Teoria das Estruturas 1 - Aula 12

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1 
T E O R I A D A S E S T R U T U R A S 1 
C E N T R O U N I V E R S I T Á R I O E S T Á C I O R A D I A L D E S Ã O P A U L O 
C U R S O D E G R A D U A Ç Ã O E M E N G E N H A R I A C I V I L 
P R O F . A L E X A N D R E A U G U S T O M A R T I N S 
6 º P E R Í O D O 
2 0 1 3 / 1 S 
A
U
LA
 12
 
17
.0
5.
20
13
 
2 
“ L I Ç Ã O D E C A S A ” 
3 
A B 
5,0m 
1,0 tf / m 
5,0m 
S1 
ϕ 
30° 
0,67m 
ϕ = 60° 
4 
A B 
5,0m 
1,0 tf / m 
5,0m 
S1 
ϕ 
30° 
0,67m 
ϕ = 60° 
VA VB 
HB 
5 
ϕ = 60° 
A 
B 
5,0m 
1,0 tf / m 
5,0m 
S
1 
ϕ 
30
° 
0,67m 
ϕ = 
60° 
VA VB 
H
B 
CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO COM BASE NAS EQUAÇÕES DO EQUILÍBRIO ESTÁTICO: 
(1) Σ Fx = 0 
 HB = 0 tf 
(2) Σ Fy = 0 
 VA + VB = (1,0 . 5) 
 VA + VB = 5,0 tf (a) 
(3) Σ MA = 0 
 VA . 0 + VB . 10 – (1 . 5 . 2,5) = 0 
 10 . VB – 12,5 = 0 
 VB = 12,5 / 10 
 VB = 1,25 tf 
 de (a), VA = 3,75 tf 
6 
 PARA A SEÇÃO S1, TEM-SE: 
 MOMENTO FLETOR (MS1): 
MS1 = VB . 0,67 = 1,25 . 06,7 = 0,837 tf . m 
 FORÇA CORTANTE, OU ESFORÇO TANGENCIAL (TS1): 
TS1 = VD . cos ϕ + HD . sen ϕ = - 1,25 . cos 60° + 0 . sen 60° = - 0,625 tf 
 ESFORÇO NORMAL (ND): 
ND = VD . sen ϕ + HD . cos ϕ = - 1,25 . sen 60° + 0 . cos 60° = - 1,083 tf 
7 
A B 
1,0 tf / m 
3,75 tf 1,25 tf 
 DIAGRAMA DE FORÇAS CORTANTES: 
3,75 
1,25 
+ 
- 
1,25 
X = 3,75m 
8 
A B 
1,0 tf / m 
3,75 tf 1,25 tf 
 DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES: 
6,25 MMÁX 
X = 3,75m 
MMÁX: 
Σ MX = 0 
VA . 3,75 – (1 . 3,75 . 1,87) = 0 
3,75 . 3,75 – 7,01 = 0 
Σ MX = 7,05 tf . m 
X 
9 
T R E M - T I P O E L I N H A S D E I N F L U Ê N C I A 
10 
 CONSIDERAÇÕES INICIAIS 
 NO CONTEXTO DE ANÁLISE DE ESTRUTURAS, AS SOLICITAÇÕES EXTERNAS DE UM 
MODELO ESTRUTURAL TÊM A SEGUINTE CLASSIFICAÇÃO SEGUNDO A SUA FORMA DE 
ATUAÇÃO: 
 CARGAS PERMANENTES; 
 CARGAS ACIDENTAIS; E 
 CARGAS MÓVEIS. 
 AS CARGAS PERMANENTES TÊM POSIÇÃO DE ATUAÇÃO FIXA SOBRE A ESTRUTURA E 
PERDURAM DURANTE TODA A SUA VIDA ÚTIL; 
 O PESO PRÓPRIO É O TÍPICO EXEMPLO DE UMA CARGA PERMANENTE. 
11 
O PESO PRÓPRIO É O TÍPICO EXEMPLO DE UMA CARGA PERMANENTE 
12 
O PESO PRÓPRIO É O TÍPICO EXEMPLO DE UMA CARGA PERMANENTE 
13 
O PESO PRÓPRIO É O TÍPICO EXEMPLO DE UMA CARGA PERMANENTE 
14 
 CONSIDERAÇÕES INICIAIS 
 CARGAS ACIDENTAIS TÊM POSIÇÃO FIXA, MAS SUA ATUAÇÃO É INTERMITENTE, OU 
SEJA, NÃO OPERAM O TEMPO TODO. 
 COMO EXEMPLO PODE-SE CITAR AS CARGAS DE OCUPAÇÃO DE UM EDIFÍCIO OU AS 
CARGAS PROVOCADAS PELA PRESSÃO OU SUCÇÃO DO VENTO SOBRE UMA 
ESTRUTURA; 
 JÁ AS CARGAS MÓVEIS NÃO TÊM POSIÇÃO DEFINIDA E SUA ATUAÇÃO É 
INTERMITENTE; 
 O EXEMPLO MAIS EVIDENTE É O DE CARGAS DE UM VEÍCULO SOBRE UMA PONTE; 
 A ANÁLISE DE ESTRUTURAS PARA CARGAS ACIDENTAIS E MÓVEIS SEGUE 
PROCEDIMENTOS QUE SÃO BASTANTE DISTINTOS DAQUELES REFERENTES AO ESTUDO 
DE CARGAS PERMANENTES. 
15 
CARGAS ACIDENTAIS EM UM EDIFÍCIO 
16 
CARGAS ACIDENTAIS EM UM EDIFÍCIO 
17 
CARGAS ACIDENTAIS EM UM EDIFÍCIO 
18 
 CONSIDERAÇÕES INICIAIS 
 A PRINCIPAL RAZÃO DISSO É QUE, NO CASO DE CARGAS PERMANENTES, A 
TRANSFERÊNCIA DE CARGAS POR MEIO DA ESTRUTURA TEM UMA DISTRIBUIÇÃO 
CONSTANTE. NESSE CASO, AS REAÇÕES DE APOIO TÊM VALORES FIXOS; 
 POR OUTRO LADO, NO CASO DE CARGAS ACIDENTAIS E MÓVEIS, A TRANSFERÊNCIA 
DE CARGAS ATRAVÉS DA ESTRUTURA E AS REAÇÕES DE APOIO, VARIAM EM FUNÇÃO 
DA ATUAÇÃO DAS CARGAS; 
 OS PROCEDIMENTOS DE ANÁLISE LEVAM EM CONTA O CARÁTER VARIÁVEL DOS 
EFEITOS PROVOCADOS POR ESSE TIPO DE CARGA; 
 OUTRO MOTIVO PARA A DIFERENÇA DE TRATAMENTO NA ANÁLISE DERIVA DA 
NATUREZA NÃO DETERMINÍSTICA DAS CARGAS ACIDENTAIS E MÓVEIS. EM GERAL, 
ESSES CARREGAMENTOS SÃO DEFINIDOS COM A AJUDA DE VERIFICAÇÕES 
ESTATÍSTICAS, RESULTANDO EM CARGAS ACIDENTAIS IDEALIZADAS PARA O PROJETO. 
19 
 TREM-TIPO 
 O TREM-TIPO REPRESENTA, POR EXEMPLO, UMA COMBINAÇÃO DOS VEÍCULOS 
(CARGAS MÓVEIS) QUE PODEM CORRER EM UMA ESTRUTURA ANALISADA (PONTES, 
VIADUTOS E OUTRAS); 
 SÃO CONSTITUÍDOS POR CARGAS CONCENTRADAS E/OU UNIFORMEMENTE 
DISTRIBUÍDAS DE VALORES CONHECIDOS E GUARDANDO DISTÂNCIAS CONHECIDAS 
ENTRE ELAS; 
 DEPENDENDO DO TIPO DE ESTRUTURA E DA SUA UTILIZAÇÃO, PESQUISADORES 
DEFINIRAM COMBINAÇÕES DE CARREGAMENTOS TENDO EM VISTA OS VEÍCULOS 
PREVISTOS NAS ESTRUTURAS; 
 TAIS COMBINAÇÕES DERAM ORIGEM AOS TRENS-TIPO DEFINIDOS NAS NORMAS DE 
PROJETOS NACIONAIS E INTERNACIONAIS. 
20 
 TREM-TIPO 
 NO BRASIL, AS CARGAS MÓVEIS PARA AS PONTES E VIADUTOS (RODOVIÁRIOS OU 
FERROVIÁRIOS) E PASSARELAS, SÃO DEFINIDAS PELA ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE 
NORMAR TÉCNICAS (ABNT); 
 PARA PONTES E VIADUTOS RODOVIÁRIOS, O TREM-TIPO É ESPECIFICADO PELA 
NBR.7188, DEPENDENDO DA CLASSE DA PONTE: 45, 36 OU 12, ASSOCIADAS, 
RESPECTIVAMENTE, A CAMINHÕES-TIPODE 45tf, 36tf (SEMPRE COM TRÊS EIXOS) E 
12tf (COM DOIS EIXOS); 
 A NORMA PREVÊ TAMBÉM CARREGAMENTOS DISTRIBUÍDOS SOBRE LAJES, FORA DA 
ÁREA OCUPADA PELO CAMINHÃO-TIPO; 
 PARA AS PONTES FERROVIÁRIAS, A CARGA MÓVEL É DEFINIDA PELA NBR. 7189. 
21 
 LINHAS DE INFLUÊNCIA 
 UMA LINHA DE INFLUÊNCIA (LI) DESCREVE A VARIAÇÃO DE UM DETERMINADO EFEITO 
(POR EXEMPLO: UMA REAÇÃO DE APOIO, UM ESFORÇO CORTANTE, OU UM 
MOMENTO FLETOR EM UMA SEÇÃO TRANSVERSAL) EM FUNÇÃO DA POSIÇÃO DE 
UMA FORÇA VERTICAL (ORIENTADA PARA BAIXO) E UNITÁRIA (P = 1tf) QUE PERCORRE 
A ESTRUTURA; 
 ASSIM, A LI DE MOMENTO FLETOR EM UMA SEÇÃO TRANSVERSAL É A 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA OU ANALÍTICA DO MOMENTO FLETOR, NA SEÇÃO DE 
ESTUDO, PRODUZIDA POR UMA FORÇA CONCENTRADA UNITÁRIA QUE PASSEIA PELA 
ESTRUTURA; 
 O PROBLEMA QUE SURGE A PARTIR DE AGORA É O DE DETERMINAR VALORES DOS 
ESFORÇOS EXTERNOS REATIVOS E DOS ESFORÇOS INTERNOS SOLICITANTES PARA 
VIGAS SUBMETIDAS A CARGAS ACIDENTAIS UNIFORMES E CONCENTRADAS, COMO O 
QUE SE DÁ EM PONTES ROLANTES, PONTES RODOVIÁRIAS E FERROVIÁRIAS. 
22 
PONTE ROLANTE 
23 
PONTE ROLANTE 
24 
PONTE ROLANTE 
25 
PONTE ROLANTE 
26 
27 
28 
29 
30 
A B 
X1 
L 
C 
X2 
D 
P P 
S1 
 O PRÓXIMO PROBLEMA BÁSICO QUE SURGE, É: 
 COM UMA CARGA “P”, DE ABSCISSA X1, QUAL O MOMENTO FLETOR (OU A 
FORÇA CORTANTE) NA SEÇÃO S1? 
 COM UMA CARGA “P”, DE ABSCISSA X2, QUAL O MOMENTO FLETOR (OU A 
FORÇA CORTANTE) NA SEÇÃO S1? 
S2 
31 
 LINHAS DE INFLUÊNCIA 
 EM OUTRAS PALAVRAS, QUALQUER QUE SEJA A POSIÇÃO DE UMA CARGA “P”, 
GENÉRICA, PROCURA-SE OBTER, SEMPRE, O VALOR DO MOMENTO FLETOR E DA 
FORÇA CORTANTE NA SEÇÃO CONSIDERADA (NO CASO, S1); 
 OUTRA QUESTÃO A SER RESOLVIDA, SERIA AINDA A DE DETERMINAR QUAL A 
POSIÇÃO DESTA MESMA CARGA QUE PERMITE ENCONTRAR OS VALORES MÁXIMOS 
DE MOMENTO FLETOR E DE FORÇA CORTANTE TAMÉM NA SEÇÃO S1; 
 PARA QUE AMBAS AS QUESTÕES POSSAM SER DEVIDAMENTE RESOLVIDAS, UTILIZA-
SE O CONCEITO CONHECIDO COMO “LINHAS DE INFLUÊNCIA”, A SABER: 
LINHA DE INFLUÊNCIA É UM DIAGRAMA, UM GRÁFICO, QUE PERMITE A OBTENÇÃO DE 
UM ESFORÇO, SEMPRE EM UMA MESMA SEÇÃO, QUALQUER QUE SEJA O TIPO DE CARGA 
(CONCENTRADA OU UNIFORME) E A RESPECTIVA POSIÇÃO DESSE CARREGAMENTO. 
32 
 LINHAS DE INFLUÊNCIA 
 DE ACORDO COM A DEFINIÇÃO, A EXPRESSÃO “LINHA DE INFLUÊNCIA” DEVE ESTAR 
SEMPRE ACOMPANHADA DO ESFORÇO E DA SEÇÃO À QUAL SE REFERE; 
 RECUPERANDO O EXEMPLO ANTERIOR, TER-SE-IA: 
 LINHA DE INFLUÊNCIA DE FORÇA CORTANTE DA SEÇÃO S1; 
 LINHA DE INFLUÊNCIA DE FORÇA CORTANTE DA SEÇÃO S2; 
 LINHA DE INFLUÊNCIA DE REAÇÃO DO APOIO B. 
 ... E ASSIM SUCESSIVA E ANALOGAMENTE PARA QUAISQUER SEÇÕES E APOIOS 
QUE SE QUEIRA CONSIDERAR. 
33 
 DIFERENÇA ENTRE DIAGRAMAS DE MOMENTOS FLETORES E DE LINHA DE INFLUÊNCIA 
P 
L 
a b 
B A 
C S1 
DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES 
+ Y 
P 
L 
a b 
B A 
C S1 
DIAGRAMA DE LINHA DE INFLUÊNCIA 
+ 
Y 
34 
 DIFERENÇA ENTRE DIAGRAMAS DE MOMENTOS FLETORES E DE LINHA DE INFLUÊNCIA 
 IMAGINE-SE QUE PARA A VIGA AB TENHA-SE O TRAÇADO DO DIAGRAMA DE 
MOMENTOS FLETORES E QUE SE SAIBA DETERMINAR A RESPECTIVA LINHA DE 
INFLUÊNCIA, COMO INDICADONOS ESQUEMAS ANTERIORES; 
 A ORDENADA Y, NO DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES REPRESENTA, COMO SE 
SABE, O VALOR DO MOMENTO FLETOR NA SEÇÃO C; 
 A ORDENADA Y, NO GRÁFICO DE LINHAS DE INFLUÊNCIA – REPRESENTA O VALOR DO 
MOMENTO FLETOR NA SEÇÃO S1 PARA A CARGA P, COM ABSCISSAS a E b; 
 É POSSÍVEL DIZER ENTÃO QUE: 
 NO D.M.F, A SEÇÃO É MÓVEL E A CARGA É FIXADA; 
 NO D.L.I., A SEÇÃO É FIXA E A CARGA É MÓVEL. 
 OBS: NO CASO DE EXISTIR UMA CARGA P DIFERENTE DE 1tf, BASTA MULTIPLICAR ESSA 
MESMA CARGA PELA ORDENADA Y DA LINHA DE INFLUÊNCIA OBTIDA PARA P = 1tf. 
35 
CASO 1: VIGA EM BALANÇO 
A 
x 
B 
L 
C 
z 
P = 1 tf 
S1 
Z = FIXA 
X = VARIÁVEL 
36 
x 
L 
z 
P = 1 tf 
A B C 
S1 
- L.I.MF.S1 Y 
45° 
Z 
- L.I.FCS1 Y 
1 
A B C 
S1 
A B C 
S1 
37 
 LINHA DE INFLUÊNCIA DO MOMENTO FLETOR NA SEÇÃO S1: 
MS1 = – P . (z – x) 
PARA P = 1 tf, TEM-SE: 
MS1 = – (z – x) 
PARA x = 0, MS1 = – z 
PARA x = Z, MS1 = 0 
 LINHA DE INFLUÊNCIA DA FORÇA CORTANTE NA SEÇÃO S1: 
VS1 = – P 
VS1 = – 1 tf (É UMA CONSTANTE) 
38 
EXEMPLO 1: VIGA EM BALANÇO + CARGA CONCENTRADA 
A 
2,0m 
B 
12,0m 
C 
5,0m 
P = 20 tf 
S1 
Z = FIXA 
X = VARIÁVEL 
39 
2,0m 
12,0m 
5,0m 
P = 20 tf 
A B C 
S1 
45° 
- L.I.MFS1 Y 
60 
- L.I.FCS1 Y 
20 
A B C 
S1 
A B C 
S1 
40 
 LINHA DE INFLUÊNCIA DO MOMENTO FLETOR NA SEÇÃO S1: 
MS1 = – P . (z – x) 
PARA P = 20 tf, TEM-SE: 
MS1 = – 20 . (5 – 2) 
MS1 = – 60 tf . m 
 LINHA DE INFLUÊNCIA DA FORÇA CORTANTE NA SEÇÃO S1: 
VS1 = – P 
VS1 = – 20 . 1 = – 20 tf 
LEMBRE-SE: 
NO CASO DE EXISTIR UMA CARGA P 
DIFERENTE DE 1tf, BASTA MULTIPLICAR ESSA 
MESMA CARGA PELA ORDENADA Y DA LINHA 
DE INFLUÊNCIA OBTIDA PARA P = 1tf. 
41 
 OBSERVAÇÃO IMPORTANTE 
 DE UM MODO GERAL, É POSSÍVEL ASSUMIR QUE UM ESFORÇO QUALQUER PODE SER 
OBTIDO DA SEGUINTE MANEIRA: 
 
 PARA CARGAS CONCENTRADAS: 
 ESFORÇO = CARGA CONCENTRADA x ORDENADA CORRESPONDENTE 
 
 PARA CARGA UNIFORME: 
 ESFORÇO = CARGA UNIFORME x ÁREA SOB A CARGA. 
42 
EXEMPLO 2: VIGA EM BALANÇO + CARGA DISTRIBUÍDA + TREM-TIPO 
DETERMINAR OS VALORES DE MOMENTOS FLETORES E DE FORÇAS CORTANTES 
MÁXIMOS NA SEÇÃO S1 DA VIGA ENGASTADA ABAIXO, SUBMETIDA TANTO A UMA 
CARGA PERMANENTE DE g = 0,5 tf/m QUANTO A UMA CARGA ACIDENTAL DADA PELO 
TREM-TIPO ESQUEMATIZADO. 
A 
L = 6,0m 
B 
Z = 4,0m 
S1 
g = 0,5 tf / m 
3,0 tf 3,0 tf 
1,0 tf / m 
2,0m 
TREM-TIPO 
43 
- 
L.I.FCS1 
Y = 1,0 
3,0 tf 3,0 tf 
1,0 tf / m 
2,0m 
CARGA ACIDENTAL: 
TREM-TIPO 
A B C 
S1 
L = 6,0m 
Z = 4,0m 
A B 
S1 
g = 0,5 tf / m 
CARGA PERMANENTE 
45° 
- L.I.MFS1 Y = 2,0 
Y = 4,0 
A B C 
S1 
44 
 CARGA PERMANENTE: 
MS1 = – (0,5 . 4) . 2 = – 4 tf . m 
MS1 = – 4 tf . m 
 CARGA ACIDENTAL: 
MS1 = – {[(1 . 4) . 2] + (3 . 4) + (3 . 2)} = – 26 tf . m 
MS1 = – 26 tf . m 
 MOMENTO MMÁX.S1: 
MMÁX.S1 = – 4 – 26 = – 30 tf . m 
MS1 = – 30 tf . m 
MOMENTOS FLETORES NA SEÇÃO S1: 
45 
 CARGA PERMANENTE: 
VS1 = – (0,5 . 4) = – 2 tf 
VS1 = – 2 tf 
 CARGA ACIDENTAL: 
VS1 = – (1 . 4) – 3 – 3 = – 10 tf 
MS1 = – 10 tf 
 FORÇA CORTANTE MÁXIMA VMÁX.S1: 
VMÁX.S1 = – 2 – 10 = – 12 tf 
VS1 = – 12 tf 
FORÇAS CORTANTES NA SEÇÃO S1: 
46 
 OBSERVAÇÕES IMPORTANTES SOBRE O EXEMPLO 2: 
 PROCUROU-SE DISPOR AS CARGAS CONCENTRADAS DO CARREGAMENTO ACIDENTAL, 
EM CORRESPONDÊNCIA ÀS MAIORES ORDENADAS DO DIAGRAMA DE MOMENTOS 
FLETORES (NAS QUAIS A BARRA É MAIS SOLICITADA); 
 VALEM PARA AS VIGAS BI-APOIADAS, COM OU SEM BALANÇOS, TODAS AS 
CONSIDERAÇÕES GERAIS FEITAS PARA AS VIGAS EM BALANÇO; 
 OS EXERCÍCIOS SOBRE LINHAS DE INFLUÊNCIA (L.I.) ENVOLVEM SOMENTE CARGAS 
CONCENTRADAS E CARGAS UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDAS, JÁ QUE ESTES SÃO OS 
TIPOS DE CARREGAMENTOS ACIDENTAIS ENCONTRADOS NAS NORMAS BRASILEIRAS; 
 ASSIM SENDO, NÃO FAZ SENTIDO PRÁTICO A ABORDAGEM DE QUALQUER OUTRO 
TIPO DE CARREGAMENTO ACIDENTAL, COMO O TRIANGULAR, POR EXEMPLO. 
47 
EXEMPLO 3: VIGA EM BALANÇO + CARGAS DISTRIBUÍDA E CONCENTRADA + TREM-TIPO 
DETERMINAR OS VALORES DE MOMENTOS FLETORES E DE FORÇAS CORTANTES 
MÁXIMOS NA SEÇÃO S1 DA VIGA ENGASTADA ABAIXO, SUBMETIDA TANTO A UMA 
CARGA PERMANENTE DE g = 10tf/m QUANTO A DOIS CARREGAMENTOS ACIDENTAIS 
CONCENTRADOS DE 80tf E 40tf E A UMA CARGA ACIDENTAL DADA PELO TREM-TIPO 
ESQUEMATIZADO. 
A 
L = 4,0m 
A 
1,0m 
S1 
100 tf 100 tf 
20 tf / m 
2,0m 
TREM-TIPO 
1,0m 1,0m 1,0m 
g = 10 tf / m 
P1 = 80 tf 
B C D 
P2 = 40 tf 
48 
CARGA PERMANENTE 
100 tf 100 tf 
20 tf / m 
2,0m 
CARGA ACIDENTAL: 
TREM-TIPO 
L.I.FCS1 + Y = 1,0 
1,0m 
g = 10 tf / m 
A B S1 C D 
P1 = 80 tf 
1,0m 1,0m 1,0m 
A B C D 
L.I.MFS1 
Y3 = 3,0 
45° 
- 
Y1 = 1,0 
Y2 = 2,0 
P2 = 40 tf 
S1 
A B S1 C D 
49 
 CARGA PERMANENTE: 
MS1 = – (10 . 2 . 1) – (80 . 1) + (40 . 3) = 20 tf . m 
MS1 = 20 tf . m 
 CARGA ACIDENTAL: 
MS1 = – [(20 . 3 . 1,5) – (100 . 3) – (100 . 1)] = – 490 tf . m 
MS1 = – 490 tf . m 
 MOMENTO MMÁX.S1: 
MMÁX.S1 = – 100 – 490 = – 590 tf . m 
MMÁX.S1 = – 470 tf . m 
MOMENTOS FLETORES NA SEÇÃO S1: 
50 
 CARGA PERMANENTE: 
VS1 = (10 . 2) + 80 – 40 = 60 tf 
VS1 = 60 tf 
 CARGA ACIDENTAL: 
VS1 = (20 . 3) + 100 + 100 = 260 tf 
MS1 = 260 tf 
 FORÇA CORTANTE MÁXIMA VMÁX.S1: 
VMÁX.S1 = 60 + 260 = 320 tf 
VMÁX.S1 = 320 tf 
FORÇAS CORTANTES NA SEÇÃO S1: 
51 
CASO 2: VIGA BI-APOIADA 
A B 
m 
L 
n 
S1 
P1 = 1 tf P2 = 1 tf 
x 
x 
x’ 
x’ 
m; n = FIXAS 
x; x’ = VARIÁVEIS 
52 
 MOMENTO FLETOR EM UMA SEÇÃO GENÉRICA S1: 
P1 = 1 tf P2 = 1 tf 
A B 
m 
L 
n 
S1 
x 
x 
x’ 
x’ 
(m . n) / L 
L.I.MFS1 
+ 
53 
 LINHA DE INFLUÊNCIA DO MOMENTO FLETOR NA SEÇÃO S1: 
VB = (P1 . x) / L 
PORTANTO, COMO P = 1tf, VB = x / L 
MS1 = VB . n = (x / L) . n 
PARA x = 0, MS1 = 0 
PARA x = m, MS1 = (m . n) / L 
CENÁRIO 1: CARGA ENTRE APOIO A E SEÇÃO GENÉRICA S1: 
54 
 LINHA DE INFLUÊNCIA DO MOMENTO FLETOR NA SEÇÃO S1: 
VA = (P2 . x') / L 
PORTANTO, COMO P = 1tf, VA = x’ / L 
MS1 = VA . m = (x’ / L) . m 
PARA x’ = 0, MS1 = 0 
PARA x’ = n, MS1 = (m . n) / L 
CENÁRIO 2: CARGA ENTRE SEÇÃO GENÉRICA S1 E APOIO B: 
55 
A B 
L 
P1 = 1 tf 
x x’ 
 REAÇÕES DE APOIO: 
 CÁLCULO DE VA: 
 x E x’ = VARIÁVEIS: 
VA = (P . x') / L 
PORTANTO, COMO P = 1tf, VA = x’ / L 
PARA x’ = 0, VA = 0 
PARA x’ = L, VA = 1tf 
 CÁLCULO DE VB: 
 x E x’ = VARIÁVEIS: 
VB = (P . x) / L 
PORTANTO, COMO P = 1tf, VB = x / L 
PARA x = 0, VB = 0 
PARA x = L, VB = 1tf 
VA VB 
HA 
56 
P1 = 1 tf 
 REAÇÕES DE APOIO: 
L.I.VA 
+ 
VA = 1,0 
A B 
m 
L 
n 
S1 
x x’ 
VA VB 
+ 
L.I.VB 
VB = 1,0 
57 
A B 
m 
L 
n 
S1 
P1 = 1 tf P2 = 1 tf 
x 
x 
x’ 
x’ 
VA VB 
 FORÇA CORTANTE EM UMA SEÇÃO GENÉRICA S1: 
 CARGA ENTRE APOIO A E SEÇÃO GENÉRICA S1: 
VA = (P . x’) / L 
PORTANTO, COMO P = 1tf, VA = x’ / L 
VS1 = VA – P = (x’ / L) – 1 = (x’ – L) / L 
PORTANTO, VS1 = – x / L 
PARA x = 0, VS1 = 0 
PARA x = m, VS1 = – m / L 
 CARGA ENTRE SEÇÃO GENÉRICA S1 E APOIO B: 
VA = (P . x’) / L 
PORTANTO, COMO P = 1tf, VA = x’ / L 
VS1 = VA = x’ / L 
PORTANTO, VS1 = x’ / L 
PARA x’ = 0, VS1 = 0 
PARA x’ = n, VS1 = n / L 
58 
A B 
m 
L 
n 
S1 
P1 = 1 tf P2 = 1 tf 
x 
x 
x’ 
x’ 
VA VB 
 FORÇA CORTANTE EM UMA SEÇÃO GENÉRICA S1: 
- 
+ 
L.I.FCS1 
n / L 
m / L 
59 
 OBSERVAÇÕES IMPORTANTES 
 NOTAR QUE AS EQUAÇÕES DOS DIVERSOS TRECHOS DAS LINHAS DE INFLUÊNCIA SÃO 
LINEARES, DE MODO ENTÃO QUE ESSAS MESMAS L.Is. SÃO CONSTITUÍDAS POR RETAS; 
 A LINHA DE INFLUÊNCIA DE FORÇA CORTANTE, EM UMA SEÇÃO GENÉRICA S1, 
APRESENTA UMA DESCONTINUIDADE NESTA MESMA SEÇÃO. NO MOMENTO EM QUE 
UMA CARGA P CONCENTRADA É COLOCADA JUSTAMENTE NESSE PONTO, PRODUZ 
DOIS VALORES DE FORÇA CORTANTE, A SABER: 
 V’S1 = P . (n . L); E 
 V”S1 = P . (m . L) 
 AO DETERMINAR ESTES VALORES DE FORÇAS CORTANTES, E AO RESOLVER-SE A VIGA 
ISOSTÁTICA COMO JÁ FEITO EM OUTRAS OPORTUNIDADES, TER-SE-Á: 
60 
 DIAGRAMA DE FORÇAS CORTANTES: 
A B 
m 
L 
n 
S1 
P1 = 1 tfP2 = 1 tf 
x 
x 
x’ 
x’ 
VA VB 
(P . n) / L = VALOR DE VS1 À ESQUERDA DE S1 
VALOR DE VS1 À DIREITA DE S1 = (P . m) / L - 
+ 
61 
 OBSERVAÇÕES IMPORTANTES 
 PODE-SE ASSUMIR, PORTANTO, QUE: 
 A ORDENADA n / L DA LINHA DE INFLUÊNCIA DE VS1 REPRESENTA A FORÇA 
CORTANTE À ESQUERDA DESTA SEÇÃO PARA UMA CARGA UNITÁRIA 
PERMANENTE COLOCADA EM S1; 
 A ORDENADA m / L DA LINHA DE INFLUÊNCIA DE VS1 REPRESENTA A FORÇA 
CORTANTE À DIREITA DESTA SEÇÃO PARA UMA CARGA UNITÁRIA PERMANENTE 
COLOCADA EM S1; 
 VALE RESSALTAR QUE O CONCEITO DE ESQUERDA E DIREITA PARA FORÇA CORTANTE É 
VÁLIDO, APENAS, PARA UMA CARGA CONCENTRADA PERMANENTE APLICADA NO 
PONTO DA SEÇÃO EM ESTUDO. 
62 
 OBSERVAÇÕES IMPORTANTES 
 PARA UMA CARGA ACIDENTAL CONCENTRADA COLOCADA EM S1, NÃO É MAIS 
POSSÍVEL CONCEITUAR “ESQUERDA” E “DIREITA”, JÁ QUE ESTA CARGA, SENDO 
ACIDENTAL, PODE ESTAR A QUALQUER DISTÂNCIA δx DA SEÇÃO – TANTO DE UM 
LADO, QUANTO DE OUTRO; 
 ASSIM SENDO, NOS CASOS DE CARGAS ACIDENTAIS, DEVE-SE CONSIDERAR, SEMPRE, 
OS VALORES MÁXIMOS POSITIVOS E NEGATIVOS DE FORÇAS CORTANTES NA SEÇÃO S1 
ESTUDADA; 
 POR FIM, NOTE-SE QUE NA SEÇÃO S1 DA LINHA DE INFLUÊNCIA DE FORÇAS 
CORTANTES, TEM-SE, EM VALOR ABSOLUTO: 
 [ (n / L) + (m / L) ] = 1 = SOMA DAS ORDENADAS DO GRÁFICO 
63 
EXEMPLO 4: VIGA BIAPOIADA + CARGA DISTRIBUÍDA + TREM TIPO 
DETERMINAR O MOMENTO MÁXIMO E A FORÇA CORTANTE MÁXIMA POSITIVA E 
NEGATIVA NA SEÇÃO S1. CALCULAR, TAMBÉM, A REAÇÃO MÁXIMA NO APOIO A. A VIGA 
DADA ESTÁ SUBMETIDA A UMA CARGA PERMANETE g = 1 tf / m E À CARGA ACIDENTAL, 
REPRESENTADA PELO TREM-TIPO ESQUEMATIZADO. 
P = 10 tf 
q = 2 tf / m 
TREM-TIPO 
A B 
m = 4,0m n = 6,0m 
S1 
g = 1 tf / m 
64 
 MOMENTO FLETOR NA SEÇÃO S1: 
P = 10 tf 
q = 2 tf / m 
CARGA ACIDENTAL: 
TREM-TIPO 
(m . n) / L = 2,4 
L.I.MFS1 
+ 
A B 
m = 4,0m n = 6,0m 
S1 
g = 1 tf / m 
CARGA 
PERMANENTE 
L = 10,0m 
65 
 FORÇA CORTANTE NA SEÇÃO S1: 
n / L = 0,6 
(ESQ) 
- 
+ 
m / L = 0,4 
(DIR) 
L.I.FCS1 
A B 
m = 4,0m n = 6,0m 
S1 
g = 1 tf / m 
CARGA 
PERMANENTE 
L = 10,0m 
P = 10 tf 
q = 2 tf / m 
CARGA ACIDENTAL: 
TREM-TIPO 
66 
 REAÇÃO NO APOIO A REFERENTE À SEÇÃO S1: 
1,0 + 
L.I.VA 
A B 
m = 4,0m n = 6,0m 
S1 
g = 1 tf / m 
CARGA 
PERMANENTE 
L = 10,0m 
P = 10 tf 
q = 2 tf / m 
CARGA ACIDENTAL: 
TREM-TIPO 
67 
 CARGA PERMANENTE: 
MS1 = [(2,4 . 10) / 2] . 1 = 12 tf . m 
MS1 = 12 tf . m 
 MOMENTO MMÁX.S1: 
MMÁX.S1 = 12 + 48 = 60 tf . m 
MMÁX.S1 = 60 tf . m 
MOMENTOS FLETORES NA SEÇÃO S1: 
 CARGA ACIDENTAL: 
MS1 = {[(2,4 . 10) / 2)] . 2} + (10 . 2,4) 
MS1 = 48 tf . m 
68 
 CARGA PERMANENTE: 
VS1 = {[(0,6 . 6) / 2] . 1} – {[(0,4 . 4) / 2] . 1} = 1 tf 
VS1 = 1 tf 
 CARGA ACIDENTAL: 
VS1 = {[(0,6 . 6) / 2] . 2} + (10 . 0,6) = 9,6 tf 
MS1 = 9,6 tf 
 FORÇA CORTANTE MÁXIMA POSITIVA V+MÁX.S1: 
V+MÁX.S1 = 1 + 9,6 = 10,6 tf 
V+MÁX.S1 = 10,6 tf 
FORÇAS CORTANTES NA SEÇÃO S1 – MÁXIMA POSITIVA: 
69 
FORÇAS CORTANTES NA SEÇÃO S1 – MÁXIMA NEGATIVA: 
 CARGA PERMANENTE: 
VS1 = {[(0,6 . 6) / 2] . 1} – {[(0,4 . 4) / 2] . 1} = 1 tf 
VS1 = 1 tf 
 CARGA ACIDENTAL: 
VS1 = – {[(0,4 . 4) / 2] . 2} - (10 . 0,4)} = – 5,6 tf 
MS1 = – 5,6 tf 
 FORÇA CORTANTE MÁXIMA NEGATIVA V-MÁX.S1: 
V-MÁX.S1 = 1 – 5,6 = – 4,6 tf 
V+MÁX.S1 = – 4,6 tf 
70 
REAÇÃO NO APOIO A EM RELAÇÃO À SEÇÃO S1: 
 CARGA PERMANENTE: 
VA.S1 = {[(1 . 10) / 2] . 1} = 5 tf 
VS1 = 5 tf 
 CARGA ACIDENTAL: 
VA.S1 = {[(1 . 10) / 2] . 2} + (1 . 10)} = 20 tf 
VA.S1 = 20 tf 
 MÁXIMA REAÇÃO NO APOIO A VA.MÁX.S1: 
VA.MÁX.S1 = 5 + 20 = 25 tf 
VA.MÁX.S1 = 25 tf 
71 
C O N T I N U A . . .