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Cálculo avançado: 
números complexos, 
equações diferenciais 
e métodos numéricos 
Cálculo avançado: 
números complexos, 
equações diferenciais e 
métodos numéricos
Diego Fogaça Carvalho
Debora Cristiane Barbosa Kirnev
Keila Tatiana Boni
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
 Carvalho, Diego Fogaça 
 
 ISBN 978-85-8482-525-7
 1. Cálculo avançado. 2. Cálculo integral. 3. Cálculo 
 diferencial. I. Kirnev, Debora Cristiane Barbosa. II. Boni, Keila
 Tatiana. III. Título.
 CDD 515 
diferenciais e métodos numéricos / Diego Fogaça Carvalho, 
Debora Cristiane Barbosa Kirnev, Keila Tatiana Boni. – 
Londrina: Editora e Distribuidora Educacional S.A., 2017.
 192 p.
C331c Cálculo avançado: números complexos, equações 
© 2017 por Editora e Distribuidora Educacional S.A.
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2017
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Sumário
Unidade 1 | Tópicos de cálculo numérico 
Seção 1 - Zero de funções e zero de polinômios
1.1 | Recordando funções
1.2 | Zero de funções
 1.2.1 | Método da bissecção
 1.2.2 | Método de Newton-Raphson
1.3 | Zero de polinômios
Seção 2 - Sistemas de equações lineares e inversão de matrizes
2.1 | Recordando sistemas de equações lineares
2.2 | Método da eliminação de Gauss
2.3 | Método iterativo de Gauss-Jacobi
 2.3.1 | Critério de convergência
2.4 | Método iterativo de Gauss-Seidel
2.5 | Inversa de matrizes
7
11
11
12
16
20
23
29
29
31
34
37
38
40
Unidade 2 | Interpolação e ajustes de curvas 
Seção 1 - Tipos de interpolação
1.1 | Polinômios e funções polinomiais
1.2 | Interpolação linear
1.3 | Erro de truncamento
1.4 | Interpolação quadrática
1.5 | Interpolação polinomial
1.6 | Interpolação polinomial de Lagrange
1.7 | Forma de interpolação polinomial de Newton
Seção 2 - Ajustes de curvas pelo método dos mínimos quadrados
2.1 | Dedução do método dos mínimos quadrados
2.2 | Forma geral do método dos mínimos quadrados
51 
55
55
58
61
62
66
70
74
79
79
82
Unidade 3 | Integração numérica e soluções numéricas de equações 
diferenciais ordinárias 
Seção 1 - Fórmulas de Newton-Cotes e quadratura gaussiana
1.1 | Integração numérica
 1.2.1 | Regra dos trapézios
 1.2.2 | Regra 1/3 de Simpson
1.3 | Quadratura gaussiana
93
97
97
99
105
110
Seção 2 - Problemas de valor inicial e equações de ordem
superior em problemas de valor de contorno
2.1 | Equações diferenciais
2.2 | Problemas de valor inicial (PVI)
2.3 | Métodos de passo simples
 2.3.1 | Método de Euler
 2.3.2 | Métodos de série de Taylor
 2.3.3 | Métodos de Runge-Kutta
2.4 | Métodos de passo múltiplo
2.5 | Equações de ordem superior
2.6 | Problemas de valor de contorno – o método das diferenças finitas
115
115
118
119
119
120
123
130
132
136
Unidade 4 | Tópicos de cálculo avançado 
Seção 1 - Números complexos, funções elementares,
integrais e série de potências
1.1 | Números complexos
1.2 | Funções elementares
1.3 | A integral
 1.3.1 | A Integral imprópria
1.4 | Série de potências
Seção 2 - Funções analíticas, série de Fourier, introdução
à transformada de Fourier e à transformada de Laplace
2.1 | Funções analíticas
2.2 | Séries de Fourier
2.3 | Transformada de Laplace
2.4 | Introdução à transformada de Fourier
145
149
149
156
158
161
163
169
169
172
175
178
Apresentação
O objetivo deste livro é auxiliar no processo de aprendizagem dos estudantes 
da disciplina Cálculo avançado: números complexos e equações diferenciais, 
métodos numéricos. Os conteúdos abordados têm por objetivo introduzir o 
estudo de métodos iterativos que possibilitam a obtenção de soluções numéricas, 
que consistem em aproximações controladas por um erro pré-fixado, bem como 
o estudo de números complexos, funções analíticas e as transformadas, que foram 
o escopo de tópicos de cálculo avançado.
O material foi dividido em quatro unidades. Na primeira o foco incide sobre o 
estudo de métodos numéricos para a obtenção de zero de funções e polinômios, 
bem como soluções de sistemas lineares e inversão de matrizes. 
A Unidade 2 aborda métodos numéricos para o ajuste de curvas e interpolação. 
Nesse caso, considerando uma série de pontos, tem-se que encontrar uma função 
que mais se apoxime dos pontos, com o intuito de descrever o comportamento 
dos pontos dados. 
O foco da Unidade 3 incide sobre o processo de integração numérica, bem 
como a obtenção de soluções numéricas para equações diferenciais ordinárias. 
Enfim, na Unidade 4, serão estudados os tópicos de cálculo avançado, 
retomando o conceito de números complexos, definindo funções analíticas, 
séries de potência, séries de Fourier, para então tecer considerações a respeito da 
transformada de Fourier e a transformada de Laplace.
Com o intuito de complementar os conhecimentos necessários para a 
disciplina, vários materiais complementares e de simples compreensão foram 
disponibilizados na seção Saiba mais em forma de vídeo e de texto. 
Bons estudos!
Professor Diego Fogaça Carvalho
Tópicos de cálculo numérico
Objetivos de aprendizagem 
Esta unidade tem por objetivo de aprendizagem apresentar tópicos a 
respeito do cálculo numérico, especificadamente o estudo do zero de 
funções e polinômios, soluções de sistemas de equações lineares e a 
inversão de matrizes.
Diego Fogaça Carvalho
Unidade 1
Nesta seção serão apresentados dois métodos iterativos que têm por 
objetivo obter aproximações do zero de funções – o primeiro é o método 
da bissecção e o segundo, o método de Newton-Raphson. Finaliza-se 
com uma adaptação do último método mencionado para a obtenção de 
zero de polinômios.
Esta seção é iniciada com o estudo do método direto para a obtenção 
de soluções de sistemas lineares denominado de eliminação de Gauss. 
Após, o enfoque será no estudo de dois métodos iterativos nos quais se 
obtém soluções aproximadas controladas por um erro a priori: método 
de Gauss-Jordan e Gauss-Seidel. Finaliza-se a seção com a inversão de 
matrizes por meio de operações elementares, semelhante à eliminação 
de Gauss.
Seção 1 | Zero de funções e zero de polinômios
Seção 2 | Sistema de equações lineares e Inversão de 
matrizes 
Tópicos de cálculo numérico
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Tópicos de cálculo numérico
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Introdução à unidade
Esta unidade é dedicada ao estudo de tópicos de cálculo numérico. Em 
matemática, você deve estar acostumado a estudar técnicas e métodos de resolução 
em que sempre chegamos a soluções exatas, ou seja, encontramos o valor que 
satisfaz a demanda dos problemas ou exercícios que estamos resolvendo. Todavia, 
ao modelar matematicamente situações do mundo real, geralmente não obtemos 
expressões “redondinhas” como as apresentadas nos livros de matemática. Dessa 
forma,os métodos analíticos não são pertinentes para ser empregados, muitas 
vezes não apresentam solução para a situação em questão, ou, se apresentam, o 
custo computacional, relacionado ao uso da memória do computador, é muito alto. 
Diante desse contexto o cálculo numérico surge como uma alternativa. 
Todavia, na maioria dos casos, obtemos aproximações dos valores verdadeiros, 
levando-nos a controlar a variação entre o valor encontrado e o valor real por meio 
de erros fixados pelo pesquisador de antemão. Nesse sentido, noções de cálculo 
numérico se colocam pertinentes à formação universitária por apresentarem uma 
matemática flexível, controlada por aproximações.
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Tópicos de cálculo numérico
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Seção 1
Zero de funções e zero de polinômios
Introdução à seção
1.1 Recordando funções
É comum nos depararmos com situações do dia a dia em que grandezas de 
diversas naturezas se relacionam. Uma relação em específico e que apresenta 
grande relevância para as ciências e matemática é a relação de função. Nesse 
caso, uma dessas grandezas se apresenta dependente das demais, ou seja, o 
seu comportamento é colocado em função do comportamento das grandezas 
independentes. Por outro lado, esse comportamento pode ser descrito por meio 
de um polinômio, fato que caracteriza a função por polinomial.
Nesta seção estamos interessados em compreender técnicas numéricas que 
possibilitam a obtenção do zero em funções e em polinômios. Todavia, algumas 
definições relacionadas aos objetos matemáticos destacados serão retomadas 
com o intuito de contextualizar o conteúdo abordado.
De acordo com Gerônimo e Franco (2008, p. 176), função é definida da seguinte 
maneira:
Podemos observar que a relação f apresentada nessa definição é a lei 
de formação da função, que pode ser expressa por meio de uma expressão 
Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Uma função de A em B, 
denotada por f: A→B (ou simplesmente f quando os conjuntos 
A e B estão explicitamente definidos), é uma terna (f, A, B,) 
onde f é uma relação de A em B satisfazendo as seguintes 
condições: 
a) Dom (f)=A, ou seja, para qualquer x em A, existe y em B tal 
que (x,y) está em f.
b) Se xfy/y=f(x) e xfz/z=f(x), então y=z.
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algébrica. Você já deve conhecer muitas dessas expressões, e as mais comuns 
são: f x ax b( ) = + (função afim), f x ax bx c( ) = + +2 (função quadrática), f x ex( ) = 
(função exponencial), f x x( ) ln= (função logaritmo neperiano).
O conjunto A é designado por domínio da função f:A→B e é denotado por 
Dom (f). O conjunto B, por sua vez, é denominador de contradomínio de f:A→B 
denotado por Cdom(f).
Outras informações importantes:
• São denominadas unívocas as relações que apresentam a propriedade b. Essa 
relação é a garantia de que cada elemento do conjunto A está relacionado a um 
único elemento de B.
• Vamos considerar x ∈ A e y=f(x), denomina-se imagem de x em f. Já o elemento 
x é designado por pré-imagem de y em f. Além disso, o conjunto imagem pode ser 
definido da seguinte maneira: Im( ) { ( ) | }f f x x A= ∈ .
• Os elementos que pertencem ao conjunto A são denominados por variáveis 
independentes e os elementos do conjunto imagem são denominados variáveis 
dependentes. Podemos afirmar também que o conjunto imagem está contido no 
contradomínio. Em linguagem de conjunto, temos: Im( ) ( )f Cdom f⊃ .
Você já estudou outros tipos de funções matemáticas? 
Procure associar essas funções com o cotidiano da profissão 
de engenheiro. 
1.2 Zero de funções
Há diversas situações nas ciências e na matemática em que a obtenção dos 
zeros de funções se colocam pertinentes, f(x)=0. Por exemplo, ao descrever a 
trajetória de um projétil em queda livre, o momento em que o projetil chega ao 
solo pode ser descrito como sendo s(t)=0.
Você já deve ter resolvido muitas situações como essa durante seu processo 
de escolarização. A fórmula resolutiva de equações do segundo grau, conhecida 
popularmente por fórmula de Bhaskara, ou as tentativas de tentar isolar o x por 
meio de operações inversas, ou a analogia com a balança em equilíbrio, utilizada 
em equações do primeiro grau, são métodos analíticos nos quais as soluções 
Tópicos de cálculo numérico
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apresentadas sempre são exatas e únicas. Todavia, há circunstâncias em que obter 
o zero de funções/equações que descrevem os fenômenos modelados não é 
tão simples, e por meio de métodos analíticos se torna impossível ou inviável, do 
ponto de vista computacional. Diante dessa necessidade é que o cálculo numérico 
emerge como uma alternativa para a solução dessas situações.
Quando se trabalha com resoluções numéricas, é preciso ter ciência de que não 
obtemos a solução exata como nos métodos analíticos, mas, sim, aproximações, 
que sempre estão associadas a erros, representados pela letra grega µ (épsilon), 
mas que possuem a função de estabelecer uma variação mínima aceitável para a 
solução encontrada. Nesse sentido, faz-se necessário definir dois tipos de erros 
que serão retomados em toda a unidade. 
De acordo com Ruggiero e Lopes (1996), o erro absoluto é definido como 
sendo a diferença entre o valor exato de um número x e de seu valor aproximado 
x :
EA = x x x- (1)
É necessário ressaltar que geralmente não se conhece o valor x , o valor exato, 
fato que inviabiliza a utilização da expressão (1). No entanto, utiliza-se um limitante 
superior ou uma estimativa para o módulo do erro absoluto. 
Consideremos agora duas ou mais soluções que são aceitáveis de acordo 
com um erro pré-fixado. Como saber qual desses valores são os mais precisos? 
É necessário comparar a ordem de grandeza entre os valores aceitáveis que se 
têm em mãos. Nesse sentido, quanto maior esse valor, mais perto do valor exato 
a aproximação está. Diante das limitações apresentadas pelo erro absoluto e da 
necessidade de acurar cada vez mais as soluções, define-se o erro relativo. 
Para Ruggiero e Lopes (1996), o erro relativo (2) é definido como o erro absoluto 
dividido pelo valor aproximado:
ER
EA
x
x
x
x x
x
= =
−
 (2)
Podemos também apresentar essa informação por meio de uma porcentagem, 
o erro relativo percentual (3).
EP ER
EA
x x
x
x
x x
x
= ⋅ = ⋅ =
−
⋅100 100 100 (3) 
Exemplo 1: o fluido dos freios de um veículo é uma substância higroscópica, ou 
seja, absorve água. Com o passar do tempo, a umidade do ar é absorvida e o fluido 
passa a apresentar um desempenho menos eficiente e, em alguns casos, pode 
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levar a acidentes, colocando a vida dos passageiros em risco. Recomenda-se que 
a troca desses fluídos ocorra de 12 em 12 meses, ou a partir de 30 mil quilômetros 
rodados. Considerando um erro aceitável igual a | | ,EAx ≤ ⋅1 5 10
2 , determine a 
quilometragem máxima e mínima para que se possa realizar seguramente a troca 
do fluido.
Primeiramente temos de observar que há uma inequação modular e que 
a solução dessa inequação vai determinar uma margem de variação. Vamos 
estabelecer essa margem, evidenciando a quilometragem máxima e mínima, que 
se refere aos extremos da margem de variação. 
Consideremos a definição de módulo: | |
,
,
x
x x
x x
 se 
 se 
≥
− <



0
0
, dessa definição, 
obtemos: 
− ⋅ ≤ ≤ ⋅1 5 10 1 5 102 2, ,EAx
Como EA = x x x- e x = 30000 , iremos substituir na inequação e resolver as 
potências (1,5 ⋅ 10 ⋅ 10 = 150 e 1,5 ⋅ 10 ⋅ 10 = -150)
− ≤ − ≤150 30000 150x
Lembre-se de que x é o valor aproximado e é a incógnita que temos de isolar. 
Note que para anular 30000 é necessário somar -30000 em todas as partes da 
desigualdade, resultando em:
− − ≤ − + − ≤ − +30000 150 30000 30000 30000 150x
− ≤ − ≤ −30150 29850x
Multiplicando por (-1) todas as partes da desigualdade com o intuito de tornar 
x positivo condizente com o contexto:
− ⋅ − ≤ − ⋅ − ≤ − ⋅ −30150 1 1 29850 1( ) ( ) ( )x
2985030150≤ ≤x
Note que foi necessário reorganizar os valores após a multiplicação por -1 , para 
manter a ordem numérica na desigualdade. Com essa solução, podemos concluir 
que a quilometragem mínima é 29.850km e a máxima 30.150km rodados.
Todavia, como calcularemos o zero das funções? Como os tipos de erros 
apresentados se articulam nessa tarefa?
Dada uma função e uma aproximação inicial para seu zero, iremos, por meio 
de um processo iterativo, ou seja, uma série de repetições de procedimentos 
apresentados pelo algoritmo do método, refinar a aproximação inicial até que o 
erro, prefixado inicialmente, utilizado como erro de truncamento, seja satisfeito. 
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Para Ruggiero e Lopes (1996, p. 29), esses métodos apresentam duas fases:
Na fase I é necessário realizar uma análise teórica e profunda do gráfico da 
função em estudo, lembrando que o sucesso da fase sequente dependerá desses 
resultados. Durante essa análise, é necessário que você utilize os resultados 
advindos do teorema apresentado a seguir:
Teorema 1: seja f(x) uma função contínua em um intervalo [a,b]. Se f(a) f(b)<0 
então existe pelo menos um ponto x = ξ entre a e b, que é o zero de f(x), ou seja, 
f(ξ)=0.
Podemos observar as implicações desse teorema quando analisamos o gráfico 
apresentado na Figura 1.1. Nesse gráfico a função apresentada é f x x( ) ln= . 
Observe que a raiz da função é x =1 e o intervalo que estamos considerando é 
I = [ , ; ]0 5 2 .
Fase I: localização ou isolamento das raízes, que consiste em 
obter um intervalo que contém a raiz.
Fase II: refinamento, que consiste em, escolhidas aproximações 
iniciais no intervalo encontrado na fase I, melhorá-las 
sucessivamente até se obter uma aproximação para raiz 
dentro de uma precisão ε prefixada.
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 1.1 | Ilustração teorema 1
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Observe os extremos dos intervalos e a variação do sinal da função. Podemos 
compreender que quando há variação de sinal entre os extremos do intervalo 
considerado, pelo menos em algum x que pertence ao intervalo, temos que f(x)=0, 
ou seja, uma raiz da função.
Cabe salientar que o estudo detalhado do comportamento de f(x) ou da equação 
f(x)=0 é de fundamental importância para o estabelecimento de aproximações 
cada vez mais acuradas das raízes.
Após determinar os intervalos em que as raízes das funções poderão ser 
localizadas, deve-se procurar o método numérico adequado para a situação em 
estudo. Nesta unidade trabalharemos com o método da bissecção e o de Newton-
Raphson. No entanto, antes desse estudo, cabe esclarecer alguns termos que 
serão recorrentes em vários momentos nesta unidade. Os métodos aplicados são 
de natureza numérica e pertencem à classe dos métodos iterativos.
Para Ruggiero e Lopes (1996, p. 37), os métodos iterativos “consistem em uma 
sequência de instruções que são executadas passo a passo, algumas das quais são 
repetidas em ciclos”. A realização de um ciclo recebe o nome de iteração. Em cada 
uma das iterações utiliza-se o resultado advindo da outra, e os resultados que vão 
sendo obtidos são submetidos a testes que visam qualificar os resultados. 
Porém, quando vamos ter certeza que x é uma aproximação adequada? 
Em relação aos critérios de parada dos processos iterativos, as mesmas autoras 
apresentam dois critérios:
I) | |x − <ξ ε ou II) | ( ) |f x < ε
Geralmente não conhecemos o valor de ξ , então teremos o objetivo de reduzir 
o intervalo ao qual a raiz pertence até que a seguinte condição seja satisfeita: 
ξ ∈[ , ]a b e b a− < ε .
Observe que ∀ ∈ − <x a b x[ , ],| |ξ ε . Portanto, ∀ ∈x a b[ , ] pode ser tomado como 
x . Ou seja, se realizarmos a diferença entre os extremos dos intervalos refinados, 
e se essa diferença for menor que o erro, podemos escolher qualquer x desse 
intervalo que poderá ser utilizado como uma aproximação pertinente da raiz.
1.2.1 Método da bissecção
Esse método tem por objetivo reduzir a amplitude do intervalo ao qual a raiz 
da função pertence até que a seguinte condição seja satisfeita: ( )b a− < ε . O 
método promove sucessivas divisões do intervalo [a,b] na sua metade e, por meio 
do estudo das imagens da função nos extremos e do valor localizado em seu 
meio, o intervalo é redefinido até que condições apresentadas anteriormente 
sejam satisfeitas.
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Exemplo 2: dada a função f x x x( ) = − −3 3 1 , calcule um dos zeros da função 
que pertence ao intervalo I=[1,2] com ε = −10 3 =0,001.
Primeiramente, iremos esboçar o gráfico da função com o intuito de 
compreender o comportamento por ela apresentado.
Observando o gráfico apresentado na Figura 1.2, podemos verificar que nos 
seguintes intervalos localizamos as raízes de f x( ) : I1 2 1= − −[ ; ] , I2 1 0= −[ , ] , 
I3 1 2= [ , ] . Iremos considerar somente o intervalo I3 para detalhar a resolução. 
É prudente verificar se no início dos procedimentos a margem aceitável de erro 
já não é satisfeita, pois, se assim for, basta escolher um valor compreendido no 
intervalo que a aproximação já é aceitável para a raiz da função:
( ) ( )b a0 0 2 1 1− = − = .
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 1.2 | Gráfico de f x x x( ) = − −3 3 1
Como um é maior que o erro, iremos dar continuidade ao processo obtendo 
o valor situado no meio do intervalo. Para obter esse valor, iremos utilizar a média 
aritmética entre os extremos dos intervalos, assim os somaremos e dividiremos 
por 2.
a0 1= e b0 2= .
x a b0 0 0
2
1 2
2
3
2
1 5=
+
=
+
= = ,
O valor x0 1 5= , é o que está localizado no meio do intervalo. Vamos agora 
pensar no sinal que a imagem dos extremos e de x0 , calculando f a( )0 , f b( )0 
e f x( )0 , pois é diante desses valores que iremos reformular os extremos dos 
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intervalos, deixando-o menor: 
f f(a ) ( )0
31 1 3 1 1 3= = − ⋅ − = − , f f(b ) ( )0
32 2 3 2 1 1= = − ⋅ − = e 
f x f( ) ( , ) , , ,0
31 5 1 5 3 1 5 1 2 125= = − ⋅ − = −
Com essas informações, podemos realizar a seguinte análise: 
f a( )0 0< , f b( )0 0> e f x( )0 0< . Logo, pode-se evidenciar que a função em x0 
e a0 apresentam o mesmo sinal, o que implica que a raiz da função está localizada 
entre x0 e b0 , pois são entre esses extremos que, de acordo com o Teorema 1, 
há pelo menos uma raiz da função. Você pode recorrer ao gráfico da função e 
observar que a raiz está localizada no novo intervalo, [1,5; 2]. Podemos, então, 
reestruturar os valores da seguinte forma: x a0 1= e b b0 1= .
Vamos agora atentar ao erro, pois se ( )b a1 1− < ε , qualquer x que pertence ao 
intervalo pode ser considerado uma aproximação aceitável. Observe o erro que foi 
fixado no início, determinando uma margem aceitável de aproximações em torno do 
valor verdadeiro (desconhecido) da raiz. Nesse caso, como ( , ) ,2 1 5 0 5− = > ε , iremos 
realizar uma nova iteração, visando reduzir pela metade, novamente, o intervalo 
redefinido ao qual a raiz da função pertence.
E se o sinal de f x( )0 fosse maior que zero, os valores de a1 
e b1 seriam os mesmos? Qual intervalo teríamos? Procure 
pensar análogo ao que foi apresentado anteriormente.
Cabe observar que os próximos procedimentos iterativos serão organizados 
no quadro apresentado na continuidade e as justificativas dos procedimentos 
se assemelham com o apresentado anteriormente, salvo em situações como a 
iteração três, em que na análise do sinal das imagens da função verifica-se que 
f a( )3 <0, f b( )3 >0 e f x( )3 >0. Conservando o raciocínio anterior, vemos que a raiz 
está compreendia entre [1,875; 1,9375]. Opta-se também por considerar seis casas 
decimais após a vírgula para apresentar os resultados, salvo em situações em que 
a sexta casa é zero e a sequente também é apresentada.
Observe no Quadro 1.1 que ao iniciar a décima iteração a condição do 
erro foi satisfeita, pois 0,000977<0,001, o que indica que qualquer valor que 
esteja compreendido entre 1,877929 e 1,878906 pode ser assumido comouma aproximação da raiz da função de acordo com o erro fixado no início do 
procedimento.
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Dado o erro e o intervalo que contém a raiz, pode-se estimar a quantidade 
de iterações que serão necessárias. Para isso, utilizaremos a seguinte expressão, 
sendo k o número de iterações:
Quadro 1.1 | Procedimento iterativo pelo método da bissecção 
Iteração (k) a b (b-a) x a b= +
2 
f(x)
k=0 1 2 1 1,5 -2,125
k=1 1,5 2 0,5 1,75 -0,890625
k=2 1,75 2 0,25 1,875 -0,033203
k=3 1,875 2 0,125 1,9375 0,460693
k=4 1,875 1,9375 0,0625 1,90625 0,2081604
k=5 1,875 1,90625 0,03125 1,890625 0,086093
k=6 1,875 1,890625 0,015625 1,882812 0,0261006
k=7 1,875 1,882812 0,007812 1,878906 0,003639
k=8 1,875 1,878906 0,003906 1,876953 -0,018442
k=9 1,876953 1,878906 0,001953 1,877929 -0,011046
k=10 1,877929 1,878906 0,000977 __________ __________
Fonte: elaborado pelo autor.
Para saber mais sobre os procedimentos do método da bissecção, 
consulte os seguintes links: 
<https://www.youtube.com/watch?v=WPaJb3_Wh_o>;
<https://www.youtube.com/watch?v=8KEd4NaLGQ4>;
<https://www.youtube.com/watch?v=TczufNvoVzk>; 
<https://www.youtube.com/watch?v=XmfMPyhilaA> e 
<http://www2.sorocaba.unesp.br/professor/amartins/aulas/numerico/
bissec.pdf>. Acesso em: 6 set. 2016. 
Tópicos de cálculo numérico
U1
20
k a> − −log(b ) log( )
log( )
0 0
2
ε
 
Focando o exemplo resolvido anteriormente, temos que a0 1= , b0 2= e 
ε = 0 001, , substituindo os valores na expressão:
log( ) log( , )
log( ) ,
,
2 1 0 001
2
0 3
0 301229
9 965 10
− −
=
+
= + ⇒ =k
1.2.2 Método de Newton-Raphson
Seja f(x) uma função contínua em um intervalo [a,b] que contém somente uma 
raiz e considere que f’(x) e f’’(x) não se anulam e conservam o sinal. Para utilizar 
esse método é necessário ter em mãos uma estimativa inicial k0 (um chute) que 
pertence ao intervalo que inicialmente está sendo considerado. O método gera 
uma sequência de estimativas em que cada ponto é a interseção da reta tangente 
y=f(x) com o eixo das abscissas (eixo de x).
O critério de parada nesse caso é semelhante ao que foi utilizado no método 
da bissecção, mas serão dois erros que utilizaremos; um para as aproximações, 
| |x x1 0 2− < ε , e outro para a imagem da função, |f( x0 )|ε1 . Todavia, para facilitar 
os cálculos, a seguinte igualdade será utilizada . A fórmula para o refinamento 
das estimativas (4) é apresentada na sequência.
x x f x
f xk k
k
k
+ = −1
( )
(́ )
 (4)
Resolveremos o exemplo anterior por esse método com o intuito de realizar 
uma comparação da eficiência de convergência.
Exemplo 3: dada a função f x x x( ) = − −3 3 1 , calcule um dos zeros da função que 
pertence ao intervalo I=[1,1; 2] com ε
1
 = ε
2
 = 10-3 e um valor aproximado x0 1 2= , .
O primeiro passo que realizaremos é observar as condições sobre f’(x) e f’’(x), 
pois para que o método possa ser empregado, a derivada da primeira e da segunda 
função deve ser diferente de zero no intervalo e preservar o sinal. Derivando a 
função e a derivada da função, temos:
f x x'( ) = −3 32 e f x x''( ) = 6
Agora analisaremos o sinal da função no intervalo apresentado. Substituindo os 
valores dos extremos, temos que:
f f'( , ) , ''( ) ,1 1 0 63 1 6 6= = e e f f'( ) ''( )2 9 2 12= = e 
ε
1
=ε
2
Tópicos de cálculo numérico
U1
21
Observe que os valores obtidos são todos positivos, ou seja, o sinal foi 
conservado, satisfazendo as condições de utilização do método. É prudente 
verificar, inicialmente, se |f( x0 )|ε1 . Nesse sentido, temos: 2,96>10−3 , o que implica 
a continuidade do emprego do método.
O próximo passo é calcular o valor de x1 , e para isso temos de ter em mãos 
os seguintes valores: x0 1 2= , , f x( ) ,0 2 872= − e f x'( ) ,0 1 32= . Substituindo esses 
valores na expressão (4), teremos:
x1 1 2
2 872
1 32
1 2 2 175757 3 375757= −
−
= − − = −,
,
,
, ( , ) ,
Verificaremos, agora, os erros: | (x ) |f 1 1< ε , o que no caso não satisfaz, pois 
27 34198 10 3, > − . Iremos, então, realizar o segundo teste | |x x1 0 2− < ε , substituindo 
os valores, | , , | ,3 375758 1 2 2 175758 2− = > ε , não satisfazendo o critério. Temos 
que agora assumir x1 como uma nova aproximação e realizar mais processos de 
iteração. 
Organizaremos os cálculos a serem realizados no Quadro 1.2 com o intuito de 
sintetizar o procedimento de resolução.
Qual seria a representação gráfica para o método Newton-
Raphson? Como a função e as aproximações geradas pela 
expressão (4) se comportariam em um mesmo plano?
Quadro 1.2 | Procedimento iterativo pelo método Newton-Raphson
Iteração (k) xk f xk( ) f xk'( ) | ( ) |f xk+ <1 1ε | |x xk k+ −1 ε2 
0 1,2 -2,872 1,32 | ( ) |f x0 1> ε ___________
1 3,375758 27,34198 31,18722 | ( ) |f x1 1> ε 2,175758>ε2
2 2,499053 7,11009 15,7358 | ( ) |f x2 1> ε 0,876705>ε2
3 1,896961 0,135256 7,795382 | ( ) |f x3 1> ε 0,602092>ε2
4 1,87961 0,001708 7,598802 | ( ) |f x4 1> ε 0,017351>ε2
5 1,879385 0,00000018 11,27766 | ( ) |f x5 1< ε ___________
Fonte: elaborado pelo autor.
Tópicos de cálculo numérico
U1
22
Como na iteração 5 | ( ) |f x5 1< ε , temos que x =1 879385,
Pensando em uma motivação geométrica para compreender a maneira como 
se dá a convergência do método de Newton-Raphson, Ruggiero e Lopes (1996) 
conceberam a seguinte estrutura:
Considerando o ponto (x , (x ))k kf , iremos traçar a reta L xk ( ) que é tangente 
à curva nesse ponto. De acordo com a Geometria Analítica, essa reta apresenta a 
seguinte equação:
L x f f x x xk k k k( ) (x ) '( )( )= + −
Fique claro que L xk ( ) aproxima a função de uma vizinhança de xk . Quando o 
zero desse modelo é encontrado, obtemos a seguinte situação:
L x x x f x
f xk k
k
k
( ) -
( )
'( )
= ⇔ =0
Considerando, então, que x xk+ =1 .
Contribuindo para a última reflexão apresentada, na Figura 1.3 representa-se a 
maneira como o método Newton-Raphson é obtido geometricamente. Observe 
que a raiz da função ξ =1 e o “chute inicial” é x0 2= . A reta tangente L0 é tangente 
no ponto ( , ( ))x f x0 0 , que no caso é representado pela letra B. Essa reta corta o eixo 
de x na segunda aproximação x1 0 61= , . Realizando o procedimento anterior, ao 
traçar L1 tangente ao ponto ( , ( )x f x1 1 ) , obtemos x2 0 91= , , a segunda aproximação. 
Ao realizar mais uma iteração, podemos notar que já temos uma aproximação 
melhor que a anterior. Diante desse contexto, é importante retomar os erros, 
tanto absoluto quanto relativo, e destacar o seu papel no processo de resolução 
numérica, pois é elaborada uma margem pertinente para as aproximações. 
Observe: se considerarmos ε = 0 1, , identificamos que a margem aceitável para 
a raiz varia entre [0,9; 1,1], isso mostra que x2 0 91= , já é uma aproximação a ser 
considerada para a raiz da função.
Comparando os dois métodos, podemos verificar que o método de Newton-
Raphson converge para a raiz em um número menor de iterações do que o método 
da bissecção. Por outro lado, é necessário que algumas condições sejam atendidas 
e nem sempre isso pode ocorrer. Um exemplo se refere ao fato do intervalo do 
Exemplo 3 ser diferente do Exemplo 2. Houve a necessidade de adaptar o intervalo 
pelo fato de em x=1, a função derivada resultar em 0, o que, de acordo com (4), 
nos levou a uma divisão por 0; uma limitação do emprego do método, sendo 
necessário realizar adaptações no extremo do intervalo. 
Observe, na Figura 1.3, uma interpretação geométrica da convergência do 
método Newton-Raphson para a raiz da função.
Tópicos de cálculo numérico
U1
23
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 1.3 | Interpretação gráfica do método Newton-Raphson
O método da bissecção também se torna inviável quando o erro é muito 
pequeno, pois quanto menor for o erro, mais iterações precisarão ser realizadas. 
Em relação à complexidade dos cálculos, o método da bissecção apresenta 
operações menos laboriosas do que o método de Newton-Raphson, que exige 
conhecimentos da derivada dafunção. Por fim, a aplicação do método de Newton-
Raphson é mais criteriosa do que o método da bissecção, que só exige que a 
função seja contínua no intervalo a ser considerado.
Para saber mais sobre o método Newton-Raphson e outros métodos 
numéricos, acesse:
<https://www.youtube.com/watch?v=Yx90nD1qonU>; 
<https://www.youtube.com/watch?v=grUYOfgRZGs>;
<https://www.youtube.com/watch?v=VWx-KkoZdmU>;
<http://www2.sorocaba.unesp.br/professor/amartins/aulas/numerico/
nr.pdf> e
<http://www2.sorocaba.unesp.br/professor/amartins/aulas/numerico/
mil.pdf>. Acesso em: 6 set. 2016.
1.3 Zero de polinômios
Como os polinômios aparecem constantemente na matemática, faz-se 
necessário tecer considerações específicas a respeito de algoritmos numéricos 
Tópicos de cálculo numérico
U1
24
para obtenção de seus zeros/raízes. Todavia, os métodos já apresentados se 
configuram pertinentes para essa tarefa. Os algoritmos que serão apresentados são 
eficientes para determinação de raízes isoladas de polinômios, reais ou complexas.
De acordo com Franco (2006), considere um polinômio de grau n:
P x a x a x a x a a x an
n
n
n
i
i
n
i
n
( ) ... ,= + + + + = ≠+
+
=
∑1 1 1 0
0
0
Os seguintes resultados são válidos:
I. O polinômio admite, pelo menos, um zero.
II. O polinômio admite, exatamente, n zeros, caso um zero de multiplicidade k 
seja considerado k vezes.
III. Dois polinômios de grau ≤ n são considerados idênticos caso seus respectivos 
valores numéricos coincidam para mais de n valores distintos de x. 
IV. Um polinômio P x( ) pode ser expresso unicamente na forma fatorada:
P x a x x x x x xn n( ) ( )( )...= − − −( )1 2
Sendo x x xn1 2, , ... zeros do polinômio. 
v. Se os coeficientes a k nk ( , ,... )= 0 1 forem reais e se a bi+ for um zero 
complexo de P x( ) , logo a bi− também será um zero do polinômio.
Como podemos adaptar os métodos de zero de funções até 
agora estudadas para os métodos de zero de polinômios?
Exemplo 4: (adaptado de FRANCO, 2006, p. 94-95) Determine a raiz do 
polinômio a seguir com a aproximação inicial igual a 0,9:
P x x x x( ) , .= + − −3 22 0 85 1 7 com ε = −10 2 . 
Para encontrar esses zeros iremos utilizar o método de Newton, que já foi 
estudado anteriormente, e apresentaremos o algoritmo de Briot-Ruffini-Horner. 
Optamos por omitir sua fundamentação matemática, sem prejuízo de compreensão 
do método, sendo apresentado link para consulta no próximo item Saiba mais.
Para utilizar o método Newton-Raphson devemos ter em mãos os valores de 
P(0,9) e P’(0,9). Calcularemos esses valores por meio do algoritmo de Briot-Ruffini-
Tópicos de cálculo numérico
U1
25
Horner. Para isso, teremos de separar os valores dos coeficientes dos polinômios. 
Observe: a3 1= , a2 2= , a1 0 85= − , e a0 1 7= − , . 
As operações elementares obedecem à seguinte ordem: vamos transcrever 
o coeficiente de a3 (1) na terceira linha, passando a ser designado por b3 0 9 1( , ) = . 
Os próximos elementos foram calculados da seguinte forma: multiplicamos 
a estimativa inicial (0,9) por b3 0 9( , ) e somamos com a2 , o resultado pode ser 
designado por b2 0 9 2 9( , ) ,= e foi acomodado ao lado de b3 0 9( , ) , na terceira 
linha. Analogamente a esse procedimento, multiplicamos a estimativa inicial por 
b2 0 9( , ) e somamos com a1 , o resultado, b1 0 9 1 76( , ) ,= , foi acomodado ao lado de 
b2 0 9( , ) . Continuando, multiplicamos a estimativa por b1 0 9( , ) e somamos com a0 , 
resultando em b0 0 9 0 1164( , ) ,= − , que é acomodado ao lado de b1 . De acordo com 
Ruggiero e Lopes (1996), temos que: b P0 0 9 0 9 0 1164( , ) ( , ) ,= = − .
Veja todos esses procedimentos organizados no Quadro 1.3.
Quadro 1.3 | Algoritmo Briot-Ruffini-Horner aplicado em P x( ) com x0 
P(x) 1 2 -0,85 -1,7
0,9 0,9 2,61 1,584
1 2,9 1,76 -0,1164
0,9 0,9 3,42
1 3,8 5,18
Fonte: elaborado pelo autor.
É necessário também calcular o valor de P’(0,9). Para isso realizaremos 
os mesmos procedimentos do algoritmo com os coeficientes presentes na 
segunda linha do Quadro 1.3. Os novos valores obtidos são assim designados: 
c b3 30 9 0 9 1( , ) ( , )= = e, c2 0 9 3 8( , ) ,= e c1 0 9 5 18( , ) ,= . De acordo com Ruggiero e Lopes 
(1996), p c c'( ) = 1 , ou seja, c P1 0 9 0 9 5 18( , ) '( , ) ,= = . 
Com essas informações já podemos utilizar o método de Newton-Raphson, e 
então temos:
x b
c1
0
1
0 9
0 9
0 9
= −,
( , )
( , )
Substituindo os valores e realizando as operações, temos:
x x1 10 9
0 1164
5 18
0 9224= −
−
⇒ =,
,
,
,
É necessário calcular o erro entre as aproximações, e tanto o erro relativo 
quanto o absoluto podem ser utilizados. Portanto, para o erro absoluto, teremos: 
Tópicos de cálculo numérico
U1
26
| | | , , | ,x x1 0 0 9224 0 9 0 0224− = − = . Podemos perceber que o valor do erro calculado é 
maior que ε = =−10 0 012 , , fato que implica a necessidade de realizar uma nova 
iteração. 
Veja os cálculos para x1 organizados no Quadro 1.4.
Quadro 1.4 | Algoritmo Briot-Ruffini-Horner aplicado em P x( ) com x1 
P(x) 1 2 -0,85 -1,7
0,9224 0,9224 2,6956 1,7024
1 2,9224 1,8456 0,0024
0,9224 0,9224 3,5464
1 3,8448 5,392
Fonte: elaborado pelo autor.
Semelhante ao raciocínio que utilizamos no procedimento anterior 
podemos extrair os seguintes valores: b P0 0 9224 0 0024 0 9224( , ) , ( , )= = e 
c P1 0 9224 5 392 0 9224( , ) , '( , )= = .
x b
c2
0
1
0 9224
0 9224
0 9224
= −,
( , )
( , )
Substituindo os valores e realizando as operações, temos:
x x2 20 9224
0 0024
5 392
0 9220= − ⇒ =,
,
,
,
Ao calcular o erro absoluto, temos: | | | , , | ,x x2 1 0 9220 0 9224 0 0004− = − = . Como o 
erro foi menor 10 2− , temos que x = 0 9220, é uma raiz de acordo com a precisão 
fixada pela questão.
É válido destacar que, ao ter ciência do valor aproximado de uma raiz, podemos 
nos valer da seguinte relação e calcular as demais raízes: 
P x x Q x( ) ( ) ( )= −ξ , sendo ξ um zero do polinômio (5).
Q x P x
x
( )
( )
( )
=
−ξ
 e Q x b x b x b( ) = + +3
2
2 1
Utilizaremos novamente o algoritmo de Briot-Ruffini-Horner para x1 =0,9220. 
Os dados foram organizados no Quadro 1.5.
Tópicos de cálculo numérico
U1
27
Quadro 1.5 | Algoritmo Briot-Ruffini-Horner aplicado em P x( ) com x1 
P(x) 1 2 -0,85 -1,7
0,9220 0,9220 2,6941 1,7002
1 2,9220 1,8441 0,0002
Fonte: elaborado pelo autor.
Observe que Q x x x( ) , ,= + +2 2 9220 1 8441 . Como temos uma equação de segundo 
grau, podemos abdicar dos métodos numéricos e aplicar métodos analíticos, 
como a fórmula resolutiva de equações do segundo grau.
x b b ac
a
=
− ± −2 4
2
Sendo a =1 , b = 2 9220, e c =1 8441, , temos as demais aproximações para as 
raízes do polinômio: x2 0 9235= − , e x3 1 9985= − , . É importante que o erro fixado no 
início seja satisfeito. Então calcularemos 2( ) 0,00307–~P x e P x( ) ,3 0 00251= , ambos os 
casos são menores que o erro.
Para saber mais sobre métodos numéricos para zero de polinômios, 
acesse: 
<http://www.uesb.br/mat/download/publicacoes/FlaullesIII.pdf> e
<http://www2.peq.coppe.ufrj.br/Pessoal/Professores/Arge/EQE358/
Matlab_Octave/exemplos/zerosdepolinomios.pdf>. Acesso em: 6 set. 
2016.
1. Considere a função f x x x( ) = − +3 24 3 e os seguintes intervalos: 
I1 1 0 5= − −[ ; , ], I2 0 5 1 5= [ , ; , ] e I3 3 5 4= [ , ; ]. Calcule, com ε = 0 01, , os 
valores aproximados para as raízes em cada um dos intervalos 
pelo método da bissecção. 
2. Considere a função f x x x( ) = − +3 24 3 e os seguintes 
intervalos: I1 1 0 5= − −[ ; , ] , I2 0 5 1 5= [ , ; , ] e I3 3 5 4= [ , ; ]. Calcule, com 
ε = 0 01, , os valores aproximados para as raízes em cada um dos 
Tópicos de cálculo numérico
U1
28
intervalos pelo método Newton-Raphson com os seguintes 
valores iniciais: x0 0 8= − , para I1, x0 0 7= , para I2 e x0 3 6= ,
para I3. 
3. Comparando os dois métodos, qual convergiu mais 
rapidamente para a solução? Qual apresentou soluções com 
menor erro para os zeros do polinômio? 
Tópicos de cálculo numérico
U1
29
Seção 2
Sistemas de equaçõeslineares e inversão de 
matrizes
Introdução à seção
2.1 Recordando sistemas de equações lineares
Nesta seção nossos estudos incidirão sobre a resolução de sistemas lineares e 
a inversão de matrizes por meio da utilização de métodos numéricos. De acordo 
com Ruggiero e Lopes (1996), o problema de resolver um sistema linear aparece 
em diversas áreas. Franco (2006, p. 114) apresenta os seguintes exemplos: 
Para essa mesma autora, os métodos iterativos se colocam pertinentes em 
relação aos métodos exatos, pois, do ponto de vista computacional, são mais 
econômicos, uma vez que utilizam menos memória do computador. Todavia, antes 
de conhecermos métodos iterativos, vamos relembrar a definição e classificação 
de sistemas de equações lineares.
Franco (2006) afirma que uma equação é linear se cada um dos termos contém 
não mais do que uma variável e essa variável está na primeira potência, conforme 
os seguintes exemplos: 2 4 3x y z+ − = . Equações como as seguintes não são 
lineares: x y z3 22 3 2+ + = e 2 4xy z− = . 
Um sistema linear com m equações e n variáveis é escrito usualmente da 
seguinte forma:
a x a x a x b
a x a x a x b
n n
n n
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
+ + ⋅⋅⋅+ =
+ + ⋅⋅⋅ + =
    
a x a x a x bm m mn n m1 1 2 2+ + ⋅⋅⋅+ =







Determinação do potencial elétrico em redes elétricas, 
cálculo da tensão na estrutura metálica da construção civil, 
cálculo da razão do escoamento num sistema hidráulico com 
derivações, previsão da concentração de reagentes sujeito a 
reações químicas simultâneas.
Tópicos de cálculo numérico
U1
30
Em que:
aij :: coeficientes 1≤ ≤i m , 1≤ ≤j n
x j : coeficientes j n=1,...,
bi : constantes i m=1,...,
Para Ruggiero e Lopes (1996), resolver um sistema linear refere-se a calcular os 
valores, caso existam, de x j nj , ( ,..., )=1 , de modo que satisfaçam as m equações 
simultaneamente. Em notação matricial, o sistema pode ser representado pela 
igualdade Ax b= , em que:
A
a a a
a a a
a a a
n
n
m m mn
=












11 12 1
21 22 2
1 2
K
K
M M M
K
 , a matriz dos coeficientes,
x
x
x
xn
=












1
2

, vetor variáveis, 
b
b
b
bm
=












1
2

, vetor constante.
É importante também convencionarmos algumas notações com o intuito de 
facilitar a compreensão no decorrer desta seção. Nesse sentido, o vetor x* é o 
vetor solução e o vetor x é a solução aproximada para o sistema Ax b= . 
Assumindo como critério a solução apresentada por sistemas lineares, Franco 
(2006) apresenta a seguinte classificação: 
a) Sistemas possíveis ou consistentes: são os sistemas que apresentam pelo 
menos uma solução. Um sistema pode ser:
• Determinado – o sistema admite uma única solução.
• Indeterminado – o sistema admite mais de uma solução.
b) Sistemas impossíveis ou inconsistentes: são os sistemas que não apresentam 
solução.
Tópicos de cálculo numérico
U1
31
Em relação aos métodos empregados na resolução, Ruggiero e Lopes (1996) 
apresentam dois grupos:
• Os métodos diretos, salvo em erros de arredondamento, fornecem, caso 
exista, a solução exata do sistema linear, após um número finito de operações.
• Os métodos iterativos, por sua vez, irão gerar uma sequência de vetores { }( )x k , a 
partir de uma aproximação inicial x( )0 . Em certas condições, essa sequência converge 
para a solução, caso exista, x* .
Vale destacar que em sistemas lineares nxn, que apresentam solução única, 
o vetor x* pode ser obtido por meio da equação matricial x A b* = −1 . Todavia, o 
cálculo da matriz inversa e o produto entre essa matriz e b apresenta um alto 
custo computacional, que inviabiliza esse tipo de cálculo. Os métodos diretos e 
iterativos que serão apresentados a seguir buscam evitar o cálculo de A−1 .
2.2 Método da eliminação de Gauss
Esse método tem por objetivo transformar o sistema original em um sistema 
equivalente com uma matriz com coeficientes triangulares, pois sua resolução é 
imediata. Dois sistemas são designados por equivalentes se possuem a mesma 
solução. 
Considere o sistema A bx = , onde A : é uma matriz nXn, triangular superior, e 
os elementos de sua diagonal são diferentes de zero. Assim, temos:
a x a x a x a x b
a x a x a
n n11 1 11 1 11 1 1 1
22 2 23 3 2
+ + + ⋅⋅⋅ + =
+ + ⋅⋅⋅+ nn n
n n
x b
a x a x b
=
+ ⋅⋅⋅ + =
2
33 3 3 3 
 
 
O M
 +a x bnn n n=








Note que na última equação temos a seguinte relação:
x b
an
n
nn
= e, ao realizar substituições nas equações acima, pode-se, de maneira 
análoga, obter os valores de xn−1 até x1 .
Exemplo 1: calcule a solução do sistema linear por meio da eliminação de 
Gauss.
2 3 17
4 2 3 23
5 6
x y z
x y z
x y z
+ − =
+ + =
− + + =





Tópicos de cálculo numérico
U1
32
Iremos transformar a matriz A associada ao sistema em uma matriz triangular 
superior. Para tanto, utilizaremos os resultados do Teorema 1 para fundamentar os 
procedimentos empregados.
Teorema 1: seja Ax b= um sistema linear. Ao aplicar sobre as equações desse 
sistema uma sequência de operações elementares, devemos:
I. Trocar duas equações.
II. Multiplicar uma equação por uma constante não nula.
III. Adicionar um múltiplo de uma equação a uma outra equação.
Obtemos, então, o novo sistema Ax b
~ ~
= e os sistemas Ax b= e Ax b
~ ~
= são 
equivalentes, ou seja, compartilham a mesma solução.
Iremos extrair a matriz A e b , dispondo-a lado a lado:
Chamaremos de pivô o número situado na diagonal principal. Vamos nos 
atentar para a11 2= . Esse valor será utilizado para operar com as linhas dois e três com 
o intuito de zerar os valores a21 e a31 . Para realizar essa tarefa utilizaremos Teorema 1, 
especificadamente o item III. Dessa forma, iremos multiplicar a linha por um número 
real não nulo (mnm ) e, ao somar com a segunda linha, necessariamente teremos de 
obter zero, atingindo o objetivo. Todavia, para manter a equivalência com o sistema 
original, é necessário que todos os termos das linhas, respectivamente, também sejam 
submetidos às mesmas operações com o mesmo número mnm . Para diferenciar cada 
uma das iterações, iremos sobrescrever um número entre parênteses indicando essa 
ordenação.
A b0 0
2 3 1
1 1 5
17
23
6
( ) ( )
−
−










Como poderemos determinar os valores mnm com o intuito 
de transformar a matriz associada ao sistema em uma matriz 
triangular?
Uma maneira de obter os valores mnm pertinentes para aplicação do método 
da eliminação de Gauss é pensar em uma equação. Pelo Teorema 1, item III, temos 
que as operações a serem empregadas, garantindo a equivalência do sistema, são 
Tópicos de cálculo numérico
U1
33
as seguintes: L L m L2
1
2
0
21 1
0( ) ( ) ( )= − e L L m L3
1
3
0
31 1
0( ) ( ) ( )= − . Devemos pensar então nos 
valores de m21 e m31 de modo que 
(1) (1)
21 31 0= =a a . Então, teremos:
a m a m a
a21
0
21 11
0
21
21
0
11
0
0( ) ( )
( )
( )
− = ⇒ = e m a
a31
31
0
11
0
=
( )
( )
, generalizando, 
( 1)
( 1) 1,...,
−
−= = +
k
ik
ik k
kk
am i k n
a
 
Nesse sentido, teremos m21 2= e m31
1
2
= − . Realizando as seguintes operações 
L L L2
1
2
0
1
02( ) ( ) ( )= − e L L L3
1
3
0
1
01
2
( ) ( ) ( )= + entre as linhas da matriz:
Agora devemos zerar a32
5
2
= . Valendo-se de um raciocínio análogo ao 
desenvolvido anteriormente, podemos determinar m32
5
8
= − e, pela seguinte 
expressão L L L3
2
3
1
2
15
8
( ) ( ) ( )= + , a seguinte matriz triangular:
A b1 1
2 3 1
0 4 5
0 5
2
9
2
17
11
29
2
( ) ( ) =
−














|
Ao ter essa matriz em mãos, é possível retomar o sistema linear e resolvê-lo. 
2 3 17
4 5 11
61
8
61
8
x y z
y z
z
+ − =
− + = −
=







Resolvendo a terceira equação, temos z =1. Substituindo essevalor na segunda 
equação, encontramos y = 4 . Por fim, substituindo z =1 e y = 4 na primeira 
equação, encontramos x = 3 .
A solução exata do sistema é x* =










3
4
1
Segundo Ruggiero e Lopes (1996), há uma limitação para a utilização desse 
método, principalmente no caso do pivô ser zero ou muito próximo de zero. As 
autoras afirmam que os computadores e calculadoras efetuam os cálculos com 
aritmética de precisão finita. Logo, os valores para mnm chegam a ser maiores do 
que a unidade, originando uma ampliação dos erros de arredondamento. Para 
A b2 2
2 3 1
0 4 5
0 0 61
8
17
11
61
8
( ) ( ) =
−
− −














|
Tópicos de cálculo numérico
U1
34
contornar essa situação, é necessário trocar as equações de posição, com o 
intuito de que os pivôs sejam os elementos que apresentam maior módulo entre 
os coeficientes.
2.3 Método iterativo de Gauss-Jacobi 
Os dois próximos métodos que serão estudados são caracterizados por 
iterativos. Nesses métodos tem-se intuito realizar uma generalização de métodos 
para zero de funções que estudamos na seção anterior. Como critério de parada 
do processo iterativo, podemos utilizar tanto o erro quanto fixar uma quantidade 
máxima de iterações. Ruggiero e Lopes (1996) apresentam a seguinte expressão 
para o estudo do erro:
d d
máxr
k
k
i n i
k
( )
( )
( )| x |
=
≤ ≤1
Assim, dada uma precisão ε , o vetor (solução) x k( ) será considerado x se 
dr
k( ) < ε .
O método Gauss-Jacobi transforma o sistema linear Ax b= em x Cx g= + . 
Acompanhe no Exemplo 2 a maneira como esse método é estruturado.
Exemplo 2: (adaptado de RUGGIERO; LOPES, 1996, p. 157) resolva o sistema 
linear pelo método Gauss-Jacobi com a primeira aproximação s( )
,
,
,
0
0 7
1 6
0 6
= −










 e 
ε = 0 05, .
10 2 7
5 8
2 3 10 6
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ + = −
+ + =





A primeira ação que realizaremos é isolar, em cada uma das equações, cada 
uma das incógnitas. Então, teremos:
x y z
y x z
z x y
x= − −
=
− − −
=
− −
( )









7 2
10
8
5
6 2 3
10
==
− −
= − − +
=
− − −
=− − − −
=
−
7 2
10
0 2
10
1
10
7
10
8
5
1
5
0 1
5
8
5
6 2
y z x y z
y x z x y z
z x −− = − + +









3
10
2
10
3
10
0 6
10
y x y z
Tópicos de cálculo numérico
U1
35
Observe que a forma matricial na qual estamos transformando o sistema Ax b= , 
que apresentamos no início, pode ser obtida da seguinte maneira x Cx gk k( ) ( )+ = +1 :
c =
− −
− −
− −
















0
2
10
1
10
1
5
0
1
5
1
5
3
10
0
 e g = −
















7
10
8
5
6
10
 
Para resolver as iterações focaremos o sistema *, então substituiremos em cada 
uma das equações o valor da aproximação inicial, com o intuito de gerar uma 
segunda aproximação, acompanhe:
Para k = 0 
x( ) ( , ) , , , , ,1 7 2 1 6 0 6
10
7 3 2 0 6
10
9 6
10
0 96=
− ⋅ − −
=
+ −
= =
y( ) , , , ,1 8 0 7 0 6
5
9 3
5
1 86=
− − −
=
−
= −
z ( ) , ( , ) , , , ,1 6 2 0 7 3 1 6
10
6 1 4 4 8
10
9 4
10
0 94=
− ⋅ − ⋅ −
=
− +
= =
Decorrente da primeira iteração, temos o seguinte vetor s( )
,
,
,
1
0 96
1 86
0 94
= −










. Passaremos, 
então, para o teste do erro, calculando o módulo da diferença entre as coordenadas 
dos vetores s1 e s0 : 
| | | , , | ,( ) ( ) ( )x x d x
1 0 10 96 0 7 0 26− = − = =
| | | , ( , ) | ,( ) ( ) ( )y y d y
1 0 11 86 1 6 0 26− = − − − = = ⇒ = = = >
≤ ≤
d
xr
i
imáx
( )
( )
,
| |
,
,
,1
1 3
1
0 34 0 34
1 86
0 1828 ε 
| - | | , , | ,( ) ( ) ( )z z d z
1 0 10 94 0 6 0 34= − = =
Podemos notar que o valor de dr
( )1
 foi obtido pelo quociente entre o maior 
valor entre os dk
( )1
 e o módulo do maior componente do vetor solução obtido 
na iteração. Como esse quociente é maior que o erro, devemos realizar mais 
uma iteração. Os procedimentos apresentados a seguir mostram um pensamento 
análogo ao anterior. 
Tópicos de cálculo numérico
U1
36
Para k =1 :
x( ) ( , ) , , , , ,2 7 2 1 86 0 94
10
7 3 72 0 94
10
9 78
10
0 978=
− ⋅ − −
=
+ −
= =
y( ) , , , ,2 8 0 96 0 94
5
9 9
5
1 98=
− − −
=
−
= −
z ( ) , ( , ) , , , ,2 6 2 0 96 3 1 86
10
6 1 92 5 58
10
9 66
10
0 966=
− ⋅ − ⋅ −
=
− +
= =
 
Proveniente dessa iteração, temos o seguinte vetor s2
0 978
1 98
0 966
= −










,
,
,
. 
Iremos, agora, verificar se o erro foi ou não satisfeito. 
Temos: 
| | | , , | ,( ) ( ) ( )x x d x
2 1 20 978 0 96 0 018− = − = =
| | | , ( , ) | ,( ) ( ) ( )y y d y
2 1 11 98 1 86 0 12− = − − − = =
 
⇒ = = = >
≤ ≤
d
xr
i
imáx
( )
( )
,
| |
,
,
,2
1 3
1
0 34 0 12
1 98
0 0606 ε
 
| - | | , , | ,( ) ( ) ( )z z d z
2 1 10 966 0 94 0 026= − = =
Como podemos perceber, o valor de dr
( )2
 é maior que o erro fixado no início 
da resolução. Nesse sentido, iremos realizar uma nova iteração. 
Para k = 2 :
x( ) ( , ) , , , , ,3 7 2 1 98 0 966
10
7 3 96 0 966
10
9 994
10
0 9994=
− ⋅ − −
=
+ −
= =
y( ) , , , ,3 8 0 978 0 966
5
9 944
5
1 9888=
− − −
=
−
= −
z ( ) , ( , ) , , , ,3 6 2 0 978 3 1 98
10
6 1 956 5 94
10
9 984
10
0 9984=
− ⋅ − ⋅ −
=
− +
= =
Observe que obtemos um novo vetor que, na sequência, foi submetido ao teste 
do erro.
s3
0 9994
1 9888
0 9984
= −










,
,
,
| | | , , | ,( ) ( ) ( )x x d x
3 2 20 9994 0 978 0 0214− = − = =
| | | , ( , ) | ,( ) ( ) ( )y y d y
3 2 11 9888 1 98 0 0088− = − − − = =
| - | | , , | ,( ) ( ) ( )z z d z
3 2 30 9984 0 966 0 0324= − = =
⇒ = = = <
≤ ≤
d
xr
i
imáx
( )
( )
,
| |
,
,
,3
1 3
1
0 0324 0 0324
1 9888
0 1629 ε
Tópicos de cálculo numérico
U1
37
Como dr
( )3 < ε podemos assumir s x3 = , com erro menor que 0,05 obtido 
pelo método Gauss-Jacobi. 
Logo: x x= = −










( )
,
,
,
3
0 9994
1 9888
0 9984
Uma observação importante que deve ser ressaltada é o fato de que x( )0 foi 
escolhido, nesse exemplo, pela seguinte expressão x
b a
b a
b a
( )
/
/
/
0
1 11
2 22
3 33
=










. Todavia, essa 
opção se fez por conveniência. É comum também optar pelo vetor nulo, porque 
x( )0 é arbitrário.
Será que o método estudado é pertinente para qualquer sistema 
linear? Quais são as características apresentadas pelos sistemas 
que convergem? E as apresentadas pelos que não convergem?
2.3.1 Critério de convergência
A convergência do método iterativo de Gauss-Jacobi é garantida pelo seguinte 
teorema.
Teorema 2 (Critério das linhas): seja o sistema linear Ax b= e seja αk
kj
j
j k
n
kk
a
a
=
=
≠
∑( | |)
| |
1
. Se 
α =
≤ ≤
máx
k n1
 αk <1 , então, a sequência gerada pelo método de Gauss-Jacobi gera uma 
sequência { }( )x k , que converge para a solução do sistema dado, independentemente 
da escolha da aproximação inicial, x( )0 .
Exemplo 3: (adaptado de RUGGIEIRO; LOPES, 1996, p. 160) analise a matriz A 
do sistema linear resolvido no exemplo anterior e verifique a convergência. 
Sabemos, pelos cálculos que realizamos, que o sistema do exemplo anterior 
converge para a solução. Vamos realizar o teste a título de ilustração. 
A =










10 2 1
1 5 1
2 3 10
.
De acordo com o Teorema 2, vamos olhar linha por linha da matriz, 
separadamente e localizar os elementos da diagonal principal. Cada αk se refere 
Tópicos de cálculo numérico
U1
38
ao quociente entre a soma do módulo dos termos que não pertencem à diagonal 
principal da linha k pelo módulo do elemento que pertence à diagonal principal. 
Observe:
α1
2 1
10
3
10
0 3 1=
+
= = <, ; α2
1 1
5
2
5
0 4 1=
+
= = <, e α3
2 3
10
5
10
0 5 1=
+
= = <,
Então, como o má
1 3≤ ≤k
x αk = <0 5 1, , temos, pelo teorema acima, que o sistema 
converge para a solução.
2.4 Método iterativo de Gauss-Seidel
O método que estudaremos nesta seção é semelhante ao anterior, ou seja, 
iremos escrever o sistema linear Ax b= a forma equivalente x Cx g= + . Teremos, 
também, uma aproximaçãoinicial x( )0 arbitrária. Porém, de acordo com Ruggieiro 
e Lopes (1996), a partir do cálculo da aproximação da segunda incógnita, no 
mesmo processo iterativo, substituímos os valores da aproximação inicial pelos 
obtidos para as incógnitas que já calculamos na iteração que estamos realizando. 
Acompanhe no Exemplo 4.
Exemplo 4: (adaptado de RUGGIEIRO; LOPES, 1996, p. 162-164) resolva o sistema 
5 5
3 4 1 6
3 3 6 0
x y z
x y
x y z
+ + =
+ + =
+ + =





 pelo método de Gauss-Seidel com x( )0
0
0
0
=










 e ε = × =−5 10 0 052 , . 
Nosso primeiro passo será isolar cada uma das incógnitas em cada equação, 
teremos:
x y z
y x z
z x y
=
− −
=
− −
=
− −









5
5
6 3
4
3 3
6
Iremos substituir os valores de x( )0 no sistema com as incógnitas isoladas. Para 
k = 0 , temos x( )1 5 0 0
5
5
5
1=
− −
= = . Agora não vamos mais utilizar o valor da primeira 
incógnita para calcular y( )1 , mas sim o que calculamos na última operação que 
realizamos. Observe:
y( ) ,1 6 3 1 0
4
6 3
4
0 75=
− ⋅ −
=
−
= e z ( )
, ,
,1
3 1 3 0 75
6
3 2 25
6
0 875=
− ⋅ − ⋅
=
− −
= −
Obtemos, então, a seguinte aproximação s( ) ,
,
1
1
0 75
0 875
=
−










. Iremos, agora, utilizar o 
Tópicos de cálculo numérico
U1
39
teste do erro para verificar a viabilidade dessa aproximação. 
| | | |( ) ( )x x1 0 1 0 1− = − =
| | | , | ,( ) ( )y y1 0 0 75 0 0 75− = − = ⇒ = = = >d
i
r
máx x
( )
| |( )
1 1
1
1
1
1 ε 
| | | , | ,( ) ( )z z1 0 0 875 0 0 875− = − − =
 
Como dr
( )1 > ε temos que realizar mais uma iteração com a seguinte 
aproximação s( ) ,
,
1
1
0 75
0 875
=
−










.
Iteração k =1 teremos:
x( ) , ( , ) , ,2 5 0 75 0 875
5
5 125
5
1 025=
− − −
= = , conforme o raciocínio da iteração anterior, 
iremos utilizar no cálculo de y( )2 não mais x( )1 1= , mas, sim, x( ) ,2 1 025= , observe:
y( ) , ( , ) , , , ,2 6 3 1 025 0 875
4
6 3 075 0 875
4
3 8
4
0 95=
− ⋅ − −
=
− +
= =
Substituiremos, para calcular z ( )2 os seguintes valores x( ) ,2 1 025= e y( ) ,2 0 95= :
z ( ) , , , , , ,2 3 1 025 3 0 95
6
3 075 2 85
6
5 925
6
0 9875=
− ⋅ − ⋅
=
− −
=
−
= − . Obtemos a seguinte 
aproximação s2
1 025
0 95
0 9875
=
−










,
,
,
 e, na sequência, foi verificado o erro:
| | ,( ) ( )x x2 1 0 025− =
| | ,( ) ( )y y2 1 0 2− = ⇒ = = = >
≤ ≤
d
xmáxr
i
i
( )
( )
,
| |
,
,
,2
1 3
2
0 2 0 2
1 025
0 1951 ε 
| | ,( ) ( )z z2 1 0 1125− =
Com o resultado de dr
( )2
 é necessário realizar uma nova iteração utilizando s2 . 
Observe que o raciocínio utilizado é análogo ao das outras iterações. 
Iteração k = 2 :
x( ) , ( , ) , ,3 5 0 95 0 9875
5
5 0375
5
1 0075=
− − −
= =
y( ) , ( , ) , , , ,3 6 3 1 0075 0 9875
4
6 3 0225 0 9875
4
3 965
4
0 99125=
− ⋅ − −
=
− +
= =
Tópicos de cálculo numérico
U1
40
z ( ) , , , , , ,3 3 1 0075 3 0 9912
6
3 0225 2 9736
6
5 9961
6
0 99935=
− ⋅ − ⋅
=
− −
=
−
=
Iremos submeter a aproximação resultante dessa iteração, s3
1 0075
0 99125
0 99935
=
−










,
,
,
, à 
verificação do erro:
| | ,( ) ( )x x3 2 0 0175− =
| | ,( ) ( )y y3 2 0 04125− = ⇒ = = <dr
( ) ,
,
,3
0 04125
1 0075
0 0409 ε
| | ,( ) ( )z z3 2 0 01185− =
Como a condição do erro foi satisfeita, podemos admitir como solução, 
segundo o erro estipulado no início do exemplo, que x x= =
−










( )
,
,
,
3
1 0075
0 9912
0 9993
.
Sobre os critérios de convergência para esse método, cabe destacar que não 
se resume somente aos critérios das linhas, sendo aplicado também o critério 
Sanssenfeld. 
Considere cada uma das linhas da matriz A associada ao sistema linear. Iremos 
obter números β β β β1 2 3, , .... n da seguinte maneira:
β1
12 13 1
11
=
+ + ⋅⋅⋅+| | | | | |
| |
a a a
a
n , de forma genérica, teremos:
β
β β β
j
j j jj j jn
jj
a a a a
a
=
+ + ⋅⋅⋅+ + ⋅⋅⋅+− −| | | | | | | |
| |
1 1 2 2 1 1
Considere β =máx
≤ ≤j n1
β j{ }. Se β <1 o método de Gauss-Seidel gera uma sequência 
convergente para qualquer aproximação que se escolha. É interessante salientar 
que quanto menor β for, mais rápida será a convergência. 
O teste das linhas também pode ser utilizado. Nesse caso, esse teste se 
configura como uma segunda opção, haja vista que poderá haver situações em 
que o sistema converge para a solução, mas não satisfaz esse critério, satisfazendo 
somente o de Sanssenfeld.
Em muitas situações de aplicação das matrizes, faz-se necessário obter a sua 
inversa com o intuito de facilitar os cálculos envolvidos. Steinbruch e Winterle 
2.5 Inversa de matrizes
Tópicos de cálculo numérico
U1
41
(2005) definem da seguinte maneira: dada uma matriz quadrada A , de ordem n. 
Define-se matriz inversa de A−1 , se existir, a matriz quadrada de mesma ordem, tal 
que: AA I− =1 , ou seja, o produto entre a matriz A e sua inversa resulta na matriz 
identidade.
A matriz inversa apresenta as seguintes propriedades: 
1. Para que uma matriz admita inversa, ela deve ser não singular, ou seja, seu 
determinante deve ser diferente de 0.
2. Dada uma matriz A e sua inversa A−1 . A A−
−( ) =1 1 .
3. A matriz identidade é não singular, pois seu determinante é igual a um e ela 
é sua própria inversa: I I= −1 
4. Dada a matriz A , não singular e sua transposta At . A matriz inversa de 
A AT
T( ) = ( )− −1 1 ;
5. Se as matrizes A e B são não singulares e de mesma ordem, o produto 
entre essas matrizes AB é uma matriz singular e AB B AT( ) = − −1 1 .
Você já calculou a inversa de matrizes quando cursou o 
Ensino Médio. Enumere as técnicas utilizadas nesse contexto 
escolar e relacione com as que serão apresentadas na 
sequência.
Exemplo 5: considere a seguinte matriz A =
−
−








2
3
2
1 1
. Calcule A−1 .
Você pode estranhar o fato de estarmos utilizando uma matriz de ordem dois 
por dois. Cabe destacar que sua escolha foi necessária para facilitar a compreensão 
do método empregado. No item Para saber mais encontram-se vídeos em que os 
exemplos resolvidos são matrizes quadradas de ordens superiores.
De acordo com a definição de matriz inversa, temos que: AA I− =1 . Como o 
objetivo é obter a matriz inversa, iremos designá-la da seguinte maneira 
a c
b d





 , 
sendo a b c d, , e incógnitas que iremos calcular. Então teremos:
2
3
2
1 1
1 0
0 1
−
−








⋅





 =






a c
b d Aplicaremos, então, a multiplicação entre matrizes, 
teremos:
Tópicos de cálculo numérico
U1
42
Para saber mais sobre como realizar o produto entre matrizes, acesse:
<https://www.youtube.com/watch?v=4cgHNvfMICg>; 
<http://www.mat.ufmg.br/~rodney/notas_de_aula/matrizes.pdf>. 
Acesso em: 6 set. 2016.
2
3
2
1 2
3
2
0
0 1
a b c d
a b c d
− = − =
− + = − + =







 Note que podemos estabelecer, nesse caso, dois 
sistemas lineares (I e II): 
I
a b
a b
=
− =
− + =




2
3
2
1
0
 e II
c d
c d
=
− =
− + =




2
3
2
0
1
 que apresentam a mesma matriz A 
associada. Dessa forma, iremos resolver esse sistema de uma só vez associando as 
três matrizes envolvidas. Observe:
2 3
2
1 1
1 0
0 1
−
−








|
|
Semelhante aos procedimentos que foram utilizados na eliminação de Gaus, 
iremos nos valer das operações elementares e do Teorema 1, item II e III, para 
fundamentar os procedimentos que iremos aplicar. Nosso objetivo consistiu 
em transformar a matriz A, associada aos dois sistemas, na matriz identidade, 
consequentemente, a matriz identidade ao lado se transformará na inversa da 
matriz A.
Teremos, então, de transformar o número 2, situado na primeira linha, primeira 
coluna, em 1. Dessa forma, multiplicaremos toda a linha por 1
2
, que é uma constante 
não nula e, de acordo com o Teorema 1, item II, mantém-se a equivalência :
1 3
4
1 1
1
2
0
0 1
−
−








 
|
|
O próximo passo é zerar o elemento a
21
. Paraisso, de acordo com o item III, 
iremos somar a segunda linha com a primeira. Nesse caso não foi necessário 
pensar em uma constante que ao multiplicar a segunda linha e somar com a 
primeira resulte em zero, pois temos dois números opostos (+1 e -1). Todavia, essa 
situação não é comum, sendo necessário, antes de somar as linhas, pensar nessa 
constante. Somando as linhas:
Tópicos de cálculo numérico
U1
43
1 3
4
0 1
4
1
2
0
1
2
1
−







 
|
|
Na continuidade, transformamos a fração 14 em 1. Para isso, vamos multiplicar 
toda a linha pelo inverso dessa fração, ou seja, 4
1
4= :
1 3
4
0 1
1
2
0
2 4
−







|
|
Agora iremos zerar −
3
4
 por meio das operações elementares. Dessa forma, 
vamos multiplicar a segunda linha por 3
4
. Note que optamos pelo simétrico do 
valor que iremos zerar. Após, vamos somar a segunda linha com a primeira, 
obtendo a seguinte matriz.
1 0
0 1
2 3
2 4
|
|





 . 
Com esse resultado, obtivemos a inversa:
A− = 





1
2 3
2 4
Sendo a=2, b=2, c=3 e d=4. 
Vamos estudar um pouco mais sobre como obter a inversa de uma matriz 
acessando os links da seção Para saber mais.
Para saber mais sobre como obter a inversa de uma matriz, acesse:
<https://www.youtube.com/watch?v=EHHC6rDcfWo>;
<https://www.youtube.com/watch?v=_Ovhw950MOY>;
<https://www.youtube.com/watch?v=389fX3gWhxI> e
<http://www.mat.ufmg.br/~rodney/notas_de_aula/matrizes_inversas.
pdf>. Acesso em: 6 set. 2016.
Tópicos de cálculo numérico
U1
44
1. Considere o sistema linear 
x y
x y
+ =
− = −



7
2 5
 com ε = 0 05, . Encontre 
uma aproximação para a solução desse sistema pelo método 
Gauss-Jordan utilizando x0
2 5
3 5
=






,
,
. 
2. Dado o sistema linear 
x y z
x y z
x y z
+ − =
− + =
+ + =





3 2
2 11
4 18
, calcule a solução exata 
desse sistema por meio do método da eliminação de Gauss.
Nesta unidade você aprendeu que:
• Em matemática não é sempre que se obtém soluções exatas, 
sendo necessário recorrer a métodos numéricos que fornecem 
soluções aproximadas, controladas por erros pré-fixados. 
• Existem os erros relativos e os erros absolutos.
• O método da bissecção visa dividir o intervalo do domínio da 
função sempre ao meio com o intuito de diminuir o intervalo até 
que se obtenha um intervalo menor, com amplitude menor que 
o erro pré-fixado. 
• O método Newton-Raphson apresenta melhor convergência, 
ou seja, um número menor de iterações se comparado com o 
método da bissecção para obter as aproximações das raízes. 
• Para obter zero de polinômios utilizamos a associação do 
método de Newton-Raphson e o algoritmo de Briot-Ruffini-
Horner.
• Para a obtenção de soluções de sistemas lineares existem 
Tópicos de cálculo numérico
U1
45
métodos diretos, que possibilitam a solução exata, e os métodos 
iterativos, que possibilitam soluções aproximadas de acordo com 
um erro pré-fixado. 
• O método de eliminação de Gauss se sustenta, matematicamente, 
no Teorema I e consiste em transformar a matriz associada ao 
sistema em uma matriz triangular superior. 
• Os métodos Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel diferem no momento 
em que calculamos as aproximações. Gauss-Jacobi trabalha 
integralmente com a aproximação inicial ou obtida na iteração 
anterior, enquanto Gauss-Seidel promove a substituição das 
aproximações das incógnitas pelas que foram calculadas na 
iteração. 
• A obtenção de inversa de matrizes se dá pela aplicação de 
operações elementares, semelhante à eliminação de Gauss, em 
que se tem por objetivo transformar a matriz que se quer calcular 
na matriz identidade.
Nesta unidade você conheceu alguns tópicos de cálculo 
numérico. Os conhecimentos apresentados foram os mais 
recorrentes e elementares na aplicação de métodos numéricos 
em situações de pesquisa. É de suma importância que você 
realize a leitura dos textos e acesse os vídeos da seção para saber 
mais, visando aprofundar seu conhecimento sobre os conteúdos. 
É importante, também, que você acesse a bibliografia consultada 
para a elaboração da unidade, na qual poderá encontrar mais 
exemplos e exercícios para resolver.
1. A função ℜ→ℜ f x x x( ) = + −2 3 4 descreve o movimento 
realizado por um móvel. Sabe-se que antes do referencial 
Tópicos de cálculo numérico
U1
46
adotado, o móvel já tinha realizado algum movimento. 
Considere o intervalo de tempo I = − −[ ; , ]5 3 5 . Assinale a 
alternativa que apresenta uma aproximação para essa raiz 
pelo método da bissecção considerando ε = 0 01, .
a) Aproximadamente 4,015625.
b) Aproximadamente 3,95452.
c) Aproximadamente 4,251563.
d) Aproximadamente 3,92478.
e) Aproximadamente 4,458787.
2. A função C x x x( ) = + −5 23 4 descreve o custo total de 
certo produto. Sabe-se que no intervalo I = [ , ; ]0 1 2 há um 
zero dessa função. Assinale a alternativa que apresenta uma 
aproximação para o zero, por meio do método Newton-
Raphson. Considere ε = 0 01, e x0 0 5= , . 
a) Aproximadamente 1,232323.
b) Aproximadamente 0,989989.
c) Aproximadamente 1,002387.
d) Aproximadamente 1,101010.
e) Aproximadamente 0,968881.
3. André foi ao supermercado e comprou dois pacotes de 
biscoito salgado e um pacote de biscoito doce. O total de sua 
compra foi de dez reais. Gabriel, por sua vez, também foi ao 
mesmo mercado, logo após André, e comprou os mesmos 
produtos, mas com quantidades variadas, comprou um 
pacote de biscoito salgado e mais três pacotes de biscoito 
doce, pagando quinze reais em sua compra. Utilizando o 
método da eliminação de Gauss, assinale a alternativa que 
apresenta o preço do biscoito salgado e do biscoito doce.
a) O biscoito doce custa R$ 4,00 cada pacote e o salgado R$ 3,00.
b) O biscoito doce custa R$ 4,00 cada pacote e o salgado R$ 2,00.
c) O biscoito doce custa R$ 2,00 cada pacote e o salgado R$ 3,00.
d) O biscoito doce custa R$ 6,00 cada pacote e o salgado R$ 3,00.
e) O biscoito doce custa R$ 4,00 cada pacote e o salgado R$ 8,00.
Tópicos de cálculo numérico
U1
47
4. Considere a matriz A =






12 7
5 3 e sua inversa, 
A−1. Analise as 
afirmações apresentadas na sequência e assinale a alternativa 
que apresenta a relação correta entre ambas. 
I. A− =
−
−






1 3 7
5 12 , pois:
II. A A I⋅ =−1 
a) As afirmativas I e II são verdadeiras, mas II não justifica I.
b) A afirmativa I é verdadeira e a II é falsa.
c) A afirmativa II é verdadeira e a I é falsa.
d) A afirmativa I é verdadeira e a II é falsa, e II é contraexemplo 
de I. 
e) As afirmativas I e II são verdadeira e II justifica I.
5. Considere o sistema linear:
x y
x y
+ =
− = −



3
3 3
Assinale a alternativa que apresenta a solução aproximada 
para esse sistema considerando ε = 0 05, e x( )0
1
1
=





 pelo 
método de Gauss-Jordan. 
a) Aproximadamente x =






1 318519
1 518519
,
, .
b) Aproximadamente x =






1 318519
1 318519
,
, .
c) Aproximadamente x =






1 518519
1 318519
,
, .
d) Aproximadamente x =






1 518519
1 518519
,
, .
Tópicos de cálculo numérico
U1
48
e) Aproximadamente x =






1 218519
1 818519
,
, .
U1
49Tópicos de cálculo numérico
Referências
FRANCO, N. B. Cálculo numérico. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. 503 p.
GERÔNIMO, J. R.; FRANCO, V. S. Fundamentos de matemática: uma introdução à 
lógica matemática, teoria dos conjuntos, relações e funções. 2. ed. Maringá: Eduem, 
2008. 296 p.
RUGGIERO, M. A. G.; LOPES, V. L. R. Cálculo numérico: aspectos teóricos e 
computacionais. 2. ed. São Paulo: Makron Books, 1996. 406 p.
STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Álgebra linear. 2. ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 
2005, 583 p.
Unidade 2
A interpolação é um tópico do cálculo numérico que auxilia no estudo 
de funções e na análise de dados, sendo uma ferramenta importante na 
resolução de problemas. Nesta seção, trataremos de diferentes tipos de 
interpolação, destacaremos a linear, a quadrática e a polinomial.
Seção 1| Tipos de interpolação
Objetivos de aprendizagem
Nesta unidade, temos como objetivo tratar sobre interpolação. Iremos 
apresentar diferentes técnicas para esse tipo de procedimento de cálculo 
numérico. Abordaremos também o conceito de método dos mínimos 
quadrados, que pode ser outra alternativa para resolução de problemas em 
matemática.
Ao final desta unidade, esperamos que você, aluno, compreenda 
as definições e propriedades referentes a esses tópicos, assim como os 
métodos de interpolação por meio de resolução de sistemas de equações, 
o método de Lagrange, a forma de Newton e o ajuste de curvas por meio 
do método dos mínimos quadrados.
Os conceitos e as propriedades apresentados nesta unidade são de grande 
aplicabilidade em outras áreas, como a administração, a economia e as 
engenharias, por permitir a análise de dados e possibilitar tomadas de decisões.
Esperamos que você aproveite e tenha bons estudos!
Debora Cristiane Barbosa Kirnev
Interpolação e ajustes de 
curvas
Interpolação e Ajustes de Curvas
U2
52
Ao coletarmos dados ou estudarmos o valor aproximado de uma 
função, a interpolação pode não ser a melhor solução para a análise 
desses dados, podendo ser viável realizar o ajuste de curvas. Nessas 
situações recorremos, por exemplo, ao método dos mínimos quadrados, 
que será abordado posteriormente nesta seção.
Seção 2 | Ajustes de curvas pelo método dos mínimos 
quadrados
Interpolação e Ajustes de Curvas
U2
53
Introdução à unidade
Nesta unidade, trataremos de elementos relacionados com procedimentos 
numéricos de cálculos, como a interpolação e o método dos mínimos quadrados. 
Essas técnicas ajudam a interpretar os dados, entretanto há uma margem de erro 
na sua aplicação. 
Na primeira seção, trataremos da interpolação linear exemplificando os 
procedimentos de cálculo que recorrem à resolução de um sistema de equações. 
Posteriormente, apresentaremos a definição e um exemplo de interpolação 
quadrática, que resolve de modo análogo à linear. Após esses exemplos, 
generalizaremos o processo de interpolação por meio da resolução de sistemas de 
equações e apresentaremos outras duas técnicas que não recorrem a resoluções de 
sistemas, que são denominadas interpolação de Lagrange e forma de interpolação 
de Newton.
Na segunda seção, estudaremos sobre o ajuste de curvas, sendo essa uma 
técnica de cálculo numérico usada para, a partir de dados coletados ou obtidos, 
realizar extrapolações, e a forma adotada para isso é o método dos mínimos 
quadrados. 
Aprofunde os conhecimentos adquiridos aproveitando ao máximo o conteúdo 
disponibilizado neste material. 
Interpolação e Ajustes de Curvas
U2
54
Interpolação e Ajustes de Curvas
U2
55
Seção 1
Tipos de interpolação
Introdução à seção
Primeiramente, precisamos compreender o que é uma interpolação. Trata-
se de um método que, a partir de um conjunto de dados discretos, obtido, por 
exemplo, por meio da coleta de dados, construímos um novo conjunto associado 
a uma regra de formação para esses dados. Essa técnica é aplicada em áreas como 
engenharias ou tratamento de informação, dando suporte às análises estatísticas, 
pois, por meio da obtenção de dados e de amostras, realizamos a interpolação e 
encontramos uma função que se adeque aos dados da amostra.
Dessa forma, realizamos a interpolação a fim de obtermos funções mais simples. 
Por exemplo, se tivermos uma função exponencial com coeficientes complexos, 
podemos determinar uma função polinomial, obtida por meio de dados da função 
de origem, ou seja, a exponencial, e desse modo temos uma função mais simples 
para calcularmos novos dados. Nessa aplicação não obteremos os mesmos 
resultados da função original, porém o resultado é aproximado, e teremos que 
verificar a viabilidade da interpolação por meio do estudo do erro. Se o erro for 
aceitável, podemos simplificar as operações por meio da interpolação da função. 
Além disso, podemos realizar a reconstituição de uma função se conhecermos 
alguns pares ordenados pertencentes à função de origem. Realizando a 
interpolação, teremos uma ideia do comportamento dessa função, na qual se 
perdeu a representação gráfica ou não se conhece a lei da função. 
1.1 Polinômios e funções polinomiais
Vamos, primeiramente, retomar os conceitos de polinômios e funções 
polinomiais. Vejamos:
Sabemos que um polinômio com coeficientes reais na variável x é uma função 
que denotamos por f: R → R , com domínio e contradomínio real, definida por: 
p(x) = a
o
 + a
1
x + a
2
x² + a
3
x³ +...+ a
n
xn em que a
o
, a
1
, a
2
, ..., a
n
 são números reais, 
denominados coeficientes do polinômio.
Observamos que o coeficiente a
o 
= a
0
.x0   é o termo constante. Podemos 
determinar o grau de um polinômio p= p(x) não nulo por meio do expoente de 
Interpolação e Ajustes de Curvas
U2
56
seu termo dominante. Denominamos termo dominante aquele que possui o mais 
alto grau com o coeficiente não nulo. Temos as seguintes características aplicadas 
aos polinômios:
1º. Se um polinômio nulo não possui grau, não terá termo dominante. 
2º. Se tivermos o coeficiente do termo dominante valendo 1, teremos um polinômio 
denominado mônico. 
3º. Um polinômio pode ser ordenado de acordo com suas potências em ordem 
crescente ou decrescente.
4º. Se existir algum coeficiente nulo em um polinômio, este será denominado 
incompleto.
5º. Se um polinômio for incompleto de grau n, temos que o número de termos 
será menor ou igual a n.
6º. Temos um caso de polinômio completo quando há potências consecutivas, 
desde o grau mais alto até o termo constante.
7º. O número de termos de um polinômio completo será exatamente n+1.
Qual é a diferença entre constante, incógnita e variável na 
aplicação de elementos algébricos?
Outro conceito que precisamos retomar é o de função polinomial, lembrando 
que função é “uma regra de correspondência, que associa cada elemento x de um 
certo conjunto, chamado de domínio da função, a um único elemento y em um 
outro conjunto de contradomínio da função” (GERÔNIMO; FRANCO, 2006, p. 176).
Apresentaremos a seguir exemplos de funções polinomiais definidas de f: R→R. 
Função afim: esse tipo de função possui a estrutura definida por f(x) = ax +b. Se 
b=0, temos um caso particular indicado por função linear; se a=0, temos um caso 
denominado função constante. Nesses casos, ao representarmos essa função no 
plano cartesiano, obteremos um gráfico de uma reta.
Vejamos o gráfico da função f(x) = 2x + 5.
Interpolação e Ajustes de Curvas
U2
57
Figura 2.1 | Exemplo de função afim
Fonte: elaborada pelo autor.
Função quadrática: esse tipo de função possui a estrutura definida por f(x) = ax² 
+ b x + c em que a ≠ 0. 
Nesse tipo de função temos um gráfico formado por uma curva que 
denominamos parábola, com aplicações em diferentes áreas, como cinemática, 
radares, antenas parabólicas e faróis de carros. 
Vejamos o gráfico da função g(x) = x² + 3x -1.
Figura 2.2 | Exemplo de função quadrática
Fonte: elaborada pelo autor.
Função cúbica: esse tipo de função possui a estrutura definida por f(x) = ax³ + 
bx² + cx + d em que a ≠ 0. 
Observamos que esse tipo de função possui ao menos uma raiz, podendo, no 
máximo, ter três raízes. Vejamos o gráfico da função h(x) = 2x³ - x² + 4x +1.
Interpolação e Ajustes de Curvas
U2
58
Figura 2.3 | Exemplo de função cúbica
Fonte: elaborada pelo autor.
Outro modo de denominarmos as funções polinomiais é de acordo com o grau 
do monômio dominante da função, ou seja, a função afim também é denominada 
função de primeiro grau, enquanto a função quadrática também é denominada 
função de segundo grau.
Vimos, no decorrer do curso de matemática, o uso de tecnologias, 
como o programa GeoGebra. Para fortalecer seu aprendizado, explore 
as diferentes representações gráficas de funções por meio desse 
programa, assista ao vídeo tutorial indicado a seguir como base para 
desenvolver essa atividade. Disponível em:
<https://www.youtube.com/watch?v=xyHDqZJPeLQ>. Acesso