Aula04_Medidas de tendência central

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ESTATÍSTICA
Luciana Vieira
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SUMÁRIO
Aula 04: Medidas de tendência central
Tipos de medida (média, média ponderada, 
moda e mediana de dados agrupados e não 
agrupados)
Separatrizes
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INTRODUÇÃO
O estudo que fizemos sobre distribuições de
frequência, até agora, permite-nos descrever, de
modo geral, os grupos de valores que uma
variável pode assumir. Dessa forma, podemos
localizar a maior concentração de valores de uma
dada distribuição, isto é, se ela se localiza no
início, no meio ou no final, ou, ainda, e há uma
distribuição por igual.
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
Para ressaltar as tendências características de
cada distribuição necessitamos de conceitos que
se expressem através de números, que permitam
traduzir essas tendências. Esses conceitos são
denominados elementos típicos da distribuição e
são:
�medidas de posição;
�medidas de variabilidade ou dispersão;
�medidas de assimetria;
�medidas de curtose.
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
As medidas de posição mais importantes são as
medidas de tendência central, que recebem tal
denominação pelo fato de os dados observados
tenderem, em geral, a se agrupara em torno dos
valores centrais. Dentre as medidas de tendência
central, destacamos:
�a média aritmética;
�a mediana;
�a moda. 
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
As outras medidas de posição são as separatrizes,
que englobam:
�a própria mediana;
�os quartis;
�os percentis. 
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
Média aritmética - Dados não agrupados:
Quando desejamos conhecer a média dos dados 
não-grupados, determinamos a média aritmética 
simples. 
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
Média aritmética - Dados não agrupados:
Exemplo:
Sabendo-se que a produção leiteira diária da vaca
A, durante uma semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16,
18 e 12 litros, temos, para produção média da
semana:
x = (10 + 14 + 13 + 15 + 16 + 18 + 12) /7
X = 98/7
x = 14 litros
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
Média aritmética - Dados não agrupados:
Às vezes, a média pode ser um número diferente
de todos os da série de dados que ela
representa. Neste caso, costumamos dizer que a
média não tem existência concreta.
No exemplo anterior o valor 14 faz parte do rol
original de dados.
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
Média aritmética - Dados não agrupados:
Exercício:
Calcule a média aritmética de X = {0, 6, 8, 7, 4,
6}
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
Média aritmética: Desvios em relação à média:
Denominamos desvio em relação à média a
diferença entre cada elemento de um conjunto de
valores e a média aritmética.
Designando o desvio por di, temos: di = xi - x
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
Média aritmética - Desvios em relação à média:
Para o exemplo dado, temos:
d1 = x1 – x � d1 = 10 – 14 � - 4
d2 = x2 – x � d2 = 14 – 14 � 0
d3 = x3 – x � d3 = 13 – 14 � - 1
d4 = x4 – x � d4 = 15 – 14 � 1
d5 = x5 – x � d5 = 16 – 14 � 2
d6 = x6 – x � d6 = 18 – 14 � 4
d7 = x7 – x � d7 = 12 – 14 � - 2
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
14
MEDIDAS DE POSIÇÃO
15
MEDIDAS DE POSIÇÃO
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
Média aritmética
Dados agrupados: (Sem intervalos de classe):
Consideremos a distribuição relativa a 34 famílias
de quatro filhos, tomando para variável o número
de filhos do sexo masculino:
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
Média aritmética - Dados agrupados: (Sem 
intervalos de classe):
Na tabela anterior:
Temos, então: ∑ xifi = 78 e ∑ fi = 34
Logo: x = ∑ xifi / ∑ fi x = 78 / 34 = 2,29 = 2,3
Isto é: x = 2,3 meninos
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
Média aritmética - Dados agrupados: (Sem 
intervalos de classe):
Aplicação prática:
1) Complete o esquema para o cálculo da média 
aritmética da distribuição (calcule a média)
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
Média aritmética - Com intervalos de classe:
Exemplo: Consideremos a distribuição:
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
Média aritmética - Com intervalos de classe:
Exemplo: na tabela anterior
Como, neste caso:
∑ xifi =6.440, ∑ fi=40 e x = ∑ xifi / ∑ fi,
então:
x = 6.440 / 40 = 161
x = 161 cm
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
Média aritmética - Com intervalos de classe:
Exercício:
1) Complete o esquema e calcule a média aritmética 
da distribuição de frequência:
Custos(R$)│ 450 ├ 550 ├ 650 ├ 750 ├ 850 ├ 950 ├ 1.050 ├ 1.150
fi │ 8 10 11 16 13 5 1
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
Média aritmética - Emprego da Média:
A média é utilizada quando:
a) desejamos obter a medida de posição que 
possui a maior estabilidade;
a) houver necessidade de um tratamento 
algébrico posterior. 
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
MODA:(Mo)
Denominamos moda o valor que ocorre com maior 
frequência em uma série de valores.
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
MODA:(Mo)
Desse modo, o salário modal dos empregados de
uma indústria é o salário mais comum, isto é, o
salário recebido pelo maior número de
empregados dessa indústria.
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
MODA - Dados não-agrupados:
Quando lidamos com valores não-agrupados, a
moda é facilmente reconhecida: basta, de acordo
com a definição, procurar o valore que mais se
repete.
A série de dados: 7, 8, 9, 10, 10, 11, 12, 13, 15. 
tem moda igual a 10. 
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
MODA - Dados não-agrupados:
Podemos, entretanto, encontrar séries nas quais
não exista valor modal, isto é, nas quais nenhum
valor aparece mais vezes que outros.
É o caso da série: 3, 5, 8, 10, 12, 13. 
Esta série não apresenta moda (amodal).
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
MODA - Dados não-agrupados:
Em outros casos, ao contrário, pode haver dois ou 
mais valores de concentração. Dizemos, então, que 
a série tem dói ou mais valores modais. 
Na série: 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9. 
Nesta sérieduas modas: 4 e 7 (bimodal).
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
MODA - Dados agrupados:
Uma vez agrupados os dados, é possível
determinar imediatamente a moda: basta fixar o
valor da variável de maior frequência.
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
MODA – Sem intervalo de classes:
exemplo
Nesta distribuição de frequência a moda
corresponde ao valor 3 da variável (maior
frequência = 12)
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
MODA - Com intervalo de classes
A classe que apresenta a maior frequência é
denominada classe modal. Pela definição,
podemos afirmar que a moda, neste caso, é o
valor dominante que está compreendido entre os
limites da classe modal.
O método mais simples para o cálculo da moda
consiste em tomar o ponto médio da classe
modal.
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
MODA - Com intervalo de classes
Damos a esse valor a denominação de moda bruta. 
Temos então: Mo = ( l* + L*) / 2
Onde: 
l* é o limite inferior da classe modal
L* é o limite superior da classe modal
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
MODA - Com intervalo de classes
Para a distribuição abaixo: vamos calcular a moda
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
MODA - Com intervalo de classes
Temos que a classe modal é 
i = 3, l* = 158 e L* = 162
Como: Mo = (l* + L*) / 2
Vem: Mo = (158 + 162) / 2 = 320 / 2 =160
Logo: Mo = 160 cm.
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
MODA - Com intervalo de classes
Exercício: Complete o esquema para o cálculo da 
moda da distribuição de frequência
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
MODA - Método de Czuber:
neste método, utiliza-se a Fórmula.
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
MODA - Método de Czuber:
neste método, utiliza-se a Fórmula.
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classe fi xi
180 |--200 4 190
200 |--220 18 210
220 |--240 10 230
240 |--260 5 250
260 |--280 3 270
total 40
Δa = 18 – 4=14
Δp = 18 – 10=8
Li=200
H=220-200=20
Mo=200+(14/(14+8))*20
Mo=212,72
MEDIDAS DE POSIÇÃO
MODA - Método de King:
neste método, utiliza-se a Fórmula.
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
MODA - Método de King:
neste método, utiliza-se a Fórmula.
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classe fi xi
180 |--200 4 190
200 |--220 18 210
220 |--240 10 230
240 |--260 5 250
260 |--280 3 270
total 40
Mo=200+(10/(10+4))*20
Mo=214,28
MEDIDAS DE POSIÇÃO
MODA
Exemplo: calcule a moda pelos métodos: simples,
king e Czuber, na tabela abaixo.
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
MODA - Emprego da Moda:A moda é utilizada:
a) Quando desejamos obter uma medida rápida 
e aproximada de posição;
b) Quando a medida de posição deve ser o valor 
mais típico da distribuição.
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
MEDIANA (Md)
É uma medida de localização do centro da
distribuição dos dados, de tal forma que, ordenados
os elementos da distribuição, a mediana é o valor
(pertencente ou não à distribuição) que a divide ao
meio, isto é, 50% dos elementos da amostra são
menores ou iguais à mediana e os outros 50% são
maiores ou iguais à mediana.
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
MEDIANA (Md): Dados não-agrupados:
Dada uma série de valores, como por exemplo:
5, 13, 10, 2, 18, 15, 6, 16, 9. 
De acordo com a definição, o primeiro passo a ser 
dado é o da ordenação (crescente ou decrescente) 
dos valores.
2, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 16, 18.
Em seguida, tomamos aquele valor central que 
apresenta o mesmo número de elementos à direita e 
à esquerda.
Temos então que: Md = 10 49
MEDIDAS DE POSIÇÃO
MEDIANA (Md): Dados não-agrupados:
Se, porém, a série dada tiver um número par de 
termos, a mediana será, por definição, qualquer dos 
números compreendidos entre os dois valores centrais 
da série. Convencionou-se utilizar o ponto médio. 
Assim, a série de valores: 
2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21. 
Tem para mediana a média aritmética entre 10 e 12. 
Logo: Md = (10 + 12 )/ 2 = 22/2 = 11
onde: Md = 11
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
MEDIANA (Md): Dados não-agrupados:
Verificamos que, estando ordenados os valores de 
uma série e sendo n o número de elementos da 
série, o valor mediano será:
o termo de ordem (n + 1) / 2, se n for ímpar; 
2, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 16, 18
a média aritmética dos termos de ordem n/2 e 
n/2 +1, se for par. 
2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
MEDIANA (Md): Dados agrupados:
Se os dados se agrupam em uma distribuição de
frequência, o cálculo da mediana se processa de
modo muito semelhante àquele dos dados não-
agrupados, simplificando, porém, a determinação
prévia das frequências acumuladas. Ainda aqui,
temos que determinar um valor tal que divida a
distribuição em dois grupos que contenham o
mesmo número de elementos.
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
MEDIANA (Md): Dados agrupados:
Para o caso de uma distribuição, porém, a ordem,
a partir de qualquer um dos extremos é dada
por:
∑ fi / 2
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
MEDIANA (Md): Sem intervalo de classe:
Neste caso, é o bastante identificar a frequência
acumulada imediatamente superior à metade da
soma das frequências. A mediana será aquele valor
da variável que corresponde a tal frequência
acumulada.
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Idades fi Fi Posições
12 3 3 1ª – 3ª 
14 5 8 4ª – 8ª
15 6 14 9ª – 14ª 
16 7 16 15ª – 16ª 
17 5 21 17ª – 21ª 
total 21 -- --
posição=(n + 1)/2
=(21+1)/2
=11
A mediana é o 
valor que está 
posição 11ª é o 15
MEDIDAS DE POSIÇÃO
MEDIANA (Md): Sem intervalo de classe:
Para casos par
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posição=n/2
=14/2
=7ª 
A mediana é o 
valor que está 
posição 7ª e na 8ª, 
ou seja, 21 e 22
Idades fi Fi Posições
20 2 2 1ª – 2ª 
21 5 7 3ª – 7ª
22 7 14 8ª – 14ª 
total 14 -- --
MEDIDAS DE POSIÇÃO
MEDIANA (Md): com intervalo de classe:
A classe mediana é aquela em que a frequência relativa 
acumulada atinge os 50%.
O valor exato da mediana pode calcular-se utilizando 
uma regra de três simples, admitindo que as observações 
se distribuem uniformemente pela amplitude da classe.
h = amplitude da classe da mediana
li = limite inferior da classe que deve conter a mediana
fc = frequência da classe que deve conter a Mi
Md = mediana
fa[1-i] =frequência acumulada anterior da classe que deve 
conter a mediana 56
MEDIDAS DE POSIÇÃO
MEDIANA (Md): com intervalo de classe:
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classe fi Fi Posição
180 |--200 4 4 1ª - 4ª
200 |--220 18 22 5ª - 22ª
220 |--240 10 32 23ª -32ª
240 |--260 5 37 33ª - 37ª
260 |--280 3 40 38ª - 40ª
total 40 -- --
Classe mediana
n/2 = 40/2 
= 20
li = 200
N = 40
Fa = 4
fc = 18
Md = 200+[(40/2 – 4)/18] * 20
Md = 217,78 
MEDIDAS DE POSIÇÃO
SEPARATRIZES
As separatrizes são medidas de posição relativas
à sua posição na série, dividindo esta em partes
iguais.
Ex: quartis, percentis e decis.
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
Separatrizes - Os quartis:
Denominamos quartis os valores de uma série que 
a dividem em quatro partes iguais. 
Existem 3 quartis:
a) Primeiro quartil (Q1): 25% dos dados é 
menor que ele e 75% são maiores
b) Segundo quartil (Q2): coincide com a mediana
c) Terceiro quartil (Q3): 75% dos dados são 
menores que ele e 25% são maiores
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
Separatrizes - Os quartis:
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
Separatrizes - Os quartis em um conjunto de dados 
não agrupados 
O método mais prático é utilizar o princípio do 
cálculo da mediana para os 3 quartis. Na realidade 
serão calculadas “3 medianas” em uma mesma série. 
Exemplo: calcule os quartis da série: { 5, 2, 6, 9, 10, 
13, 15 }, com n = 7. 
1º passo: ordenar os valores da série, daí { 2, 5, 6, 
9, 10, 13, 15 } 
o valor que divide a série acima em duas partes 
iguais é igual a 9, logo a Md = 9 que será igual a 
Q2. 61
MEDIDAS DE POSIÇÃO
Separatrizes - Os quartis em um conjunto de dados 
não agrupados 
temos agora { 2, 5, 6 } e { 10, 13, 15 } como 
sendo os dois grupos de valores iguais 
proporcionados pela mediana (quartil 2). Para o 
cálculo do quartil 1 e 3 basta calcular as 
medianas das partes iguais provenientes da 
verdadeira Mediana da série (quartil 2). 
Logo, em { 2, 5, 6 } a mediana é Q1 = 5. 
Na série { 10, 13, 15 } a mediana é Q3 = 13. 
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
Separatrizes - Os quartis - Dados agrupados sem 
classes:
Qk = K ∑ fi / 4
Onde k = número de ordem do quartil.
Observe: k = 2 voltamos a fórmula da mediana.
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
Separatrizes - Os quartis:
Cálculo: De forma análoga:
Qk = li + [ ( k. N/4 – fa [i-1] ) / fc ] .h
Observe que se k=2 voltamos a fórmula que nos
dá a mediana.
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
Separatrizes - Os quartis:
exemplo
Determine o 1º e 3º quartil da distribuição abaixo
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
Separatrizes - Os quartis:
exemplo – solução
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
Separatrizes - Os percentis:
Denominamos percentis os 99 valores que
separam uma série em 100 partes iguais.
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
Separatrizes - Os percentis:
Indicamos: P1, P2, P3,... P99
Evidentemente:
P50 = Md
P25 = Q1
P75 = Q3
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
Separatrizes - Os percentis:
Cálculo
Utilizamos técnica do cálculo da mediana.
Pk = K ∑ fi / 100
Onde k = ordem do percentil
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
Separatrizes - Os percentis:
Cálculo: Para uma distribuição de classes:
Pk = li + [ ( k. N/100 – fa [i-1] ) / fc ] .h
Observe que se k=50 voltamos a fórmula que nos
dá a mediana.
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
Separatrizes - Os percentis:
Exemplo: para o distribuição do exemplo anterior:
71
MEDIDAS DE POSIÇÃO
Exemplo: calcule o 5º e 84º percentil da tabela
abaixo:
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1º passo: achar a posição do 
5º percentil é: P = 0,05.40 = 2. 
27º percentil é: P = 0,27.40 = 10,8. 
84º percentil é: P = 0,84.40 = 33,6. 
2º passo: aplicando-se a 
fórmula, temos: 
EXERCÍCIO
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74