Exercícios computação numérica 02

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Lista	
  2	
  ECT1303	
  –	
  Computação	
  numérica	
  
1	
  –	
  Mostre	
  que	
  as	
  seguintes	
  equações	
  têm	
  pelo	
  menos	
  uma	
  solução	
  nos	
  intervalos	
  dados.	
  
a) 𝑥 cos 𝑥 − 2𝑥! + 3𝑥 − 1 = 0, 0,2, 0,3  𝑒  [1,2, 1,3]	
  
b) (𝑥 − 2)! − ln 𝑥 = 0, 1, 2  𝑒  [𝑒, 4]	
  
	
  
2	
  –	
  Determine,	
  utilizando	
  a	
  análise	
  gráfica,	
  o	
  intervalo	
  com	
  um	
  número	
  ímpar	
  de	
  soluções	
  para	
  
as	
  equações	
  abaixo.	
  
a) 𝑥 − 3!! = 0	
  
b) 4𝑥! − 𝑒! = 0	
   c) 𝑥! − 2𝑥! − 4𝑥 + 2 = 0	
  d) 𝑥! + 4,001𝑥! + 4,002𝑥 + 1,101 = 0	
  
3	
  –	
  Seja	
  𝑓 𝑥 = 𝑥!,	
  	
  
a) Determine	
  o	
  polinômio	
  de	
  Taylor	
  de	
  grau	
  dois	
  𝑃! 𝑥 	
  em	
  torno	
  de	
  𝑥! = 0.	
  
b) Determine	
  o	
  erro	
  real	
  ao	
  usar	
  𝑃!(0,5)	
  para	
  aproximar	
  𝑓(0,5).	
  
c) Repita	
  a)	
  e	
  b)	
  utilizando	
  𝑥! = 1.	
  
4	
  –	
  Determine	
  o	
  polinômio	
  de	
  Taylor	
  de	
  grau	
  três	
  𝑃! 𝑥 	
  para	
  a	
  função	
  𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1	
  em	
  
torno	
  de	
  𝑥! = 0.	
  Aproxime	
   0,5, 0,75, 1,25	
  e	
   1,5	
  usando	
  𝑃! 𝑥 	
  e	
  determine	
  os	
  erros	
  
reais.	
  
5	
  –	
  Ilustre	
  graficamente	
  a	
  aproximação	
  da	
  função	
  𝑓 𝑥 = 𝑒! cos 𝑥,	
  em	
  torno	
  de	
  	
  𝑥! = 0,	
  
utilizando	
  os	
  polinômios	
  de	
  Taylor	
  de	
  grau	
  zero,	
  um	
  e	
  dois.	
  Mostre	
  ainda	
  o	
  erro	
  de	
  cada	
  
polinômio	
  se	
  comparado	
  ao	
  valor	
  real	
  de	
  𝑓 0,5 .