DIN 152 - MÉTODO DE MONGE

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MÉTODO DE MONGE Introdução A GEOMETRIA DESCRITIVA 
 
A Geometria Descritiva é a parte da matemática aplicada que tem como objetivo representar 
sobre o plano as figuras do espaço, ou seja, resolver problemas de três dimensões em duas 
dimensões. Para conseguir esse objetivo, são usados processos construtivos que permitem 
representar, no plano, a figura espacial de tal maneira que, todo problema relativo a essa figura 
se possa interpretar sobre sua representação plana. Gaspard Monge, criador da Geometria 
Descritiva, a definiu como sendo a parte da Matemática que tem por fim representar sobre um 
plano as figuras do espaço, de modo a poder resolver, com o auxílio da Geometria Plana, os 
problemas em que se consideram as três dimensões. 
 
O SURGIMENTO DA GEOMETRIA DESCRITIVA 
 
A Geometria Descritiva surgiu no século XVII. É uma ciência que estuda os métodos de 
representação gráfica das figuras espaciais sobre um plano. Resolve problemas como: construção 
de vistas, obtenção das verdadeiras grandezas de cada face do objeto através de métodos 
descritivos e também a construção de protótipos do objeto representado. A Geometria Descritiva 
deu um grande impulso à indústria, e foi exatamente por esse motivo que, seu criador, Gaspar 
Monge se dedicou a esse estudo. 
 
O QUE É A PROJEÇÃO DE UM PONTO 
 
 Projeção de um ponto sobre um plano é o “pé” da perpendicular ao plano conduzido pelo ponto. 
O plano é dito plano de projeção e a reta é a reta projetante do ponto. Porém no espaço um ponto 
não está bem determinado apenas com uma projeção. Então mostramos como se determina um 
ponto A através do método das projeções de Monge. 
 
QUEM FOI GASPARD MONGE 
 
Gaspard Monge (1746 a 1818) foi um sábio desenhista francês, figura 
política do final do século XVIII e início do século XIX, um dos fundadores 
da Escola Politécnica Francesa, criador da Geometria Descritiva e grande 
teórico da Geometria Analítica, ele pode ser considerado o pai da 
Geometria Diferencial de curvas e superfícies do espaço. 
Monge foi professor da Escola Militar de Meziéres e da Escola Politécnica 
de Paris, onde teve como discípulos e seguidores de sua obra Jean Pierre 
Hachette, Barnabé Busson, Jean Victor Poncelet, Charles Dupin, Michel 
Chasles, Theodore Oliver, C.F. Leroy, Jules de La Gourmiere e Victor 
Amadeé Macleim, tendo este último exercido o magistério no último quartel do século XIX. Gaspar 
Monge aprimorou uma técnica de representação gráfica já iniciada pelos egípcios que 
representavam apenas: a planta, a elevação e o perfil. Esse interesse em estudar essa técnica 
resultou de impulsos patrióticos que visavam tirar a França da dependência da indústria 
estrangeira 
 
 
 
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MÉTODO DE MONGE 
 
Planos de projeção são dois planos perpendiculares entre si; um deles chama-se plano horizontal 
e o outro plano vertical. Os dois planos são ilimitados em todos os sentidos. Chama-se Linha de 
Terra - LT (ou xy) a interseção dos dois planos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os ângulos diedros são ângulos formados por duas faces planas. Portanto os dois planos de 
projeção formam quatro ângulos diedros retos I, II, III e IV. 
 
O 1° diedro é formado pelos semi-planos: Superior Vertical (S.V.) e Anterior Horizontal (A.H.), 
denotado pelo número romano I. 
 
O 2° diedro é formado pelos semi-planos: Superior Vertical (S.V.) e Posterior Horizontal (P.H.), 
denotado pelo número romano II. 
 
O 3° diedro é formado pelos semi-planos: Inferior Vertical (I.V.) e Posterior Horizontal (P.H.), 
denotado pelo número romano III. 
 
O 4° diedro é formado pelos semi-planos: Inferior Vertical (I.V.) e Anterior Horizontal (A.H.), 
denotado pelo número romano IV. 
 
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ÉPURA 
Épura é a representação de uma figura do espaço pelas suas projeções no plano. 
O interessante da épura é observar a figura no plano e imaginar como essa figura se apresenta no 
espaço. 
 
OBTENÇÃO DA ÉPURA 
Para obter a épura, gira-se o Plano Vertical de Projeção (PV) em torno da Linha de Terra 
no sentido horário, de tal forma que este coincida com o Plano Horizontal de Projeção (PH). Esta 
nova representação recebe o nome de épura. 
 
ESTUDO DO PONTO 
 
INTRODUÇÃO 
Na aula sobre o Método de Monge vimos como representar um ponto em épura, ou seja, 
nas vistas ortográficas. Nesta aula, aprofundaremos um pouco mais o estudo do Ponto, 
abordando também a representação do Ponto situado nos diedros II, III e IV. 
 
REPRESENTAÇÃO DE UM PONTO 
Para determinar a posição de um ponto P é necessário projetá-lo sobre os dois planos de 
projeção. A projeção horizontal designa-se por (P') ou (P1) e a projeção vertical por (P") ou (P2). 
 
 
PROJEÇÃO DE UM PONTO NO I DIEDRO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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COORDENADAS 
 Um ponto no espaço é determinado por três coordenadas: altitude (eixo Z), longitude 
(eixo X) e latitude (eixo Y). Seja o ponto P situado no primeiro diedro e projetado no PH e no PV. 
 
 
 
PLANO DE PERFIL 
Plano de perfil é um plano perpendicular aos planos de projeções passando por O. Um 
ponto tem abscissa positiva se está a frente do plano de perfil e negativa se estiver atrás. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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LINHA DE CHAMADA 
É o segmento que une as duas projeções de um ponto e é sempre perpendicular à LT. 
Abscissa a posição da linha de chamada em relação à LT. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ABSCISSA 
Abscissa de um ponto P é a distância da Linha de chamada do ponto P até o Plano de 
Perfil. Assim, abscissa é a coordenada do eixo X. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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AFASTAMENTO 
Afastamento de um ponto P é a distância deste ponto ao plano vertical de projeção. 
Assim, afastamento é a coordenada do eixo Y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COTA 
Cota de um ponto (P) é a, distância deste ponto ao plano horizontal de projeção. Assim 
cota é a coordenada do eixo Z. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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DETERMINAÇÃOD E UM PONTO 
Um ponto P está determinado quando se conhece abscissa, afastamento e cota. 
Exemplo: P (1,4,2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PLANOS BISSETORES 
Denomina-se plano bissetor dum ângulo diedro, o plano que divide este diedro em dois 
iguais, nesse caso, o plano bissetor forma um ângulo de 45° com os planos vertical e horizontal. 
Existem dois planos bissetores, o primeiro divide os diedros I e III, chamado de bissetor impar e 
denotado por B.I. O segundo divide os diedros II e IV, chamado de bissetor par e denotado por 
B.P. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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OBS.: Um ponto pertence ao plano bissetor se a cota e o afastamento tiverem o mesmo 
valor. Exemplo: Os pontos A (3,4,4) e B (2,5,5) pertencem ao plano bissetor ímpar, mas o ponto C 
(2,2,4) não pertence. 
 
POSIÇÃO DE UM PONTO NA ÉPURA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Este material e o resultado da Compilação do Resumo. Maria Bernardete Barison 
referente a MÉTODO DE MONGE e ESTUDO DO PONTO em Geometria Descritiva. Geométrica 
vol.2 n.4a. 2007 
 
BIBLIOGRAFIA 
ASENSI, Isquierdo (1990). Geometria Descriptiva. Madrid. 
CHAPUT, Frére Ignace. Elementos de Geometria Descritiva. F. Briguiet e Cia, Rio de Janeiro 
(1963). 
MACHADO, Ardevan (1986). Geometria Descritiva. São Paulo : Projeto Editores Associados, 26° 
ed. 306 p. 
PRÍNCIPE Jr. Geometria Descritiva. V. 1 e 2.