Lista Capítulo 35

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5. Na Fig. 35-4, suponha que duas ondas com um comprimento de onde de 400 nm, que se propagam 
no ar, estão inicialmente em fase. Uma atravessa uma placa de vidro com um índice de refração n1 = 
1,60 e espessura L; a outra atravessa uma placa de plástico com um índice de refração n2 = 1,50 e a 
mesma espessura. (a) Qual é o menor valor de L para a qual as ondas deixam as placas com uma 
diferença de fase de 5,65 rad? (b) Se as ondas chegam ao mesmo ponto com a mesma amplitude, a 
interferência é totalmente construtiva, totalmente destrutiva, mais próxima de construtiva ou mais 
próxima de destrutiva? 
(a) Consideramos que as fases de ambas as ondas são zero nas superfícies 
frontais das camadas. A fase da primeira onda na superfície traseira do vidro é dada 
por φ1 = k1L - ωt, onde k1 (= 2π / λ1) é o número da onda angular e λ1 é o comprimento 
de onda no vidro. Da mesma forma, a fase da segunda onda na superfície traseira do 
plástico é dada por φ2 = k2L - ωt, onde k2 (= 2π / λ2) é o número da onda angular e λ2 é o comprimento 
de onda no plástico. As frequências angulares são as mesmas, pois as ondas têm o mesmo comprimento 
de onda no ar e a frequência de uma onda não muda quando a onda entra em outro meio. A diferença 
de fase é 
Agora, λ1 = λair / n1, onde λair é o comprimento de onda no ar e n1 é o índice de refração do 
vidro. Da mesma forma, λ2 = λair / n2, onde n2 é o índice de refração do plástico. Isso significa que a 
diferença de fase é 
O valor de L que faz esse 5,65 rad é 
(b) 5,65 rad é menor que 2π rad = 6,28 rad, a diferença de fase para interferência completamente 
construtiva e maior que π rad (= 3,14 rad), a diferença de fase para interferência completamente 
destrutiva. A interferência é, portanto, intermediária, nem completamente construtiva nem 
completamente destrutiva. É, no entanto, mais próximo de completamente construtivo do que de 
destrutivo. 
6. Na Fig. 35-33, a onda luminosa representada pelo raio r1 é refletida uma vez em um espelho, 
enquanto a onda representada pelo raio r2 é refletida duas vezes nesse espelho e uma vez em um 
pequeno espelho situado a uma distancia L do espelho principal. (Despreze a pequena inclinação dos 
raios.) As ondas tem um comprimento de onda λ estão inicialmente em oposição de fase. Determine 
(a) o menor; (b) o segundo menor e (c) o terceiro menor valor de L/λ para que as ondas finais estejam 
exatamente em fase. 
Em contraste com as condições iniciais do Problema 35-5, agora 
consideramos as ondas W2 e W1 com uma diferença de fase efetiva inicial (em 
comprimentos de onda) igual a 1/2 e buscamos posições da fita que faz com que 
a onda interfira construtivamente (o que corresponde para uma diferença de fase 
com valor inteiro em comprimentos de onda). Portanto, a distância extra 2L percorrida por W2 deve 
atingir 1/2 λ, 3/2 λ e assim por diante. Podemos escrever esse requisito de forma sucinta como 
(a) Assim, o menor valor de L / λ que resulta nas ondas finais exatamente na fase é quando m 
= 0, o que fornece L / λ = 1/4 = 0,25. 
(b) O segundo menor valor de L / λ que resulta nas ondas finais exatamente na fase é quando 
m = 1, o que fornece L / λ = 3/4 = 0,75. 
(c) O terceiro menor valor de L / λ que resulta nas ondas finais exatamente na fase é quando m 
= 2, o que dá L / λ = 5/4 = 1,25. 
7. Na Fig. 35-33, a onda luminosa representa da pelo raio r1 é refletida em vez em um espelho, enquanto 
a onda representada pelo raio r2 é refletida duas vezes nesse espelho e uma vez em um pequeno espelho 
situado a uma distancia L do espelho principal. (Despreze a pequena inclinação dos raios.) As ondas 
tem um comprimento de onde de 620 nm e estão inicialmente em fase. (a) Determine o menor valor 
de L para que as ondas finais estejam em posição de fase; (b) determine qual deve ser o acréscimo de 
L a partir do valor calculado no item (a) para que as ondas finais fiquem novamente em oposição de 
fase. 
 O fato de a onda W2 refletir duas vezes adicionais não tem efeito 
substantivo nos cálculos, uma vez que duas reflexões equivalem a uma diferença 
de fase 2 (λ / 2) = λ, que efetivamente não é uma diferença de fase. A diferença 
substantiva entre W2 e W1 é a distância extra 2L percorrida por W2. 
(a) Para que a onda W2 tenha meio comprimento de onda "atrás" da onda W1, é necessário 2L = λ / 2 
ou L = λ / 4 = (620 nm) / 4 = 155 nm usando o valor do comprimento de onda indicado no problema. 
(b) Interferência destrutiva aparecerá novamente se W2 for 3/2 λ “atrás” da outra onda. Em neste caso, 
2L′ = 3λ/2, e a diferença é 
9. Suponha que o comprimento de onda no ar das duas ondas da Fig. 35-4 é λ = 500 nm. Determine o 
múltiplo de λ que expressa a diferença de fase entre as ondas depois de atravessar os dois materiais (a) 
se n1 = 1,50, n2 = 1,60 e L = 8,50 µm; (b) se n1 = 1,62, n2 = 1,72 e L = 8,50 µm; (c) se n1 = 1,59, n2 = 
1,79 e L = 3,25 µm. (d) Suponha que, nas três situações, os dois raios se encontram o mesmo ponto e 
com a mesma amplitude depois de atravessar os materiais. Coloque as situações na ordem da 
intensidade da onda total, começando pela maior. 
(a) Eq. 35-11 (em valor absoluto) produz 
(b) Da mesma forma, 
(c) Nesse caso, obtemos 
(d) Como suas diferenças de fase eram idênticas, o brilho deve ser o mesmo para (a) e (b). 
Agora, a diferença de fase em (c) difere de um número inteiro por 0,30, o que também é verdadeiro 
para (a) e (b). Assim, suas diferenças efetivas de fase são iguais e o brilho no caso (c) deve ser o mesmo 
que em (a) e (b). 
11. Na Fig. 35-4, suponha que as duas ondas luminosas, cujo comprimento de onda no ar é 620 nm, 
tem inicialmente uma diferença de fase de π rad. Os índices de refração dos materiais são n1 = 1,45 e 
n2 = 1,65. Determine (a) o menor e (b) o segundo menor valor de L para o qual as duas ondas estão 
exatamente em fase depois de atravessar os dois materiais. 
 (a) Desejamos definir a Eq. 35-11 igual a 1/2, uma vez que uma diferença de 
fase de meio comprimento de onda é equivalente a uma diferença de π radianos. 
Portanto, 
 (b) Como uma diferença de fase de 3/2 (comprimentos de onda) é efetivamente a mesma que 
exigimos na parte (a), então 
13. Duas ondas luminosas no ar, de comprimento de onda 600,0 nm, estão inicialmente em fase. As 
ondas passam por camadas de plástico, como na Fig. 35-37, com L1 = 4,00 µm, L2 = 3,50 µm, n1 = 
1,40 e n2 = 1,60. (a) Qual é a diferença de fase, em comprimentos de onda, quando as ondas saem dos 
dois blocos? (b) Se as ondas são superpostas em uma tela, com a mesma amplitude, a interferência é 
totalmente construtiva, totalmente destrutiva, mais próxima de construtiva ou mais próxima de 
destrutiva? 
(a) Escolhemos um eixo x horizontal com sua origem na borda esquerda do 
plástico. Entre x = 0 e x = L2, a diferença de fase é a dada pela Eq. 35-11 (com L 
nessa equação substituído por L2). Entre x = L2 e x = L1, a diferença de fase é dada 
por uma expressão semelhante à Eq. 35-11, mas com L substituído por L1 - L2 e n2 
substituído por 1 (uma vez que o raio superior na Fig. 35-37 agora está viajando 
pelo ar, que possui índice de refração aproximadamente igual a 1). Assim, 
combinando essas diferenças de fase com λ = 0,600 μm, temos 
(b) Como a resposta na parte (a) está mais próxima de um número inteiro do que de meio 
inteiro, a interferência é mais quase construtiva do que destrutiva. 
15. Na Fig. 35-38 duas fontes pontuais de radiofrequência S1 e S2, separadas por uma distancia d = 2,0 
m, estão irradiando em fase com λ = 0,50 m. Um detector descreve uma longa trajetória circular em 
torno das fontes, em um plano que passa por elas. Quantos máximos são detectados? 
Os máximos de interferência ocorrem nos ângulos θ de modo que d sen θ 
= mλ, ondem é um número inteiro. Como d = 2,0 m e λ = 0,50 m, isso significa 
que sen θ = 0,25m. Queremos todos os valores de m (positivo e negativo) para os quais | 0,25m | ≤ 1. 
Estes são –4, –3, –2, –1, 0, +1, +2, +3 e +4. Para cada um deles, exceto –4 e +4, existem dois valores 
diferentes para θ. Um valor único de θ (–90 °) está associado a m = –4 e um valor único (+ 90 °) está 
associado a m = +4. Existem dezesseis ângulos diferentes em todos e, portanto, dezesseis máximos. 
17. Um sistema de dupla fenda produz franjas de interferência para a luz do sódio (λ = 589 nm) com 
uma separação angular de 3,50 x 10-3 rad. Para que comprimento de onda a separação angular é 10,0% 
maior? 
As posições angulares dos máximos de um padrão de interferência de duas fendas são dadas 
por d sin θ = mλ, onde d é a separação da fenda, λ é o comprimento de onda e m é um número inteiro. 
Se θ for pequeno, o pecado θ pode ser aproximado por θ em radianos. Então, θ = mλ / d para uma boa 
aproximação. A separação angular de dois máximos adjacentes é Δθ = λ / d. Seja λ' o comprimento de 
onda para o qual a separação angular é maior em 10,0%. Então, 1,10λ / d = λ'/ d. ou 
19. Suponha que o experimento de Young seja realizado com uma luz verde-azulada com um 
comprimento de onda de 500 nm. A distancia entre as fendas é 1,20 mm e a tela de observação está a 
5,40 m das fendas. A que distancia estão as franjas claras situadas perto do centro da figura de difração? 
A condição para um máximo no padrão de interferência de duas fendas é d sen θ = mλ, onde d 
é a separação da fenda, λ é o comprimento de onda, m é um número inteiro e θ é o ângulo feito pelos 
raios interferentes com a direção direta. Se θ for pequeno, o pecado θ pode ser aproximado por θ em 
radianos. Então, θ = mλ / d, e a separação angular dos máximos adjacentes, uma associada ao número 
m e a outra associada ao número inteiro m + 1, é dada por Δθ = λ / d. A separação em uma tela a uma 
distância D de distância é dada por 
Portanto, 
21. Na Fig. 35-39, as fontes A e B emitem ondas de radio de longo alcance com um comprimento de 
onda de 400 m, com a fase da emissão da fonte A adiantada de 90° em relação a fonte B. A diferença 
entre a distancia rA entre a fonte A e o detector D e a distancia rB entre a fonte B e o detector D é 100 
m. Qual é a diferença de fase entre as ondas no ponto D? 
 Inicialmente, a fonte A leva a fonte B em 90 °, o que equivale a 1/4 
comprimento de onda. No entanto, a fonte A também fica atrás da fonte B, já que 
rA é maior que rB em 100 m, que é 100m 400m = 1/4 comprimento de onda. 
Portanto, a diferença de fase líquida entre A e B no detector é zero. 
23. Na Fig. 35-40, duas fontes pontuais isotrópicas, S1 e S2, estão sobre o eixo y, separadas por uma 
distancia de 2,70 µm, e emitem em fase com um comprimento de onda de 900 nm. Um detector de luz 
é colocado no ponto P, situado sobre o eixo x, a uma distancia xp da origem. Qual é o maior valor de 
xp para o qual a luz detectada é mínima devido a uma interferência destrutiva? 
Deixe a distância em questão ser x. A diferença de trajetória (entre raios 
originados de S1 e S2 e chegando a pontos no eixo x > 0) é 
Onde estamos exigindo interferência destrutiva (diferenças de fase do comprimento de onda 
meio inteiro) e m = 0,1,2, ...... Após algumas etapas algébricas, resolvemos a distância em termos de 
m: 
Para obter o maior valor de x, definimos m = 0: 
25. Em um experimento de dupla fenda, a distancia entre as fendas é 5,0 mm e as fendas estão a 1,0 m 
de distancia da tela. Duas figuras de interferência são vistas na tela, uma produzida por uma luz com 
um comprimento de onda de 480 nm e outra por uma luz com um comprimento de onda de 600 nm. 
Qual é a distancia na tela entre as franjas claras de terceira ordem (m = 3) das duas figuras de 
interferência? 
 Os máximos de um padrão de interferência de duas fendas estão nos ângulos θ dados por d sen 
θ = mλ, onde d é a separação da fenda, λ é o comprimento de onda e m é um número inteiro. Se θ for 
pequeno, o pecado θ pode ser substituído por θ em radianos. Então, dθ = mλ. A separação angular de 
dois máximos associados a diferentes comprimentos de onda, mas o mesmo valor de m é 
 e sua separação em uma tela a uma distância D de distância é 
 A aproximação de ângulo pequeno tan Δθ ≈ Δθ (em radianos) é feita.