matematica-financiera-simplificada - Julio Benavidez Fonte

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INGENIERÍA ECONÓMICA, es el arte de hacer con un dólar lo que cualquier ignorante 
 puede hacerlo gastando dos. Obra escrita por: Arthur M. Wellington – Ing. Civil - (EE.UU. 1887) 
 
 Autor: ING. ECON. ABDÍAS ESPINOZA – PERÚ 
 TIENDA VIRTUAL MUNDIAL: www.safperu.com 
 
MATEMÁTICA 
FINANCIERA 
Simplificada 
 
LAS 6 FÓRMULAS CLAVES 
Y EL CIRCUITO FINANCIERO 
 
 LOS FONDOS DE AMORTIZACIÓN 
 i 
 R = S 4 
LA ACTUALIZACIÓN (1+i)n-1 LA CAPITALIZACIÓN 
 
 1 
 2 P = S S S = P (1+i)n 1 
 (1+i)n R R . . . R 
 
 (1+i)n-1 0 1 2 . . . n (1+i)n-1 
 5 P = R P i S = R 3 
 i (1+i)n i 
 
 i (1+i)n 
 R = P 6 
 (1+i)n-1 
 LAS AMORTIZACIONES 
 
¡ Si con esta METODOLOGÍA, no aprende MATEMÁTICA FINANCIERA, 
 entonces . . . , este negocio . . . . , no es para usted !. 
DERECHOS RESERVADOS: 
Registro Nro. 584 - D - 21-12-79 BIBLIOTECA NACIONAL DEL PERU 
 
 
SOCIEDAD DE INGENIEROS ECONOMISTAS 
SOCIEDAD DE ANALISTAS FINANCIEROS 
 
Prof. ING. ECON. ABDÍAS ESPINOZA 
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FINANZAS 
ANALISTAS DE CRÉDITOS e INVERSIONES 
 
Con 4 MANUALES y 4 DVD’s de 3 Hs. de Clases c/u: 
 
1: MATEMÁTICA FINANCIERA: Banca y Comercio 
 
 
2: CONTABILIDAD GERENCIAL: Proyecciones y Análisis 
 
3: EVALUACIÓN DE PROYECTOS: Económica y Financiera 
 
4: EVALUACIÓN DE VALORES: Bonos y acciones. 
 
Con mis clases en DVD’s, HOY te enseño, 
“cuando quieras, donde quieras y cuantas veces quieras”. 
 
LA COSA ES ASÍ: 
“Escucha sus Clases en su MONITOR mirando su MANUAL 
y con su CALCULADORA CIENTÍFICA verifica 
las OPERACIONES FINANCIERAS”. Consultas x E-mail 
 
 
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 OBSEQUIO: 1 DVD con 3 hs. de Clases Virtuales por c/ Manual. 
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Cuenta: 02 26 77 55 89 
 
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Banco de Crédito: Cuenta de Ahorros: 215 1698 6688 065 
 
 
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LOS 6 FACTORES FINANCIEROS 
NUEVAS NOTACIONES desde el 2008 
PROPUESTA del Prof.: ING. ECON. ABDÍAS ESPINOZA (UNI) 
A las NUEVAS GENERACIONES de estudiantes, 
les propongo estas NUEVAS NOTACIONES de las 6 Fórmulas Claves: 
* Respecto a los Factores 1 y 2, les he quitado la S de la palabra SIMPLE. 
Ej.: Ya no digo, “Factor Simple de Capitalización: FSC”, sino “Factor de Capitalización: FC” 
Habían alumnos que creían que la S de Simple, significaba Interés Simple. Y nada que ver. 
* Respecto a los Factores 3, 4, 5 y 6, y para recordar fácilmente “para qué sirven” 
solo piense en 2 palabras: AGRUPAMIENTO y DISTRIBUCIÓN de un Flujo Constante R. 
Las usa el profesor Frank Ayres de los EE. UU. en su libro: Matemáticas Financieras. 
 
1) Factor de Capitalización (FC) 2) Factor de Actualización (FA) 
 1 
 (1 + i)n (1 + i)n 
 
3) Factor de Agrupamiento 4) Factor de Distribución 
 al Futuro (FAF) de un Valor Futuro (FDVF) 
 (1 + i)n - 1 i 
 i (1 + i)n - 1 
 
5) Factor de Agrupamiento 6) Factor de Distribución 
 al Presente (FAP) de un Valor Presente (FDVP) 
 (1 + i)n - 1 i (1 + i)n 
 
 i (1 + i)n (1 + i)n - 1 
 
CORRESPONDENCIA DE FACTORES 
 
Desde 2008 Si, n ∞ Si, i = 0 Dr. Guadagni Tradicional Prof. TAYLOR Prof. TARQUIN 
 PERÚ ARGENTINA EE.UU EE.UU. EE.UU. 
 
 FC ∞ 1 FSC s SPCAF F/P,i,n 
 FA 0 1 FSA a SPPWF P/F,i,n 
 
 FAF ∞ n FCS s n i USCAF F/A,i,n 
 
 FDVF 0 1/n FDFA 1/s n i SFDF A/F,i,n 
 
 FAP 1/i n FAS a n i USPWF P/A,i,n 
 
 FDVP i 1/n FRC 1/a n i CRF A/P,i,n 
 
Mi Propuesta. ESAN 1975: Aquí aprendí estas Notaciones y las publiqué en 1980. 
 
 
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1) El FACTOR de CAPITALIZACIÓN: 2) El FACTOR de ACTUALIZACIÓN: 
 Transforma un Stock Inicial P, Transforma un Stock Final S, 
 en un Stock Final S. en un Stock Inicial P. 
 1 
 FC = (1 + i)n FA = 
 (1 + i)n 
 
 S = P . FCn i P = S . FAn i 
 
 S S 
 
 0 n 0 n 
 P P 
 
3) El FACTOR de AGRUPAMIENTO 4) El FACTOR de DISTRIBUCIÓN 
 al FUTURO: de un VALOR FUTURO 
 Transforma un Flujo Constante R, Transforma un Stock Final S, 
 en un Stock Final S. en un Flujo Constante R. 
 
 (1 + i)n - 1 i 
 FAF = FDVF = 
. i (1 + i)n - 1 
 
 S = R . FAFn i R = S . FDVFn i 
 
 S S 
 
 R R R R R R 
 
 
 0 n 0 n 
 
5) El FACTOR de AGRUPAMIENTO 6) El FACTOR de DISTRIBUCIÓN de 
 al PRESENTE: Transforma un VALOR PRESENTE: Transforma 
 un Flujo Constante R, en un Stock Inicial P. un Stock Inicial P, en un Flujo Constante R. 
 
 (1 + i)n - 1 i (1 + i)n 
 FAP = FDVP = 
. i (1 + i)n(1 + i)n - 1 
 
 P = R . FAPn i R = P . FDVPn i 
 
 
 R R R R R R 
 
 
 0 n 0 n 
 P P 
 
 
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MATEMÁTICA FINANCIERA 
Es álgebra aplicada a los negocios y la economía. 
 
¿A QUIÉNES INTERESA 
LA MATEMÁTICA FINANCIERA? 
 
 Miremos un Balance: 
 
 ACTIVO PASIVO 
Caja Pagarés BANQUEROS 
Facturas por Cobrar Facturas por Pagar COMERCIANTES 
Inventario 
Edificios CAPITAL 
Maquinarias Acciones INVERSIONISTAS 
Equipos Utilidades 
 
EL BANQUERO, el COMERCIANTE y el INVERSIONISTA acuden al 
MATEMÁTICO, para que les elabore un HERRAMENTAL 
y puedan manejar sus operaciones con exactitud. 
 
El MATEMÁTICO, en base a un RAZONAMIENTO LÓGICO, 
desarrolla un CONJUNTO de FÓRMULAS 
útiles en el campo financiero. 
 
Por eso se habla de: El CALCULO RACIONAL o Matemático 
 
Es el FUNDAMENTO de la INGENIERÍA ECONÓMICA. 
 
Pero, el BANQUERO y el COMERCIANTE, no siempre trabajan como lo indica 
el Matemático y surgen: El Cálculo BANCARIO a interés “adelantado”. 
El Cálculo COMERCIAL a interés “horizontal”. 
 
En cambio, el INVERSIONISTA, sí trabaja como dice Matemático. 
Y por eso, usted JAMÁS escuchará a un inversionista decir: 
¡Tengo un proyecto con una Tasa Interna de Retorno “adelantada”!. 
Eso de tasa “adelantada”, solo ocurre en la banca. 
 
Por eso, para aprender y com-pren-der la MATEMÁTICA FINANCIERA, 
clasifico mi libro en 3 GRANDES LECCIONES: 
 
1) El CÁLCULO RACIONAL o Matemático 
2) El CÁLCULO BANCARIO. 
3) El CÁLCULO COMERCIAL. 
 
Los COSTOS y RENDIMIENTOS verdaderos del dinero 
se descubren, con el CÁLCULO RACIONAL. ¡Ya lo veremos! 
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EL DINERO Y SU TRATAMIENTO 
 
Como STOCK: Como FLUJO: 
Es una cantidad de dinero Es una sucesión de cantidades 
en un momento dado del tiempo. de dinero, a través del tiempo. 
 
 
 STOCK Final FLUJO CONSTANTE ( R ) 
 S R R R R 
 
 
 
 0 n días 0 1 2 . . . . . . . . n periodos 
 P STOCK Inicial P STOCK Inicial 
 
 Ej.: Préstamo Ej.: Préstamo 
 Pagadero con UNA Cuota ( S ). Pagadero con VARIAS Cuotas 
 Valor Nominal del Pagaré Inmediatas (yá en el 1er. periodo) 
 y Vencidas (pero a fin del 1er. periodo) 
 
NOTACIONES: 
 
P 
STOCK INICIAL 
(Capital, Valor Presente, Valor Actual, Valor Líquido) 
S 
STOCK FINAL 
(Monto, Valor Futuro, Valor a Plazo, Valor Nominal) 
R 
FLUJO CONSTANTE 
(Serie Uniforme, Rentas, Anualidades) 
 
 
n: HORIZONTE TEMPORAL 
(Periodos, Plazo, Vencimiento). 
 
¡COLEGAS PROFESORES! 
Llamar ANUALIDAD a unas Cuotas MENSUALES, ¡Confunde! 
 
Sugiero decir: Flujo MENSUAL, Flujo TRIMESTRAL. Flujo SEMESTRAL. 
CORREO del AUTOR: abdiasespinoza1@hotmailmail.com 7 
 
 
 
LECCIÓN de CORTESÍA en PDF 
 
 
 
 
 
 
EL CÁLCULO 
RACIONAL 
O 
MATEMÁTICO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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En GOOGLE. En Buscar escriba: ABDIAS ESPINOZA 
 
 
 
 
 
 
CORREO del AUTOR: abdiasespinoza1@hotmailmail.com 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Con solo saber: 
SUMAR, 
RESTAR, 
MULTIPLICAR y 
DIVIDIR, 
Algo se puede aprender . . . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CLASIFICACIÓN DE LOS FLUJOS FINANCIEROS: 
ANUALIDADES O RENTAS (expresiones antiguas) 
 
I ) FLUJO INMEDIATO VENCIDO: Anualidades Vencidas o Rentas Pospagables. 
 Las 4 últimas Fórmulas Claves están diseñadas para manejar solo este Tipo de Flujo. 
 
 
 R R R R R . . . . . . . . . . . . . . R R La BASE 
 
 
 0 1 2 3 4 5 . . . . . . . . . . . . . . . . (n-1) n 
 
Los siguientes Flujos se manejan combinando FACTORES. 
 
II ) FLUJO INMEDIATO ANTICIPADO: Anualidades Anticipadas o Rentas Prepagables. 
 
 R R R R R . . . . . . . . . . . . . . R 
 
 
 0 1 2 3 4 5 . . . . . . . . . . . . . . . . (n-1) n 
 
III ) FLUJO DIFERIDO VENCIDO: Anualidades Diferidas Pospagables. 
 
 DIFERIMIENTO 
 R R R . . . . R R 
 
 
 
 0 1 2 m m+1 . . . . . . . (n-1) n 
 
IV ) FLUJO DIFERIDO ANTICIPADO: Anualidades Diferidas Prepagables. 
 
 DIFERIMIENTO 
 R R R . . . . R 
 
 
 
 0 1 2 m m+1 . . . . . . . (n-1) n 
 
V ) FLUJO CRECIENTE ARITMÉTICAMENTE: La Gradiente g. 
 Es un Valor MONETARIO. Es la razón de la Progresión Aritmética. 
 
 g 2g 3g 4g 5g (n - 1)g 
 + + + + + . . . . . . . . . . . . . . . . . . + 
 R R R R R R R 
 
 
 0 1 2 3 4 5 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n 
 
VI ) FLUJO CRECIENTE GEOMÉTRICAMENTE: La Gradiente g %. 
 Es una TASA. La razón de la Progresión Geométrica es: ( 1 + g ) 
 
 R R(1+g)1 R(1+g)2 R(1+g)2 . . . . . . . . . R(1+g)(n - 1) 
 
0 1 2 3 . . . . . . . . . . n 
 
CORREO del AUTOR: abdiasespinoza1@hotmailmail.com 10 
 
LA TASA DE INTERÉS 
 
 
 
 
i 
 
 
 
 
Es la GANANCIA 
de la UNIDAD MONETARIA 
al vencimiento 
de un PERIODO de tiempo. 
 
EJEMPLO: 
 
TASA DE INTERÉS: i = 3% mensual. 
PERIODO: UN mes 
 
 1 + 0.03 
 
 
 0 1 Mes 
 1 dólar 
 
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abdiasespinoza1@gmail.com 11 
 
 
Aquí, 
el PERIODO DE LA TASA es el MES. 
Es un PERIODO notable. 
Pero, ¿si queremos 
la tasa para un periodo NO-NOTABLE: 7 días?. 
 
Los bancos 
usualmente anuncian la tasa de interés 
a PERIODO ANNUAL: Ej.: 18% ANUAL. 
 
¿Cómo calculamos 
la tasa de interés 
para 7 días? 
La primera IDEA 
es DIVIDIR y MULTIPLICAR: 
18% : 360 x 7 = 0.35%. 
 
Pero, en FINANZAS, 
se usan los términos NOMINAL and EFECTIVA 
para anunciar las tasas anuales. 
 
Esa primera IDEA está bien 
para una Tasa NOMINAL Anual, 
pero NO para una Tasa EFECTIVA Anual, 
porque las TASAS EFECTIVAS se manejan por 
RADICACIÓN y POTENCIACIÓN. 
 
Esto lo estudiaremos más adelante. 
 
Sigamos con el 3% mensual. 
 
 
 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 12 
 
EL INTERÉS ( I ) 
Es el resultado de aplicar 
la TASA DE INTERÉS ( i )a UN CAPITAL ( P ) 
 
 
 
 i 
 
 
 
 
 
 
I = P . i 
 
EJEMPLO. PRÉSTAMO: P = US$ 600 
 Tasa de interés: i = 3% mensual 
 Plazo: n = 1 mes 
 
 I = 18 
 
 
 0 1 Mes 
P = US$ 600 
EL INTERÉS ( I ): 
 
 I = 600 x 0.03 
 I = 18 
La fórmula: I = P x i, es tan sencilla como en la FÍSICA: e = v x t 
Pero, la Física se complica cuando conocemos sobre la aceleración y el rozamiento. 
Así también, la MATEMÁTICA FINANCIERA tiene su desarrollo 
con los conceptos: La Capitalización y la Actualización. 
 
 
 
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DEUDA A PAGAR 
CON UNA CUOTA: 
 
EL INTERÉS VENCIDO O SUMADO al CAPITAL 
 
OBSERVE: El interés 18, ocurre al vencimiento del mes. 
 
El MATEMÁTICO, le dice al PRESTAMISTA: 
 
¿El Cliente a pedido US$ 600?. 
¡Entregue . . . US$ 600! 
¡Ahora . . . , SUME, a 600, el interés 18!. 
Por tanto: 
 
El VALOR NOMINAL del PAGARÉ es: S = US$ 618 
 
 S = P + I 
 
 S = 618 
 
 
 0 i = 3% mensual 1 mes 
 P = 600 
 
¿QUÉ HEMOS HECHO? 
Hemos transformado 
Un STOCK Inicial (P = 600) 
en un STOCK Final (S = 618) 
Para el MATEMÁTICO . . . , ESO ES TODO. 
 
PERO, si el Prestamista, RESTA el INTERÉS, diciendo que es cobrado “por 
adelantado”, empiezan las complicaciones, que veremos en la Lección 2. 
Sigamos con el INTERÉS VENCIDO, sumado o añadido. 
 
 
 
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DEUDA A PAGAR CON 
VARIAS 
CUOTAS (FLUJO) 
 
EL MÉTODO ALEMÁN: 
De las Amortizaciones FIJAS 
 
 
DATOS: P = 600 
i = 3% mensual 
n = 3 meses 
 
 
Los 3 datos básicos: 
 
 
 Mes Saldo Interés Amortizaciones Cuota a pagar 
 n al inicio Saldo x FIJAS a fin de "n" 
 de “n” 0.03 P/n 
 
 1 600 200 
 
 2 200 
 
 3 200 
 
 
 
 
 
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CUADRO 
DE INTERESES Y AMORTIZACIONES: 
 
 (1) (2) (3) (4) (5) 
 
 Mes Saldo Interés Amortizaciones Cuota a pagar 
 n al inicio Saldo x FIJAS a fin de "n" 
 de “n” 0.03 P/n (3) + (4) 
 
 1 600 18 200 218 
 
 2 400 12 200 212 
 
 3 200 6 200 206 
 
ES UN MÉTODO ELEMENTAL 
 
 ¿QUÉ HEMOS HECHO? 
 
 P = 600 
 
 
 218 212 206 
 
 0 1 2 3 meses 
Hemos transformado 
un STOCK Inicial (P) en un FLUJO. 
 
 
OTRA PRESENTACIÓN DEL CUADRO DE INTERESES 
 
 (1) (2) (3) (4) (5) 
 Mes Saldo Interés Amortizaciones Cuota a Pagar 
 n (2) x 0.03 P/n (3) + (4) 
 
 0 600 Ver también la pág. 82 
 1 400 18 200 218 
 2 200 12 200 212 
 3 0 6 200 206 
 
 
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MÉTODO AMERICANO: 
Amortización TOTAL 
al final 
de los n periodos de interés. 
 
 
DATOS: P = 600 
i = 3% mensual 
n = 3 meses 
 
Los 3 datos básicos: 
 
 
 
 Mes Saldo Interés Amortización Cuota a pagar 
 n al inicio Saldo x a fin de "n" 
 de “n” 0.03 
 
 1 600 
 
 2 
 
 
 3 600 
 
 
 
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En GOOGLE. En Buscar escriba: ABDIAS ESPINOZA 
 
 
 
 
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CUADRO 
DE INTERESES Y AMORTIZACIONES: 
 
 (1) (2) (3) (4) (5) 
 
 
 Mes Saldo Interés Amortización Cuota a pagar 
 n al inicio Saldo x a fin de "n" 
 de “n” 0.03 (3) + (4) 
 
 1 600 18 18 
 
 2 600 18 18 
 
 
 3 600 18 600 618 
 
 
 
 
 ¿QUÉ HEMOS HECHO? 
 
 
 P = 600 
 
 
 18 18 618 
 
 0 1 2 3 meses 
Hemos transformado 
un STOCK Inicial (P) 
en un FLUJO. 
 
Este método tan elemental y primarioso se usa 
en ese Gran Campo de las FINANZAS llamado: 
EL MERCADO de CAPITALES 
 cuando una empresa emite BONOS. 
 
 
 
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CASO ESPECIAL de CORTO PLAZO 
 
Si el pago NO CUBRE el interés, 
el BANQUERO capitaliza la diferencia. 
 (1) (2) (3) (4) (5) 
 
 Mes Saldo Interés Amortización Cuota a pagar 
 n al inicio Saldo x a fin de "n" 
 de “n” 0.03 (3) + (4) 
 1 600 18 10 
 2 608 18.24 15 
 3 611.24 18.34 611.24 629.58 
 
OBSERVACIONES 
1.- Cuando el PAGO no cubre, el INTERÉS del PERIODO, 
 el SALDO de la DEUDA AUMENTA. (*) 
 Se cobrainterés sobre interés (se llamará Interés COMPUESTO) 
 
2.- Cuando una CUOTA supera el INTERÉS del PERIODO, 
 el SALDO de la DEUDA DISMINUYE. 
 
3.- Cuando el PAGO solo IGUALA el INTERÉS del PERIODO, 
 el SALDO de la DEUDA SE MANTIENE. ¡Así nomás es! 
 
 ¿QUÉ HEMOS HECHO? 
 P = 600 
 
 
 10 15 629.58 
 
 0 1 2 3 meses 
Hemos transformado 
un STOCK Inicial (P) en un FLUJO. 
 
 (*) En ESPAÑA dicen que el Interés SIMPLE se aplica en el CORTO PLAZO. 
 Entonces el 2do. Interés, también sería 18. ¡NO ES ASÍ!. 
 El banco cobrará 18.24. El Interés Simple NO SIRVE. 
 Sugiero utilizar INTERÉS COMPUESTO a cualquier plazo en AHORROS y PRÉSTAMOS 
 
 
 
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EJERCICIO 
 
LLENE LA TABLA 
 (1) (2) (3) (4) (5) 
 
 
 Mes Saldo Interés Amortización Cuota a pagar 
 n al inicio Saldo x a fin de "n" 
 de “n” 0.02 (3) + (4) 
 
 1 900 12 
 2 9 
 3 
 
 
RESPUESTA 
 (1) (2) (3) (4) (5) 
 
 
 Mes Saldo Interés Amortización Cuota a pagar 
 n al inicio Saldo x a fin de "n" 
 de “n” 0.02 (3) + (4) 
 
 1 900 18 12 
 2 906 18.12 9 
 3 915.12 18.30 915.12 933.42 
 
 
(*) En ESPAÑA dicen que el Interés SIMPLE se aplica en el CORTO PLAZO. 
ESO NO ES CIERTO. El Interés Simple NO LE SIRVE al Banquero, al 
Comerciante, al Inversionista, ni al Ahorrista. Solo hay CONVENIENCIAS. 
Cuando se trata de PAGAR no nos gustaría que capitalicen los intereses. 
Cuando se trata de COBRAR si nos gusta capitalizar los intereses. 
No debe ser así. Hay que MEDIR CON LA MISMA VARA. 
En INTERNET: En Google escriba: MATEMATICA FINANCIERA en Buscar. 
CEF: Centro de Estudios Financieros: (www.cef.es). 
Vea el Libro del Prof. Tovar en el Tema: Capitalización (?) a Interés Simple. 
Solo debe aplicarse INTERÉS COMPUESTO a cualquier plazo. 
 
 
 
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Si además de sumar, restar, multiplcar 
y dividir, sabemos 
RADICAR 
y sabemos 
POTENCIAR, 
podemos aprender más . . . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.1. LA CAPITALIZACIÓN 
 
 La capitalización es un proceso de reinversión de ganancias 
 
LA PRIMERA FÓRMULA CLAVE 
 
 
LA TASA DE INTERÉS i 
 
 
 
EL INTERÉS I = P . i 
 
 
LA CAPITALIZACIÓN 1ra. Fórmula Clave 
 
 S = P (1 + i)n 
 
El Factor de Capitalización: 
FCni = (1 + i)n 
LEER: Factor de Capitalización “ sub n a la tasa i ” 
 
El FC, transforma un STOCK Inicial P, 
en un STOCK Final S. 
 
 S 
 
 
 
 0 1 2 . . . . . . . . . . . . . . n 
 P i 
 
 
 
 
 
 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 22 
 
DEMOSTRACIÓN DE LA 1ra. FÓRMULA CLAVE: 
 
S = P . FCn i 
 
S = P (1 + i)n 
 
Se trata de una aplicación sucesiva de la Fórmula: I = P . i 
 
 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) 
 
 PERIODO CAPITAL INTERES MONTO 
 n al comienzo por periodo al final del periodo n 
 del periodo n (2) x i 
 CAPITALIZACIÓN FACTORIZANDO 
 
 1 P P . i P + P . i P ( 1 + i ) 1 
 
 2 P( 1 + i ) P( 1 + i ) i P( 1 + i ) + P( 1 + i ) i P ( 1 + i ) 2 
 
 3 P ( 1 + i ) 2 P ( 1 + i ) 2 i P ( 1 + i ) 2 + P ( 1 + i ) 2 i P ( 1 + i ) 3 
 
 4 P ( 1 + i ) 3 P ( 1 + i ) 3 i P ( 1 + i ) 3 + P ( 1 + i ) 3 i P ( 1 + i ) 4 
 
 . 
 . Por inducción matemática: 
 . Para " n " periodos, el exponente será " n " 
 
 
 n P ( 1 + i ) n LQQD 
 
 
 
Así, como en la FÍSICA, la Fórmula Básica: 
e = v . t 
se complica con los conceptos de: aceleración y rozamiento. 
 
Así también, en FINANZAS, la Fórmula Básica: 
I = P . i 
Se amplía con los conceptos: CAPITALIZACIÓN y ACTUALIZACIÓN. 
 
MUY IMPORTANTE: 
 
Si trabaja con la tasa “i” MENSUAL, el exponente “n” debe ser en MESES. 
Si trabaja con la tasa “i” DIARIA, el exponente “n” debe ser en DÍAS. 
 
NO SALE NADA, 
si pone, la tasa en AÑOS 
y el exponente en MESES. 
 
 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 23 
 
INTERÉS SIMPLE 
vs. 
INTERÉS COMPUESTO 
 
P = US$ 1000 n = 4 trimestres i = 10% trimestral 
 
INTERÉS SIMPLE: Interés NO capitalizable 
 
 I1=100 I2=100 I3=100 I4=100 Constante 
 
 
 
 0 1 2 3 n = 4 Trimestres 
 
P=1000 P1=1000 P2=1000 P3=1000 P4=1000 
 
Si, P = US$1000 es un préstamo bancario y el prestatario no paga 
el 1er. Interés I1 = 1000 x 0.10 = US$ 100 
el banco, para calcular el 2do. Interés, NUNCA aceptará 
aplicar 10% solo sobre 1000 y cobrar, otra vez: I2 = US$ 100. 
 
INTERÉS COMPUESTO: Interés SÍ capitalizable 
EL PROCESO DETALLADO 
 
 I1=100 I2=110 I3=121 I4=133.1 Creciente 
 
 
 
 0 1 2 3 n = 4 Trimestres 
 
P=1000 P1=1100 P2=1210 P3=1331 P4=1464.10 
 
Si, P = US$1000 es un préstamo bancario y el prestatario no paga 
el 1er. Interés I1 = 1000 x 0.10 = US$ 100 
el banco considera a I1 = US$ 100 como un NUEVO CAPITAL prestado 
y OBLIGARÁ aplicar la tasa 10% sobre (1000 + 100) 
Entonces, el 2do. Interés será: I2 = 1100 x 0.10 = US$ 110 
Así . . . , la deuda a fin del 2do. Trimestre será: P2 = US$ 1210 
 
El INTERÉS SIMPLE, no le sirve al BANQUERO. 
 
 
 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 24 
 
A INTERÉS COMPUESTO: 
Sí reinvierte los interesesEL PROCESO ABREVIADO 
DE LA CAPITALIZACIÓN 
 
 
 
 
 0 1 2 3 n = 4 Trimestres 
P=1000 i = 0.10 P4=1464.10 
 
 
 
 
 
 S= P . FCni 
 
 S = P (1 + i)n 
 
 S = 1000(1+ 0.10)4 
 
 S = 1000 (1.4641) 
 
 S = 1464.10 dólares 
 
SIGNIFICADO: US $1000 HOY 
 < > 
 US $1464.10 
 
dentro de 4 trimestres 
a la tasa del 10% trimestral compuesto. 
 
 
 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 25 
 
SUMA ECONÓMICA 
vs. 
SUMA CONTABLE 
 
EQUIVALENCIA FINANCIERA 
Y SUSTITUCIÓN DE DEUDAS 
 
El FLUJO de DEUDAS: 40, 50, y 60 
mensuales, se desea cancelar 
con un STOCK FINAL: S, 
a fin del mes 4. 
 
 
40 50 60 Dólares 
 
0 1 2 meses 
 
El Banco exige una tasa de interés del 4% mensual. 
 
40 50 60 S = ? 
 
 SUMA SUMA 
0 1 2 3 4 meses ECONÓMICA CONTABLE 
 60(1+ 0.04 )2 = 64.90 60 
 50(1+ 0.04 )3 = 56.24 50 
 40(1+ 0.04 )4 = 46.79 40 
 167.93 150 
 
El Banco le hará firmar una NUEVA Letra 
por US$ 167.93. JAMÁS le aceptará US$ 150. 
 
 
 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 26 
 
 
 
Toda SUMA ECONÓMICA 
o, SUMA GEOMÉTRICA, 
se hace 
en un PUNTO 
en el TIEMPO. 
 
Es la base de la: 
EQUIVALENCIA FINANCIERA 
entre 
STOCK y FLUJO. 
 
 
Una ECUACIÓN FINANCIERA 
se plantea 
en cualquier 
PUNTO del TIEMPO 
 
 
 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 27 
 
DEUDA A PAGAR CON 
VARIAS 
CUOTAS 
 
MÉTODO FRANCÉS: 
Las Cuotas FIJAS 
 
 
PROBLEMA: 
PRÉSTAMO: P = US$ 600 
Tasa de interés: i = 3% mensual 
Cuotas mensuales: n = 3 
 
Si solo sabemos la 1ra. FÓRMULA CLAVE 
 
S = P . FCn i 
 
 S = P (1 + i)n 
 
 
RAZONAMIENTO: 
"DOS CANTIDADES EQUIVALENTES 
LO SON EN CUALQUIER PUNTO 
DEL TIEMPO" 
 
 
 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 28 
 
 
COBRANZAS <> PRÉSTAMO 
 
Solo es cuestión de plantear la ECUACIÓN 
FINANCIERA en el PUNTO FINAL (Punto 3). 
 
 
 
 
 
COBRANZAS R R R 
 
 
 
 0 1 2 3 meses 
PRÉSTAMO P = 600 
 
 
 
R(1+0.03)2 + R(1+0.03)1 + R = 600(1+0.03)3 
 
 
El 1er. Miembro de la ecuación 
es una SUMA ECONÓMICA en el Punto 3. 
 
Despejando: R = 212.12 
 
 
Los 3 Datos Básicos: 
 (1) (2) (3) (4) (5) 
 
 
 Mes Saldo Interés Amortización Pago constante 
 n al inicio Saldo x a fin de "n" 
 de “n” 0.03 (5) – (3) R 
 
 1 600 212.12 
 
 2 212.12 
 
 3 212.12 
 
La CUOTA FIJA: R, contiene INTERESES y AMORTIZACIONES 
 
 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 29 
 
EL CUADRO DE INTERESES Y AMORTIZACIONES 
 
Llenando el cuadro: 
 (1) (2) (3) (4) (5) 
 
 
 Mes Saldo Interés Amortización Pago constante 
 n al inicio Saldo x a fin de "n" 
 de “n” 0.03 (5) – (3) R 
 
 1 600 18 194.12 212.12 
 
 2 405.88 12.18 199.94 212.12 
 
 3 205.94 6.18 205.94 212.12 
 
 Σ = 600.00 
RAZONE así: 
A fin del primer mes, 
el interés 18 es derecho del Prestamista. 
Pero, el deudor paga MÁS: 212.12 . 
 
Entonces, la DIFERENCIA: 212.12 - 18 = 194.12 
es la PRIMERA AMORTIZACIÓN, 
que rebaja el SALDO DEUDOR a US$ 405.88 
a INICIO del SEGUNDO MES. Y así sucesivamente. 
 
 ¿QUÉ HEMOS HECHO? 
 
 P = 600 
 
 
 212.12 212.12 212.12 
 
 0 1 2 3 meses 
 
Hemos transformado un STOCK Inicial ( P ) 
en un FLUJO CONSTANTE ( R ) 
 
 
 
 
CORREO del AUTOR: abdiasespinoza1@hotmailmail.com 30 
 
EL INTERÉS ASTRONÓMICO 
 S = P (1 + i)n 
Un banquero dijo: No sé cuál es la 7ma. Maravilla del Mundo, 
pero, sí sé cuál es la 8va. Se llama: INTERÉS COMPUESTO. 
 
 
¿En cuánto se convierte US$ 100 después de 200 años a la tasa 
 del 0.5% mensual? Rpta. US$ 15 796 039.67 
 ¡Que se pagaría a algún descendiente suyo!. 
Pero, si le cobran US$ 5 mensuales por “mantenimiento de 
cuenta”, ¿en cuánto tiempo “desaparece” su plata? 
Rpta. n = 21.12473931 meses. Plantée: 100(1.005)n = 5[{(1.005)n -1}/0.005] 
 
UN PRÉSTAMO HIPOTÉTICO 
LA CAPITALIZACIÓN 
EN EL LARGUÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍSIMO PLAZO: 477 años 
Si a fines de 1532, 
el Sr. FRANCISCO PIZARRO, recibió ORO del INCA ATAHUALPA, 
 equivalente a 1 MILLÓN de euros, para la Corona Española, 
¿ cuánto debería pagar ESPAÑA al PERÚ, 
el 31 - 12 - 2010, suponiendo como valor del dinero, 
una tasa de interés, bajita nomás, del 0.5% mensual ?. 
S = 1 000 000 ( 1 + 0.005 )5736 meses 
 
 
S = 2’’’ 657, 848’’ 581, 000’ 000, 000 de euros 
 
Si somos 30 millones de habitantes nos tocaría: 88,594’952,700 euros A CADA UNO. 
 
¡Que dicen! . . . ¿COBRAMOS?. “SOÑAR NO CUESTA NADA” 
 
AHORRO PARA LA VEJEZ: El Plazo Fijo 
 Con US$ 1000 al mes puede VIVIR BIEN una PAREJA de ANCIANOS. 
Si un joven de 25 años ahorra HOY, US$ 842.8311619 
al 1% mensual, acumularía US$ 100 000 cuando cumpla 65 años. 
S = 842.8311619( 1 + 0.01 )480 meses = 100 000 dólares 
Cobraría: I = P . i = 100 000 x 0.01 = US$ 1000 mensual. 
El Capital US$ 100 000 lo dejaría a sus HEREDEROS. 
+ 
La CAJA TRUJILLO ya paga el 12 % anual a PLAZO FIJO en MN. 
(Ver: Diario “PERÚ 21” del 02.08.09 – Pág. 6) 
abdiasespinoza1@gmail.com 31 
 
1.2. LA ACTUALIZACIÓN 
 Es el proceso de descontar los intereses a un valor futuro. 
 
 LA SEGUNDA FÓRMULA CLAVE 
 i 
 
 
 
 I = P . i 
 
LA CAPITALIZACIÓN 1ra. Fórmula Clave 
 S = P (1 + i)n 
 
LA ACTUALIZACIÓN 2da. Fórmula Clave 
 
 1 
 P = S 
 (1 + i)n 
 
 1 
 El Factor de Actualización: FAni =(1 + i)n 
 LEER: Factor de actualización “ sub n a la tasa i ” 
 
El FA, transforma un STOCK Final: S, en un STOCK Inicial: P 
 
 
 
 
 S 
 
 
 
 0 1 2 . . . . . . . . . . . . . . n 
 P i 
 
 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 32 
 
LA ACTUALIZACIÓN: 
 
PROBLEMA: US$ 1000 se pagará con US$ 1464.10 
dentro de 4 trimestres, a la tasa del 10% trimestral. 
¿Cuánto se pagaría 2 trimestres antes del vencimiento? 
 
 S=1464.10 
 
 
 
 
 
 0 1 2 3 4 Trimestres 
P=1000 P2 = ? 
 P = S . FAn
i 
 
 P2 = 1464.10 FA2 0.10 
 1 
 P2 = 1464.10 
 (1 + 0.10)2 
 
 P2 = 1464.10 x 0.826446281 
 P2 = 1210 dólares 
 
 
VERIFICACIÓN POR CAPITALIZACIÓN: 
 
 LA CAPITALIZACIÓN Y LA ACTUALIZACIÓN 
Son como DOS CARAS de una MISMA MONEDA 
 
 
 
 
 
0 1 2 3 4 Trimestres 
 
P=1000 P2 = 1000 FC20.10 
 P2 = 1000 (1 + 0.10)2 = 1210 dólares 
 
 
 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 33 
 
ACTUALIZACIÓN 
Y COSTO DE UN CRÉDITO 
 
EL MÉTODO ALEMÁN: P = 600 “efectivamente” recibido 
 
 
¿Cuál es la tasa? 218 212 206 
 
 0 1 2 3 meses 
 
1er. RAZONAMIENTO: 
El Flujo de Pagos ACTUALIZADO, debe estar en ecuación con 
el crédito, a cierta tasa de interés por calcular. 
 
 Pagos 218 212 206 
 
 0 1 2 3 meses 
 Crédito P = 600 i = ? 
 P1 
 
 P2 
 
 P3 
 
Donde: P = P1 + P2 + P3 
 
 
 1 1 1 
 600 = 218 + 212 + 206 
 ( 1 + i )1 ( 1 + i )2 ( 1 + i )3 
 
El 2do. Miembro es una SUMA ECONÓMICA en el Punto "0" 
 
2do. RAZONAMIENTO: 
Mirando la ECUACIÓN FINANCIERA planteada, decimos: 
“Debe existir una tasa, cuyo valor numérico reemplazado 
en el 2do. miembro y, realizando las operaciones indicadas, 
dé 600”. No pretenda despejar i. Use EXCEL FINANCIERO. 
 
Se VERIFICA la tasa con el Cuadro de Intereses yAmortizaciones. 
 
 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 34 
 
 
Ejemplo con EXCEL A 
 
 1 -600 
 
En A5, teclee: =TIR(A1:A4) 2 218 
 
Aparecerá el resultado: 3 3 212 
 
Si quiere más decimales, 4 206 
 
haga CLICK aquí. + o 5 3 
 oo 
 
 
RESULTARÁ LO MISMO 3% con: 
 
 EL MÉTODO AMERICANO P = 600 
 
 
 18 18 618 
 
 0 1 2 3 meses 
 
EL MÉTODO FRANCÉS P = 600 
 
 
 212.12 212.12 212.12 
 
 0 1 2 3 meses 
 
Y CUOTAS VARIABLES P = 600 
 
 
 10 15 629.58 
 
 0 1 2 3 meses 
 
Como resulta 3%, en los cuatro métodos, 
se dice que los 4 FLUJOS son: 
FINANCIERAMENTE EQUIVALENTES. 
Lo que significa: 
1º Que los 4 flujos contienen el mismo rendimiento: 3%, ó 
 
2º Que los 4 flujos pagan el préstamo de US$ 600. 
 
 
 
CORREO del AUTOR: abdiasespinoza1@gmail.com 35 
 
ACTUALIZACIÓN 
Y CAPACIDAD DE ENDEUDAMIENTO 
 
Una empresa tiene EXCEDENTES DE CAJA de US$ 30, 40 y 50 a 
través de 3 meses. Calcule el PRÉSTAMO MÁXIMO. i = 1% mensual. 
 
 Capacidad de pago: 30 40 50 
 
 
 0 1 2 3 meses 
 Préstamo: P=? 
A cada pago parcial, 
se calcula su valor presente. 
 
29.70 30(1+ 0.01)-1 = P1 
 
39.21 40(1+ 0.01)-2 = P2 
 
48.53 50(1+ 0.01)-3 = P3 
117.44 Esta SUMA ECONÓMICA es el Préstamo MÁXIMO 
 
VERIFICACIÓN: 
 
 CUADRO DE INTERESES Y AMORTIZACIONES 
 (1) (2) (3) (4) (5) 
 Periodo Saldo Interés Amortiz. Pago 
 n al inicio de “n” (2) x 0.01 (5) - (3) a fin de “n” 
 
 1 117.44 1.17 28.83 30 
 
 2 88.61 0.89 39.11 40 
 3 49.50 0.50 49.50 50 
 
 Σ = 117.44 Préstamo Máx. 
 
RELACIÓN entre INTERESES CAPITALIZADOS y AL REBATIR 
 
DETALLANDO EL GRÁFICO: 30 40 500 1 2 3 
INTERESES CAPITALIZADOS c/ mes: INTERESES INTERESES INTERESES 
P1 = 29.703 0.297 
P2 = 39.212 0.392 0.396 
P3 = 48.530 0.485 0.490 0.495 
LA SUMA son INTERESES al REBATIR 1.174 0.886 0.495 Col. 3 
 
 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 36 
 
ACTUALIZACIÓN 
y SALDO DEUDOR 
 
Al INICIO del mes 2: 
 
El SALDO DEUDOR es US$ 88.61 ¡Véalo! 
 
 CUADRO DE INTERESES Y AMORTIZACIONES 
 
 (1) (2) (3) (4) (5) 
 Periodo Saldo Interés Amortiz. Pago 
 n al inicio de “n” (2) x 0.01 (5) - (3) a fin de “n” 
 
 1 117.44 1.17 28.83 30 
 
 2 88.61 0.89 39.11 40 
 3 49.50 0.50 49.50 50 
 
Si no dispone del cuadro, 
actualice el FLUJO pendiente de pago: 40 y 50 
 40 50 
 
 
 0 1 2 3 meses 
 SALDO: P1=? 
Se calcula el valor presente 
de cada cuota al Punto 1. 
 
 1 
 39.60 = 40 
 (1 + 0.01)1 
 
 1 
 49.01 = 50 
 (1 + 0.01)2 
 Σ = 88.61 Es una SUMA ECONÓMICA en el Punto 1. 
 
OBSERVACIÓN: 
¿Y cómo se calcula el SALDO DEUDOR “un día cualquiera”?. 
Para eso, es necesario el CONOCIMIENTO 
de las TASAS EQUIVALENTES. 
Eso viene más adelante. 
 
 
 
TIENDA VIRTUAL: www.safperu.com 37 
 
INTERÉS SIMPLE vs. INTERÉS COMPUESTO 
 
 i 
 
 
 
 I = P . i Para 1 periodo: día, mes, año 
 
 Para n periodos Para n periodos 
 S = P(1 + i . n) CAPITALIZACIÓN S = P (1 + i)n 
 
 
 1 1 
 P = S ACTUALIZACIÓN P = S 
 1 + i . n (1 + i)n 
 
 A interés SIMPLE A interés COMPUESTO 
 n, es FACTOR. n, es EXPONENTE. 
 
A la tasa: i = 10% trimestral A la tasa: i = 10% trimestral 
 
 I=100 I=100 I=100 I=100 I=100 I=110 I=121 I=133.1 
 
 
0 1 2 3 4 Trim 0 1 2 3 4 Trim 
1000 1000 1000 1000 1000 1000 1100 1210 1331 1464.1 
 
El Capital 1000 NO CRECE. No capitalizan El Capital 1000 SÍ CRECE. Sí capitalizan los 
los intereses. La tasa siempre se aplica al intereses. La tasa se aplica al STOCK al Inicio 
STOCK Inicial: P. Es como guardar cada del Periodo + el INTERÉS. Ej.: A fin del Tr. 1 
ganancia 100 “bajo el colchón”. (Mt. 25-25) I = (1000 + 100) 0.10 = 110 (Mt. 25-27) 
 
 El Interés Simple no reconoce el valor El Interés Compuesto “sí reconoce” 
 del interés ganado en el periodo. el valor del interés ganado en el periodo 
 
 
 
 
Lo qué dice el Prof. JUSTIN MOORE de los EE.UU. (*) 
 
“La mezcla de interés compuesto con interés simple es tan ilógica como sería que un tendero 
insistiera que una mujer que quiere 10 3/4 yardas de paño, compre 10 yardas ¾ de “metro”. 
La misma unidad de medida debe aplicarse para medir las unidades y las fracciones de unidad”. 
Por ello, el método científicamente correcto para calcular, por ej. el PRECIO EFECTIVO 
de un BONO (o un Papel Comercial) usa el INTERÉS COM-PUES-TO. 
 
PREGUNTA 
En cuánto se convierte $ 1000 después de 15 semestres y 1 mes, al 7% semestral? 
Según el MATEMÁTICO: 1000 (1 + 0.07)15 1/6 = 1000 (1 + 0.07)15.1666666 = $ 2 790.32 Es lo JUSTO. 
Según el COMERCIANTE: 1000 (1+0.07)15 (1+0.07 x 1/6) = $ 2 791.22 Es PRÁCTICO, pero INJUSTO. 
 I. Compuesto Int. Simple MEZCLA: (1+ 0.07)15 (1+0.07x1/6) 
 
(*) “Manual de Matemáticas Financieras” - Editorial UTHEA 
TIENDA VIRTUAL: www.safperu.com 38 
 
PROBLEMA : A la tasa 10 % mensual. ALTA, por alta inflación. 
Datos:: P = $ 900 n = 3 meses. Calcular la Cuota Fija: R 
 
INTERÉS SIMPLE vs. INTERÉS COMPUESTO 
 
 R R R R R R 
 
 
 
 0 1 2 3 0 1 2 3 
 P=900 i = 10 % P=900 i = 10% 
 
La ECUACIÓN FINANCIERA La ECUACIÓN FINANCIERA 
en el PUNTO 3: en el PUNTO 3: 
R(1+0.10x2) + R(1+0.10x1) + R R(1 + 0.10)2 + R(1 + 0.10)1 + R 
 
 = 900 (1+0.10x3) = 900 (1 + 0.10)3 
 
 R = 354.55 R = 361.90 Es mayor, pero JUSTO. 
 
 
La ECUACIÓN FINANCIERA La ECUACIÓN FINANCIERA 
en el PUNTO 0: en el PUNTO 0: 
 1 1 1 1 1 1 
900 = R + R + R 900 = R + R + R 
 1+0.10x1 1+0.10x 2 1+0.10x3 (1+0.10)1 (1+0.10)2 (1+0.10)3 
 
 R = 358.33 > 354.55 R = 361.90 Da valor al INTERÉS. 
 
 ¿Cuál es la verdad? Sale IGUAL. Una sola VERDAD. 
 
Con INTERÉS SIMPLE: Para plantear la ecuación financiera 
 
Al Cliente le conviene el Punto 3. Pagaría 354.55 
 
Al Banco le conviene el Punto 0. Cobraría 358.33 CREA DUDAS 
 
¡LA VERDAD DEBE SER UNA SOLA! 
 
Hay diferencia cuando se cambia el PUNTO para plantear la ecuación financiera. 
La diferencia es muy pequeña a tasas de interés muy bajas y en el corto plazo. 
La diferencia es mayor a tasas de interés altas y, sobre todo, en el largo plazo. 
 
Se crea una discusión, entre el BANCO y el CLIENTE. 
 
A INTERÉS COMPUESTO: Siempre sale IGUAL, 361.90 NO CREA DUDAS. 
 
Hay exactitud aun cambiando el PUNTO para plantear la ecuación financiera. 
 
Autores españoles dicen que el INTERÉS SIMPLE se aplica en el CORTO PLAZO. (?). 
Yo digo: Si la aplican en el LARGO PLAZO, se “DERRUMBAN” las FINANZAS. 
 
MI RECOMENDACIÓN: ¡Apliquen Interés COMPUESTO “a cualquier plazo”! 
 
Es JUSTO, cobrar interés sobre el interés ganado (nuevo capital). Es REINVERSIÓN de UTILIDADES. 
Pero es INJUSTO, ABUSIVO, cobrarALTAS TASAS a la gente pobre aduciendo MAYOR RIESGO. 
 
La gente POBRE es más cumplidora. La gente RICA es más tramposa. 
 
 Lc. 16-19 a 31. Ex. 22 - 25. Pr. 28 – 8 y 20. Hag. 2 - 8. Sal. 24 - 1,2. 2 Co. 5-10. 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 39 
 
AHORA: Piense en DOS palabras: AGRUPAMIENTO y DISTRIBUCIÓN 
1.3. LA CAPITALIZACIÓN 
 DE UN FLUJO CONSTANTE 
 
 i La TERCERA Fórmula Clave 
 
 
 
 I = P . i 3ra. FÓRMULA CLAVE 
 
 1ra. Fórmula Clave (1 + i)n - 1 
 S = P (1 + i)n S = R 
 i 
 2da. Fórmula Clave 
 
 1 
 P = S 
 (1 + i)n 
 (1 + i)n - 1 
El Factor de Agrupamiento al Futuro: FAFni = 
 i 
 
 El FAF, transforma un FLUJO CONSTANTE: R, 
 en un STOCK Final S. 
 El FAF, agrupa, reune, un FLUJO CONSTANTE: R, 
 en un STOCK Final S. 
 
 S 
 
 
 R R R R 
 
 
 
 0 1 2 . . . . . . . . . . . . n 
 
 MUY Importante: El FLUJO constante es INMEDIATO y VENCIDO 
 
 
 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 40 
 
DEMOSTRACIÓN DE LA 3ra. FÓRMULA CLAVE: 
LA CAPITALIZACIÓN DE UN FLUJO CONSTANTE ( R ) 
 
 
S = R . FAFn i 
 
 (1 + i)n - 1 
 S = R 
 i 
 
Se trata de la AGRUPACIÓN de un FLUJO CONSTANTE . 
Se trata de una Suma Económica, al FINAL del horizonte temporal. 
 
DIAGRAMA: S 
 
 R( 1 + i ) n - 1 
 . . . . . 
 R( 1 + i ) 2 
 R( 1 + i ) 1 
 
 
 R R R . . . . . . . . . . R R R 
 
 0 1 2 3 4 n-2 n-1 n 
 
 
Hacemos la Suma Económica en el Punto ( n ), sacando ( R ) como factor común: 
 
S = R [ 1 + ( 1 + i )1 + ( 1 + i )2 + ( 1 + i )3 + ............. + + ( 1 + i )n - 1 ] 
 
El corchete es una Progresión Geométrica cuya suma se calcula así : 
 
 
"El 1er. término por la razón elevada al número de términos 
menos el 1er. término, sobre la razón menos uno " 
 
 1 ( 1 + i )n - 1 
 S = R [ ] 
 ( 1 + i ) - 1 
Simplificando: 
 
 ( 1 + i )n - 1 Al Corchete, se llamará 
 S = R Factor de Agrupamiento al Futuro (FAFni) 
 i 
 
RECUERDE: En este libro, TODO es INTERÉS COMPUESTO 
 
 
 
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Piense en DOS palabras: AGRUPAMIENTO y DISTRIBUCIÓN 
 
UN EJEMPLO SENCILLO: 
 
¿Cuánto se podrá acumular, en 3 meses, con 3 depósitos 
mensuales de US$ 212.12 a la tasa del 3% mensual? 
 
 
DETALLADAMENTE: Solo con la 1ra. Fórmula 
 
 
 S = ? 
 212.12 (1+ 0.03 )2 = 225.04 
 212.12 (1+ 0.03 )1 = 218.48 
 212.12 (1+ 0.03 )0 = 212.12 
 212.12 212.12 212.12 Σ = 655.64 
 
 Es una SUMA ECONÓMICA 
 
 0 1 2 3 en el Punto 3. 
 i = 0.03 
 
ABREVIADAMENTE: CON LA 3ra. FÓRMULA CLAVE 
 
 S = R . FAFn i 
 
 (1 + i)n - 1 
 S = R 
 i 
 
 Reemplazando datos: 
 
 ( 1 + 0.03 )3 - 1 
 S = 212.12 
 0.03 
 
 S = 212.12 [ 3.0909 ] 
 
 S = 655.64 Dólares Rpta. 
 
 
 
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Piense en DOS palabras: AGRUPAMIENTO y DISTRIBUCIÓN 
 
ADMINISTRADORAS DE FONDOS DE PENSIONES: 
 
Si usted tiene 25 años, y deposita 100 euros mensuales 
en una AFP que hace rendir a su dinero, 1% promedio mensual, 
¿cuánto acumulará cuando cumpla 65 años? 
 
DIAGRAMA: S = ? 
 
 
 100 100 100 . . . . . . 100 100 
 
 
 
 0 1 2 3 419 480 
 i = 0.01 meses 
 
ANÁLISIS: Se trata de transformar, agrupar, 
 un FLUJO Constante, en un STOCK Final. 
 Se aplicará el FAF. 
 
OPERACIONES: S = R . FAFn i 
 
 (1 + i)n - 1 (1 + 0.01)480 -1 
 S = R = 100 = 1 176 477.25 
 i 0.01 euros 
 
SOLUCIÓN: 1 176 477.25 euros. PARA PASAR SU VEJEZ. 
 
 
OBSERVACIÓN: El INTERÉS mensual que cobraría, en adelante, 
 sería: I = 1 176 477.25 x 0.01 = 11 765 euros 
hasta su MUERTE. 
 
¿Y el capital 1 176 477.25 euros?. 
Lo deja a su mujer. 
Y, si ella es joven, se casa de nuevo. 
 
CONCLUSIÓN: “Nadie sabe para quién trabaja” 
 
 
 
 
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Piense en DOS palabras: AGRUPAMIENTO y DISTRIBUCIÓN 
 
1.4. LOS FONDOS DE AMORTIZACIÓN 
 
 
 i La CUARTA Fórmula Clave 
 
 
 I = P . i 
 
 1ra. 3ra. 4ta. Fórmula Clave 
 
 (1 + i)n - 1 i 
 S = P (1 + i)n S = R R = S 
 i (1 + i)n - 1 
 2da. 
 
 1 
 P = S 
 (1 + i)n 
 i 
El Factor de Distribución de un Valor Futuro: FDVFni = 
 (1 + i)n - 1 
 
 El FDVF, transforma un STOCK Final: S, 
 en un FLUJO constante: R. 
 El FDVF, distribuye, reparte, un STOCK Final: S, 
 en un FLUJO constante: R. 
 
 S 
 
 
 R R R R 
 
 
 
 0 1 2 . . . . . . . . . . . . . n 
 
MUY IMPORTANTE: 
El FLUJO Constante es INMEDIATO y VENCIDO 
 
 
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Piense en DOS palabras: AGRUPAMIENTO y DISTRIBUCIÓN 
 
LA DEPRECIACIÓN 
LOS CAMIONEROS: Un plazo MUY CORTO para entender. 
 
Una FLOTA de camiones costó US$ 655.64 
y hay que renovarla al término de su VIDA ÚTIL que es de “3 meses” 
Si un banco paga una tasa del 3% mensual, 
¿cuál sería la cantidad necesaria y suficiente depositar 
a fin de cada mes, para acumular su costo, en EFECTIVO?. 
 
 R = S . FDVFn i 
 
 i 0.03 
 R = S = 655.64 
 (1 + i)n - 1 ( 1 + 0.03 )3 - 1 
 
 R = 655.64 [ 0.323530363 ] = 212.12 dólares 
 
 VERIFICACIÓN: 
 S = 655.64 
 212.12 (1+ 0.03 )2 = 225.04 
 212.12 (1+ 0.03 )1 = 218.48 
 212.12 (1+ 0.03 )0 = 212.12 
 212.12 212.12 212.12 Σ = 655.64 
 
 Acumula el capital deseado 
 
 0 1 2 3 para reemplazar el activo. 
 i = 0.03 
 
Para recordar, para que sirve el FDVF, acuérdese de: 
LOS CAMIONEROS. 
 
“Transforma un STOCK Final S, en un FLUJO Constante, R 
INMEDIATO y VENCIDO” 
 
PROBLEMA PARA UD.: Calcule la cuota fija mensual inmediata y 
vencida: R, a depositar en un banco, a la tasa del 1% mensual para 
ACUMULAR US$ 20 millones y renovar una FLOTA de CAMIONES, 
al término de su VIDA ÚTIL de 10 años. Rpta. US$ 86 941.90 
 
 
 
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Piense en DOS palabras: AGRUPAMIENTO y DISTRIBUCIÓN 
 
1.5. LA ACTUALIZACIÓN 
 DE UN FLUJO CONSTANTE 
 
 i La QUINTA Fórmula Clave 
 
 
 
 I = P . i 
 3ra. 4ta. 
 1ra. 
 (1 + i)n - 1 i 
 S = P (1 + i)n S = R R = S 
 i (1 + i)n - 1 
 
 2da. 5ta. Fórmula Clave 
 
 1 (1 + i)n - 1 
 P = S P = R 
 (1 + i)n i (1 + i)n 
 
 
 (1 + i)n - 1 
El Factor de Agrupamiento al Presente: FAPni = 
 i (1 + i)n 
 El FAP, transforma un FLUJO constante: R, 
 en un STOCK Inicial: P. 
 El FAP, agrupa, reune, un FLUJO constante: R, 
 en un STOCK Inicial: P. 
 
 R R R R 
 
 
 
 0 1 2 . . . . . . . . . . . . . . . n 
 
 
 
 P 
MUY IMPORTANTE: El FLUJO constante es INMEDIATO y VENCIDO 
 
 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 46 
 
DEMOSTRACIÓN DE LA 5ta. FÓRMULA CLAVE: 
LA ACTUALIZACIÓN DE UN FLUJO CONSTANTE ( R ) 
 
P = R . FAPn i 
 
 (1 + i)n - 1 
 P = R 
 i (1 + i)n 
 
DIAGRAMA: 
 R R R . . . . . . . . R R R 
 
 0 1 2 3 4 n-2 n-1 n 
 
 1 
 R 
 ( 1 + i )1 
 1 
 R 
 ( 1 + i )2 
 . . . . . 
 R 1 
 ( 1 + i )n 
 
 
 P 
 
Se trata dela AGRUPACIÓN de un FLUJO Constante . 
Se trata de una Suma Económica, al INICIO del horizonte temporal. 
 
 1 1 1 
 P = R [ + + ............................ + ] Corchete es una P.G. 
 (1 + i)1 (1 + i)2 (1 + i)n 
 
 
 1 1 1 
 x 
 (1 + i) (1 + i)n (1 + i) 
 P = R [ ] 
 1 
 1 
 (1 + i) 
 
Simplificando 
 (1 + i)n - 1 Al Corchete, se llamará: 
 P = R Factor de Agrupamiento al Presente (FAPni) 
 i (1 + i)n 
 
 
 
 
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Piense en DOS palabras: AGRUPAMIENTO y DISTRIBUCIÓN 
 
CAPACIDAD DE ENDEUDAMIENTO 
 
¿Cuánto se podrá prestar a una persona que tiene excedentes 
de efectivo de 212.12 dólares mensuales durante 3 meses?. 
Tasa de interés: i = 3% mensual 
 
DETALLADAMENTE: Solo con la 2da. Fórmula 
 
 212.12 212.12 212.12 
 
 
 
 0 1 2 3 
Es una SUMA ECONÓMICA 
 205.94 = 212.12 (1+ 0.03 )-1 i = 0.03 
 199.94 = 212.12 (1+ 0.03 )-2 
 194.12 = 212.12 (1+ 0.03 )-3 
P = 600 P = ?  
 
ABREVIADAMENTE: Con la 5ta. FÓRMULA CLAVE 
 
 P = R . FAPn i 
 
 (1 + i)n - 1 
 P = R 
 i (1 + i)n 
 
 
 ( 1 + 0.03 )3 - 1 
 P = 212.12 
 0.03 ( 1 + 0.03 )3 
 
 
 P = 212.12 [ 2.828611355 ] 
 
 P = 600 dólares 
 
 
 
 
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Piense en DOS palabras: AGRUPAMIENTO y DISTRIBUCIÓN 
 
EL PRECIO TEÓRICO DE UN BONO 
 
Un bono de minera “La Plata”, paga intereses I = US$ 30 
trimestrales, y aún falta cobrar 20 cupones de interés. 
El Valor de Redención es V = US$ 1000 al final del plazo. 
¿Cuánto estaría dispuesto a pagar por el bono un inversionista 
que espera ganar un 4% trimestral? 
 
 
DIAGRAMA: V = 1000 
 30 30 30 . . . . . . 30 30 
 
 
 
 0 1 2 3 19 20 
 P = ? i = 0.04 meses 
ANÁLISIS: Se trata de transformar un FLUJO Constante de 30 
 de intereses, en un STOCK Inicial. Se aplicará el FAP. 
 Pero, además, se SUMARÁ el valor presente de 1000 
 Se aplicará el FA. 
 
OPERACIONES: PRECIO = 30.FAP200.04 + 1000.FA200.04 
 
 
 ( 1 + 0.04 )20 - 1 1 
 P = 30 + 1000 
 0.04 ( 1 + 0.04 )20 (1 + 0.04)20 
 
 P = 30 [13.59032635 ] + 1000 (0.456386946) 
 
 P = 407.71 + 456.39 = 864.10 
 
SOLUCIÓN: P = US$ 864.10 Es el Precio MÁXIMO a pagar. 
 
OBSERVACIÓN: El Precio Teórico se calcula para negociar. 
 Es el SECRETO del inversionista. 
En la negociación funciona la Ley de la Oferta y la Demanda. 
El inversionista “debe aprovecharse de la ANGUSTIA por LIQUIDEZ 
del vendedor y ofrecer pagar menos de 864.10”. 
Si el precio se negocia en US$ 800, aumenta la tasa de ganancia del 
inversionista. ¡USE EXCEL!. Rpta. 4.543% Trimestral 
 
 
 
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Piense en DOS palabras: AGRUPAMIENTO y DISTRIBUCIÓN 
 
1.6. LAS AMORTIZACIONES 
 
 i La SEXTA Fórmula Clave 
 
 
 
 
 I = P . i 
 
 
 1ra. 3ra. 4ta. 
 
 (1 + i)n - 1 i 
 S = P (1 + i)n S = R R = S 
 i (1 + i)n - 1 
 
 2da. 5ta. 6ta. Fórmula Clave 
 
 1 (1 + i)n - 1 i (1 + i)n 
 P = S P = R R = P 
 (1 + i)n i (1 + i)n (1 + i)n - 1 
 
 i (1 + i)n 
El Factor de Distribución de un Valor Presente: FDVPni = 
 (1 + i)n - 1 
 
 El FDVP, transforma un STOCK Inicial: P, 
 en un FLUJO constante: R. 
 El FDVP, distribuye, reparte, un STOCK Inicial: P, 
 en un FLUJO constante: R. 
 
 R R R R0 1 2 . . . . . . . . . . . . . n 
 
 
 P 
 
MUY IMPORTANTE: El FLUJO constante es INMEDIATO y VENCIDO 
 
 
 
 
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Piense en DOS palabras: AGRUPAMIENTO y DISTRIBUCIÓN 
 
EL MÉTODO FRANCÉS: 
RECUPERO DE PRÉSTAMOS EN CUOTAS FIJAS 
 
Calcular la CUOTA FIJA (R) trimestral a pagar en 3 meses 
por un Préstamo de 600 dólares, al 3% mensual. 
 
INGRESOS R R R 
 
 
 
 0 1 2 3 meses 
EGRESO P = 600 i = 3% 
 
ABREVIADAMENTE: CON LA 6ta. FÓRMULA CLAVE 
 
 R = P . FDVPn i 
 
 i (1 + i)n 
 R = P 
 (1 + i)n - 1 
 
 0.03(1 + 0.03)3 
 R = 600 
 (1 + 0.03)3 - 1 
 
 R = 212.12 dólares 
 
CUADRO DE INTERESES Y AMORTIZACIONES 
 (1) (2) (3) (4) (5) 
 
 Mes SALDO al INTERÉS Amortización CUOTA FIJA 
 n inicio a fin 
 de “n” (2) x 0.03 (5) - (3) de "n" 
 
 1 600.00 18.00 194.12 212.12 
 
 2 405.88 12.18 199.94 212.12 
 
 3 205.94 6.18 205.94 212.12 
 Σ 600.00 
RECUERDE: Con la 1ra. Fórmula Clave se hace “muy larga” 
 
 
 
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Piense en DOS palabras: AGRUPAMIENTO y DISTRIBUCIÓN 
 
EL CIRCUITO 
FINANCIERO 
 
LAS 6 TRANSFORMACIONES 
FINANCIERAS EQUIVALENTES 
 
 FONDOS DE AMORTIZACIÓN 
 
 R = S . FDVFni = 212.12 
 
ACTUALIZACIÓN CAPITALIZACIÓN 
 
P = S . FAni = 600 S S = P . FCni = 655.64 
 R R R 
 
P = R . FAPni=600 0 1 2 3 S = R . FAFni =655.64 
 P=600 i =3% 
 
 
 
 R = P . FDVPni = 212.12 
 
 AMORTIZACIONES 
 
INTER-RELACIÓN EN UN SOLO ARMAZÓN 
de los 4 TEMAS de la Matemática Financiera: 
 
1) LA CAPITALIZACIÓN 3) LAS AMORTIZACIONES 
2) LA ACTUALIZACIÓN 4) LOS FONDOS DE AMORTIZACIÓN 
 
 
 
 
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Piense en DOS palabras: AGRUPAMIENTO y DISTRIBUCIÓN 
 
RESUMEN 
LAS 6 FÓRMULAS CLAVES 
 
 i TODO ES UNA CADENA 
 
 
 
 
 I = P . i AGRUPAMIENTO DISTRIBUCIÓN 
 
 PRIMERA TERCERA CUARTA 
 
 (1 + i)n - 1 i 
 S = P (1 + i)n S = R R = S 
 i (1 + i)n - 1 
 
 SEGUNDA QUINTA SEXTA 
 
 1 (1 + i)n - 1 i (1 + i)n 
 P = S P = R R = P 
 (1 + i)n i (1 + i)n (1 + i)n - 1 
 
Las 6 Transformaciones de un CAPITAL 600: i = 3% 
 
 AGRUPAMIENTO DISTRIBUCIÓN 
 S=? S=655.64 
 
 
 S=655.64 212.12 212.12 212.12 R=? R R 
 
 
 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 
 
P=600 P=? P=600 
 
Con las FÓRMULAS 1 y 2, se resuelve CUALQUIER problema. 
LAS FÓRMULAS: 3, 4, 5 y 6 solo ABREVIAN el TRABAJO. 
Y están diseñadas para CAPITALIZAR o ACTUALIZAR. 
 FLUJOS INMEDIATOS y VENCIDOS. ¡NADA MÁS! 
 
 
 
 
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 Piense en DOS palabras: AGRUPAMIENTO y DISTRIBUCIÓN 
 
 
OBSERVE: 
 
AL FUTURO: 
Hay 2 CAMINOS para obtener US$ 655.64 
 
PUNTO de PARTIDA: 
P = 600 
Y calculando en el orden de los círculos: 1º, 2º, 3º. 
 
 LA CAPITALIZACIÓN 
 
 S = P . FCni = 655.64 1º 
 R R R 
 
 0 1 2 3 S = R . FAFni = 655.64 3º 
 P= 600 i =3% 
 
 
 
 R = P . FDVPni = 212.12 2º 
 
 LAS AMORTIZACIONES 
 
IDENTIDADES MUY ÚTILES: 
 
LA CAPITALIZACIÓN 
 
 S = P . FCni 
 S = P . FDVPni . FAFni 
 
 
 
 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 54 
 Piense en DOS palabras: AGRUPAMIENTO y DISTRIBUCIÓN 
 
 
AL PRESENTE: 
Hay 2 CAMINOS para obtener US$ 600 
 
PUNTO de PARTIDA: 
S = 655.64 
Y calculando en el orden de los círculos: 4º, 5º, 6º. 
 
 
 LOS FONDOS DE AMORTIZACIÓN 
 
 R = S . FDVFni = 212.12 5º 
LA ACTUALIZACIÓN 
 
 4º P = S . FAni = 600 S = 655.64 
 R R R 
 
 6º P = R . FAPni = 600 0 1 2 3IDENTIDADES MUY ÚTILES: 
 
 LA ACTUALIZACIÓN 
 
 P = S . FAni 
 P = S . FDVFni . FAPni 
 
 
 
 
 
 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 55 
 
 
EL FLUJO CONSTANTE: 
R = 212.12 
 
por 2 CAMINOS 
 
Piense en: DISTRIBUCIÓN 
 
 LOS FONDOS DE AMORTIZACIÓN 
 
 5º R = S . FDVFni = 212.12 
 S = 655.64 
 
 
 
 
 212.12 212.12 212.12 
 
 
 
 0 1 2 3 
 
 P = 600 
 2º R = P . FDVPni = 212.12 
 
 LAS AMORTIZACIONES 
 
IDENTIDADES MUY ÚTILES: 
 R = P . FDVPni 
 R contiene INTERESES. PAGA un Préstamo 
 R = S . FDVFni 
 R no contiene INTERESES. 
 GANA intereses para acumular un Capital Futuro. 
 
 
 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 56 
 
¡ MEMORICE ! 
 
1.- ¿Para qué sirve el Factor de Capitalización: FC?. 
 
 Sirve para transformar un STOCK Inicial: P 
 en un STOCK Final: S 
 
2 
2.- ¿Para qué sirve el Factor de Actualización: FA?. 
 
 Sirve para transformar un STOCK Final: S 
 en un STOCK Inicial: P 
 
 
3.- ¿Para qué sirve el Factor de Agrupamiento 
 al Futuro: FAF?. 
 
 Sirve para transformar un FLUJO Constante: R 
 en un STOCK Final: S 
 
 
4.- ¿Para qué sirve el Factor de Distribución 
 de un Valor Futuro: FDVF?. 
 
 Sirve para transformar un STOCK Final: S 
 en un FLUJO Constante: R 
 
5.- ¿Para qué sirve el Factor de Agrupamiento 
 al Presente: FAP?. 
 
 Sirve para transformar un FLUJO Constante: R 
 en un STOCK Inicial: P 
 
 
6.- ¿Para qué sirve el Factor de Distribución 
 de un Valor Presente: FDVP?. 
 
 Sirve para transformar un STOCK Inicial: P 
 en un FLUJO Constante: R 
 
 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 57 
¡ Esto sí . . . , es GRANDIOSO ! 
En solo 2 páginas . . . , le enseñaré a manejar las 
ANUALIDADES ANTICIPADAS y las DIFERIDAS. 
En otros libros, utilizan CAPÍTULOS, y no hay necesidad. 
 
ANUALIDADES ANTICIPADAS 
 
Un PRÉSTAMO de US$ 1000 se paga en 7 meses al 3% mensual. 
Calcule las Cuotas Fijas Mensuales INMEDIATAS y ANTICIPADAS. 
 
1er. PASO: Aplique el FDVP: 
RVENCIDA = 1000 . FDVP7 0.03 = 160.506 
 
El FDVP, está diseñado solo para calcular 
Pagos Fijos al FINAL de CADA PERIODO 
 
 160.56 160.56 160.56 160.56 160.56 160.56 160.56 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 
 P = 1000 i = 0.03 
 
 
TRANSFORMACIÓN: 
De Pagos Fijos al FINAL de CADA PERIODO 
en Pagos Fijos al INICIO de CADA PERIODO. 
 
2do. PASO: Actualice 1 Periodo la R = 160.506 con el FA 
 
 1 
RANTICIPADA = 160.506 ¡HAGA ESTO! 
 ( 1 + 0.03 )1 
RANTICIPADA = 160.506 (0.970873786) 
 
RANTICIPADA = $ 155.83 
 
 
 
 155.83 155.83 155.83 155.83 155.83 155.83 155.83 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 
 P = 1000 i = 0.03 ¡ESO ES TODO! 
 
 
 
 
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ANUALIDADES DIFERIDAS VENCIDAS 
Un Préstamo de US$ 1000 se devuelve en 7 meses al 3% mensual. 
Calcule las Cuotas Fijas Mensuales R’ vencidas y diferidas 3 meses. 
 
EL SECRETO: Resalte un Flujo INMEDIATO Y VENCIDO: 
 
 
UN CAMINO: Combinando el FC con el FDVP. 
 
 R R R R 
 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 
 P = 1000 P3 (vea la línea gruesa) 
 
R = [ 1000 ( FC30.03 ) ] ( FDVP40.03 ) 
 
R = [ 1092.727 ] ( 0.269027045 ) = 293.973 Respuesta 
 
 293.973 293.973 293.973 293.973 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 
 P = 1000 i = 0.03 
 
 
OTRO CAMINO: Combinando el FC con el FDFV 
 
 S 
 R R R R 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 
 P = 1000 i = 0.03 
R = [ 1000 ( FC70.03 ) ] ( FDVF40.03 ) 
R = [ 1229.873865 ] ( 0.239027045 ) = 293.973 Sale igual. 
 
ANUALIDADES DIFERIDAS ANTICIPADAS 
Solo actualizamos UN PERIODO el resultado anterior: 
R’ = R . FA10.03 
R’ = 293.973 ( 0.970873786 ) = 285.41 
 
 285.41 285.41 285.41 285.41 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 
 P = 1000 i = 0.03 ¡ESO ES TODO! 
 
 
 
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PROBLEMA PARA USTED 
¡ATÁQUELO POR 7 FRENTES COMBINANDO FÓRMULAS! 
 
PRÉSTAMO: P = 1000. Plazo total n = 7 meses. Tasa i = 4% mensual 
Cuotas Fijas: R = 309.89 (verificar) diferidas 3 meses y vencidas. 
 
 
“Dos cantidades EQUIVALENTES, 
lo son en cualquier punto del tiempo” 
 
1er. CAMINO: Con el FC, Ecuación Financiera en el Punto 7 
 
 
 
 R R R R 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 meses 
 P = 1000 
 
1000 . FC7
0.04= R. FC3
0.04+ R . FC2
0.04+ R . FC1
0.04+ R Despeje R 
 
2do. CAMINO: Con el FA, Ecuación Financiera en el Punto 0 
 
 
 
 R R R R 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 meses 
 P = 1000 
 
1000 = R.FA4
0.04+ R . FA5
0.04+ R . FA6
0.04+ R . FA7
0.04 Despeje R 
 
3er. CAMINO: Con el FC y FA. Ecuación en el Punto Ej.: 5 
 
 
 
 R R R R 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 meses 
 P = 1000 
 
1000 . FC5
0.04 = R.FC1
0.04+ R + R . FA1
0.04+ R . FA2
0.04 Despeje R 
 
 
 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 60 
 
4to. CAMINO: Combinando el FC y el FAF en el Punto 7 
 
 
 
 R R R R 
 
 01 2 3 4 5 6 7 meses 
 P = 1000 
 
EL SECRETO: (vea la línea gruesa) 
BUSQUE un Flujo INMEDIATO y VENCIDO 
 
 1000 . FC70.04
 = R . FAF40.04
 R = 309.89 
 
5to. CAMINO: Combinando el FC con el FDVP. 
 
 R R R R 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 meses 
 P = 1000 Use el CIRCUITO 
 R = [ 1000 (FC30.04 ) ]( FDVP40.04) Donde: R = 309.89 
 
 El corchete es Stock, al INICIO del mes 4. 
 
6to. CAMINO: Combinando el FC con el FDVF 
 
 
 R R R R 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 meses 
 P = 1000 Use el CIRCUITO 
 
R = [1000 ( FC70.04)]( FDVF40.04) Donde: R = 309.89 
 El corchete es Stock, al FINAL del mes 7 
 
IDENTIDADES R = P . FDVPni 
A RECORDAR: R = S . FDVFni 
 
 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 61 
 
7mo. CAMINO: Con R Artificiales 
 
El Diagrama ORIGINAL: 
 R R R R 
 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 meses 
 P = 1000 i = 4% mensual 
 
Complételo así: 
 
 R R R R R R R 
 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 meses 
 P = 1000 
 
En el Punto 0, planteamos la ECUACIÓN FINANCIERA: 
 
1000 = R . FAP70.04 - R . FAP30.04 
 
 
Restamos el Valor Actualizado de las R artificiales, 
por cuanto NO EXISTEN. 
Las RESTAS, también se hacen en un Punto en el tiempo. 
 
 1000 = R ( 6.00205467 – 2.775091033 ) 
 
 Despejando: R = 309.89 Igual resultado 
 
 
¡ JUEGUE con las 6 FÓRMULAS CLAVES 
y el CIRCUITO FINANCIERO, 
para DOMINAR Matemática Financiera! 
AHORA, solo falta manejar BIEN 
la tasa de interés. 
 
PROF.: ING. ECON. ABDÍAS ESPINOZA (PERÚ) abdiasespinoza1@hotmail.com 
 
 
 
CORREO del AUTOR: abdiasespinoza1@gmail.com 62 
FLUJOS PERPÉTUOS 
Cuando n, tiende al infinito: n ∞ (Ver Pág. 2) 
 
PROBLEMA 1: 
Un hospital recibe una renta perpétua mensual de US$ 200000. Hallar el valor por el cual 
puede ceder sus derechos a la renta perpetua. Tasa de interés: 2% mensual, 
 
 R = 200 000 mensual ANÁLISIS: Se trata de transformar 
DIAGRAMA: un Flujo Constante R, 
 0 ∞ meses en un Stock Inicial P. Se aplicará el 
 P =? i = 0.02 mensual FAP cuando n tiende al INFINITO. 
 1 1 
OPERAC.: P = R.FAP∞
i = R. = 200 000 SOLUC.: P=US$10 millones 
 i 0.02 
 
PROBLEMA 2: 
Sean bonos a perpetuidad con VN = US$ 1000 al 10% anual. Calcule la renta. 
 
 R = ? ANÁLISIS: Se trata de transformar un Stock 
DIAGRAMA: Inicial P, en un Flujo Constante R. 
 0 ∞ Se aplicará el FDVP 
 P =1000 i = 0.10 cuando n tiende al INFINITO. 
OPERAC.: R = P. FDVP∞
i
 = P. i = 1000 (0.10) SOLUC.: R = US$ 100 
 
FLUJO ANTICIPADO 
 
1º FLUJO VENCIDO R: 
 Ver págs. 30, 31, 50 Cuadro de Intereses y Amortizaciones 
 
 212.12 212.12 212.12 (1) (2) (3) (4) (5) 
 
 
 0 1 2 3 meses 
 P = 600 n Saldo al Interés Amortiz Cuota 
 Inicio de n (2) x 0.03 (5) – (3) Fin de n 
2º FLUJO ANTICIPADO R’: Pág. 57 
 R’ = 212.12 (1 + 0.03)-1 = 205.94 0 600.00 0 205.94 205.94 
205.94 205.94 205.94 1 394.06 11.82 194.12 205.94 
 
 0 1 2 3 meses 2 199.94 6.00 199.94 205.94 
 P = 600 3 
 
Dentro de un Flujo anticipado 
existe un Flujo vencido: ¡Vea! NOTA: En el punto 0 (inicio del mes 1) el préstamo 
 
 205.94 205.94 neto es (600- 205.94) = 394.06 
 El 1er. Interés es 0, pues no ha pasado ningún tiempo. 
 0 1 2 3 meses La 1ra. Cuota (Punto 0) es TODO capital. 
P = 394.06 Los 394.06 se paga con 2 cuotas VENCIDAS de 205.94 
 
Los 205.94 a INICIO del mes 3, ANALOGÍA: Las 12 de la noche de HOY, 
es como si estuviera a FIN del mes 2. es las 0 horas, del DIA SIGUIENTE. 
abdiasespinoza1@gmail.com 63 
 
 
1.7. 
LAS TASAS 
NOMINAL 
Y 
EFECTIVA 
 
CASO TERCER MUNDO: Perú 
 
TASA TASAS TASAS TASAS 
ANUAL ANUALES “MENSUALES” ANUALES 
NOMINAL EFECTIVAS EFECTIVAS EFECTIVAS 
CONTROLADA CONTROLADAS CONTROLADAS LIBRES 
 
TNA = 93% 
Inflación 158% Inflación 63%: 1986 Inflación 7640% Inflación 3.73% 
BELAÚNDE ALAN GARCÍA ALAN GARCÍA FUJIMORI 
 
TEA = 289.6% 30% TEA = 125% 
 255% 25% 
 110% 55% 20% 
 32% 
 
 
 
 Julio 5 Ag. Julio Marz Set Dic Marz Marz Agosto 
 1985 1985 1987 1988 88 88 89 90 1990-2000 
 30% MENSUAL < > 2 230% ANUAL 
 
¿Cómo surgen las tasas NOMINAL y EFECTIVA 
para UN periodo 
y para VARIOS periodos. Ej.: El AÑO?. 
 
 
 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 64 
 LA TASA NOMINAL Y EFECTIVA 
PARA UN PERIODO 
 
¿Por qué, el solo decir: Ej.: 10% trimestral, 
es tasa VENCIDA y también es tasa E-FEC-TI-VA? 
 
Lo que dice el MATEMÁTICO: Lo que hace el BANQUERO: 
Dé al cliente el Préstamo “Cobra el interés por adelantado”. 
completo solicitado: US$ 1000. Y le da: $ 1000 - 100 = $ 900 (*) 
Es INTERÉS VENCIDOEs INTERÉS ADELANTADO 
O, AÑADIDO. O, DESCONTADO. 
 
 I = 100 I = 100 
 
0 1 Trim 0 1 Trim 
P = 1000 P = 900 
 
VERIFICACIÓN DE LA TASA VERIFICACIÓN DE LA TASA 
 I 100 100 
i = = = 0.10 = 10% trim i = = 0.1111 = 11.11% trim. 
 P 1000 900 
SE CUMPLE la tasa anunciada NO SE CUMPLE la tasa anunciada. 
 10% trimestral. Al 11.11% se llamará tasa EFECTIVA 
 Es la tasa VERDADERA 
 Al 10% se llamará tasa NOMINAL 
 Es una tasa MENTIROSA 
 
El Prof. Justin Moore, 
de los EE.UU., en su Libro: 
Manual de Matemáticas Financieras 
dice: 
“El Interés es VENCIDO 
porque hay que darle 
tiempo al cliente 
para que use el dinero”. 
 
 
 (*) El Banquero, resta 2 cantidades en 2 distintos puntos 
 del tiempo: 1000 al inicio – 100 al final = 900. 
 ¿Eso no va contra las Finanzas?. 
 
 
 
CORREO del AUTOR: abdiasespinoza1@hotmailmail.com 65 
 
 
 
En la VERIFICACIÓN a interés VENCIDO, 
 
 I 100 
i = i = 
 P 1000 
 
 i = 10% TRIMESTRAL 
 es también tasa de interés EFECTIVA. 
 Por DEFINICIÓN, 
 la tasa de interés es VENCIDA. 
 
Por tanto: 
"Toda tasa VENCIDA, es tasa EFECTIVA" 
 
Se lo digo en verso: 
 
"La tasa de interés 
 que es EFECTIVA, 
 por DEFINICIÓN, 
 deja de serlo, 
 por IMPOSICIÓN". 
 Abdías Espinoza 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CORREO del AUTOR: abdiasespinoza1@hotmailmail.com 66 
 LA TASA NOMINAL Y EFECTIVA 
 
PARA VARIOS PERIODOS 
 
La Tasa EFECTIVA Anual: TEA 
 
Con la 1ra. Fórmula Clave 
S = P (1 + i)n 
al 10% trimestral 
y capitalizando (rotando el capital) 
m = 4 trimestres en el año. 
 
Tenemos: 
 
1464.10 = 1000 ( 1 + 0.10TRIM )4 TRIM 
 
Se puede escribir: ES UNA SUMA CONTABLE 
 
 0.10 + 0.10 + 0.10 + 0.10 
 1.4641 = ( 1 + ) 4 
 4 
 Separamos Sumamos 
 
 0.40 
 1 + 0.4641 = ( 1 + ) 4 
 4 
 
Surgen 2 Tasas ANUALES, 
que debemos diferenciar: 
 
40% es una SUMA ARITMÉTICA. Será Tasa NOMINAL 
 
46.41% es una SUMA GEOMÉTRICA. Será Tasa EFECTIVA 
 
 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 67 
 LA TASA NOMINAL Y EFECTIVA 
 
PARA VARIOS PERIODOS 
 
 
 
 
Relación 
entre la Tasa de Interés Nominal Anual 
(TNA) 
y la Tasa Efectiva Anual 
(TEA): 
 
 
 
 TNA 
 1 + TEA = (1 + )m 
 m 
 
 
 
Donde: 
m = Rotación del Capital en el AÑO. 
 
 
 
Hay 4 VIDEOS en YOUTUBE. En BUSCAR escriba: 
Matemáticas Financieras 4 
En GOOGLE. En Buscar escriba: ABDIAS ESPINOZA 
 
 
 
 
 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 68 
 
 
Con una MISMA Tasa NOMINAL Anual 
 
A mayor ROTACIÓN (m) del capital, 
mayor es la Tasa EFECTIVA Anual 
 
 
 
 
 
 Tasa Periodo Rotación Tasa TEA TEA 
Nominal de Periódica 
TNA = j capitalización m j / m 1+ i = (1 + j/m )
m i % 
 
40 % trimestre 4 0.10 1 + i = (1 + 0.10 )4 46.41% 
 
40 % mes 12 0.033333 1 + i = (1 + 0.033333)12 48.21% 
 
40 % dia 360 0.001111 1 + i =(1+0.001111)360 49.15% 
 
 
Pero . . . , hay un LÍMITE: 
 
Se demuestra que la expresión de Capitalización DISCRETA: 
 
 1+ i = (1 + j/m )
m 
 
 
Se convierte en la fórmula de Capitalización CONTÍNUA: 
 
 1+ i = e 
j
 Donde: e = 2.7182818285 
 
 
EJEMPLO: 
A la TNA = j = 40% 
con Capitalización SEGUNDO a SEGUNDO, o INSTANTÁNEA: 
 
 1 + i = (2.7182818285 )
0.40
 
 
 
La TEA límite: i = 49.182 % 
 
 
 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 69 
AHORA . . . , AL REVÉS: 
Sabemos que: A la TEA = 46.41%, la Tasa Trimestral es 0.10 
Se regresa a la tasa trimestral 0.10, radicando, 
no dividiendo: 46.41% : 4. VEAMOS: 
 
 LA TASA PERIÓDICA: 
 
 Tasa Periodo Rotación Tasa TEA TEA 
Nominal de Periódica 
TNA = j capitalización m j / m = i’ 1+ i = (1 + j / m )
m i (%) 
 
40 % trimestre 4 0.10 1 + 0.4641 = (1 + i’ )4 46.41% 
 
 
 
UN CAMINO: Detallado OTRO CAMINO: Abreviado 
 
 360 
1 + i = ( 1 + j/m )m i n días = ( 1 + TEA )n días - 1 
 
Denotemos: j/m = i’ 360 
como Tasa PERIÓDICA i 90 días = ( 1 + 0.4641 )90 días - 1 
 
 
1 + 0.4641 = ( 1 + i’ )4 
 
 4 
 1 + 0.4641 - 1 = i’ 
 
 0.10 = i’TRIM i90 días = 0.10 = 10% TRIMESTRAL 
 
La Tasa PROPORCIONAL: j/m = TNA/m 
Ej.: 40%/4 = 10% TRIMESTRAL 
es también EFECTIVA TRIMESTRAL 
Este conocimiento, es MUY IMPORTANTE 
 
No es correcto, considerar: j/m, como NOMINAL, o tasa adelantada, 
o tasa de descuento, en Operaciones de PRÉSTAMOS BANCARIOS 
y DESCUENTOS BANCARIOS DE LETRAS. Lo veremos en la Lección 2 
 
 
 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 70 
 
Con DISTINTAS Tasas NOMINALES Anuales 
 
LA TASA EFECTIVA ANUAL: TEA 
MIDE LA RENTABILIDAD DE UNA INVERSIÓN 
 
¿Cuál banco paga más?. 
 
El Banco (A) ofrece: 48% nominal anual 
“con capitalización semestral”. 
 
El Banco (B) ofrece: 42% nominal anual 
“con capitalización diaria”. 
 
El Banco (C) ofrece: 46% nominal anual 
“con capitalización trimestral”. 
 
 
 
 Tasa Periodo Rotación Tasa TEA TEA 
Nominal de Valor de Periódica 
TNA = j capitalización m j / m 1+ i = (1 + j/m )m i (%) 
 
A:48 % semestre 2 0.24 1 + i = (1 + 0.24 )2 53.76% 
 
B:42 % día 360 0.0011666 1+i = (1 + 0.0011666)360 52.16% 
 
C:46 % trimestre4 0.115 1 + i = (1 + 0.115 )4 54.56% 
 
 
El Banco C, es el que paga más: TEA = 54.56% 
 
Aparentemente, el Banco A, paga más: 48%. 
Pero, su tasa es NOMINAL. 
Significaría que sus INTERESES, 
que cobra cada semestre, 
los guarda “debajo de su colchón”. 
 
Eso JAMÁS haría un INVERSIONISTA. 
 
 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 71 
 
MANEJO DE LAS TASAS DE INTERÉS 
NOMINAL Y EFECTIVA 
 
Una Tasa NOMINAL se maneja por división y multiplicación. 
Una Tasa NOMINAL provoca tasas “PROPORCIONALES”, 
que son EFECTIVAS. 
 
 
 TNA 
 i n días = x n días 
 360 
 
 
 
 
 I = P . i 
 
 
 
 
 360 
 i n días = ( 1 + TEA )
n días - 1 
 
 
 
Una Tasa EFECTIVA se maneja por radicación y potenciación. 
Una Tasa EFECTIVA provoca tasas “EQUIVALENTES”, 
que también son EFECTIVAS. 
 
Si usted lee solamente: Ej.: 24% anual, 
es EFECTIVA anual. 
 
Pero, muchos la consideran NOMINAL 
para calcular su tasa PERIÓDICA: 
 
Ejemplo MENSUAL: Dividen 24% : 12 = 2 %. 
 Que origina una TEA = 26.82417946% 
 
Ejemplo BIMESTRAL: Dividen 24% : 6 = 4 %. 
 Que origina una TEA = 26.53190185% 
 
 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 72 
 
 
LA TASA NOMINAL ANUAL 
 
PROBLEMA.- Cuánto es el interés de US$ 1000 
por 90 días a la TNA = j = 28%. 
 
1º Calcule la tasa para 90 días (1 trimestre): 
 
 0.28 1 
 i 90 días = x 90 = 0.28 x = 0.07 
 360 4 
 
2º Calcule el INTERÉS: I = P . i 
 
 I = 1000 x 0.07 = US$ 70 
 ES TODO 
 
LA TASA EFECTIVA ANUAL 
 
PROBLEMA.- Cuánto es el interés de US$ 1000 
por 90 días a la TEA = i = 28%. 
 
1º Calcule la tasa para 90 días (1 trimestre): 
 
 360 
 i90 días = ( 1 + 0.28 )90 -1 = (1.28)90/360 - 1 
 
 i90 días = (1.28)1/4 - 1 = (1.28)0.25 - 1 = 0.063659179 
 
2º Calcule el INTERÉS: I = P . i 
 
 I = 1000 x 0.063659179 = US$ 63.66. ES TODO 
 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 73 
 
CÁLCULO DE LA TASA PERIÓDICA 
A la TNA = 28%, con capitalización trimestral, 
calcule la tasa para un PERÍODO de 14 días: 
 
EL CAMINO LARGO: Que muchos utilizan 
 
1er. PASO.- Calculan la Tasa Efectiva Anual: TEA 
 1 + TEA = ( 1 + 0.28 / 4 )4 
 TEA = ( 1 + 0.07)4 - 1 = 31.079601% 
 
2do. PASO.- Sabiendo la TEA, bajan a 14 días. 
 
 360 
 i’14 días = ( 1 + 0.31079601 )14 - 1 
 
i’14 días = (1.31079601)14/360 - 1 
 
i’14 días = (1.31079601)0.0388888888 - 1 
 
i’14 días = 1.010580258 - 1 = 0.010580258 = 1.0580258% 
 
EL CAMINO CORTO: EN UN SOLO PASO 
Lo vengo recomendando desde 1978: j 
RECONOCIENDO, que la TASA PROPORCIONAL: 
 m 
 es EFECTIVA se obtiene lo MISMO. 
 j/m = 0.28 / 4 = 0.07 efectiva a 90 días 
 
 90 
 i’14 días = ( 1 + 0.07 )14 - 1 = 0.010580258 
 
 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 74 
 
LA TASA A PERIODO NO NOTABLE 
 
 
A la Tasa Nominal MENSUAL: 2% 
con capitalización semestral 
calcular la Tasa para 17 días: 
 
EL CAMINO LARGO: Que muchos utilizan 
 
1er. PASO.- Calculan la Tasa Efectiva Anual: TEA 
 
 1 + TEA = ( 1 + 0.02 x 6)2 
 
 TEA = 25.44%% 
 
2do. PASO.- Sabiendo la TEA, bajan a 17 días 
 
 360 
 i’17 días = ( 1 + 0.2544 )17 - 1 = 0.010760749 
 
 
EL CAMINO CORTO: EN UN SOLO PASO 
Reconociendo, que la tasa PROPORCIONAL: 
0.02 x 6 = 0.12 semestral (a 180 días) 
es EFECTIVA, se obtiene LO MISMO. 
 
 180 
 i 17 días = ( 1 + 0.12 )17 - 1 
 
 i 17 días = 0.010760749 Sale igual. 
 
 
¿Para qué se calcula esta tasa a periodo NO NOTABLE 17 días? 
Para calcular el INTERÉS I = P . i , compensatorio, o moratorio, 
de una DEUDA no pagada hace 17 días. PARA ESO ES. 
 
 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 75 
 
LAS TASAS 
EQUIVALENTES 
 
 
Dos o más tasas 
Son EQUIVALENTES entre sí, 
cuando dan 
el MISMO INTERÉS 
en un plazo dado. 
 
 
EXAMEN DE SELECCIÓN 
PARA TRABAJAR EN UN BANCO. 
 
Diga, cuáles tasas son equivalentes: 
13.13709% semestral, 6.36592% trimestral, 
4.75012% bimestral, 2.07847% mensual. 
 
 
PROCEDIMIENTO 
 
Elija un PLAZO: El que le dé la gana 
(yo voy a elegir UN AÑO) 
Elija un CAPITAL: Cuanto le dé la gana 
(yo voy a utilizar $ 100). 
 
 
 
 0 1 year 
 P=100 i = 13.13709 % semestral 2 semestres 
 i = 6.36592 % trimestral 4 trimestres 
 i = 4.75012 % bimestral 6 bimestres 
 i = 2.07847 % mensual 12 meses 
 
 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 76 
 
 
LAS TASAS EQUIVALENTES 
 
Dos o más tasas son EQUIVALENTES entre sí, 
cuando dan el MISMO INTERÉS en un plazo dado 
 
El concepto dice: “el mismo INTERÉS”. 
El Interés es esta diferencia: I = S - P 
Entonces, calcule el Stock Final: S, 
y luego . . . haga la diferencia: I 
 
S = P ( 1 + i ) n I = S - P 
 
S = 100 ( 1 + 0.1313709 )2 = 128 I = 128 – 100 = 28 
S = 100 ( 1 + 0.0636592 )4 = 128 I = 128 – 100 = 28 
S = 100 ( 1 + 0.0475012 )6 = 132.1 I = 132.1 – 100 = 32.1 
S = 100 ( 1 + 0.0207847 )12 = 128 I = 128 – 100 = 28 
 
Mirando los “mismos Intereses” ( I = 28), 
 
CONCLUÍMOS: 13.13709 % semestral 
< > 6.36592 % trimestral 
< > 2.07847 % mensual 
La tasa 4.75012 % bimestral, NO ES equivalente 
al resto, porque no da 28. 
 
PERO . . . , ¿ DE DÓNDE PROVIENEN LAS TASAS: 
SEMESTRAL, TRIMESTRAL Y MENSUAL? 
Provienen de la Tasa EFECTIVA Anual: TEA = 28%. 
 
¡CALCÚLELAS! Por eso: 28% anual 
< > 13.13709 % semestral 
< > 6.36592 % trimestral 
< > 2.07847 % mensual 
 
Las tasas EFECTIVAS, 
producen Tasas EQUIVALENTES. 
 
 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 77 
 
1.8. UN PROBLEMA 
PARA RECORDAR 
 
Un préstamo de US$ 1000 se devuelve en 1 año 
a la TNA = j = 12 % con capitalización TRIMESTRAL. 
 
Calcule: 
A) La Cuota Fija Semestral Inmediata y Vencida 
B) La Cuota Fija Mensual Inmediata y Vencida. 
 
 
 
 
 
 
 
El PERIODO de la Tasa es el TRIMESTRE. 
Su magnitud es: 12% / 4 = 3 % 
 
Y esta tasa PROPORCIONAL es 
EFECTIVA Trimestral 
 
Si las Cuotas fueran TRIMESTRALES, aplicaríamos 
el Factor de Distribución de un Valor Presente: FDVP 
 
R = 1000 . FDVP 4 0.03 = 269.027 TRIMESTRAL 
PERO, se quieren cuotas SEMESTRALES y MENSUALES. 
 
 
Entonces . . . , a partir del 3% EFECTIVA Trimestral 
calculamos las TASAS EQUIVALENTES necesarias: 
SEMESTRAL y MENSUAL. Ud. ya sabe cómo es: 
3% trimestral <> 6.09% semestral <> 0.9901634% mensual 
 
 
 
 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 78 
 
A) La Cuota SEMESTRAL: R 
 
 
POR UN CAMINOPOR OTRO CAMINO 
 
Aplicando el FDVP Aplicando el FAF 
Tomar P = 1000 y Tomar 2 cuotas trimestrales y 
DISTRIBUIRLO en 2 cuotas AGRUPARLAS en 1 cuota 
semestrales. Semestral 
a la tasa i = 6.09% semestral, a la tasa i = 3% trimestral, 
equivalente. dato del problema. 
 
 S = ? 
 
 R R 269.027 269.027 
 
 
 0 1 2 sem. 0 1 2 trim 
 P = 1000 
 
 i ( 1 + i )n (1 + i)n - 1 
R = P. FDVPn i = P. S = R. FAFn i = P 
 ( 1 + i )n - 1 i 
 
 
 0.0609 ( 1 + 0.0609)2 (1 + 0.03)2 - 1 
R = 1000 S = 269.027 
 ( 1 + 0.0609)2 - 1 0.03 
 
R = 1000 x 0.5461249 S = 269.0270452 x 2.03 
 
 
R = 546.1249 US$ semestral S = 546.1249 US$ semestral 
 
 
DOS CAMINOS Y UN MISMO RESULTADO 
Las Ecuaciónes Financieras a Interés COMPUESTO no fallan. 
 
¡OLVÍDESE del Interés SIMPLE!. 
¡No sirve!. 
 
 
 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 79 
 
 
B) La Cuota MENSUAL: R 
 
 
 POR UN CAMINO POR OTRO CAMINO 
 
Aplicando el FDVP Aplicando el FDVF 
Tomar P = 1000 y Tomar 1 cuota trimestral y 
DISTRIBUIRLO en 12 cuotas DISTRIBUIRLA en 3 cuotas 
mensuales. mensuales 
a la tasa i = 0.9901634% a la tasa i = 0.9901634% 
mensual equivalente. mensual equivalente. 
 
 S = 269.027 
 
 R R R . . . R R R R R 
 
 
 0 1 2 3 . . . 11 12 meses 0 1 2 3 meses 
 
 P = 1000 
 
 i ( 1 + i )n i 
R = P. FDVPn i = P. R = S. FDVFn i = S 
 ( 1 + i )n - 1 (1 + i)n - 1 
 
 
 0.00990163 (1.00990163)12 0.00990163 
R = 1000 R = 269.027 
 (1.00990163)12 - 1 (1.00990163)3 - 1 
 
R = 1000 x 0.088793576 R = 269.0270452 x 0.33005447 
 
 
R = 88.7936 US$ mensual R = 88.7936 US$ mensual 
 
 
DOS CAMINOS Y UN MISMO RESULTADO 
Las Ecuaciónes Financieras a Interés COMPUESTO no fallan. 
 
¡OLVÍDESE del Interés SIMPLE!. ¡No sirve!. 
 
 
 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 80 
 
¿CÓMO USTED DESCUBRE SI UNA TASA 
 ANUNCIADA, ES NOMINAL, O ES EFECTIVA? 
Recomiendo leer este Tema en: INGENIERÍA ECONÓMICA, por Tarquin. 
 
En la VIDA REAL: Pregunte en un banco de su país. Nada más. 
 
En la VIDA ACADÉMICA: En los LIBROS suele haber confusión. 
 
 
TASA ANUNCIADA INTERPRETACIÓN 
 
 
5% mensual Es EFECTIVA mensual. Y es VENCIDA. 
 Siempre que se reciba 100 al inicio del mes. 
 
12% anual Es NOMINAL por la frase: 
con capitalización trimestral. “con capitalización trimestral”. 
 Y la tasa PROPORCIONAL trimestral: 
 12% : 4 = 3% es EFECTIVA. 
 
 
1% nominal mensual con El PERIODO de la tasa es el semestre. 
capitalización semestral. Su valor se obtiene por multiplicación: 
 1% x 6 = 6%, y es EFECTIVA semestral. 
 De aquí: La tasa mensual “ i ” , 
 para calcular un interés mensual 
 será: i = (1 + 0.06) 1/6 – 1 = 0.975879418% 
 
3% nominal mensual Es EFECTIVA mensual, por la coincidencia 
con capitalización mensual. del periodo de la tasa y la capitalización. 
 
2% efectiva mensual La expresión “compuesto mensualmente” 
compuesto mensualmente. está demás. Solo es 2% efectiva mensual. 
 
 
¿Qué significa,: “con capitalización semestral”? 
 
CASO: AHORRISTAS en el PERÚ 
 
Hasta agosto de 1983, Ud. podía depositar y retirar dinero cualquier día. 
Pero, los intereses eran abonados en su cuenta recién el dia siguiente, 
después del 30-06, o el día siguiente después del 31-12, de cada año. 
Dentro de cada semestre, los intereses eran SIMPLES y NO EXIGIBLES. 
Sí el ahorrista, por ejemplo, después del 30 de Junio, no retiraba sus 
INTERESES, entonces RECIÉN, le pagaban interés SOBRE su interés. 
AHÍ está la “CAPITALIZACIÓN SEMESTRAL”. 
 
 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 81 
 
RESUMEN 
 
Préstamo: P = US$ 600 Plazo: n = 3 meses. 
3 Cuotas Mensuales. Tasa: i = 3% mensual 
 
 
 MÉTODO ALEMÁN MÉTODO AMERICANO 
 (1) (2) (3) (4) (5) (1) (2) (3) (4) (5) 
 
Mes Saldo Interés Amort. Cuota Mes Saldo Interés Amort. Cuota 
 
 1 600 18 200 218 1 600 18 18 
 
 2 400 12 200 212 2 600 18 18 
 
 3 200 6 200 206 3 600 18 600 618 
 
 
MÉTODO INFORMAL ESPECIAL MÉTODO FRANCÉS 
 (1) (2) (3) (4) (5) (1) (2) (3) (4) (5) 
 
Mes Saldo Interés Amort. Pago Mes Saldo Interés Amort. Cuota 
 
 1 600 18 10 1 600 18 194.12 212.12 
 
 2 608 18.24 15 2 405.88 12.18 199.94 212.12 
 
 3 611.24 18.34 611.24 629.58 3 205.94 6.18 205.94 212.12 
 
 
 GRADIENTE ARITMÉTICA GRADIENTE GEOMÉTRICA 
 (1) (2) (3) (4) (5) (1) (2) (3) (4) (5) 
 
Mes Saldo Interés Amort. Pago Mes Saldo Interés Amort. Cuota 
 
 1 600 18 132 150 1 600 18 132 150 
 
 2 46814.04 199.33 213.37 2 468 14.04 192.33 206.37 
 
 3 268.67 8.06 268.67 276.73 3 275.67 8.27 275.67 283.94 
 
 Gradiente: g = 63.37 Gradiente: g = 37.583% 
 
¿POR QUÉ SON EQUIVALENTES 
LOS 6 PLANES DE REPAGO? 
 
DOS RESPUESTAS: 
 1) Tienen la misma tasa del rendimiento: 3% mensual 
 2) Los 6 FLUJOS, pagan el STOCK Inicial: P = 600 
 
 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 82 
CASO ESPECIAL: 
CUOTAS FIJAS EN FECHA FIJA 
 
PRÉSTAMO: P = US$ 600 recibido el 10 de Julio del 2007. 
3 Cuotas Fijas a pagar el 10 de cada mes. Tasa = 3% mensual 
 
En este caso ya no funciona el FDVP, el cual está diseñado 
para calcular cuotas fijas, solo a intervalos TODOS Iguales. 
Hay que aplicar el FA y actualizar “UNO POR UNO”. 
 
DIAGRAMA: R R R 
 
 
 31 días 31 días 30 días 
 Fechas: 10/07 10/08 10/09 10/10 
 P = 600 i = 0.03 (< > 0.000985779 diaria) 
 
ANÁLISIS: Plantear la ecuación financiera en el punto 0, con el FA 
 a la tasa DIARIA 0.000985779, equivalente al 0.03 mensual. 
 
OPERACIONES: 
 R R R 
 600 = + + 
 (1.000985779)31 (1.000985779)62 (1.000985779)92 
 
SOLUCION: R = $ 212.4647 = 212.46 por defecto 
 
 
 CUADRO DE INTERESES Y AMORTIZACIONES 
 
 (1) (2) (3) (4) (5) 
 
 FECHA n SALDO INTERES AMORT. CUOTA 
 
 10 / 07 0 600.00 
 10 / 08 1 406.15 18.61 193.85 212.46 
 10 / 09 2 206.29 12.60 199.86 212.46 
 10 / 10 3 0.00 6.19 206.29 212.48(*) 
 
1er. Interés = 600 [(1 + 0.03)31/30 - 1] = 600 x 0.031015352 = 18.61 
2do.Interés = 406.15 [(1 + 0.03)31/30 - 1] = 406.15 x 0.031015352 = 12.60 
3er. Interés = 206.27 [(1 + 0.03)30/30 - 1] = 206.27 x 0.03 = 6.19 
OBSERVE: Con tasa mensual 0.03, el exponente en fracción mensual: 31/30 
(*) Incluye defectos. 
 
 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 83 
 
Metodología NORTEAMERICANA (EE.UU.) 
vs. 
Metodología INCAICA (PERÚ) 
 ( CUZCO - PERÚ: Tierra de los INCAS ) 
 
APLICACIÓN A UN PROBLEMA 
ESPAÑOL 
 
ENUNCIADO: 
Similar al del Prof. Eloy Pozo de ESIC. 
Sea una renta de cuantía 60.000 u.m., de 8 años de 
duración valorada al 6% si se fracciona mensualmente. 
Calcular el valor final. 
 
Muchas veces los enunciados no son completos: 
 
RESPECTO A LA TASA ANUNCIADA 
 
En el problema, no se especifica si la tasa 6% es anual. 
Pero . . . , es USUAL que sea ANUAL. 
 
Además, en ESPAÑA, desde el 5 de diciembre de 1988, 
según la Circular No. 15 del Banco de España, 
la tasa de interés se anuncia en términos vencidos o “efectivos”, 
lo que conduce al manejo de las llamadas tasas “equivalentes”. 
(Tomado de Análisis y Formulación de las Operaciones Financieras, por Eloy Pozo y Javier Zúñiga) 
 
RESPECTO AL FLUJO 
 
En ESPAÑA, el dato, 60.000 u.m. es la tradicional “ANUALIDAD”, 
o RENTA, y la expresión . . . , “si se fracciona mensualmente”, 
no se refiere a la tasa de interés. 
Indica, que los depósitos (R) son MENSUALES, 
resultante de dividir 60 000 / 12 meses = 5 000 u.m. 
 
OBSERVACIÓN: 
En AMÉRICA 
Puede confundir la frase: “al 6%, que se fracciona mensualmente”. 
Parecería que la tasa de interés se “capitaliza mensualmente”. 
 
Pero, no es así. Ya descubrimos que se refiere a la renta. 
 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 84 
 
 
Con Metodología Tradicional 
NORTEAMERICANA 
 
 
Fórmula complicada 
utilizada en ESPAÑA: 
 
 
 (m) i 
 S = . S 
 n i J (m) n i 
 
 
 
 Usan TABLAS FINANCIERAS 
 (eso ya pasó a la historia) 
 
 (12) 0.06 
 S = 60 000 . S 
 8 0.06 0.058410606 8 0.06 
 
 
 
 (12) 
 S = 610.007,09 u.m. 
 8 0.06 
 
 
 
La fórmula puede encontrarse en el Libro 
del Prof. JUSTIN MOORE: 
Manual de Matemáticas Financieras 
Editorial UTHEA. 
TODA UNA BIBLIA, EN LA DÉCADA DEL 70, EN EL PERÚ. 
Justin Moore, fue un grande. 
Fue Asesor de la Irving Trust Company de los EE.UU. 
Hizo un tremendo esfuerzo al recopilar artículos franceses y alemanes 
del siglo XIX para darnos su libro (ver la bibliografía que estudió). 
 
Hay 4 VIDEOS en YOUTUBE. En BUSCAR escriba: 
Matemáticas Financieras 4 
En GOOGLE. En Buscar escriba: ABDIAS ESPINOZA 
 
 
 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 85 
 
 Con Metodología INCAICA Propuesta: 
 
 S=? 
 
 
DIAGRAMA: 5000 5000 5000 . . . . . . . 5000 5000 
 
 
 0 1 2 3 . . . . 95 96 meses 
 Tasa = 0.06 anual efectiva 
 
ANÁLISIS: Se trata de transformar un Flujo (R) en un Stock Final (S). 
 Se aplicará el Factor de Agrupamiento al Futuro: FAF 
 la 3ra. Fórmula Clave: S = R . FAF ni 
 Previamente, y por cuanto el FLUJO es mensual, debemos 
 calcular la tasa mensual equivalente al 6% efectiva anual. 
 
 i = ( 1 + 0.06) 1/12 – 1 = 0.00486755 
 
OPERACIONES: S = 5000 . FAF 96 
0.00486755
 
 
 ( 1 + 0.00486755)96 - 1 
 S = 5000 
 0.00486755 
 S = 5000 ( 122.0014152 ) 
 
SOLUCIÓN: S = 610 007.08 u.m. ¿Vió? SALE IGUALITO. 
 
 
 
RECOMENDACIÓN: 
¡SIEMPRE! . . . , haga COINCIDIR, 
 el INTERVALO del FLUJO, con el PERIODO de la TASA. 
Utilice el concepto de las TASAS EQUIVALENTES. 
 
El PERIODO de la TASA, 
se adapta al INTERVALO del FLUJO. 
El INTERVALO ¡manda!. ¡ES EL CAMINO MÁS FÁCIL!. 
 
Es el Interés COMPUESTO, o interés CAPITALIZABLE. 
Ya le dije: El Interés SIMPLE, 
no le sirve al Banquero, al Inversionista, ni al Ahorrista. Ni al Jubilado. 
 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 86 
 
OTRO CAMINO: 
MÁS COMPLICADO Y POCO USUAL 
 
ANÁLISIS: 
¿Quiere trabajar con la Tasa 6% EFECTIVA ANUAL?. 
(NUNCA, nominal anual) 
Entonces, el intervalo tiene que ser ANUAL. 
 
Por ARTIFICIO FINANCIERO, 
hay que transformar, el FLUJO: R = 5 000 mensual, 
en STOCK: S anual equivalente. 
(Similar al Costo Equivalente Anual, en Evaluación de Proyectos) 
 
DIAGRAMAS=? 
de 1 AÑO: 5000 5000 5000 . . . . . . . 5000 5000 
 
 
 0 1 2 3 . . . . 11 12 meses 
 
 S = 5 000 x FAF 12 
0.00486755 = 61 632.64178 
 
 Aquí tenemos un Flujo ANUAL en 8 AÑOS : 
 
DIAGRAMA S=? 
en 8 años: 
 61 632.64 61 632.64 61 632.64 
 
 
 0 1 2 . . . . 8 años 
 
Ahora, aplicamos el Factor de Agrupamiento al Futuro: FAF, 
para 8 años y con la tasa 6% Efectiva ANUAL: 
 
S = 61 632.64178 x FAF 8 0.06 
 
S = 610 007.09 u.m. 
 
¿Vió? . . . . ¡TAMBIÉN SALE IGUALITO! 
 
Pero, no se complique la vida. Es más fácil adaptar 
el PERIODO de la tasa, al INTERVALO del Flujo. 
 
¡ASÍ NOMÁS ES, LA MATEMÁTICA FINANCIERA !. 
 
 
TIENDA VIRTUAL: www.safperu.com 87 
 
EX - ALUMNO APRECIA MI METODOLOGÍA 
E MAIL DEL ING. CARLOS HUERTA, DESDE EL ECUADOR: 
Se refiere, a los problemas de Matemática Financiera de la Universidad de Barcelona 
(España), que están solucionados de una manera: 
“QUE DA MIEDO SIQUIERA LEERLOS”. (lo dice él) 
Y ME MANIFIESTA que: “Con MI METODOLOGÍA se le hace MUY FÁCIL”. 
 
 
Saludos desde Ecuador 
Carlos Huerta 
om_com@etapaonline.net.ec 
 
Mon, 23 Jan 2006 16:29:30 -0500 
 
Estimado Ing. Abdias Espinoza : 
 
Me complace sobremanera poder saludarlo desde mucho tiempo atrás. Como le comenté telefónicamente tuve el 
honor de ser su alumno hace más de 20 años y poder aprender matemática financiera de la manera más fácil que 
sólo quienes lo dominan como Ud. pueden hacerlo. 
Hace unos meses me matriculé en un MBA on line de la Universidad de Barcelona ( España ) y estoy llevando un 
curso de Matemática Financiera. Están solucionados de una manera que da miedo siquiera leerlos. Con su 
metodología se me hace muy fácil y me gustaría compartirlas con mis compañeros ( de todas partes del mundo) y 
con el tutor del curso. Les he manifestado que tengo un material que les puede ayudar , y pensé hacerles llegar en 
CD o DVD , pero cómo todavía no está disponible espero enviarle a través del tutor una colección suya con su 
dedicatoria y referencias para que tomen contacto con Usted. 
Con mi esposa que se encuentra en Lima ( sólo esta semana) en un taller intensivo o de no poder con un familiar 
le estoy enviando S/. 100 para la adquisición de esta colección , y en mi próxima visita a fines de Febrero 
compraré una actualización para mI a la vez de apersonarme para saludarlo y llevarle los materiales del curso que 
pueden servir para comparar y también incorporar algunos casos tales como Gradientes o rentas de variación 
lineal, rentas de variación geométrica pues por ejemplo ésta última viene a ser un caso más general del FAS. 
Estas fórmulas las desarrollé yo pues en los materiales lo hacen de otra manera ( con factores de corrección, 
renta auxiliar, renta fraccionaria y demás) , que para mi son sus fórmulas y el concepto de interes equivalente 
( metodo 1 sugerido por Ud. ) para series generales. 
 De cualquier manera ahí le envío por este medio los materiales que he recibido , me gustaría compartir 
comentarios. 
 Un abrazo , suerte y estemos en contacto . Mis telefonos son : cel ( 005939) -9757802 Casa en Cuenca Ecuador 
: ( 005937)-2376629 y oficinas en Machala Ecuador( dificil de encontrar pues viajo mucho ): ( 005937)-2921675 y 
2931550. Mi e-mail : om_com@etapaonline.net.ec y ciaminex@hotmail.com 
 
Ing. Carlos Huerta 
 
EL ING. CARLOS HUERTA, después de más de 20 años, envió a una persona a mi local, en Lima, 
a comprar mi Colección 2006. Hoy, con DVD’s mi Producción desde el 2007 
 
¡NO SE VENDE EN LIBRERÍAS!. Por mala experiencia. 
Cuando reciben los libros AL FIADO . . . , sonrien. 
Cuando uno va A COBRARLES . . . , se ponen serios. 
Te hacen esperar. Te dicen que no hay plata. 
Por eso, yo vendo directamente: TRANQUILO . . . no me afano. 
“del autor . . . , al lector”. “de la chacra . . . , a la olla” 
 
 
abdiasespinoza1@gmail.com 88 
 
 
ÍNDICE 
TEMA PÁGINAS 
LAS 6 FÓRMULAS CLAVES Y EL CIRCUITO FINANCIERO 1 - 6 
EL CÁLCULO RACIONAL O MATEMÁTICO 7 - 20 
El DINERO y su tratamiento: Stock y Flujo. 
La tasa de interés. El Interés 
Deuda a pagar con una Cuota: El Interés Vencido o sumado al Capital 
Deuda a pagar con varias Cuotas: 
El MÉTODO ALEMÁN. El MÉTODO AMERICANO 
CASO ESPECIAL: Si el pago NO CUBRE el interés 
LA CAPITALIZACIÓN: La 1ra. Fórmula Clave 21 - 30 
Interés Simple vs. Interés Compuesto 
Suma Económica vs. Suma Contable: Equivalencia Financiera 
Deuda a pagar con varias Cuotas: El MÉTODO FRANCÉS 
LA ACTUALIZACIÓN: La 2da. Fórmula Clave 31 - 38 
El Costo de un Crédito. Actualización y Capacidad de Endeudamiento 
Actualización y Saldo Deudor 
LA CAPITALIZACIÓN 
DE UN FLUJO CONSTANTE: La 3ra. Fórmula Clave 39 - 42 
Administradoras de Fondos de Pensiones 
Los Fondos de Amortización: La 4ta. Fórmula Clave 43 - 44 
La Depreciación 
LA ACTUALIZACIÓN 
DE UN FLUJO CONSTANTE: La 5ta. Fórmula Clave 45 - 48 
Capacidad de Endeudamiento 
El Precio Teórico de un BONO 
Las Amortizaciones: La 6ta. Fórmula Clave 49 - 51 
Deuda a pagar con varias Cuotas: El MÉTODO FRANCÉS 
RESUMEN: EL CIRCUITO FINANCIERO. 52 - 62 
LAS 6 FÓRMULAS CLAVES: Todo es una cadena 
¡Esto sí . . . , es GRANDIOSO!. En solo 2 páginas, le enseñaré a 
manejar: ANUALIDADES ANTICIPADAS y ANUALIDADES DIFERIDAS. 
Ataque el PROBLEMA por distintos caminos combinando Fórmulas 
La Tasa NOMINAL y la Tasa EFECTIVA: 63 - 82 
Para UN Periodo y para VARIOS Periodos. Las Tasas Equivalentes 
UN PROBLEMA PARA RECORDAR 
Metodología AMERICANA (EE.UU.) vs. Metodología INCAICA 83 - 86 
(PERÚ). APLICACIÓN A UN PROBLEMA ESPAÑOL. Hay mucho más. 
EX - ALUMNO APRECIA MI METODOLOGÍA 87 
INDICE. CURRÍCULUM. PROGRAMA de FINANZAS 88 - 90 
 
 
abdiasespinoza1@yahoo.es 89 
 
CURRICULUM 
 
Abdías, ESPINOZA HUERTAS 
Primer Ingeniero Economista del Perú 
Universidad Nacional de Ingeniería (U.N.I.) - LIMA - PERÚ 
 
FORMACIÓN PROFESIONAL: PRIMERA PROMOCIÓN 
 
 * INGENIERIA ECONÓMICA Universidad Nacional de Ingeniería 1964 - 1968 
 * Obtuvo el Primer Diploma de BACHILLER en CIENCIAS con Mención en Economía. 1970 
 * Obtuvo el Primer TITULO Profesional de INGENIERO ECONOMISTA en el Perú. 1971 
 * Egresado de la MAESTRÍA en FINANZAS en la Universidad Federico Villareal 2002 - 2003 
 
EXPERIENCIA PROFESIONAL: 1969 - 1985 
 
 * ASISTENTE FINANCIERO en la ex-Corporación del Mantaro Financiamiento de ITALIA 
 * Administración de Contratos Financieros: ELECTROPERÚ B.I.D., BANCO MUNDIAL 
 * Proyecto " Linea de Transmisión Lima - Chimbote: Financiamiento del JAPON 
 * Proyecto de Electrificación de Trujillo: Financiamiento COFIDE 
 * Proyecto de Electrificación de Iquitos y Pucallpa: Financiamiento CHECO 
 
EXPERIENCIA DOCENTE: 1973 - 2000 
 
 * Escritor en FINANZAS: 
 1.- MATEMÁTICA FINANCIERA Simplificada – Creó Moderna Metodología 1980 
 2.- CONTABILIDAD GERENCIAL: Para las Inversiones. 
 3.- EVALUACIÓN DE PROYECTOS: Económica y Financiera. 
 4.- BOLSA DE VALORES: Valuación de Bonos y Acciones. 
 * Ex-profesor universitario de Estadística, Econometría e Investigación Operativa,Matemática Financiera Universidades: San Martín de Porres 1973 - 1977 
 Universidad Católica, Garcilaso De la Vega y Universidad Nacional de Ingeniería 1978 - 1988 
 Ex-profesor de MATEMÁTICA FINANCIERA en Bancos: 
 * Continental, Wiese, Bco. Crédito, Banco de la Nación, FINSUR, Desde 1980 
 * Banco Popular de la Paz (87) y. Centro de Capacitación Empresarial (Nov. 98) BOLIVIA 
 * Banco Consolidado en Caracas - (1990 y 1992) - Banvenez (1992) VENEZUELA 
 
 * Cámaras de Comercio e Instituto de Administración de Empresas - IPAE 1981 - 1985 
 * Expositor en Finanzas: Arequipa - Trujillo -Chiclayo - Piura - Cuzco - Tacna 1985 - 1989 
 * Centro de Estudios Comerciales y Financieros - CECOFIN - (1990 a 1992) VENEZUELA 
 * O.N.G.: Asociación RASUHUILLCA - Ayacucho (1997). CREAR - PRISMA - Lima (2005) 
 * CENTROMIN (Cerro de Pasco-Perú en Mayo 1998) - Huánuco (1988) 
 * UNIVERSIDAD DANIEL ALCIDES CARRION Cerro de Pasco - Junio 1998 
 * COLEGIO DE ECONOMISTAS DE AREQUIPA Arequipa - Setiembre 1998 
 * UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO Puno - Enero 2000 
 * CAJA MUNICIPAL DE SULLANA (Barranca) 2002 y 2007 
 * COLEGIO DE INGENIEROS DEL PERU: Finanzas para Ingenieros 1999 - 2004 
 * UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA: Formación de Analistas Financieros 2003 - 04 
 * Profesor en el Post Grado de la Facultad de Ingeniería Económica: U.N.I.- Lima 2004 - 05 
 * Profesor en el Post Grado de la Facultad de Ingeniería: Universidad San Agustín – Arequipa 2007 
 
CARGOS PROFESIONALES 
 
 * Fundador de la SOCIEDAD DE INGENIEROS ECONOMISTAS En 1981 
 Para difundir la NUEVA PROFESIÓN de la U.N.I. : 1ra. PROMOCIÓN 1968 
 
* Primer Past Presidente Capítulo de INGENIEROS ECONOMISTAS 1988 - 1989 
 del COLEGIO DE INGENIEROS DEL PERU 
 
 * Fundador de la SOCIEDAD DE ANALISTAS FINANCIEROS En 2009 
 
 
 
 
 
SOCIEDAD DE INGENIEROS ECONOMISTAS 
SOCIEDAD DE ANALISTAS FINANCIEROS 
 
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