Questão resolvida - Calcule limite de x tendendo a zero de (1-cos(x))_x - l'Hospital - Cálculo I

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• Calcule o limite lim
 
x 0 →
1 - cos x
x
( )
2
Resolução:
 
Substituindo o limite, temos;
 
= = =lim
 
x 0 →
1 - cos x
x
( )
2
1 - cos 0
0
( )
( )2
1 - 1
0
0
0
Em indeterminações do tipo e é possível aplicar a regra de L'Hopital, que diz que o 
0
0
±∞
±∞
limite quando ocorre uma das indeterminações citadas é:
 
=lim
x→k
f x
g x
( )
( )
lim
x→k
f' x
g' x
( )
( )
 
Assim, aplicando a regra de L'Hopital ao limite, temos que;
 
= =lim
 
x 0 →
1 - cos x
x
( )
2
lim
 
x 0 →
- -sen x
2x
( ( ))
lim
 
x 0 →
sen x
2x
( )
 
Substituindo o limite, temos;
 
= =lim
 
x 0 →
sen x
2x
( ) sen 0
2 ⋅ 0
( ) 0
0
 
Como a intederminação foi , podemos aplicar novamente a regra de L'Hopital;
0
0
 
=lim
 
x 0 →
sen x
2x
( )
lim
 
x 0 →
cos x
2
( )
 
 
Finalmente, substituindo, fica;
 
= =lim
 
x 0 →
cos x
2
( ) cos 0
2
( ) 1
2
 
 
 
(Resposta )