Potenciacao

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Lucas Araújo - Engenharia de Produção 
Potenciação 
CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2014.1 
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Potenciação 
 No século 3 a.C na Grécia antiga, Arquimedes resolveu 
calcular quantos grãos de areia eram necessários para 
encher o Universo. 
 
 
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 Então Arquimedes calculou o diâmetro do universo e o 
volume médio de um grão de areia. No final de seus 
cálculos apareceu contas de multiplicar por dez repetidas 
vezes. 
N de vezes que o 10 aparece na multiplicação Resultado 
1 10 
2 100 
3 1000 
4 10000 
5 100000 
... ... 
Potenciação 
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 Também chamada de EXPONENCIAÇÃO; é uma operação 
usada para indicar a multiplicação de um número por ele 
mesmo x vezes 
 
 
 
 
 Por exemplo: 
 
4 . 4 . 4 = 64 
 
 Utilizando a potenciação podemos 
escrever a expressão da seguinte 
forma: 4³ . 
Potenciação: Definição 
• 7³ = 
 
 
•( 0,5)² = 
 
 
 
Calcule o valor de 
• 3x² + x – 1, para x = 0,5 
 
 
 
Vejamos algumas aplicações ... 
A incógnita “n” usada abaixo representa o número Base 
Qualquer número racional elevado ao expoente zero é igual 
a um. 
 = 1 
 
Ex.: = 1 = 1 = 1 
 
 Caso a base N seja zero, essa regra não é verdadeira. 
 
 
Por que? 
Teremos a resposta mais adiante 
Potenciação: Regras 
 
 Qualquer número racional elevado ao expoente um é 
igual à base. 
n¹ = n 
Ex.: 
 
• 2¹ = 2 
• 25¹ = 25 
• 134¹ = 134 
 
Potenciação: Regras 
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 As potências surgiram no intuito de representar multiplicações 
onde os fatores eram iguais. Dessa forma, algumas propriedades 
foram criadas nas operações envolvendo potenciações de bases 
iguais ou diferentes, simplificando os cálculos. Observe o 
desenvolvimento de uma potência: 
 
3² = 3 x 3 = 9 
 
10³ = 10 x 10 x 10 = 1000 
 
64 = 6 x 6 x 6 x 6 = 1296 
 
 Propriedades das potências 
 
 
 
 
 
 Para efetuarmos um produto de potências 
de mesma base, conservamos a base e 
somamos os expoentes dos fatores. 
Ex.: 
• 10² . 10¹ = 10³ 
 
Propriedade 1: 
“Multiplicação de potencia de mesma base” 
baba XXX .
2. 
3. 
Vejamos algumas aplicações ... 
Propriedade 2: 
“Divisão de Potências de Mesma Base” 
 Para efetuarmos um quociente de potências 
de mesma base, conservamos a base e 
subtraímos os expoentes. 
ba
b
a
X
X
X 
3
4
7
2
2
2

1. 
2. 
Vejamos algumas aplicações ... 
Respondendo a questão feita no início da aula... 
SABE-SE QUE : 
 
Caso a base N seja zero, essa regra não é 
verdadeira! 
Por que? 
 
n/n = 1 Qualquer número diferente de zero dividido 
por ele mesmo dá 1. 
n¹/n¹ = n° Usamos a propriedade de divisão de potência 
de mesmas base. 
Como o resultado tem que ser único, concluímos que 
n°=1. 
 
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 Até agora vimos Multiplicação e 
Divisão com termos de mesma 
base. E quando não tiver mesma 
base? O que podemos fazer? 
 O QUE VAMOS VER AGORA É 
JUSTAMENTE O SEGUNDO CASO: 
EXPOENTES IGUAIS. 
Propriedades das potências 
Propriedade 3: 
“Multiplicação de potência de mesmo expoente” 
 Os números "X" e "Y" 
podem ser quaisquer 
números do conjunto dos 
reais. 
 
aaa XYYX )(. 
Propriedade 4: 
“Divisão de Potências de mesmo expoente” 
• O mesmo raciocínio mostrado para a 
multiplicação, pode ser aplicado para a 
divisão. 
 Os números "X" e "Y" podem ser 
quaisquer números do conjunto dos 
números reais. Conserva-se o expoente e 
divide-se as bases. 
a
a
a
Y
X
Y
X







1. 
2. 
Vejamos algumas aplicações ... 
Propriedade 5: 
“Potencia de Potencia” 
 Onde "a" e "b" podem ser 
quaisquer números do 
conjunto dos reais. Potência 
de potência, multiplica-se os 
expoentes. 
baba XX .)( 
1. 
2. 
Vejamos algumas aplicações ... 
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Propriedade 6: 
“O Inverso de um número” 
n
n
a
a
1

21/67 
n
n
a
a


1
Propriedade 7 
1. 
2. 
3. 
Vejamos algumas aplicações ... 
 
 Quando tivermos um número negativo elevado numa 
potência, devemos tomar a seguinte precaução, veja os 
exemplos: 
(-5)2= (-5) . (-5) = 25 
(-2)4 = (-2) · (-2) · (-2) · (-2) = +16 
 
 Note, então, que quando temos um número negativo 
elevado em qualquer expoente PAR este se comporta como 
se fosse positivo. 
 
E se tivermos um expoente ímpar? 
 
Outras propriedades 
Observe: 
 
(-5)3=(-5)·(-5)·(-5) = -125 
 
Sempre que tivermos um número negativo elevado em 
qualquer expoente ÍMPAR, o sinal negativo permanece na 
resposta. 
 
 
 (-5)2 É TOTALMENTE DIFERENTE DE -52 . NO 
PRIMEIRO CASO O SINAL DE MENOS TAMBÉM 
ESTÁ ELEVADO AO QUADRADO, ENTÃO A 
RESPOSTA É +25. JÁ NO SEGUNDO CASO, O 
MENOS NÃO ESTÁ ELEVADO AO QUADRADO, 
SOMENTE O 5, PORTANTO A RESPOSTA É -25. 
 
IMPORTANTE!!! 
Outras propriedades 
1. 
2. 
3. 
Vejamos algumas aplicações ... 
Obrigado pela atenção! 
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