equacao 2 grau

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Matemática – 9º ano
EQUAÇÕES DO 2º GRAU
EQUAÇÕES DO 2º GRAU
EQUAÇÃO DO 2º GRAU é uma equação equivalente a uma equação do tipo 
em que 
e 
a
Coeficiente de 
b
Coeficiente de x
c
Termo independente
Nota: a não pode ser igual a zero
EQUAÇÕES DO 2º GRAU
Uma equação é de grau 2 se, depois de simplificada, o maior expoente da variável for 2.
EXEMPLO:
EQUAÇÕES DO 2º GRAU
Uma equação do 2º grau reduzida a uma expressão do tipo 
diz-se que está escrita na forma canónica.
OBSERVAÇÃO:
a)
EQUAÇÕES DO 2º GRAU
A equação é do 2º grau?
 Indica o valor de a , b e c.
SIM
b)
NÃO
a = 3 
b = 8
c = - 3
a = 0
Por isso não é uma equação de grau 2
b = 2 ; c = 4
As equações do 2º grau escritas na forma canónica 
EQUAÇÕES DO 2º GRAU COMPLETAS
a ≠ 0
b ≠ 0 
c ≠ 0 
Se 
trata-se de uma equação do 2º grau completa.
classificam-se em COMPLETAS ou INCOMPLETAS. 
EXEMPLO:
* Se b = 0 obtemos a expressão 
Equação do 2º grau incompleta porque b = 0 .
* Se c = 0 obtemos a expressão 
Equação do 2º grau incompleta porque c = 0 .
* Se b = 0 e c = 0 obtemos a expressão 
Equação do 2º grau incompleta porque b= 0 e c = 0 .
EQUAÇÕES DO 2º GRAU INCOMPLETAS
 Equações do 2º grau incompletas: b=0
No triângulo rectângulo, qual o valor do cateto x?
12 cm
15 cm
x cm
Pelo Teorema de Pitágoras sabemos que: 
 
Equação do 2º grau incompleta porque b = 0. Não existe termo em x 
S = { -9 , 9}
Resposta: x mede 9 cm porque o valor de um comprimento não pode ser negativo
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU
Reduz as equações a expressões do tipo
Indica o valor de a , b e c e determina a solução. 
a)
1º reduzir à forma canónica 
a = 2 ; b = 0 ; c = -18
2º Resolver a equação e indicar o conjunto solução.
S = { - 3 , 3 }
 Equações do 2º grau incompletas: b = 0
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU
EXERCICIOS
b)
1º reduzir à forma canónica 
2º resolver a equação
Equação IMPOSSÍVEL, não há nenhum nº real cujo quadrado seja negativo. 
IMPOSSÍVEL
 Equações do 2º grau incompletas: b=0
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU
a = 7 ; b = 28 ; c = 0 
1º colocar a incógnita em evidência
2º Aplicar a lei do anulamento do produto
3º Encontrar as soluções
S = { -4 , 0 }
 Equações do 2º grau incompletas: C = 0
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU
Resolve a Equação
a = 2 ; b = 3 ; c = 0 
1º Reduzir à forma canónica
(2)
(3)
(3)
(6)
(6)
2º colocar a incógnita em evidência
3º Aplicar a lei do anulamento do produto
S = { - 0 , 3/2 }
 Equações do 2º grau completas
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU
As equações do 2º grau completas podem ser resolvidas utilizando os seguintes casos notáveis da multiplicação 
ou ainda recorrendo à formula resolvente 
(fórmula Bhaskara). 
 Equações do 2º grau completas 
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU
Casos Notáveis da Multiplicação
EXEmplos
1.
S = {6}
O 1º membro da equação é um caso notável: 
quadrado de uma diferença
<número>
 Equações do 2º grau completas 
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU
Casos Notáveis da Multiplicação
2.
 O 1º membro da equação não é um caso notável. 
 Os primeiros termos, , lembra o quadrado de 
 que é: 
 Então vamos escrever a equação de modo que fique este quadrado.
<número>
 Equações do 2º grau completas 
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU
Casos Notáveis da Multiplicação
2.
Para obter um caso notável (quadrado da soma), adiciona-se a ambos os membros da equação a quantidade 25 
S = {-8,-2}
<número>
Dada uma equação do tipo 
Podemos encontrar as soluções, utilizando a seguinte fórmula: 
Fórmula Resolvente
À expressão que está dentro da raiz quadrada chama-se BINÓMIO DISCRIMINANTE e representa-se por 
( delta )
Equações do 2º grau completas 
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU
FÓRMULA RESOLVENTE
 Equações do 2º grau completas 
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU
FÓRMULA RESOLVENTE
EXEmplos
a = 2 ; b = 1 ; c = - 3 
Duas Soluções
Conclusão: Se o Binómio Discriminante é positivo, a equação tem duas soluções.
Equações do 2º grau completas 
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU
1.
a = 1 ; b = - 3 ; c = 5 
IMPOSSÍVEL, a equação não tem soluções
Conclusão: Se o Binómio Discriminante é negativo, a equação não tem soluções.
Equações do 2º grau completas 
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU
2.
 Reduzir à forma canónica
a = 2 ; b = - 12 ; c = 18 
3 é uma raiz dupla da equação
Conclusão: Se o Binómio Discriminante é zero, a equação tem 	 uma solução.
Equações do 2º grau completas 
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU
3.
APLICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DO 2º GRAU
Determinar o perímetro do triângulo rectângulo.
( 2x+1 ) cm 
( x+3 ) cm 
( 3x+2 ) cm 
Pelo Teorema de Pitágoras:
x não pode ser 
Perímetro = 5+3+4 =12 cm
0
2
=
+
+
c
bx
ax
IR
c
b
a
Î
,
,
0
¹
a
x
2
0
2
5
4
 
 
3
5
2
2
2
2
=
-
+
-
=
+
-
x
x
x
x
x
c
2
5
4
-
=
=
=
c
b
a
ax
bx
c
com
a
2
0
0
+
+
=
¹
Û
+
=
2
4
0
x
(
)
x
x
x
x
3
1
6
2
1
+
+
-
=
-
Û
+
-
=
3
8
3
0
2
x
x
5
3
2
3
3
1
2
2
2
x
x
x
x
x
+
-
+
=
-
+
0
2
5
4
2
=
-
+
x
x
ax
bx
c
com
a
2
0
0
+
+
=
¹
ax
c
2
0
+
=
ax
bx
2
0
+
=
ax
2
0
=
2
2
2
12
15
x
+
=
81
144
225
144
225
2
2
2
=
Û
=
-
Û
+
=
Û
x
x
x
x
x
x
2
81
81
9
=
Û
=
±
Û
=
±
2
18
18
2
2
2
=
Û
=
Û
x
x
Û
=
Û
=
±
Û
=
±
x
x
x
2
9
9
3
ax
bx
c
com
a
2
0
0
+
+
=
¹
(
)
(
)
3
2
1
24
2
x
x
x
x
+
-
+
=
-
0
18
2
24
6
3
2
2
2
=
-
Û
-
=
-
-
+
Û
x
x
x
x
x
ax
bx
c
2
0
+
+
=
15
5
2
-
=
Û
x
Û
=
-
Û
=
-
x
x
2
2
15
5
3
x
=
±
-
3
(
)
(
)
-
-
-
-
-
=
-
-
5
2
3
2
2
x
x
x
ax
bx
c
2
0
+
+
=
0
2
3
5
10
2
=
+
+
+
-
+
Û
x
x
x
Û
+
=
5
15
0
2
x
4
0
-
=
Ú
=
Û
x
x
7
28
0
2
x
x
+
=
(
)
0
28
7
=
+
Û
x
x
0
28
7
0
=
+
Ú
=
Û
x
x
7
28
0
-
=
Ú
=
Û
x
x
(
)
0
3
2
=
+
Û
x
x
0
3
2
 
 
0
=
+
Ú
=
Û
x
x
Û
=
Ú
=
-
x
x
0
3
2
(
)
(
)
x
x
x
2
3
3
4
2
2
3
-
-
=
-
-
6
2
2
12
2
3
3
2
+
-
=
+
-
Û
x
x
x
36
12
36
9
2
2
+
-
=
+
-
Û
x
x
x
0
3
2
2
=
+
Û
x
x
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
b
a
b
ab
a
b
a
b
ab
a
-
=
+
-
+
=
+
+
0
6
x
=
-
Û
6
x
=
Û
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
b
a
b
ab
a
b
a
b
ab
a
-
=
+
-
+
=
+
+
0
36
x
12
x
2
=
+
-
(
)
0
6
x
2
=
-
Û
(
)
4
4
3
4
4
2
1
2
6
x
2
36
x
12
x
-
+
-
(
)
2
2
5
x
25
x
10
x
+
=
+
+
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
b
a
b
ab
a
b
a
b
ab
a
-
=
+
-
+
=
+
+
0
16
x
10
x
2
=
+
+
x
10
x
2
+
5
x
+
(
)
25
16
5
x
2
=
+
+
Û
(
)
16
25
5
x
2
-
=
+
Û
(
)
9
5
x
2
=
+
Û
9
5
x
±
=
+
Û
3
5
x
 
 
3
5
x
-
=
+
Ú
=
+
Û
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
b
a
b
ab
a
b
a
b
ab
a
-
=
+
-
+
=
+
+
8
x
 
 
2
x
-
=
Ú
-
=
Û
0
16
x
10
x
2
=
+
+
(
)
4
4
3
4
4
2
1
2
5
x
2
25
x
10
x
+
+
+
25
16
25
x
10
x
2
=
+
+
+
Û
ax
bx
c
com
a
2
0
0
+
+
=
¹
x
b
b
a
c
a
=
-
±
-
´
´
´
2
4
2
D
c
a
4
b
2
´
´
-
=
D
4
5
1
4
5
1
+
-
=
Ú
-
-
=
x
x
Û
=
-
Ú
=
Û
=
-
Ú
=
x
x
x
x
6
4
4
4
3
2
1
x
b
b
ac
a
=
-
±
-
2
4
2
2
3
0
2
x
x
+
-
=
(
)
2
2
3
2
4
1
1
2
´
-
´
´
-
±
-
=
Û
x
4
24
1
1
+
±
-
=
Û
x
Û
=
-
±
Û
x
1
5
4
Û
=
±
-
x
3
11
2
x
x
2
3
5
0
-
+
=
(
)
(
)
1
2
5
1
4
3
3
x
2
´
´
´
-
-
±
-
-
=
Û
x
b
b
ac
a
=
-
±
-
2
4
2
2
20
9
3
x
-
±
=
Û
(
)
(
)
2
2
18
2
4
12
12
2
´
´
´
-
-
±
-
-
=
Û
x
Û
=
±
-
Û
x
12
144
144
4
Û
=
-
Ú
=
+
Û
x
x
12
0
4
12
0
4
x
x
=
Ú
=
3
3
4
0
12
±
=
x
2
28
12
10
2
x
x
+
=
+
0
18
12
2
2
=
+
-
Û
x
x
x
b
b
ac
a
=
-
±
-
2
4
2
Û
=
-
-
Ú
=
-
+
Û
x
x
2
10
8
2
10
8
x
x
=
-
Ú
=
3
2
1
3
3
2
2
2
5
´
-
æ
è
ç
ö
ø
÷
+
=
-
,
cm
-
3
2
3
1
2
5
´
+
=
cm
(
)
(
)
(
)
2
2
2
3
x
1
x
2
2
x
3
+
+
+
=
+
1
3
4
+
=
cm
2
1
1
3
´
+
=
cm
9
x
6
x
1
x
4
x
4
4
x
12
x
9
2
2
2
+
+
+
+
+
=
+
+
Û
Û
+
-
=
Û
4
2
6
0
2
x
x
(
)
4
2
6
4
4
2
2
x
2
´
-
´
´
-
±
-
=