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PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA LUIZ ROBERTO 1 Taxa de juros 1 AULA 06 – Análise Combinatória AULA 06 Análise Combinatória 2 Taxa de juros AULA 06 – Análise Combinatória 3 ANÁLISE COMBINATÓRIA A Análise Combinatória é um ramo da matemática que estuda coleções finitas de objetos e se preocupa com a contagem de objetos, ou seja, o número de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condições. Taxa de juros AULA 06 – Análise Combinatória 4 Exemplo: Uma lanchonete oferece a seus clientes apenas dois tipos de sanduíches: hot dog e hambúrger. Como sobremesa, há três opções: sorvete, torta ou salada de frutas. Pergunta-se: quantas são as possibilidades de uma pessoa fazer uma refeição incluindo um sanduíche e uma sobremesa? Taxa de juros AULA 06 – Análise Combinatória 5 Podemos ter as seguintes refeições: 1) hot dog e sorvete 2) hot dog e torta 3) hot dog e salada de frutas 4) hamburger e sorvete 5) hamburger e torta 6) hambuger e salada de frutas Taxa de juros AULA 06 – Análise Combinatória 6 Diagrama de árvore 1ª coluna: possibilidades de escolha do sanduíche 2ª coluna: possibilidades de escolha da sobremesa. Taxa de juros AULA 06 – Análise Combinatória 7 Fazer uma refeição completa representa uma ação constituída de duas etapas sucessivas: 1ª) Tipo de sanduíche: há duas possibilidades. 2ª) Sobremesa: para cada um dos sanduíches há três escolhas de sobremesa. Assim, a realização da ação (duas etapas sucessivas) pode ser feita assim: 2 x 3 = 6 maneiras distintas de se escolher uma refeição. Taxa de juros AULA 06 – Análise Combinatória 8 Princípio Fundamental da Contagem - PFC Suponhamos que uma ação seja constituída de duas etapas sucessivas. A primeira etapa pode ser realizada de p maneiras distintas. Para cada uma dessas possibilidades, a 2ª etapa pode ser realizada de q maneiras distintas. Então, o número de possibilidades de se efetuar a ação completa é dado por p x q. Taxa de juros AULA 06 – Análise Combinatória 9 Princípio Fundamental da Contagem – PFC Este princípio vale para mais de duas etapas sucessivas. Se a primeira etapa ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número total de maneiras de ocorrer o acontecimento é: T = k1. k2 . k3 . ... . kn Taxa de juros AULA 06 – Análise Combinatória 10 Exemplo 1: Placas dos veículos: 3 letras e 4 algarismos. Quantos veículos poderão ser licenciados? São 26 letras e o 10 algarismos possíveis: 1ª posição: 26 alternativas (pode haver repetição) 2ª e 3ª posições: 26 alternativas (pode haver repetição). Algarismos: 10 alternativas para cada um dos 4 lugares. Então, podem ser licenciados: 26 . 26 . 26 . 10 . 10 . 10 . 10 = 175.760.000 veículos. Taxa de juros AULA 06 – Análise Combinatória 11 Exemplo 2 Nos anos 60 as placas dos veículos tinham 2 letras e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que podia ser licenciado? O número total de veículos que podiam ser licenciados: 26 . 26 . 10 . 10 . 10 . 10 = 6.760.000. Obs: A inclusão de apenas uma letra faz com que sejam licenciados a mais quase 170 milhões de veículos. Taxa de juros AULA 06 – Análise Combinatória 12 Fatorial n! = n . (n-1) . (n-2) ... 4 . 3 . 2 . 1 para n ≥ 2. n! = n . (n-1)! | n ∈ ℕ e n ≥ 2 a) 1! = 1. b) 0! = 1. b) 6! = 6 . 5! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720 c) 4! = 4. 3! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 d) 7! = 7 . 6! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5040 e) 10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 3.628.800 Taxa de juros AULA 06 – Análise Combinatória 13 Arranjo Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se Arranjo dos n elementos, tomados k a k, a qualquer sequência ordenada de k elementos distintos escolhidos entre os n existentes. Temos um Arranjo quando os agrupamentos conseguidos ficam diferentes ao se inverter a posição dos seus elementos. Taxa de juros AULA 06 – Análise Combinatória 14 Exemplo: Formar centenas com os algarismos 1,3,5,7,9. 135; 137; 139; 153, 157 e assim sucessivamente. Se invertermos a posição dos elementos de qualquer uma destas centenas conseguiremos outra centena diferente: 135 e 351. Temos um ARRANJO de 5 elementos tomados 3 a 3. Taxa de juros AULA 06 – Análise Combinatória 15 Exemplo 1 Dado o conjunto C = (1, 2, 3, 4), escreva todos os arranjos desses quatro elementos tomados dois a dois. (1, 2); (1, 3); (1, 4); (2, 1); (2, 3); (2, 4); (3, 1); (3, 2); (3, 4); (4, 1); (4, 2); (4, 3) Notamos que (2, 3) ≠ (3, 2), isto é, a troca na ordem dos elementos gera um agrupamento diferente. Neste caso é ARRANJO. Taxa de juros AULA 06 – Análise Combinatória 16 Exemplo 2 O segredo de um cofre é marcado por uma sequência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer (no máximo) para conseguir abri-lo? Para a primeira posição teremos 10 alternativas, para a segunda, 9 e para a terceira, 8 (lembrando que são dígitos distintos, ou seja, diferentes). Pela fórmula de arranjos pelo PFC: 10.9.8 = 720. A10,3 = 720 Taxa de juros AULA 06 – Análise Combinatória 17 Cálculo do número de Arranjos Seja um conjunto de n elementos distintos. Vamos encontrar uma expressão para o número de arranjos dos n elementos tomados k a k: (An,k). A fórmula do Arranjo é: An,k = | n ≥ k Taxa de juros AULA 06 – Análise Combinatória 18 Exemplo 3 Obter o valor de A4,2 + A7,3. A4,2 = = = = 12 A7,3 = = = = 210 Logo: A4,2 + A7,3 = 12 + 210 = 222 Taxa de juros AULA 06 – Análise Combinatória 19 Permutações simples Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentos formados com todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos. É um caso especial de arranjo, onde n = k, ou seja: An,k = = = = n! Fórmula da Permutação: Pn = n! Taxa de juros AULA 06 – Análise Combinatória 20 Exemplo 1 Escrever todos os anagramas da palavra MAR. Um anagrama da palavra MAR é qualquer permutação das letras M, A, R de modo que se forme uma palavra com ou sem sentido. Assim, temos: MAR, MRA, AMR, ARM, RMA, RAM. Taxa de juros AULA 06 – Análise Combinatória 21 Exemplo 2 De quantas maneiras cinco pessoas: João, Luiz, Carlos, Maria e Joana podem ser dispostas em fila indiana? Cada maneira de compor a fila é uma permutação das cinco pessoas, pois qualquer fila obtida é uma sequência na qual comparecem sempre as cinco pessoas. Assim, o resultado esperado é: P5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2. 1 = 120 Taxa de juros AULA 06 – Análise Combinatória 22 Exemplo 3 Com as cinco pessoas, quantas filas podem ser compostas começando por Maria ou por Joana? A 1ª posição da fila pode ser escolhida de duas maneiras (tanto Maria como Joana pode iniciá-la). Definido o início da fila, restarão sempre quatro lugares para serem preenchidos pelas quatro pessoas restantes, num total de: P4 = 4! = 24 possibilidades. Pelo PFC, o resultado é: 2 x 24 = 48. Taxa de juros AULA 06 – Análise Combinatória 23 Permutação com elementos repetidos Se entre os n elementos de um conjunto, existem a elementos repetidos b elementos repetidos c elementos repetidos e assim sucessivamente, o número total de permutações que podemos formar é dado por: Pn(a,b,c) = Taxa de juros AULA 06 – Análise Combinatória 24 Exemplo 1: Determine o número de anagramas da palavra MATEMATICA. São 10 elementos com repetições. A letra M repete duas vezes, a letra A três, a letra T, duas. n = 10 a = 2 b = 3 c = 2 P10(2,3,2) = = 151200 Taxa de juros AULA 06 – Análise Combinatória 25 Exemplo 2 Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra MARIA? Temos: n = 5 (cinco letras) a = 2 (a letra A se repete duas vezes) P5(2) = = = 5.4.3 = 60 Taxa de juros AULA 06 – Análise Combinatória 26 Combinações Dado um conjunto A com n elementos distintos, chama-se combinação dos n elementos de A, tomados k a k, a qualquer subconjunto formado por k elementos. Ex: de cinco pessoas desejamos formar grupos de três; o grupo formado por João, Pedro e Luís é o mesmo grupo formado por Luís, Pedro e João. Temos uma COMBINAÇÃO quando os agrupamentos conseguidos permanecem iguais ao se inverter a posição dos seus elementos. Taxa de juros AULA 06 – Análise Combinatória 27 A fórmula da Combinação é dada por: Cn,k = Taxa de juros AULA 06 – Análise Combinatória 28 Exemplo 1: Em uma turma de 10 alunos, quantos grupos de três alunos podemos formar? Como ao trocar a ordem das pessoas em cada grupo não altera o grupo, temos que trabalhar com combinação. n = 10 k = 3 Cn,k = C10,3 = = = 120 Taxa de juros AULA 06 – Análise Combinatória 29 Exemplo 2: Faça todas as combinações dos cinco elementos de M = {a, e, i, o, u} tomados dois a dois. {a, e} = {e, a}; portanto é combinação. Cn,k = = = = 10 As combinações pedidas são: {a, e}; {a, i}; {a, o}; {a, u}; {e, i}; {e, o}; {e, u}; {i, o}; {i, u}; {o, u} Taxa de juros AULA 06 – Análise Combinatória 30 Exemplo 3: Três livros serão sorteados entre Pedro, Luís, José, Claudia e Márcio. Quais os possíveis resultados? Cada resultado do sorteio é uma combinação dos cinco alunos tomados três a três. n = 5 k = 3 Cn,k = = = = 10 Os possíveis resultados do concurso são: {P, J, M}; {P, J, A}; {P, M, A}; {P, L, J}; {P, L, M}; {P, L, A}; {L, J, A}; {L, J, M}; {J, A, M}; {L, A M} Taxa de juros AULA 06 – Análise Combinatória 31 Quando é Arranjo e quando é Combinação? Arranjo: quando os agrupamentos conseguidos ficam diferentes ao se inverter a ordem dos elementos. Combinação: quando os agrupamentos conseguidos não se alteram ao inverter a ordem dos elementos. Taxa de juros AULA 06 – Análise Combinatória 32 Exercícios de revisão 1) Há quatro estradas ligando as cidades A e B, e três estradas ligando as cidades B e C. De quantas maneiras distintas pode-se ir de A a C, passando por B? Viagem de A a C é constituída de duas etapas sucessivas: 1ª ir de A até B: são quatro possibilidades 2ª ir de B a C: para cada uma das possibilidades anteriores, há três maneiras de chegar a C, a partir de B. Assim, o resultado procurado é 4 x 3 = 12. Taxa de juros AULA 06 – Análise Combinatória 33 2) Um torneio mundial de basquete é disputado por quatro seleções: Brasil, China, Holanda e Itália. De quantas maneiras distintas podemos ter os três primeiros colocados? Holanda (campeã), Brasil (2°) e Itália (3°) Brasil (campeão), Itália (2°) e Holanda (3°) Cada resultado do torneio é um arranjo de 4 três a três. An,,k = A4,3 = = = 4 . 3 . 2 = 24 Taxa de juros AULA 06 – Análise Combinatória 34 3) Quantas possibilidades de agrupamentos há com os elementos A,B,C? São possíveis as seguintes permutações: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA. P3 = 3! = 3 . 2 . 1 = 6 Taxa de juros AULA 06 – Análise Combinatória 35 Uma prova de 15 questões, o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poderá escolher as 10 questões? Observe que a ordem das questões não muda o teste. Logo, podemos concluir que trata-se de um problema de combinação de 15 elementos, 10 a 10. Cn,k = = = = 3003 Taxa de juros AULA 06 – Análise Combinatória 36 5) Um coquetel é preparado com três bebidas distintas. Se existem 7 bebidas distintas, quantos coquetéis diferentes podem ser preparados? C7,3 = = = = 35 Taxa de juros
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