Prova 1 - T02

Prévia do material em texto

Centro de Ciência e Tecnologia em
Energia e Sustentabilidade
Álgebra Linear I
Prof. Rodrigo Santos
Prova 1
19/07/21
Instruções: Escolha pelo menos 2 exercícios de cada um dos dois grupos abaixo, de modo
que você entregue 4 exercícios. Seja rigoroso e justifique todas as suas afirmações. Entre-
gar até às 9:59hs do dia 22/07/2021 por email para rodrigosmath@gmail.com (escaneado
em PDF).
GRUPO 1: MATRIZES
1) [2,5 pontos] Se A, B e C são matrizes de ordem n, prove que:
a) tr(A+B) = tr(A) + tr(B), onde tr representa o traço;
b) (A+B)C = AC +BC.
2) [2,5 pontos] Por meio das operações elementares, obtenha a inversa da matriz
A =
1 1 10 1 2
1 2 4
.
3) [2,5 pontos] Decida se cada sentença abaixo é verdadeira ou falsa. Se a sentença for
verdadeira, prove. Se a sentença for falsa, exiba um contraexemplo:
a) Se A ∈Mn(R) e A2 = 0, então A = 0, onde 0 é a matriz nula;
b) A única matriz quadrada simétrica e anti-simétrica ao mesmo tempo é a matriz
nula;
c) Se A ∈Mn(R) e A2 = In, então A = In ou A = −In, onde In é a matriz identidade
de Mn(R);
Definição: Uma matriz real A é dita normal se comutar com sua transposta AT , ou
seja, se AAT = ATA.
d) Se A é simétrica ou anti-simétrica, então A é normal;
e) Se A é ortogonal, então A é normal.
GRUPO 2: SISTEMAS LINEARES
4) [2,5 pontos] Resolva o seguinte sistema

x1 + 2x2 − 3x3 − 2x4 + 4x5 = 1
2x1 + 5x2 − 8x3 − x4 + 6x5 = 4
x1 + 4x2 − 7x3 + 5x4 + 2x5 = 8
, redu-
zindo a matriz aumentada à forma escada.
5) [2,5 pontos] Sejam A ∈Mn×m(R), 0 a matriz nula de Mm×1(R) e B ∈Mm×1(R).
a) Sabendo que Y1 e Y2 são duas matrizes em Mm×1(R) que são soluções do sistema
AX = 0 e que a e b são dois números reais, prove que Y3 = aY1 + bY2 também é
solução do sistema AX = 0;
b) Sabendo que X1 e X2 são duas matrizes em Mm×1(R) que são soluções do sistema
AX = B, prove que X3 = X1 −X2 é uma solução do sistema AX = 0;
1
c) Sabendo que U e V são duas matrizes em Mm×1(R), onde U é uma solução do
sistema AX = 0 e V é uma solução do sistema AX = B, prove que Z = U + V
também é solução do sistema AX = B.
6) [2,5 pontos] Seja M =
a 0 b 2a a 4 4
0 a 2 b
 a matriz ampliada de um sistema linear. Para
que valores de a e b o sistema admite:
a) Solução única;
b) Solução com uma variável livre;
c) Solução com duas variáveis livres;
d) Nenhuma solução.
2