Livro - Manual do Professor - Tópicos de Fisica 3_(LGCL)

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ELETRICIDADE
FÍSICA MODERNA
ANÁLISE DIMENSIONAL
Gualter José Biscuola 
Newton Villas Bôas 
Ricardo Helou Doca
Manual do Professor
Gualter José Biscuola
Engenheiro eletrônico formado pela Escola Politécnica da USP
Licenciado em Física
Diretor e professor de Física do Colégio Leonardo da Vinci de Jundiaí (SP)
Newton Villas Bôas
Licenciado em Física pelo Instituto de Física da USP
Licenciado em Ciências e Pedagogia
Professor de Física do Colégio Objetivo de São Paulo
Diretor do Colégio Objetivo NHN de Passos, São Sebastião do Paraíso e Guaxupé (MG)
Ricardo Helou Doca
Engenheiro eletrônico formado pela FEI (SP)
Licenciado em Matemática
Professor de Física do Colégio Objetivo de São Paulo
Diretor do Colégio Objetivo NHN de Passos, São Sebastião do Paraíso e Guaxupé (MG)
Av. Marquês de São Vicente, 1697 – CEP 01139-904 – Barra Funda – SP
PABX: (11) 3613-3000 – Fax: (11) 3611-3308 – Televendas: (11) 3613-3344 – Fax Vendas: (11) 3611-3268
Atendimento ao Professor: (11) 3613-3030 e 0800-117875 – atendprof.didatico@editorasaraiva.com.br
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2007
AUTORIA
Tópicos de Física 1
Gualter
Parte I: Tópicos 1 a 4
Parte II: Tópico 5
Parte III: Tópico 1
Helou
Parte I: Tópico 5
Parte II: Tópicos 1 a 4 e 6 a 8
Parte III: Tópico 2
Tópicos de Física 2
Newton
Parte I
Parte II: Tópico 2
Gualter
Parte II: Tópicos 1 e 3
Parte III: Tópico 3
Helou Parte III: Tópicos 1, 2, 4 e 5
Tópicos de Física 3
Newton Parte I
Gualter Partes II, III e IV
Helou Parte V
Ao professor 4
Objetivos fundamentais da obra 5
Composição da obra 5
Metodologia utilizada 5
Instrumentos disponíveis na obra 6
Estratégias de aplicação da obra 6
A avaliação 7
Considerações didáticas e 
resolução de exercícios 8
Parte I - ELETROSTÁTICA 8
Tópico 1
Cargas Elétricas 8
• Objetivo do Tópico 8
• O que não pode faltar 8
• Algo mais 8
• Subsídios ao Descubra mais 9
• Resolução dos exercícios 
propostos 10
Tópico 2
Campo elétrico 17
• Objetivos do Tópico 17
• O que não pode faltar 17
• Algo mais 17
• Subsídios ao Descubra mais 19
• Resolução dos exercícios 
propostos 20
Tópico 3
Potencial elétrico 26
• Objetivos do Tópico 26
• O que não pode faltar 27
• Algo mais 27
• Subsídios ao Descubra mais 29
• Resolução dos exercícios 
propostos 30
Parte II - ELETRODINÂMICA 34
Tópico 1
Corrente elétrica e resistores 34
• Objetivos do Tópico 34
• O que não pode faltar 34
• Algo mais 34
• Subsídios ao Descubra mais 35
• Resolução dos exercícios 
propostos 40
Tópico 2
Associação de resistores e 
medidas elétricas 42
• Objetivos do Tópico 42
• O que não pode faltar 42
• Algo mais 42
• Resolução dos exercícios 
propostos 44
Tópico 3
Circuitos elétricos 47
• Objetivos do Tópico 47
• O que não pode faltar 47
• Algo mais 48
• Subsídios ao Descubra mais 48
• Resolução de exercícios 
propostos 49
Tópico 4
Capacitores 57
• Objetivos do Tópico 57
• O que não pode faltar 57
• Algo mais 57
• Subsídios ao Descubra mais 58
• Resolução dos exercícios 
propostos 59
Parte III - ELETROMAGNETISMO 61
Tópico 1
O campo magnético e sua influência 
sobre cargas elétricas 61
• Objetivos do Tópico 61
• O que não pode faltar 61
• Algo mais 61
• Subsídios ao Descubra mais 61
• Resolução dos exercícios 
propostos 62
Tópico 2
A origem do campo magnético 64
• Objetivos do Tópico 64
• O que não pode faltar 64
• Algo mais 65
• Subsídios ao Descubra mais 65
• Resolução dos exercícios 
propostos 66
Tópico 3
Força magnética sobre 
correntes elétricas 69
• Objetivos do Tópico 69
• O que não pode faltar 69
• Subsídios ao Descubra mais 70
• Resolução dos exercícios 
propostos 70
Tópico 4
Indução eletromagnética 72
• Objetivos do Tópico 72
• O que não pode faltar 73
• Algo mais 73
• Subsídios ao Descubra mais 73
• Resolução dos exercícios 
propostos 76
Parte IV - FÍSICA MODERNA 78
Tópico 1
Noções de Física Quântica 78
• Objetivos do Tópico 78
• O que não pode faltar 79
• Algo mais 79
• Subsídios ao Descubra mais 79
• Resolução dos exercícios 
propostos 86
Tópico 2
Noções de Teoria da Relatividade 86
• Objetivos do Tópico 86
• O que não pode faltar 87
• Algo mais 87
• Subsídios ao Descubra mais 87
• Resolução dos exercícios 
propostos 91
Tópico 3
Comportamento ondulatório 
da matéria 91
• Objetivos do Tópico 91
• O que não pode faltar 91
• Resolução dos exercícios 
propostos 92
Parte V - ANÁLISE DIMENSIONAL 92
• Objetivos 92
• O que não pode faltar 92
• Algo mais 92
• Resolução dos exercícios 
propostos 93
Bibliografi a 96
4 TÓPICOS DE FÍSICA 3
Ao professor
são mereceu elogios na última reformulação, também 
foi alvo de aprimoramento e continua propondo pro-
blemas mais elaborados e que exigem uma perfeita 
compreensão da teoria, além de boa capacidade de 
interpretação, abstração e raciocínio. Em todos os 
casos tomamos o cuidado de dispor as questões em 
uma seqüência lógica e em ordem crescente de difi -
culdade. Procuramos dimensionar os dados de modo 
a simplifi car os cálculos, o que permitiu a valorização 
dos pormenores conceituais.
Há, no entanto, vários pontos presentes no texto, 
como demonstrações e apêndices, que enriquecem o 
material, mas que apresentam caráter facultativo, po-
dendo ser ignorados, sem prejuízo, em cursos com 
carga horária menor.
Este Manual contém considerações didáticas em 
torno do desenvolvimento de cada Tópico da obra e 
apresenta a resolução de boa parte dos exercícios pro-
postos, que tem por base nossa vivência em sala de 
aula, chamando a atenção para detalhes que julgamos 
importantes. Mas o professor conta, ainda, com outros 
materiais de apoio:
 Recursos na internet: a partir do início do ano le-
tivo de 2008 este livro contará com recursos adi-
cionais, disponíveis no site da Editora Saraiva 
(www.saraivaeduca.com.br). No site o professor 
encontrará as resoluções de todos os exercícios pro-
postos no livro do aluno.
 DVD-ROM: todo o conteúdo dos três CDs do livro 
do aluno mais as versões digitais dos três manuais 
do professor em formato PDF são apresentados para 
o professor em formato DVD-ROM.
O gabarito dos exercícios (exceto as respostas às 
perguntas da seção Descubra mais) é apresentado nas 
páginas fi nais de cada volume.
Temos consciência de que o assunto não foi es-
gotado, já que em Física há sempre o inusitado, a 
descoberta e o permanente desafi o.
Por isso serão muito bem-vindas as críticas e su-
gestões que visem ao aprimoramento deste trabalho.
Os autores
Esta é uma obra viva, em permanente processo de 
aprimoramento. Trata-se de um trabalho versátil, que 
pode se adequar a cursos de diferentes enfoques, desde 
aqueles com poucas aulas semanais até os mais abran-
gentes. O material é completo, tratando de todos os tópi-
cos do programa de Física do Ensino Médio brasileiro.
O texto, embora apresentado em uma linguagem 
rigorosa, não chega a ser axiomático nem excessiva-
mente formal. É, sim, objetivo e de fácil compreensão. 
A simbologia adotada é a consagrada pela maioria dos 
professores e dos livros sobre o assunto.
Nesta quarta versão, ampliada e atualizada, le-
vamos em conta as competências almejadas nos Pa-
râmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio 
(PCNEM), do Ministério da Educação e Cultura 
(MEC), e estabelecemos estratégias diversas no sen-
tido de implementá-las. Aspectos como o incentivo 
ao aprendizado das ciências e suas tecnologias, o 
desenvolvimento de uma mentalidade indagadora e 
crítica, a intelecção e produção de textos, tabelas e 
gráfi cos tecnocientífi cos foram trabalhados, valori-
zando-se dois paradigmas notórios no ensino atual: 
contextualização e interdisciplinaridade, sugeridas demaneira enfática na Lei de Diretrizes e Bases (LDB) 
e nos ditames do Exame Nacional do Ensino Médio 
(Enem). Para alcançarmos essas metas, apresentamos 
um grande número de recursos, como ilustrações, 
fotos legendadas, leituras e estímulos à experimenta-
ção. Somaram-se a isso a nova seção Descubra mais 
e uma grande variedade de exercícios, característica 
marcante do nosso trabalho. Essas ferramentas contri-
buirão para criar motivações a mais, que despertarão 
a curiosidade e o interesse nos alunos. Procuramos, 
dentro do possível, explorar situações práticas do dia-
a-dia. Incluímos também abordagens tecnológicas, 
demonstrando que a Física é básica e essencial aos 
padrões da vida moderna. Interfaces com outras disci-
plinas, como Geografi a, História, Química e Biologia, 
além da correlata Matemática, foram estabelecidas, 
procurando-se eliminar barreiras de conhecimento.
Tornamos ainda mais didáticas as tradicionais se-
ções – Exercícios de Nível 1, Nível 2 e Nível 3. A 
seção Para raciocinar um pouco mais, cuja inclu-
5Manual do professor
Objetivos fundamentais da obra
A obra visa transmitir ao estudante, de forma me-
tódica e organizada, os conhecimentos essenciais do 
programa de Física do Ensino Médio, proporcionan-
do-lhe uma iniciação bem fundamentada nessa disci-
plina, tanto nos aspectos conceituais como nas cor-
relações cotidianas, práticas e tecnológicas. Objetiva 
também oferecer a dose ideal de conteúdo compatível 
com a faixa etária do público adolescente, o que favo-
recerá a gradual formação de um espírito questionador 
e pragmático. Busca trabalhar as estruturas mentais 
do educando, exercitando a fl exibilidade de raciocínio 
e o encadeamento sistemático de idéias.
O trabalho evolui de modo a desenvolver habili-
dades para a compreensão de textos formais, decodi-
fi cação de enunciados, tabelas e gráfi cos, bem como 
de representações esquemáticas. Propõe obter maior 
efi ciência na cognição de informações, melhor capa-
cidade de análise e síntese, pleno domínio – em nível 
de Ensino Médio – da simbologia e linguagem pró-
prias da Matemática, imprescindíveis à formulação 
das leis da Física e à descrição quantitativa de seus 
fenômenos. Esses processos constituem na sua totali-
dade as três grandes metas – competências – sugeri-
das nos PCNEM para a área de Ciências da Natureza, 
Matemática e suas tecnologias, assim referidas nesse 
documento: “Representação e comunicação; investi-
gação e compreensão; contextualização”.
Há, ainda, que destacar o ideal de desenvolver 
uma mentalidade social, em que os conhecimentos 
oriundos da Física devam ser colocados à dispo-
sição da comunidade e das pessoas para melhorar 
seus recursos, condições de vida e padrões de con-
forto. Também de maneira subalterna, o texto busca 
formar uma consciência de preservação ambiental 
e de habitabilidade sustentável do planeta. Isso é 
primordial até para o exercício pleno da cidadania 
na vida moderna.
Por tudo isso, esta coleção procura qualifi car-se 
como um abrangente e vantajoso instrumento educa-
cional de iniciação à Física.
Composição da obra
Optamos por uma distribuição em que o con-
teúdo é desenvolvido conforme sua evolução his-
tórica. Iniciamos a coleção abordando no Volume 1 
a Mecânica, em que fi guram os trabalhos de Aris-
tóteles, Arquimedes, Copérnico, Galileu, Kepler 
e Newton, e encerramos o Volume 3 apresentando 
uma iniciação à Física Moderna, na qual se desta-
cam as contribuições de Planck, Bohr, Einstein e De 
Broglie. Respaldados em nossa experiência em sala 
de aula, procuramos levar em consideração um as-
pecto que consideramos fundamental: o fato de que 
o livro destina-se a um público jovem, que almeja 
ao longo dos três anos do Ensino Médio uma ampla 
utilização do raciocínio lógico-formal, maior poder 
de abstração, compreensão e manuseio de dados ma-
temáticos e tecnocientífi cos. Para isso, defi nimos 
criteriosamente a abrangência – horizontalidade – da 
obra. Selecionamos os itens a serem estudados res-
peitando diversos fatores, como a citada evolução 
dos adolescentes, propostas contidas na LDB e nos 
PCNEM, programas exigidos nos principais exames 
vestibulares, entre outros. Dimensionamos também 
o grau de formalismo da linguagem e a profundidade 
da tratativa – verticalidade.
A obra, então, está assim dividida:
 Volume 1: Mecânica;
 Volume 2: Termologia, Ondulatória e Óptica geo-
métrica;
 Volume 3: Eletricidade, Física Moderna e Análise 
dimensional.
Cada volume compõe-se de Partes que equivalem 
aos grandes setores de interesse da Física. As Partes, 
por sua vez, são constituídas de Tópicos, em que um 
determinado conteúdo é estudado teórica e operacio-
nalmente, com detalhamento pleno dentro das preten-
sões do trabalho, tanto naquilo que ele envolve (hori-
zontalidade) como na abordagem (verticalidade). Em 
cada Tópico, a matéria foi subdividida em Blocos, que 
agregam itens relacionados entre si.
Na apresentação de cada assunto, propusemos a 
seqüência que consideramos ideal, a qual foi testada 
e aprimorada em sala de aula ao longo de nossas car-
reiras. Os Tópicos e os Blocos foram estruturados de 
modo a propiciar ao aluno um crescimento natural, 
lógico e bem fundamentado.
Metodologia utilizada
A Física é uma disciplina que envolve concei-
tos que, pela complexidade e abrangência, são de 
difícil assimilação. A conservação do momento 
linear (quantidade de movimento), por exemplo, 
está presente em situações muito díspares, como 
em explosões e colisões, observáveis diretamen-
te ou por meio de instrumentos, e no decaimento 
nuclear, inerente ao universo subatômico. Por isso, 
a apresentação dos conceitos físicos deve merecer 
primordialmente uma boa exposição teórica enri-
6 TÓPICOS DE FÍSICA 3
quecida com exemplos esclarecedores. Se houver 
disponibilidade, alguma experimentação também 
colaborará, já que elementos concretos aceleram 
em muito a compreensão de concepções abstratas. 
Mas o que realmente faz a diferença é a operacio-
nalização, isto é a resolução do maior número pos-
sível de exercícios. É por meio deles que se tor-
na viável complementar a teoria e estabelecer os 
limites de sua utilização. Nesses exercícios há uma 
grande diversidade de cenários, o que permite ao 
aluno contemplar um determinado conceito na sua 
forma mais ampla, sedimentando as estruturas de 
raciocínio que lhe facultarão, por analogia, resolver 
problemas correlatos envolvendo o mesmo princí-
pio ou lei. Por isso, o professor deve explicar bem 
a teoria e fazer as possíveis demonstrações experi-
mentais, dando ênfase especial à resolução de exer-
cícios, pois só assim o aprendizado consolida-se.
Deve-se notar que uma bem conduzida aula de 
resolução de exercícios, em que o professor comenta 
detalhes adicionais vinculados a cada contexto acres-
centando novas informações, é agradável e estimulan-
te, além de estar totalmente de acordo com o ritmo de 
captação e assimilação de informações por parte da 
mente humana. Nessas ocasiões também ocorre o mo-
mento supremo da educação como arte de transformar 
pessoas. Esse é um ambiente profícuo em que se cor-
porifi ca o vínculo humanístico entre aluno e mestre, 
essencial e insubstituível em qualquer época, mesmo 
diante de todas as tecnologias de ensino à disposição. 
Nada ocupará o lugar do professor no seu papel de 
orientar o educando, tutelando-o e amparando-o em 
seu desenvolvimento.
Instrumentos disponíveis na obra
A parte teórica foi redigida de modo a tentar res-
gatar em cada trecho o interesse e a atenção do leitor. 
Para isso, utilizamos uma linguagem correta e ade-
quada à descrição da Física – rigorosa, porém insti-
gante –, procurando sempre inserir elementos atuais 
e curiosidades do cotidiano. Ilustrações e fotos com 
legendas (Boxes e Drops) foram aplicadas sempre 
que possível parafacilitar a compreensão do texto e 
propiciar outras revelações. Em alguns Tópicos, in-
cluímos a seção Faça você mesmo, na qual sugerimos 
a realização de pequenos experimentos que requerem 
materiais de fácil obtenção ou até mesmo utensílios 
caseiros. Foram elaboradas Leituras que serão um 
pólo a mais de interesse e ampliarão os horizontes do 
conhecimento. Acrescentamos nesta quarta versão a 
seção Descubra mais, que traz um questionário com 
perguntas provocativas que visam reforçar o con-
teúdo. Essas perguntas poderão ser objeto de debates 
em sala de aula ou temas de trabalhos de pesquisa em 
que o aluno será direcionado à leitura de outros textos, 
inclusive àqueles disponíveis na internet. Em relação 
à rede mundial de computadores, os sites de busca po-
derão ser de grande valia, bastando nesse caso utilizar 
palavras-chave adequadas.
Em cada Tópico há quatro seções de exercícios 
com diferentes níveis de difi culdade. Logo após a 
apresentação da teoria de um Bloco aparecem os 
Exercícios de Nível 1 e Nível 2. Na primeira seção, 
a matéria é cobrada de forma simples, apenas em 
seus pontos essenciais. Na segunda, a abordagem é 
mais ampla, valorizando os aspectos conceituais e a 
descrição quantitativa dos fenômenos. Intercalados 
aos Exercícios de Nível 1 e Nível 2, há os Exercí-
cios Resolvidos (ER), que servem de ponto de par-
tida para o encaminhamento de questões semelhan-
tes. No fi nal dos Tópicos, estão os Exercícios de 
Nível 3, em sua maioria de vestibulares, nos quais 
inserimos elementos de complementação. Esses 
exercícios, selecionados criteriosamente dos exames 
mais representativos, constituem uma boa fonte de 
tarefas para casa. E, por último, temos a seção Para 
raciocinar um pouco mais, composta por proble-
mas mais difíceis – “reserva especial dos autores” –, 
que podem ser propostos como desafi o, aprofunda-
mento ou trabalhos extraclasse.
Pautamos a elaboração e a seleção de todas as ati-
vidades apresentadas no material pela funcionalidade 
em classe, diversidade temática e qualidade. Não há 
no trabalho exercícios iguais, o que sabidamente torna 
o processo de ensino mecanicista e enfadonho. Cada 
questão propõe um novo ambiente em que um detalhe 
a mais se faz necessário, constituindo-se, portanto, 
em um auxílio adicional para a melhor compreensão 
da matéria.
Procuramos contemplar nas questões de vesti-
bulares todos os estados brasileiros, evitando dessa 
forma regionalismos. Incluí mos nesta quarta ver-
são exercícios de Olimpía das de Física, certames 
que têm se constituído em um foco de interesse dos 
estudantes e um diferencial para as escolas que de-
senvolvem projetos visando bons resultados nessas 
competições intelectuais.
Estratégias de aplicação da obra
Esta obra é versátil e pode se adequar a cursos 
com enfoques e objetivos distintos e diferentes núme-
ros de aulas semanais.
7Manual do professor
 Carga mínima (de uma a duas aulas semanais): 
principais itens da teoria e Exercícios de Nível 1;
 Carga média (de três a quatro aulas semanais): princi-
pais itens da teoria e Exercícios de Nível 1 e Nível 2;
 Carga máxima (cinco ou mais aulas semanais): teo-
ria completa mais apêndices, Exercícios de Nível 1, 
Nível 2, Nível 3 e Para raciocinar um pouco mais.
De acordo com as cargas mencionadas anterior-
mente – cargas mínima, média e máxima – poderão 
ser excluídas do texto, a critério do professor, algumas 
propostas que forem consideradas prescindíveis. Isso 
não comprometerá a adoção da obra, tampouco seu 
bom aproveitamento.
Por outro lado, dependendo da disponibilidade 
do curso, recomendamos também pesquisas na inter-
net, leitura de livros paradidáticos, revistas especia-
lizadas e materiais afi ns, o que complementará e se-
dimentará o aprendizado. Nesses casos, os objetivos 
pretendidos são: valorizar aspectos históricos que 
realcem a evolução do conhecimento sobre Física e 
informar a existência de novas teorias, descobertas e 
outras aplicações dos assuntos tratados, não mencio-
nados no texto.
Uma referência importante que poderá orientar o 
professor na elaboração do seu Planejamento de Cur-
so é que cada Bloco traz um conteúdo previsto para 
duas ou três aulas, considerando a carga média de uti-
lização da obra.
A título de exemplo, sugerimos que, numa utili-
zação em carga média, os Blocos 1 e 5 do Tópico 5 
(Vetores e Cinemática vetorial) do Volume 1 sejam 
lecionados da seguinte maneira:
Bloco 1
Aula 1 – Teoria: itens 1, 2 e 3.
 Exercícios: Nível 1 – 1, 3 e 4.
 Para casa: Nível 1 – 5; Nível 2 – 10, 11 e 13.
Aula 2 – Teoria: item 4.
 Exercícios: Nível 1 – 6 e 8; Nível 2 – 18 e 
23.
 Para casa: Nível 1 – 7 e 9; Nível 2 – 16, 19 e 
22.
Bloco 5
Aula 1 – Teoria: itens 13 e 14.
 Exercícios: Nível 1 – 66 e 70; Nível 2 – 73.
 Para casa: Nível 1 – 67, 69 e 71; Nível 2 – 
72.
Aula 2 – Exercícios: Nível 2 – 75, 79 e 81.
 Faça você mesmo: o professor poderá realizar 
em sala de aula a demonstração sugerida, dis-
cutindo com os alunos os efeitos observados e 
suas conseqüências práticas (estimular a clas-
se a elaborar outros exemplos que conduzam a 
conclusões semelhantes).
 Para casa: Nível 2 – 76, 77, 82 (estudar a re-
solução) e 83.
A avaliação
Esta deve ser a mais abrangente possível, de modo 
a contemplar sempre o maior número de habilidades 
próprias de cada estudante. Entendemos que um edu-
cando deva ter oportunidade de ver valorizadas suas 
melhores potencialidades, já que o ser humano é do-
tado de múltiplas inteligências (talentos) mais ou me-
nos desenvolvidas.
Devemos levar em consideração fatores subjetivos 
como seu engajamento no curso (participação e empe-
nho), postura em sala de aula e interesse pela matéria. 
Recomendamos valorizar, no entanto, com ênfase, a 
capacidade de responder questões, testes conceituais e 
exercícios que exijam aplicações das leis físicas pau-
tadas pela devida operacionalização matemática. É 
ainda essencial que haja aplicação e pontualidade em 
relação às atividades propostas para casa, que devem 
preencher parte do tempo dos alunos em suas ativida-
des extraclasse.
Há vários instrumentos objetivos que podem ser 
cogitados na avaliação, como:
 Provas propriamente ditas;
 Trabalhos de pesquisa em livros e na internet;
 Questionários com perguntas instigantes;
 Coletânea de testes de múltipla escolha;
 Coletânea de questões analítico-expositivas;
 Vestibulares simulados;
 Construção e manuseio de aparatos experimentais;
 Leitura e discussão de artigos sobre Física;
 Elaboração de artigos sobre Física;
 Seminários;
 Debates sobre temas científi cos;
 Encenações de textos teatrais sobre Física.
Desse universo, que permite obter uma média am-
pla e justa do desempenho do aluno, será extraída a 
nota ou o conceito necessário à aprovação.
8 TÓPICOS DE FÍSICA 3
Tópico 1
Parte I - ELETROSTÁTICA
Cargas Elétricas
 Objetivo do Tópico
Este Tópico, por ser o primeiro da Eletricidade, 
deve ser iniciado com uma explanação histórica do 
processo de como se desenvolveu o conhecimento 
da eletricidade, bem como da sua importância na 
nossa civilização atual. Tudo isso para despertar o 
interesse dos alunos pela matéria. Pergunte-lhes (e 
deixe que respondam): Como seria nossa vida sem 
a eletricidade?
O conceito de carga elétrica deve ser detalhado, 
podendo ser abordada a teoria dos quarks. Reforçar 
a idéia de quantização das cargas elétricas, mostran-
do que elas aparecem sempre em valores múltiplos da 
carga elementar.
Diferenciar bem o conceito de material condutor 
e de material isolante. Explicar o que faz um material 
ser condutor ou isolante.
Os Princípios da Eletrostática devem ser bem as-
similados pelos alunos. O entendimento desses prin-
cípios é a base para o aprendizado da Eletricidade.
Na apresentaçãodos processos de eletrização, 
destacar a alteração do número de elétrons de um 
corpo neutro que lhe confere a condição de corpo 
eletrizado. A eletrização por atrito e por conta-
to deve ser detalhada. A eletrização por indução 
deve ser explicada de uma maneira sucinta, já que 
os detalhes serão mais bem entendidos no fi nal do 
Tópico 3.
A utilização da Lei de Coulomb deve ser trabalha-
da por meio da resolução de exercícios que podem ser 
encontrados em nível 1 e nível 2.
 O que não pode faltar
1. Síntese histórica da Eletricidade
2. Noção de carga elétrica
3. Corpo eletricamente neutro e corpo eletrizado
4. Quantização da carga elétrica
5. Princípios da Eletrostática
6. Condutores e isolantes elétricos
7. Processos de eletrização
Exercícios 
8. Lei de Coulomb
Exercícios
 Algo mais
Neste Tópico é importante apresentar um início 
histórico da eletricidade. A evolução do pensamen-
to científi co deve ser utilizada sempre; o aluno deve 
compreender que a Ciência evolui utilizando o conhe-
cimento anterior.
A teoria dos quarks deve ser tratada como for-
ma de explicar o que ocorre no núcleo dos átomos e 
como os prótons e os nêutrons se mantêm estáveis. 
É importante deixar bem claro que os quarks fazem 
parte de uma teoria, já que nem toda a comunidade 
científi ca tem certeza da sua existência. A utiliza-
ção das teorias vigentes, como a dos quarks, pode 
facilitar o entendimento das interações elétricas en-
tre partículas.
9Manual do professor
Como obter a máxima interação entre 
duas partículas eletrizadas
Imagine dois pequenos condutores A e B, inicial-
mente neutros, e uma carga elétrica positiva Q. Como 
devemos distribuir essa carga elétrica de modo a ter-
mos a máxima repulsão entre os condutores A e B?
Para o condutor A devemos transferir uma carga 
QA, fi cando o condutor B com o o restante da carga 
(QB = Q – QA).
Utilizando a equação da Lei de Coulomb, temos:
F = K 
|QA · QB|
d2
Como K e d são constantes, podemos fazer K
d2
 = a. 
Assim: 
F = a QA QB
F = a QA (Q – QA)
F = a Q QA – a Q
2
A
Representando essa função em diagrama F � QA, 
vem:
to pequena, como o hertz, podemos usar prefi xos 
que representam múltiplos ou submúltiplos dessa 
unidade. Assim, vamos encontrar a seguir duas ta-
belas com esses prefi xos.
Múltiplos Submúltiplos
Fator Prefixo Símbolo Fator Prefixo Símbolo
101 deca da 10–1 deci d
102 hecto h 10–2 centi c
103 quilo k 10–3 mili m
106 mega M 10–6 micro µ
109 giga G 10–9 nano n
1012 tera T 10–12 pipo p
1015 peta P 10–15 femto f
1018 exa E 10–18 atto a
1021 zeta Z 10–21 zepto z
1024 iota Y 10–24 iocto y
 Subsídios ao Descubra mais
1. Pesquise e tente explicar como os quarks se mantêm 
unidos para formar os prótons e os nêutrons.
Os americanos Murray Gell-Mann e George 
Zweig propuseram, em 1961, uma teoria que provoca-
ria uma mudança no conceito de átomo: apresentaram 
uma nova “família” de partículas subnucleares, os 
quarks. No início, essa família era constituída de três 
membros: o u (up), o d (down) e o s (strange).
Apenas no fi nal dessa década os físicos James 
Bjorken e Richard Feynman, utilizando o acelerador 
de partículas da Universidade de Stanford (EUA), 
conseguiram os primeiros resultados práticos que 
evidenciavam a existência de partículas subnuclea-
res. Eles chamaram essas partículas de partons. So-
mente na década de 1990 descobriu-se que alguns 
desses partons eram quarks e, entre os outros, se 
encontravam os glúons, partículas mediadoras da in-
teração forte.
O nome glúons vem de glue (cola em inglês). 
Assim, podemos dizer que os quarks são mantidos 
agregados (“colados”) pela transferência mútua de 
glúons. Descobriu-se que a força forte existente entre 
os quarks aumenta com o aumento da distância. As-
sim, podemos imaginar que os glúons agem como um 
“elástico” unindo os quarks. Quando o “elástico” é 
esticado, as forças exercidas por ele aumentam.
2. Se prótons possuem cargas elétricas de sinais iguais e, 
portanto, se repelem, como essas partículas se mantêm 
estáveis no núcleo de um átomo?
F
0 Q QA
Fmáx
Q
2
Observando o gráfico, devido à simetria apresen-
tada pela parábola, podemos concluir que a máxima 
força de repulsão entre os condutores A e B ocor-
re quando eles estão eletrizados com cargas iguais 
(QA = QB = 
Q
2 ).
Algumas curiosidades
1. Antes de convencionarem o uso do SI como siste-
ma de unidades a ser utilizado, a quantidade de car-
ga elétrica podia também ser expressa por franklin 
ou estat-coulomb. São dois nomes diferentes para a 
mesma quantidade de carga. Um franklin ou um es-
tat-coulomb é a carga elétrica pontual que, colocada 
no vácuo, a um centímetro de distância de outra carga 
igual, repele esta última com uma força de intensida-
de um dyn (dyne ou dina). Essas unidades eram usa-
das no antigo sistema CGS Es (CGS Eletrostático).
 Valem as relações:
 1 C (coulomb) = 3 · 109 f (franklin) ou estat-C 
 (estat-coulomb)
 1 dyn (dyne ou dina) = 10–5 N (newton)
2. Quando uma unidade de qualquer coisa é muito 
grande, como, por exemplo, o coulomb, ou mui-
10 TÓPICOS DE FÍSICA 3
Sabemos que os prótons são partículas eletriza-
das que possuem cargas de mesmo valor e sinal. No 
núcleo de um átomo encontramos vários prótons que, 
portanto, se repelem. Essas forças de repulsão são 
muito fortes. Assim, o que impede a desintegração 
dos núcleos?
A atração gravitacional existente entre prótons 
é muito pequena comparativamente à repulsão ele-
trostática presente. Assim, deve existir uma terceira 
força para manter estável o núcleo do átomo. Essa 
força de interação é a força nuclear forte, uma das 
quatro forças fundamentais que, junto com a força 
gravitacional, a força nuclear fraca e a força ele-
tromagnética explicam as interações existentes no 
universo.
A força nuclear forte é praticamente a mesma 
entre dois prótons e dois nêutrons. Portanto, não de-
pende da carga elétrica. Assim, os núcleos se man-
têm estáveis pela existência de nêutrons que apenas 
atraem os prótons, ajudando a equilibrar as forças de 
repulsão. Essa força nuclear forte tem alcance muito 
pequeno, ocorrendo de maneira intensa para distân-
cias da ordem de 10–15 m e praticamente se anulando 
para distâncias pouco maiores.
No núcleo de um átomo encontramos prótons 
repelindo todos os outros prótons e sendo atraídos 
apenas por prótons e nêutrons muito próximos. Des-
se modo, quando o número Z de prótons aumenta, o 
número N de nêutrons deve aumentar ainda mais para 
que a estabilidade seja mantida.
3. Pesquise sobre força nuclear forte. Qual a diferença en-
tre essa força e a força nuclear fraca?
A interação nuclear forte é de atração e ocorre en-
tre prótons e nêutrons existentes num núcleo atômico. 
Ela é a mais intensa das interações, porém de alcance 
muito pequeno, de ordem 10–15 m. A interação nuclear 
fraca está associada à radioatividade, surgindo no de-
caimento β (beta), quando um nêutron se transforma 
em próton ao emitir um elétron e um antineutrino (de-
sintegração β negativa) ou um próton se transforma 
em nêutron (desintegração β positiva), em que o pró-
ton emite um pósitron e um neutrino. Assim, ocorre 
uma alteração no número de prótons no núcleo, trans-
formando o átomo em um outro elemento químico. 
Esse fenômeno é chamado de transmutação.
4. Faça uma pesquisa sobre força eletromagnética. Pode-
mos encontrá-la em um átomo ou em uma molécula?
Sim. A força eletromagnética é aquela que liga 
os átomos e as moléculas para formar a matéria. É 
uma força de longo alcance que diminui com o inverso 
do quadrado da distância entre as partículas estudadas 
na interação. Essa força está presente também sempre 
que duas superfícies estão em contato. A forças nor-
mal, de atrito, elástica e de tração são exemplosde 
forças eletromagnéticas.
5. É comum uma pessoa, ao fechar a porta de um automó-
vel, após tê-lo dirigido, receber um choque no contato 
com o puxador. Como você explica esse fato?
O atrito da roupa com o material do banco pode 
provocar um acúmulo de cargas elétricas no motorista, 
principalmente se ele estiver usando um sapato de sola 
de borracha, como um tênis. No contato da mão com a 
maçaneta, essas cargas fluirão para o automóvel, pro-
vocando uma descarga elétrica. Isso costuma acontecer 
em época de baixa umidade do ar, quando se usa roupa 
contendo fios sintéticos, que são péssimos condutores 
de cargas elétricas.
6. Você talvez já tenha visto na TV ou no cinema uma cena 
em que uma pessoa se encontra em uma banheira ou 
piscina e cai na água, por exemplo, um ventilador liga-
do. Se a água é um isolante elétrico, por que a pessoa 
recebe um choque?
A água pura é péssima condutora de cargas elé-
tricas. No entanto, a água tratada que recebemos em 
nossas casas é uma solução iônica, já que vários pro-
dutos químicos são diluídos na sua purifi cação. Com 
isso, as cargas elétricas podem se movimentar livre-
mente, provocando choque na pessoa que estiver mer-
gulhada nessa água.
 Resolução dos exercícios propostos
18
1) A e B
Q = 
QA + QB
2
 = 
(+ 2,40 n C) + O
2
Q’A = Q’B = + 1,20 n C
2) B e C
Q”B = Q’C = 
(+ 1,20 n C) + (–4,80 n C)
2
Q”B = Q’C = –1,80 n C
No contato com B, C perdeu uma carga elétrica igual a:
ΔQC = (–4,80 n C) – (–1,80 n C)
ΔQC = –3,00 n C
Assim:
ΔQC = n e
–3,00 · 10–9 = n (–1,60) 10–19
n = 1,875 · 1010 elétrons
Alternativa b.
11Manual do professor
30 A função centrípeta é desempenhada pela força eletrostática.
+ – +
x
d
q1 q3 q2 = 4q1
F1,3 F2,3
+
q1
F2,1 F3,1
+
+ +
– –
F2 F1
F4
P
F3
P senθ
–
––
– – –
+
+
+
A
q
E
B D
Z X
C
Y
+
–
p
Fe
e
R
notamos que:
1) Em Q a resultante de A e E é nula.
2) B, C e D provocam em Q uma força resultante F1.
3) Por simetria, Z, Y e X também provocam em Q uma resultante F1.
Assim, em q, temos:
FR = 2F1
Alternativa e.
35 No equilíbrio, temos:
Fe = P(anel)
K = 
|Q Q|
d2
 = mg
9 · 109 
Q2 
(1 · 10–2)2
 = 0,9 · 10–3 · 10
Q2 = 10–16
Q = 1 · 10–8 C
Essa carga foi adquirida pelo anel superior (inicialmente neutro) no 
contato com o anel eletrizado. Assim, no início, a carga existente no 
anel eletrizado vale:
q = 2 · 10–8 C
Alternativa b.
Assim:
Fcp = Fe
m v2
R
 = 
K |Q q|
R2
v2 = 
K |Q q|
m R
v2 = 
9 · 109 (1,6 · 10–19)2
9,1 · 10–31 · 10–10
v2 � 2,53 · 1012
v � 1,6 · 106 m/s
Alternativa c.
32 Observando a fi gura a seguir:
40
a) 
F1,3 = F2,3
K 
|q1 q3|
x2
 = K 
|q2 q3|
(d – x)2
 ⇒ 
|q1|
x2
 = 
|q2|
(d – x)2
|q1|
x2
 = 
|4q1|
(d – x)2
 ⇒ 4x2 = (d – x)2
2x = d – x ⇒ 3x = d ⇒ x = d
3
Nota:
 Existe uma outra solução matemática, em que x = –d, que não serve fi si-
camente. Nesse caso, apesar de |F1, 3| = |F2, 3|, essas forças terão sentidos 
iguais, fazendo com que a carga q3 não esteja em equilíbrio.
b) 
F2,1 = F3,1
K 
|q2 q1|
d2
 = K 
|q3 q1|
x2
|q2|
d2
 = 
|q3|
x2
 
|q3| d
2 = |q2| x
2
Mas:
x = d
3
Então:
|q3| d
2 = |q2| 
d
3
2
 ⇒ |q3| d
2 = |q2| 
d2
9
|q3| = 
|q2|
9
 ⇒ |q3| = 
4|q1|
9
 
q3 = 
4q1
9
 
Nota:
 Este cálculo pode ser feito utilizando-se a carga q2. O valor obtido será o 
mesmo.
41 Na esfera abandonada 
no ponto A do plano inclina-
do, a força resultante deve ter 
a direção AP e sentido de A 
para P.
Isso ocorre apenas na situação 
encontrada na alternativa e.
Além da componente tangencial da força peso 
(P sen θ), ainda temos a resultante das forças elé-
tricas. F1 e F2 são forças de repulsão exercidas pelas 
cargas positivas.
F3 e F4 são forças de atração exercidas pelas cargas 
negativas.
P sen θ
A 
θ 
12 TÓPICOS DE FÍSICA 3
BB
AA
Fe
PA
PB
que resulta
A resultante é observada em:
Alternativa e
43
a) Lei de Coulomb:
F = K0 
|Q1 Q2|
d2
Sendo: K0 = 
1
4πε0
 = 9 · 109 (SI)
F = 9 · 109 · 1 · 10
–9 · 5 · 10–10
(0,3)2
 (N)
F = 5 · 10–8 N
Cargas elétricas de sinais opostos: força atrativa.
b) Após o contato:
Q = 
Q1 + Q2
2
Q = 
(+1 · 10–9) + (–5 · 10–10)
2
 (C)
Q = 
[(+10) + (–5)]
2
 · 10–10 (C)
Q = +2,5 · 10–10 C
Lei de Coulomb:
F = K0 
|Q Q|
d2
F = 9 · 109 
(2,5 · 10–10)2
(0,3)2
F = 6,25 · 109 N
Agora as cargas elétricas têm sinais iguais: força repulsiva.
45 Na situação inicial, temos:
Fe + PA = PB
K 
|QA QC|
d2
 + m g = M g
k 
Q2
d2
 = (M – m)g
d2 = 
K Q2
(M – m) g
Na situação fi nal, temos:
(d’)2 = 
K Q2
(4M – 4m) g
 = 
K Q2
4(M – m) g
+
+ +
– –
F12
P sen θ F34
+
P
A
FR
Assim:
(d’)2 = d
2
4
d’ = d
2
Alternativa b.
48
Na condição de equilíbrio da carga q, temos:
F1 + F2 = P
Usando a Lei dos Cossenos, temos:
|F1 + F2|
2 = P2 = F21 + F
2
2 + 2F1 F2 cos 120°
Mas:
F1 = F2 = K 
|Q1 q|
d2
F1 = F2 = 9,0 · 10
9 
1,0 · 10–7 · q
(3,0 · 10–2)2
F1 = F2 = 
9,0 · 102 q
9,0 · 10–4
 ⇒ F1 = F2 = 1,0 · 10
6 q
Então:
P2 = F2 + F2 – F2
P2 = F2
P = F
m g = F
10 · 10–3 · 10 = 1,0 · 106 q
q = 1,0 · 10–7 C
Alternativa e.
50
F2 F1
120°
30°
3,0 cm 3,0 cm
30°
Q2
q
Q1
P
Q
d
dq
(A) (D)
(B) (C)
q
q q
FBA
FCA
FDA
F
q
Em A, supondo que as cargas q sejam positivas e Q seja negativa, temos:
Condição de equilíbrio:
FBA + FCA + FDA + F = O
Somando FBA + FDA :
Por Pitágoras:
F2R = F
2
BA + F
2
DA
Como: FBA = FDA = K 
|q q|
d2
temos:
F2R = 2F
2
BA ⇒ FR = 2 FBA
FR = 2 K 
|q q|
d2
Assim:
FR + FCA = F
2 K 
|q q|
d2
 + K 
|q q|
(d 2)2
 = K 
|Q q|
d 2
2
2
13Manual do professor
A carga q é levada para a nova posição de equilíbrio:
Assim, em (I), vem:
tg θC = 
dBC
dAC
 = 
dBC
2,5 dBC
tg θC = 0,40
53 Situação de equilíbrio inicial:
A carga q’ é fi xada a uma distância d da posição de equilíbrio inicial, 
desfazendo esse equilíbrio.
Portanto:
Fm = Fe
K x = K0 
|q q’|
(d – 0,40)2
Como, no MHS, temos:
T = 2π mK
0,40π = 2π 10 · 10
–3
K
K = 0,25 N/m
Assim:
0,25 · 0,40 = 9 · 109 · 2 · 10
–6 · 0,2 · 10–6
(d – 0,40)2
d � 0,59 m � 59 cm
54
a) Na situação de equilíbrio, temos:
q
0
q
F
q'
d
0
Fm
q'q
d
0
Fe
40 cm
x 
P 
0 
+ + 
+q +2q 
0,3 m 0,3 m 
Q Q 
F1 F2 
� 
2 
� 
2 
Condição de equilíbrio:
∑F = O
P = F1 + F2
Usando a Lei de Coulomb, temos:
F = K 
|Q d|
d2
2 |q|
d2
 + 
|q|
d2 2
 = 
|Q|
d2 2
4
2 |q| + 
|q|
2
 = 2 |Q|
(2 2 + 1)|q|
2 = 2 |Q|
|Q| = 
(2 2 + 1)
4
 |q|
Nota:
 Se as cargas q fossem negativas e Q fosse positiva, o resultado seria o 
mesmo.
51
tg θC = 
FBC
FAC
Como: F = K 
|Q q|
d2temos:
tg θC = 
K 
|QB q|
d2BC
K 
|QA q|
d2AC
 = 
|QB| d
2
AC
|QA|d
2
BC
 (II)
Igualando (I) e (II), temos:
dBC
dAC
 = 
|QB| d
2
AC
|QA|d
2
BC
 ⇒ 125 · 10–6 d3BC = 8 · 10
–6 d3AC
125 d3BC = 8 d
3
BC ⇒ 5 dBC = 2 dAC
dAC = 2,5 dBC
tg θC = 
dBC
dAC
 (I)
Para que a esfera vazada C permaneça em equilíbrio, é preciso que a 
força resultante das repulsões de A e B seja equilibrada pela força nor-
mal exercida pelo aro.
Observemos que o sistema encontra-se em um plano horizontal; por-
tanto, a força peso não interfere no equilíbrio da esfera C.
Or r
dAC
dBC
A B
θC
C
Or r
dAC
dBC
A B
θC
θC
θCC
FBC
FAC
RC
N
14 TÓPICOS DE FÍSICA 3
F1 = 9 · 10
9 4 · 10
–6 · 1 · 10–6
(0,3)2
 ⇒ F1 = 0,4 N
F2 = 9 · 10
9 4 · 10
–6 · 2 · 10–6
(0,3)2
 ⇒ F2 = 0,8 N
Portanto:
P = 0,4 + 0,8 (N)
P = 1,2 N
b) A outra condição para ocorrer equilíbrio é:
∑M0 = 0
F1 
�
2
 + P x = F2 
�
2
0,4 2
2
 + 1,2 x = 0,8 2
2
1,2x = 0,4
x = 1
3
 m
Nota:
 Para ocorrer equilíbrio, o peso P deve estar suspenso a 1
3
 m, do lado 
direito da barra.
55 Situação descrita:
45° 45°
45° 45°
d
P
F
T T
F
P
d = 4 cm
Q
L = 5 cm
x = 3 cm
θ
θ
q
T
Fe
P
Para o equilíbrio das esferas devemos ter:
T sen 45° = P
T cos 45° = F
Como sen 45º = cos 45º, vem:
F = P
K 
|Q q|
d2
 = mg
9 · 109 1,0 · 10
–6 · 1,0 · 10–6
d2
 = 10 · 10–3 · 10
9 · 10–3 = 10–1 d2
d2 = 9 · 10–2
d = 3,0 · 10–1 m
d = 30 cm
Alternativa e.
56 Assim:
T cos θ = P
T sen θ = Fe
T 4
5
 = mg
T 3
5
 = Fe
T = 
5 mg
4
T = 
5 Fe
3
T Ty
Tx
P
α
α
B
y
x
Fe
Assim:
5 Fe
3
 = 
5 mg
4
K 
|Q q|
d2
 = 3
4
 mg
9 · 109 
10 · 10–9 q
(3 · 10–2)2
 = 3
4
 · 0,4 · 10–3 · 10
90
9 · 10–4
 q = 3 · 10–3
q = 3 · 10–8 C
q = 30 · 10–9 C
q = 30 nC
Alternativa a.
57
a) Como está ocorrendo atração entre as esferas, elas estão eletrizadas 
com cargas de sinais opostos (uma positiva e a outra negativa).
b) Na esfera B, decompondo T, temos:
Tx = T sen α
Ty = T cos α
Portanto, sendo:
Tx = Fe
Ty = P
dividindo membro a membro, temos:
T sen α
T cos α
 = 
Fe
m g
tg α = 
Fe
m g
4
3
 = 
Fe
0,1 · 10
 ⇒ Fe = 4
3
 N
Usando a Lei de Coulomb, vem:
Fe = K 
|Q q|
d2
4
3
 = 9 · 109 
Q2
(0,1)2
Q2 = 
0,04
27 · 109
 = 40 · 10
–12
27
Q = 40
27
 10–6 C
Q = 40
27
 µC
58 Na situação inicial, decompondo-se T, temos:
Ty = T cos θ
Tx
Tx = T sen θ
x
y
θ
θ
Fe
P
T
Ty
15Manual do professor
Então:
2 1
4π ε0
 · Q q
d
2 cos α
2
 sen α = m g
m = 8
4π ε0
 · 
Q q
d2
 · cos
2 α sen α
g
Alternativa d.
60 No átomo de Bohr, o raio da órbita é dado por:
R = n2 R0
em que R0 = 5,3 · 10
–11 m (raio da órbita fundamental).
Para o estado fundamental n = 1; para o primeiro nível excitado n = 2.
Assim:
R = 22 R0
R = 4 R0
Como a força eletrostática faz o papel de força centrípeta, temos:
Fe = Fcp
K e e
R2
 = m r
2
R
v2 = K e
2
m R
Sendo v inversamente proporcional a R, se R = 4R0, temos:
v = 
v0
2
 = 1,1 · 106 m/s
Portanto:
v = 2π R
T
1,1 · 106 = 
2 · 3,14 · 4 · 5,3 · 10–11
T
T � 1,2 · 10–15 s
Como o elétron tem vida de 10–8 s, vem:
n = Δt
T
 = 10
–8
1,2 · 10–15
n � 8 · 106 revoluções
Alternativa d.
61
a) No equilíbrio, temos:
Pt = Fe
m g sen 30° = K 
|Q q|
d2
20 · 10–3 · 10 1
2
 = 9 · 109 
20 · 10–6 q
(0,30)2
0,10 = 2 · 106 q
q = 5,0 · 10–8 C
b) Com atrito, temos:
Fe = Pt + Fatest
K 
|Q q|
d2
 = m g sen 30° + µ m g cos 30°
9 · 109 
20 · 10–6 · 5,0 · 10–8
d2
 =
= 0,020 · 10 (0,50 + 0,25 · 0,86)
9 · 10–3
d2
 = 0,143 ⇒ d2 = 
0,009
0,143
d2 � 0,063 ⇒ d � 0,25 m � 25 cm
30°
B
A
Fe
Pt
Na situação de equilíbrio:
Tx = Fe
Ty = P
T sen θ
T cos θ = 
Fe
m g
 ⇒ Fe = m g tg θ
Usando a Lei de Coulomb, temos:
K 
|Q q|
d2
 = m g tg θ
9 · 109 2 · 10
–6 · 2 · 10–6
(0,20)2
 = 0,090 · 10 tg θ
tg θ = 1 ⇒ θ = 45º
Na situação fi nal, temos:
No equilíbrio, vem:
Tx = F’e – Fm
Ty = P
T sen θ
T cos θ = 
F’e – Fm
m g
m g tg θ = F’e – Fm
0,090 · 10 · 1 = 
9 · 109 4 · 10
–6 · 4 · 10–6
(0,20)2
 – k 1,0 · 10–2
0,9 = 3,6 – 0,01 k
0,01 k = 2,7 ⇒ k = 2,7 · 102 N/m
59 Observe que a condição de equilíbrio exige simetria na confi gu-
ração, sendo as cargas elétricas da base iguais, e a interação entre elas 
e a carga q tem de ser de repulsão.
Decompondo as forças F segundo a horizontal e a vertical, notamos 
que:
Ty 
Ty = T cos θ
Tx 
Tx = T sen θ
x 
y 
θ 
θ 
F‘e Fm 
P 
T 
q
a
d
Q Q
a
α α
F F
P
Fy Fy
FxFx
αα
P
x
y
F F
2Fy = P
2F sen α = m g
Da Lei de Coulomb, temos:
2K 
|Q q|
a2
 sen α = m g
Mas: K = 1
4πε0
 e a = d
2 cos α
16 TÓPICOS DE FÍSICA 3
62
a) Com o passar do tempo haverá perda de carga elétrica para o ar 
que envolve as esferas. Isso provocará a aproximação, já que a força 
de repulsão entre elas irá diminuir.
 Como as esferas têm mesmo peso e as forças de repulsão são iguais 
em módulo (Princípio da Ação-Reação), o ângulo α deverá ser igual 
para ambas.
b) 
T sen α = Fe
T cos α = P
tg α = 
Fe
P
 = 
Fe
mg
Fe = m g tg α
Lei de Coulomb:
Fe = K 
|Q Q|
d2
Assim:
K 
|Q Q|
d2
 = mg tg α
9 ·109 Q
2
d2
 = 0,0048 · 10 · 0,75
Q2 = 4 · 10–12 d2
Q = 2 · 10–6 d
Mas:
Tcos α
α
α
Fe
Tsen α
T
P
α
�
d
2
d
2
 = � sen α
d = 2 · 0,090 · 0,60 (m)
d = 0,108 m
Portanto:
Q = 2 · 10–6 · 0,108 (C)
Q = ±2,16 · 10–7 C
63
a) Cada uma das quatro cargas elétricas está sujeita a três forças exer-
cidas pelas outras cargas.
+q
FCA
–q
–q
+q
A
D C
B
FDB
FDA
FCD FDC
FAD
FBD FAC
FBC
FCB
FBA FAB
Devido à simetria, podemos observar que as forças resultantes em 
cada carga têm intensidades iguais. Por exemplo, considerando a 
carga nominada por A, temos:
Observe que:
|FAB| = |FDA| = K 
|q q|
a2
|FCA| = K 
|q q|
(a 2)2
 = K 
|q q|
a2 2
Somando os vetores FBA e FDA, temos:
S2 = F2BA + F
2
DA = 2 F
2
BA
S = 2 FBA ⇒ S = 2 K 
 |q q|
a2
A força resultante de A é dada por:
F = S – FCA = 2 K 
|q q|
a2
 – 1
2
 K 
|q q|
a2
F = 2 – 12
 K 
|q q|
a2
Como: K = 1
4π ε0
Então: F = 2 2 – 1
2
 1
4π ε0
 · 
q2
a2
Essa resultante tem direção radial, passando pelo centro da cir-
cunferência.
b) A força resultante calculada no item a funciona, para cada carga, 
como força centrípeta.
F = Fcp = 
m v2
R
Como o raio R da circunferência corresponde à metade da diagonal 
do quadrado, temos:
R = a 2
2
Assim:
F = m v
2
a 2
2
 = 2m v
2
a 2
v2 = a 2
2m
 F
v2 = a 2
2m
 · (2
2 – 1)
2
 · 1
4π ε0
 · 
q2
a2
v2 = 4 – 2
4m
 · 1
4π ε0
 · 
q2
a
v = 
q
4
 4 – 2
m a π ε0
64
a) Lei de Coulomb:
Fe = K 
|Q q|
d2
FCA
A
FDA
FBA
17Manual do professor
semelhanças e as diferenças. Explicar aos alunos que 
foi Isaac Newton o primeiro a usar a interação a dis-
tância entre dois corpos. Michael Faraday foi o autor 
do conceito de campo que inicialmene foi usado na 
interação entre partículas eletrizadas. Só mais tarde 
essa idéia de campo foi levada à situação gravitacio-
nal e à magnética.
Insistir no caráter vetorial do campo elétrico e 
procurar fazer o aluno visualizar as linhas de força 
em diferentes campos elétricos, principalmente no 
campo elétrico uniforme. 
Deve-se explorar bem o item que trata do poder 
das pontas, explicando o funcionamento dos pára-
raios e desmistifi cando certas crendices populares. Se 
possível, pedir duas pesquisas para os alunos: em uma 
delas, procurar diferentes tipos de pára-raio (fazendo 
fotos) e promover um debate sobre as vantagens e as 
desvantagens de cada um deles; em outra, pedir aos 
alunos para pesquisarem as principais crendices sobre 
raios (como, por exemplo: espelhos atraem raios; não 
usar telefone durante tempestades; não deixar rádios 
e TV ligadas enquanto ocorrem descargas elétricas na 
atmosfera; etc.), apresentar aos colegase debater (após 
pesquisa) cada uma delas.
Dar especial atenção ao campo elétrico uniforme. 
Esse assunto aparecerá em Tópicos futuros e é alvo de 
cobrança em provas a serem realizadas pelos alunos 
em vestibulares ou concursos. 
 O que não pode faltar
1. Conceito e descrição de campo elétrico
2. Defi nição do vetor campo elétrico
3. Campo elétrico de uma partícula eletrizada
4. Campo elétrico devido a duas ou mais partículas 
eletrizadas
5. Linhas de força
Exercícios
6. Densidade superfi cial de cargas
7. O poder das pontas
8. Campo elétrico criado por um condutor eletrizado
9. Campo elétrico criado por um condutor esférico 
eletrizado
10. Campo elétrico uniforme
Exercícios
 Algo mais
Para as turmas de nível mais avançado pode-
se completar o assunto utilizando-se o Teorema de 
Gauss para as demonstrações das fórmulas utiliza-
Fe = 9,0 · 10
9 
1,6 · 10–19 · 1,6 · 10–19
(1,0 · 10–10)2
Fe = 2,3 · 10
–8 N
b) A força eletrostática Fe funciona como força centrípeta:
Fe = Fcp
2,3 · 10–8 = m v
2
R
2,3 · 10–8 = 
9,0 · 10–31 · v2
1,0 · 10–10
v2 � 2,6 · 1012
v � 1,6 · 106 m/s
c) Fr = Fe + Fg
Fr = 2,3 · 10
–8 + G M m
d2
Fr = 2,3 · 10
–8 + 6,7 · 10–11 · 9,0 · 10
–31 · 1,7 · 10–27
(1,0 · 10–10)2
Fr = 2,3 · 10
–8 + 1,0 · 10–49
Observe que a interação gravitacional entre o próton e o elétron 
é desprezível quando comparada com a interação eletrotástica. 
Assim:
Fr = Fe = 2,3 · 10
–8 N
d) Do item c, concluímos que:
Fcp = Fe
m v2
R
 = K 
|Q q|
d2
v � 1,6 · 106 m/s
(Ver item b.)
Campo elétrico
 Objetivos do Tópico
A grande difi culdade dos alunos do nível médio é 
conseguir abstrair, encontrando difi culdade para “en-
xergar” algo abstrato como o campo elétrico. É im-
portante que o educando consiga entender que o con-
ceito de campo elétrico envolve a idéia de infl uência 
proporcionada por uma carga elétrica em uma região 
do espaço. Trabalhar esse conceito é trabalhar uma 
das bases da Eletricidade.
Neste Tópico, é importante que o aluno entenda 
o conceito de campo elétrico como um modelo teó-
rico usado para explicar a interação a distância entre 
partículas eletrizadas. Na medida do possível fazer 
analogia com o campo gravitacional, mostrando as 
Tópico 2
18 TÓPICOS DE FÍSICA 3
das. Para turmas especiais, pode-se conceituar cam-
po elétrico e em seguida apresentar o Teorema de 
Gauss, demonstrando por meio dele as fórmulas que 
vão aparecendo no decorrer desse assunto. É uma 
maneira de fazer os alunos das turmas especiais en-
tender como as fórmulas surgem, já que, para as tur-
mas normais, essas fórmulas são apresentadas sem 
explicações mais detalhadas.
Uma breve biografi a de Michael Faraday
(O idealizador do campo elétrico)
Apesar de não ter es-
tudado em boas escolas, 
sendo um autodidata, Fara-
day colocou a Eletricidade 
como uma importante par-
te da Física, posicionando-
se entre os grandes, como 
Galileu, Newton, Einstein. 
Maxwell e outros. Foi ele 
quem conceituou o campo 
eletromagnético e ideali-
zou as linhas de força que, 
só mais tarde, Maxwell quantifi cou por meio de suas 
equações. Faraday, sem grandes conhecimentos de 
matemática, foi responsável pelas descobertas expe-
rimentais, e Maxwell, de grande formação teórica, 
estabeleceu as sua equações, que são a base do Ele-
tromagnetismo. A seguir apresentamos uma breve 
biografi a desse grande nome da Eletricidade, que 
deve ser passada para os alunos como exemplo de 
alguém que foi atrás de seus sonhos.
Michael Faraday nasceu na Inglaterra, em 22 de 
setembro de 1791, nos arredores de Londres, Newing-
ton Butts (Surrey), que hoje se chama Elephant and 
Castle. Filho de James Faraday, um ferreiro, teve 
uma infância pobre junto com seus três irmãos. Sua 
mãe, Margareth Hastwell, era muito amorosa, po-
rém severa, forjando em Michael um caráter hones-
to, tornando-o persistente na busca de seus objetivos. 
Devido à doença de seu pai, Michael foi obrigado a 
trabalhar aos 13 anos (1804). Começou como entre-
gador de jornais e, mais tarde, foi assistente de enca-
dernação de livros. Seu patrão, um imigrante francês, 
Mr. Riebau, não se importava que Michael lesse os 
livros que encadernava. Assim, durante as encader-
nações ele foi descobrindo um mundo que o cativava 
cada vez mais. As leituras da Enciclopédia Britânica 
e do livro The Improvement of the Mind fi zeram Fara-
day iniciar a sua busca pelo conhecimento.
Michael Faraday (1791-1867)
Após a morte de seu pai (1809), Michael começou 
a assistir a todas as conferências possíveis, procuran-
do aprender cada vez mais.
Em 1812, ele recebeu de Mr. Riebau entradas 
para quatro palestras de Sir Humphrey Davy na fa-
mosa Royal Institution. Fascinado com as palestras, 
fez anotações que depois transformou em um texto 
ilustrado, encadernou e enviou para Sir Davy, que na 
época era um cientista de grande destaque. No ano 
seguinte (1813), ele tornou-se assistente de Sir Davy, 
quando iniciou uma época de grande produtividade, 
aprendendo rapidamente e descobrindo novos hori-
zontes para a Física e a Química.
Sir Davy, que também era oriundo de um am-
biente pobre e, por isso, identifi cava-se com Fara-
day, levou-o em suas viagens pela Europa, onde este 
conheceu vários cientistas, como Alessandro Volta, 
André Ampère e Joseph Gay-Lussac. A partir daí, 
Faraday começou a participar mais intensamente 
nas pesquisas de Sir Davy, ajudando-o a desenvol-
ver a lâmpada de segurança a ser utilizada nas mi-
nas de carvão. Faraday conseguiu liquefazer alguns 
gases, dentre eles o dióxido de carbono e o cloro, o 
que até então se acreditava não ser possível. Dentre 
outros trabalhos desenvolvidos por Faraday pode-
mos destacar: as Leis da Eletrólise, sessenta anos 
antes de Thomson descobrir o elétron; o estudo das 
descargas elétricas nos gases; a distribuição das 
cargas elétricas na superfície de condutores (gaio-
la de Faraday); o diamagnetismo; a polarização de 
luz e muitos outros. Ele conseguiu isolar o benzeno 
a partir do óleo de baleia, o que, quatro décadas 
depois, daria início ao estudo da Química Orgâni-
ca. Descobriu a rotação de um raio de luz quando 
atravessa um campo magnético, depois chamada de 
Efeito Faraday.
Em 1824, Faraday foi eleito membro da Real So-
ciedade de Ciências. Suas descobertas continuavam. 
Em 1819, Hans Christian Oersted, físico dinamar-
quês, havia conseguido juntar a eletricidade e o mag-
netismo ao descobrir que correntes elétricas geravam 
campos magnéticos. Até então, acreditava-se que a 
eletricidade e o magnetismo eram coisas separadas 
e não tinham relação. Em 1831, Faraday descobriu a 
relação inversa: correntes elétricas podiam ser gera-
das por meio do magnetismo. Ele havia inventado a 
bobina de indução. Num fi o enrolado em um tubo 
oco passava uma corrente contínua quando ele fa-
zia variar o campo magnético no interior da bobina; 
era o princípio do transformador. Faraday enunciou 
as Leis da Indução Magnética, introduzindo a idéia 
de linhas de força de um campo elétrico, que seriam 
comprovadas matematicamente pelas equações de 
Ju
pi
te
r U
nl
im
ite
d/
Ke
yd
is
c
19Manual do professor
Maxwell. Essa descoberta foi tão importante que sua 
estátua na Royal Institution o mostra segurando uma 
bobina de indução.
Em 1832, Faraday iniciou a Eletroquímica, uti-
lizando corrente elétrica para “quebrar” compostos 
químicos. Em seus trabalhos Pesquisas experimentais 
em Eletricidade, em três volumes, e Pesquisas ex-
perimentais em Química e Física, ele estabeleceu a 
linguagem básica da Eletricidade, criando os termos: 
eletrólito, eletrodo, ânodo, cátodo, íon e outros.
Faraday estabeleceu o conceito de campo elétrico 
e de campo magnético. Em 1849 tentou juntar a gra-
vitação e a eletricidade, não conseguindo.(Lembre-se 
de que Einstein também tentou essa unifi cação e mor-
reu, em 1955, sem ter conseguido.)
Em 1821, Faraday casou-se com Sarah Barnard. 
Adoeceu em 1839 e não mais conseguiu se recuperar. 
Morreu em 25 de agosto de 1867, em Hampton Court, 
próximo dos seus 76 anos. Foi enterrado na Abadia de 
Westminster, ao lado de Isaac Newton.
Uma curiosidade – A lanterna perpétua 
de Faraday
Na internet podemos ver anúncios da lanterna 
perpétua de Faraday, que não utiliza pilhas, tem 
26 cm de comprimento e cor branca translúcida. O 
seu funcionamento baseia-se na Lei da Indução Ele-
tromagnética de Faraday. Para carregá-la, basta agitar. 
O movimento de vaivém de um ímã existente em seu 
interior, que passa na parte interna de uma bobina, 
induz nela correntes elétricas que irão carregar uma 
bateria especial. Alguns segundos de agitação podem 
produzir energia sufi ciente para acender a luz por até 
5 minutos. Consta na propaganda que o LED superlu-
minoso pode ser visto a um quilômetro de distância. 
Essas lanternas não devem ser colocadas próximo de 
cartões bancários 
ou fi tas magnéti-
cas, já que o cam-
po eletromagnéti-
co formado pelas 
correntes indu-
zidas pode des-
magnetizar tais 
objetos.
 Subsídios ao Descubra mais 
1. Na fotografi a a seguir, observamos um dispositivo, usa-
do como enfeite, que chama muito a atenção das pes-
soas. Nele, encontramos uma esfera interna que é eletri-
zada de forma contínua e uma outra esfera externa de 
vidro transparente. Entre as superfícies esféricas, existe 
um gás sob baixa pressão. Os gases normalmente são 
isolantes elétricos. No entanto, quando ionizados dei-
xam de ser isolantes e tornam-se condutores.
 Pesquise e tente explicar a emissão de luz nessa foto-
grafia.
O campo elétrico nas proximidades da esfera in-
terna é muito intenso. Por isso, moléculas do gás aí 
presentes são ionizadas, adquirindo carga elétrica do 
mesmo sinal da carga da esfera interna. Os íons pro-
duzidos são repelidos por esta, deslocando-se então 
para a esfera externa. Em outras palavras, são produ-
zidas correntes elétricas iônicas através do gás, entre 
as esferas. 
Devido à alta intensidade do campo elétrico, os 
íons adquirem energias cinéticas sufi cientes para pro-
vocar, por meio de colisões, extrações de elétrons 
de outras moléculas, ionizando-as também, ou, pelo 
menos, provocar excitações eletrônicas dessas outras 
moléculas.
Tanto os elétrons extraídos como os excitados ab-
sorveram energia dos íons que incidiram nas molécu-
las. Essa energia é devolvida na forma de luz (efeito 
ou descarga corona): íons se recombinam com elé-
trons que perderam e emitem luz, o mesmo aconte-
cendo com elétrons excitados quando retornam ao 
nível mais baixo de energia em que estavam antes de 
serem bombardeados.
2. Pegue um rádio portátil pequeno, ligado e sintonizado 
em uma estação. Embrulhe esse rádio em uma folha de 
jornal. Agora desembrulhe e volte a embrulhá-lo em 
Do
dd
s/
To
pF
ot
o/
Ke
ys
to
ne
Re
pr
od
uç
ão
20 TÓPICOS DE FÍSICA 3
papel-alumínio, com várias voltas. O que ocorre de di-
ferente? Como explicar os resultados desses dois expe-
rimentos?
Mesmo embrulhado no papel jornal, apesar de ter 
a intensidade do som diminuída, continuamos a ouvir 
o rádio. Quando repetimos o experimento utilizando 
papel-alumínio, notamos que o rádio deixa de trans-
mitir o som. Isso ocorre porque o papel-alumínio se 
comporta como uma gaiola de Faraday, impedindo 
que sejam captados os campos eletromagnéticos que 
transportam os sinais.
As ondas eletromagnéticas são constituídas de 
dois campos variáveis com o tempo, um elétrico e 
outro magnético, que se propagam através do espa-
ço. Quando a antena de um receptor de rádio recebe 
essa onda, uma corrente elétrica é nela induzida. Essa 
corrente induzida é posteriormente amplifi cada para 
produzir o funcionamento do alto-falante. Quando o 
receptor está envolto por papel-alumínio ou por uma 
rede metálica, a corrente induzida encontra uma “su-
perfície” repleta de elétrons e sofre uma dissipação, 
não encontrando um caminho para atingir a antena. 
Assim, o rádio receptor não consegue sintonizar uma 
emissora. Observe que, ao fi car envolto em papel-alu-
mínio, o receptor de rádio estará no interior de um 
condutor oco, onde o campo elétrico é nulo e as cargas 
elétricas permanecem em equilíbrio.
No caso de substituirmos o papel-alumínio por 
uma tela metálica, a dimensão da malha deve ser me-
nor que o comprimento de onda da onda eletromag-
nética que deveria atingir a antena receptora. Se for 
maior, a onda atravessará.
Este experimento pode ser realizado com os alu-
nos, utilizando dois celulares, um jornal e papel-alu-
mínio. Peça a um aluno que ligue para o celular que 
se encontra em cima de uma mesa, embrulhado em 
jornal. Peça ao aluno que volte a ligar, agora para o 
celular envolto em papel-alumínio
 Resolução dos exercícios propostos
22
27 A carga + q gera, em P, campo de “afastamento”. As distâncias 
de cada porção Δq de carga até o ponto P é a mesma.
Assim, em P, temos infi nitos vetores campo elétrico:
Devido à simetria na distribuição desses vetores, a resultante E terá di-
reção vertical e sentido para cima.
+q
y
–q
A
BC
D
–q
EB
ED
+q
O x
EX
EC EA
Alternativa e.
28 Em A, queremos que EA = 0:
Mas:
EA = Eq1
 + Eq2
 + EQ
P
E1E2
Assim:
EQ = Eq1
 sen 30° + Eq2
 sen 30°
EQ = 2 Eq1
 sen 30°
Como: E = k Q
d2
Temos:
K Q
y2
 = 2 K 
q
L2
 · 1
2
Q
y2
 = 
q
L2
8 · 10–6
y2
 = 2 · 10
–6
32
y2 = 36
y = 6 cm
P
E
Decompondo esses vetores segundo os eixos x e y, notamos que no 
eixo y a resultante é nula. No eixo x a resultante é diferente de zero. 
Alternativa a.
Eq2 Eq2 sen 30° Eq1 sen 30°
Eq2 cos 30° Eq1 cos 30°
EQ
30° 30°
Eq1
21Manual do professor
|EA| = |EC| = K 
q
a2
Usando-se Pitágoras:
E2AC = E
2
A + E
2
C
E2AC = 2 K 
q
a2
2
EAC
EA
EB
a
+q
+q
qBa
a ad
A B
CD
EC
Na origem O do sistema cartesiano, temos:
Por Pitágoras, vem:
E2res = (2E)
2 + (2E)2
E2res = 2 (2E)
2
Eres = 2 2 E
Eres = 2 2 k0 
Q
d2
Alternativa a.
54
|Ep| = |E1| + |E2|
|EQ| = |E2| – |E1|
Para ocorrer o descrito devemos 
ter:
|E2| � |E1|
Assim:
|σ1| � |σ2|
e 
σ1 � 0
σ2 � 0
Alternativa a.
64
a) 
+
+
+
+
q
q q
A
q q
q q
–
–
–
+
–
–
–
–
–
+
(1)
(4)
(6)(2)
(3)
(5)
(8)
(7)
–
q
–
E3 
(1) 
(2) 
(3) 
–Q
–Q
Q O 
Q 
d 
d 
d 
d 
x
y 
(4) 
E2 E4 
E1 
Eres
2E
2E
0
y
x
E1P
σ1 σ2
Q
E2
E1E2
T
60° Fe
P
30 Nominando as cargas, temos:
Na fi gura, notamos que as cargas 1 e 2, 3 e 4, 7 e 8 produzem campo 
resultante nulo no ponto de encontro das diagonais do cubo.
Apenas as cargas 5 e 6 produzem campo elétrico resultante não-nulo no 
encontro das diagonais.
Assim:
EE = E5 + E6
EE = 2 K 
|q|
x2
Mas x é metade da diagonal do cubo:
x = 1
2
 (� 3)
Portanto:
EE = 
2 Kq
� 3
2
2 ⇒ EE = 
8 Kq
3 �2
e a força aplicada na carga 2q, colocada em A, vale:
F = |2q| E ⇒ F = 2q 8
3
 · 
Kq
�2
 ⇒ F = 16
3
 K 
q2
�2
Alternativa c.
34 O descrito no texto e os respectivos campos elétricos, represen-
tados pelos vetores E1, E2, E3 e E4 , estão indicados na fi gura a seguir:
b) � 
T sen 60° = P
T cos 60° = Fe
sen 60°
cos 60°
 = P
Fe
Fe = 
P
tg 60°
 = 0,03
3
 ⇒ Fe = 3 · 10
–2 N
c) Fe = |q| E
3 · 10–2 = 5,0 · 10–6 E
E = 2 3 · 103 N/C
66 O campo elétrico em D é representado por:
22 TÓPICOS DE FÍSICA 3
– Q + Q
O
A C
B+ Q
EA
EC
EBθ
Q‘
O
Atenção:
EA = EB = EC = E
EAC = 2E
Portanto, usando Pitágoras, temos:
E2ABC = E
2
AC + E
2
B
E2ABC = (2E)
2 + E2 = 4E2 + E2 = 5E2
EABC = 5 E
K 
|Q’|
R2
 = 5 
K |Q|
R2
Q’ = 5 Q
A posição da carga Q’ é dada por:
em que:
tg θ = 
EB
EAC
 = E
2E
tg θ = 1
2
Assim: θ = arc tg 1
2
70
θ
OEAC
EB
ED
EABC
–
T
Fe P
A
B
E
EAC = 2 K 
q
a2
Como:
|EAC| = |EB|
temos:
2 
Kq
a2
 = K
|qB|
d2
Mas:
d = a 2 (diagonal do quadrado)
Então:
2 
Kq
a2
 = K 
|qB|
(a 2)2
 ⇒ 2 
q
a2
 = 
|qB|
a2 2
|qB| = 2 2 q
Sendo EB um vetor campo de “aproximação” em relação à carga qB, 
esta deve ter sinal negativo.
Assim:
qB = –2 2 q
Alternativa e.
68
Se a força Fe é vertical voltada para baixo, o campo elétrico entre as pla-
cas é vertical, voltado para cima. Assim, a placa A possui carga negativa 
e a placa B, positiva. Observe que a carga q é negativa.
(01) Falsa.
(02) Verdadeira.
(04) Falsa.
(08) Verdadeira.
 Fe = |q| E
(3 – 2) = |q| 4 · 106 ⇒ |q| = 0,25 · 10–6 C
(16) Falsa.
(32) Falsa.
Portanto, a soma das alternativas corretas é 10.
74
a) F = Fe
m a = |q|E ⇒ a = 
|q| E
m
Portanto:
ap
aα
 = 
|qp| mα
|qα| mp
Sendo e a carga do próton e m a massa, temos:
ap
aα
 = e 4 m
2e m
 ⇒
ap
aα
 = 2
b) Na vertical as partículas possuem MUV.
Δs = a t
2
2
Como Δsp = Δsα, temos:
ap t
2
p
2
 = 
aα t
2
α
2
ap
aα
 t2p = t
2
α
2 t2p = t
2
α
tp
tα
2
 = 1
2
 ⇒
tp
tα
 = 2
2
 
75
1) Cálculo da massa da gota:
d = m
v
 ⇒ m = d v
m = d 4
3
 π r3
m = 1 000 4
3
 3,14 · (10 · 10–6)3 (kg)
m � 4,2 · 10–12 kg
23Manual do professor
2) O movimento horizontal da gota é uniforme. Assim:
Δs = v t
2,0 · 10–2 = 20 t
t = 1,0 · 10–3 s
3) O movimento vertical da gota é uniformemente variado pelo fato 
de ela atravessar um campo elétrico uniforme. Observe que não va-
mos considerar o campo gravitacional. Assim: 
m a = |q| E ⇒ a = 
|q| E
m
Na queda:
Δs = a t
2
2
 ⇒ y = 
|q| E
m
 · t
2
2
Para que a gota sofra a ação de uma força no sentido do campo 
elétrico, a sua carga deve ser positiva.
Portanto:
0,30 · 10–3 = 
q 8,0 · 104
4,2 · 10–12
 · 
(1,0 · 10–3)2
2
q � 3,1 · 10–14 C
Alternativa b.
76 As forças de repulsão são conservativas (forças de campo). As-
sim, a energia cinética transforma-se em potencial. Portanto, estando a 
partícula em repouso em M, temos:
ΔEp = ΔEc = 3,2 · 10–21 J
Como e = 1,6 · 10–19 C, temos:
ΔEp = 
3,2 · 10–21
1,6 · 10–19
 e V
ΔEp = 2,0 · 10–2 e V
ΔEp = 20 · 10–3 e V
ΔEp = 20 m e V
77
a) No equilíbrio, temos:
FE = P
QE + QE = (m + 3 m) g
2QE = 4 mg
Q = 
2 mg
E
b) Na partícula de massa 3 m:
Assim:
T + FE = Fe + P
T + QE = k 
QQ
a2
 + 3 mg
T = k
a2
 Q2 – QE + 3 mg
T = k
a2
 
2 mg
E
2
 – 
2 mg
E
 E + 3 mg
T = 
k 4 m2 g2
a2 E2
 – 2 mg + 3 mg
T = 
4 k m2 g2
a2 E2
 + mg
80
Aplicando-se a condição de equilíbrio, temos:
(Fe + P)L = Pm x + P L
FeL + P L = Pm x + P L
FeL = Pm x
|q| E L = mg x
3,0 · 10–10 · 2,0 · 106 · 0,20 = 0,10 · 10–3 · 10 x
x = 0,12 m
81 Na esfera, temos:
No eixo x, temos:
Fe(x) = T(x) 
|q| Ex = T sen 60°
q 3 · 105 = T 3
2
T = 2 · 105 q (I)
No eixo y, temos:
P = Fe(y) + T(y)
m g = |q| Ey + T cos 60°
2 · 10–3 · 9,8 = q 105 + T 1
2
Usando-se I, vem:
1,96 · 10–2 = q 105 + 
2 · 105 q
2
1,96 · 10–2 = q 105 + q 105
1,96 · 10–2 = 2q 105
q = 9,8 · 10–8 C
Em (I), temos:
T = 2 · 105 · 9,8 · 10–8 N
T = 1,96 · 10–2 N
Alternativa b.
82 A aceleração do elétron é devida a uma força elétrica e tem a 
mesma direção e sentido oposto ao do campo elétrico E . O módulo da 
aceleração é dado por:
F = Fe
m a = |q| E
T
Fe
FE P+
m
x
L = 0,20 m L = 0,20 m
++
Fe Pm
P P
T
60°
Fe(y)
Fe(x)
P
T
60°
P = mg
Fe(y) 
= IqIEy
Fe(x) 
= IqIEx
T(y) = T cos 60°
T(x) = T sen 60°
24 TÓPICOS DE FÍSICA 3
EM = 2 · 9 · 10
9 1 · 10
–9
(0,10)2
EM = 1 800 N/C
c) 
a = 
|q| E
m
 = 
1,6 · 10–19 · 100
9,1 · 10–31
a = 17,6 · 1012 m/s2
O movimento do elétron é um movimento balístico, valendo:
v0y
 = v0 sen 30°
v0y
 = 
v0
2
Na vertical temos um MUV:
v = v0 + γ t
– 
v0
2
 = 
v0
2
 – a t
a t = v0 ⇒ 17,6 · 10
12 t = 4 · 105
t = 0,23 · 10–7 s = 23 · 10–9 s
t = 23 n s
Alternativa c.
83
EN = EA + EB
Então:
EN = EA – EB
EN = K 
|Q|
d2A
 – K 
|Q|
d2B
EN = 
9 · 109 · 1 · 10–9
(0,10)2
 – 9 · 10
9 · 1 · 10–9
(0,30)2
EN = 900 – 100
EN = 800 N/C
84
a 
x 
y 
30° 
v0 
v0y 
60°
120°
60°
20 cm 20 cm
20 cm
M
A B
–Q+Q
C
60°
a) Em C:
120°
EA
EC
EB
EC = EA + EB
Como EA = EB = K 
|Q|
d2
EA = EB = 9 · 10
9 1 · 10
–9
(0,20)2
EA = EB = 225 N/C
Então, aplicando a Lei dos Cossenos, temos:
E2C = E
2
A + E
2
B + 2EA EB cos 120°
E2C = E
2
A + E
2
A + 2 E
2
A – 
1
2
E2C = E
2
A + E
2
A – E
2
A = E
2
A
EC = EA = 225 N/C
b) Em M:
EM = EA + EB
Como: EA = EB
então: EM = EA + EB = 2EA
EM = 2K 
|Q|
d2
10 cm
N M
BA 10 cm 10 cmEA
EB
C
E
A
�
�
�
θ
O
B
d
M
30°
30°
30°
30°
FA
FC
FAC
P
FA = FC = K 
|Q Q|
d2
FA = K 
Q2
d2
 ⇒ Q = d 
FA
K
 (I)
Usando a Lei dos Cossenos, temos:
F2AC = F
2
A + F
2
C + 2FA FC cos 60°
F2AC = F
2
A + F
2
A + 2F
2
A 
1
2
F2AC = 3F
2
A ⇒ FAC = FA 3 (II)
Em B, temos:
F
FAC
P
Tθ
B
θ
EA
A
10 cm
M
+Q –Q
B
EB
25Manual do professor
tg θ = 
FAC
P
FAC = P tg θ (III)
Juntando (II) e (III), vem:
FA 3 = P tg θ ⇒ FA = 
P tg θ
3
 (IV)
Na fi gura, podemos observar que o triângulo ABC é eqüilátero e o pon-
to M é o encontro das alturas. Assim:
BM = 2
3
 BE
Mas, no triângulo BEC, temos:
cos 30° = BE
d
 ⇒ BE = d cos 30° = d 3
2
Então:
BM = 3 d
3
 (V)
No triângulo OMB, temos:
sen θ = BM
�
 ⇒ BM = � sen θ
Usando (V), vem:
� sen θ = 3 d
3
 ⇒ d = 3 � sen θ
Portanto, em (I), temos:
Q = 3 � sen θ P tg θ
3 K
 ⇒ Q = � sen θ 3 P tg θ
3 K
Q = � sen θ 3 P tg θ
K
85
1) O corpo m1 desloca-se em movimento acelerado entre θ = 0° e 
θ = 300°. Assim, usando-se a Equação de Torricelli (angular), temos:
ω2 = ω20 + 2αΔθ
ω2 = 0 + 2 6π
5
 · 5π
3
ω2 = 4π2
ω = 2π rad/s
Como v = ωR, então:
v1 = 2π 
1
π
v1 = 2 m/s
2) Na colisão inelástica total, entre m1 e m2, vem:
Qantes = Qdepois
m1 v1 = (m1 + m2)v
v = 
m1
(m1 + m2)
 2
3) O conjunto (m1 + m2) fi ca sob a ação do campo elétrico, após o fi o 
arrebentar.
4) Na direção y (onde existe o campo E , temos MUV:
v = v0 + γ t
Sendo: v0 = v sen 30°
F = –q E ⇒ γ = – q E
(m1 + m2)
Em P, vy = 0, e:
0 = 
2m1
(m1 + m2)
 · 
1
2
 – 
q E
(m1 + m2)
 t
t 
q E
(m1 + m2)
 = 
m1
(m1 + m2)
t = 
m1
q E
5) Na direção x (MU), temos:
d = vx t
d = v (cos θ) t
d = 
2m1
(m1 + m2) EQ
 · 3
2
 · 
m1
qE
d = 
m21 3
(m1 + m2) EQ
86
a) Entre as placas existe um campo elétrico. Assim, o movimento da 
partícula é um movimento balístico.
1) Na horizontal (MU):
 d = v Δt
 5,0 · 10–2 = 1,0 · 103 Δt
 Δt = 50 · 10–5 s
2) Na vertical (MUV):
 Δs = v0t + 
γ t2
2
 2,5 · 10–2 = 
γ (5,0 · 10–5)2
2
 5,0 · 10–2 = γ 25,0 · 10–10
 γ = a = 2,0 · 107 m/s
 Portanto:
 Fe = F
 |q| E = ma
 0,1 · 10–6 E = 10–6 · 2,0 · 107
E = 2,0 ·108 N/C
b) Fora das placas, a partícula fi ca isenta da ação de campos (elétrico 
e gravitacional). Assim, seu movimento é retilíneo e uniforme até o 
ponto P.
Portanto, em y1 e em P, a velocidade tem a mesma intensidade.
1) Na vertical (entre as placas) (MUV):
 v = v0 + γ t
 vy = 0 + 2,0 · 10
7 · 5,0 · 10–5
 vy = 1,0 · 10
3 m/s
2) Na horizontal:
 vx = v0 = 1,0 · 10
3 m/s
3) Por Pitágoras:
 v2 = v2x + v
2
y
 v2 = (1,0 · 103)2 + (1,0 · 103)2
 v2 = 1,0 · 106 + 1,0 · 106 = 2,0 · 106
v = 2,0 · 103 m/s
30°
v
26 TÓPICOS DE FÍSICA 3
87
Fe = mg + QE
Fe = 0,1 · 10 + 3 · 10
–5 · 1 · 105
Fe = 4N
b) R = 
TQ
T0
 = 
2π m �Fe
2π m �mg
R = mg
Fe
 = 0,1 · 10
4
 = 1
4
R = 1
2
c) No item b, vimos que:
R = 
TQ
T0
 = 1
2
TQ = 
T0
2
O novo período (TQ) passa a ser a metade de T0. Isso indica que o 
relógio “anda” o dobro, isto é, marca 2 minutos quando, na verda-
de, passou 1 minuto.
Assim, das 12 às 15 horas o relógio marca um tempo de 6 horas (o 
dobro do real).
t = 6 h (da tarde)
88 De acordo com o Teorema de Gauss:
φtotal = 
Qinterna
�
Como as duas superfícies A e B envolvem a mesma carga interna Q, te-
mos:
φtotal(A) = φtotal(B)
Alternativa e.
89 Teorema de Gauss:
φtotal = 
Qinterna
�
Observando que o comprimento do fi o no interior das três superfícies 
é o mesmo: LA = LB = LC, então, temos cargas internas iguais no interior 
das três superfícies. Assim:
φtotal(A) = φtotal(B) = φtotal(C)
Alternativa a.
90
A carga total na barra é negativa:
Qbar � 0
Do Teorema de Gauss, temos:
Qi = φ total · ε
Considerando superfícies gaussianas envolvendo a carga q e a barra, no-
tamos que o fl uxo total (φ) é maior na gaussiana que envolve a carga q.
Assim: |Qbar| � |q|
Alternativa b.
91 Para 0 � r � R1
E = 0
Para R1 � r � R2
Qi varia de maneira uniforme com o aumento do raio r.
q
Barra
++
Pela confi guração das linhas de 
força na barra, temos:
Barra– –
– – –
+ + +
E
rR1
E
rR1 R2
Para r � R2
Qi se mantém constante.
E A = 
Qi
�
E = 
Qi
4π r2 �
 ⇒ E = 
Qi
4π �
 1
r2
A intensidade de E diminui na razão inversa do quadrado do raio r.
E
rR1 R2
Alternativa a.
Tópico 3
Potencial elétrico
 Objetivos do Tópico
Neste Tópico, voltamos a exigir mais abstração 
dos alunos. Devemos trabalhar com os conceitos de 
campo elétrico e potencial elétrico como sendo pro-
priedades dos pontos de uma região do espaço que se 
encontra sob a infl uência de carga elétrica. O conceito 
27Manual do professor
de potencial elétrico deve ser associado à existência de 
um campo elétrico no local considerado. Deve-se des-
tacar que, enquanto o campo elétrico é uma grandeza 
vetorial, o potencial elétrico é uma grandeza escalar. 
Mostrar bem a diferença entre campo e potencial, evi-
tando que os alunos confundam os dois conceitos.
A expressão do trabalho realizado pelo campo elé-
trico deve ser demonstrada para que o aluno entenda 
o que ocorre quando o movimento de uma partícula 
eletrizada se dá em uma eqüipotencial.
O conceito de capacitância deve ser abordado de 
maneira breve, deixando-se mais tempo para a explora-
ção das particularidades do equilíbrio eletrostático. Dar 
especial atenção aos exercícios em que aparecem os cam-
pos elétrico e gravitacional, onde partículas com massa e 
carga elétrica fi cam sob a ação dos dois campos.
O último bloco oferece situações para a motivação 
dos alunos, não só durante a apresentação e explica-
ção do fenômeno de indução eletrostática, como na 
construção e uso de um eletroscópio. O bom enten-
dimento da indução eletrostática facilitará o estudo 
posterior de capacitores.
 O que não pode faltar
 1. Energia potencial eletrostática e o conceito de 
potencial em um campo elétrico
 2. Potencial em um campo elétrico criado por uma 
partícula eletrizada
 3. Potencial em um campo elétrico criado por duas 
ou mais partículas eletrizadas
 4. Eqüipotenciais
 Exercícios
 5. Trabalho da força elétrica
 6. Propriedades do campo elétrico
 7. Diferença de potencial entre dois pontos de um 
campo elétrico uniforme
 Exercícios
 8. Potencial elétrico criado por um condutor eletri-
zado
 9. Potencial elétrico criado por um condutor esféri-
co eletrizado
 Exercícios
10. Capacitância
11. Capacitância de um condutor esférico
12. Energia potencial eletrostática de um condutor
13. Condutores em equilíbrio eletrostático
Exercícios
14. Indução eletrostática
15. O potencial da terra
Exercícios
 Algo mais
O encerramento do estudo da Eletrostática pode 
ser feito com a apresentação de trabalhos, elaborados 
por meio de pesquisas em livros, vídeos e internet e 
com a ajuda do professor. Os alunos podem apresentar 
pára-raios, geradores de Van de Graaff, eletroscópios 
e outros dispositivos eletrostáticos construídos por 
eles; experiências de eletrização, fazendo os cabelos 
longos de uma aluna fi car espetados; trabalhos sobre 
cargas elétricas na atmosfera terrestre. Podem, tam-
bém, realizar uma exposição de fotos que envolvam 
fenômenos eletrostáticos. Agora é a hora de deixar a 
criatividade dos alunos se manifestar. 
Uma breve biografi a de Alessandro Volta
(O inventor da pilha elétrica)
Alessandro Giuseppe 
Antonio Anastásio Vol-
ta nasceu na cidade de 
Como, Itália, em 18 de fe-
vereiro de 1745, em uma 
família de nobres. Desde 
muito cedo se interessou 
pela Física e, apesar de 
sua família desejar que 
seguisse carreira jurídica, 
passou a estudar Ciên-
cias. Em 1773, casou-se com Teresa Peregrini, com 
quem teve três fi lhos. Em 1774, passou a lecionar 
Física na Scuola Reale de Como. Em 1775, inven-
tou o eletróforo, aparelho que podia produzir car-
gas elétricas. Em 1778, ele descobriu e isolou o gás 
metano, fato que o introduziu na comunidade cien-
tífi ca da época, quando pôde se relacionar com ou-
tros cientistas. Em 1779, foi nomeado catedrático 
de Física Experimental da Universidade de Pavia, 
sendo eleito reitor em 1785.
Em 1786, por mero acaso, o professor de Ana-
tomia da Universidade de Bolonha, Luigi Galvani, 
observou que, ao dissecar uma rã, os músculos das 
pernas apresentavam movimentos espasmódicos que 
associou a descargas elétricas. Após estudos, Galvani 
explicou esse fenômeno pela existência de uma eletri-
cidade animal, que foi denominada fl uido galvânico. 
A partir de 1792, Alessandro Volta passou a estudar e 
a repetir os experimentos de Galvani e, em 1797, des-
cobriu que o tecido animal não produzia eletricidade, 
apenas funcionava como condutor. A descarga elétrica 
ocorria devido ao contato de dois terminais metálicos 
que eram colocados em contato com o tecido animal. 
Ju
pi
te
r U
nl
im
ite
d/
Ke
yd
is
c
28 TÓPICOS DE FÍSICA 3
Os metais eram os eletromotores. Percebeu, ainda, 
que, usando prata e zinco, interligados por um condu-
tor úmido, podia obter melhores descargas.
Em 1799, multiplicou o efeito usando várias ca-
madas de zinco e prata (depois substituídas por cobre) 
intercaladas e separadas por panos embebidos de água 
e sal. Nascia a pilha elétrica. Em março de 1800, Volta 
enviou uma carta (em francês) para Sir Joseph Banks, 
presidente da Royal London Society (Inglaterra), re-
latando suas descobertas no campo da eletricidade, 
dizendo que havia inventado uma garrafa de Leyden 
que não precisava ser carregada.
provocando a passagem de íons de sódio para o inte-
rior da célula. A grande quantidade de Na+ neutraliza 
os íons negativos e, em seguida, torna a superfície in-
terna da célula positivamente carregada. A diferença 
de potencial entre as faces da membrana torna-se mo-
mentaneamente positiva, por volta de +30 mV. As por-
tas se fecham e a membrana volta ao seu potencial ini-
cial (–70 mV). Essa variação de potencial,