Lista 6

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ELETROMAGNETISMO I – FCM0114 – 2013 - José Schneider 
 
LISTA 6: Momentos multipolares elétricos 
 
1) Calcule os três primeiros momentos multipolares elétricos (monopolo, vetor dipolo, tensor quadrupolo) para o 
sistema de cargas pontuais mostrados na figura 1 com: 
(a) q1= q, q2= q, q3= -q, q4= -q; 
(b) q1= q, q2= -q, q3= q, q4= -q; 
(c) q1= q, q2= q, q3= q, q4= -3q; 
(d) q1= 2q, q2= 2q, q3= q, q4= q; 
(e) q1= 2q, q2= -q, q3= 0, q4= -q; 
 
 
2) Considere três cargas pontuais q, -q e q dispostas nos vértices de um triângulo eqüilátero de lado a. Calcule o 
momento de dipolo elétrico deste sistema desde dois referenciais diferentes, um com origem na carga –q e ou 
outro com origem numa das cargas q. 
 
3) Mostre que o momento de dipolo elétrico é invariante frente à translação do referencial quando a carga total do 
sistema é zero. 
 
4) Considere o potencial de um dipolo 
( ) 2
0
ˆ
4
1
r
rp
rVDIP
⋅
=
r
v
εpi
. 
a) Usando a expressão do operador gradiente em coordenadas esféricas demonstre que o campo elétrico de 
dipolo é 
( ) [ ]θθθ
εpi
ˆ
ˆcos21
4 30
senr
r
p
rEDIP +=
vr
. 
b) Mostre que a expressão acima pode ser escrita de forma independente do sistema de coordenadas como: 
 
( ) ( )[ ]prrp
r
rEDIP
rrvr
−⋅= ˆˆ31
4
1
3
0εpi
. 
 
5) Usando a expressão integral geral para o momento de dipolo elétrico, mostre que para uma esfera de raio R com 
densidade de carga elétrica volumétrica uniforme o momento de dipolo é nulo. 
 
6) Mostre que para uma densidade de carga com simetria esférica ( ) ( )rr ρρ =r o momento de quadrupolo elétrico é 
nulo. Ajuda: analise a expressão integral geral do potencial de quadrupolo. 
x 
y 
z 
Figura 1 
a a 
a 
a 
q4 q2 
q3 
q1 
 2
 
7) Uma esfera possui uma densidade de carga superficial ( ) θσθσ cos0= . Calcule os potenciais associados aos 
momentos de multipolo até o quadrupolo elétrico. 
 
8) Uma esfera possui uma densidade de carga superficial ( ) θσθσ sen0= . Calcule os potenciais associados aos 
momentos de multipolo até o quadrupolo elétrico. 
 
9) Uma carga Q está distribuída uniformemente ao longo do eixo zˆ , na região –a ≤ z ≤ a. Usando a expansão geral 
em multipolos para o potencial elétrico ( )rV r , mostre que para r > a: 
( ) ( )∑














+
=
parn
l
n
P
r
a
nr
Q
rV θ
εpi
cos
1
11
4 0
v
. 
 
 Identifique os momentos monopolo, vetor dipolo e tensor quadrupolo.