Expansão térmica

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Expansão térmica
APRESENTAÇÃO
Nesta Unidade de Aprendizagem, você vai estudar a expansão térmica, suas características e 
propriedades, bem como as leis físicas e funções que descrevem tal fenômeno. 
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Identificar as expansões linear, superficial, volumétrica.•
Relacionar expansão térmica com a temperatura.•
Resolver problemas práticos envolvendo dilatação de diferentes materiais.•
DESAFIO
Você é encarregado de projetar uma ponte que deverá ocupar um comprimento total Lp = 50 
km. A ponte será composta predominantemente de concreto (material com coeficiente de 
expansão linear α = 15 × 10-6 oC -1) que poderá atingir uma temperatura mínima de -40oC no 
inverno e máxima de 40oC no verão. Para não haver problemas com a dilatação, a ponte deverá 
ser dividida em vários segmentos conectados por juntas que permitam uma separação de até d = 
1, 7 m entre cada par de segmentos. 
Em quantos segmentos a ponte deverá ser dividida?
INFOGRÁFICO
A equação empregada em cada problema de expansão térmica depende das dimensões do 
sistema analisado e de sua geometria, de acordo com as seguintes possibilidades:
CONTEÚDO DO LIVRO
A expansão térmica é um dos fenômenos de observação mais imediata quando um sistema altera 
sua temperatura. Ela deve ser levada em conta na projeção de qualquer sistema que possa estar 
exposto a grandes variações de temperaturas. Acompanhe um trecho do livro Física para 
universitários: relatividade, oscilações, ondas e calor, que serve como base para esta Unidade de 
Aprendizagem. Inicie a leitura a partir da seção 5.4.
Wolfgang Bauer
Gary D. Westfall
Helio Dias
Wolfgang Bauer
Gary D. Westfall
Helio Dias
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ondas e calor
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Física
para Universitários
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Área do Professor: No site do Grupo A (www.grupoa.com.br), estão 
disponíveis materiais exclusivos para professores: manual de soluções 
(em inglês) e apresentações em PowerPoint® (em português). 
Física para Universitários utiliza discussões de pesquisas contemporâneas 
e de vários tópicos de energia para apresentar a física como uma ciência 
dinâmica e instigante, com um enorme impacto em todas as outras áreas 
da ciência. Além de mostrar o empolgante mundo da física, Bauer, Westfall 
& Dias utilizam um método inédito de resolução de problemas com sete 
passos para propiciar aos estudantes uma das grandes habilidades que 
eles devem desenvolver em um curso de física: a capacidade de resolver 
problemas e pensar logicamente sobre uma situação.
O terceiro livro de Bauer, Westfall & Dias descreve e explica cuidadosamente inúmeros tópicos, 
entre eles: uma visão geral das características físicas de sólidos, líquidos e gases, a natureza do 
movimento oscilatório, propriedades e o comportamento de ondas, ondas sonoras, conceitos 
de temperatura, calor e entropia. Discute-se também a natureza do calor e os mecanismos de 
transferência de energia térmica, a física dos gases, máquinas térmicas e a teoria de relatividade 
especial. Os autores apresentam o conteúdo conectando-o intimamente com os maiores avanços 
da física atual. O texto é acompanhado de inúmeras imagens, exercícios e exemplos que envolvem o 
estudante universitário com as maravilhas da ciência, da tecnologia e da inovação.
A Bookman Editora é parte do Grupo A, uma empresa 
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FÍSICA 
BAUER, WESTFALL & DIAS
Física para Universitários: Mecânica
Física para Universitários: Relatividade, 
Oscilações, Ondas e Calor
Física para Universitários: Eletricidade 
e Magnetismo
Física para Universitários: Ótica e 
Física Moderna
 
COMINS & KAUFMANN III
Descobrindo o Universo, 8.ed.
 
FEYNMAN, LEIGHTON & SANDS
Lições de Física de Feynman: A Edição 
definitiva
 
HEWITT, P.G.
Física Conceitual, 11.ed.
HEWITT, P.G.
Fundamentos de Física Conceitual
 
KNIGHT, R.D.
Física: Uma Abordagem Estratégica, 
2.ed.
Vol. 1 – Mecânica Newtoniana, 
Gravitação, Oscilações e Ondas
Vol. 2 – Termodinâmica e Óptica
Vol. 3 – Eletricidade e Magnetismo
Vol. 4 – Relatividade e Física Quântica
 
PRESS, TEUKOLSKY & COLS.
Métodos Numéricos Aplicados: 
Rotinas em C++, 3.ed.
 
*SAKURAI & NAPOLITANO
Mecânica Quântica Moderna
 *Livros em produção no momento de impressão desta obra, mas que muito em breve estarão à disposição dos leitores em língua portuguesa.
RELATIVIDADE,
OSCILAÇÕES, 
ONDAS 
E CALOR
FÍSICA
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38964_Fisica_Universitarios_Relatividade.indd 1 09/08/12 11:39
B344f Bauer, Wolfgang
 Física para universitários [recurso eletrônico] :
 relatividade, oscilações, ondas e calor / Wolfgang Bauer,
 Gary D. Westfall, Helio Dias ; tradução: Manuel Almeida
 Andrade Neto, Trieste dos Santos Freire Ricci, Iuri Duquia
 Abreu ; revisão técnica: Helio Dias. – Dados eletrônicos. –
 Porto Alegre : AMGH, 2013.
 Editado também como livro impresso em 2013.
 ISBN 978-85-8055-160-0
 1. Física. 2. Princípios da física. 3. Relatividade. 4. Oscila-
 ções. 5. Ondas. 6. Calor. I. Westfall, Gary D. II. Dias, Helio.
 III. Título. 
CDU 530.1
Catalogação na publicação: Ana Paula M. Magnus – CRB 10/2052
Capítulo 5 Temperatura 153
me força gravitacional comprime e aquece os núcleos de hidrogênio para produzir 
fusão. No ITER, o confinamento magnético será usado para armazenar hidrogênio 
ionizado na forma de um plasma. Plasma é um estado da matéria em que os elé-
trons e núcleos se movem separadamente. Um plasma não pode ser contido em 
um recipiente físico, porque ele é tão quente que qualquer contato vaporizaria o 
recipiente. No reator de fusão, o plasma é aquecido ao passar uma corrente por ele. 
Além disso, o plasma é comprimido e aquecido ainda mais pelo campo magnético 
aplicado. Em altas temperaturas, de até 9,9 ⋅ 107 K, o ITER produzirá energia utili-
zável a partir da fusão do hidrogênio em hélio.
É possível atingir temperaturas ainda mais altas em aceleradores de partículas. 
A maior temperatura foi obtida pela colisão de núcleos de ouro acelerados pelo 
Colisor Relativístico de Íons Pesados no Laboratório Nacional de Brookhaven e 
pelo Grande Colisor de Hádrons (Large Hadron Collider – LHC) no Laboratório 
Europeu de Física de Partículas (CERN). Quando dois núcleos de ouro colidem, um 
sistema muito quente com temperatura de 2 ⋅ 1012 K é criado; esse sistema também 
é muito pequeno (~ 10-14 m) e existe por períodos curtíssimos de tempo (~ 10–22 s).
5.3 Medida da temperatura
Como as temperaturas são medidas? Um dispositivo que mede a temperatura é chamado de 
termômetro. Qualquer termômetro que possa ser calibrado diretamente usando uma proprie-
dade física é chamado de termômetro primário. Um termômetro primário não precisa de ca-
libração para temperaturas externas padrão. Um exemplo de termômetro primário é aquele 
baseado na velocidade do som em um gás. Um termômetro secundário é aquele que exige cali-
bração externa para referências de temperaturas padrão. Muitas vezes, os termômetros secun-
dários são mais sensíveis do que os termômetros primários.
Um termômetro comum é o termômetro de expansão de mercúrio, que é um termômetro 
secundário. Esse tipo de termômetro se aproveita da expansão térmica do mercúrio (discutida 
na Seção 5.4). Outros tipos de termômetros incluem termômetros bimetálico,termopar, qui-
mioluminescência e termístor. Também é possível medir a temperatura de um sistema estu-
dando a distribuição das velocidades das moléculas dentro do material constituinte.
Para medir a temperatura de um objeto ou de um sistema usando um termômetro, este 
deve ser posicionado em contato térmico com o objeto ou sistema. (Contato térmico é o contato 
físico que permite transferência relativamente rápida de calor.) O calor, então, será transferido 
para ou do objeto ou sistema para ou do termômetro, até que tenham a mesma temperatura. 
Um bom termômetro deve exigir o mínimo de transferência de energia térmica possível para 
atingir o equilíbrio térmico, de forma que a medição de temperatura não altere significativa-
mente a temperatura do objeto. O termômetro também deve ser facilmente calibrado para que 
qualquer um que faça a mesma medição obtenha a mesma temperatura.
A calibração de um termômetro demanda condições reproduzíveis. É difícil reproduzir 
exatamente o ponto de congelamento da água, por isso os cientistas usam uma condição cha-
mada de ponto triplo da água. O gelo sólido, a água líquida e o vapor d’água gasoso podem 
coexistir em apenas uma temperatura e pressão. Por um acordo internacional, a temperatura 
do ponto triplo da água foi definida em 273,16 K (e uma pressão de 611,73 Pa) para a calibração 
dos termômetros.
5.4 Expansão térmica
A maioria de nós está, de alguma forma, familiarizada com a expansão térmica. Talvez você 
saiba que pode afrouxar uma tampa de metal em um pote de vidro aquecendo a tampa. Você 
já deve ter visto que as pontes contêm vãos na estrada para permitir a expansão das seções da 
ponte quando está calor. Ou pode ter observado que as linhas de transmissão de força cedem 
no clima quente.
A expansão térmica de líquidos e sólidos pode ser colocada em prática. Lâminas bime-
tálicas, que geralmente são usadas em termostatos de ambiente, termômetros para carnes 
e aparelhos de proteção térmica em equipamentos elétricos, tiram vantagem da expansão 
térmica linear. (Uma lâmina bimetálica consiste em duas lâminas longas e finas de diferentes 
Figura 5.9 Desenho em corte do núcleo central do 
ITER, o reator de fusão de plasma que será cons-
truído na França até 2016. Para comparação de ta-
manho, uma pessoa é mostrada na parte inferior.
Você tem um termômetro não 
calibrado, que deve ser usado 
para medir as temperaturas at-
mosféricas. Como você calibraria 
esse termômetro?
5.2 Pausa para teste
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154 Física para Universitários – Relatividade, Oscilações, Ondas e Calor
metais que são soldadas juntas.) Um termômetro de mercúrio usa a expansão de volume 
para fornecer medições precisas de temperatura. A expansão térmica pode ocorrer como 
expansão linear, expansão de área ou expansão de volume; as três classificações descrevem os 
mesmos fenômenos.
Expansão linear
Vamos considerar um bastão de metal de comprimento L (Figura 5.10). Se aumentarmos a 
temperatura do bastão em �T = Tfinal – Tinicial, o comprimento do bastão aumenta pela quantida-
de �L = Lfinal – Linicial, determinada por
 �L = �L�T, (5.5)
onde � é o coeficiente de expansão linear do metal do qual o bastão é construído, e a diferença 
de temperatura é expressa em graus Celsius ou kelvins. O coeficiente de expansão linear é uma 
constante para determinado material dentro de variações normais de temperatura. Alguns co-
eficientes de expansão linear comuns estão listados na Tabela 5.2.
Coeficientes 
de expansão 
linear de alguns 
materiais 
comuns
Tabela 5.2
Material �(10–6 °C–1)
Alumínio 22
Latão 19
Concreto 15
Cobre 17
Diamante 1
Ouro 14
Chumbo 29
Vidro laminado 9
Borracha 77
Aço 13
Tungstênio 4,5
Lfinal � Linicial � �L � L � �L 
L � Linicial
Figura 5.10 Expansão térmica de um bastão com comprimento inicial L. (O bastão expandido termica-
mente na parte de baixo foi deslocado para que as extremidades esquerdas coincidam.)
EXEMPLO 5.2 Expansão térmica da ponte de Mackinac
O principal vão da ponte de Mackinac (Figura 5.11) tem comprimento de 1.158 m. A ponte é feita 
de aço. Suponha que a menor temperatura possível na ponte seja de –50 °C e que a maior tempe-
ratura possível seja de 50 °C.
PROBLEMA
Quanto espaço deve estar disponível para expansão térmica no vão central da ponte de Mackinac?
SOLUÇÃO
O coeficiente de expansão linear do aço é � = 13 ⋅ 10–6 °C–1. Logo, a expansão linear total do vão 
central da ponte que deve estar disponível é determinada por
DISCUSSÃO
Uma alteração no comprimento de 1,5 m é relativa-
mente grande. Como essa mudança de comprimento 
é resolvida na prática? (Obviamente, não podemos ter 
aberturas na superfície da estrada.) A resposta está nas 
juntas de expansão, que são conectores de metal entre 
segmentos da ponte cujas partes podem se mover en-
tre si. Um tipo popular de junta de expansão é a junta 
digital (veja a Figura 5.12). A ponte de Mackinac tem 
duas grandes juntas digitais nas torres para acomodar 
a expansão das partes suspensas da estrada, 11 juntas 
digitais menores e cinco juntas deslizantes ao longo do 
vão principal da ponte.
Figura 5.11 A ponte de Mackinac 
sobre os estreitos de Mackinac em Mi-
chigan é a terceira ponte mais longa 
suspensa dos Estados Unidos.
(a) (b)
Figura 5.12 Juntas digitais entre segmentos de estrada: (a) abertas e (b) fe-
chadas.
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Capítulo 5 Temperatura 155
Na Tabela 5.2, pode-se ver que vários materiais, como latão e aço, têm diferentes coeficien-
tes de expansão linear. Isso os torna úteis em lâminas bimetálicas. O problema resolvido abaixo 
considera o resultado do aquecimento de uma lâmina bimetálica.
Uma seção de concreto de uma 
ponte tem comprimento de 10,0 
m a 10,0 °C. Em quanto o com-
primento da seção de concreto 
aumenta se sua temperatura 
aumentar em 40,0 °C?
a) 0,025 cm d) 0,022 cm
b) 0,051 cm e) 0,45 cm
c) 0,075 cm
5.3 Exercícios
de sala de aula
PROBLEMA RESOLVIDO 5.1 Lâmina bimetálica
Uma lâmina bimetálica reta consiste em uma lâmina de aço e outra de latão, cada uma com 1,25 
cm de largura e 30,5 cm de comprimento, soldadas juntas (veja a Figura 5.13a). Cada lâmina tem 
t = 0,500 mm de espessura. A lâmina bimetálica é aquecida uniformemente sobre seu compri-
mento, conforme mostrado na Figura 5.13c. (Não importa que a chama esteja à direita; o aque-
cimento é uniforme por toda a lâmina. Se a chama estivesse à esquerda, a lâmina se dobraria na 
mesma direção!) A lâmina curva-se de tal forma que o raio da curvatura é R = 36,9 cm.
(a) (b) (c)
PROBLEMA
Qual é a temperatura da lâmina bimetálica depois de ser aquecida?
SOLUÇÃO
P E N S E
A lâmina bimetálica é construída a partir de dois materiais, aço e latão, que têm diferentes coefi-
cientes de expansão linear, listados na Tabela 5.2. À medida que a temperatura da lâmina bime-
tálica aumenta, o latão se expande mais do que o aço, então a lâmina se curva em direção ao lado 
do aço. Quando a lâmina bimetálica é aquecida uniformemente, tanto as lâminas de aço quanto 
de latão permanecem sobre o arco de um círculo, com a lâmina de latão na parte externa e a lâ-
mina de aço na parte interna. As extremidades da lâmina bimetálica subtendem o mesmo ângulo, 
medido a partir do centro do círculo. A seguir, o comprimento do arco de cada lâmina metálica é 
igual ao comprimento da lâmina bimetálica à temperatura ambiente, mais o comprimento devido 
à expansão térmica linear. Equacionar o ângulo subtendido pela lâmina de aço ao ângulo subten-
dido pela lâmina de latão permite que a temperatura seja calculada.
D E S E N H E
A Figura 5.14 mostra a lâmina bimetálica depois de ser aquecida. O ângulo subtendido pelas 
duas extremidades da lâmina é �, e o raio da lâmina interior é r1. Parte de um círculo com raio 
r1 = 36,9 cm é sobreposta à lâmina curvada.
P E S Q U I S E
O comprimento do arco, s1, da lâmina de aço aquecida é s1 = r1�, onde r1 é o raio docírculo ao 
longo do qual se encontra a lâmina de aço, e � é o ângulo subtendido pela lâmina de aço. Além 
disso, o comprimento do arco, s2, da lâmina de latão aquecida é s2 = r2�, onde r2 é o raio do círculo 
Figura 5.13 Uma lâmina bimetálica. 
(a) A lâmina bimetálica à temperatura 
ambiente. (b) A lâmina bimetálica en-
quanto começa a ser aquecida por um 
maçarico a gás (na extremidade direita 
da imagem). (c) A lâmina bimetálica 
aquecida a uma temperatura uniforme 
sobre todo seu comprimento.
r1
�
Figura 5.14 A lâmina bimetálica 
após ser aquecida, mostrando o ân-
gulo subtendido pelas duas extremi-
dades da lâmina.
Continua →
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156 Física para Universitários – Relatividade, Oscilações, Ondas e Calor
ao longo do qual se encontra a lâmina de latão, e � é o mesmo ângulo subtendido pela lâmina de 
aço. Os dois raios diferem pela espessura, t, da lâmina de aço:
 r2 = r1 + t ⇔ t = r2 – r1. (i)
Podemos equacionar as expressões que são iguais ao ângulo subtendido pelas duas lâminas:
 
(ii)
O comprimento do arco, s1, da lâmina de aço depois de ser aquecida é determinado por
s1 = s + �s1 = s1 + �1s�T = s(1 + �1�T),
onde s é o comprimento original da lâmina bimetálica. O fator �1 é o coeficiente de expansão 
linear do aço, segundo a Tabela 5.2, e �T é a diferença de temperatura entre a temperatura am-
biente e a temperatura final da lâmina bimetálica. Analogamente, o comprimento do arco, s2, da 
lâmina de latão depois de ser aquecida é determinado por
s2 = s + �s2 = s + �2s�T = s(1 + �2�T),
onde �2 é o coeficiente de expansão linear do latão, fornecido na Tabela 5.2.
S I M P L I F I Q U E
Podemos substituir as expressões para os comprimentos de arco das duas lâminas após o aqueci-
mento, s1 e s2, na equação (ii) para obter
Dividindo os dois lados dessa equação pelo fator comum s e multiplicando por r1r2, resulta em
r2 + r2�1�T = r1 + r1�2�T.
Podemos reordenar essa equação e agrupar os termos comuns para obter
r2 – r1 = r1�2�T – r2�1�T.
Solucionando essa equação para a diferença de temperatura, temos
Usar a relação entre os dois raios da equação (i) nos leva a
 
(iii)
C A L C U L E
Usando a Tabela 5.2, vemos que o coeficiente de expansão linear para o aço é �1 = 13 ⋅ 10
–6 °C–1, e 
o coeficiente de expansão linear para o latão é �2 = 19 ⋅ 10
–6 °C–1. Inserindo os valores numéricos 
nos dá
A R R E D O N D E
Assumindo que a temperatura ambiente seja de 20 °C e apresentando nosso resultado com dois 
dígitos significativos, temos a temperatura da lâmina bimetálica após o aquecimento:
T = 20 °C + �T = 250 °C.
S O L U Ç ÃO A LT E R N AT I VA
Primeiro, verificamos que a magnitude da temperatura calculada é razoável. Nossa resposta de 
250 °C está bem abaixo dos pontos de fusão do latão (900 °C) e do aço (1.450 °C), o que é impor-
tante, porque a Figura 5.13c mostra que a lâmina não derrete. A resposta também está significati-
vamente acima da temperatura ambiente, o que é importante, porque a Figura 5.13a mostra que a 
lâmina bimetálica está exatamente à temperatura ambiente.
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Capítulo 5 Temperatura 157
Expansão de área
O efeito de uma mudança de temperatura sobre a área de um objeto é análogo a usar uma 
fotocopiadora para ampliar ou reduzir uma foto. Cada dimensão do objeto será linearmente 
alterada conforme a mudança de temperatura. Quantitativamente, para um objeto quadrado 
com lado L (Figura 5.15), a área é dada por A = L2. Tirando o diferencial dos dois lados desta 
equação, obtemos dA = 2LdL. Se fizermos as aproximações de que �A = dA e �L = dL, pode-
mos escrever �A = 2L�L. Usando a equação 5.5, obtemos
 �A = 2L(�L�T) = 2�A�T. (5.6)
Embora um quadrado tenha sido usado para derivar a equação 5.6, ela é válida para uma alte-
ração de área de qualquer forma.
Podemos, ainda, verificar que as lâminas de aço e latão subtendem, de fato, o mesmo ângulo. 
O ângulo subtendido pela lâmina de aço é
O ângulo subtendido pela lâmina de latão é
Observe que, como a espessura das lâminas é pequena em comparação com o raio do círculo, 
podemos reescrever a equação (iii) como
o que está dentro do erro de arredondamento de nosso resultado calculado. Logo, nossa resposta 
parece razoável.
Lfinal = Linicial + �L = L + �L 
L f
in
al
 =
 L
in
ic
ia
l +
 �
L 
= 
L 
+ 
�
L 
L = Linicial
L 
= 
L i
ni
ci
al
A A + �A
Figura 5.15 Expansão térmica de uma placa quadrada com lado L.
Suponha que a lâmina bimetá-
lica da Figura 5.13 seja feita de 
alumínio no lado direito e cobre 
no lado esquerdo. Para que 
lado a lâmina dobraria se fosse 
aquecida conforme mostrado na 
figura? (Consulte a Tabela 5.2 
para os coeficientes de expan-
são linear dos dois metais.)
a) Dobraria para a direita.
b) Permaneceria reta.
c) Dobraria para a esquerda.
5.4 Exercícios
de sala de aula
PROBLEMA RESOLVIDO 5.2 Expansão de uma placa com um orifício
Uma placa de latão tem um orifício (Figura 5.16a) com diâmetro d = 2,54 cm. O orifício é peque-
no demais para que uma esfera de latão passe por ele (Figura 5.6b). No entanto, quando a placa é 
aquecida de 20,0 °C para 220,0 °C, a esfera de latão passa pelo orifício da placa.
Continua →
_Livro_Bauer_Vol_2.indb 157_Livro_Bauer_Vol_2.indb 157 09/08/12 14:5209/08/12 14:52
158 Física para Universitários – Relatividade, Oscilações, Ondas e Calor
(a) (b) (c) (d)
PROBLEMA
Em quanto aumenta a área do orifício na placa de latão como resultado do aquecimento?
SOLUÇÃO
P E N S E
A área da placa de latão aumenta proporcionalmente à temperatura da placa. Paralelamente, a 
área do orifício da placa também aumenta. Podemos calcular o aumento na área do orifício usan-
do a equação 5.6.
D E S E N H E
A Figura 5.17a mostra a placa de latão antes de ser aquecida, e a Figura 5.17b mostra a placa após 
o aquecimento.
A
R
A � �A
R � �R
(a) (b)
Figura 5.17 A expansão térmica de uma placa com um orifício: (a) antes do aquecimento; (b) após o 
aquecimento.
P E S Q U I S E
A área da placa aumenta proporcionalmente à temperatura, conforme dado pela equação 5.6. A 
área do orifício aumentará proporcionalmente. Esse aumento da área do orifício pode parecer 
surpreendente. Porém, é possível se convencer de que a área do orifício aumentará quando a pla-
ca for submetida a expansão térmica analisando a Figura 5.17. A placa com orifício em T = 20 °C 
é mostrada na parte (a). A mesma placa, aumentada proporcionalmente em 5% em todas as 
dimensões, é mostrada na parte (b). O círculo tracejado no orifício da placa em (b) é o mesmo 
tamanho do orifício da placa original. Evidentemente, o orifício em (b) é maior do que aquele em 
(a). A área do orifício em T = 20,0 °C é A = �R2. A equação 5.6 dá a mudança de área do orifício:
�A = 2�A�T,
onde � é o coeficiente de expansão linear do latão, e �T é a mudança de temperatura da placa 
de latão.
Figura 5.16 (a) A placa antes de ser 
aquecida. (b) Uma esfera de latão 
não passará pelo orifício na placa não 
aquecida. (c) A placa é aquecida. (d) A 
mesma esfera de latão passa pelo orifí-
cio na placa de latão aquecida.
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Capítulo 5 Temperatura 159
Expansão de volume
Agora, vamos considerar a mudança de volume de um objeto com uma mudança de tempe-
ratura. Para um cubo com lado L, o volume é dado por V = L3. Tirando o diferencial dos dois 
lados dessa equação, obtemos dV = 3L2dL. Fazendo as aproximações de que �V = dV e �L = 
dL, podemos escrever �V = 3L2�L. A seguir, usando a equação 5.5, obtemos
 �V = 3L2(�L�T) = 3�V�T. (5.7)
Como a mudança de volume com uma mudança de temperatura é geralmente interessante, é 
conveniente definir o coeficiente de expansão de volume:
 � = 3�. (5.8)
Portanto, podemos reescrever a equação 5.7
 �V = �V�T. (5.9)
Embora um cubo tenha sido usado para derivar a equação 5.9, ela normalmente pode ser apli-
cadapara uma mudança de volume de qualquer forma. Alguns coeficientes de expansão de 
volume comuns estão listados na Tabela 5.3.
A equação 5.9 aplica-se à expansão térmica da maioria dos sólidos e líquidos. No entan-
to, ela não descreve a expansão térmica da água. Entre 0 °C e aproximadamente 4 °C, a água 
contrai à medida que a temperatura aumenta (Figura 5.18). A água com temperatura acima de 
S I M P L I F I Q U E
Usando A = �R2 na equação 5.6, obtemos a mudança da área do orifício
�A = 2�(�R2)�T.
C A L C U L E
De acordo com a Tabela 5.2, o coeficiente de expansão linear do latão é � = 19 ⋅ 10–6 °C–1. Portanto, 
a mudança da área do orifício é
A R R E D O N D E
Apresentamos nosso resultado com dois dígitos significativos:
�A = 3,9 ⋅ 10–6 m2.
S O L U Ç ÃO A LT E R N AT I VA
Com base em nossa experiência diária com objetos que são aquecidos e resfriados, sabemos que 
as mudanças relativas de área não são muito grandes. Uma vez que a área original do orifício é A 
= �d2/4 = �(0,0254 m)2/4 = 5,07 ⋅ 10–4 m2, obtemos para a mudança fracionária �A/A = (3,9 ⋅ 10–6 
m2)/ (5,07 ⋅ 10–4 m2) = 7,7 ⋅ 10–3, ou menos de 0,8%. Dessa forma, a magnitude de nossa resposta 
parece estar em conformidade com a intuição física.
A mudança no raio do orifício à medida que a temperatura aumenta é dada por
Para essa mudança no raio, o aumento da área do orifício é
, , ,
o que está dentro do erro de arredondamento de nosso resultado. Logo, nossa resposta parece 
razoável.
Coeficiente de 
expansão de 
volume para 
alguns líquidos 
comuns
Tabela 5.3
Material �(10–6 °C–1)
Mercúrio 181
Gasolina 950
Querosene 990
Álcool etílico 1.120
Água (1 °C) –47,8
Água (4 °C) 0
Água (7 °C) 45,3
Água (10 °C) 87,5
Água (15 °C) 151
Água (20 °C) 207
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160 Física para Universitários – Relatividade, Oscilações, Ondas e Calor
4 °C é mais densa do que a água com temperatura um pouco abaixo de 4 °C. Essa propriedade 
da água tem um enorme efeito na maneira como um lago congela no inverno. Conforme a 
temperatura atmosférica cai das temperaturas quentes do verão para as frias temperaturas do 
inverno, a água de um lago resfria da superfície para baixo. A água mais fria e densa afunda 
para o fundo do lago. Porém, à medida que a temperatura da água na superfície cai para abaixo 
de 4 °C, o movimento descendente cessa, e a água mais fria permanece na superfície do lago, 
com a água mais densa e quente abaixo. A camada superior, por fim, resfria até 0 °C e então 
congela. O gelo é menos denso do que a água, portanto o gelo flutua na água. Essa camada de 
gelo recentemente formada age como isolamento, o que desacelera o congelamento do restante 
da água no lago. Se a água tivesse as mesmas propriedades de expansão térmica de outros ma-
teriais comuns, em vez de congelar de cima para baixo, o lago congelaria de baixo para cima, 
com a água mais quente permanecendo na superfície do lago e a água mais fria afundando. Isso 
significaria que os lagos congelariam com maior frequência, e quaisquer formas de vida neles 
que não pudessem existir no gelo não sobreviveriam ao inverno.
Além disso, é possível ver na Figura 5.18 que o volume de uma determinada quantidade 
de água nunca depende linearmente da temperatura. Contudo, a dependência linear do volu-
me de água sobre a temperatura pode ser aproximada considerando um pequeno intervalo de 
temperatura. A inclinação da curva de volume/temperatura é �V/�T, então podemos extrair 
um coeficiente de expansão de volume eficiente para pequenas mudanças de temperatura. Por 
exemplo, o coeficiente de expansão de volume para a água em seis temperaturas diferentes é 
dado na Tabela 5.3; observe que, em 1 °C, � = –47,8 ⋅ 10–6 °C–1, o que significa que o volume de 
água diminuirá proporcionalmente ao aumento da temperatura.
�V
�T
1.003
1.002
1.001
1.000
0 5 10 15 20 25
V(
cm
3 )
T (ºC)
Vmin em T = 3,98 ºC
V diminui conforme T aumenta
Figura 5.18 Dependência do volume de 1 kg de água sobre a temperatura.
Você tem um cubo de metal, 
que é aquecido. Após o aque-
cimento, a área de uma das 
superfícies do cubo aumentou 
em 0,02%. Que afirmativa sobre 
o volume do cubo após o aque-
cimento está correta?
a) Diminuiu em 0,02%.
b) Aumentou em 0,02%.
c) Aumentou em 0,01%.
d) Diminuiu em 0,03%.
e) Não há informações suficien-
tes para determinar a mudança 
de volume.
5.5 Exercícios
de sala de aula
EXEMPLO 5.3 Expansão térmica da gasolina
Você leva seu automóvel a um posto de gasolina em um dia quente de verão, quando a tempe-
ratura atmosférica é de 40 °C. Você completa seu tanque vazio de 55 L com gasolina que vem de 
um tanque de armazenamento subterrâneo, onde a temperatura é de 12 °C. Depois de pagar pelo 
combustível, você decide ir até o restaurante ao lado e almoçar. Duas horas depois, você volta a 
seu carro e descobre que um pouco de gasolina transbordou do tanque.
PROBLEMA
Quanta gasolina transbordou?
SOLUÇÃO
Sabemos o seguinte: A temperatura da gasolina que você colocou no tanque começa em 12 °C. A 
gasolina aquece até chegar à temperatura ambiente de 40 °C. O coeficiente de expansão de volume 
da gasolina é 950 ⋅ 10–6 °C–1.
_Livro_Bauer_Vol_2.indb 160_Livro_Bauer_Vol_2.indb 160 09/08/12 14:5209/08/12 14:52
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra. 
DICA DO PROFESSOR
No vídeo, você encontra uma demonstração clara das fórmulas e exemplos das expansões 
lineares, volumétricas e superficiais.
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EXERCÍCIOS
1) Você projeta o telhado para uma construção tendo disponíveis os materiais alumínio 
(α = 22 × 10−6 oC−1 ), latão (α = 19 × 10−6 oC−1 ) e aço (α = 13 × 10−6 oC−1 ) e 
zinco (α = 30, 2 × 10−6 oC−1 ). Considerando apenas efeitos de expansão térmica, 
qual material deveria ser escolhido?
A) Alumínio
B) Latão
C) Aço
D) Zinco
E) Do ponto de vista da expansão térmica a escolha é indifirente.
2) Tratamos um objeto como unidimensional quando as dimensões de sua seção 
transversal são muito menores do que seu comprimento. Considere, por exemplo, 
uma barra com comprimento 1,5 m e área da seção transversal 1 cm2. Conforme sua 
temperatura varia, qual a razão entre a variação de sua área transversal ΔA e a 
variação de seu comprimento ΔL?
A) 0.0001 m
B) 0.01 m
C) 1 m
D) 100 m
E) Depende do coeficiente de expansão linear do material que compõe a barra.
3) Você deve calibrar um termômetro de mercúrio (β = 181 × 10−6 oC−1) consistindo 
em um bulbo com volume VB = 1,4 cm3 acoplado a um tubo com raio r = 0,5 cm. 
Observando que, à temperatura ambiente T = 25oC, a altura do tubo ocupado por 
mercúrio é de h = 9,5 cm, qual deverá ser o comprimento ao longo da escala vertical 
correspondente a uma variação de temperatura de 5oC? 
 
A) 0,08 mm
B) 0,08 cm
C) 0,1 mm
D) 1 mm
E) 0,009 cm
4) Um relógio de pêndulo é calibrado para controlar a passagem de tempo de acordo 
com o período de sua oscilação, que é dado pela expressão , onde g = 9, 8 m/s2 e 
L é o comprimento do pêndulo. Suponha que o pêndulo de um relógio é feito de 
alumínio (α = 22 × 10-6 ºC-1) e foi calibrado à temperatura de 19ºC. Quando estiver 
à temperatura de 30ºC, como terá variado sua medição de tempo?
A) Os intervalos de tempo aumentarão em 0,01%.
B) Os intervalos de tempo diminuirão em 0,01%.
C) Os intervalos de tempo aumentarão em 1%.
D) Os intervalos de tempo diminuirão em 1%.
E) A variação depende do comprimento do pêndulo.
A fim de fazer um bom encaixe entre as duas peças indicadas na figura, consistindo 
em um pino cilíndrico de alumínio (α1 = 22 × 10-6 oC) e uma chapa com furo circular 
de aço (α2 = 13 × 10-6 oC), você projeta as peças à temperatura ambiente T = 25oC, 
com o pino tendo diâmetro D1 = 10,05 cm e o furo com diâmetro D2 = 10,00 cm. Até 
qual temperatura o pino deve ser resfriado para que o encaixepossa ser realizado, 
considerando-se que: 
5) 
( a ) a chapa é mantida a temperatura ambiente; 
( b ) a chapa é resfriada juntamente com o pino. 
 
A) ( a ) e ( b ) não há uma temperatura que permita o encaixe.
B) ( a ) -200,58 oC; ( b ) -51,86 oC.
C) ( a ) e ( b ) -200,58 oC.
D) ( a ) não há uma temperatura que permita o encaixe; ( b ) -245,47 oC.
E) ( a ) 72,57 K; ( b ) não há uma temperatura que permita o encaixe.
NA PRÁTICA
Vimos exemplos de construções para as quais a expansão térmica acarreta problemas por 
deformar a estrutura, exigindo que se insiram espaçamentos, como no caso de pontes longas e 
trilhos de transporte ferroviário. Mas o oposto também pode ocorrer: para alguns sistemas a 
preocupação é com a contração do material que poderia causar rompimentos indesejados.
SAIBA +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Física: uma abordagem estratégica Vol. 2
KNIGHT, Randall. Física: uma abordagem estratégica Vol. 2. 2ª ed. Porto Alegre: Bookman, 
2009.
Dilatação térmica.
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