EeA_mod2_aula_3_modelos

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Engenharia e Ambiente
Módulo 2 aula 3
Modelos e simulação
Professores : Rudi van Els
http://www.aprender.unb.br/gama/
Dinâmica das populações
Histórico do crescimento humano
Modelos de crescimento
Simulação Crescimento exponencial
Crescimento J e S
Outros modelos de crescimento
Simulação 
Modelo Presa Predador
Demografia humana
Simulação Crescimento 
exponencial
Equação diferencial
Equação de diferenças
Simulação Linguagem C
Crescimento J
Uma forma de incluir 
um limite superior é 
colocado na curva de 
crescimento na forma 
de J 
Crescimento S 
Ponto de inflexão
Curva S, Sigmóide ou 
logística é um modelo mais 
comum. Inicialmente o 
crescimento é lento, então, 
torna-se rápido até atingir 
certo ponto, quando passa a 
diminuir até um ponto em 
que o número de 
indivíduos torna-se 
rapidamente constante. 
Crescimento sigmoide
A taxa de crescimento populacional igual (taxa 
ilimitada de crescimento específico) vezes o tamanho 
da população menos aumento não efetivado
∂ N
∂ t
=r⋅N K−N 
K
A taxa de crescimento populacional igual a taxa 
máxima possível de aumento vezes grau de 
efetividade da taxa máxima
Crescimento sigmóide
A taxa de crescimento dN/dt é diretamente proporcional 
a N (tamanho do sistema no instante t) e a ( K – N ) ( o 
que falta para o sistema crescer até K no instante t ).
∂ N
∂ t
= r
K
⋅N⋅K−N 
A equação diferencial logístico foi proposto em 
1838 por P. Verhulst. Rescrevendo a equação 
temos 
Crescimento sigmóide
O resultado dessa equação diferencial leva à 
equação de crescimento da população
N  t  = K
1e a−r t
a = ln K−N 
N
quando t=0
Crescimento sigmóide
K−N 
K
N K (K-N) / K
10 600 0.98
50 600 0.92
150 600 0.75
300 600 0.50
450 600 0.25
600 600 0.00
Representa a resistência ambiental. 
Essa equação mostra que, quando N é 
bastante pequeno, o termo (K-N)/K 
aproxima-se da unidade e o crescimento 
é próximo ao exponencial. 
À medida que o termo (K-N) diminui, a 
taxa de crescimento também diminui. 
Quando K=N a taxa é zero
Simulação de crescimento 
sigmóide
Valor Final = K = 600 a = 1.6094379
Valor Inicial = 100 Potencial biótica = 0.10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
Crescimeno Sigmóide
Sigmoide Exponencial
anos
Crescimento J e S
Fase de resistência ambiental
Fase de climatização
Fase logístico 
Fase de colonização 
Fase de atraso
Pressuposições do 
crescimento sigmóide
1) Existe uma distribuição inicial estável de idades;
2) Todos os indivíduos são ecologicamente equivalentes ou 
há uma unidade de densidade apropriada para ponderar as 
diferenças de estágio de vida, tamanho individual, etc.;
3) A taxa inata de aumento (r) pode ser realmente 
alcançada sob condições existentes;
4) Não existem demoras ou atrasos;
5) O relacionamento entre a densidade e a taxa de 
aumento é linear, incluindo a pressuposição da mais alta 
taxa de crescimento quando a densidade de população for 
extremamente baixa
Qual modelo correto?
- Problemas de calibração do modelo
- O ponto crucial do modelo é que ainda não se 
identificou o ponto de inflexão no crescimento da 
população mundial. 
- Quase todos os modelos propostos partem do 
princípio que o ponto de inflexão está próximo ou 
já aconteceu, pois já há sinais de esgotamento 
ou saturação (poluição, crise energética, crise de 
alimento).