EXPERIMENTO_VI

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EXPERIMENTO VI – PÊNDULO 
 
Introdução 
 
Principais tipos de pêndulo 
Pêndulo simples: é constituído por uma partícula de massa m suspensa por meio de 
um fio inextensível com massa desprezível e com um comprimento L, conforme 
indicado na figura 9. 
 
 
 Em todo sistema oscilante procuramos sempre um elemento de inércia e um 
elemento de restituição. A inércia está na massa da partícula, e a mola está na atração 
gravitacional entre a Terra e a partícula. A energia potencial pode ser associada à 
variação da distância vertical entre a partícula que oscila e a Terra, ou seja, ao 
comprimento variável da “mola gravitacional”. Portanto não será nenhuma surpresa 
verificar que o período das oscilações de um pêndulo simples depende do valor local 
da aceleração da gravidade g. 
 As forças que atuam sobre a partícula indicada na fig. 9 são mg (peso) e T 
(tração na corda). Decompomos o peso numa componente radial �� cos � e numa 
componente tangente à trajetória �� sin �. Este componente tangencial, como mostra 
a fig. 9, muda de sentido toda vez que a partícula passa pelo ponto médio da oscilação 
e, assim, sempre atua no sentido de fazer retornar a partícula à sua posição central. 
Portanto, temos para a força restauradora: 
	 = −�� sin � (22) 
O sinal negativo indica que a força é uma força de restauração. 
 Se o valor de � for pequeno, como vamos supor, o valor de sin � será 
aproximadamente igual a � em radianos. O deslocamento x da partícula ao longo do 
arco é igual a ��. Portanto, supondo sin � ≅ �, a eq. 22 se torna: 
	 ≅ −��� = −�� �� = − ���� � � (23) 
 Percebemos que obtemos a Lei de Hooke. Um pêndulo simples é formalmente 
equivalente a um oscilador linear, sendo a constante elástica efetiva k da mola 
gravitacional igual a ��� . Vemos que esta constante tem a dimensão correta de uma 
constante de mola, ou seja, uma força dividida pelo deslocamento. 
 Substituindo esta constante da mola gravitacional pela eq. 12, encontramos 
para o período do pêndulo simples, 
� = 2���� (12) 
� = 2�� ���/� (24) 
ou � = 2���� (pêndulo simples). (25) 
O período é independente da massa, como se pode notar na eq. 25. 
Pêndulo Físico: a maioria dos pêndulos reais não é, nem aproximadamente, simples. 
A fig. 10 mostra o chamado pêndulo físico, com o seu peso mg atuando no centro de 
gravidade C. 
 
 O pêndulo físico é equivalente a um oscilador linear. A constante elástica da 
mola, k, é equivalente a ��ℎ, e a massa m do bloco é equivalente ao momento de 
inércia � do pêndulo. Fazendo estas substituições na eq. 12, obtemos 
� = 2�� ���� (pêndulo físico) (27) 
para o período das oscilações do pêndulo físico. � é o momento de inércia do pêndulo 
em relação a um eixo ortogonal ao plano das oscilações que passa pelo ponto de 
suspensão O; h é a distância entre o ponto de suspensão e o centro de gravidade do 
pêndulo físico. Sabemos que um pêndulo físico não oscilará se o suspendermos para 
seu centro de gravidade. Formalmente, isto corresponde a fazer h=0, na eq. 27. Neste 
caso, � → ∞, o que é a maneira de a equação nos dizer que o pêndulo nunca 
completará uma oscilação. 
 O pêndulo físico visto na fig. 10 inclui o pêndulo simples como um caso 
especial. Neste caso, h seria o comprimento � do fio e � seria igual a �� . Substituindo 
esses valores na eq. 27 encontramos a eq. 25 que fornece o período das oscilações 
de um pêndulo simples. Veja: 
� = 2�! ���ℎ = 2�!��
 
��� = 2�!�� 
Como determinar o valor de g: podemos usar um pêndulo físico para fazer medidas 
precisas do valor de g. Milhares de medidas foram realizadas por este método em 
proposições geofísicas. 
 Considerando um pêndulo constituído por uma barra uniforme de comprimento 
� suspensa por uma de suas extremidades. Neste caso, o h da eq. 27, a distância 
entre o ponto de suspensão e o centro de gravidade. É igual a �/2. O momento de 
inércia deste pêndulo em relação a um eixo perpendicular que passa por uma das 
extremidades é igual �� /3 (tabelado). Substituindo esses valores na eq. 27 e 
isolando g obtemos: 
� = #$%�&'% (28) 
Assim, se medirmos � e o período �, podemos determinar o valor de �. 
 
Exemplo 1 
 
 Uma régua, suspensa por uma de suas extremidades, oscila como um pêndulo 
físico. (veja fig. 12a). 
(a) Calcule o período de sua oscilação. 
Dado: � = ��( /3. 
Sabemos que � = 2�� ���� e que ℎ = �(/2. Substituindo � e ℎ na equação, temos: 
� = 2�! ��( /3���(/2 = 2�!2�(3� = 2�!
)2*)1,00 �*)3*)9,8 �/1 * = 1,64 1 
 
(b) Determine o comprimento do pêndulo simples que tenha o mesmo período. 
Igualando a eq. 25 a equação encontrada acima, resulta: 
� = 2���� = 2�� �4&� . Influi-se dessa igualdade que � = �4& = & )100 5�* =
66,7 5�. 
 
 
 
Exemplo 2 
 
 Um disco de raio R = 2,5 cm está suspenso, como um pêndulo físico, de um 
ponto situado na metade da distância entre o centro e a periferia do disco. (Veja fig. 
14) Seu período é dado por T = 0,871 s. Determine o valor de g no local da 
experiência. 
Dado: � = &�8%9 . 
Substituindo ℎ = :/2 e � = &�8%9 na eq. 27, obtemos � = 2�� ���� = 2�!
;<=%>��8/ =
2��&8 �. Isolando o g, resulta � = ?$%8'% = @?$%A)(,B C �*)(,#DB E*% = 9,76 �/1 . 
 
 
Pré-relatório 
 
Faça uma revisão sobre o movimento harmônico simples e a vibração de um 
sistema massa-mola utilizando o texto de apoio anterior, e responda os seguintes 
itens: 
• Descreva o pêndulo simples, e demonstre a expressão matemática que calcula 
seu período. 
• Descreva o pêndulo físico, e apresente a expressão matemática que calcula 
seu período. 
• Determine a relação entre período e massa para um pêndulo simples. 
• Determine a relação entre período e comprimento para um pêndulo simples. 
• Calcule a aceleração da gravidade por meio de um pêndulo simples. 
• Compare os períodos de um mesmo pêndulo simples na Terra e na Lua, 
mostre o que diferencia os valores dos períodos. 
• Procure em uma referência confiável as acelerações da gravidade na Terra e 
na Lua. 
• Resolva o seguinte problema: uma régua de 0,50m de comprimento, suspensa 
por uma de suas extremidades, oscila como um pêndulo físico. 
(a) Calcule o período de sua oscilação. 
(b) Determine o período de um pêndulo simples que tenha o mesmo 
comprimento. 
 
Roteiro para realização do experimento 
 
Objetivos 
 
Determinação da aceleração da gravidade, observação da influência da massa do 
corpo e da variação do comprimento pêndulo no período de oscilação. 
 
Procedimentos 
 
1. Determine a massa suspensa; 
2. Ajuste o comprimento do pêndulo para 5 cm do ponto de suspensão até o 
centro de gravidade da massa; 
3. Desloque a massa da posição de equilíbrio (150 no máximo) e determine o 
período de oscilação (T) utilizando a montagem do sensor ótico e 
cronômetro, para isto use a função F5 do cronômetro. Repita esse 
procedimento cinco vezes; 
4. Refaça o procedimento anterior para os comprimentos (L) 10 cm, 15 cm, 20 
cm e 25 cm; 
5. Trace o gráfico L x T2 e, a partir dele, determine o valor da aceleração da 
gravidade. Compare o valor obtido com o normalmente utilizado; 
6. Adicione massa ao pêndulo, ajuste o comprimento para 25 cm e determine 
o período de oscilação. Compare o resultado com o obtido anteriormente. 
7. Calcule e ajuste o ângulo de inclinação do sistema em que o pêndulo está 
montado de modo que este simule uma oscilação com aceleração da 
gravidade decomposta, de valor igual ao obtido na Lua, e repita os passos 
2, 3, 4 e 5. 
 
 
Referência 
 
Haliday, D e Resnick, R., Fundamentos de Física 2. Editora Livros Técnicos e 
Científicos S.A., 3ª Edição, páginas 29-32, 1994. 
 
 
Manual de instruções