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1 Universidade Federal do Pará Pró- Reitoria de Extensão Diretoria de Assistência e Integração Estudantil. Projeto de Cursos de Nivelamento de Aprendizagem em Ciências Básicas para as Engenharias (PCNA) Material de Estudo Física Elementar PCNA-FÍSICA ELEMENTAR Equipe Responsável pelo Projeto Alcebíades Negrão Macedo (Diretor Adjunto do ITEC) Alexandre Guimarães Rodrigues (Elaboração/Coordenação Geral/Orientação na área de Física Elementar/Comissão de Ensino do ITEC) Ana Kláudia Perdigão (Elaboração/Coordenação/Comissão de Ensino do ITEC) Jocy Maciel Lopes (Elaboração/Coordenação/Orientação na área de Matemática Elementar/Comissão de Ensino do ITEC) Lênio José Guerreiro de Faria (Elaboração/Orientação na área de Química Elementar/Comissão de Extensão do ITEC) Maria Emilia de Lima Tostes (Diretora do ITEC) Marlice Cruz Martelli (Elaboração/Coordenação/Orientação na área de Química Elementar/Comissão de Extensão do ITEC) Rodrigo Melo e Silva de Oliveira (Elaboração/Coordenação/Orientação na área de Matemática Elementar) Rosana Paula de oliveira Soares (Elaboração/Coordenação/Comissão de Ensino do ITEC) Equipe responsável pela Elaboração do Material: Orientação: Alexandre Guimarães Rodrigues Monitores: Antônio Jorge Junior Luana Cardoso Grangeiro Lucas Daniel de Souza Moisés Andrade de Jesus Ramon Cristian Araújo Colaboradores: Breno Cesar César Oliveira Imbiriba (docente – NUMA) Miguel Imbiriba (docente – ITEC/Diretor da FAESA) Vitor Façanha (docente-ICEN-Fac. Física) Laboratório de Demonstrações (Projeto de Extensão – Faculdade de Física) Gina Barbosa Calzavara (Comissão de Extensão do ITEC) 2 Sumário 1. CIÊNCIAS, GRANDEZAS FÍSICAS, UNIDADES...........................................................3 1.1 OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM ........ 3 1.2 A NATUREZA DA FÍSICA ...................... 3 1.3 GRANDEZAS E DIMENSÕES................ 3 1.4 ANÁLISE DIMENSIONAL ....................... 3 1.5 CONVERSÃO DE UNIDADES ............. 4 1.6 INCERTEZAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS ......................................... 5 1.7 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS ..................................................... 6 2. ANÁLISE VETORIAL BÁSICA ................ 8 2.1 OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM ........ 8 2.2 CONCEITOS BÁSICOS DE VETORES .. 8 2.3 ESCALARES E VETORES .................... 8 2.4 SOMA E SUBTRAÇÃO DE VETORES ... 9 2.5 COMPONENTES DE UM VETOR ........ 11 2.6 VETORES UNITÁRIOS OU VERSORES ................................................................... 12 2.7 OPERAÇÕES COM VETORES ........... 14 2.8 MULTIPLICAÇÃO DE VETORES ..... 14 2.9 EXERCÍCIOS ....................................... 17 3. CINEMÁTICA EM UMA DIMENSÃO (1D)... 20 3.1 OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM ...... 20 3.2 REFERENCIAIS ................................... 20 3.3 POSIÇÃO E DESLOCAMENTO ........... 20 3.4 VELOCIDADE ESCALAR E VETOR VELOCIDADE ............................................ 21 3.4.1 GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS: .............................................. 21 3.4.2 VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA ..... 21 3.4.3 VELOCIDADE VETORIAL MÉDIA ..... 22 3.4.4 VETOR VELOCIDADE INSTANTÂNEA ................................................................... 22 3.5 ACELERAÇÃO .................................... 23 3.5.1 ACELERAÇÃO MÉDIA E ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA ................. 23 3.6 EQUAÇÕES DA CINEMÁTICA PARA ACELERAÇÃO CONSTANTE ................... 23 3.7 APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DA CINEMÁTICA ............................................ 24 3.8 CORPOS EM QUEDA LIVRE ............ 25 3.9 ANÁLISE GRÁFICA DA VELOCIDADE E DA ACELERAÇÃO .................................. 26 3.10 CINEMÁTICA DO MOVIMENTO CIRCULAR..................................................27 3.11 PERÍODO E FREQUÊNCIA ............ 27 3.12 VELOCIDADE ESCALAR (LINEAR) 28 3.13 VELOCIDADE ANGULAR ................. 29 3.14 ACELERAÇÃO CENTRÍPETA .......... 29 3.15 ACELERAÇÃO VETORIAL ............... 29 3.16 EXERCÍCIOS......................................30 4. CINEMÁTICA EM DUAS DIMESÕES(2D) ... 33 4.1 OBJETIVO DE APRENDIZAGEM ........ 33 4.2 DESLOCAMENTO ............................... 33 4.3 VELOCIDADE E ACELERAÇÃO ......... 33 4.4EQUAÇÕES DA CINEMÁTICA EM 2D . 34 4.5 MOVIMENTO DE PROJÉTEIS ............ 35 4.6 VELOCIDADE RELATIVA .................... 36 4.7 EXERCÍCIOS ....................................... 36 5. NOÇÕES DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL NA CINEMÁTICA .......................... 39 5.1 OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM ..... 39 5.2 COEFICIENTE ANGULAR E INCLINAÇÃO ...................................... 39 5.3 CONCEITO ......................................... 40 5.4 NOTAÇÕES ........................................ 41 5.5 PROPRIEDADES DA DERIVADA ........ 41 5.6 APLICAÇÃO NA FÍSICA ..................... 43 5.7 APLICAÇÃO NA ENGENHARIA ......... 49 5.8 EXERCÍCIOS (CINEMÁTICA) .............. 50 3 5.9 INTEGRAL .......................................... 51 5.10 OBJETIVO..........................................51 5.11 CONCEITO DE INTEGRAL ................ 51 5.12 NOTAÇÃO.......................................... 52 5.13 PROPRIEDADES DA INTEGRAL....... 52 5.14 APLICAÇÃO NA CINEMÁTICA ......... 53 5.15 EXERCÍCIOS (INTEGRAL).................58 6. LEIS DE NEWTON ........................................ 59 6.1 1ª. LEI DE NEWTON ............................ 59 6.2 2ª. LEI DE NEWTON ............................ 60 6.2.1 RELAÇÃO ENTRE FORÇA E ACELERAÇÃO ........................................... 60 6.3 3ª LEI DE NEWTON ............................. 61 6.4 DIAGRAMA DE CORPO LIVRE ........... 61 6.5 EXERCÍCIOS ....................................... 63 7. APLICAÇÕES DAS LEIS DE NEWTON ...... 65 7.1 OBJETIVO DE APRENDIZAGEM ........ 65 7.2 FORÇA GRAVITACIONAL ................... 65 7.3 FORÇA NORMAL ................................. 66 7.4 ATRITO ................................................ 67 7.5 TENSÃO ............................................... 67 7.6 EXERCÍCIOS ....................................... 67 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.............................................76 4 1.CIÊNCIAS, GRANDEZAS FÍSICAS, UNIDADES. 1.1 OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM: VOCÊ APRENDERÁ: O conceito de física e a sua natureza. As grandezas fundamentais e as unidades usadas pelos físicos para medi-las. Análise dimensional. Conversão de unidades e como não perder de vista os algarismos mais significativos nos seus cálculos. Conceitos básicos de trigonometria. 1.2 A NATUREZA DA FÍSICA: A ciência e a engenharia se baseiam em medições e comparações. Assim precisamos de regras para estabelecer de que forma as grandezas devem ser medidas e comparadas, e de experimentos para estabelecer as unidades para essas medições e comparações. A física é uma ciência experimental, e assim como a química e a matemática, forma a base de toda as engenharias. Nenhum engenheiro pode projetar uma tela plana de TV, uma nave espacial, um reator ou até mesmo uma ratoeira mais eficiente, sem antes entender os princípios básicos da física. 1.3 GRANDEZAS E DIMENSÕES: Os experimentos físicos exigem medidas, e normalmente usamos números para descrever os resultados das medidas. Qualquer número usado para descrever umfenômeno físico denomina-se grandeza física. Por exemplo, duas grandezas físicas para descrever você são o seu peso e a sua altura. Para cientistas e engenheiros, em grande parte do mundo, o sistema padrão utilizado é conhecido como Sistema Internacional ou SI. Existem outros sistemas como CGS e o sistema de Engenharia Britânico (BE). UNIDADES SI CGS BE Comprimento Metro(m) Centímetro (cm) Pé(ft) Massa Quilograma (kg) Grama(g) Slugs(sl) Tempo Segundo(s) Segundo(s) Segundo (s) RELAÇÕES IMPORTANTES 1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm 1 kg = 1000 g 1 ton = 1000 kg 1 h = 60 min = 3600 s 1 min = 60 s 1.4 ANÁLISE DIMENSIONAL: Em física, o termo dimensão é usado para se referir à natureza física de uma grandeza. A preocupação com a dimensionalidade de uma grandeza ou de uma fórmula antecede a questão da unidade usada. Por exemplo, para medir a distância entre dois objetos podemos utilizar fita métrica graduada em centímetro, decímetro ou metro. Entretanto, ninguém discute que essa medida deverá ser feita a partir de uma unidade de comprimento. Em outras palavras, a análise dimensional é usada para verificar relações matemáticas quanto à consistência das suas dimensões. 5 Na mecânica, parte da Física que envolve a cinemática e a dinâmica, a totalidade dos conceitos básicos dessa área pode ser expressa em termos de uma combinação de dimensões fundamentais. São elas: Comprimento [L], Tempo [T], Massa [M] Exemplo: Considere um carro que parte do repouso e acelera até uma velocidade v em um tempo t. Desejamos calcular a distância x percorrida pelo carro, mas não temos a certeza de se a relação correta é x = .v.t² ou x = .v.t. Podemos verificar as grandezas em ambos os lados da equação para vermos se possuem as mesmas dimensões da seguinte maneira: Na equação x = .v.t², aplicamos as dimensões [L], [T], teremos: [L] = [ ].[T]² [L]= [L].[T] A dimensão do lado esquerdo da equação não coincide com a dimensão do lado direito. Logo, a relação não está correta, pois não faz sentido trabalharmos com uma fórmula do tipo POSIÇÃO = VELOCIDADE. Afinal, estamos medindo posição ou velocidade? Daí a necessidade de que a dimensão do “lado esquerdo” da fórmula seja igual à do “lado direito” e, caso seja composta por mais de uma parcela, essas devem ter a mesma dimensionalidade entre si e a mesma compatibilidade com a descrição da fórmula em questão. Portanto, toda fórmula, independentemente do contexto em questão, deve ser dimensionalmente consistente. Caso contrário deve ser reanalisada ou simplesmente descartada. Lembre-se disso ao final das suas resoluções de problemas e exercícios! Para a equação x = .v.t, temos: [L] = [ ] . [T] [L] = [L] A dimensão em ambos os lados coincidem, logo essa equação está dimensionalmente correta. 1.5 CONVERSÃO DE UNIDADES Uma vez que qualquer grandeza pode ser medida em diferentes unidades é importante saber como converter um resultado expresso em uma unidade(s) para outra(s) unidade(s). A conversão pode envolver uma única unidade, como por exemplo, converter 1km para metros, 1km = 103m. Pode também envolver mais de uma unidade. Por exemplo, converter uma velocidade dada em km/h para m/s. Neste caso, precisamos expressar quilômetro em metros e hora em segundos. Em todos os casos de conversão de unidades pode-se afirmar que não há nada mais envolvido que as operações de multiplicação e divisão. As regras de conversão podem ser sintetizadas a partir de um cálculo simples envolvendo regra de três. É necessário que se diga, embora óbvio, que só é possível converter uma unidade para outra unidade quando sabemos o quanto vale uma unidade de medida em termos da outra e vice-e-versa. Façamos o caso da conversão de velocidade de km/h m/s. Sabemos que 1 quilômetro possui 1000 metros e que 1 hora possui 3600 segundos (60x60s). Logo, 1km/h=1000m/3600s≈0,2778m/s. Sabemos quanto vale 1km/h em m/s. E quanto 6 vale 1m/s em termos de km/h? Vamos para a regra de três! 1km/h ------ 0,2778m/s x ------- 1m/s A leitura é feita da seguinte forma: 1km/h vale 0,2778m/s. 1m/s (que ainda não sabemos quanto vale em km/h) em termos de km/h vale x (incógnita). Em seguida fazemos uma multiplicação em diagonal (repare que de um lado temos somente uma unidade (km/h) e do outro lado somente a outra unidade (m/s)). Assim ficamos com 1km/h.1m/s = x.0,2778m/s Para finalizar passamos dividindo o termo que está multiplicando x. Portanto, x, que é igual a 1km/h escrito em termos de unidade de velocidade em m/s vale 3,6m/s. A forma de montar uma regra de três é sempre simples. Mas atenção! Fazer uma mudança de unidades não altera a dimensão da grandeza que você está trabalhando! Exemplo 1: A maior queda d‟água do mundo é Salto do Anjo na Venezuela, com uma altura total de queda de 3212 ft. Expresse esta queda em metros. Obs: ft é o símbolo de uma medida de comprimento no sistema métrico inglês. “ft” é a contração de feet do idioma inglês que quer dizer “pé”. 1 “pé”, ou melhor, 1ft=30,48cm=0,3048m Estratégia de raciocínio: 1 ft = 0,3048m. A pergunta é: quanto vale 3212ft expresso em metros? Vale x metros. É o que queremos descobrir. Vamos montar nossa regra de três! 1ft ------ 0,3048m 3212ft ------ x A regra de três foi montada corretamente. Agora é só fazer a multiplicação em diagonal e isolar o fator x. 3212ft.0,3048m = x.1ft x = 979,0m Não se esqueça de fazer o corte nas dimensões também! ft do lado esquerdo corta com ft do lado direito da equação e a resposta é dada em metros, conforme desejamos. 1.6 INCERTEZAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS As medidas sempre envolvem incertezas. Em muitos casos, a incerteza de um número não é apresentada explicitamente. Em vez disso, ela é indicada pelo número de dígitos confiáveis, ou algarismos significativos, do valor da medida. Por exemplo, medimos a espessura da capa de um livro e encontramos o valor 2,91mm, esse valor apresenta três algarismos significativos. Com isto, queremos dizer que os dois primeiros algarismos são corretos, enquanto o terceiro dígito é incerto. O último dígito está na casa dos centésimos, de modo que a incerteza é aproximadamente igual a 0,01mm. 7 1.7 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS: A trigonometria é uma área da matemática muito aplicada na física, sobretudo nos tipos de problemas tratados pela mecânica. Em especial, três funções trigonométricas básicas são mais utilizadas. São essas: o seno, o cosseno e a tangente de um determinado ângulo. Podemos definir essas funções a seguir em termos de símbolo que aparecem no triângulo retângulo abaixo: Fig. 1.1. Triângulo Retângulo Pelo teorema de Pitágoras, determina-se que: h² = h0² + ha² h = comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo h0 = comprimento do cateto oposto ao ângulo θ ha = comprimento do cateto adjacente ao ângulo θ Em que: sen θ = , cos θ = e tan θ = O seno, o cosseno e a tangente são números sem unidades (nem dimensões) porque cada um é a razão entre os comprimentos de dois lados de um triângulo retângulo. Exemplo: Em umdia de sol, um edifício alto faz sombra de 67,2 m de comprimento. O ângulo entre os raios de sol e o chão é de θ = 50,0º, como mostrado na figura abaixo. Determine a altura do edifício. Fig. 1.2. Edifício Alto e suas projeções. Estratégia de raciocínio: Desejamos determinar a altura do edifício. Para isso, analisamos as informações contidas no triângulo retângulo sombreado da figura dada. São elas: a altura como comprimento h0 do cateto oposto ao ângulo θ, o comprimento da sombra é o comprimento ha do cateto adjacente ao ângulo θ. Sabemos que a razão entre o comprimento do cateto oposto e o comprimento do cateto adjacente é a tangente do ângulo θ que pode ser usada para se determinar a altura do prédio. Solução: Usamos a função tangente conhecida da seguinte maneira, com θ = 50,0º e ha = 67,2 m: Desse modo: tan θ= h0 / ha Assim: h0 = ha tan θ = (67,2 m)(tan 50,0º) = (67,2 m)(1,19) = 80,0 m O valor da tan 50,0º é determinado usando-se a calculadora. Exemplo: A profundidade de um lago aumenta gradativamente com um ângulo θ, como indicado na figura abaixo. Por questões de segurança, é necessário se determinar a profundidade do lago em várias distâncias a partir da margem. Para fornecer informações a respeito da profundidade, um guarda-vidas rema até uma distância de 14,0 m da margem em direção ao interior do lago e solta uma linha de pesca com um peso. Medindo o comprimento da linha, o guarda-vidas 8 determina a profundidade como sendo igual a 2,25 m. a) Qual o valor de θ? b) Qual seria a profundidade d do lago a uma distância de 22,0 m a partir da margem? Fig. 1.3. Lago e suas projeções. Estratégia de raciocínio: Podemos observar que próximo a margem, os comprimentos dos catetos oposto e adjacente do triângulo retângulo formado na figura do lago são h0 =2,25 m e ha =14,0 m, em relação ao ângulo θ. Após a identificação dessas informações, podemos usar o arco tangente (tan-1) para determinar o ângulo do item (a). Para determinar o item (b), consideramos que os catetos opostos e adjacentes passam a ser os mais afastados da margem onde h0 = d e ha =22,0 m. Assim, com o valor de θ obtido no item (a), a função tangente pode ser usada para encontrar o valor da profundidade desconhecida. Considerando a forma com que a profundidade do lago aumenta com a distância na figura do lago, é de se esperar que a profundidade desconhecida seja maior do que 2,25 m. Solução: a)Usando a função arco tangente conhecida, chegamos a: θ = tan-1 (h0 / ha ) = tan -1 (2,25 m/14,0 m) = 9,13º b) Com θ = 9,13º, a função tangente pode ser usada para determinarmos a profundidade desconhecida a uma distância maior da margem, onde h0 = d e ha = 22,0 m. Conclui-se que: h0 = ha tan θ d = (22,0 m)(tan 9,13º) = 3,54 m Temos que 3,54m é maior que 2,25 m, o que já era esperado. 9 2. ANÁLISE VETORIAL BÁSICA. 2.1 OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM VOCÊ APRENDERÁ: A diferença entre grandezas escalares e vetoriais e como somar e subtrair vetores algebricamente. Quais os componentes de um vetor e como usá-los em cálculo O que são vetores unitários e como usá- los. 2.2 CONCEITOS BÁSICOS DE VETORES Não é novidade que a física se vale da linguagem matemática para descrever o mundo natural a nossa volta. Tal linguagem se mostra adequada para representar fenômenos naturais ou produzidos em laboratório e também para descrever inúmeras situações presentes em nosso dia-a-dia. Muitos podem achar a linguagem matemática da qual a física se vale como abstrata, mas é esta “linguagem abstrata” que nos ajuda a entender o que se passa ao nosso redor. Para caracterizar muitos conceitos utilizados na física basta uma única unidade de medida. Como exemplos, citamos: temperatura, massa, tempo. Entretanto, em outros casos precisamos de mais informações para caracterizar uma grandeza física útil para descrever uma situação ou problema de interesse. Por exemplo, ao informar a localização de um determinado lugar a uma pessoa, precisamos não apenas informar o quanto essa pessoa vai andar, mas também para onde se deve ir. Ou seja, devemos informar a rota do percurso. Nem percebemos que estamos lidando com uma grandeza vetorial. Esse exemplo simples (rota de um percurso) de tratamento vetorial torna-se imprescindível para o transporte aéreo. Alguém imagina o voo das aeronaves sem uma determinação precisa de rotas aéreas? Outro exemplo simples para entender a necessidade de haver mais de uma informação para caracterizar grandezas vetoriais pode ser dado com a aplicação de uma força sobre um corpo. De que vale especificar a magnitude da força que é aplicada sobre um corpo sem dizer em que direção e sentido a força é aplicada? Muitos conceitos da física necessitam de uma caracterização vetorial completa para ficar bem definidos. Força é um desses conceitos. Saber caracterizar e manipular vetores é pré-requisito indispensável para a formação de qualquer engenheiro ou profissional da área de exatas. 2.3 ESCALARES E VETORES Algumas grandezas físicas como o tempo, temperatura, volume e massa podem ser descritas por um único número (incluindo quaisquer unidades) fornecendo o seu módulo. Este tipo de grandeza é chamada grandeza escalar. A grandeza vetorial é uma grandeza descrita por um módulo, uma direção e um sentido, e pode, portanto, ser representada por um vetor. Como exemplo já citado, temos a força para puxar ou empurrar um corpo. Para descrever completamente uma força é preciso fornecer o módulo da força, sua direção e o seu sentido (empurrar e/ou puxar). No caso do movimento de um avião, para descrevê-lo é necessário dizer a velocidade que ele se desloca, a direção (norte, sul, leste, oeste) e o sentido do seu movimento. A representação geométrica de um vetor é dada por uma seta, onde o tamanho da seta representa o módulo do vetor, a direção e o sentido da seta fornecem a direção e o sentido do vetor. Algebricamente, podemos designar um vetor por uma letra com uma pequena seta (para a direita) acima da mesma. Outra opção é colocar a letra que designa o vetor em negrito. Em geral, ao longo deste material didático faremos opção pela segunda escolha (em negrito). Para entendermos melhor os vetores e suas operações observe a representação do vetor deslocamento feita na figura abaixo: 10 Fig. 2.1. Representação do deslocamento de um carro. A flecha neste desenho representa um vetor deslocamento. Os vetores podem ser classificados como: Vetores paralelos - aqueles que possuem a mesma direção e o mesmo sentido possuindo ou não mesmo módulo. Se apresentarem mesmo módulo são iguais. A B Fig. 2.2. Representação de vetores paralelos. Vetores negativos - possuem mesmo módulo e direção do vetor positivo dado e sentido contrário a deste vetor. A -A Fig. 2.3. Representação de vetores antiparalelos. Vetores antiparalelos – possuem a mesma direção, mas sentidos contrários, possuindo ou não o mesmo módulo. O módulo de um vetor é representado da seguinte forma:(módulo de A) = |A| = A Como sabemos da matemática, o módulo fornece sempre um resultado numérico positivo. Trabalharemos com mais detalhes a expressão analítica do módulo do vetor ao longo do capítulo. Exemplo Conceitual: Há locais onde a temperatura é de +20ºC em uma certa época do ano e de -20ºC em outra época. Os sinais de mais e de menos que representam as temperaturas positiva e negativa implicam que a temperatura é uma grandeza vetorial? Estratégia de raciocínio e solução: Um vetor possui uma direção física associada a ele, para o leste ou para o oeste, por exemplo. A pergunta, então, é se tal direção está associada com a temperatura. Em particular, os sinais de mais e de menos que acompanham a temperatura, implicam este tipo de direção e sentido? Em um termômetro, os sinais algébricos simplesmente significam que a temperatura é um número menos ou maior do que zero em uma escala e não tem nada a ver com leste, oeste, ou qualquer outra direção física. A temperatura, então, não é um vetor. Ela é um escalar, e escalares podem, às vezes ser negativos. 2.4 SOMA E SUBTRAÇÃO DE VETORES Suponha que uma partícula sofra um deslocamento A, seguido de outro deslocamento B. Podemos representar o deslocamento total pela letra R que representa o vetor resultante da soma vetorial ou simplesmente, vetor soma. A soma é feita desenhando a extremidade de um vetor com o início do outro. Fig. 2.4. Representação de soma de dois vetores. R = C = A + B Uma propriedade importante da soma de dois vetores é que a ordem em que os vetores são somados não importa. 11 R = A+B = B+A (lei comutativa) Podemos também somá-los construindo um paralelogramo Fig. 2.5. Representação de soma de dois vetores pela regra do paralelogramo. Quando os dois vetores são perpendiculares entre si, podemos somá-los aplicando o teorema de Pitágoras para encontrar o módulo do vetor resultante. Fig. 2.6. Representação de soma de dois vetores perpendiculares. R = √ A soma de dois vetores paralelos: Fig. 2.7. Representação de soma de dois vetores paralelos. R = A + B A soma de dois vetores antiparalelos. A R -B Fig. 2.8. Representação de soma de dois vetores antiparalelos. R = A + (-B) 2.4.1 A SOMA DE TRÊS OU MAIS VETORES Quando existem mais de dois vetores podemos agrupá-los em qualquer ordem para somá-los. Assim, se queremos somar os vetores A, B e C, podemos primeiro somar A e B e depois somar o resultado a C e também podemos somar o primeiro B e C e depois somar o resultado a A. A soma vetorial resultante é a mesma. R = (A + B) + C = (B + C) + A (lei associativa) 2.4.2 A SUBTRAÇÃO DE VETORES A subtração vetorial é efetuada da mesma foram que a soma vetorial. Se tivermos dois vetores A e B fornecendo um vetor resultante C segundo C = A + B representado na figura (a), podemos escrever esse resultado como A = C – B, que é um exemplo de subtração vetorial. Entretanto, podemos também escrever o este resultado como A = C + (- B) e tratá-lo como uma soma vetorial representado na figura 2.9.b. Fig. 2.9.a. Representação de soma vetorial. IMPORTANTE! “O FATO DE UMA GRANDEZA SER POSITIVA OU NEGATIVA NÃO NECESSÁRIAMENTE SIGNIFICA QUE A GRANDEZA É UM ESCALAR OU VETOR!” 12 Fig. 2.9.b. Representação de subtração vetorial. 2.5 COMPONENTES DE UM VETOR 2.5.1 COMPONENTES VETORIAIS Qualquer vetor pode ser expresso em termos de suas componentes. Em duas dimensões, as componentes vetoriais de um vetor A são dois vetores perpendiculares Ax e Ay, que são chamados de a componente vetorial x e a componente vetorial y, respectivamente e se somam vetorialmente de tal forma que A = Ax + Ay. Fig. 2.10. Representação de um vetor arbitrário A e suas componentes vetoriais x e y. As componentes x e y somadas transmitem o mesmo significado que o vetor original A. Podemos determinar as componentes de A a partir do triângulo retângulo mostrado na figura acima da seguinte forma: Ax = A. cosθ e Ay = A. senθ Onde θ é o ângulo que o vetor A faz com o semieixo x positivo e A é o modulo do vetor A. Uma vez que um vetor tenha sido decomposto em relação a um conjunto de eixos, as componentes podem ser usadas no lugar do vetor, assim: A = √ e tanθ = Exemplo: Um vetor deslocamento r possui um módulo r = 175,0 m e uma inclinação de 50,0º, em relação ao eixo dos x como mostrado na figura abaixo. Determine as componentes x e y deste vetor. Fig. 2.11. Representação do vetor deslocamento r e suas componentes x e y. Estratégia de raciocínio: De acordo com o nosso conhecimento de trigonometria básica, podemos observar o triângulo retângulo formado pelo vetor r e suas componentes x e y. Isto nos permite aplicar as funções trigonométricas seno e cosseno para determinar as componentes em questão. Solução: A componente y pode ser obtida usando o ângulo de 50,0º e a seguinte relação: senθ = y/ r y = r senθ = (175 m)(sen50,0º) = 134 m Seguindo o mesmo raciocínio, a componente x pode ser obtida da seguinte maneira: cosθ = x/ r IMPORTANTE! “AS COMPONENTES DE QUALQUER VETOR PODEM SER USADAS NO LUGAR DO PRÓPRIO DO VETOR EM QUALQUER CÁLCULO ONDE FOR CONVENIENTE FAZÊ-LO!” 13 X = r cos θ = (175 m)(cos50,0º) = 112 m Outra forma de determinar as componentes é por meio do ângulo α. Observe: Sabemos que: cosα = y/ r Desse modo: y = r cosα = (175,0 m)(cos 40,0º) = 134 m x = r senα = (175,0 m)(sem 40,0º) = 112 m O valor de 40,0º foi encontrado por meio do conhecimento da soma de ângulos internos de um triângulo que tem que ser igual a 180,0º. Então como são dados os valores de dois ângulos é possível determinar o valor do terceiro, neste exemplo, α. 2.5.2 COMPONENTES ESCALARES: As componentes escalares de um vetor são definidas como números positivos ou negativos. Seja o vetor A = Ax+ Ay. A componente Ax possui um módulo que é igual a Ax e recebe um sinal positivo se Ax apontar no sentido positivo do eixo x e um sinal negativo se apontar no sentido negativo do eixo x. A componente Ay é definida seguindo o mesmo raciocínio. Observação importante: Se o vetor possui dimensão (por exemplo, dimensão de comprimento como é o caso de um vetor deslocamento), as componentes do vetor possuem a mesma dimensão do vetor. A tabela abaixo mostra um exemplo de componentes escalares. Componentes vetoriais Componentes escalares Ax = 8 metros na direção do eixo +x Ax = +8 metros Ay = 10 metros na direção do eixo -y Ay = - 10 metros 2.6 VETORES UNITÁRIOS OU VERSORES Outro método de expressar componentes vetoriais consiste em usar vetores unitários. Um vetor unitário também conhecido como versor é um vetor que possui um módulo unitário e é adimensional. Possui a seguinte notação: ̂ é um vetor unitário adimensional de comprimento 1 que aponta no sentido positivo do eixo dos x. ̂ é um vetor unitário adimensional de comprimento 1 que aponta no sentido positivo do eixo dos y. Representaçãoem duas dimensões: Fig. 2.12. Representação do vetor A em termos das componentes Ax e Ay escritas em termos dos versores ̂ e ̂. As componentes podem ser escritas como Ax = Ax ̂ e Ay = Ay ̂. O vetor A é, então, escrito como A = Ax ̂ + Ay ̂. 2.6.1 SOMA DE VETORES E SUAS COMPONENTES Uma terceira forma de somar vetores é combinar suas componentes eixo por eixo. Considere os vetores A e B e suas respectivas componentes Ax, Ay e Bx, By. A soma é dada por: C = A + B C = Cx + Cy 14 Cx = soma das componentes de A e B no eixo x = Ax + Bx Cy = soma das componentes de A e B no eixo y = Ay + By C = Cx + Cy = (Ax + Bx) + (Ay + By) Observe as figuras a seguir: Fig. 2.13. Representação de vetores A e B fornecendo o vetor resultante C= (C = A + B) e as componentes vetoriais de A e B. Fig. 2.13. Representação de um vetor resultante C em função de suas componentes C = Ax + Bx + Ay + By Fig. 2.14. Representação de um vetor C e suas componentes (C = Cx + Cy ) formando um triângulo retângulo. Exemplo: Um corredor se desloca 145 m numa direção nordeste, que faz 20º com a direção norte tomado no sentido horário (representado pelo vetor deslocamento A) e depois 105 m em uma direção sudeste fazendo 35,0º com a direção leste também no sentido horário (representado pelo vetor deslocamento B). Determine o módulo, a direção e o sentido do vetor resultante para a soma destes dois deslocamentos. Fig. 2.15. Representação de vetor A e B somados fornecendo o vetor resultante C. Estratégia de raciocínio: Temos os vetores A e B. A figura dada nos mostra os vetores A e B, Suponhamos que o eixo y coincide com a direção norte. O primeiro passo é decompor cada um dos vetores nos eixos escolhidos para compor o sistema de coordenadas. Com isso achamos as componentes Ax, Bx e Ay, By. Em seguida fazemos a soma para determinar a resultante em cada eixo. Tendo a resultante para cada eixo aplicamos o teorema de Pitágoras para encontrar o eixo e relações da trigonometria para determinar direção e sentido do vetor resultante. Solução: Com as informações dadas na figura, montamos a seguinte tabela: Vetor Componente x Componente y A Ax = (145 m) sen 20,0º = 49,6m Ay = (145 m) cos 20,0º= 136 m B Bx = (105 m) cos 35,0º= 86,0 m By = -(105 m) sen 35,0º = -60,2 m C Cx = Ax + Bx = 135,6 m Cy = Ay + By = 76 m Tabela 2.1 – Componente de vetores A terceira linha da tabela fornece as componentes x e y do vetor resultante C: Cx = Ax + Bx e Cy = Ay + By. A figura seguinte nos mostra o vetor resultante C e suas componentes 15 vetoriais. E aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo fornecido pela mesma, temos: Fig. 2.14. Representação de um vetor resultante C formando um triângulo retângulo com suas componentes. Desse modo: C = √ = √ O ângulo θ que C faz com o eixo x é: θ = tan-1 (Cx / Cy ) = tan -1 (76 m / 135,6 m) = 29º 2.7 OPERAÇÕES COM VETORES Do ponto de vista operacional (algébrico), lidar com vetores significa, independente da representação matemática em que o vetor é dado, combiná-los segundo regras de soma e multiplicação. Mais explicitamente, significa: saber como se processa a operação de soma algébrica entre dois ou mais vetores; o que acontece quando se multiplica um vetor por um escalar; e como se dão os dois tipos de produtos envolvendo vetores (veremos a seguir). Significado de somar vetores algebricamente: Suporte operacional à regra do paralelogramo Multiplicar um vetor por um escalar altera a magnitude; não altera a direção; pode alterar o sentido (a depender do sinal do escalar). Fórmulas, cálculos e conceitos fundamentais da física são definidos em termos de produtos de vetores. Porém, o leitor talvez esteja se perguntando por que há dois tipos de multiplicação entre vetores. O que podemos afirmar com segurança é que ambos são bem definidos do ponto de vista matemático e servem a propósitos diferentes, porém igualmente importantes. Em linguagem livre, o produto escalar é uma maneira de dizer o quanto um vetor é “parecido” com o outro. Um produto escalar igual a zero entre dois vetores não nulos nos permite afirmar que esses vetores são ortogonais entre si. Podemos dizer neste caso que “um vetor não tem nada haver com o outro”(você talvez já tenha ouvido alguém dizer que Fulano e Cicrano(a) são ortogonais. Se eles não forem parecidos em nada, do ponto de vista matemático a afirmação faz sentido!). Conforme o nome expressa, o produto da multiplicação escalar entre dois vetores fornece como resultado uma grandeza escalar. O produto vetorial entre vetores pode ser pensado como uma maneira engenhosa de definir um produto entre dois vetores resultando em outro vetor. Veremos que além dessa operação ser correta do ponto de vista matemático é também muito útil para a física. Veremos, tanto no contexto da cinemática quanto no da dinâmica, vetores sendo expressos como resultado de produto vetorial entre dois vetores. 2.8 MULTIPLICAÇÃO DE VETORES Existem três formas de multiplicar vetores, porém nenhuma será igual a multiplicação algébrica. 2.8.1 MULTIPLICAÇÃO DE UM VETOR POR ESCALAR Podemos multiplicar um vetor arbitrário A por um escalar (número) w. Dessa operação obtemos um vetor resultante R com as seguintes características: IMPORTANTE! SE O ESCALAR NÃO FOR ADIMENSIONAL, O RESULTADO DIMENSIONAL DO PRODUTO É A DIMENSÃO DO ESCALAR MULTIPLICADA PELA DIMENSÃO DO VETOR. 16 R = A w | | O módulo do vetor resultante é o módulo que resulta da multiplicação do módulo de A pelo módulo de w. A direção do novo vetor é a mesma. O sentido de R é o mesmo de A se w for positivo e, sentido oposto se w for negativo. Para dividirmos A por w, multiplicamos A por 1/w. 2.8.2 MULTIPLICAÇÃO DE UM VETOR POR UM VETOR Existem duas formas de multiplicar um vetor por um vetor: uma forma conhecida como produto escalar que resulta em um escalar, a outra conhecida como produto vetorial que resulta em um vetor. 2.8.3 PRODUTO ESCALAR A multiplicação de um vetor por outro vetor resultando em um escalar é denominada produto escalar. Dados dois vetores A e B, o produto escalar é escrito como A.B e definido pela equação: A.B = cos θ Onde é o módulo do vetor A, é o módulo do vetor B e θ é o ângulo formado entre os vetores dados. Observe a figura a seguir: Fig. 2.15. Representação da multiplicação de um vetor por um escalar. Podemos escrever a equação que define o produto escalar separando as componentes da seguinte forma: A.B = = (cos θ ) A propriedade comutativa se aplica ao produto vetorial, desse modo: A.B = B.A O produto escalar dos vetores A e B escritos em termos de seus vetores unitários assume a forma: A.B = (Ax ̂ + Ay ̂ + Az ̂).(Bx ̂ + By ̂ + Bz ̂) Que pode ser expandida aplicando-se a propriedade distributiva, calculando os produtos escalares das componentes vetoriais do primeiro vetor pelas componentes vetoriais do segundo vetor, resultando em: A.B = Ax Bx + Ay By + Az Bz Exemplo: Qual é o ângulo θ entre A = 3,0i - 4,0j e B = -2,0i +3,0k? Estratégia de raciocínio: Sabemos que o ângulo entre dois vetores aparece na definição deproduto de escalar: A.B = cos θ. Solução: Sabemos que é o módulo do vetor A e que é dado por: = √ = 5,0 E que é o módulo do vetor B dado por: IMPORTANTE! “SE O ÂNGULO θ ENTRE DOIS VETORES É 0º, A COMPONENTE DE UM VETOR EM RELAÇÃO AO OUTRO É MÁXIMA. SE O ÂNGULO É 90º, A COMPONENTE DE UM VETOR EM RELAÇÃO AO OUTRO É NULA. ISSO TUDO TAMBÉM ACONTECE COM O PRODUTO ESCALAR.” 17 = √ = 3,61 Podemos calcular o produto escalar escrevendo os vetores em termos dos vetores unitários e aplicando a propriedade distributiva: A.B = (3,0i – 4,0j).(-2,0i + 3,0k) A.B = (3,0i – 4,0j + 0,0k).(-2,0i +0,0j + 3,0k) A.B = (3,0i).(–2,0i)+(3,0i).(3,0k)+(-4,0j).(-2,0i)+ (-4,0j).(3,0k) Em seguida, aplicamos o produto vetorial a cada termo desta última expressão. O ângulo entre os vetores unitários do primeiro termo (i e i) é de 0º e nos demais é de 90º. Assim temos, A.B = (-6,0).(1)+ (9,0).(0) + (8,0).(0) – (12).(0) = - 6,0 Substituindo todos os resultados encontrados na equação do produto escalar, obtemos, - 6,0 = (5,0).(3,61) cos θ θ = cos-1 = 109º 2.8.4 PRODUTO VETORIAL A multiplicação de um vetor por outro vetor resultando em um terceiro vetor é denominada produto vetorial. Dados dois vetores A e B, o produto vetorial é escrito como AxB. O módulo do vetor C obtido pelo produto vetorial entre os vetores A e B é dado por C = sen θ, sendo θ o menor ângulo formado entre os vetores dados, uma vez que senθ e sen (360º – θ) apresentam sinais opostos. O produto AxB é lido como “A vetor B”. A direção do vetor resultante C é perpendicular ao plano definido por A e B. O seu sentido pode ser determinado pela Regra da Mão Direita. Superponha as origens de A e B sem mudar suas orientações. Já falamos que a direção do vetor resultante C é perpendicular ao plano definido por A e B. Se C=AxB, a receita para determinar o sentido de C é a seguinte. Vá de A para B pelo menor percurso angular entre os dois vetores. Quatro dedos da sua mão direita fazem o menor percurso angular de A para B e o dedo polegar estendido indica o sentido do vetor resultante. Se fizermos o mesmo percurso angular, mas agora de B para A, o sentido do vetor resultante indicado pelo dedo polegar estendido é invertido conforme indicado na figura 2.1. Figura 2.1 – Regra da mão direita Isso traz uma importante consequência. Vemos que o produto vetorial entre vetores não é comutativo. Ou seja, AxB≠BxA. Vemos que o sentido do vetor resultante é invertido quando invertemos a ordem do produto (o módulo do vetor resultante é o mesmo para os dois casos). Portanto, AxB = -BxA. Vamos então resumir a toda a informação do produto vetorial entre vetores numa tabela: 18 2.9 EXERCÍCIOS: 1. Em 1969, os três astronautas da cápsula Apollo deixaram o Cabo Canaveral, foram à lua e, na volta, desceram no oceano Pacífico. Um almirante cumprimentou-os em cabo Canaveral e seguiu até o oceano Pacífico em um avião que os recolheu. Compare os deslocamentos dos astronautas e do almirante. 2. Um vetor pode ter módulo igual a zero se uma de suas componentes for diferente de zero? 3. É possível que a soma dos módulos de dois vetores seja sempre igual à soma destes dois vetores? 4. É possível que o módulo da diferença entre dois vetores seja sempre maior do que o módulo de cada vetor? E maior que o módulo de sua soma? Dê exemplos. 5. Você pode ordenar os acontecimentos no tempo. Por exemplo, o evento b pode proceder ao evento c, porém seguir o evento a, dando a ordenação temporal do evento a, b e c. Consequentemente, existe um sentido para o tempo, distinguindo o passado, o presente e o futuro. Será que o tempo, então, é uma grandeza vetorial? Se não, por quê? 6. O produto escalar pode ser uma quantidade negativa? Justifique. 7. a) Sendo ⃗ ⃗⃗ , podemos concluir daí que os vetores são perpendiculares entre si? b) Se ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗, segue-se daí que ⃗⃗ ⃗ ? 8. Se ⃗ ⃗⃗ , ⃗ e ⃗⃗ devem ser paralelos entre si? O inverso é verdadeiro? 9. Considere dois deslocamentos, um igual a 3 m e um outro de módulo igual a 4 m. Mostre como os vetores deslocamento podem ser combinados de modo a fornecer um deslocamento resultante de módulo igual a: a) 7 m; b) 1 m; c) 5 m. 10. Uma mulher caminha 250 m na direção de 30º a nordeste e em seguida 175 m diretamente para leste. a) Utilizando métodos gráficos, determine o deslocamento resultante. b) Compare o módulo do deslocamento com a distância que ela caminhou. 11. Uma pessoa caminha do seguinte modo: 3,1 km para o norte, depois 2,4 km para oeste e, finalmente, 5,2 km para o sul. a) Construa o diagrama vetorial que representa este movimento. b) Que distância um pássaro deveria voar, em linha reta, em que direção, de modo a chegar ao mesmo ponto final? 12. Um vetor a tem módulo de 5,0 unidades na direção leste. Outro, b, na direção de 35º para noroeste, tem um módulo igual a 4,0 unidades.Construa um diagrama vetorial para calcular a+b e b-a. Faça uma estimativa dos módulos e direções dos vetores a+b e b-a, a partir do diagrama. 13. Quais são os componentes de um vetor ⃗ localizado no plano xy, se sua direção faz um ângulo de 205º com o eixo x e o seu módulo é igual a 7,3 unidades? 14. Um vetor deslocamento r no plano xy tem um comprimento igual a 15 m e sua direção é mostrada na figura abaixo. Determine os componentes x e y deste vetor. IMPORTANTE! “SE A E B SÃO PARALELOS OU ANTIPARALELOS, AxB = 0. O MÓDULO DE AxB É MÁXIMO QUANDO A E B SÃO MUTUAMENTE PERPENDICULARES UM AO OUTRO.” 19 15. Determine, utilizando os vetores unitários, a) a soma dos dois vetores ⃗ ̂ ̂ e ⃗⃗ ̂ ̂. B) Quais são o módulo e a direção do vetor ⃗ e ⃗⃗? 16. Calcule os componentes, módulo e direção de: a) ⃗ ⃗⃗; b) ⃗⃗ ⃗, se ⃗ ̂ ̂ e ⃗⃗ ̂ .̂ 17. No sistema de coordenadas da figura abaixo, mostre que: ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ e ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ 18. Um vetor a de módulo igual a 10 unidades e outro vetor b de módulo igual a 6 unidades apontam para direções que fazem um ângulo de 60º entre si. a) Determine o produto escalar entre os dois vetores e b) o produto vetorial a x b. 19. A soma de três vetores é igual a zero, como nos mostra a figura abaixo. Calcule: a) a x b; b) a x c; c) b x c. 20. Sejam dois vetores representados em termos de suas coordenadas como: ⃗ ̂ ̂ ̂ e ⃗⃗ ̂ ̂ ̂ Mostre que: ⃗ ⃗⃗ 21. Um vetor deslocamento ⃗ no plano xy tem um comprimento igual a 15 m e tem a orientação mostrada na figura abaixo. Determine (a) a componente x e (b) a componente y do vetor. 22. São dois vetores: ⃗ ̂ ̂ e ⃗⃗ ̂ ̂ Quais são (a) o módulo e (b) o ângulo (relativo a ̂) de ⃗ ? Quais são (c) o módulo e (d) o ângulo de ⃗⃗? Quais são (e) o módulo e (f) o ângulo de ⃗ ⃗⃗; (g) o módulo e (h) o ângulo de ⃗⃗ ⃗; e (i) o módulo e (j) o ângulo de ⃗ ⃗⃗? (k) qual é o ângulo entre as direções ⃗⃗ ⃗ e ⃗ ⃗⃗? 23. São dados dois vetores ⃗⃗ e ⃗. Calcule o módulo do vetor resultante ⃗ e o ângulo formado entre o vetor resultante e o vetor ⃗⃗ em função do módulo dos vetores ⃗⃗ e⃗ e do ângulo θ entre esses dois vetores. (dica: monte o problema graficamente). 24. Uma força de F1, de módulo igual a 2 N forma um ângulo de 30° com o eixo Ox. Uma força F2, de módulo igual a 6 N forma um ângulo de 80° com o eixo Ox. Calcule: (a) o módulo F da força resultante F; (b) o ângulo formado entre a resultante e o eixo Ox. 25. Um vetor A forma um ângulo com um vetor B. Sabendo que A = 3 e B = 4, calcule o 20 módulo do vetor resultante R (unidades de força em Newton). 26. Um vetor F forma um ângulo com um vetor G. Sabendo que F = 5 e G = 8, calcule: (a) o módulo da resultante R; (b) o ângulo formado entre a resultante e o vetor F. 27. Considere dois vetores A e B dados por: Determine: (a) a soma A+B; (b) a diferença A-B; (c) o produto escalar destes vetores; (d) o co- seno do ângulo entre os dois vetores. 21 3 Cinemática em Uma Dimensão (1D) Tópicos: 3.1 Objetivos do Capítulo 3.2 Referenciais 3.3 Posição e Deslocamento; 3.4 Velocidade Escalar e Vetor Velocidade; 3.5 Aceleração; 3.6 Equações da Cinemática para Aceleração Constante; 3.7 Aplicações das Equações da Cinemática; 3.8 Corpos em Queda Livre; 3.9 Análise Gráfica da Velocidade e da Aceleração; 3.10 Cinemática do Movimento Circular; 3.11 Período e Frequência; 3.12 Velocidade Escalar; 3.13 Velocidade Angular; 3.15 Aceleração Centrípeta; 3.15 Aceleração Vetorial; 3.16 Exercícios. 3.1 OBJETIVOS DO CAPÍTULO: O capítulo tem por objetivo mostrar como ocorre o estudo do movimento, introduzindo os conceitos básicos da cinemática, demonstrando como as equações podem fornecer informações valiosas depois de interpretadas, e quais informações são estas. É intenção do capítulo discutir conceitos importantes no movimento, como posição e deslocamento que são a base para o entendimento de todo o conteúdo subsequente. As análises gráficas presentes neste capítulo tem por objetivo evidenciar o que foi visto nas equações, facilitando a visualização das situações abordadas. 3.2 REFERENCIAIS: Referencial é o padrão tomado como guia para as observações. Por exemplo, imagine que você está no banco de trás de um carro a 60 Km/h. Para o motorista, você está parado, com velocidade igual a 0km/h. Já para alguém que te observa da calçada, você está se locomovendo a 60 Km/h. Assim, tanto o motorista como o observador da calçada são referenciais, o que nos permite dizer que a velocidade é relativa. Os referenciais não são todos equivalentes. Imaginemos que nos encontramos num elevador movendo-se para baixo num movimento retilíneo com velocidade constante. Se o observador que se encontra dentro dele deixar cair um objeto, ele cairá normalmente por ação da força de gravidade normal. Imaginemos agora que num dado instante há um problema com o cabo e o elevador entra em queda livre. Se o observador largar agora o mesmo objeto ele não cairá. A única diferença em relação ao caso anterior é que agora o elevador se move com um movimento uniformemente acelerado (aceleração constante = g). No primeiro caso o referencial associado ao elevador (e ao observador) é referencial inercial (ou galileano, por esta noção ter sido introduzida por Galileu Galilei). No segundo caso o referencial é não-inercial. A sua principal característica é que neles aparecerem forças suplementares designadas por forças de inércia. Em outras palavras: “Um referencial é denominado referencial inercial se nele a primeira lei de Newton é válida”. 3.3 POSIÇÃO E DESLOCAMENTO: Localizar um objeto significa determinar sua posição em relação a um referencial. Nos problemas de física, normalmente a origem (ou ponto zero) de um eixo cartesiano ou linear serve como referência. Ex: Figura 3.1- Indicação de Referencial O Deslocamento é um vetor que aponta da posição inicial para a sua posição final e possui 22 um módulo igual à menor distância entre as duas posições. Unidade SI de Deslocamento: Metro. Assim, o deslocamento é a diferença entre x e xo ∆x = x - xo ; onde: ∆x – Deslocamento; xo – Posição inicial; x – Posição Final. Atenção: Deslocamento e espaço percorrido são diferentes. Exemplo1: Suponha que um avião esteja se movendo no sentido leste-oeste e que um sinal positivo (+) seja usado para representar o sentido para leste. Então, ∆x = +1000 m representa um deslocamento que aponta para o leste e possui módulo igual a 1000 metros. Já ∆x = - 1000 m é um deslocamento para o oeste, com módulo também igual a 1000 metros. Exemplo2: O mesmo avião do exemplo anterior voa primeiramente 1000 m para o leste, depois retorna a cidade de onde decolou. Neste caso o deslocamento será nulo ∆x = 0 m, porém o espaço percorrido pelo avião será 2000 metros Exercício Resolvido: (Questão – Física, Cutnell & Johnson) Uma baleia nada em direção ao leste por uma distância de 6,9 km, dá meia-volta e vai para o oeste por 1,8 km; finalmente dá meia-volta novamente e se dirige 3,7 km para o leste. (a) Qual a distância total percorrida pela baleia? (b) Qual o módulo, a direção e o sentido do deslocamento da baleia? Raciocínio: A distância percorrida será a soma das distâncias percorridas pela baleia, já o deslocamento será a soma atribuindo sinais de acordo com o sentido: (a) 6,9 km + 1,8 km + 3,7 km = 12,4 km (b) Para o leste será atribuído o sinal positivo, para o oeste será atribuído o sinal negativo. ∆x = +6,9 km–1,8 km+3,7 km =+8,8km 8,8 km para leste. 3.4 VELOCIDADE ESCALAR E VETOR VELOCIDADE: 3.4.1 Grandezas Escalares e Vetoriais: Grandeza escalar é uma grandeza que é determinada apenas por um valor numérico chamado de módulo. Por exemplo, um carro se move a 100 km / h. Nesse caso, o movimento do carro é tratado como Grandeza Escalar. Não dizemos de que maneira ele está se movimentando. Já a grandeza vetorial é uma grandeza que, além do módulo, é determinada por uma direção e um sentido. Por exemplo, um carro se move na direção horizontal, da esquerda para direita e a 100 km/h. Nesse caso, o movimento do carro é tratado como uma Grandeza Vetorial, com módulo, direção e sentido. →100km/h Essa seta chamada vetor (→) é o ente usado para determinar as Grandezas Vetoriais. Ele determina a direção (horizontal, vertical ou inclinada), determina o sentido (da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda), e determina o módulo de acordo com o seu comprimento (quanto maior o vetor, maior é o módulo). 3.4.2 VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA: A velocidade escalar média é a razão entre o espaço percorrido e o tempo gasto para realizá- lo. V escalar media = (3.1) Unidade SI de Velocidade: Metros por segundo (m/s). 23 Exemplo1: (Cutnell & Johnson) Que distância um corredor percorre em 1,5h (5400 s) se a sua velocidade escalar média for de 2,22 m/s? Raciocínio: A velocidade escalar média é a distância total percorrida pelo corredor durante o intervalo de tempo em que corre, ou seja, a distância percorrida total é a velocidade escalar média multiplicadapelo número de segundos que ele corre. Distância = (Velocidade escalar média)(Tempo transcorrido) = 2,22 * 5400 = 12000 metros. 3.4.3 VELOCIDADE VETORIAL MÉDIA: A velocidade vetorial média é a razão entre o vetor deslocamento e o tempo transcorrido (∆t). ̅ ̅ ̅ ̅ (3.2) O vetor velocidade média é um vetor que aponta na mesma direção e no mesmo sentido que o deslocamento. O vetor velocidade de um carro pode apontar apenas em um sentido ou no sentido contrário. Do mesmo modo que o deslocamento, usaremos os sinais de mais e de menos para indicar os dois sentidos possíveis para uma dada direção. 3.4.4 VETOR VELOCIDADE INSTANTÂNEA Que significa "velocidade num dado instante t "? Para ilustrar este conceito, vamos parafrasear uma anedota utilizada por Feynman em seu curso e transcrita no excelente livro texto (NUSSENZVEIG, H. MOYSÉS). Essa anedota é contada na forma de um diálogo fictício entre um estudante representado por E (que estava dirigindo seu carro de forma a não chegar atrasado na aula de física) e o guarda representado por G(que o fez parar, acusando-o de excesso de velocidade) G.: O seu carro estava a 120 km/h, quando o limite de velocidade aqui é de 60 km/h! E.: Como é que eu podia estar a 120 km por hora se só estava dirigindo aqui há cerca de 1 minuto, e não durante uma hora? G.: O que quero dizer é que, se continuasse em frente do jeito que estava, teria percorrido 120 km em uma hora. E.: Se tivesse continuado sempre em frente, eu teria ido bater no prédio da Física! G.: Bem, isso seria verdade se tivesse seguido em frente por uma hora. Mas, se tivesse continuado em frente por 1 minuto, teria percorrido 120 km/60 =2 km, e em 1s teria percorrido 2 km/60 = 33,3 m, e em O,ls teria percorrido 3,33 m, e teria dado perfeitamente para prosseguir durante 0,1 s. E.: Mas o limite de velocidade é de 60 km/h, e não de 1,66 m em 0,1s! G..: É a mesma coisa: o que conta é a velocidade instantânea. Em parte, o estudante E. também tem um pouco de razão: é permitido exceder o limite de velocidade em intervalos de tempo extremamente curtos, como nas ultrapassagens. A velocidade de um carro usualmente não sofre nenhuma alteração apreciável em intervalos de tempo < 0,1 s, de modo que não é preciso, neste exemplo, tomar intervalos menores. Se necessário, para calcular a velocidade instantânea com precisão cada vez maior, poderíamos considerar o espaço percorrido em 10-2 s, 10-3 s,... Quanto menor ∆t (e em conseqüência também o ∆x correspondente), mais o valor de ∆xI∆t se aproxima da velocidade instantânea. (NUSSENZVEIG, H. MOYSÉS). Caso o leitor não tenha visto o conceito de derivada, um conselho. Não se preocupe! Retomaremos o estudo do cálculo diferencial e integral no capítulo 5. A velocidade em um dado instante é obtida a partir da velocidade média reduzindo o intervalo de tempo até torná-lo próximo de zero. À medida que diminui, a velocidade média se aproxima de um valor-limite, que é a velocidade instantânea: 24 v é a taxa com a qual a posição x está variando com o tempo em um dado instante, ou seja, v é a derivada de x em relação a t. A Velocidade escalar instantânea, ou simplesmente, velocidade escalar, é o módulo da velocidade, ou seja, a velocidade desprovida de qualquer indicação de direção. Exemplo1: (Halliday) As equações a seguir fornecem a posição x(t) de uma partícula em quatro casos (em todas as equações, x está em metros, t em segundos e t>0) (1) x = 3t -2; (2) x = -4t² - 2; (3) x = -2. (a) Em que caso(s) a velocidade v da partícula é constante? (b) Em que caso(s) a velocidade v é no sentido negativo do eixo x? Aplicando as derivadas: (1) x(t) = 3t – 2; x‟(t) = 3 – 2 = 1. (2) x(t) = -4t² - 2; x‟(t) = -8t -2 (3) x(t) = 2 = 2 t-2 ; x‟(t) = -6 t-3 (4) x(t) = -2; x‟(t) = 0 (a)- A velocidade da partícula será constante nos casos (1) e (4) (b)- A velocidade será negativa nos casos (2) e (3). 3.5 ACELERAÇÃO: 3.5.1 Aceleração média e aceleração instantânea: Quando a velocidade de uma partícula varia, diz- se que a partícula foi acelerada (ou foi acelerada). Para movimentos ao longo de um eixo, a aceleração média amed em um intervalo de tempo ∆t é: Unidade SI de aceleração: metros por segundo ao quadrado (m/s²) Onde a partícula tem velocidade v1 no instante t1 e velocidade v2 no instante t2. A aceleração instantânea (ou, simplesmente, aceleração) é dada por: Como: Então: Ou seja, a aceleração de uma partícula em qualquer instante é a derivada segunda da posição x(t) em relação ao tempo. A aceleração também é uma grandeza vetorial. Exemplo1:(Halliday) A posição de uma partícula no eixo x é dada por: Com x em metros e t em segundos. (a) Como a posição x depende do tempo t, a partícula deve estar em movimento. Determine a função velocidade v(t) e a função aceleração a(t) da partícula. Raciocínio: Para obter a função velocidade v(t), derivamos a função posição x(t) em relação ao tempo. Para obter a função aceleração a(t), derivamos a função velocidade v(t) em relação ao tempo. (1) (2) 3.6 EQUAÇÕES DA CINEMÁTICA PARA ACELERAÇÃO CONSTANTE As equações da cinemática descrevem como o corpo em movimento se comporta em função do tempo, se ele está aumentando sua velocidade 25 (acelerado), se está diminuindo (desacelerado), ou ainda, onde ele se encontrará num determinado tempo x, e até mesmo é possível saber qual a velocidade do corpo em função do deslocamento. Nos casos onde a aceleração é constante, a aceleração instantânea é igual à aceleração média. Então temos na tabela a seguir: Figura 3.2 – Fórmulas para aceleração constante. Essas equações são somente para o caso da aceleração constante. 3.7 APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DA CINEMÁTICA Exemplo1: (Cutnell & Johnson) Uma espaçonave está viajando com uma velocidade de +3250 m/s. Subitamente, os retrofoguetes são disparados e a espaçonave começa a reduzir sua velocidade com uma (des)aceleração cujo módulo é igual a 10,0 m/s². Qual a velocidade da espaçonave quando o deslocamento da nave é igual a +215 km, em relação ao ponto no qual os retrofoguetes começaram a atuar? Raciocínio: Como a espaçonave está reduzindo a sua velocidade, o vetor aceleração deve ser contrário ao vetor velocidade. Dados: ∆x = +215 000 m v = ? v0 = +3250 m/s t = não fornecido Solução: da equação , concluímos que: √ = √ = + 2500 m/s = - 2500 m/s Exemplo2: Uma motocicleta, partindo do repouso, possui aceleração de +2,6m/s². Após ter percorrido uma distância de 120 m, a motocicleta reduz sua velocidade, com uma aceleração de - 1,5 m/s², até que a sua velocidade seja igual a +12 m/s. Qual o deslocamento da motocicleta? Raciocínio: O deslocamento total é a soma dos deslocamentos para o primeiro segmento (acelerado)e o segundo (desacelerado). O deslocamento para o primeiro segmento foi fornecido, para o segundo segmento pode ser determinado sabendo a velocidade inicial para esse segmento. Para o primeiro segmento: x = 120 m v = ? v0 = 0 m/s t = não fornecido Da equação temos: √ √ = 25 m/s Agora podemos usar +25 m/s como a velocidade inicial para o segundo segmento. Para o segundo segmento: x = ? v = +12 m/s 26 v0 = +25 m/s t = não fornecido Da equação temos: O deslocamento total do motociclista é igual a 120 m + 160 m = 280 m. 3.8 CORPOS EM QUEDA LIVRE Se você arremessasse um objeto para cima ou para baixo e pudesse de alguma forma eliminar o efeito de resistência do ar sobre o movimento, observaria que o objeto sofre uma aceleração constante para baixo que independe das características do objeto (como massa, densidade e forma) e, portanto, é igual para todos os objetos. Essa aceleração é conhecida como aceleração em queda livre, representada pela letra g. Uma pena e uma bola de golfe abandonadas no vácuo a partir de uma mesma altura sofrem a mesma aceleração, e por isso caem ao mesmo tempo no chão. Em primeira aproximação, a aceleração em queda livre é constante para qualquer ponto próximo à superfície da Terra e possui valor igual a g = 9,8 m/s². Temos então que todas as equações para a aceleração constante são válidas. Exemplo1: (Halliday) Um jogador de beisebol lança uma bola para cima no eixo y, com velocidade inicial de 12 m/s (a) Quanto tempo a bola leva para atingir a altura máxima? (b) Qual a altura máxima alcançada pela bola em relação ao ponto de lançamento? (c) Quanto tempo a bola leva para atingir um ponto 5,0 m acima do ponto inicial? Raciocínio: (a) Entre o instante em que a bola é lançada e o instante em que volta ao ponto de partida sua aceleração é constante = g. (b) Na altura máxima v = 0 m/s, então: (c) ( ) Resolvendo esta equação do segundo grau, obtemos: Existem dois tempos possíveis, pois a bola passa duas vezes pelo ponto y = 5,0 m, uma vez na subida e outra na descida. Como podemos ver no gráfico abaixo da função que descreve o movimento . 27 Gráfico 3.1 – Altura x Tempo 3.9 ANÁLISE GRÁFICA DA VELOCIDADE E DA ACELERAÇÃO Figura 3.3 - Análise Gráfica Da Velocidade X Tempo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 A lt u ra ( m ) Tempo (s) Altura vs Tempo 28 Na figura acima o ciclista passa por três fases, na primeira ele está com velocidade positiva, na segunda está em repouso e na terceira está voltando com velocidade negativa. As velocidades médias para os três segmentos são: (1): ̅ (2): ̅ (3): ̅ Gráfico 3.2 – Posição x Tempo O gráfico acima foi desenhado para aceleração constante , levando em consideração a equação . Para determinação da velocidade tiramos a tangente em um determinado ponto (ou derivamos). v0= 0 m/s, . Derivando temos: . Gráfico 3.3 – Velocidade x Tempo Para temos: . É fácil notar que a velocidade aumenta uniformemente no decorrer do tempo, o que caracteriza uma aceleração constante. 3.10 CINEMÁTICA DO MOVIMENTO CIRCULAR Movimentos circulares são muito comuns na natureza. As palhetas de um ventilador, um CD e o pneu de um carro são apenas alguns exemplos que fazem parte de nosso cotidiano. De uma maneira geral podemos afirmar que uma partícula está em movimento circular quando sua trajetória é uma circunferência. Em situações onde o valor numérico da velocidade permanece constante, dizemos que o corpo descreve um Movimento Circular Uniforme. 3.11 PERÍODO E FREQUÊNCIA Cotidianamente utilizamos o conceito de frequência(f). A frequência do aluno na sala de aula, o n° de vezes que uma pessoa teve gripe, a frequência de quantas vezes o Flamengo venceu o Vasco da Gama no último campeonato... Enfim, são situações que nos mostram o conceito de frequência: o n° de vezes que um fenômeno ocorre num determinado intervalo de tempo. Exemplos: 0 10 20 30 40 0 5 10 V e lo ci d ad e (m /s ) Tempo (s) Velocidade vs Tempo 29 1) Qual a frequência de Joãozinho na escola? - 5 vezes por semana. N° de vezes que o fenômeno ocorre (5) num intervalo de tempo (1 semana). 2) Qual a frequência com que o Flamengo ganha do Vasco da Gama? - 10 vezes em 10 jogos. N° de vezes que o fenômeno ocorre (10) num intervalo de tempo (10 jogos). Daí nossa equação: f = N/ ∆ t O MCU é periódico, ou seja, cada volta na circunferência ocorre no mesmo intervalo de tempo. A definição de período (T) vem daí: é o intervalo de tempo gasto pela partícula para completar uma volta, ou de uma forma mais ampla é o tempo gasto para a repetição do fenômeno (volta). A freqüência e o período são inversamente proporcionais e obedecem a relação: T = 1/f No SI as unidades de freqüência e período são: período (T)- segundo (s) freqüência (f)- 1/s ou RPS (rotações/segundo) ou Hertz (Hz) É comum surgir uma outra unidade para freqüência: RPM (rotações/minuto). Transformando para o SI: 1Hz = 60 RPM 3.12 VELOCIDADE ESCALAR (LINEAR) O vetor tangente à trajetória que representa a velocidade de uma partícula é denominado velocidade tangencial. O módulo da velocidade tangencial é denominado velocidade escalar ou velocidade linear. Quando uma partícula completa uma volta, ela percorre uma distância igual ao comprimento da circunferência por ele descrita, num intervalo de tempo igual a um período. 1 volta: ∆ x = comprimento da circunferência (2πR) ∆ t = T Figura 3.4 – Velocidade Linear (Escalar) V= 2 πRf A unidade da velocidade escalar (linear) no SI é o m/s. Figura 3.5 – Polias e engrenagens no movimento circular 30 3.13 VELOCIDADE ANGULAR A velocidade angular (ω) é uma grandeza vetorial. No entanto, no MCU, a velocidade angular é constante. Quando uma partícula efetua um movimento circular, o raio que a acompanha descreve um ângulo ∆φ, num intervalo de tempo ∆t. Numa volta completa temos ∆φ= 2π radianos, num intervalo de tempo igual ao período. Figura 3.6 – Velocidade Angular Figura 3.7 – Movimento de rotação com mesma frequência. 3.14 ACELERAÇÃO CENTRÍPETA Como nos movimentos circulares uniformes o módulo da velocidade tangencial (velocidade escalar) é constante, podemos dizer que a aceleração escalar é nula (a=0). Aceleração escalar: V = V0 + a.t Figura 3.8 – Aceleração Centrípeta E Velocidade Tangencial No entanto, como há variação da direção e do sentido da velocidade tangencial,há também uma aceleração causando esta variação. Essa aceleração é denominada aceleração centrípeta (acp). Pode-se demonstrar que o módulo da aceleração centrípeta, em função da velocidade escalar (V) e do raio da trajetória (R), pode ser dado por: acp= V 2/R A unidade da aceleração centrípeta no SI é o m/s2. 3.15 ACELERAÇÃO VETORIAL A aceleração vetorial de uma partícula que se movimenta ao longo de uma trajetória curvilínea, num instante qualquer, pode ser decomposta em duas componentes ortogonais, uma tangente e a outra normal à trajetória. 31 Figura 3.9 – Análise Vetorial da aceleração. A componente tangente é denominada aceleração tangencial (at) e seu módulo (valor numérico) é igual ao módulo da aceleração escalar. A componente normal nada mais é do que a aceleração centrípeta (acp). 3.10 – Aceleração tangencial e centrípeta 3.16 EXERCÍCIOS: 1) Um carro percorre um trecho retilíneo de uma estrada. No primeiro trecho, AB, ele se desloca com velocidade escalar média de 80 km/h e demora 30 minutos. No segundo trecho, BC, ele se desloca com velocidade escalar média de 100 km/h, demorando 2,0 horas. Determine a velocidade escalar média no percurso ABC. 2) Um carro desloca-se em uma trajetória retilínea descrita pela função S=20+5t (no SI). Determine: (a) a posição inicial; (b) a velocidade; (c) a posição no instante 4s; (d) o espaço percorrido após 8s; (e) o instante em que o carro passa pela posição 80m; (f) o instante em que o carro passa pela posição 20m. 3) Dois trens partem simultaneamente de um mesmo local e percorrem a mesma trajetória retilínea com velocidades, respectivamente, iguais a 300km/h e 250km/h. Há comunicação entre os dois trens se a distância entre eles não ultrapassar 10km. Depois de quanto tempo após a saída os trens perderão a comunicação via rádio? 4) Uma motocicleta se desloca com velocidade constante igual a 30m/s. Quando o motociclista vê uma pessoa atravessar a rua freia a moto até parar. Sabendo que a aceleração máxima para frear a moto tem valor absoluto igual a 8m/s², e que a pessoa se encontra 50m distante da motocicleta. O motociclista conseguirá frear totalmente a motocicleta antes de alcançar a pessoa? 5) Os ponteiros do relógio realizam um movimento circular uniforme. Qual a velocidade angular dos ponteiros (a) das horas, (b) dos minutos (c) e dos segundos? 6) Uma bola de bilhar, com raio igual a 2,5cm, após ser acertada pelo jogador, começa a girar com velocidade angular igual a 5rad/s, e sofre uma desaceleração igual a -1rad/s² até parar, qual o espaço percorrido pela bola? - Deslocamento, Velocidade Escalar e Vetor Velocidade. 1 - Uma Baleia nada em direção ao leste por uma distância de 6,9 km, dá meia-volta e vai para o oeste por 1,8 km; finalmente dá meia-volta novamente e se dirige 3,7 km para o leste. a) Qual a distância total percorrida pela baleia? b) Qual o módulo, a direção e o sentido do deslocamento da baleia? 2 – Um turista que está sendo perseguido por um urso furioso está correndo em linha reta em direção a seu carro a uma velocidade de 4,0 m/s. O carro está a uma distância d. O urso está a 26 m do turista e correndo a 6,0 m/s. O turista 32 alcança o carro com segurança. Qual o valor máximo possível para d? 3 – Você está em um trem que está viajando a 3,0 m/s ao longo de uma linha férrea reta e horizontal. Bem próximo e paralelo à linha férrea existe um muro com uma inclinação para cima de 12º com a horizontal. Ao olhar pela janela (0,90 m de altura e 2,0 m de largura) de seu compartimento, o trem está se movendo para a esquerda, como indicado no desenho. A face superior do muro aparece primeiro no canto A da janela e finalmente desaparece no canto B da janela. Quanto tempo se passa entre o aparecimento e o desaparecimento da face superior do muro? 4 – Uma mulher e seu cachorro saem para uma corrida matinal até o rio, localizado a 4,0 km. A mulher corre a 2,5 m/s em linha reta. Ela solta a coleira do cachorro, que corre indo e vindo a 4,5 m/s entre a sua dona e o rio, até que ela alcance o rio. Qual a distância percorrida pelo cachorro? - Aceleração 5 – Uma motocicleta possui uma aceleração constante de 2,5 m/s². Tanto o vetor velocidade quanto o vetor aceleração da motocicleta apontam na mesma direção e sentido. Quanto tempo é necessário para que a motocicleta mude a sua velocidade: a) De 21 para 31 m/s? b) De 51 para 61 m/s? 6 – Um corredor acelera até uma velocidade de 5,36 m/s em direção ao oeste em 3,00 s. A sua aceleração é de 0,640 m/s², também dirigida para o oeste. Qual era o seu vetor velocidade quando ele começou a acelerar? 7 – Um carro está viajando ao longo de uma estrada reta, a uma velocidade de +36,0 m/s, quando seu motor para de funcionar. Durante os próximos doze segundos o carro reduz a velocidade e a sua aceleração média é ⃗⃗⃗1. Durante os seis segundos seguintes, o carro reduz ainda mais velocidade e a sua aceleração média é ⃗⃗⃗2. A velocidade do carro, ao final do período de dezoito segundos, é +28,0 m/s. O quociente entre os valores das acelerações médias é ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ Determine o vetor velocidade do carro no final do intervalo inicial de doze segundos. - Aceleração Constante, aplicações das equações da cinemática. 8 – Ao se preparar para fazer uma enfiada de bola, um jogador de basquetebol parte do repouso e dá uma arrancada até atingir uma velocidade de 6,0 m/s em 1,5 s. Supondo que o jogador acelere uniformemente, determine a distância que ele corre. 9 – Um fusca vai de 0 a 60 mi/h com uma aceleração de +2,35 m/s². a) Quanto tempo é necessário para que o fusca atinja a esta velocidade? b) Um carro modificado para bater recordes de aceleração (dragster) pode ir de 0 a 60 mi/h em 0,600 s. Determine a aceleração (em m/s²) deste carro. 10 – Um avião a jato comercial, viajando em direção ao norte, está pousando com uma velocidade de 69 m/s. Ao tocar no solo, o jato tem 750 m de pista para reduzir a sua velocidade para 6,1 m/s. Calcule a aceleração média (módulo e sentido) do avião durante a aterrissagem. 11 – Suponha que um carro esteja se movendo a 20,0 m/s e que o motorista perceba que o sinal de trânsito ficou vermelho. Após 0,530 s (o tempo de reação), o motorista pisa no freio e o carro desacelera a 7,00 m/s². Qual a distância de parada do carro, medida a partir do ponto no qual o motorista percebeu pela primeira vez o sinal vermelho? 12 – Um carro está se movendo a uma velocidade constante de 33 m/s em uma autoestrada. No instante em que este carro passa por um acesso, um segundo carro entra na autoestrada vindo deste acesso. O segundo carro parte do repouso e possui uma aceleração 33 constante. Que aceleração ele deve manter para que os dois carros se encontrem pela primeira vez na próxima saída, que está a 2,5 km? - Corpos em queda livre. 13 – Um astronauta em um planeta distante quer determinar sua aceleração gravitacional. O astronauta atira uma pedra verticalmente para cima com uma velocidade de +15 m/s e mede um tempo de 20,0 s antes de a pedra retornar à sua mão. Qual a aceleração gravitacional (módulo e sentido) neste planeta? 14 – Uma moeda é solta do repouso do alto da Torre Sears, em Chicago. Considerando que a altura do edifício é de 427 m e ignorando a resistência do ar, determine o módulo da velocidade com que a moeda bate no chão. 15 – Uma bola de
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