Questão resolvida - Calcule a área da região limitada pelas curvas yx-4 e yx-4x4 - Cálculo II - UNICEUMA

Prévia do material em texto

Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas / WhatsAPP: (71) 9927-17449
 
• Calcule a área da região limitada pelas curvas y = 4 - x
y = x² - 4x + 4
 
Resolução: 
 
Primeiro, vamos encontrar a intercessão entre as curvas, isso é feito igualando-as e 
resolvendo para ;x
 
x² - 4x + 4 = 4 - x x² - 4x + 4 + x - 4 = 0 x² - 3x = 0→ →
 
Resolvendo a equação do 2° grau resultante;
 
x² - 3x = 0 x x - 3 = 0 x = 0 ou x - 3 = 0 x = 3→ ( ) → →
 
x = 0 y = 4 - 0 y = 4 0, 4→ → ⏫⏪⏪⏪⏪⏪ ( )
 
x = 3 y = 4 - 3 y = 1 3, 1→ → ⏫⏪⏪⏪⏪⏪ ( )
 
Vamos resolver a equação para saber onde a curva toca o eixo ;x² - 4x + 4 = 0 x
 
x² - 4x + 4 = 0
 
x = x = = = = = 2
- -4 ±
2 ⋅ 1
( ) -4 - 4 ⋅ 1 ⋅ 4( )2 ( )
→
4 +
2
16 - 16 4 ±
2
0 4 + 0
2
4
2
 
Assim a função toca o eixo em 2 e o eixo em 4. A reta toca os eixos e em 4 e tem x y x y
concavidade voltada para baixo , com essas informações podemos montar o gráfico a < 0( )
como visto na sequência;
 
 
intercessão em
intercessão em
Analisando o gráfico, podemos concluir que a área entre as curvas é dada pela integral;
 
A = 4 - x dx - x² - 4x + 4 dx = 4x - - - + 4x
3
0
∫ ( )
3
0
∫ ( ) x
2
2 3
0
x
3
3 4x
2
2 3
0
 
A = 4x - - - 2x + 4x
x
2
2 3
0
x
3
3
2
3
0
 
A = 4 ⋅ 3 - - 4 ⋅ 0 - - - 2 3 + 4 ⋅ 3 - - 2 0 + 4 ⋅ 0
3
2
( )2 0
2
( )2 3
3
( )3
( )2
0
3
( )3
( )2
 
A = 12 - - 0 - 3 - 2 ⋅ 9 + 12 - - 2 ⋅ 0 + 0 = 12 - - 9 - 18 + 12 - 0
9
2
( )2
0
3
9
2
[ ]
 
A = - 3 = - 3 =
24 - 9
2
( )
15
2
15 - 6
2
 
A = u. a.
9
2
 
 
y
x
(Resposta )