Lista_de_Exercicios_solucoes_Unidade_2

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Lista de Exercícios: soluções - Unidade 2 
 
2.1 Uma lâmina de aço de espessura (ou altura) t = 3 mm, comprimento L = 300 mm, largura b = 20 mm, módulo 
de elasticidade E = 210 x 109 Pa tem a sua face plana paralela ao plano horizontal e é usada como uma mola 
simplesmente apoiada nas duas extremidades para suportar uma massa na metade de seu comprimento. 
(a) Determinar a constante de mola para a força e deslocamento na direção vertical, na posição da massa. 
(b) Quais as modificações que se fariam nas dimensões da viga para duplicar a sua constante de mola? 
(c) Determinar a constante de mola se duas lâminas são usadas uma em cima da outra com lubrificante entre 
elas (não há atrito). 
(d) Encontrar a constante de mola se duas lâminas são usadas uma em cima da outra e soldadas juntas. 
 
Dados: t = 3 mm, L = 300 mm, b = 20 mm, E = 210 x 109 Pa 
(a) Viga bi-apoiada sob flexão 
3
48
L
EI
k  
com 412
33
m 1045
12
003,002,0
12
 btI 
N/m 108,16
3,0
1045102104848 3
3
129
3
 
L
EI
k 
(b) Para duplicar a constante de mola da viga podem ser adotadas as seguintes soluções: 
1. Diminuir o comprimento para 
 m 238,0
108,162
10451021048
2
48
3
3
129
3 
 
k
EI
L 
2. Aumento do momento de inércia (dimensões da seção transversal) 
 411
9
333
m 109
1021048
3,0108,162
48
2 

E
kl
I 
(c) A configuração proposta consitui-se em uma associação em paralelo, implicando na duplicação da rigidez, 
de forma que N/m 106,33108,162 33 k 
(d) Desta forma a espessura da viga é duplicada t = 6 mm 
412
33
m 10360
12
006,002,0
12
 btI 
N/m 10134
3,0
10360102104848 3
3
129
3
 
L
EI
k 
2.2 Uma máquina de massa m = 500 kg é montada em uma viga de aço bi-apoiada, de comprimento L = 2 m, que 
possui uma seção transversal retangular (espessura = 0,1 m, largura = 1,2 m) e E = 210 x 109 N/m2. Para 
reduzir a flecha no centro da viga foi colocada uma mola de rigidez k, como mostra a Fig. 2.1. Determinar o 
valor de k necessário para reduzir a flecha da viga para um terço do seu valor original (sem a mola). Assumir 
que a massa da viga é desprezível. 
m
k
 
Figura 2.1 
 Dados: m = 500 kg, L = 2 m, t = 0,1 m, b = 1,2 m e E = 206 x 109 N/m2. 
Como o momento de inércia (em relação à linha elástica) de uma viga é 
44
33
m 1000,1
12
1,02,1
12
 tbI 
A rigidez de uma viga bi-apoiada com carga concentrada no centro é 
N/m 10126
2
1000,1102104848 6
3
49
3
 
L
EI
kv 
A mola de rigidez k se associa em paralelo (observar que aumenta a rigidez) com a viga. Para que a flecha 
seja reduzida para um terço de seu valor inicial tem-se 
33
v
eq
viga
fina l
k
P
k
P   
De onde 
N/m 10252106,123223 66  vvveq kkkkkk 
2.3 O eixo de um elevador em uma mina está suspenso por dois cabos de comprimento L = 150 m e diâmetro d = 
20 mm cada. Os cabos são feitos de aço com módulo de elasticidade E = 210 x 109 Pa. 
(a) Determinar a constante de mola do sistema se for aplicada uma carga vertical na extremidade inferior do 
eixo para deslocamento na direção vertical. 
(b) Determinar como a constante de mola irá variar se o número de cabos for aumentado para quatro. 
(c) Determinar como a constante de mola irá variar se o diâmetro do cabo mudar para 30 mm (com dois cabos). 
 
Dados: L = 150 m, d = 20 mm, E = 210 x 109 Pa. 
(a) N/m 10440
1504
02,010210
4
3
292 
 
L
Ed
L
EA
k 
 
Com dois cabos em paralelo 
N/m 108802 3 kkeq 
 
(b) N/m 1076,14 6 kkeq 
 
(c) N/m 10990
1504
03,010210
4
3
292 
 
L
Ed
L
EA
k 
 
N/m 1098,12 6 kkeq 
Comparando os resultados dos itens a) e c), ocorreu uma variação de 2,25 vezes na rigidez para uma 
ampliação de 50% no diâmetro do cabo. 
 
2.4 Um sistema de barra de torção de uma suspensão automotiva possui comprimento L = 1,5 m e diâmetro d = 18 
mm. O módulo de elasticidade transversal é G = 85 GPa. 
(a) Determinar a rigidez torsional da barra para torques aplicados em ambas extremidades. 
(b) Determinar a rigidez torsional se o material da barra for bronze com G = 41 GPa. 
 
Dados: l = 1,5 m, d = 18 mm, G = 85 GPa 
(a) 
49
44
m 103,10
32
018,0
32
 dJ 
N.m/rad 584
5,1
103,101085 99  
L
GJ
kt 
(b) Com G = 41 GPa 
N.m/rad 282
5,1
103,101041 99  
L
GJ
kt 
 
2.5 Uma mola de lâminas múltiplas consiste de três lâminas de aço de comprimento L = 0,3 m, largura b = 0,10 m 
e espessura t = 0,005 m (Fig. 2.2). Determinar a constante de mola para deflexão vertical se o módulo de 
elasticidade é E = 210 x 109 Pa e o bloco de conexão é rígido. Notar que as extremidades das lâminas 
permanecem sempre horizontais. 
 
Figura 2.2 
Dados: L = 0,3 m, b = 0,10 m, t = 0,005 m e E = 210 GPa 
Uma viga bi-engastada, com carregamento P concentrado no seu centro, possui uma deformação igual a 
EI
PLviga
192
3 
Cada uma das 3 lâminas é uma viga engastada com a sua extremidade condicionada a uma deformação 
vertical, sem girar. Desta forma ela pode, em função da simetria, ser considerada como a metade de uma 
viga bi-engastada com carregamento concentrado no centro. Desta forma pode-se dizer que será necessário 
o dobro da carga para produzir uma igual deformação em uma viga bi-engastada com o dobro do 
comprimento de cada lâmina. 
 
 
EI
L
F
k
F
192
2
3
2
3
3






 
de onde 
N/m 102,97
3,0
12
005,01,0
1021012
123 3
3
3
9
3






L
EI
F
k  
Como são três lâminas que sofrem a mesma deformação, estão associadas em paralelo de forma que a 
rigidez equivalente é 
N/m 102923 3 kkeq 
 
2.6 Uma mola torsional conectando dois eixos, consiste de oito barras de d = 8 mm, conectadas como mostrado, 
em um círculo de um raio R = 100 mm, na Fig. 2.3. Se o seu comprimento é l = 250 mm e o módulo de 
elasticidade do material na mola é E = 210 GPa, calcular a constante de mola torsional e notar que cada barra 
está carregada em flexão com a sua extremidade permanecendo perpendicular aos discos. 
 
Figura3 
Dados: d = 8 mm, R = 100 mm, l = 250 mm E = 210 GPa, 
Cada barra se comporta como as lâminas do exercício anterior, submetidas a flexão, de forma que sua rigidez é 
3
12
l
EIP
kba rra   
A rigidez torsional proporcionada por cada barra é determinada por 
N.m/rad 324
25,0
1,0
64
008,0
1021012
12
3
2
4
9
3
2
2 


 l
REI
Rk
R
RPM
k barra
t
t 
Como são 8 molas combinadas proporcionando um efeito torsional equivalente a uma associação em paralelo 
(mesma deformação), a rigidez torsional equivalente é 
N.m/rad 1059,232488 3 teqt kk 
 
2.7 Uma barra de torção consiste de três segmentos com diâmetros de 30, 40, e 50 mm e comprimentos de 400, 
600, e 500 mm, respectivamente, conectados em série de forma a formar um eixo reto. Se G = 105 GPa, 
determinar a constante de mola torsional. 
 
Dados: d1 = 30 mm, d2 = 40 mm, d3 = 50 mm, l1 = 400 mm, l2 = 600 mm, l3 = 500 mm, G = 105 GPa. 
N.m/rad 109,20
4,032
03,010105
32
3
49
1
4
1
1
1
1 
 
l
dG
l
GI
k Pt 
N.m/rad 100,44
6,032
04,010105
32
3
49
2
4
2
2
2
2 
 
l
dG
l
GI
k Pt 
N.m/rad 10129
5,032
05,010105
32
3
49
3
4
3
3
3
3 
 
l
dG
l
GI
k Pt 
N.m/rad 108,12
10129
1
100,44
1
109,20
1
1
111
1 3
333
321





ttt
eq
kkk
k 
 
2.8 Uma mola helicoidal usada em uma transmissão de caminhão tem diâmetro do arame d = 10 mm, diâmetro D 
= 100 mm e tem 15 espiras, módulo de elasticidade transversal G = 81 GPa. 
(a) Encontrar a constante de mola axial. 
(b) Encontrar a constante de mola axial se for dobrado o número de espiras. 
(c) Encontrar a constante de mola se duas molas estão conectadas em paralelo. 
(d) Encontrar a constante de mola se duas molas são conectadas em série. 
 
Dados: d = 10 mm, D = 100 mm, n = 15 espiras e G = 81 GPa. 
(a) N/m 1075,6
1,0158
01,01081
8
3
3
49
3
4 

nD
Gd
k 
(b) N/m 1038,3
1,0308
01,01081
8
3
3
493
4 

nD
Gd
k 
(c) N/m 105,132 3 kkeq 
(d) N/m 1038,3
2
4 kkeq 
 
2.9 Uma mola de retorno de uma manivela Fig. 2.4 possui seis espiras e é feita de aço com E = 2,1 x 1011 Pa, d = 
3 mm e de Di = 30 mm. Determinar a constante torsional da mola. 
 
Dados: E = 210 GPa, d = 3 mm, Di = 30 mm e n = 6. 
D = Di + d = 3 + 30 = 33 mm 
N.m/rad 895
033,0632
003,010210
32
393 

nD
Ed
kt 
 
 
Figura 2.4 
 
2.10 Determinar a constante de mola equivalente para o sistema mostrado na Fig. 2.5, na direção de  

Figura 2.5 
 
2
2
1 eqkU  
         232321212122321212221 2121212121  lklkkkklklkkkkU tttt  
   223212121 lklkkkkk tteq  
 
2.11 Determinar a constante de mola equivalente torsional para o sistema mostrado na Fig. 2.6 
 
Os três segmentos de eixos, com rigidezes k1, k2 e k3, estão submetidos à torção estão associados em série, 
possuindo rigidez equivalente: 
313221
321
321
1 111
1
kkkkkk
kkk
kkk
keq 

 
Combinando-se com o quarto segmento de eixo, localizado do outro lado do disco, de rigidez torcional k4, 
ocorre uma associação em paralelo: 
412 kkk eqeq  
As duas molas de rigidezes k5 e k6 estão associadas em paralelo, possuindo rigidez equivalente 
653 kkkeq  
 
Figura 2.6 
As duas molas de rigidezes k7 e k8 estão associadas em série, possuindo rigidez equivalente 
87
87
87
4 11
1
kk
kk
kk
keq 

 
Os segmentos de eixo estão submetidos à torção , enquanto que as molas estão submetas a uma deformação 
linear igual a Rx 
A energia potencial total é igual à soma das energias potenciais armazenadas em cada um dos elementos 
deformados (segmentos de eixos e molas)   224232242322 21212121  RkRkkxkxkkU eqeqeqeqeqeq  
Substituindo os termos das rigidezes 
22
87
87
65
313221
321
42
1 






 Rkk
kk
kk
kkkkkk
kkk
kU
 
De forma que a rigidez torcional equivalente é 
2
87
87
65
313221
321
4 Rkk
kk
kk
kkkkkk
kkk
kkeq 



 
 
2.12 Determinar o comprimento do eixo vazado uniforme de diâmetro interno d e espessura t que possui a mesma 
constante de mola axial que o eixo sólido cônico mostrado na Fig. 2.7. 
D d
l
 
Figura 2.7 
      
1
2
1
22
1
22
1 4
44
4
24
4 l
tdtE
l
dtdE
l
dd
E
l
EA
l
EDd
k
ie 

 

 
 
Dd
tdlt
l
 41 
 
 
2.13 Determinar a massa equivalente referente à coordenada x para o balancim mostrado na Fig. 2.8. 
 
Figura 2.8 
A massa m2 se movimenta com velocidade x , a o balancim com velocidade angular 
b
x  e a massa m1 
com velocidade linear x
b
a
a   . 
A energia cinética total é igual à soma das energias cinéticas de cada uma das inércias (massas em 
translação e balancim em rotação), dada por 
2
2
2
2
2
2
1
2
2
22
2
1 2
11
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
xmx
b
Jx
b
a
mxmJx
b
a
mT OO  





  
2
2
22
1
1
2
1
xm
b
J
b
a
mT O 


 



 
De forma que a massa equivalente é 
22
2
1 m
b
Jam
m Oeq  
 
2.14 Duas massas, com momentos de inércia de massa J1 e J2, são colocadas em eixos rígidos rotativos que são 
ligados por engrenagens, como mostra a Fig. 2.9. Se o número de dentes nas engrenagens 1 e 2 são n1 e n2, 
respectivamente, determinar o momento de inércia de massa equivalente correspondente a 1. 
 
Figura 2.9 
 
Energia cinética 
2
22
2
11 2
1
2
1   JJEC  
Relação de transmissão 
2211 nn    
Então 
2
12
2
2
1
1
2
1
2
2
1
2
2
11 2
1
2
1
2
1   







 J
n
n
J
n
n
JJEC 
Momento de inércia equivalente 
2
2
2
1
1 Jn
n
JJeq 

 
 
2.15 Determinar o momento de inércia de massa equivalente do trem de engrenagens mostrado na Fig. 2.10, com 
referência ao eixo de acionamento. Na Fig. 2.10, Ji e ni são os momentos de inércia de massa e os números de 
dentes, respectivamente, das engrenagens i, i= 1,2, ... , 2N. 
 
Figura 2.10 
 
Energia cinética 




 N
i
iiJEC
2
1
2
2
1  
Relações de transmissão 
11  iiii nn  
    
N
i
i
ii i
n
n
n
n
n
JJEC
0
2
1
2
12
4
3
2
1
122 22
1 
 
 
Então 
  21
0
2
12
4
3
2
1
122 22
1  





  
N
i
i
ii i
n
n
n
n
n
JJEC 
Momento de inércia equivalente 
   
N
i
i
iieq i
n
n
n
n
n
JJJ
0
2
12
4
3
2
1
122 2
 
 
2.16 Um oscilador harmônico possui massa m = 1,2 kg e constante de rigidez k = 8,5 kN/m. Determinar a freqüência 
natural em rad/s, Hz, cpm (ciclos por minuto). 
 
Dados: m = 1,2 kg, k = 8,5 kN/m 
rad/s 2,84
2,1
8500 
m
k
n 
cpm 804 cpm 60) (13,4 Hz 4,13
2
2,84
2
 

f 
 
2.17 Um oscilador harmônico possui massa m = 10 kg e período de vibração natural, medido em um osciloscópio, 
igual a 35 ms. Determinar a constante de mola. 
 
Dados: m = 10 kg, Tn = 35 ms. 
  N/m 10322
035,0
1044
2 3
2
2
2
2
22  
n
nn T
m
fmmk 
 
2.18 Um automóvel com massa de 2000 kg deforma suas molas da suspensão 0,02 m sob condições estáticas. 
Determinar a freqüência natural do automóvel na direção vertical assumindo que o amortecimento seja 
desprezível. 
 
Dados: m = 2000 kg, st = 0,02 m 
rad/s 1,22
02,0
81,9 
st
n
g
m
k
 
 
2.19 Uma prensa industrial está montada sobre uma camada de borracha para isolá-la de sua base. Se a borracha está 
comprimida 5 mm pelo peso próprio da prensa, determinar a freqüência natural do sistema. 
st
st
g
m
k
kmg   
rad/s 3,44
005,0
81,9 
st
n
g
m
k
 
Hz 05,7
2
3,44
2
 
n
nf 
 
2.20 Um sistema massa-mola possui um período natural de 0,21 seg. Qual será o período se a constante de mola é 
(a) aumentada em 50 % ? 
(b) reduzida em 50 % ? 
 
Dados: Tn = 0,21 seg 
s 21,02
2 
k
m
T
n
n 

 
(a) Rigidez aumentada em 50 % ? 
s 171,021,0
5,1
1
5,1
2 
k
m
Tn  
(b) Rigidez reduzida em 50 % ? 
s 297,021,0
5,0
1
5,0
2 
k
m
Tn  
 
2.21 Um sistema massa-mola tem uma freqüência natural de 10 Hz. Quando a constante de mola é reduzida em 800 
N/m, a freqüência natural é alterada em 45 % (a diferença). Determinar a massa e a constante de mola do 
sistema original. 
 
Dados: fn = 10 Hz, k = 800 N/m. 
rad/s 201022   nn fm
k
 
 22 20 mmk n  
   2055,08002080055,0 2 
m
m
m
k
n 
Resolvendo 
   kg 291,02055,01 800 22  m     N/m 1015,1202905,020 322  mk 
 
2.22 Um oscilador harmônico de massa m = 1 kg e rigidez k = 40 kN/m possui uma freqüência natural próxima à 
freqüência excitadora. Decidiu-se que se deveria mudar a massa ou a rigidez para diminuir a freqüência natural 
em 30% (a diferença). Determinar as possíveis mudanças requeridas. 
 
Dados: m = 1 kg e k = 40 kN/m 
rad/s 200
1
40000
m
k
n 
rad/s 1402007,07,01  nn  
Mantendo a massa 
kN/m 6,191401 2211  nmk  
Mantendo a rigidez 
kg 04,2
140
40000
22
1
1 
n
k
m  
ou uma infinita combinação de parâmetros garantido que 
rad/s 1401 n 
 
2.23 Uma mola helicoidal, quando fixada em uma extremidade e carregada na outra, requer uma força de 100 N para 
produzir um alongamento de 10 mm. As extremidades da mola estão agora rigidamente fixadas e uma massa de 
10 kg é colocada no ponto médio de seu comprimento. Determinar o tempo necessário para completar um ciclo 
de vibração quando a massa vibra. 
 
Dados: F = 100 N,  = 10 mm e m = 10 kg. 
kN/m 0,10
010,0
100  
F
k 
Quando dividida em duas a constante de mola se torna 
10000
1111
11

kkk
 
kN/m 0,20
10000
12
1
1
 k
k
 
Na nova configuração, as duas metades estão associadas em paralelo 
kN/m 0,402000022 1  kkeq 
O tempo para cumprir um ciclo é 
ms 3,99
40000
10
22  
k
m
Tn 
 
2.24 O cilindro de um servo-mecanismo mostrado na Fig. 2.11 possui um pistão com m = 0,3 kg e está suportadopor uma mola helicoidal de d = 1 mm, D = 10 mm, 10 espiras e G = 105 GN/m2. Determinar a freqüência 
natural da vibração do pistão se não há óleo no cilindro. 
 
Figura 2.11 
Dados: m = 0,3 kg, d = 1 mm, D = 10 mm, n = 10 espiras e G = 105 GN/m2. 
kN/m 31,1
01,0108
001,010105
8 3
49
3
4 

nD
Gd
k 
rad/s 1,66
3,0
1031,1 3 
m
k
n 
Hz 5,10
2
1,66
2
 
n
nf 
 
2.25 O cilindro de uma válvula mostrado na Fig. 2.12 tem um pistão com m = 0,2 kg e é suportado por uma mola 
helicoidal de 6 espiras com d = 2 mm, D = 30 mm, G = 105 GN/m2, determinar a freqüência natural de 
vibração do pistão se não há fluido na válvula. 
 
Figura 2.12 
Dados: m = 0,2 kg, n = 6 espiras, d = 2 mm, D = 30 mm e G = 105 GN/m2. 
kN/m 30,1
03,068
002,010105
8 3
49
3
4 

nD
Gd
k 
rad/s 5,80
2,0
1030,1 3 
m
k
n 
Hz 8,12
2
5,80
2
 
n
nf 
 
2.26 Uma unidade de ar-condicionado está ligada ao solo por quatro molas de borracha. A massa da unidade é 300 
kg e se deseja que a freqüência natural para vibração vertical esteja entre 32 e 40 Hz. Determinar a faixa 
permissível da constante de cada mola. 
 
Dados: m = 300 kg, fn = entre 32 e 40 Hz. 
rad/s 80 a 642   nn f 
Rigidez 
24 nmk   
MN/m 03,3
4
64300 2
min  k 
 
MN/m 74,4
4
80300 2
max  k 
 
2.27 Um desumidificador de ar está suspenso no teto por 4 barras de meio metro de comprimento, posicionadas 
fixamente. A massa da unidade é de 200 kg e se deseja que a freqüência natural para vibração vertical seja 
maior do que 30 Hz e para vibração horizontal esteja entre 10 e 15 Hz. Determinar a faixa permissível para os 
diâmetros das barras. E = 210 GN/m2. 
 
Dados: 4 barras, l = 0,5 m, m = 200 kg, fn > 30 Hz (vertical), 10 Hz ≤ fn ≤ 15 Hz (horizontal) e E = 210 GN/m2. 
rad/s 302
rad/s 202
maxmax
minmin 



nn
nn
f
f
 
Limites para a rigidez horizontal (flexão) 
   MN/m 78,130200 kN/m 79020200 22maxmax
22
minmin




n
n
mk
mk
 
 
Rigidez horizontal – flexão (assumindo viga em balanço) 
49
3
4
9
3
10990
5,0
64
1021034
3
4 d
d
l
EI
k 



 
mm 6,36
10990
1078,1
10990
mm 9,29
10990
10790
10990
4
9
6
4
9
max
max
4
9
3
4
9
min
min




k
d
k
d
 
Rigidez horizontal – flexão (assumindo duplo engaste) 
412
3
4
9
3
1096,3
5,0
64
10210124
12
4 d
d
l
EI
k 



 
mm 9,25
1096,3
1078,1
1096,3
mm 1,21
1096,3
10790
1096,3
4
12
6
4
12
max
max
4
12
3
4
12
min
min




k
d
k
d
 
Rigidez vertical – tração-compressão 
rad/s 602 minmin   nn f   MN/m 11,760200 22minmin  nmk 
212
2
9
1032,1
5,0
4
102104
4 d
d
l
EA
k 



 
mm 32,2
1032,1
1011,7
1032,1 12
6
12
min
min 

k
d 
 
2.28 Um coletor de lixo limpo está fixado no solo por 4 colunas de seção tubular retangular de espessura 5 cm e 
comprimento 0,5 m. A massa da unidade é 500 kg e se deseja que a freqüência natural para vibração horizontal 
esteja entre 32 e 40 Hz. Determinar a faixa permissível para a largura da sessão tubular. E = 210 GN/m2. 
 
Dados: 4 colunas de seção retangular, t = 5 cm, l = 0,5 m, m = 500 kg, 32 Hz ≤ fn ≤ 40 Hz (horizontal) e E = 
210 GN/m2. 
rad/s 802
rad/s 642
maxmax
minmin 



nn
nn
f
f
 
Limites para a rigidez horizontal (flexão)    MN/m 6,3180500 MN/m 2,2064500 22maxmax
22
minmin




n
n
mk
mk
 
 
Rigidez horizontal – flexão (assumindo viga em balanço) 
b
b
l
bt
E
k 6
3
39
3
3
10210
5,0
05,01021012
3
4 









 
mm 150
10210
104,31
10210
mm 3,96
10210
102,20
10210
6
6
6
max
max
6
6
6
min
min




k
b
k
b
 
Rigidez horizontal – flexão (assumindo duplo engaste) 
b
b
l
bt
E
k 6
3
39
3
3
10840
5,0
05,010210412
12
4 









 
mm 6,37
10840
104,31
10840
mm 1,24
10840
102,20
10840
6
6
6
max
max
6
6
6
min
min




k
b
k
b
 
 
2.29 Um purificador de ar está fixado no solo por 6 pilares sólidos de ferro de forma retangular, com 100 mm de 
largura por 50 mm de espessura, com comprimento 2 m, fixados tanto no solo como na unidade. A massa da 
unidade é 800 kg. Determinar as freqüências naturais horizontais nas duas direções. E = 210 GN/m2. 
 
Dados: 6 pilares, b = 100 mm, t = 50 mm, l =2 m, m = 800 kg e E = 210 GN/m2. 
Rigidez horizontal – primeira direção – flexão (assumindo viga em balanço) 
kN/m 492
212
05,01,0102103612
3
6
3
39
3
3











l
bt
E
k
 
rad/s 8,24
800
10492 3 
m
k
n
 
Rigidez horizontal – segunda direção – flexão (assumindo viga em balanço) 
MN/m 97,1
212
1,005,0102103612
3
6
3
39
3
3











l
tb
E
k
 
rad/s 
6,49
800
1097,1 6 
m
k
n
 
Rigidez horizontal – primeira direção – flexão (assumindo duplo engaste) 
MN/m 97,1
2
05,01,010210612
12
6
3
39
3
3










l
bt
E
k
 
rad/s 6,49
800
1097,1 6 
m
k
n
 
Rigidez horizontal – segunda direção – flexão (assumindo duplo engaste) 
MN/m 88,7
2
1,005,010210612
12
6
3
39
3
3










l
tb
E
k
 
rad/s 2,99
800
1088,7 6 
m
k
n
 
 
2.30 Um pequeno compressor está apoiado em quatro molas de borracha que possuem constantes de rigidez 3,0 
kN/m cada uma, na direção vertical, e 4,0 kN/m na direção horizontal. A massa da unidade é 30 kg. 
Determinar as freqüências naturais para vibrações horizontal e vertical. 
 
Dados: quatro molas de borracha, kv = 3,0 kN/m, kh = 4,0 kN/m e m = 30 kg. 
Direção horizontal 
rad/s 1,23
30
400044 
m
kh
nh
 
Hz 68,3
2
09,23
2
 
nh
nhf
 
Direção vertical 
rad/s 0,20
30
300044 
m
khv
nv
 
Hz 18,3
2
0,20
2
 
nh
nhf
 
 
2.31 O núcleo móvel de um relé eletromagnético mostrado na Fig. 2.13 possui massa m = 12 gr, e está suportado por 
uma mola com k = 3,0 kN/m. Quando energizado, fecham-se os contatos, que estão montados em lâminas 
flexíveis de espessura 0,8 mm e 6 mm de largura. A lâmina móvel possui comprimento de 20 mm e as 
estacionárias possuem comprimentos de 15 mm cada. Determinar a freqüência natural com o relé aberto e 
fechado. E = 210 GN/m2. 
 
Figura 2.13 
Dados: m = 12 gr, k = 3,0 kN/m, t = 0,8 mm, b = 6 mm, l1 = 20 mm, l2 = 15 mm e E = 210 GN/m2. 
 Com o relé aberto: 
 
rad/s 500
012,0
3000 
m
k
n
ou 
 
Hz 6,79
2
500
2
 
n
nf
 
 Com o relé fechado 
a) lâmina móvel – dupla viga engastada 
kN/m 161
2
02,0
12
0008,0006,0
102103
2
3
3
3
9
3
1
1 



l
EI
k 
b) lâmina fixa – viga engastada 
kN/m 8,47
015,0
12
0008,0006,0
1021033
3
3
9
3
2
2 

l
EI
k 
 De cada lado ocorre associação em série de k1 e k2 
 kN/m 9,36
108,4710161
108,4710161
33
33
21
21
1 
 kk
kk
keq 
 Estes dois conjuntos estão associados em paralelo 
 kN/m 7,73109,3622 31  eqeq kk 
 A freqüência natural com relé fechado será 
 rad/s 1053,2
012,0
300073728 3
m
keq
n ou 
Hz 402
2
1053,2
2
3  
n
nf 
 
2.32 Achar a freqüência natural de vibração do sistema massa-mola montado em um plano inclinado, como 
mostrado na Fig. 2.14. 
 
Figura 2.14 
 
xmmgxkxk  sin21 
sendo x1 medido a partir da posição de equilíbrio estático     11211 sin xmmgxkxk stst       0sin 121121  xkkxmmgkk st  
pela condição de equilíbrio estático. 
A freqüência natural é 
m
kk
n
21  
 
2.33 Determinar a expressão para a freqüência natural do sistema mostrado na Fig. 2.15, considerando desprezíveis 
as massas das plataformas. 
 
Figura 2.15 
 
Viga engastada 
3
1
11
1
3
l
IE
k  
Viga bi-apoiada 
3
2
22
2
48
l
IE
k  
Constante de mola equivalente, associação em paralelo 
21 kkkeq  
Freqüência natural 
  

 
3
2
22
3
1
1121 483
l
IE
l
IE
W
gW
kkg
m
keq
n 
 
2.34 Uma mola helicoidal de rigidez k é cortada em duas metades e uma massa m é conectada às duas metades como 
mostra a Fig. 2.16(a). O período natural deste sistema é 0,5 seg. Se uma mola idêntica é cortada de forma que 
uma das partes tenha ¼ de seu comprimento enquanto que a outra parte tenha ¾, com a massa sendo conectada 
às duas partes como mostra a Fig. 2.16(b), qual será o período natural do sistema? 
 
Figura 2.16 
Uma mola pode ser considerada como duas metades associadas em série, de forma que 
kk 21  cada metade 
As duas metades associadas em paralelo, como mostra a Fig. 2.16a, possuem rigidez 
kkkeq 42 1  
Freqüência natural 
5,0
22
2
4  
n
n Tm
k
m
k
 
2
m
k
 
Para a divisão mostrada na Fig. 2.16b, dividindo a mola em 4 
kk 42  
Associando 3 em série 
3
4
111
1
222
3
k
kkk
k 

 
Associando k2 e k3 
3
16
3
4
432
kk
kkkkeq  
Freqüência natural 
  rad/s 5,142
3
4
3
4
3
16
1   m
k
m
k
n 
Período 
s 433,0
5,14
22
1  

n
nT 
 
2.35 Três molas e uma massa estão presas a uma barra rígida PQ, sem peso, como mostra a Fig. 2.17. Achar a 
freqüência natural de vibração do sistema. 
 
Figura 2.17 
 
Do diagrama de corpo livre da barra PQ, considerada como de massa desprezível, a 2ª Lei de Newton para 
movimentos angulares (Lei de Euler), pode ser escrita para momentos em relação ao ponto P como   0333222211  xllklklk  
De onde se tem que 
x
lklklk
lk 


 233222211
33 
Do diagrama de corpo livre da massa m, a 2ª Lei de Newton pode ser escrita para as forças atuantes na 
massa   xmxlk 33 
Substituindo a segunda expressão na terceira chega-se à equação do movimento em x    0233222211
2
22
2
113 
 x
lklklkm
lklkk
x 
De onde se extrai a freqüência natural como sendo   233222211
2
22
2
113
lklklkm
lklkk
n 
 
 
2.36 O sistema mostrado na Fig. 2.18 modela o mecanismo de contato de um relé eletro-mecânico. 
(a) Determinar sua freqüência natural de oscilação em torno do pivô. 
(b) De determinar o valor da rigidez k que resultará em duas vezes a sua freqüência natural. 
 
Figura 2.18 
 
Equação do movimento 
  


 



 2
22
22
a
l
g
W
I
l
k O 
0
22
2
2
2





 

  lkal
g
W  
a) Freqüência natural 
 22 222
2
4
4
4
4
alW
gkl
al
g
W
l
k
n 

  
b) Como a rigidez é proporcional ao quadrado da freqüência natural, é necessário quadruplicá-la para dobrar 
a freqüência natural. 
 
2.37 O sistema mostrado na Fig. 2.19 modela o braço de um mecanismo de elevação de peso. Determinar sua 
freqüência natural de oscilação em torno do ponto A. 
 
Figura 2.19 
 
Equações do movimento    xmLxk xLLklk    2 2
2
1 0 
Da primeira 

Lk
Lklk
x
2
2
2
2
1  e 
Lk
Lklk
x
2
2
2
2
1  
substituindo na segunda 
0
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1 

 

   L
Lk
Lklk
k
Lk
Lklk
m  
resultando em     02122221   lkkLklkm  
ou então 
  02221
2
21   Lklkm
lkk 
Freqüência natural 
 2221
2
21
Lklkm
lkk
n  
 
2.38 Para o pêndulo invertido mostrado na Fig. 2.20 que modela um tipo de sismógrafo: 
(a) Determinar a freqüência natural. 
(b) Se a mola k1 é removida para que o valor da constante de mola k2 a freqüência natural será zero? 
 
Figura 2.20 
 
a) Freqüência natural 
 2211222 mLhkhkmgL    02222112   mgLhkhkmL  
2
2
22
2
11
mL
mgLhkhk
n
 
b) Com k1 = 0 para fazer com que a freqüência natural se anule é necessário que 
2
2
2
2
22 h
mgL
kmgLhk  
 
2.39 Para o pêndulo controlado mostrado na Fig. 2.22 modelando um relógio: 
(a) Determinar a freqüência natural. 
(b) Para que valor da massa m2 a freqüência natural será zero? 
 
Figura 2.21 
 
(a) Equação do movimento   2222111122 LmLmgLmgLm      02211222211   gLmgLmLmLm  
Freqüência natural  
2
22
2
11
2211
LmLm
gLmLm
n 
 
(b) 
    00 22112
22
2
11
2211 
 LmLm
LmLm
gLmLm
n 
2
1
12 L
L
mm  
 
2.40 Uma barra uniforme rígida de massa m e comprimento l está articulada no ponto A e ligada a cinco molas como 
mostra a Fig. 2.22. Achar a freqüência natural do sistema se k = 2 kN/m, kt = 1 kN.m/rad, m = 10 kg e l = 5 m. 
 
 
Figura 2.22 
 
Dados: k = 2,0 kN/m, kt = 1,0 kN.m/rad, m = 10 kg e l = 5 m. 
Momento de inércia da barra 
12
2ml
IG  
em relação a A 
m
llml
mdII GA
22
2
23
2
12


  
936
3
612
22222 mlmlml
m
lml
I A 

 
Equação do movimento 
 At Iklklk 




22
3
2
2
3
2 
0
9
10
9
22 

   klkml t 
Freqüência natural 
rad/s 1,45
510
520001010009109
2
2
2
2 

ml
klkt
n 
 
2.41 Um cilindro de massa m e momento de inércia J0 rola livremente, sem deslizar, mas tem seu movimento restrito 
por duas molas de rigidez k1 e k2 como mostra a Fig. 2.23. Achar a freqüência natural de vibração e o valor de a 
que maximiza a freqüência natural. 
 
Figura 2.23 
 
Rotação pura em torno do ponto de contato       22221 mRJaRkaRk O       02212   aRkkmRJO  
Freqüência natural 
       2212
2
21
mRJ
kk
aR
mRJ
aRkk
OO
n 

 
Para maximizar 
a = R 
 
2.42 Achar a equação do movimento da barra rígida uniforme AO, de comprimento l e massa m mostrada na Fig. 
2.24. Achar também sua freqüência natural. 
 
 
Figura 2.24 
 
 
3212
222 mll
m
ml
JO 

 
  
3
2
2
2
2
1
ml
klkak t  
   0
3
2
2
2
1
2   tklkakml  
 
 
2
2
2
2
13
ml
klkak t
n
 
 
2.43 Um disco circular uniforme, de massa m, é pivotado no ponto O como mostra a Fig. 2.25. Achar a freqüência 
natural do sistema. 
Momento de inércia em relação ao centro do disco 
2
2ma
JC  
 
Figura 2.25 
 
Equação do movimento 
 

  22
2
mb
ma
mgb 
0
2
2
2 

   gbba  
Freqüência natural 
22 2
2
ba
gb
n  
 
2.44 O sistema mostrado na Fig. 2.26 modela o braço de um sismógrafo vertical. 
(a) Determinar sua freqüência natural de oscilação em torno do pivô. 
(b) Determinar o valor da rigidez k que resultará no dobro da sua freqüência natural 
 
Figura 2.26 
 
Equação do movimento 
022
22




kamL
mLka


 
a) Freqüência natural 
2
2
mL
ka
n  
b) Rigidez para dobrar a freqüência natural 
kk 41  
 
2.45 Uma massa m é montada na extremidade de uma barra de massa desprezível e pode assumir três diferentes 
configurações como mostra a Fig. 2.27. Determinar a configuração que proporciona a maior freqüência natural. 
 
Figura 2.27 
a) 
l
g
n  
b)  22 mlakmgl  
   022   akmglml  
 
2
2
2
2
ml
ka
l
g
ml
mglka
n  
c)  22 mlakmgl  
   022   mglakml  
 
l
g
ml
ka
ml
mglka
n  2
2
2
2 
A configuração que proporciona a maior freqüência natural é a b). 
 
2.46 Para o pêndulo composto mostrado na Fig. 2.28, determinar a freqüência natural de vibração em torno do pivô. 
O elemento possui espessura unitária e a massa específica do material de que é constituído é . 
 
Figura 2.28 
 
Momento de inércia do retângulo em relação ao seu centro 
 22
12
ba
m
J  
Momento de inércia do quadrado em relação ao seu centro 
6
2
1
1
am
J  
Massa do quadrado sem o furo – espessura unitária 
2
1 am  
Momento de inércia do círculo em relação ao centro 
822
1 22
2
22
DmD
mJ 

 
Massa do círculo (a ser retirada) 
4
2
2
D
m
 
Massa total 


 
4
2
2
21
D
ammm
 
Momento de inércia total em relação ao centro 
 
442
1
6
1 2222
21
DD
aaJJJO 

  


 
326
44 Da
JO
 
Momento de inércia em relação ao pivô – Teorema dos eixos paralelos (Steiner) 
443262
22
2
442 DD
a
DaDmJJ OP 

 

 

  


 
32
3
46
4224 DDaa
JP
 
Equação do movimento 
 PJDmg  2 
0
2432
3
46
2
2
4224 

 

 

   DDagDDaa  
Freqüência natural  
4224
22
92416
412
DDaa
DagD
n 
 
 
 
2.47 Para o pêndulo composto mostrado na Fig. 2.29, determinar a freqüência natural de vibração em torno do pivô. 
O elemento possui espessura unitária e a massa específica do material de que é constituído é . 
 
 
Figura 2.29 
 
Momento de inércia do círculo externo em relação ao seu centro 
8
2
11
D
mJ  
Momento de inércia do círculo interno em relação ao seu centro 
8
2
22
d
mJ  
Massa do círculo externo – espessura unitária 
4
2
1
D
m
 
Massa do círculo interno (a ser retirada) 
4
2
2
d
m
 
Massa do círculo (a ser retirada) 
4
2
2
D
m
 
Massa total 
 2221 4 dDmmm   
Momento de inércia total em relação ao centro 
 4421 321 dDJJJO   
Momento de inércia em relação ao pivô – Teorema dos eixos paralelos (Steiner) 
   
4432
1
2
222
44
2
ddD
dD
d
mJJ OP


  


 
2
3
216
4
22
4 d
dD
D
JP

 
Equação do movimento 
 PJdmg  2 
  0
2
3
22
1 22
4
22
4 

   dDgdddDD  
Freqüência natural   4224 22 324 ddDD dDgdn   
 
 
2.48 Para o pêndulo composto mostrado na Fig. 2.30, determinar a freqüência natural de vibração em torno do pivô. 
O elemento possui espessura unitária e a massa específica do material de que é constituído é . 
 
 
Figura 2.30 
 
Momento de inércia do círculo externo em relação ao pivô 
2
2
11
R
mJ  
Momento de inércia do círculo interno em relação ao pivô 
2
2
2
2
2
22 8
3
48
Rm
R
m
R
mJ  
Massa do círculo externo – espessura unitária 
2
1 Rm  
Massa do círculo interno (a ser retirada) 
4
2
2
R
m
 
Massa total 
4
3 2
21
R
mmm
 
Novo centróide 






2
0
2
1
2211 R
r
r
mrrmrm c 
6
4
3
24
22
R
r
r
RRR
c
c

 
 
Momento de inércia total em relação ao pivô 
 
32
13
48
3
2
4
2
22
2
21
R
R
RR
RJJJP  

 
Equação do movimento 
 Pc Jmgr  
0
64
3
32
13 24   RgRR  
0
4
13   gR  
Freqüência natural 
R
g
n 13
4 
 
2.49 Para o pêndulo composto mostrado na Fig. 2.31, determinar a freqüência natural de vibração em torno do pivô. 
O elemento possui espessura unitária e a massa específica do material de que é constituído é . 
 
Figura 2.31 
Momento de inércia do disco superior em relação ao seu centro 
2
1
11 22
1 

 dmJ 
com massa 
4
2
1
1
d
m
 
Momento de inércia da barra em relação ao pivô 
  2122222 2212   dlmblmJ 
com massa 
blm 2 
Momento de inércia do disco inferior em relação ao pivô 
2
12
3
2
2
33 2222
1 

 

 dldmdmJ 
com massa 
4
2
2
3
d
m  
Massa total 
     bldddbldmmmm 2221
2
2
2
1
321 444
 
Novo centróide 











22
22
0
21
3
1
2
1
332211
d
l
d
r
ld
r
r
mrrmrmrm c 
cr
d
bl
dd
l
ddld
bl 

 

 

 
4422422
2
2
2
121
2
21  
    2221 21
2
21
42
24
dbld
dlddldbl
rc 


 
Momento de inércia total em relação ao pivô 
      


 

  212
2
2
2
1224
2
4
1321 216221232
dld
ddl
blbl
bl
ddJJJJP
 
Equação do movimento 
     
       0442 24
2
16221232
0
2
2
2
12
2
2
1
21
2
21
2
12
2
2
2
1224
2
4
1


 







 

 





bldd
dbld
dlddldbl
dld
ddl
blbl
bl
dd
mgrJ cP


 
Freqüência natural 
      
      


 

 


 





2
12
2
2
2
1224
2
4
1
2
2
2
12
2
2
1
21
2
21
2
16221232
442
24
dld
ddl
blbl
bl
dd
bldd
dbld
dlddldbl
n 



 
 
2.50 Para o pêndulo composto mostrado na Fig. 2.32, determinar a freqüência natural de vibração em torno do pivô. 
O elemento possui espessura unitária e a massa específica do material de que é constituído é . 
 
Figura 2.32 
 
Momento de inércia do quadrado em relação ao seu centro 
6
2
1amJG  
Massa do quadrado – espessura unitária 
2
1 am  
Momento de inércia em relação ao pivô 
3
2
262
4442
1
aaaa
mJJ GP
 

 
Equação do movimento 
02
23
2
2
2
2
22
4
2
1


 





ka
a
ga
a
J
a
k
a
gm P


 
Freqüência natural 
222
)22(3
a
kag
n 
  
 
2.51 Para o pêndulo composto mostrado na Fig. 2.33, determinar a freqüência natural de vibração em torno do pivô. 
O elemento possui espessura unitária e as massas das barras vertical e horizontal são iguais a m. 
 
Figura 2.33 
 
Momento de inércia da barra vertical em relação à articulação 
  2221 212  LmbLmJ 
Momento de inércia da barra vertical em relação à articulação 
  2222 12 mLbLmJ  
Momento de inércia da total em relação à articulação 
  22221 456 mLbLmJJJP  
Novo centróide 





Lr
L
r
mrrmrm c
2
1
2211 2 
Lr
mrmL
L
m
c
c
4
3
2
2


 
Equação do movimento 
  0
4
3
2
4
5
6
02
222 

 



LmgmLbL
m
mgrJ cP


 
Freqüência natural 
22 172
18
Lb
gL
n  
 
2.52 Para o pêndulo composto mostrado na Fig. 2.35, determinar a freqüência natural de vibração em torno do pivô. 
O elemento possui espessura unitária e largura desprezível. 
 
Figura 2.34 
 
Momento de inércia da barra em relação à articulação 
2
2
2
6
5
2
3
12
mLLm
mL
J 


 
Equação do movimento 
0
2
3
6
5
0
2
3
2 





LmgmL
LmgrJ


 
Freqüência natural 
L
g
n 5
33 
 
2.53 A velocidade máxima atingida pela massa de um oscilador harmônico simples é 10 cm/s, e o período de 
oscilação é 2 s. Se a massa vibra livremente com deslocamento inicial de 2 cm, achar: 
(a) a velocidade inicial; 
(b) a amplitude do deslocamento; 
(c) a aceleração máxima e 
(d) o ângulo de fase. 
 
Dados: vmax = 10 cm/s, Tn = 2 s, x0 = 2 cm. 
(a) rad/s 
2
22  
n
n T
 
 t
v
txx n
n
n  sincos 00  
tvtxx nnn  cossin 00     202max02020max xvvvxv nn   
  mm/s 8,7702,01,0 220  v 
(b) rad/s 
2
22  
n
n T
 
 mm 8,31
0778,0
02,0
2
2
2
02
0 



 n
v
xA 
(c) 2
2
222
max mm/s 314
0778,0
02,08,31 

  Aa n 
(d) rad 891,0
02,0
0778,0
tantan 1
0
01 




   nx
v
 
 
2.54 Uma máquina possui massa m = 250 kg e seu suporte tem rigidez k = 130 kN/m. Se a máquina em sua base é 
modelada como um sistema de um grau de liberdade em vibração vertical, determinar: 
(a) a freqüência natural e 
(b) a equação do movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm na direção vertical. 
 
Dados: m = 250 kg, k = 130 kN/m e x0 = 1 mm. 
(a) Freqüência natural 
 rad/s 8,22
250
130000
m
k
n 
(b) Equação do movimento 
 mm 10  xA  m 8,22cos001,0 tx  
 
2.55 Uma máquina possui massa m = 250 kg e possui freqüência natural para vibração vertical n = 5140 rad/s. Se 
a máquina em sua fundação é modelada como sistema de um grau de liberdade em vibração vertical, 
determinar: 
(a) a rigidez k do suporte elástico e 
(b) a equação do movimento resultante de uma velocidade inicial de 1 mm/s na direção vertical provocada por 
um impacto. 
 
Dados: m = 250 kg, n = 5140 rad/s e v0 = 1 mm/s. 
(a) Rigidez 
 GN/m 60,65140250 22  nmk  
(b) mm 1095,1
5140
001,0 40 
n
v
A  
 mm 5140sin1095,1 4 tx 
 
2.56 Uma máquina possui uma rigidez dos suportes k = 5,5 x 104 N/m e tem freqüência natural de vibração vertical n = 550 rad/s. Se a máquina em sua fundação é modelada como um sistema de um grau de liberdade em 
vibraçãovertical, determinar: 
(a) a massa da máquina e 
(b) a equação do movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm e uma velocidade inicial de 130 
mm/s na direção vertical. 
 
Dados: k = 5,5 x 104 N/m, n = 550 rad/s, x0 = 1 mm e v0 = 130 mm/s. 
(a) Massa da máquina 
 kg 182,0
550
55000
22

n
k
m  
(b) Equação do movimento 
 mm 03,1
550
130
1
2
2
2
02
00 




n
v
xX  
rad 232,0
1550
130
tantan 1
0
01 




 
x
v
n    tXx ncos0  mm 232,0550cos03,1  tx 
 
2.57 Um instrumento eletrônico tem massa m = 3,4 kg e é suportado por 4 coxins de elastômero com uma rigidez k 
= 5400 N/m cada. Se o instrumento no seu suporte é modelado como um sistema de um grau de liberdade para 
vibração vertical, determinar: 
(a) a freqüência natural e 
(b) se uma ferramenta pesando 0,5 kgf cai sobre o instrumento medindo-se máxima amplitude de vibração do 
movimento resultante, igual a 1,7 mm, determinar a velocidade do conjunto imediatamente após o impacto 
da ferramenta. 
 
Dados: 4 coxins, k = 5400 N/m cada, m = 3,4 kg, w1 = 0,5 kgf, X0 = 1,7 mm. 
(a) Freqüência natural 
 rad/s 7,79
4,3
540044 
m
k
n 
(b) Velocidade 
 m 0017,0
2
1
02
00 


n
v
xX  
 m 10227,0
54004
81,95,0 31
0


k
gm
x 
rad/s 4,74
5,04,3
540044
1
1 
 mm
k
n 
 mm/s 1254,74227,070,1 221
2
0
2
00  nxXv  
 
2.58 Um instrumento eletrônico tem massa m = 3,4 kg e é suportado por 4 coxins de elastômero com rigidez 
desconhecida. O instrumento no seu suporte é modelado como um sistema de um grau de liberdade para 
vibração vertical. Durante um teste, uma massa m1 = 0,5 kg cai sobre ele com velocidade desconhecida. O 
impacto foi plástico e a amplitude de vibração medida foi 2,2 mm com freqüência do movimento vertical 
resultante igual a 325 rad/s. Determinar: 
(a) a rigidez de cada um dos quatro coxins elásticos e 
(b) a velocidade da massa em queda, imediatamente antes do impacto. 
 
Dados: 4 coxins, m = 3,4 kg, m1 = 0,5 kg, X0 = 2,2 mm e n1 = 325 rad/s. 
(a) Rigidez 
 
   
kN/m 103
4
3255,04,3
4
22
11  nmmk  
(b) Velocidade da massa em queda antes do impacto 
 mm 0119,0
411900
81,95,01
0  k
gm
x 
   mm/s 715325100119,00022,0 23220200  nxXv  
mm/s 5577715
5,0
5,04,3
0
1
1
0  vm
mm
v 
 
2.59 A massa m cai, de uma altura h, sobre um anteparo de massa desprezível, como mostra a Fig. 2.35, e a colisão é 
plástica. Determinar a resposta do sistema. 
 
 Figura 2.35 
 
k
mg
x 0 
ghv 20  
m
k
n  
k
mgh
k
mg
m
k
gh
k
mgv
xX
n
22
2
2
22
02
00 
















  















 
mg
hk
m
k
k
mg
gh 2
tan
2
tan 11 
Resposta do sistema 









 
mg
hk
t
m
k
k
mgh
k
mg
x
2
tancos
2 1
2
 
2.60 A massa m cai, de uma altura h, sobre uma massa m1, como mostra a Fig. 2.36, e a colisão é plástica. 
Determinar a resposta do sistema. 
 
 
Figura 2.36 
 
Conservação da quantidade de movimento     010 vmmvm 
ghv 20  
gh
mm
m
v 2
1
0 


 
Condições iniciais 





1
0
0
2
mm
m
ghv
k
mg
x
 
Freqüência natural 
1mm
k
n  
Amplitude do movimento 
 1
22
2
1
1
22
02
00
22
mmk
ghm
k
mg
k
mm
mm
ghm
k
mgv
xX
n 








 







 
 
 
Ângulo de fase 
  






















 
1
1
1
11
0
01 2tan
2
tantan
mmg
hk
k
mg
mm
k
mm
m
gh
x
v
n
 
 
A resposta do sistema será      tXtx ncos0 
    









 
1
1
11
22 2
tancos
2
mmg
hk
t
mm
k
mmk
ghm
k
mg
x 
 
2.61 Resolver o problema 2.24 usando o Método de Rayleigh. 
 
Dados: m = 0,3 kg, d = 1 mm, D = 10 mm, n = 10 espiras e G = 105 GN/m2. 
kN/m 31,1
01,0108
001,010105
8 3
49
3
4 

nD
Gd
k 
      tXx tXx nn nsin
cos
0
0

 
2
max
2
max
maxmax
2
1
2
1
kxxm
UT



 
2
0
2
0
2
2
1
2
1
kXXm n  
rad/s 1,66
3,0
1031,1 3 
m
k
n 
Hz 5,10
2
1,66
2
 
n
nf 
 
2.62 Resolver o problema 2.25 usando o Método de Rayleigh. 
 
Dados: m = 0,2 kg, n = 6 espiras, d = 2 mm, D = 30 mm e G = 105 GN/m2. 
kN/m 30,1
03,068
002,010105
8 3
49
3
4 

nD
Gd
k 
      tXx tXx nn nsin
cos
0
0

 
2
max
2
max
maxmax
2
1
2
1
kxxm
UT



 
2
0
2
0
2
2
1
2
1
kXXm n  
rad/s 5,80
2,0
1030,1 3 
m
k
n 
Hz 8,12
2
5,80
2
 
n
nf 
 
 
2.63 Resolver o problema 2.38 usando o Método da Energia. 
 
a) Freqüência natural utilizando o Princípio da Conservação da Energia 
     
 2
2
22
2
11
2
1
cos
2
1
2
1


LmT
LLmghkhkU


   0sin 2222211    mLmglhkhkUTdtd  sin   02222112   mgLhkhkmL  
2
2
22
2
11
mL
mgLhkhk
n
 
b) Com k1 = 0 para fazer com que a freqüência natural se anule é necessário que 
2
2
2
2
22 h
mgL
kmgLhk  
 
2.64 Resolver o problema 2.39 usando o Método da Energia. 
 
(a) Freqüência natural       222211 2211 2121
cos1cos1


 LmLmT
gLmgLmU


 
  0sinsin 2211222211    gLmgLmLmLmUTdtd  sin     02211222211   LmLmLmLm   
2
22
2
11
2211
lmlm
glmlm
n 
 
(b) 
    00 22112
22
2
11
2211 
 lmlm
lmlm
glmlm
n 
2
1
12 l
l
mm  
 
2.65 Resolver o problema 2.40 usando o Método da Energia. 
 
Dados: k = 2,0 kN/m, kt = 1,0 kN.m/rad, m = 10 kg e l = 5 m. 
Momento de inércia da barra 
12
2ml
IG  
em relação a A 
m
llml
mdII GA
22
2
23
2
12


  
936
3
612
22222 mlmlml
m
lml
I A 

 
Equação do movimento 
 
 
  0
9
10
9
22 

    tkklmlUTdt
d
 
  0910 22   tkklml  
Freqüência natural 
rad/s 1,45
510
520001010009109
2
2
2
2 

ml
klkt
n 
 
2.66 Resolver o problema 2.41 usando o Método da Energia. 
 
Energia cinética 
  22
2
1 mRJT O  
Energia potencial 
    21121 aRkkU  
       02112    aRkkmRJUTdtd O      02212   aRkkmRJO  
Freqüência natural        2212
2
21
mRJ
kk
aR
mRJ
aRkk
OO
n 

 
Para maximizar 
a = R 
 
2.67 Um cilindro circular de massa m e raio r é ligado a uma mola de módulo k, como mostra a Fig. 2.37. Utilizando 
o Método da Energia, achar a freqüência do movimento, quando o cilindro rola sem deslizar em uma superfície 
áspera. 
Energia cinética 
222
2
1
2
1 

  mrmrT
 
2
22
2
2
2
2
1
2
1
3
2
2
1
32
1
2



A
t
IT
k
l
k
l
kU




 




  0
2
12
9
10
22
2 







   tA klklklIUTdt
d
 
Figura 2.37 
 
Energia cinética 
222
2
1
2
1 

  mrmrT 
Energia potencial 
 2
2
1 rkU  
  0
2
3 22    krmrUT
dt
d
 
0
2
3   km  
Freqüência natural 
m
k
n 3
2 
 
2.68 No sistema massa-mola mostrado na Fig. 2.38, a corda pode ser considerada como inextensível. Achar a 
freqüência natural de vibração, utilizando o Método da Energia. 
 
Figura 2.38 
 
Energia cinética 
22
2
2
1 2
1
2
1
2
1  JxMxmT  
com 
2
,,2 2121
 rxrxxx  e 2
2
1
MrJ  
  22222222222
4
34
2
1
242
1
22
1
22
1
2
1   

 

 



 MrmrMrMrmrMrrMrmT 
Energia potencial 
2
22
2
2 42
1
22
1
2
1  



 krrkkxU 
Conservação da energia 
  0
44
34 222 



    krMrmrUT
dt
d
 
Equação do movimento   034   kMm  
Freqüência naturalMm
k
n 34  
 
2.69 O cilindro de massa m e raio r rola sem deslizar em uma superfície de raio R, como mostra a Fig. 2.39. 
Determinar a freqüência de oscilação quando o cilindro é ligeiramente deslocado da sua posição de equilíbrio. 
Use o Método da Energia. 
 
Figura 2.39 
 
Energia cinética – rotação pura em relação ao ponto de contato 
22
2
22
1 

  mrmrT 
Energia potencial   cos1 rRmgmghU 
condição de rolamento puro         rrRrrRrrR  
Conservação da energia 
    0sin
2
3 2    rRmgmrUT
dt
d
 
Linearizando e substituindo os ângulos 
  0
2
3 2 





 rR
r
rR
r
rRmg
mr   
0
2
3 


  rR
g 
Freqüência natural 
 rRgn  3 2 
 
2.70 Uma locomotiva de massa 60000 kg trafegando a uma velocidade de 20 m/s é parada no final dos trilhos por 
uma sistema massa-mola-amortecedor. Se a rigidez da mola é 40 kN/mm e a constante de amortecimento é 20 
kN.s/m determinar: 
(a) o deslocamento máximo da locomotiva após atingir o sistema e 
(b) o tempo gasto para atingir o seu deslocamento máximo. 
 
Dados: m = 60 × 103 kg, v = 20 m/s, k = 40 kN/mm e c = 20 kN.s/m. 
 
(a) deslocamento máximo 
rad/s 8,25
1060
1040
3
6 

m
k
n 
00645,0
8,2510602
1020
2 3
3 

nm
c
 
rad/s 8,258,2500645,011 22  nd  
Com x0 = 0 e v0 = 20 m/s 
m 775,0
8,25
2002
0
2
00 

 
dd
n vx
xv
X 

 
  rad 
2
tantan 1
0
001 
 

  
d
n
x
xv
 
    m 
2
8,25cos775,0cos 167,0 

    tetXetx tdtn 
          teteXtx dtddtn nn sincos   00  txxmáx      0sincos 00   tt dddn      22000 11tancossin    nndnddd ttt 
s 0606,0
200645,01
00645,0
tan
8,25
1
1
tan
1
2
1
2
1
0 


 






 




 

dt 
  m 767,0
2
0606,08,25cos775,0 0606,0167,00 

   etx 
(b) tempo 
s 0606,00 t 
 
2.71 Um oscilador harmônico possui massa m = 1,2 kg, constante de amortecimento c = 12 N.s/m e constante de 
mola k = 0,5 kN/m. Determinar: 
(a) A freqüência natural amortecida. 
(b) O fator de amortecimento e o decremento logarítmico. 
 
Dados: m = 1,2 kg, c = 12 N.s/m e k = 0,5 kN/m.. 
(a) Freqüência natural amortecida 
rad/s 4,20
2,1
500 
m
k
n 
245,0
4,202,12
12
2
 nm
c
 
rad/s 8,194,20245,011 22  nd  
(b) Fator de amortecimento e decremento logaritmico 
245,0 
59,1
245,01
245,02
1
2
22




 
 
2.72 A razão entre duas amplitudes sucessivas de um sistema de um grau de liberdade amortecido é 18:1. 
Determinar a mesma relação de amplitudes se a quantidade de amortecimento é 
(a) dobrada, ou 
(b) reduzida para a metade. 
 
Dados: razão entre amplitudes sucessivas = 18:1. 
89,218lnln
2
1 
x
x 
Fator de amortecimento 
    418,089,22 89,22 2222   
Constante de amortecimento 
nmc 2 
(a) Dobrando c  dobra     57,9418,021 418,02212 22    
357,9
2
1 103,14  ee
x
x  
(b) Reduzindo  pela metade 
34,1
2
418,0
1
2
418,0
2
1
2
22










 
83,334,1
2
1  ee
x
x  
 
2.73 Um corpo vibrando com amortecimento viscoso completa 5 oscilações por segundo e em 50 ciclos sua 
amplitude diminui para 10 % de seu valor inicial. Determinar o decremento logarítmico e o fator de 
amortecimento. Qual será o percentual de diminuição do período de oscilação se o amortecimento for 
removido? 
 
Dados: f = 5 Hz, 50 ciclos  amplitude cai para 10% da inicial. 
0461,0
1,0
ln
50
1
ln
1
1
1
1
1 




 x
x
x
x
m m
 
    00733,00461,02 0461,02 2222   
s 2,0
5
1 dT 
Sem amortecimento 
s 199995,0
5
00733,0111 22 
dn
n ff
T

 
O percentual de redução é de 0,00269 %. 
 
2.74 Um sistema viscosamente amortecido tem uma rigidez de 5000 N/m, constante de amortecimento crítico de 20 
N.s/m, e um decremento logarítmico de 2,0. Se o sistema recebe uma velocidade inicial de 1 m/s, determinar o 
deslocamento máximo do mesmo. 
 
Dados: k = 5000 N/m, cc = 20 N.s/m,  = 2,0 e v0 = 1 m/s. 
Fator de amortecimento 
    303,00,22
0,2
2 2222
 
 
A constante de amortecimento crítico permite determinar a massa do sistema 
kg 02,0
50004
20
42
2
22  k
c
m
m
c
m
k
mc ccnc  
Então 
rad/s 500
02,02
20 n e rad/s 476500303,011 22  nd  
A expressão para o movimento é       tXetx dtn cos 
com m 00210,0
4,476
10 
d
v
X  e rad 20
1
tantan 1
0
01  



 
nx
v
 
O deslocamento máximo ocorre quando a velocidade se anula       0sincos 111 11     tXetXetx dtcdtn nn 
    s 00265,0
1
tan
2
1
sincos0
2
1
111 








  

 ddcdn ttt 
O deslocamento máximo será o deslocamento no tempo t1 
  m 00134,0
2
00265,0476cos00210,0 00265,0500303,0 

   exmá x 
2.75 Um oscilador harmônico possui massa m = 30 kg e constante de rigidez k = 100 kN/m. Determinar: 
(a) A constante de amortecimento para um fator de amortecimento  = 0,1. 
(b) O decremento logarítmico e a freqüência natural amortecida. 
 
Dados: m = 30 kg, k = 100 kN/m e  = 0,1. 
(a) Constante de amortecimento 
N.s/m 346100000301,02222  mk
m
k
mmc n  
(b) Decremento logarítmico e freqüência natural amortecida 
631,0
1,01
1,02
1
2
22




 
rad/s 4,575001,011
rad/s 7,57
30
100000
22 

nd
n m
k


 
 
2.76 Um oscilador harmônico amortecido possui massa m = 45 gr, constante de amortecimento c = 3,8 N.s/m, e 
constante de rigidez k = 1500 N/m. Determinar: 
(a) O fator de amortecimento, o decremento logarítmico, e a freqüência natural amortecida. 
(b) A resposta a um deslocamento inicial de 1 mm. 
 
Dados: m = 45 gr, c = 3,8 N.s/m, k = 1500 N/m e x0 = 1 mm. 
(a) fator de amortecimento, o decremento logarítmico, e a freqüência natural amortecida: 
rad/s 183
045,0
1500 
m
k
n 
231,0
183045,02
8,3
2
 nm
c
 
49,1
231,01
231,02
1
2
22




 
rad/s 178183231,011 22  nd  
(b) resposta a um deslocamento inicial de 1 mm. 
2
0
2
00 x
xv
X
d
n 

  

 
com v0 = 0 e x0 = 1 mm. 
m 1003,1001,0
178
001,0183231,0 32
2


 X 
rad 233,0
231,01
231,0
tan
1
tan
2
1
2
1 












 
 mm 233,0178cos03,1 2,42   tex t 
 
2.77 Um oscilador harmônico amortecido possui massa m = 3 kg e constante de rigidez k = 500 N/m. O decremento 
logarítmico medido foi 2,5. Determinar: 
(a) O fator de amortecimento. 
(b) A freqüência natural amortecida. 
 
Dados: m = 3 kg, k = 500 N/m e  = 2,5. 
(a) O fator de amortecimento. 
    370,05,22 5,22 2222   
(b) A freqüência natural amortecida. 
rad/s 9,12
3
500 
m
k
n 
rad/s 0,129,12370,011 22  nd  
 
2.78 Um oscilador harmônico amortecido possui massa m = 8 kg e constante de rigidez k = 1,2 MN/m. Determinar: 
(a) O fator de amortecimento e a freqüência natural amortecida para um decremento logarítmico 0,05. 
(b) A constante de amortecimento. 
 
Dados: m = 8 kg, k = 1,2 MN/m e  = 0,05. 
(a) O fator de amortecimento e a freqüência natural amortecida 
    32222 1096,705,02
05,0
2
 
 
rad/s 387
8
102,1 6 
m
k
n 
rad/s 38738700796,011 22  nd  
(b) A constante de amortecimento 
N.s/m 3,49387800796,022  nmc  
 
 
2.79 Uma máquina possui massa m = 250 kg e seu suporte tem constante de amortecimento c = 1,45 kN.s/m e 
rigidez k = 130 kN/m. Se a máquina e sua base é modelada para vibração vertical como um sistema de um grau 
de liberdade, determinar: 
(a) A freqüência natural amortecida. 
(b) A expressão para o movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mmna direção vertical. 
 
Dados: m = 250 kg, c = 1,45 kN.s/m, k = 130 kN/m e x0 = 1mm. 
(a) A freqüência natural amortecida. 
rad/s 8,22
250
130000
m
k
n 
127,0
8,222502
1450
2
 nm
c
 
rad/s 6,228,22127,011 22  nd  
(b) A expressão para o movimento resultante 
2
0
2
00 x
xv
X
d
n 

  

 
com v0 = 0 e x0 = 1 mm. 
m 1001,1001,0
6,22
001,08,22127,0 32
2


 X 
rad 128,0
127,01
127,0
tan
1
tan
2
1
2
1 












 
 mm 128,06,22cos01,1 90,2   tex t 
 
2.80 Uma máquina possui massa m = 250 kg e freqüência natural amortecida para vibração vertical d = 5140 rad/s. 
Através da medição do decremento logarítmico achou-se um fator de amortecimento  = 0,12. Se a máquina e 
sua base é modelada como um sistema de um grau de liberdade para vibração vertical, determinar: 
(a) A rigidez k do suporte elástico. 
(b) O movimento resultante de uma velocidade inicial de 1 mm/s na direção vertical, imposta por um impacto. 
 
Dados: m = 250 kg, d = 5140 rad/s,  = 0,12 e v0 = 1mm/s. 
(a) A rigidez k do suporte elástico. 
GN/m 70,6
12,01
5140250
1 2
2
2
2 
 
dmk 
(b) O movimento resultante de uma velocidade inicial de 1 mm/s na direção vertical, imposta por um impacto. 
rad/s 5177
250
10701,6 9 
m
k
n 
v0 = 1mm/s 
m 10195
5140
001,0 902
0
2
00 

 
dd
n vx
xv
X 

 
2
  
m 
2
5140cos10195 6219 

   tex t 
 
2.81 Uma máquina possui uma base com rigidez k = 55 kN/m e uma freqüência natural de vibração vertical 
amortecida d = 255 rad/s. Medindo-se o decremento logarítmico, determinou-se um fator de amortecimento  
= 0,18. Se a máquina e sua base são modeladas como um sistema de um grau de liberdade em vibração vertical, 
determinar: 
(a) A massa da máquina. 
(b) O movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm e uma velocidade inicial de 130 mm/s na 
direção vertical. 
 
Dados: k = 55 kN/m, d = 255 rad/s,  = 0,18, x0 = 1mm e v0 = 130mm/s. 
(a) A massa da máquina.    
kg 818,0
255
18,01550001
2
2
2
2 
d
k
m 

 
(b) O movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm e uma velocidade inicial de 130 mm/s na 
direção vertical. 
rad/s 2,259
8184,0
55000 
m
k
n 
mm 22,1001,0
255
001,025918,013,0
2
2
0
2
00 

 

  xxvX
d
n

 
rad 606,0
255001,0
001,025918,013,0
tantan 1
0
001 





  
d
n
x
xv

 
 mm 606,0255cos22,1 7,46   tex t 
 
2.82 Um instrumento eletrônico possui massa m = 3,4 kg e está apoiada em quatro coxins de elastômero com rigidez 
k = 5400 N/m cada um. O fator de amortecimento, medido a partir do decremento logarítmico, é  = 0,20. Se o 
instrumento e seus apoios é modelado como um sistema de um grau de liberdade em vibração vertical, 
determinar: 
(a) A freqüência natural. 
(b) Uma ferramenta pesando 0,5 kg cai sobre o instrumento resultando em uma amplitude de vibração de 1,7 
mm. Determinar a velocidade inicial devido ao impacto da ferramenta. 
 
Dados: m = 3,4 kg, k = 5400 N/m cada um dos 4 coxins,  = 0,20, m1 = 0,5 kg e X = 1,7 mm. 
(a) Freqüência natural 
rad/s 7,79
4,3
54004 
m
k
n 
(b) Velocidade inicial devido ao impacto da ferramenta 
X
v x
x
n
n
 





 0 02
2
0
2
1

  
Explicitando para v0 
 0
2
0
2
0 xxXv nd   
Com mm 227,0
54004
81,95,01
0 

k
gm
x e a nova freqüência natural igual a 
rad/s 4,74
5,04,3
54004 
n e 
rad/s 9,724,742,01 2 d 
a velocidade inicial resulta     mm/s 126000227,04,742,0000227,00017,09,72 220 v 
 
2.83 Um voltímetro mostrado na Fig. 2.40 possui um ponteiro de alumínio ( = 2700 kg/m3) de comprimento l = 50 
mm, largura 3 mm, e espessura 1 mm. A mola restauradora tem uma constante de mola rotacional k = 100 
N.mm/rad. Um amortecedor para amortecimento crítico é posicionado a um raio r = 8 mm. Durante uma 
medida o instrumento mostra 80 volts. Quando a voltagem é desligada, determinar o tempo requerido para o 
ponteiro retornar à indicação de 1 volt. 
 
Figura 2.40 
 
Dados:  = 2700 kg/m3, l = 50 mm, b = 3 mm, t = 1 mm, k = 100 N.mm/rad, r = 8 mm, X1 = 80 volts e X2 = 1 
volt. 
Massa 
kg 10405,005,0001,0003,02700 3 btLm  
Equação do movimento 
0
33
0
3
22
2
2
2






mL
k
Lm
rc
kcr
mL
Jrcrk
t
t
t



 
Freqüência natural 
rad/s 3,544
05,01005,4
1,033
242

 mL
kt
n 
Equação do movimento com amortecimento crítico      tn nett   000  
Com rad 800 K e 00      tn netKt   180 
Para   rad 11 Kt      111 1801 tn netKKt   
De onde 
s 01172,01 t 
 
2.84 Um medidor de nível de água mostrado na Fig. 2.41 possui uma bóia cilíndrica de 100 mm de diâmetro (massa 
desprezível), uma barra com massa 0,5 kg, l = 70 mm e L = 420 mm. Determinar a constante de amortecimento 
requerida para produzir amortecimento crítico. 
 
 
Figura 2.41 
 
Dados: d = 100 mm, m = 0,5 kg, l = 70 mm e L = 420 mm. 
Equação do movimento 
 
0
4
33
34
2
2
2
22




m
dg
Lm
lc
Lm
Lg
d
Lllc


 
Freqüência natural 
rad/s 5,21
5,04
1,081,910003
4
3 22 
 
m
dg
n 
Amortecimento crítico 
2
2
2
2
3
2
2
3
l
Lm
c
Lm
lc n
cn
  
N.s/m 258
07,03
5,2142,05,02
2
2 
cc 
 
2.85 Uma massa de 10 kg oscila deslizando em uma superfície seca sob a ação de uma mola de rigidez 10 N/mm. 
Após quatro ciclos completos a amplitude é 100 mm. Qual é o coeficiente de atrito médio entre as duas 
superfícies se a amplitude original era 150 mm? Em quanto tempo a massa executou os quatro ciclos? 
 
Dados: m = 10 kg, k = 10 N/mm, 4 ciclos completos, X4 = 100 mm, X0 = 150 mm. 
Queda de amplitude: 
k
N2
 a cada meio ciclo 
4 ciclos      kN22410100150 3 
Como kg 1,9881,910  mgN 
Então 0,319
98,116
100001050 3 
  
O movimento cessará após r meio ciclos 
ciclos meio 24 5,23
10000
1,983186,02
10000
1,983186,0
15,0
2
0 

















 
k
N
k
N
x
r 

 
O tempo para que se execute 4 ciclos é 
s 795,0
10000
10
2424
2
44 




 

k
m
t
n
ciclos 
Tempo de parada 
s 38,2
2
199,0
24
2




 Trt f 
 
2.86 Uma massa de 20 kg está suspensa por uma mola de rigidez 10000 N/m. O movimento vertical da massa está 
sujeito a uma força de atrito de Coulomb de magnitude 50 N. Se a mola é inicialmente deslocada de 5,5 cm 
para baixo de sua posição de equilíbrio estático determinar: 
(a) o número de meio ciclos transcorridos até que atinja o repouso; 
(b) o tempo transcorrido antes da massa atingir o repouso e 
(c) o alongamento final da mola. 
 
Dados: m = 20 kg, k = 10000 N/m, Fa = 50 N e x0 = 5 cm. 
(a) Número de meio-ciclos até o repouso 
ciclos meio 5
10000
502
10000
50
055,0
2
0 

















 
k
N
k
N
x
r 

 
(b) Tempo transcorrido até atingir o repouso 
s 281,0
10000
20
22
2  

k
m
T
n
 
s 702,0
2
281,0
5
2




 Trt f 
(c) Posição em que ocorrerá a parada 
  m 005,0
10000
502
5055,0
2
0 

 


k
N
rxtx f

 
 
2.87 A massa m = 2 kg de um oscilador harmônico linear com k = 500 N/m desliza em uma superfície horizontal 
com coeficiente de atrito estático s = 0,2 e cinético  = 0,08. 
(a) Determinar o máximo valor do deslocamento inicial que não resultará em qualquer movimento devido à 
força de atrito. 
(b) Determinar o número de ciclos para a vibração iniciada por um deslocamento inicial de 25 mm até parar 
completamente. 
 
Dados: m = 2 kg, k = 500 N/m, s = 0,2 e c = 0,08. 
(a) Deslocamento inicial máximo 
  mm 85,7
500
81,922,0
max0

k
N
x s

 
(b) Número de ciclos até a parada 
ciclos 2 ciclos meio 448,3
50081,9208,02
500
81,9208,0
025,0
2
0 

















 
k
N
k
N
x
r 

 
 
2.88 Um painel construído por uma fibra composta especial reforçada se comporta como um sistema de um grau de 
liberdade com massa de 1 kg e rigidez de 2 N/m. A relação entre amplitudes sucessivas é 1,1. Determinar o 
valor da constante de amortecimento histerético , da constante de amortecimento viscoso equivalente ceq e a 
energia perdida por ciclo para uma amplitude de 10 mm. 
 
Dados: m = 1 kg, k = 2 N/m, relação entre amplitudes sucessivas = 1,1 e X = 10 mm. 
Decremento logarítmico   0953,01,1ln  
Fator de amortecimento viscoso equivalente 
    0152,00953,02
0953,0
2 2222
 
 
Freqüência natural 
rad/s 41,1
1
2 
m
k
n 
Freqüência do movimento amortecido 
rad/s 41,141,10152,011 22  nd  
Constante de amortecimento viscoso equivalente 
s/mN 0429,041,110152,022  neq mc  
Coeficiente de amortecimento histerético 
03033,0
2
414,104290,0 
k
c deq 
Energia dissipada por ciclo   )(N.m J 101,1901,041,10429,0 622   XcW deq 
 
2.89 Uma viga engastada com rigidez à flexão de 200 N/m suporta uma massa de 2 kg na sua extremidade livre. A 
massa é deslocada inicialmente de 30 mm e abandonada a mover-se livremente. Se a amplitude após 100 ciclos 
do movimento é 20 mm estimar a constante de amortecimento histerético  da viga. 
 
Dados: k = 200 N/m, m = 2 kg, x0 = 30 mm e x100 = 20 mm. 
Decremento logarítmico 
00405,0
02,0
03,0
ln
100
1
ln
1
1
1 




mx
x
m
 
Fator de amortecimento viscoso equivalente 
    000645,000405,02 00405,02 2222   
Freqüência natural 
rad/s 0,10
2
200 
m
k
n 
Freqüência do movimento amortecido   rad/s 0,1010000645,011 22  nd  
Constante de amortecimento viscoso equivalente 
s/mN 0258,0102000645,022  neq mc  
Coeficiente de amortecimento histerético 
00129,0
200
100258,0 
k
c deq 
 
2.90 Um oscilador harmônico torsional possui momento de inércia de massa em relação ao seu centro de rotação 
J = 1,2 kg.m2 e rigidez torsional kt = 8500 N.m/rad. Determinar a freqüência natural torsional em rad/seg, Hz, e 
CPM (ciclos por minuto). 
 
Dados: J = 1,2 kg.m2 e kt = 8500 N.m/rad. 
rad/s 2,84
2,1
8500 
J
kt
n 
cpm 804Hz 4,13
2
2,84
2
 
n
nf 
 
2.91 Um oscilador harmônico torsional possui momento de inércia de massa em relação ao seu centro de rotação J 
= 10 kg.m2 e seu período natural de vibração foi medido em um osciloscópio, sendo igual a 35 ms. Determinar 
a sua rigidez torsional. 
 
Dados: J = 10 kg.m2 e Tn = 35 ms. 
rad/s 180
035,0
22  
n
n T
 
kN/m 32218010 22  nt Jk  
 
2.92 Um oscilador harmônico torsional com momento de inércia de massa em relação ao seu centro de rotação J 
= 1 kg.m2 e rigidez torsional kt = 40000 N.m/rad possui uma freqüência natural muito próxima à freqüência 
excitadora. Decidiu-se que o momento de inércia ou a rigidez deveriam mudar para diminuir a freqüência 
natural em 30%. Determinar a mudança requerida em cada opção. 
 
Dados: J = 1 kg.m2, kt = 40000 N.m/rad. 
Freqüência natural 
rad/s 200
0,1
40000
J
kt
n 
Redução de 30% 
rad/s 1401 n 
Alteração no momento de inércia 
2
2
1
1 kg.m 04,2
n
tkJ  
Alteração na rigidez 
rad
mN
 19600211
 nt Jk  
 
2.93 O rotor P de uma bomba centrífuga (Fig. 2.42) está conectada a um motor que gira com velocidade angular 
constante , através de um acoplamento flexível com constante de rigidez torsional KT e um par de 
engrenagens com raios r1 e r2 e momentos de inércia de massa polares J1 e J2, respectivamente. O rotor da 
bomba possui momento de inércia de massa polar JP. Determinar a freqüência natural da oscilação torsional, 
assumindo que os eixos de conexão são rígidos. 
 
Figura 2.42 
 
Energia cinética 
2
2
2
22
2
11 2
1
2
1
2
1  PJJJT  
Relação de transmissão 
1
2
1
22211  r
r
rr  
Resultando em uma energia cinética 
  2122
2
2
1
12
1 

  PJJr
r
JT 
Momento de inércia equivalente  
2
2
2
12
2
21
r
rJJrJ
J Peq
 
Freqüência natural 
  212221
2
2
rJJrJ
rk
J
k
P
T
eq
T
n  
 
2.94 Determinar a freqüência natural de oscilação do pêndulo duplo composto mostrado na Fig. 2.43 para pequenas 
oscilações em torno da posição de equilíbrio. 
 
 
Figura 2.43 
Equações do movimento    222222222 11
2
111111
sin
sin




JLmFrgLm
JLmFrgLm


 
Relação de transmissão 
221122112211   rrrrrr  
Da segunda das equações do movimento, linearizando  
2
2222
2
222
r
gLmLmJ
F
   
Substituindo F e as relações da transmissão na primeira das equações do movimento chega-se a 
    01222
2
1
111
2
222
2
2
12
111 








 

  gLm
r
r
gLmLmJ
r
r
LmJ  
Cuja freqüência natural é 
 22222
2
12
111
22
2
2
1
11
LmJ
r
r
LmJ
gLm
r
r
gLm
n






 
 
2.95 Um oscilador harmônico torsional com momento de inércia de massa em relação ao seu centro de rotação 
J = 1 kg.m2 e rigidez torsional kt = 10000 N.m/rad possui uma freqüência de oscilação torsional igual a 96 
rad/seg, ao invés dos 100 rad/seg esperados. Suspeitou-se que alguma forma de amortecimento foi introduzida 
no sistema diminuindo a freqüência de oscilação. Determinar o fator de amortecimento. 
 
Dados: J = 1 kg.m2, kt = 10000 N.m/rad, n = 100 rad/s, d = 96 rad/s, 
Freqüências natural e do movimento amortecido 
n
21  d 
De onde o fator de amortecimento pode ser obtido 
280,0
100
96
11
22





n
d
 
 
2.96 O rotor de um indicador de sintonia de radio (dial) está conectado a uma mola e a um amortecedor torcionais 
formando um sistema de um grau de liberdade. A escala é graduada em divisões iguais e a posição de equilíbrio 
do rotor corresponde ao zero da escala. Quando um torque de 2x10-3 N.m é aplicado estaticamente, o 
deslocamento angular do rotor é 50o com o ponteiro mostrando 80 divisões da escala. Quando o rotor é liberado 
de sua posição, o ponteiro balança primeiro para -20 divisões em um segundo e depois para 5 divisões no outro 
segundo. Achar: 
(a) A constante de mola torsional; 
(b) O período natural não amortecido do rotor; 
(c) O momento de inércia de massa do rotor, 
(d) A constante de amortecimento torsional. 
 
Dados: Mt = 2×10
-3 N.m, 0 = 50o  80 divisões da escala, 0,5  -20 divisões e 1  5 divisões 
(a) Constante de mola torsional 
m/radN 1029,2
180
50
102 3
3 

  tt
M
k 
(b) Período natural não amortecido 
O período amortecido é 2 s. Para determinar o período não amortecido é necessário calcular o fator de 
amortecimento, que exige o conhecimento do decremento logarítmico. 
77,2
5
80
lnln
1
0 




K
K

 
O fator de amortecimento é 
  404,02 22  
 
A relação entre os períodos é   s 83,12404,011 22  dn TT  
(c) Momento de inércia do rotor 
É necessário conhecer a freqüência natural que é 
rad/s 43,3
83,1
22  
n
n T
 
De forma que o momento de inércia é 
26
2
mkg 10194  
n
t
O
k
J  
(d) Constante de amortecimento torsional 
s/radmN 105392 6  nOt Jc  
 
2.97 Um pêndulo torsional tem uma freqüência natural de 200 cpm quando vibrando no vácuo. O momento de 
inércia de massa do disco é 0,2 kg.m2. Quando está imerso em óleo sua freqüência natural é 180 cpm. 
Determinar a constante de amortecimento. Se o disco, quando imerso no óleo, sofre um deslocamento inicial de 
2o, achar seu deslocamento no final do primeiro ciclo. 
 
Dados: fn = 200 com, J = 0,2 kg.m
2, fd = 180 com e 0 = 2o. 
Fator de amortecimento 
436,0
200
180
11
22





n
d
f
f 
Constante de amortecimento torsional 
s/radmN 3,65
60
2
2002,0436,022   nOt JcAmplitude angular 
rad 0388,0
180
2
60
2
180
180
2
60
2
200436,00 2
2
2
0
2
00 

 












 


 

 


  



d
n

 
Ângulo de fase 
rad 451,0
180
200436,0
tan
60
2
180
180
2
180
2
60
2
200436,00
tantan
1
1
0
001


 












 

 


 

 


 







d
n

 
Período da oscilação amortecida 
s 333,0
60
2
180
22 


 
 



d
dT 
Posição angular após o primeiro ciclo (transcorrido um período de oscilação)     rad 1066,1cos 3    ddTd TeT dn