
histórico do programa, sua estrutura, bem como o processamento do documento.
Desejamos um bom estudo a todos!
Prof.a Luciane Janice Venturini da Silva 
Prof.a Priscila Chaves Panta 
Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfi m, tanto para 
você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há 
novidades em nosso material.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é 
o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um 
formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. 
O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova 
diagramação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também 
contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.
Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, 
apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade 
de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. 
Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para 
apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto 
em questão. 
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas 
institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa 
continuar seus estudos com um material de qualidade.
Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de 
Desempenho de Estudantes – ENADE. 
Bons estudos!
NOTA
Olá acadêmico! Para melhorar a qualidade dos 
materiais ofertados a você e dinamizar ainda mais 
os seus estudos, a Uniasselvi disponibiliza materiais 
que possuem o código QR Code, que é um código 
que permite que você acesse um conteúdo interativo 
relacionado ao tema que você está estudando. Para 
utilizar essa ferramenta, acesse as lojas de aplicativos 
e baixe um leitor de QR Code. Depois, é só aproveitar 
mais essa facilidade para aprimorar seus estudos!
UNI
Olá, acadêmico! Iniciamos agora mais uma disciplina e com ela 
um novo conhecimento. 
Com o objetivo de enriquecer seu conhecimento, construímos, além do livro 
que está em suas mãos, uma rica trilha de aprendizagem, por meio dela você terá 
contato com o vídeo da disciplina, o objeto de aprendizagem, materiais complementares, 
entre outros, todos pensados e construídos na intenção de auxiliar seu crescimento.
Acesse o QR Code, que levará ao AVA, e veja as novidades que preparamos para seu estudo.
Conte conosco, estaremos juntos nesta caminhada!
LEMBRETE
sumárIo
UNIDADE 1 — MÉTODOS NUMÉRICOS ....................................................................................... 1
TÓPICO 1 — MÉTODOS NUMÉRICOS E INTRODUÇÃO À LINGUAGEM DE 
PROGRAMAÇÃO FORTRAN ................................................................................... 3
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 3
2 INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS NUMÉRICOS ......................................................................... 3
3 ERROS EM SOLUÇÕES NUMÉRICAS .......................................................................................... 5
3.1 ERROS DE ARREDONDAMENTO ............................................................................................. 6
3.2 ERROS DE TRUNCAMENTO ...................................................................................................... 7
3.3 ERRO ABSOLUTO E ERRO RELATIVO .................................................................................... 8
4 FORMAS DE REPRESENTAÇÃO NUMÉRICA E ARITMÉTICA DE PONTO 
FLUTUANTE ...................................................................................................................................... 11
5 MÉTODOS NUMÉRICOS ............................................................................................................... 19
5.1 CRITÉRIOS DE PARADA ............................................................................................................ 23
5.1.1 Método da Bissecção ........................................................................................................... 24
5.1.2 Método da Posição Falsa .................................................................................................... 31
5.1.3 Método de Newton-Raphson ............................................................................................. 35
RESUMO DO TÓPICO 1..................................................................................................................... 39
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 40
TÓPICO 2 — LINGUAGEM DE PROGRAMAÇÃO FORTRAN ............................................... 43
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 43
2 HISTÓRICO ........................................................................................................................................44
2.1 APRESENTAÇÃO DO PROGRAMA ........................................................................................ 46
2.2 FORMATAÇÃO DO PROGRAMA ............................................................................................ 47
2.3 COMPILAÇÃO E EXECUÇÃO DO PROGRAMA .................................................................. 48
3 ESTRUTURAÇÃO DO DOCUMENTO – CONCEITOS BÁSICOS ........................................ 49
3.1 CONSTANTES EM FORTRAN ................................................................................................... 51
3.1.1 Tipo inteiro (em FORTRAN: INTEGER) .......................................................................... 51
3.1.2 Tipo real (em FORTRAN: REAL) ...................................................................................... 51
3.1.3 Tipo complexo (em FORTRAN: COMPLEX) .................................................................. 52
3.1.4 Tipo caracter (em FORTRAN: CHARACTER) ................................................................ 52
3.1.5 Tipo lógico (em FORTRAN: LOGICAL)........................................................................... 53
3.1.6 Identificadores ...................................................................................................................... 54
3.1.7 Variáveis (simples) ............................................................................................................... 54
3.1.8 A instrução IMPLICIT NONE ............................................................................................ 56
3.1.9 Comando PARAMETER ..................................................................................................... 57
3.1.10 Comando STOP .................................................................................................................. 58
4 PROCESSAMENTOS DO DOCUMENTO .................................................................................. 58
4.1 I/O SIMPLES .................................................................................................................................. 58
4.2 ENTRADA E SAÍDA DE DADOS COM ARQUIVOS ............................................................. 59
4.3 INSTRUÇÃO OPEN ..................................................................................................................... 59
4.4 INSTRUÇÃO CLOSE ................................................................................................................... 60
LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................................ 62
RESUMO DO TÓPICO 2..................................................................................................................... 64
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 65
REFERÊNCIAS ...................................................................................................................................... 67
UNIDADE 2 — MÉTODOS BÁSICOS DE COMPUTAÇÃO CIENTÍFICA OU MÉTODOS 
COMPUTACIONAIS EM FÍSICA .....................................................................................69
TÓPICO 1 — GEOGEBRA .................................................................................................................. 71
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 71
2 APLICATIVOS COMPUTACIONAIS DE AUXÍLIO PARA O ENSINO DE CIÊNCIAS ......... 71
2.1 SOFTWARE GEOGEBRA ............................................................................................................ 72
2.2 INSTALAÇÃO DO SOFTWARE GEOGEBRA ......................................................................... 74
2.3 APRESENTANDO O GEOGEBRA – NOÇÕES BÁSICAS ...................................................... 75
2.4 BARRA DE MENUS ..................................................................................................................... 75
2.5 JANELAS ....................................................................................................................................... 77
2.6 CAMPO DE ENTRADA DE TEXTO .......................................................................................... 77
2.7 BARRA DE FERRAMENTAS ...................................................................................................... 78
RESUMO DO TÓPICO 1..................................................................................................................... 98
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 99
TÓPICO 2 — SOFTWARE MODELLUS ........................................................................................ 101
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 101
2 INTRODUÇÃO AO MODELLUS X ............................................................................................. 102
2.1 O SOFTWARE MODELLUS X E SUA UTILIZAÇÃO NO ENSINO DE CIÊNCIAS ........ 102
2.2 PROBLEMA PROPOSTO PARA NO MODELLUS X: MOVIMENTO DE PROJÉTIL ........ 103
2.3 COMO GERAR E SALVAR ARQUIVO NO MODELLUS X ................................................. 105
2.4 INTERFACE GRÁFICA NO MODELLUS X ........................................................................... 106
2.5 MODELAGEM ALGÉBRICA NO MODELLUS X ................................................................. 107
2.6 PARÂMETROS DO MODELLUS X ......................................................................................... 110
3 CONTROLE NO MODELLUS ...................................................................................................... 111
3.1 COMO PLOTAR UM GRÁFICO NO MODELLUS X ............................................................ 112
3.2 TABELA NO MODELLUS X ..................................................................................................... 113
3.3 ANIMAÇÃO NO MODELLUS ................................................................................................. 114
4 TESTES CONDICIONAIS ............................................................................................................. 117
4.1 NOTAS NO MODELLUS X ....................................................................................................... 119
RESUMO DO TÓPICO 2................................................................................................................... 121
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 122
TÓPICO 3 — OPENSCAD ................................................................................................................ 123
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 123
2 OPENSCAD – INTRODUÇÃO AO OPENSCAD ..................................................................... 123
3 O SOFTWARE OPENSCAD E SUA UTILIZAÇÃO NO ENSINO DE CIÊNCIAS ............. 124
4 INSTALAÇÃO DO OPENSCAD .................................................................................................. 125
4.1 BIBLIOTECA OPENSCAD ........................................................................................................ 126
5 COMANDOS BÁSICOS DO OPENSCAD ................................................................................ 127
RESUMO DO TÓPICO 3................................................................................................................... 129
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 130
TÓPICO 4 — TRACKER ...................................................................................................................131
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 131
2 TRACKER .......................................................................................................................................... 131
3 A UTILIZAÇÃO DO TRACKER PARA O ENSINO DE CIÊNCIAS ..................................... 132
4 INSTALAÇÃO E NOÇÕES BÁSICAS DO SOFTWARE TRACKER .................................... 134
LEITURA COMPLEMENTAR .......................................................................................................... 141
RESUMO DO TÓPICO 4................................................................................................................... 147
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 148
REFERÊNCIAS .................................................................................................................................... 149
UNIDADE 3 — LINGUAGEM DE PROGRAMAÇÃO LATEX ........................................................... 153
TÓPICO 1 — LINGUAGEM LATEX – NOÇÕES INTRODUTÓRIAS .................................... 155
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 155
2 HISTÓRICO DO PROGRAMA .................................................................................................... 156
3 APRESENTAÇÃO DA PROGRAMAÇÃO LATEX ................................................................... 157
3.1 ESTRUTURAÇÃO DE DOCUMENTO LATEX...................................................................... 161
4 TEXTO TIPOGRÁFICO ................................................................................................................. 166
RESUMO DO TÓPICO 1................................................................................................................... 189
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 190
TÓPICO 2 — PROCEDIMENTOS BÁSICOS DE PROCESSAMENTO DO LATEX ............ 191
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 191
2 PROCESSAMENTO DO DOCUMENTO LATEX ..................................................................... 191
LEITURA COMPLEMENTAR .......................................................................................................... 198
RESUMO DO TÓPICO 2................................................................................................................... 201
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 202
REFERÊNCIAS .................................................................................................................................... 203
1
UNIDADE 1 — 
MÉTODOS NUMÉRICOS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:
• reconhecer a importância do cálculo numérico como uma ferramenta 
indispensável na área da pesquisa pura e aplicada;
• analisar os erros obtidos devido à aplicação de métodos numéricos e propor 
soluções para se minimizá-los ou mesmo eliminá-los, quando for possível;
• apresentar alguns métodos numéricos para a resolução de diferentes 
problemas matemáticos;
• conhecer e aplicar os principais métodos numéricos computacionais para 
a resolução de sistemas de equações algébricas lineares.
Esta unidade está dividida em dois tópicos. No decorrer da unidade 
você encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo 
apresentado. 
TÓPICO 1 – MÉTODOS NUMÉRICOS E INTRODUÇÃO À LINGUAGEM 
DE PROGRAMAÇÃO FORTRAN
TÓPICO 2 – LINGUAGEM DE PROGRAMAÇÃO FORTRAN
Preparado para ampliar seus conhecimentos? Respire e vamos 
em frente! Procure um ambiente que facilite a concentração, assim absorverá 
melhor as informações.
CHAMADA
2
3
TÓPICO 1 — 
UNIDADE 1
MÉTODOS NUMÉRICOS E INTRODUÇÃO 
À LINGUAGEM DE PROGRAMAÇÃO 
FORTRAN
1 INTRODUÇÃO 
Nesta unidade, estabeleceremos as bases gerais para o nosso estudo da 
disciplina, fornecendo uma introdução geral sobre os métodos numéricos e sobre 
a forma pela qual computadores armazenam números e realizam operações 
numéricas. Estudaremos na sequência formas de representação dos números 
em sistemas de numeração, enfatizando a representação em ponto flutuante, 
comumente adotada em sistemas digitais como calculadoras e computadores 
e trataremos, ainda, sobre erros em soluções numéricas. Esta unidade inclui 
também um tópico sobre linguagem de programação científica FORTRAN. 
Neste contexto, vamos pensar nos computadores e como estes estão em 
toda parte em nossas vidas, entre desktop, laptop, smartphone, é muito difícil 
ficar completamente longe dos computadores. Com isso só faz sentido aprender 
um pouco mais sobre os computadores e como eles funcionam. Aprender o 
básico e de como os computadores funcionam e, ainda, como os programas são 
criados é útil e diretamente aplicável. Neste sentido, a linguagem de programação 
FORTRAN é bastante utilizada pela comunidade científica. Seu nome é uma 
contração de FORmula TRANslation, ou seja, FORTRAN. O FORTRAN é uma das 
linguagens de programação mais antigas e foi projetado especificamente para 
resolver problemas computacionais científicos e de engenharia. 
2 INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS NUMÉRICOS 
Nosso propósito inicial nesta unidade é deixar claro para você, caro 
acadêmico, a relevância do cálculo numérico em inúmeras áreas, em especial 
nas ciências exatas e engenharias, como ferramenta matemática para a resolução 
de problemas reais. A estruturação de uma base conceitual fundamental 
consideravelmente sólida que torna o analista apto à estabelecer um método de 
solução apropriado, seja ele analítico ou numérico, é a etapa inicial do estudo 
para buscar a solução de qualquer problema matemático real.
Parte considerável dos problemas numéricos nas mais diversas áreas de 
conhecimento advém da necessidade de solucionar problemas da natureza, sendo 
possível explicar muitos fenômenos naturais através de modelos matemáticos 
UNIDADE 1 — MÉTODOS NUMÉRICOS
4
(HUMES, 1984). A expressão modelo matemático contempla, de forma geral, um 
grupo de símbolos e relações matemáticas que caracterizam, de alguma maneira, um 
fenômeno em questão ou um problema de situação real (CUNHA; CASTRO, 2010).
São duas as categorias em que se baseiam os métodos utilizados na 
resolução dos modelos matemáticos de problemas, abrangendo diversos ramos 
das engenharias ou ciências aplicadas: os métodos analíticos e os métodos 
numéricos. Assim, o método analítico fornece soluções exatas do problema 
matemático real, a partir de uma expressão matemática explícita em termos 
das variáveis atreladas ao problema que está sendo solucionado. Já os métodos 
numéricos, desenvolvidos no cálculo numérico, são um conjunto de técnicas 
matemáticas sob a forma de uma sequência de operações elementares (adição, 
subtração, multiplicação e divisão) utilizadas para a aproximação da solução de 
problemas matemáticos complexos que surgem nas mais diversas áreas e que não 
podem ser solucionados ou que são de resolução analítica intratável. Este método 
ou solução fornece um número, ou seja, um valor numérico aproximado para a 
solução do problema matemático. 
Em grande parte dos métodos numéricos a sequência de operações é 
executada de forma iterativa (repetição de um processo) até que a precisão desejada 
seja obtida. As soluções numéricas (métodos numéricos), apesar de serem uma 
aproximação, podem ser muito precisas (SUBRAMANIAN; GILAT, 2008). 
Uma solução analítica é uma resposta exata do problema matemático real. De 
forma geral, essas soluções são obtidas na forma de equações matemáticas específicas.Por outro lado, uma solução numérica (método numérico) conduz a uma resposta 
numérica aproximada para o problema real. Os métodos numéricos são ferramentas 
extremamente poderosas na resolução de problemas matemáticos e, em geral, servem 
como aproximação da solução de problemas complexos que, normalmente, não são 
solucionados por técnicas analíticas.
IMPORTANT
E
Geralmente, a aplicação das técnicas numéricas para a resolução de 
problemas matemáticos compreende um amplo número de cálculos (ou seja, o 
esforço computacional é alto), tornando inviável a tarefa de maneira integrada 
com calculadoras científicas, gráficas ou programáveis ou ainda com ambientes 
computacionais programáveis, os quais dispõem de ferramentas algébricas, 
numéricas e gráficas, facilitando o trabalho. 
No entanto, a popularização de eficientes computadores digitais e de alta 
capacidade de processamento, tornou possível a execução de um grande número 
de cálculos operacionais repetitivos em um curto espaço de tempo, utilizando 
TÓPICO 1 —MÉTODOS NUMÉRICOS E INTRODUÇÃO À LINGUAGEM DE PROGRAMAÇÃO FORTRAN
5
cada vez mais os métodos e técnicas computacionais na resolução de problemas 
reais, para os quais as soluções manuais são impraticáveis, imprecisas ou, ainda, 
são muito demoradas em relação ao tempo de execução; gerando, assim, soluções 
muito precisas, ainda que inexatas.
A solução aproximada gerada a partir de um método numérico é obtida, em 
geral, partindo de aproximações até que uma aproximação considerada “aceitável” seja 
obtida. Assim, um método numérico pode ser expresso em termos de algoritmo, que é 
constituído de uma sequência de n passos, cada um compreendendo um número finito de 
operações. Ao término desses n passos, o algoritmo resulta valores no mínimo “próximos” 
daqueles que são almejados (SPERANDIO; MENDES; SILVA, 2003).
IMPORTANT
E
Importante deixar claro que propósito do cálculo numérico é estabelecer 
técnicas numéricas ou métodos numéricos para determinar soluções de problemas 
matemáticos reais que possam ser representados por modelos matemáticos, em 
outras palavras, o cálculo numérico busca localizar respostas numéricas para 
problemas matemáticos.
3 ERROS EM SOLUÇÕES NUMÉRICAS
Você já deve ter percebido que, uma vez que o processo de resolução de 
problemas reais, via os métodos numéricos, fornece soluções aproximadas para 
os problemas numéricos reais, ocorre o surgimento de erros cuja análise se torna 
fundamental. Adverso a isso, o processo pode conduzir a resultados distantes 
do que é esperado ou ainda a outros resultados que não têm relação alguma 
com a solução do problema original (SPERANDIO; MENDES; SILVA, 2003). 
Neste tópico, estudaremos várias fontes de erros que interferem nas soluções 
de problemas em cálculo numérico. Trataremos, também, sobre noções de erro 
absoluto e erro relativo, necessárias para o entendimento de todo o conteúdo 
contemplado pela disciplina. Serão apresentadas a seguir as principais fontes 
de erros que conduzem as diferenças entre uma solução exata e uma solução 
aproximada de um problema numérico:
• erros nos dados de entrada;
• erros na determinação do modelo matemático;
• erros de arredondamento durante a computação;
• erros de truncamento; e 
• erros Absolutos e Relativos.
UNIDADE 1 — MÉTODOS NUMÉRICOS
6
Uma vez que os métodos numéricos fornecem soluções aproximadas para os 
problemas, a análise de erros torna-se essencial.
ATENCAO
Nem sempre é trivial representar ou traduzir o fenômeno que está ocorrendo 
no mundo físico (problema real) através de um modelo matemático. Para obtenção de 
um modelo matemático que forneça uma solução para o problema real, são necessárias 
simplificações no modelo físico. Essas simplificações realizadas são consideradas fontes 
de erros, o que muitas vezes acarreta necessidade de reorganização do modelo físico e 
matemático (SPERANDIO; MENDES; SILVA, 2003). 
 
Enquanto na matemática alguns números são representados por dígitos 
infinitos, isso não possível na máquina, visto que a própria memória da máquina 
é finita, ou seja, algumas propriedades básicas da aritmética real não se aplicam 
quando executadas no computador, o que conduz a erros de arredondamento e 
truncamento que serão abordados a seguir. 
3.1 ERROS DE ARREDONDAMENTO
Os erros de arredondamento são aqueles que surgem das operações 
aritméticas que circundam o método numérico, ou seja, que ocorrem no durante 
o processo de cálculo de uma solução numérica. Ocorrem pela limitação da 
quantidade de algoritmos significativos utilizados por computadores digitais 
para armazenagem de números e execução de operações numérica. É o que é 
chamado de aritmética de precisão finita (CUNHA; CASTRO, 2010).
Como um exemplo simples, consideremos a forma decimal do número 
2/9. No formato decimal com quatro algarismos significativos, 2/9 pode ser escrito 
como 0,6666 ou 0,6667. No segundo caso, o último algarismo foi arredondado. 
Utilizando uma calculadora digital, o valor real da raiz de 2 é 1,41421356 e o valor 
arredondamento apresentado é 1,4142136.
 
Uma estimativa do cálculo da área de uma circunferência cujo raio é de 
100 m, considerando para π os respectivos valores 3,14; 3,1416 e 3,141592654. É 
possível determinarmos exatamente essa área? 
Em função do erro de arredondamento ocasionados pelos valores de π, 
a determinação exata da área da circunferência não é possível. No entanto, são 
determinadas as seguintes aproximações para o perímetro em função do erro de 
arredondamento realizado para os valores de π são determinadas: 628 m; 628,32 
m e 628,3185308 m. 
TÓPICO 1 —MÉTODOS NUMÉRICOS E INTRODUÇÃO À LINGUAGEM DE PROGRAMAÇÃO FORTRAN
7
Percebam que erros de arredondamento resultam da forma como os 
números são representados na máquina, e essa descrição, por sua vez, depende 
da base em que são registrados os números e do agrupamento máximo de dígitos 
aplicados nessa representação (SPERANDIO; MENDES; SILVA, 2003). 
Cálculos envolvendo números que não podem ser representados por meio de 
um número finito de dígitos não fornecem um valor exato como resultado, em decorrência 
aos erros de arredondamento.
IMPORTANT
E
De qualquer modo, principalmente quando são utilizadas muitas 
operações aritméticas, o arredondamento de números reais no método numérico 
conduz a erros nos cálculos (SUBRAMANIAN; GILAT, 2008). 
3.2 ERROS DE TRUNCAMENTO
Os erros de truncamento são inerentes ao método numérico utilizado 
na solução. Métodos numéricos fazem uso de aproximações para solucionar 
problemas numéricos reais. Os erros gerados por essas aproximações são os erros 
de truncamento. Surgem quando substituímos um procedimento matemático exato, 
infinito por processos com uma limitação prefixada (CUNHA; CASTRO, 2010).
 
A aproximação de uma função pela série de Taylor, é um exemplo de erro 
de truncamento, tais como funções trigonométricas, logarítmicas, exponenciais, 
entre outras. Para estes casos, é usual mantermos fixas as quantidades de termos 
que serão considerados, já que as séries contêm infinitos termos. A propagação 
de erros em processos iterativos se manifesta tanto através de erros por 
arredondamento como por truncamento, podendo conduzir a solução obtida a 
um valor em desacordo com a resposta desejada. 
Não podemos confiar que o resultado provido de uma operação seja exato, 
até mesmo quando os fatores de uma operação puderem ser representados exatamente 
no sistema.
ATENCAO
UNIDADE 1 — MÉTODOS NUMÉRICOS
8
Finalizamos esse subtópico apresentando noções bastante úteis de erro 
absoluto e erro relativo.
3.3 ERRO ABSOLUTO E ERRO RELATIVO 
Como já mencionado anteriormente, na tentativa de resolvermos um 
problema físico real utilizamos métodos numéricos, e os resultados estimados 
serão aproximações do valor que seria o exato de uma solução do problema 
em questão. Nesse sentido, sempre que um resultado for estabelecido por 
aproximação, torna-se necessário determinar a estimativa do errocometido 
durante a aproximação. Com a limitação do erro dispomos de um valor em que o 
erro projetado é inferior a um limite.
A fim de avaliar a qualidade da aproximação e para termos uma 
percepção distinta sobre o valor exato da solução é fundamental nos munirmos 
de informação sobre o erro que acompanha a aproximação para a obtenção da 
solução de um problema. 
Os conceitos de Erro Absoluto e Erro Relativo são fundamentais 
para a estimativa da delimitação de erros gerados durante as aproximações. 
Vejamos um exemplo: 
• Seja a equação 2x3 + 3x - 7 = 0. Essa equação possui uma única raiz real. Os 
seguintes números são aproximações para essa raiz: 1,19500; 1,195175 e 
1,195200. Qual dessas aproximações mais se aproxima do valor exato da raiz, 
ou qual delas é a mais exata? A resposta para essa pergunta baseia-se em 
conhecer a qualidade da aproximação.
Vamos quantificar o quão próximo pode estar uma aproximação do valor 
exato introduzindo o conceito de erro absoluto.
Seja x um número e x sua aproximação, designamos como erro absoluto a 
diferença entre o valor do número x e o valor aproximado de x . Simbolicamente:
Para o caso de x > x , ou seja, quando EAx > 0, definimos que x é uma 
aproximação por falta e no caso de x < x , ou seja, quando EAx < 0 definimos que 
x é uma aproximação por excesso. Por exemplo, 3,14 < x < 3,15, a aproximação de 
x por falta é 3,14 e uma aproximação de x por excesso é 3,15.
Em geral, o valor exato de x não é conhecido (razão pela qual procuramos 
uma aproximação x para x), o que torna impossível determinar o valor exato do 
erro absoluto. Para esses casos, o que pode ser feito é obter a determinação de um 
limitante superior ou uma estimativa para o módulo do erro absoluto. 
TÓPICO 1 —MÉTODOS NUMÉRICOS E INTRODUÇÃO À LINGUAGEM DE PROGRAMAÇÃO FORTRAN
9
No exemplo anterior, considerando que x ∊ (3,14; 3,15), se tomarmos como 
aproximação para π, um valor π também pertence ao intervalo (3,14; 3,15), assim:
Portanto, o erro cometido é inferior a um centésimo.
Todavia, o erro absoluto não é suficiente para contemplar a qualidade da 
aproximação. Vejamos uma situação na tentativa de ilustrar isso: 
Situação 1: adaptada de Ruggiero e Lopes (1988): 
Considerando-se um número x com uma aproximação x = 2112,9 tal que 
|EAx|< 0,1, o que condiciona x ∊ (2112, 8; 2113) e tomando um número y com uma 
aproximação y = 5,3 tal que |EAy| < 0,1, o que condiciona y ∊ (5, 2; 5,4).
 Percebam que os limites superiores para os módulos dos erros absolutos 
são os mesmos, assim, podemos dizer que os números estão representados por 
suas aproximações com a mesma precisão? 
 
Em primeira análise percebemos que as grandezas dos números 
envolvidos são bastante diferentes. Além disso, a aproximação para x é mais 
precisa que a aproximação para y, vejam que as cotas para os erros absolutos são 
iguais (0,1), e a grandeza de x é superior a ordem de grandeza de y. No entanto, 
é necessário que façamos uma análise mais detalhada. Para isso, introduzimos 
o conceito de erro relativo.
 
Seja x um número e x ≠ 0, sua aproximação EAx é chamada de erro relativo, 
e representada por ERx, a razão entre EAx e o valor aproximado x. 
Simbolicamente:
Dá-se o nome de erro percentual ou percentual de erro ao produto 100 x ERx. 
Vejamos um exemplo: 
Calcularemos cotas para os erros relativos cometidos nas aproximações 
relativas à situação 1:
Solução:
UNIDADE 1 — MÉTODOS NUMÉRICOS
10
e
Esses resultados confirmam que a aproximação para x é mais precisa que 
a aproximação para y. Efetivamente, um erro da ordem de 0,1 possui um valor 
significativo menor para x que é da ordem de milhares do que é para y que é da 
ordem de unidades. 
Em grande dos casos, da mesma forma que para o erro absoluto, a exatidão na 
determinação do erro relativo não é possível. Em geral, isso acontece por não se conhecer 
o valor exato de x, e sim somente uma aproximação x. Uma cota para o erro relativo pode 
ser determinada a partir de uma cota para o erro absoluto.
ATENCAO
A resolução de problemas matemáticos reais (fazendo uso de um modelo 
numérico) em um computador, causa, em geral, uma solução aproximada do 
problema em questão. Erros podem surgir em decorrência de diversos fatores. 
Em função da sua origem, podemos considerar erros inerentes ao modelo 
matemático escolhido, visto que raramente ele oferece condições de representação 
exata de fenômenos reais, sendo eles, na maioria dos casos, modelos idealizados, 
considerando que ao investigar fenômenos naturais somos induzidos a aceitar 
condições que simplifiquem o problema de maneira a torná-lo tratável.
Existem soluções de equações que podem ser construídas somente no 
sentido que um processo infinito possa ser definido como limite da solução 
que está sendo procurada. Não é possível completar um processo infinito. 
Assim, ele é truncado após um número finito de operações. A substituição de 
um processo infinito por um processo finito resulta em um erro chamado de 
erro de truncamento.
Sejam eles efetuados manualmente ou via computador, os cálculos nos 
direcionam a o utilizar uma aritmética de precisão finita, isto é, um número 
finito apenas de dígitos deverá ser considerado. Damos o nome de erro de 
arredondamento quando desprezamos os outros dígitos e arredondamos o 
TÓPICO 1 —MÉTODOS NUMÉRICOS E INTRODUÇÃO À LINGUAGEM DE PROGRAMAÇÃO FORTRAN
11
número. Os erros ocorridos em função da escolha do modelo e inertes aos dados 
são considerados erros iniciais do problema matemático, externos ao processo 
de cálculo. Já os erros de truncamento e erros de arredondamento acontecem 
durante o processo de operações numéricas.
Na próxima tópico, apresentaremos formas de representação numérica e 
aritmética de ponto flutuante.
ESTUDOS FU
TUROS
4 FORMAS DE REPRESENTAÇÃO NUMÉRICA E ARITMÉTICA 
DE PONTO FLUTUANTE
Este tópico é dedicada ao tratamento das formas de representação dos 
números em sistemas de numeração. Será dado enfoque à representação dos 
números em forma de ponto flutuante, normalmente utilizada em sistemas 
digitais como calculadoras e computadores.
O ato de contar e de anotar a totalidade de objetos descritos, ou seja, realizar 
medições e registrar os resultados obtidos a partir dessas medições é bastante 
remoto e diversos processos já foram utilizados para fazê-los. A humanidade, 
conforme o avanço da civilização, foi detendo-se de modelos abstratos para os 
registros das contagens e das medições, “os números”. Por consequência, os 
números apareceram, essencialmente, da necessidade de o homem contar e medir.
Os “números” são noções abstratas que servem para aferir as quantidades 
diversas de uma grandeza, são expressos pelo homem como modelos que 
permitem contar e medir (LIMA et al., 2003). Para que possamos representar os 
números, é essencial vincularmos a sua definição aos conceitos de numeral e de 
sistema de numeração. Em linhas gerais, podemos defini-los como:
• Um número é um ente matemático que permitem descrever uma quantidade 
ou medida.
• Um numeral é um símbolo ou um agregado de símbolos que representam 
um número.
• Ao conjunto de numerais que representam os números definimos como sistema 
de numeração. 
Faz-se necessário, para tal, definir a base de numeração, que é um número 
natural fixo, b, b > 1, e são utilizados elementos do conjunto {0,1, 2, ..., b - 1}, 
chamados de algarismos ou dígitos do sistema de numeração.
UNIDADE 1 — MÉTODOS NUMÉRICOS
12
Estamos familiarizados no nosso cotidiano a utilizar o sistema de 
numeração de base 10, que, por sua vez, é o utilizado com maior frequência 
para nossa comunicação; ou o sistema de numeração de base decimal, cuja base 
é negligenciada por ser desnecessária. Então, tratando-se de um número ou 
numeral, devemos relacioná-los ao sistema de numeração decimal, exceto se a 
base estiver especificada. 
É primordial, ao escrevermos o numeral que representa um número, indicar a 
base do sistema de numeração adotado.
ATENCAO
Vamosdemonstrar esses conceitos em forma de um exemplo: 
Exemplo 1 
O número 82057 representa:
Solução:
1- O algarismo 8 está na posição das dezenas de milhares, equivalente a 8 dezenas 
de milhares ou 8 x 10000 = 80000 unidades, ou seja, 8 x 104 unidades.
2- O algarismo 2 está ocupando a posição das unidades de milhar, indicando 2 
unidades de milhar ou 2 x 1000 = 2000 unidades, ou seja, 2 x 103 unidades.
3- O algarismo 0 está na posição das centenas, equivalente à ausência de centenas 
ou 0 x 10² unidades.
4- O quarto algarismo 5 está a ocupar a posição das dezenas, valendo 5 dezenas 
ou 5 x 101 unidades.
5- O último algarismo é o número 7 e está na posição das unidades, equivalente a 
7 unidades ou 7 x 100 unidades.
Então, 82057 significa 8 x 104 + 2 x 103 + 0 x 102 + 5 x 101 + 7 x 100.
Todo e qualquer número natural pode ser representado de forma única 
em uma base qualquer, isso é estabelecido pelo teorema a seguir.
Teorema 1: seja B um número inteiro qualquer superior a 1, assim cada N ∊ 
aos números naturais, assume uma representação única da forma: 
N = am x Bm + am - 1 x Bm -1 + … + a2 x B2 + a1 x B1 + a0
Em que am ≠ 0 e 0 ≤ ai ≤ B, para todo i entre 0 ≤ i ≤ m.
TÓPICO 1 —MÉTODOS NUMÉRICOS E INTRODUÇÃO À LINGUAGEM DE PROGRAMAÇÃO FORTRAN
13
Esse teorema está demonstrado e pode ser visto em livros de teoria dos 
números. Para exemplificar, vamos expressar um dado número em algumas 
bases bem conhecidas.
Exemplo 2
Vamos representar o número 77 nas bases 2 (binária), 8 (octal), 10 (decimal) 
e 16 (hexadecimal). Temos
Solução:
77 = 1 x 26 + 0 x 25 + 0 x 24 + 1 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 0 x 20
77 = 1 x 82 + 1 x 81 + 5 x 80
77 = 7 x 101 + 7 x 100
77 = 4 x 161 + 13 x 160
Assim, o número 77 pode ser escrito como 1001100 na base 2, 115 na base 8, 
76 na base 10 e 413 na base 16. Uma notação com o numeral entre parênteses e base 
como índice, temos que 77 é escrito como (1001100)2, (115) 2, (77) 10 e (413)16. Então:
(1001100)2 = (115) 2 = (77) 10 = (413)16.
A representação de números inteiros positivos em uma base qualquer é 
apresentada pelo Teorema 1, visto anteriormente. Todavia, ele pode ser utilizado 
para a exibição de números reais positivos de modo natural. Assim, se B é um 
inteiro maior que 1, então, o número:
amam -1 ... a2a1a0, a-1a-2 ...
Representa o número, na base 10:
am x Bm + am-1 x Bm-1 + a2 x B2 + a1 x B1 + a0 x B0 + a-1 x B-1 + a-2 x B-2 + ... ,
 Parte Inteira Parte Fracionária
Em que am ≠ 0 e 0 ≤ ai ≤ B, para todo i entre 0 ≤ i ≤ m.
A seguir, alguns exemplos para você refazer. 
Exemplo 3 
(142, 857)10
Solução:
(142, 857)10 = 
= 1 x 102 + 4 x 101 + 2 x 100 + 8 x 10-1 + 5 x 10-2 + 7 x 2-3 
= 142,857.
UNIDADE 1 — MÉTODOS NUMÉRICOS
14
Exemplo 4
(1101, 101)2
Solução:
(1101, 101)2 =
= 1 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 + 1 x 2-2 + 1 x 2-3 
= 13,625.
Exemplo 5
(470, 75)8
Solução: 
(470, 75)8 = 4 x 82 + 7 x 81 + 0 x 80 + 7 x 8-1 + 5 x 8-2 
= 312,953125.
 
A fim de facilitar a comunicação entre as máquinas digitais, a definição 
e a representação física das operações aritméticas e a comunicação entre as 
máquinas digitais, tornou-se essencial o uso de outros sistemas de representação. 
Os computadores operam geralmente no sistema binário (base 2), o qual utiliza 
somente dois algarismos (0 e 1), equivalentes aos estados ausência ou presença 
de sinal elétrico, respectivamente. Outras bases também são ou foram aplicadas. 
Isto posto, a importância de conhecermos a representação de números em bases 
diferentes da base decimal e a mudança de números de uma para outra base é um 
trabalho muitas vezes indispensável. Por isso dá importância de conhecermos a 
representação de números em bases diferentes da base decimal e a mudança de 
números de uma para outra base é um trabalho muitas vezes indispensável.
 Importante salientar que a própria representação de um número em 
uma dada base pode ser uma fonte de erros, visto que um mesmo número pode 
ter representação determinada em uma base, mas sua representação em outra 
base pode ser ilimitada.
Conforme Ruggiero e Lopes (1988, p. 3), na interação entre o usuário e 
o computador:
“Inicialmente, os dados de entrada são emitidos no sistema decimal ao 
computador pelo usuário; ocorre a conversão no sistema decimal de toda esta 
informação, e todas operações serão processadas neste sistema de numeração. 
Este processo de conversão afeta o resultado dos cálculos, ou seja, é uma fonte 
de erros”.
TÓPICO 1 —MÉTODOS NUMÉRICOS E INTRODUÇÃO À LINGUAGEM DE PROGRAMAÇÃO FORTRAN
15
Todavia, a representação em ponto fixo, não é apropriada para 
processamento nos computadores ou calculadoras, embora ainda que proveitosa 
para cálculos escrito. Utiliza-se para estes sistemas, um modelo chamado 
representação em ponto flutuante. Nessa representação, um número é escrito da 
seguinte forma: seja x um número qualquer na base B em aritmética de ponto 
flutuante de t dígitos,
± (0, d1d2 ... dt) x Be
Em que:
• A representação ± (0, d1d2 ... dt) é chamada de mantissa, B é a base do sistema, t 
é o número máximo de dígitos da mantissa (algarismos significativos). 
• Para cada i = 1, 2, ..., t, di é um inteiro com 0 ≤ di ≤ B e d1 ≠ 0, e é um número inteiro 
no intervalo tal que m ≤ e ≤ M. Dizemos que um número em aritmética de ponto 
flutuante está normalizado se d1 ≠ 0. Nessa representação, m e M são os limites 
inferior e superior para o expoente e, respectivamente. Em outras palavras, di ∊ 
{0, 1, 2, ..., B - 1} e ∊ [m, M].
Um número só poderá ser representado dessa forma se o seu expoente 
“e” pertencer aos limites m e M. Assim, 
“Underflow” se e < m
“Overflow” se e > M
Qualquer número (inteiro ou fracionário), de forma geral, pode ser escrito no 
formato número x baseexpoente, em que variam a posição da vírgula e o expoente ao qual 
elevamos a base. Chamamos essa representação de ponto flutuante, já que o ponto muda 
sua posição de acordo com a determinação do expoente. Quando na forma normalizada, 
o número é representado deslocando-se a vírgula de maneira que o número seja inferior a 
1, o mais perto possível de 1. Logo o primeiro dígito significativo estará logo após a vírgula.
NOTA
Números cuja representação em aritmética de ponto flutuante de 
extrapolam o número máximo de dígitos da mantissa são armazenados por 
arredondamento ou por truncamento.
Especifiquemos esses enunciados:
• Truncagem: descarta-se todos os decimais a partir de um específico. Por 
exemplo: 0,57 representamos por truncamento como 0,5; 0,72 pode ser truncado 
e sua representação fica 0,7.
UNIDADE 1 — MÉTODOS NUMÉRICOS
16
• Arredondamento: para cima, descartado para > 5, como exemplo simples 
tomemos 0,57, se arredondarmos para cima teremos 0,6; se formos arredondar 
para baixo, descartado para > 5, considerando o número 0,72 teremos 0,7. 
Como forma de fixação da representação em ponto flutuante, tratamos de 
alguns exemplos.
Exemplo 6
A Tabela 1 ilustra a representação um sistema de aritmética de ponto 
flutuante, cuja mantissa tenha t = 3 dígitos, base B = 10, m = - 4 e M = 4. 
TABELA 1 – REPRESENTAÇÃO EM PONTO FLUTUANTE COM ARREDONDAMENTO 
E TRUNCAMENTO
x Representação por Arredondamento Representação por Truncamento
2,71828 0,272 x 101 0,271 x 101
10,053 0,101 x 102 0,100 x 102
1,25 0,125 x 10 0,125 x 10
- 238,15 - 0,238 x 103 - 0,238 x 103
718235,82 Underflow Overflow
0,0000007 Underflow Underflow
FONTE: Adaptada de Ruggiero (1988)
Exemplo 7
Dados x = 0,937 x 104 e y = 0,1272 x 102, calculemos x + y para um sistema 
em que t = 4 e B = 10 (RUGGIERO, 1988).
Solução: 
 
Uma observação relevante sobre a representação em aritmética de ponto 
flutuante é que a soma de dois números é realizada com o alinhamento dos 
pontos decimais, da seguinte forma: a mantissa do número de menor expoente é 
movida para a direita até que os expoentes se equiparem, em outras palavras, o 
deslocamento é de um número de casas é o mesmoda diferença dos expoentes.
 
Fazendo o alinhamento dos pontos decimais dos valores anteriores teremos:
x = 0,937 x 104 e y = 0,001272 x 104.
Logo, 
x + y = (0,937 + 0,001272) x 104 = 0,938272 x 104.
TÓPICO 1 —MÉTODOS NUMÉRICOS E INTRODUÇÃO À LINGUAGEM DE PROGRAMAÇÃO FORTRAN
17
Este valor pertence ao resultado exato desta operação. Este resultado deve 
ser arredondado ou truncado, visto que em nosso sistema t = 4. 
Assim, no arredondamento x + y = 0,9383 x 104 e no truncamento x + y = 
0,9382 x 104.
As operações de adição e multiplicação em aritmética de ponto flutuante não 
desfrutam das propriedades associativas e distributivas.
ATENCAO
Exemplo 8
Vamos obter xy, consideremos x e y do exemplo 7.
Solução:
xy = (0,937 x 104) x (0,1272 x 10²)
= (0,937 x 0,1272) x 106 =
= 0,1191864 x 106.
Se realizarmos o arredondamento xy = 0,1192 x 106, e se efetuarmos o 
truncamento, xy = 0,1192 x 106. 
Exemplo 9 
Para um sistema de base 10 com t = 4, temos:
Solução: 
0,4370 x 105 + 0,1565 x 103 = 0,4370 x 105 + 0,0016 x 105
= (0,4370 + 0,0016) x 105
= 0,4386 x 105.
O zero em ponto flutuante é representado por mantissa nula (0,00...0) e 
com o expoente inferior disponível. Se a mantissa fosse nula, mas se o expoente 
não fosse o menor possível, poderia ocorrer a ausência de dígitos significativos na 
adição deste zero a um outro número. Isso acontece em função da maneira como 
a adição é feita em aritmética de ponto flutuante (CUNHA; CASTRO, 2010).
UNIDADE 1 — MÉTODOS NUMÉRICOS
18
Exemplo 10
Representemos os seguintes números cuja base é decimal em aritmética 
de ponto flutuante:
(a) x = 235,89(10)
Solução: 
Um número qualquer na base B em aritmética de ponto flutuante de t 
dígitos tem a forma: 
± (0, d1d2 ... dt) x Be
Então, x = 0, 23589 x 103
O expoente da base refere-se ao número de dígitos antecedentes à vírgula. 
(b) x = 0,000875(10)
Solução: 
Novamente, para esse caso a representação em aritmética de ponto 
flutuante é estabelecida pela expressão: 
± (0, d1d2 ... dt) x Be
Assim, x = 0,875 x 10?. A regra diz que d1 deve ser ≠ 0, então não estamos 
utilizando a representação que nos propomos inicialmente. Então repetimos os 
dígitos seguindo a regra:
x = 0,875 x 10?, elevamos ao número de zeros a direita da vírgula 
negativamente. Então:
x = 0,000875(10) em aritmética de ponto flutuante corresponde a x = 0,875 x 10-3
Esses conhecimentos podem ser aprofundados por você por meio das 
referências disponibilizadas ao final desta unidade e/ou visitando páginas da internet. O 
conteúdo disponível no endereço http://www.profwillian.com/_diversos/download/livro_
metodos.pdf poderá ajudá-lo nessa pesquisa. Bons estudos!
DICAS
TÓPICO 1 —MÉTODOS NUMÉRICOS E INTRODUÇÃO À LINGUAGEM DE PROGRAMAÇÃO FORTRAN
19
Apresentamos brevemente neste tópico a importância do cálculo 
numérico para a resolução de diversos problemas reais nas áreas mais 
variadas, especialmente ciências exatas e engenharias. Algumas noções sobre 
erros foram vistas, mostrando como surgem e de que forma podemos medi-
los, já que o Cálculo Numérico trabalha com aproximações. Por fim, estudamos 
formas de representação dos números, com especial ênfase a representação 
em ponto flutuante.
5 MÉTODOS NUMÉRICOS
Este tópico é destinado ao tratamento do problema de determinação de 
zeros reais (raízes reais) de função reais. Alguns dos principais métodos numéricos 
iterativos serão estudados para a localização de tais zeros, com destaque ao 
método da bissecção, método da posição falsa e método de Newton-Raphson.
Já é sabido que, para algumas equações, contamos com fórmulas explícitas 
que nos fornecem as raízes em função dos coeficientes, como as equações 
polinomiais de segundo grau. Como um exemplo simples, veja uma função do 
segundo grau e suas raízes:
f(x) = ax² + bx + c
Suas raízes são x1 e x2, ou seja, x1e x2 são as raízes de f(x). Quando o valor 
de x na equação anterior for igual a x1 e x2, o valor de f(x) será nulo. Graficamente, 
como mostrado no Gráfico 1, a solução da equação (suas raízes) é o ponto onde a 
função f(x) intercepta ou toca o eixo x.
GRÁFICO 1 – ILUSTRAÇÃO DE UMA FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU E SUAS RAÍZES
FONTE: <http://twixar.me/2y4m>. Acesso em: 22 jul. 2020.
UNIDADE 1 — MÉTODOS NUMÉRICOS
20
Percebam que determinar os zeros de uma função significa encontrar as 
raízes reais dessa função ou dessa equação f(x) = 0, ou seja, determinar os valores 
de y ∊ R que satisfazem f(y) =0. Chamamos de zeros da função as raízes, porque, 
nesses valores (nas raízes), a função assume valor nulo (BURIAN; LIMA; HETEM 
JUNIOR, 2013). No entanto, é praticamente impossível a determinação dos zeros 
de uma função no caso de funções mais complexas e no caso de polinômios de 
grau mais elevado.
 
Como exemplo, vamos considerar um circuito elétrico constituído de uma 
fonte de tensão (uma pilha, por exemplo), um resistor e um diodo, como pode ser 
visualizado na Figura 1. 
FIGURA 1 – CIRCUITO ELÉTRICO CONSTITUÍDO DE UMA FONTE DE TENSÃO, UM RESISTOR 
E UM DIODO
 FONTE: Adaptado de Buffoni (2002)
Queremos determinar a corrente elétrica i que percorre o circuito 
(queremos a (s) raiz (s) da equação), sendo o valor da tensão V e da resistência 
R. Inicialmente, precisamos estabelecer um modelo matemático para o nosso 
sistema físico (o circuito), e estabelecer a solução do problema representado por 
esse modelo. A relação entre a tensão em função da corrente elétrica para esse 
dispositivo, ou seja, sua curva característica é dada por:
Em que k e Is são constantes, q é a carga do elétron e T a temperatura a qual 
o dispositivo está sujeito (BUFFONI, 2002). Essa equação corresponde ao modelo 
matemático para o circuito (lembre-se: esta equação é apenas um exemplo, não 
é necessário compreendê-la como um todo). Assim, a equação representando 
nosso circuito e descrevendo o comportamento da corrente elétrica que circunda 
por ele é expressa por: 
TÓPICO 1 —MÉTODOS NUMÉRICOS E INTRODUÇÃO À LINGUAGEM DE PROGRAMAÇÃO FORTRAN
21
O modelo apresenta uma solução analítica complexa. Então, como 
obtermos uma expressão que nos forneça o valor para a corrente elétrica i? Em 
outras palavras, precisamos determinar os zeros da função matemática anterior. 
A solução desse problema está na utilização de métodos numéricos que serão 
tratados a seguir e que nos permitirão resolver problemas matemáticos como o 
visto anteriormente.
Toda vez que tivermos que resolver uma equação, recorreremos à 
determinação dos zeros da função.
IMPORTANT
E
Os métodos numéricos, com o objetivo de localizar as raízes em uma 
função podem ser identificados de duas formas. O primeiro é o método direto, 
utilizado quando a solução é obtida por meio de um único passo, com uma raiz 
exata a menos de erros de arredondamento.
O segundo é o método iterativo ou indireto, que constitui um processo 
de cálculo finito, recursivo, cujo valor atingido a cada etapa origina-se dos 
valores calculados em etapas precedentes. Grande parte dos casos para esse tipo 
de processo, determina uma solução aproximada dentro de uma faixa de erro 
que é considerada aceitável, ou seja, não atinge uma solução exata para as raízes 
(SANCHES; FURLAN, 2007).
Estes métodos são processos iterativos, ou seja, consistem em processos 
descritos pela repetição de uma determinada operação. Em outras palavras, 
formam uma sequência de instruções que são executadas passo a passo, algumas 
das quais formam ciclos repetidos. A ideia, nesse tipo de processo, é partir de 
uma aproximação inicial para a raiz (um intervalo onde imaginamos a raiz estar 
contida) e repetir (refinar) um determinado cálculo diversas vezes, obtendo-se, 
a cada iteração, uma aproximação mais refinada do que aquela encontrada no 
processo iterativo anterior. E, a cada iteração, utiliza-se o resultado da iteração 
anterior como parâmetro inicial para o cálculo posterior.
UNIDADE 1 — MÉTODOS NUMÉRICOS
22
Métodos numéricos iterativos são soluções numéricas utilizadas paraa 
determinação aproximada dos zeros de uma função a partir de uma solução inicial para 
a raiz, e na sequência, refinamos essa aproximação utilizando um processo iterativo, que 
se caracterizam pela repetição de uma dada operação e que converge para a solução 
desejada, sob determinadas condições teóricas.
NOTA
Assim, os métodos iterativos para a determinação das raízes ou zeros de 
funções envolvem duas fases (RUGGIERO; LOPES, 1988):
Fase I – Localização ou isolamento das raízes, que consiste em obter um 
intervalo que contém a raiz da função.
Tomamos como exemplo uma função f(x):
f(x) = g(x) - h(x)
As raízes de f(x) são:
g(x) - h(x) = 0
Assim, os valores de x em que o gráfico g(x) cruza o gráfico de h(x) é a 
raiz de f(x). 
Fase II – Refinamento da raiz, que consiste em escolher as aproximações 
iniciais no intervalo encontrado na Fase I, refiná-las (melhorá-las) sucessivamente 
até se obter uma aproximação para a raiz que satisfaça uma precisão prefixada.
 No fluxograma da Figura 2 é possível visualizar a forma como 
os métodos iterativos fazem o refinamento da aproximação inicial para a 
determinação da raiz exata.
TÓPICO 1 —MÉTODOS NUMÉRICOS E INTRODUÇÃO À LINGUAGEM DE PROGRAMAÇÃO FORTRAN
23
FIGURA 2 – FLUXOGRAMA DA FASE DE REFINAMENTO
FONTE: Adaptado de Ruggiero e Lopes (1988)
5.1 CRITÉRIOS DE PARADA
Por certo um processo numérico iterativo não pode se repetir infinitamente. 
Em determinado instante é necessário pará-lo. Para decidirmos quando o processo 
iterativo deve acabar e preciso adotarmos determinados critérios chamado critérios 
de parada ou teste de parada (BUFFONI, 2002). 
Em algum momento precisamos cessar um processo numérico iterativo, não 
podemos repeti-lo infinitamente. Para isso, utilizamos os chamados critérios de parada, 
que dependerão do problema matemático a ser solucionado e da precisão que almejamos 
obter na solução.
ATENCAO
UNIDADE 1 — MÉTODOS NUMÉRICOS
24
Os critérios de parada interrompem a sequência de aproximações geradas 
pelos métodos iterativos. E estes devem estimar quando uma aproximação 
está suficientemente perto da raiz exata. No entanto, o que significa estar 
suficientemente próximo da raiz exata (do zero exato da função)? Que significado 
possui aproximação ou zero aproximado?
Especificadamente, o processo iterativo é interrompido ou finalizado com 
uma dada precisão ε no momento em que se obtém um intervalo cujo tamanho 
é menor ou igual a ε, então, qualquer ponto nele contido é tomado como uma 
estimativa para a raiz ou zero aproximado da função; ou, ainda, quando for 
alcançado um número máximo de iterações. 
A partir deste subtópico, estudaremos alguns métodos numéricos de 
refinamento dos zeros da função, considerando que a forma como se efetua o 
refinamento é que diferencia cada método. 
Iniciamos com o método da bissecção, também chamado de método 
da dicotomia.
5.1.1 Método da Bissecção
O método da bisseção é um método de confinamento, bastante intuitivo 
usado para a determinação da solução de uma equação na forma f(x) = 0 quando é 
sabido que, dentro de um dado intervalo [a, b], f(x) é contínua, tal que f (a) . f (b) < 
0; e que a equação possui uma única solução. Para esse caso, podemos supor f (a) 
> 0 e f (b) < 0. Para seguirmos falando sobre o método precisamos ter de conhecer 
o Teorema do Valor Médio (TVM):
Teorema do Valor Médio (TVM)
Seja f(x) uma função contínua em [a, b] e diferenciável no intervalo (a,b). 
Então existe um ponto c ∊ (a,b), tal que 
f(b) – f(a) = f’(c) (b - a)
Assim, pelo TVM, temos uma raiz x de f(x) = 0 entre a e b que pode estar 
em qualquer ponto entre o intervalo [a, b]. O objetivo desse método é diminuir 
ou fechar o intervalo [a, b] até atingir a precisão ε desejada |b - a| < ε. Para isso, 
usa-se a sucessiva divisão de [a,b] ao meio, ou seja, a cada iteração, divide-se o 
intervalo ao meio, modificando o valor de a ou de b. 
Graficamente o método da bissecção pode ser representado pelo Gráfico 2. 
TÓPICO 1 —MÉTODOS NUMÉRICOS E INTRODUÇÃO À LINGUAGEM DE PROGRAMAÇÃO FORTRAN
25
GRÁFICO 2 – INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÉTODO DA BISSECÇÃO
FONTE: Adaptado de Barroso (1987)
Vejam que temos pouca informação sobre o valor da raiz dessa forma. 
O objetivo do método de bissecção é reduzir o tamanho do intervalo [a, b] com 
o intuito de determinar um intervalo menor no qual localizamos a raiz. Por 
convenção, a primeira aproximação de x, é o ponto médio do intervalo:
O método da bissecção requer um intervalo fechado [a, b] em que a função f 
seja contínua de forma f (a) . f (b) < 0 (a função inverte de sinal nos extremos do intervalo). 
Por questões de simplicidade, exige-se, ainda, que o zero da função em [a, b] seja único. 
Considerando que localizar uma raiz significa encontrar um intervalo que a contenha 
apenas essa raiz.
ATENCAO
Se obtivermos f (x1) = 0, o problema estará solucionado, pois, neste caso:
x= x1. Se f(x1) ≠ 0, x estará no interior de [a, x1] ou no interior de [x1; b]
Utilizamos o TVM para determinarmos em qual destes intervalos estará 
a raiz:
I- Se f(a) . f(x1) < 0, a raiz estará em [a, x1].
II- Se f(x1) . f(b) < 0, a raiz estará em [x1, b].
UNIDADE 1 — MÉTODOS NUMÉRICOS
26
No primeiro caso, fazemos b = x1 e no caso II, fazemos a = x1. Em qualquer 
dos casos, o tamanho do intervalo diminui à metade. Com este último intervalo, 
reproduzimos o processo e determinamos uma segunda aproximação x2 a partir 
da qual, caso não seja a raiz, reduzimos novamente o intervalo na metade. 
Notem que, dependendo do valor de f(x2), teremos a = x2 ou b = x2. 
Uma sequência de aproximações xn+1 será obtida quando este processo 
for seguido, considerando n = 0, 1, 2,... pertencentes ao intervalo In = [an; bn] sendo 
a0 = b0 = b de modo que f(an)f(bn) < 0, e o comprimento de cada In+1. É metade do 
comprimento de Ii. Então:
e
Critério de Parada
O processo da bissecção, idealmente, deve ser interrompido com a 
determinação da solução exata. Isso significa que o valor médio de x deve ser 
f(x) = 0. Na prática, o processo deve ser interrompido quando o erro estimado for 
menor que algum valor predeterminado (SUBRAMANIAN; GILAT, 2008).
No terminado do processo, tem-se um intervalo [a, b] que contém a raiz e 
uma aproximação x para a raiz exata é determinada.
Estimativa do Número de Iterações (k) 
Seja uma precisão ε e um intervalo inicial [an,bn], é possível determinarmos 
quantas iterações serão necessárias pelo método da bissecção, que contenha a 
aproximação xn+1, tal que
| xn+1 - x| < ε,
Em que ε é a precisão desejada. 
A estimativa para o número de iterações é dada por: 
TÓPICO 1 —MÉTODOS NUMÉRICOS E INTRODUÇÃO À LINGUAGEM DE PROGRAMAÇÃO FORTRAN
27
O valor de k deve ser tal que (bk-ak) < ε, sendo ε ≠ 0.
O método da bissecção pode ser esquematizado com o seguinte algoritmo:
Intervalo Inicial: [a0, b0] = [a, b]
Repetir:
1- 
2- Se f(xn+1) . f(an) < 0
Assim, se
an+1 = an; bn+1 = xn+1.
Caso contrário:
an+1 = xn+1; bn+1 = bn
Até que (xn+1) = 0 ou |xn+1-xn| < ε 
Vantagens do Método da Bissecção
• O método sempre apresenta estabilidade e convergência garantida para uma 
resposta (a raiz sempre será encontrada), ou seja, para a solução procurada, 
desde que a função f(x) seja contínua no intervalo [a,b] e f(a).f(b) < 0.
• Desempenho regular e previsível, as iterações não envolvem cálculos trabalhosos.
• O número de interações k é dependente da precisão considerada.
Desvantagem do Método
• Em comparação com outros métodos, a convergência do método da bissecção 
é bastante lenta, pois se o intervalo inicial é tal que (b – a) >> ε e se ε for muito 
pequena, o número de iterações tende a ser muito extenso.
Enfim, como você já deve ter percebido, localizar os zeros de uma função 
significa determinar as raízes dessa função. O método da bissecção apresentado é bem 
simples de ser compreendido e implementado, porém, ele não é o processo iterativo 
mais eficiente para a determinação das raízes de uma função, pois consome muitos 
passos paraatingir uma dada precisão (BURIAN; LIMA; HETEM JUNIOR, 2013). 
Existem outros métodos iterativos mais eficazes que serão apresentados. 
Vejamos um exemplo para finalização deste método. 
UNIDADE 1 — MÉTODOS NUMÉRICOS
28
Exemplo 1 
Usando o método da bissecção, encontre uma aproximação para com 
uma precisão ε = 10-2, no intervalo inicial de [an,bn] = [1,2].
Solução:
Pelo enunciado, este problema em questão é equivalente a determinar 
uma aproximação para o zero de f(x) = x² - 2 com erro inferior a 10-2. Temos uma 
única raiz de f(x) = 0 no intervalo entre [1,2].
Vamos estimar inicialmente o número de iterações que serão necessárias 
para a determinação do zero da função. Já sabemos que esse valor pode ser 
determinado por
Ou seja, o número de iterações a ser considerado é k = 7,0.
Aproximações: 
Como f(a1) e f(x1) possuem sinais opostos:
b2 = x1 = 1,5 f(a1) < 0
a2 = 1 f(b1) > 0
b1 – a1 = 1,0 > 10-2. 
TÓPICO 1 —MÉTODOS NUMÉRICOS E INTRODUÇÃO À LINGUAGEM DE PROGRAMAÇÃO FORTRAN
29
Como f(a2) e f(x2) possuem o mesmo sinal:
a3 = x2 = 1,25 f(a2) < 0
b3 = 1,5 f(b2) > 0
b2 – a2 = 0,5 > 10-2. 
Como f(a3) e f(x3) possuem o mesmo sinal:
a4 = x3 = 1,375 f(a3) < 0
b4 = 1,5 f(b3) > 0
b3 – a3 = 0,25 > 10-2. 
Como f(a4) e f(x4) possuem sinais opostos:
b5 = x4 = 1,4375 f(a4) < 0
a5 = 1,375 f(b4) > 0
b4 – a4 = 0,125 > 10-2. 
UNIDADE 1 — MÉTODOS NUMÉRICOS
30
Como f(a5) e f(x5) possuem mesmo sinal:
a6 = x5 = 1,4062 f(a5) < 0
b6 = 1,4375 f(b5) > 0
b5 – a5 = 0,0625 > 10-2. 
Como f(a6) e f(x6) possuem sinais opostos:
b7 = x6 = 1,4218 f(a6) < 0
a7 = 1,4062 f(b6) > 0
b6 – a6 = 0,0313 > 10-2. 
TABELA 2 – MÉTODO DA BISSECÇÃO PARA CALCULAR PRECISÃO DE E = 10-2 
k ak bk bk- ak xk f(xk)
0 1 2 1 1,5 0,25
1 1 1,5 0,5 1,25 -0,4375
2 1,25 1,5 0,25 1,375 - 0,1093
3 1,375 1,5 0,125 1,4375 0,0664
4 1,375 1,4375 0,0625 1,4062 - 0,0226
5 1,4062 1,4375 0,0312 1,4218 0,0216
6 1,4062 1,4218 0,0156 1,4140 - 0,000604
7 1,4140 1,4218 0,0078 1,4179 0,01044
FONTE: Adaptado de Cunha (2010)
Então, temos um intervalo de [a7, b7] = [1,4140; 1,4218] após 7 iterações (k = 
7,0), com b7 - a7 = 0,0078 < 10-2. Os resultados anteriores estão expostos na Tabela 
2, para melhor compreensão das aproximações e visualização delas.
TÓPICO 1 —MÉTODOS NUMÉRICOS E INTRODUÇÃO À LINGUAGEM DE PROGRAMAÇÃO FORTRAN
31
Então, temos um intervalo de [a7, b7] = [1,4140; 1,4218] após 7 iterações (k 
= 7,0), com b7 - a7 = 0,0078 < 10-2. 
Assim: 
Esse valor corresponde a uma aproximação x de com precisão 
inferior a ε = 10-2 e coincidindo, se compararmos, com o valor de pelo 
menos duas casas decimais. 
E, se ainda almejássemos obter uma aproximação para com uma 
precisão inferior a ε = 10-4? Ou melhor, coincidindo com o valor de até pelo 
menos 5 casas decimais. Seria possível determinarmos o número de iterações 
que seriam necessárias e executáveis?
Certamente que sim, o processo de redução dos intervalos deverá 
prosseguir para obter uma maior precisão.
 
Tente determinar quantas iterações serão necessárias para garantir uma 
aproximação para com a precisão estabelecida, utilizando a Estimativa do 
Número de Iterações (k). 
5.1.2 Método da Posição Falsa
O método da posição falsa, em sua gênese histórica, é uma técnica iterativa 
de resolução de problemas lineares já bastante antiga. Muito embora o método 
da bissecção seja uma técnica perfeitamente válida para determinar raízes de 
funções, sua abordagem do tipo “força bruta” é relativamente trabalhosa, como 
você deve ser percebido.
O método da posição é uma variação do método da bisseção. Contudo, 
neste método, mudamos a maneira de escolher a aproximação xn+1. Na técnica da 
bissecção, a aproximação da raiz era feita com base no ponto médio do intervalo. 
Na posição falsa aproximaremos a raiz utilizando a reta L que passa pelos pontos 
(a; f (a)) e (b; f (b)). Em outras palavras, f (x) é aproximada por L e assim x1 (a 
aproximação de , será o ponto onde a ordenada y da reta L é zero. O Gráfico 3 
representa uma análise geométrica do método da posição falsa. 
UNIDADE 1 — MÉTODOS NUMÉRICOS
32
GRÁFICO 3 – INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÉTODO ITERATIVO DA POSIÇÃO FALSA
FONTE: Adaptado de Barroso (1987)
A equação da reta L é representada por:
Como tomamos y = 0, então x = x1. Assim, 
Logo,
Tendo sido determinado o valor de x1, o critério da bissecção poderá ser 
utilizado para a escolha do próximo intervalo [a,b], ou seja: 
• Se f(a) . f(x1) < 0, a raiz estará em [a, x1].
• Se f(x1) . f(b) < 0, a raiz estará em [x1, b].
No caso de (i) determinamos b = x1 e para o caso de (ii) determinamos a = 
x1. E o processo seguirá até a obtenção da solução desejada, obtendo intervalos [an, 
bn], com a0 = a e b0 = b e 
TÓPICO 1 —MÉTODOS NUMÉRICOS E INTRODUÇÃO À LINGUAGEM DE PROGRAMAÇÃO FORTRAN
33
O método da bissecção utiliza somente informações dos valores a e b para 
determinar , enquanto o processo da posição falsa utiliza informações de a, b e f(b). 
Em outras palavras, percebam que a diferença entre os métodos da bissecção e da posição 
falsa é a forma como cada um divide o intervalo de cada iteração. No método da bissecção, 
“quebra-se” o intervalo ao meio, enquanto no método da posição falsa considera-se os 
limites do intervalo que envolve a raiz ([a
n
, b
n
],) como a média ponderada. 
IMPORTANT
E
 Enquanto o método da bissecção calcula a média aritmética dos limites do 
intervalo que contém a raiz ([a, b]), o método da posição falsa calcula a média ponderada 
dos limites do intervalo que contém a raiz ([a, b]).
ATENCAO
• Convergência: sempre que f(x) for contínua no intervalo [an, bn], com f(a)f(b) < 0, 
o método da posição falsa irá convergir.
• Critério de Parada: no método da posição falsa pode ocorrer que an ou bn 
permanece fixo a partir de um certo n, nesse caso, não há garantia que bn - an 
tenda para zero. Em função disso utilizamos o módulo da função |f(x)| < ε 
como critério de parada, lembrando que ε a precisão estabelecida. Assim, o 
método iterativo da posição falsa deverá ser interrompido quando atingimos 
|f(x)| < ε. Finalizamos este método com um exemplo.
Exemplo 1 
Utilizando o método da posição falsa, localize a raiz da função:
UNIDADE 1 — MÉTODOS NUMÉRICOS
34
E, para isso, considere o intervalo inicial de [1, 2] e uma precisão ε de 0,1.
Solução: 
Temos que:
f(a1) = - 0,2817 < 0
f(b1) = 2,3890 > 0
 
O que significa que temos ao menos 1 raiz contida nesse intervalo!
Como f(a1) e f(x1) possuem o mesmo sinal:
a2 = x1 = 1,1054 f(a1) < 0
b2 = 2 f(b1) > 0
Como f(a2) e f(x2) possuem o mesmo sinal:
a3 = x2 = 1,1714 f(a2) < 0
b3 = 2 f(b2) > 0
Como f(a3) e f(x3) possuem o mesmo sinal:
a4 = x3 = 1,1714 f(a3) < 0
b4 = 2 f(b3) > 0
TÓPICO 1 —MÉTODOS NUMÉRICOS E INTRODUÇÃO À LINGUAGEM DE PROGRAMAÇÃO FORTRAN
35
Esse valor corresponde a raiz da função f(x) = ex __ 1 com precisão inferior 
a ε = 10-1.
f(x4) = (X4) = e 1,2309 __ 2 . (1,2309) __ 1 = __0,0372 < 0
A raiz está entre o intervalo de [a4, b4] = [1,2098; 2], com |f(x)| = 0,0374 < 10-1. 
TABELA 3 – MÉTODO DA POSIÇÃO FALSA PARA A DETERMINAÇÃO DA RAIZ DA EQUAÇÃO, 
COM PRECISÃO E = 10-1
ak bk f(a) f(b) x f(x) |f(x)|
1 2 - 0,2817 2,3890 1,1054 - 0,1903 0,1903
1,1054 2 - 0,1903 2,3890 1,1714 -0,1162 0,1162
1,1714 2 - 0,1162 2,3890 1,2098 - 0,0666 0,0666
1,2098 2 - 0,066 2,3890 1,2309 - 0,0374 0,0374
FONTE: A autora
Em síntese, o Método da Falsa Posição é uma técnica eficaz quando há 
pouca precisão no intervalo escolhido para a raiz. Em último caso podemos 
simplesmente escolher dois pontos x que tenham f(x) de sinais opostose aplicar 
o método. Apresenta estabilidade e sua convergência para a solução procurada é 
menos lenta que a convergência estabelecida pelo método da bissecção.
5.1.3 Método de Newton-Raphson
Isaac Newton, o criador do cálculo diferencial e integral foi o cientista 
que desenvolveu o método de Newton-Raphson. Em seguida, outro pesquisador 
chamado Raphson aperfeiçoou a técnica, e, a partir disso, o nome do método 
ficou atrelado ao nome dos dois fundadores (BURIAN; LIMA; HETEM JUNIOR, 
2013). O método de Newton-Raphson é uma técnica eficiente, além de poder ser 
generalizada com grande facilidade.
A ideia, em todos os métodos, é partir de uma (ou mais) aproximação inicial 
x0 e após determinar a próxima aproximação seguindo uma repetição do mesmo 
procedimento para localizar uma raiz da equação f(x) = 0. No método de Newton-
Raphson usa-se a reta tangente para determinar as próximas aproximações, até 
chegar a precisão pretendida. Essa técnica procede da seguinte forma:
Seja f: [a,b] uma função contínua em [a,b] diferenciável em (a, b), 
e seja x0 ∊ (a, b) uma aproximação inicial da raiz x. A determinação da nova 
aproximação é realizada a partir da reta tangente no ponto (x0, f(x0)). Percebam, 
assim, que a aproximação seguinte será o valor de x1 para o qual a ordenada (y) 
da reta tangente será nula, como pode ser visualizado no Gráfico 4, o qual mostra 
uma interpretação geométrica do método de Newton-Raphson.
UNIDADE 1 — MÉTODOS NUMÉRICOS
36
GRÁFICO 4 – INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON
FONTE: Adaptado de Barroso (1987)
A equação da reta tangente no ponto (x0, f(x0)) é dada por:
Substituindo as condições mencionadas anteriormente x = x1 e y = 0, teremos:
Obteremos a equação do método Newton-Raphson no ponto x0 isolando-se:
O mesmo procedimento deve ser adotado na sequência para a determinação 
da aproximação x2 a partir de x1, seguindo para x2:
E, por consequência, a aproximação (n+1) - é representada por:
TÓPICO 1 —MÉTODOS NUMÉRICOS E INTRODUÇÃO À LINGUAGEM DE PROGRAMAÇÃO FORTRAN
37
Por fim, vamos exemplificar a aplicação do método de Newton-Raphson.
Exemplo 1
Utilizando o método iterativo de Newton-Raphson, determine a raiz da 
equação f(x) = x² - ex. Considere uma precisão de ∊ = 10-3 e uma aproximação 
inicial de x0 = -2. 
Solução:
A função é: f(x) = x² - ex, e temos que a derivada da função é: f’(x) = 2x - ex. 
Se usarmos a expressão (definida anteriormente),
Na Tabela 4 estão expostas as iterações do Método de Newton-Raphson:
TABELA 4 – MÉTODO DE NEWTON-RAPHSaON PARA A DETERMINAÇÃO DA RAIZ DA 
EQUAÇÃO F(X) = X² - ex, COM PRECISÃO E = 10-3
n xn f(xn) f’(xn)
0 -2 3,86466 - 4,13533
1 - 1,06545 0,79061 - 2,47547
2 - 0,74607 - 0,08239 - 1,96636
3 0,70417 - 0,00133 -1,90285
4 - 0, 70347 0,000004 - 1,90180
FONTE: A autora
Notem que |x4 – x3| = 0,0007 < 0,001.
Então, qual é o valor aproximado para a raiz da equação?
A raiz da equação deve estar localizada aproximadamente em x4 = - 0,70347.
Findamos este subtópico através da qual conhecemos os principais métodos 
numéricos iterativos que são úteis para determinação de aproximações para zeros reais 
de funções reais e os aplicamos para a resolução de alguns problemas matemáticos. 
Além disso, estudamos, também, condições para a garantia da convergência destes 
métodos e indicamos critérios de parada dos processos.
UNIDADE 1 — MÉTODOS NUMÉRICOS
38
Você pode aprimorar e aplicar seus estudos consultando as referências ao final 
do tópico e acessando páginas da internet relacionadas ao tema que estudamos de forma 
a complementar seus conhecimentos. Veja a seguir algumas páginas interessantes como 
sugestões. Bons estudos! 
• http://www.profwillian.com/_diversos/download/livro_metodos.pdf.
• www.ime.usp.br/~asano/LivroNumerico/LivroNumerico.pdf.
• http://www.das.ufsc.br/~camponog/Disciplinas/DAS-5103/LN.pdf.
• www.ime.usp.br/~asano/LivroNumerico/LivroNumerico.pdf.
• www.professores.uff.br/salete/imn/calnumI.pdf.
• http://www.das.ufsc.br/~camponog/Disciplinas/DAS-5103/LN.pdf.
DICAS
http://www.profwillian.com/_diversos/download/livro_metodos.pdf
http://www.ime.usp.br/~asano/LivroNumerico/LivroNumerico.pdf
http://www.das.ufsc.br/~camponog/Disciplinas/DAS-5103/LN.pdf
39
Neste tópico, você aprendeu que:
• O objetivo de um método numérico é determinar um ou mais valores numéricos, 
que são as chamadas soluções de um problema matemático.
 
• Os métodos numéricos constituem-se em processos recíprocos que possuem 
como finalidade principal, determinar raízes de equações a partir de uma 
aproximação inicial. A partir da qual são promovidas as interações diante do 
uso de metodologias estabelecidas por cada método (RIBEIRO, 2012).
 
• O método numérico é um método não analítico. Adverso as metodologias analíticas, 
que determinam soluções exatas para os problemas, os métodos numéricos 
conduzem a soluções aproximadas, de forma geral. Neste sentido, antecedendo a 
utilização de qualquer método numérico, é fundamental a determinação precisão 
dos cálculos com que se almeja obter a solução numérica pretendida desejada.
 
• Um importante critério para a seleção de um algoritmo particular na resolução 
de um dado problema matemático é também a precisão dos cálculos numéricos.
 
• Em geral, um processo numérico iterativo é uma repetição de aproximações de 
um zero de função, cada uma mais precisa que a anterior.
 
• A sequência do processo proporciona uma aproximação a qual distingue-se do 
valor exato do zero por alguma precisão prefixada, em um número finito de vezes.
• A determinação de cada nova aproximação é realizada utilizando-se 
aproximações anteriores, e as aproximações iniciais, utilizadas no processo 
devem ser fornecidas no problema. A Tabela 5 resume algumas características 
distintas de cada um dos métodos numéricos iterativos estudados por nós.
RESUMO DO TÓPICO 1
TABELA 5 – CARACTERÍSTICAS DOS MÉTODOS NUMÉRICOS
Método 
Numérico Expressão Matemática
Critério de 
Parada
Convergência 
Garantida
Velocidade de 
Convergência
Bissecção |a - b|< ε Sim Baixa
Posição Falsa |f(x)| < ε Sim Alta
Newton-
Raphson |xn+1 - xn| < ε Nem sempre Muito alta
 FONTE: Chapman (1998, s.p.)
40
1 Seja um sistema de aritmética de ponto flutuante de quatro dígitos e base 
decimal. Dados os números: x = 0,7237 x 104, y = 0,2145 x 10-3 e z = 0,2585 x 
101. Efetue as seguintes operações e obtenha o erro relativo no resultado, 
supondo que x, y e z estão exatamente representados: 
a) x + y + z
b) x - y – z
c) x/y 
d)
e)
2 Seja o sistema F (10, 4, m, M). Determine o erro absoluto ao representar x = 
1428,756 com arredondamento e com truncamento. 
3 Sejam x1 = 1000,5 e = 1000,6; x2 = 10,5 e = 10,6. Nota-se que: EA ( ) = 
EA ( ) = 0,1. Quais os erros relativos?
4 Represente o número abaixo cuja base é decimal em aritmética de ponto 
flutuante para t = 5, m = -5 e M = 5 (126,4)10.
5 Represente os números na tabela a seguir com um sistema de aritmética de 
ponto flutuante, cuja base é decimal, t = 3, m = -5 e M = 5.
AUTOATIVIDADE
Número Representação por Arredondamento Representação por Truncamento
18,054
2,7182818282
10,053
979251
6 Encontre a raiz da função abaixo, pelo método da bissecção, com 
precisão ε de 0,01. 
Utilize como intervalo inicial [1,2] e faça uma estimativa do número de 
iterações para a tolerância de ε = 0,01. 
41
Trabalhe com 4 casas decimais após a vírgula para esse exercício. Utilize como 
critério de parada |b - a| < ε. 
Este método apresenta convergência garantida?
7 Localize a raiz da função f(x) = x3 – 9x +3 utilizando o método da bissecção 
e considera as seguintes condições: Intervalo Inicial [a,b] = [0,1], e precisão 
ε = 2 x10-3.
8 Determine a raiz da função abaixo pelo método da posição falsa, com ε = 
10-5 . Utilize como critério de parada |b - a| < ε e o intervalo inicial de [0,1].
9 Determine uma aproximação para utilizando o método de Newton-
Raphson com ε = 0,001. Utilize como aproximação inicial x0 = 2,0 e o critério 
de