Lista de Exercícios - Estatística Básica - Josiane 7

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Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro 2013
Prof.: Josiane Cordeiro
Lista de Varia´veis Aleato´rias Cont´ınuas
1. A demanda dia´ria de macarra˜o num supermercado, em centenas de quilos, e´ uma varia´vel
aleato´ria cont´ınua com func¸a˜o densidade de probabilidade dada por
f(x) =

1
8
x, se 0 ≤ x ≤ 4;
0, caso contra´rio.
a) Qual e´ a probabilidade de se vender mais do que 150 Kg, num determinado dia escolhido
ao acaso?
b) Qual e´ a me´dia de vendas de macarra˜o deste supermercado?
c) Em 90 dias, quanto o gerente do supermercado espera vender?
d) Qual e´ a quantidade necessa´ria de macarra˜o que deve ser deixada a` disposic¸a˜o dos clientes
para que na˜o falte macarra˜o em um dia com taxa de 95%?
e) Encontre o desvio padra˜o.
2. Seja X uma varia´vel aleato´ria, representando o tempo de trabalho de uma determinada pessoa
em uma loja que funciona 6 horas dia´rias, com a func¸a˜o densidade de probabilidade dada por
f(x) =

1
18
x, se 0 ≤ x ≤ 6;
0, se caso contra´rio.
a) Qual e´ a me´dia de trabalho desta loja no per´ıodo citado?
b) Qual e´ a probabilidade da pessoa trabalhar mais de 4 horas no dia?
c) Encontre a probabilidade de trabalhar menos de 45 minutos.
d) Determine o desvio padra˜o.
e) Encontre a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada da v.a. X.
3. As vendas de gasolina num depo´sito de atacado acusam a me´dia ma´xima de 50000 galo˜es
dia´rios, com mı´nimo de 20000 galo˜es. Supondo adequada a distribuic¸a˜o uniforme para mo-
delar a venda de galo˜es de gasolina. Qual e´ a probabilidade de um determinado dia a venda
passar de 38000 galo˜es? E qual a probabilidade de vender menos de 40000 galo˜es?
4. Uma determinada varia´vel aleato´ria cont´ınua tem func¸a˜o densidade dada por
f(x) =
Ax, se 1 ≤ x ≤ 3;0, se caso contra´rio.
a) Para que f(x) seja uma func¸a˜o densidade de probabilidade, qual e´ o valor da constante A?
b) Determine: P (X ≥ 5/2), P (X ≤ 3/2) e P (1 ≤ X ≤ 2).
c) Encontre a me´dia e o desvio padra˜o.
5. Seja X uma v.a. cont´ınua com densidade
f(x) =
C(1− x2), se − 1 ≤ x ≤ 1;0, caso contra´rio.
Calcule a me´dia e a variaˆncia da v.a. X.
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6. O tempo necessa´rio para um medicamento contra dor fazer efeito foi modelado de acordo
com a densidade Uniforme no intervalo de 5 a 15 (em minutos), tendo por base experimentos
conduzidos em animais. Um paciente, que esteja sofrendo dor, recebe o reme´dio e, supondo
va´lido o modelo mencionado acima, pergunta-se a probabilidade da dor:
a) Cessar em ate´ 10 minutos?
b) Demorar pelo menos 12 minutos?
c) Durar mais de 7 minutos, sabendo-se que demorou menos de 10 minutos?
7. O tempo adequado de troca de um amortecedor de certa marca em automo´veis, sujeitos a
uso cont´ınuo e severo, pode ser considerado como uma varia´vel cont´ınua, medida em anos.
Suponha que a func¸a˜o densidade de probabilidade e´ dada pela seguinte expressa˜o:
f(x) =

1
4x, se 0 ≤ x ≤ 2;
1
8 , se 2 < x ≤ 6;
0, caso contra´rio.
a) Verifique que a func¸a˜o acima e´, de fato, uma func¸a˜o densidade de probabilidade.
b) Qual e´ a probabilidade de um automo´vel, sujeito a`s condic¸o˜es descritas acima, necessitar
de troca de amortecedores antes de 1 ano de uso? E entre 1 e 3 anos?
c) Qual e´ o tempo me´dio adequado para troca do amortecedor desses automo´veis?
8. Suponha que uma varia´vel aleato´ria com a seguinte func¸a˜o de densidade de probabilidade.
f(x) =
K −
2
9
x, se 0 ≤ x ≤ 3;
0, se caso contra´rio.
a) Determine o valor de k, de modo que seja uma func¸a˜o de densidade.
b) Encontre P (X ≥ 1/2), P (X ≤ 1) e P (2 ≤ X ≤ 3).
c) Determine a me´dia e o desvio padra˜o.
9. Suponha que Z tenha distribuic¸a˜o N(0; 1). Empregando a ta´bua da distribuic¸a˜o normal,
determine o valor de probabilidade de:
a)P (0 ≤ Z ≤ 1, 65) b)P (Z ≤ 1, 29) c)P (0 ≤ Z ≤ 1, 34) d)P (−1 ≤ Z ≤ 1)
e)P (Z ≤ 2, 45) f)P (Z ≥ −2, 01) g)P (Z ≥ 1, 65) h)P (Z > 2, 13) i)P (|Z| > 1, 61)
10. Em determinado laborato´rio de pesquisa de ce´lulas tronco para problemas motores nos mem-
bros inferiores estuda a recuperac¸a˜o total dos movimentos. O responsa´vel pelo procedimento
afirma que o tempo que o paciente leva para obter melhoras significativas nos movimento,
apo´s cirurgia, segue uma distribuic¸a˜o Normal com me´dia de 10 meses e desvio padra˜o de 4
meses. Segundo estas informac¸o˜es, qual e´ a probabilidade de um paciente obter melhoras
significativas nos movimentos de 9 a 12 meses apo´s a cirurgia? Ate´ 6 meses? E apo´s 10
meses?
11. Um pequeno stand vende entre 10 e 20 quilolitros de cafe´ num per´ıodo de sete dias. A
quantidade efetivamente vendida varia uniformemente durante tal per´ıodo.
a) Qual e´ a venda me´dia em sete dias?
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b) Qual e´ a probabilidade de a venda me´dia superar 10 quilolitros de cafe´?
c) Se o lucro e´ de 30 reais por quilolitro, qual e´ o lucro esperado em sete dias?
d) Qual e´ a probabilidade de o lucro esperado no per´ıodo for inferior a 390 reais?
12. Estudo do sindicato dos banca´rios indica que cerca de 30% dos funciona´rios de banco teˆm
problemas de estresse, provenientes das condic¸o˜es de trabalho. Numa amostra de 200 fun-
ciona´rios, qual seria a probabilidade de pelo menos 40 com essa doenc¸a?
13. Duas ma´quinas esta˜o sendo comparadas quanto ao seu desempenho. As ma´quinas produzem,
por hora, um nu´mero de pec¸as que e´ modelado pela distribuic¸a˜o Normal. Os paraˆmetros sa˜o
dados a seguir:
Ma´quina µ σ2
A 110 400
B 100 625
Deseja-se comparar as ma´quinas pelo que foi denominado ı´ndice regular de produtividade,
que e´ calculado pela probabilidade de produzir de 80 a 120 pec¸as em uma hora. Um maior
ı´ndice indicaria um melhor desempenho. Qual das ma´quinas possui o melhor desempenho?
14. Atrave´s de documentac¸a˜o e observac¸a˜o cuidadosas, constatou-se que o tempo me´dio para se
fazer um teste padra˜o de matema´tica e´ de aproximadamente de 80 minutos e desvio padra˜o
de 20 minutos.
a) Que percentagem de candidatos levara´ menos de 80 minutos?
b) Que percentagem na˜o terminara´ o teste num per´ıodo ma´ximo de duas horas?
c) Se 100 pessoas fazem o teste, quantas podemos esperar que terminem o teste na primeira
hora?
15. Suponha que Z tenha distribuic¸a˜o N(0; 1). Empregando a ta´bua da distribuic¸a˜o normal,
determine o valor de z:
a)P (Z ≥ z) = 0, 5 b)P (0 ≤ Z ≤ z) = 0, 3264 c)P (0 ≤ Z ≤ z) = 0, 3461
d)P (z ≤ Z ≤ 1) = 0, 6826 e)P (−1, 05 ≤ Z ≤ z) = 0, 7280 f)P (Z ≥ z) = 0, 0640
16. Suponha que X tenha distribuic¸a˜o N(2; 0,16). Empregando a ta´bua da distribuic¸a˜o normal,
calcule as seguintes probabilidades:
a)P (X ≥ 2, 16) b)P (1, 82 ≤ X ≤ 2, 56) c)P (2 ≤ X ≤ 3) d)P (X ≥ −0, 62)
e)P (−1, 05 ≤ X ≤ 2, 1) f)P (X ≤ −0, 58) g)P (X ≥ a) = 0, 3513
17. As aves de rapina sa˜o conhecidas por serem elegantes, velozes, fortes, espertas e muito ta-
lentosas para cac¸a. Dentre as mais belas e maiores do mundo destaca-se a a´guia harpia, por
ter o tamanho da envergadura das asas (de ponta a ponta) de acordo com uma distribuic¸a˜o
Normal com me´dia de 1,5 metros e variaˆncia de 0,04 metro. De acordo com estas informac¸o˜es
se uma harpia for capturada na Floresta Amazoˆnica, qual a probabilidade da envergadura de
suas asas ser
a) inferior a 1,7 metros?
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b) entre 1,3 metros e 1,6 metros?
c) maior que 1,8 metros?
18. Na China, uma cirurgia experimental com o uso de ce´lulas tronco garante que pessoas com
problemas motores nos membros inferiores possam recuperar totalmente os movimentos. O
me´dico responsa´vel pelo procedimento afirma que o tempo que o paciente leva para obter
melhoras significativas nos movimentos, apo´s a cirurgia, segue uma distribuic¸a˜o Normal com
me´dia de 10 meses e desvio-padra˜o de 2,5 meses. Segundo estas informac¸o˜es, qual a probabi-
lidade de um paciente obter melhoras significativas nos movimentos
a) de 9 a 12 meses apo´s a cirurgia?
b) apo´s 6 meses da cirurgia?
c) ate´ os 13 meses?
d) ate´ os 10 meses, sabendo-se que vai demorar menos de 15 meses?
19. No estado do Rio de Janeiro, devido a` epidemia de dengue,o tempo que uma pessoa aguarda
para ser atendida, ao chegar a um hospital, segue uma distribuic¸a˜o Normal com me´dia de
2,5 horas e variaˆncia de 0,25 hora. De acordo com estas informac¸o˜es, qual a probabilidade de
uma pessoa ter de aguardar
a) no ma´ximo 2,12 horas para ser atendida?
b) ao menos 1,25 horas para ser atendida?
c) Qual e´ o intervalo sime´trico em torno da me´dia, que contera´ 80% do tempo em que uma
pessoa aguarda para ser atendida?
20. Apesar dos avisos, e´ comum que os visitantes de um zoolo´gico alimentem os micos. Como, em
muitas das vezes, o alimento oferecido na˜o e´ adequado, o animal acaba sofrendo algum tipo
de distu´rbio intestinal. Bio´logos e veterina´rios afirmam que o tempo que o mico leva para se
recuperar do distu´rbio, segue uma distribuic¸a˜o Normal com me´dia de 5 dias e desvio-padra˜o
de 0,5 dia. Com base nesta informac¸a˜o, qual a probabilidade de um mico, que acaba de
apresentar os sintomas de um distu´rbio intestinal,
a) demorar mais do que 4 dias para se recuperar?
b) demorar de 4,5 a 5,5 dias para se recuperar?
21. Estudos indicam que certa mutac¸a˜o gene´tica em leo˜es faz com que os tempos de vida deles
tenham uma distribuic¸a˜o Normal com me´dia de 7,5 anos e variaˆncia de 0,25 anos. De acordo
com estas informac¸o˜es, qual a probabilidade de um lea˜o com esta mutac¸a˜o gene´tica,
a)viver menos de 7,0 anos?
b)viver entre 6,5 anos e 8,0 anos?
22. O nu´mero anual mundial de terremotos e´ uma varia´vel aleato´ria com uma distribuic¸a˜o apro-
ximadamente normal com me´dia de 20, 8. Qual e´ o desvio padra˜o dessa distribuic¸a˜o se a
probabilidade de que ocorram pelo menos 18 terremotos e´ de 0, 70?
23. O restante dos exerc´ıcios esta˜o no livro texto (ESTATI´STICA BA´SICA) pa´g. 80, 81, 82 e 83.
Principalmente os nu´meros: 6.3, 6.4, 6.6, 6.10, 6.12, 6.16, 6.18, 6.22, 6.24 e 6.26.
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