Combinações de escoamentos em Aerodinâmica

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ESTS 016 – Aerodinâmica I
Aula 09 – Combinações de escoamentos elementares
Prof. Dr. Marcelo Tanaka Hayashi
Centro de Engenharia, Modelagem e Ciências Sociais Aplicadas
Universidade Federal do ABC
ESTS 016 – Aerodinâmica I
Semicorpo de Rankine
Considere a combinação de um escoamento uniforme de velocidade V8 e uma
fonte de intensidade Λ posicionada na origem:
V8
ψ1 “ V8r senθ
x
y
Λ
ψ2 “
Λ
2π
θ
x
y
AÑ 8
CÑ 8
B Λ
ψ “ ψ1 ` ψ2
` “
A função de corrente do escoamento resultante é dada por:
ψ “ ψ1 ` ψ2 “ V8r senθ `
Λ
2π
θ (1)
Assim, as linhas de corrente são definidas pela expressão:
ψ “ V8r senθ `
Λ
2π
θ “ const. (2)
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Semicorpo de Rankine
O campo de velocidades do escoamento resultante pode ser obtido pela dife-
renciação da função de corrente. Utilizando as eqs. (14) da aula 5, tem–se:
$
’
’
&
’
’
%
Vr “
1
r
Bψ
Bθ
“ V8 cosθ `
Λ
2πr
Vθ “ ´
Bψ
Br
“ ´V8 senθ
(3)
(4)
Os pontos de estagnação podem ser obtidos ao impor que as componentes de
velocidade, dadas pelas eqs. (3) e (4) sejam iguais a zero:
$
&
%
V8 cosθ `
Λ
2πr
“ 0
V8 senθ “ 0
(5)
(6)
Da eq. (6), θ “ 0 ou θ “ π. Entretanto, para θ “ 0, a eq. (5) jamais será
satisfeita. Assim, escolhendo θ “ π e substituindo na eq. (5), tem–se:
´V8 `
Λ
2πr
“ 0 ñ r “
Λ
2πV8
(7)
que corresponde ao ponto B na figura.
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Semicorpo de Rankine
Inserindo as coordenadas pr, θq “
´
Λ
2πV8
, π
¯
na eq. (2),tem–se:
ψ “ V8
Λ
2πV8
senθ `
Λ
2π
π “ const. ñ ψ “
Λ
2
“ const. (8)
Observações:
‚ Lembre que para escoamentos invíscidos, qualquer linha de corrente pode
ser substituída por uma superfície sólida de mesma forma.
‚ Note que a linha ABC (que passa por B) é uma linha divisora, que separa
o escoamento vindo da corrente livre do escoamento da fonte.
x
y
AÑ 8
CÑ 8
B Λ x
y
AÑ 8
CÑ 8
B
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Corpo de Rankine
x
y
A B
OΛ ´Λ
P
θθ1
θ2
b b
A função de corrente do escoamento combinado em qualquer ponto P é:
ψ “ V8r senθ `
Λ
2π
θ1 ´
Λ
2π
θ2 ñ ψ “ V8r senθ `
Λ
2π
pθ1 ´ θ2q (9)
A localização dos pontos de estagnação é tal que:
OA “ OB “
c
b2 `
Λb
πV8
(10)
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Escoamento sobre cilindro sem sustentação
V8
`
ψ1 “ V8r senθ
x
y
k
“
ψ2 “ ´
k
2π
senθ
r
x
y
R
r
θ
A B
ψ “ ψ1 ` ψ2
A função de corrente do escoamento combinado é dada por:
ψ “ V8r senθ ´
k
2π
senθ
r
ñ ψ “ V8r senθ
ˆ
1´
k
2πV8r2
˙
(11)
Definindo R ” k{2πV8, a eq. (11) pode ser escrita na forma:
ψ “ V8r senθ
ˆ
1´
R2
r2
˙
(12)
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Escoamento sobre cilindro sem sustentação
O campo de velocidades é obtido ao diferenciar a eq. (12):
$
’
’
’
&
’
’
’
%
Vr “
1
r
Bψ
Bθ
ñ Vr “
ˆ
1´
R2
r2
˙
V8 cosθ
Vθ “ ´
Bψ
Br
ñ Vθ “ ´
ˆ
1`
R2
r2
˙
V8 senθ
(13)
(14)
Para encontrar os pontos de estagnação, basta igualar as eqs. (13) e (14) à zero:
$
’
’
’
&
’
’
’
%
ˆ
1´
R2
r2
˙
V8 cosθ “ 0
´
ˆ
1`
R2
r2
˙
V8 senθ “ 0
(15)
(16)
Resolvendo as eqs. (15) e (16) simultaneamente, verifica–se que existem 2 pontos
de estagnação, localizados em:
pr, θq “
#
pR, πq
pR, 0q
(17)
que correspondem aos pontos A e B na figura.
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Escoamento sobre cilindro sem sustentação
A eq. da linha de corrente que passa pelo ponto B é obtida ao inserir as coorde-
nadas deste ponto na eq. (12), de onde observa–se que ψ “ 0. Assim:
ψ “ V8r senθ
ˆ
1´
R2
r2
˙
“ 0 (18)
Observação
Note que a eq. (18) é satisfeita para qualquer θ se r “ R, mostrando que essa
função de corrente corresponde ao escoamento ao redor de um cilindro de raio R.
A distribuição de velocidades na superfície do cilindro é dada pelas eqs. (13)
e (14) quando r “ R. Assim:
"
Vr “ 0
Vθ “ ´2V8 senθ
(19)
(20)
Mas, o coeficiente de pressão para um escoamento incompressível pode ser
expresso pela eq. (44) da aula 6, repetida abaixo:
cp “ 1´
ˆ
V
V8
˙2
(21)
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Escoamento sobre cilindro sem sustentação
Combinando as eqs. (20) e (21), tem–se:
cp “ 1´ 4 sen
2θ (22)
Para escoamentos invíscidos, cf “ 0. Assim, o coeficiente de arrasto é:
cd “ ca “
1
c
ż TE
LE
pcp,u ´ cp,lq dy ñ cd “
1
c
ż TE
LE
cp,u dy ´
1
c
ż TE
LE
cp,l dy (23)
Para converter a eq. (23) para coordenadas polares, note que:
y “ R senθ ñ dy “ R cosθ dθ (24)
Substituindo (24) em (23) e notando que c “ 2R, tem–se:
cd “
1
2�R
ż 0
π
cp,u�R cosθ dθ ´
1
2�R
ż 2π
π
cp,l�R cosθ dθ (25)
Observe que, na eq. (25), tanto cp,u quanto cp,l são dados pela mesma expressão
analítica para cp, a eq. (22). Assim, a eq. (25) pode ser escrita como:
cd “ ´
1
2
ż π
0
cp cosθ dθ ´
1
2
ż 2π
π
cp cosθ dθ ñ cd “ ´
1
2
ż 2π
0
cp cosθ dθ (26)
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Escoamento sobre cilindro sem sustentação
Substituindo (22) em (26), tem–se:
cd “ ´
1
2
ż 2π
0
`
1´ 4 sen2θ
˘
cosθ dθ “ ´
1
2
ż 2π
0
cosθ dθ ` 2
ż 2π
0
sen2θ cosθ dθ “
“ ´
1
2��
�
��*
0
”
senθ
ı2π
0
` 2
ż 2π
0
sen2θ cosθ dθ (27)
Para resolver a integral da eq. (27), considere a seguinte mudança de variável:
u “ senθ ñ du “ cosθ dθ (28)
Note ainda que os limites de integração passam a ser:
"
θ “ 0 ñ u “ 0
θ “ 2π ñ u “ 0
(29)
(30)
Portanto, utilizando (28), (29) e (30) em (27), tem–se:
cd “ 2
ż 0
0
u2 du “ 2
�
�
���
0
„
u3
3
0
0
ñ cd “ 0
(31)
Este resultado é conhecido como paradoxo de d’Alembert.
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Escoamento sobre cilindro sem sustentação
Com cf “ 0, o coeficiente de sustentação pode ser avaliado por:
cl “ cn “
1
c
ż c
0
cp,l dx´
1
c
ż c
0
cp,u dx (32)
Para converter a eq. (32) para coordenadas polares, basta notar que:
x “ R cosθ ñ dx “ ´R senθ dθ (33)
Substituindo (33) em (32), tem–se:
cl “ ´
1
2�R
ż 2π
π
cp,l�R senθ dθ `
1
2�R
ż 0
π
cp,u�R senθ dθ (34)
Novamente, cp,l e cp,u são dados pela mesma expressão analítica. Assim, a eq.
(34) pode ser escrita na forma:
cl “ ´
1
2
ż 2π
π
cp senθ dθ ´
1
2
ż π
0
cp senθ dθ ñ cl “ ´
1
2
ż 2π
0
cp senθ dθ (35)
Substituindo (22) em (35), tem–se:
cl “ ´
1
2
ż 2π
0
`
1´ 4 sen2θ
˘
senθ dθ “ ´
1
2
ż 2π
0
senθ dθ ` 2
ż 2π
0
sen3θ dθ (36)
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Escoamento sobre cilindro sem sustentação
6 cl “ ´
1
2�
���
��: 0
”
´ cosθ
ı2π
0
` 2
ż 2π
0
sen3θ dθ (37)
Mas, da trigonometria:
sen2θ ` cos2θ “ 1 ñ sen2θ “ 1´ cos2θ (38)
Substituindo (38) em (37), tem–se:
cl “ 2
ż 2π
0
`
1´ cos2θ
˘
senθ dθ (39)
Para resolver a integral da eq. (39), considere a mudança de variável:
u “ cosθ ñ du “ ´ senθ dθ (40)
Note ainda que os limites de integração passam a ser:
"
θ “ 0 ñ u “ 1
θ “ 2π ñ u “ 1
(41)
(42)
Finalmente, substituindo (40), (41) e (42) em (39), tem–se:
cl “ ´2
ż 1
1
`
1´ u2
˘
du “ ´2
„
u´
u3
3
1
1
ñ cl “ 0 (43)
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Escoamento sobre cilindro com sustentação
x
y
R
ψ1 “ V8r senθ
ˆ
1´
R2
r2
˙
`
x
y
“Γ
ψ2 “
Γ
2π
ln r
x
y
R r
θ
ψ “ ψ1 ` ψ2
Mas, como ψ é determinada com uma constante arbitrária, pode–se escrever:
ψ2 “
Γ
2π
ln r ` const. (44)
sem perda de generalidade. Escolhendo, por exemplo:
const. “ ´
Γ
2π
lnR (45)
Combinando aseqs. (44) e (45), obtém–se:
ψ2 “
Γ
2π
ln
´ r
R
¯
(46)
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Escoamento sobre cilindro com sustentação
Portanto, a função de corrente do escoamento combinado é dada por:
ψ “ V8r senθ
ˆ
1´
R2
r2
˙
`
Γ
2π
ln
´ r
R
¯
(47)
Observações
‚ Da eq. (47), se r “ Rñ ψ “ 0 para qualquer valor de θ.
‚ Como ψ “ const. representa a linha de corrente de um escoamento, a eq.
(47) ainda representa o escoamento ao redor de um cilindro de raio R.
‚ Na realidade, a eq. (12) é um caso particular da eq. (47) quando Γ “ 0.
O campo de velocidades pode ser obtido simplesmente somando as velocidades
dos escoamentos elementares. Assim:
$
’
’
’
&
’
’
’
%
Vr “
ˆ
1´
R2
r2
˙
V8 cosθ
Vθ “ ´
ˆ
1`
R2
r2
˙
V8 senθ ´
Γ
2πr
(48)
(49)
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Escoamento sobre cilindro com sustentação
Para localizar os pontos de estagnação, basta igualar as eqs. (48) e (49) à zero:
$
’
’
’
&
’
’
’
%
Vr “
ˆ
1´
R2
r2
˙
V8 cosθ “ 0
Vθ “ ´
ˆ
1`
R2
r2
˙
V8 senθ ´
Γ
2πr
“ 0
(50a)
(50b)
Existem 2 possibilidades para resolver o sistema (50):
1. Da eq. (50a), r “ R. Substituindo o resultado na eq. (50b), tem–se:
´2V8 senθ ´
Γ
2πR
“ 0 ñ θ “ arcsen
ˆ
´Γ
4πV8R
˙
(51)
Note que, para a eq. (51) ser válida, é necessário que Γ ď p4πV8Rq. Se:
‚ Γ ă 4πV8Rñ existem 2 pontos de estagnação.
‚ Γ “ 4πV8Rñ existe apenas 1 ponto de estagnação em θ “ ´π{2.
2. Caso Γ{ p4πV8Rq ą 1, observe que a eq. (50a) também é satisfeita por
θ “ ˘π{2, qualquer que seja r.
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Escoamento sobre cilindro com sustentação
Substituindo θ “ ´π{2 em (50b) e resolvendo para r, tem–se:
ˆ
1`
R2
r2
˙
V8 ´
Γ
2πr
“ 0 ñ V8r
2 ´
Γr
2π
`R2V8 “ 0
6 r “
Γ
2π ˘
b
`
Γ
2π
˘2
´ 4V8 pR2V8q
2V8
ñ r “
Γ
4πV8
˘
d
ˆ
Γ
4πV8
˙2
´R2 (52)
R
x
y
1 2
Γ ă 4πV8R
R
x
y
3
Γ “ 4πV8R
R
x
y
4
5
Γ ą 4πV8R
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Escoamento sobre cilindro com sustentação
A velocidade na superfície do cilindro é dada pela eq. (49) com r “ R:
V “ ´2V8 senθ ´
Γ
2πR
(53)
Então, o coeficiente de pressão na superfície do cilindro será dado por:
cp “ 1´
ˆ
V
V8
˙2
“ 1´
ˆ
´2 senθ ´
Γ
2πV8R
˙2
(54)
A determinação de cl e cd sobre um cilindro com tal distribuição de cp foi proposta
no exercício 3 da 1a lista de exercícios. Para k “ Γ{ p2πV8Rq, tem–se:
$
&
%
cd “ 0
cl “
Γ
V8R
(55)
(56)
Da definição de cl, tem–se:
cl “
L1
q8S
ñ L1 “ q8Scl (57)
Utilizando a definição da pressão dinâmica, q8, na eq. (57), obtém–se:
L1 “
1
2
ρ8V
2
8Scl (58)
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Escoamento sobre cilindro com sustentação
Finalmente, substituindo (56) em (58), tem–se:
L1 “
1
2
ρ8V
2
8 p2Rq
ˆ
Γ
V8R
˙
ñ L1 “ ρ8V8Γ (59)
Teorema de Kutta–Joukowski
Observações:
‚ A geração de uma força aerodinâmica perpendicular à direção do escoamento
não–perturbado devido ao escoamento assimétrico em torno de corpos rota-
tivos é um fenômeno chamado efeito Magnus.
‚ Para obter o escoamento ao redor de um cilindro com sustentação, combinou–
se um escoamento uniforme com um dipolo e um vórtice ideal, ambos
posicionados na origem.
‚ Ao tomar a circulação em torno de qualquer curva fechada que não inclui
a origem, obtém–se Γ “ 0.
‚ Mas, quando se escolhe uma curva que engloba a origem, onde ∇^#„V Ñ8,
Γ tem valor finito igual a intensidade do vórtice.
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ESTS 016 – Aerodinâmica I
O teorema de Kutta–Joukowski e a geração de sustentação
Embora a eq. (59) tenha sido derivada para o escoamento ao redor de um cilindro,
ela se aplica a corpos cilíndricos de seção transversal arbitrária. Por exemplo:
L1
A
B
¿
A
#„
V ¨
#„
ds “ Γ (60)
¿
B
#„
V ¨
#„
ds “ 0 (61)
Se o aerofólio produz sustentação, então:
‚ A integral de linha (61) é nula para qualquer curva fechada B que não
envolva o aerofólio.
‚ A integral de linha (60) tem valor finito Γ sobre qualquer curva fechada
A que envolva o aerofólio.
‚ A força de sustentação L1 é dada pelo teorema de Kutta–Joukowski.
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ESTS 016 – Aerodinâmica I
A condição de Kutta
Da teoria de escoamento potencial incompressível, observa–se que são possíveis
infinitas soluções para um escoamento ao redor de uma geometria, que corres-
pondem a infinitos valores distintos de Γ. Por exemplo:
1
2
Γ1
1
2
Γ2
Existem, em princípio, duas possibilidades geométricas de bordo de fuga:
Ângulo finito
V1
V2
No bordo de fuga: V1 “ V2 “ 0
Cúspide
V1
V2
No bordo de fuga: V1 “ V2 ‰ 0
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Perfis NACA
Definições:
‚ Linha da corda: linha reta que liga o LE ao TE do aerofólio.
‚ Linha de arqueamento médio: zcpxq é a curva equidistante do intradorso e
do extradorso do aerofólio, medida K à própria linha de arqueamento médio.
‚ Distribuição de espessura: tpxq é definida como a distância entre o extra-
dorso e o intradorso do aerofólio, medida K à linha de arqueamento médio.
x
z
tpxq
2
tpxq
2
θc
zc
#
xu “ xc ´
t
2
senθc
zu “ zc `
t
2
cosθc
#
xl “ xc `
t
2
senθc
zl “ zc ´
t
2
cosθc
c
LE TE
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Perfis NACA de 4 dígitos
Os perfis NACA de 4 dígitos são identificados pela nomenclatura NACA MPTT .
O 1o dígito (M) fornece o arqueamento máximo em centésimos de corda:
pzcqmáx “M
c
100
(62)
O 2o dígito (P ) fornece a posição de pzcqmáx em décimos de corda:
x|
pzcqmáx
“ P
c
10
(63)
Definindo m “ M{100 e p “ P {10, a linha de arqueamento médio para os
perfis NACA de 4 dígitos é dada por:
zc
c
“
$
’
’
&
’
’
%
m
p2
x
c
´
2p´
x
c
¯
, para 0 ď
x
c
ď p
m
p1´ pq
2
„
1´ 2p` 2p
x
c
´
´x
c
¯2

, para p ď
x
c
ď 1
(64)
Os dois últimos dígitos (TT ) fornecem a espessura máxima do perfil em centé-
simos de corda:
tmáx “ TT
c
100
(65)
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Perfis NACA de 4 dígitos
A distribuição de espessura dessa série de aerofólios é dada por:
t “ tmáx
„
2.969
c
x
c
´ 1.260
´x
c
¯
´ 3.516
´x
c
¯2
` 2.843
´x
c
¯3
´ 1.015
´x
c
¯4

(66)
O raio de curvatura do bordo de ataque é:
rLE
c
“ 1.102
ˆ
tmáx
c
˙2
(67)
Exemplos:
‚ NACA 4412:
0.4 c
c
0.04 c0.12 c
‚ NACA 0012:
0.12 c
c
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